有关三角函数导数练习题10道
微专题 三角函数与导数的综合题
微专题 三角函数与导数的综合题1. 已知函数f （x ）=2sin x －x cos x －x ，f′（x ）为f （x ）的导数． （1）证明：f′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．2. 设函数sin ()2cos x f x x=+． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求实数a 的取值范围． .3. 已知函数，其中是自然对数的底数.（Ⅰ）求曲线在点()(),f ππ处的切线方程；（Ⅱ）令，讨论的单调性并求极值.4. 已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．()22cos f x x x =+()()cos sin 22x g x e x x x =-+-2.71828e =()y f x =()()()()h x g x af x a R =-∈()h x5. 设函数()e cos (),x f x a x a R -=∈+6. 设函数()e cos ,()x f x x g x =为()f x 的导函数.（Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明：()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭； （Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242m m πππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭内的零点，其中n N ∈， 证明：20022sin cos n n n x x e x πππ-+-<-.7. 已知函数8()(cos )(2)(sin 1)3f x x x x x π=-+-+2()3()cos 4(1sin )ln(3)x g x x x x x π=--+-. 证明：（1）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =； （2）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+<.8. 已知函数()()()[]321,12cos .0,12xx f x x e g x ax x x x -=+=+++∈当时， （I ）求证：()11-;1x f x x≤≤+ （II ）若()()f x g x ≥恒成立，a 求实数的取值范围..。
三角函数诱导公式练习题集附答案解析
三角函数诱导公式练习题一、选择题（共21小题）1、已知函数f（x）=sin，g（x）=tan（π﹣x），则（）A、f（x）与g（x）都是奇函数B、f（x）与g（x）都是偶函数C、f（x）是奇函数，g（x）是偶函数D、f（x）是偶函数，g（x）是奇函数2、点P（cos2009°，sin2009°）落在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限3、已知，则=（）A、B、C、D、4、若tan160°=a，则sin2000°等于（）A、B、C、D、﹣5、已知cos（+α）=﹣，则sin（﹣α）=（）A、﹣B、C、﹣D、6、函数的最小值等于（）A、﹣3B、﹣2C、D、﹣17、本式的值是（）A、1B、﹣1C、D、8、已知且α是第三象限的角，则cos（2π﹣α）的值是（）A、B、C、D、9、已知f（cosx）=cos2x，则f（sin30°）的值等于（）A、B、﹣C、0 D、110、已知sin（a+）=，则cos（2a﹣）的值是（）A、B、C、﹣D、﹣11、若，，则的值为（）A、B、C、D、12、已知，则的值是（）A、B、C、 D、13、已知cos（x﹣）=m，则cosx+cos（x﹣）=（）A、2mB、±2mC、D、14、设a=sin（sin20080），b=sin（cos20080），c=cos（sin20080），d=cos（cos20080），则a，b，c，d的大小关系是（）A、a＜b＜c＜dB、b＜a＜d＜cC、c＜d＜b＜aD、d＜c＜a＜b15、在△ABC中，①sin（A+B）+sinC；②cos（B+C）+cosA；③tan tan；④，其中恒为定值的是（）A、②③B、①②C、②④D、③④16、已知tan28°=a，则sin2008°=（）A、B、C、D、17、设，则值是（）A、﹣1B、1C、D、18、已知f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）+4（a，b，α，β为非零实数），f（2007）=5，则f（2008）=（）A、3B、5C、1D、不能确定19、给定函数①y=xcos（+x），②y=1+sin2（π+x），③y=cos（cos（+x））中，偶函数的个数是（）A、3B、2C、1D、020、设角的值等于（）A、B、﹣C、D、﹣21、在程序框图中，输入f0（x）=cosx，则输出的是f4（x）=﹣csx（）A、﹣sinxB、sinxC、cosxD、﹣cosx二、填空题（共9小题）22、若（﹣4，3）是角终边上一点，则Z的值为．23、△ABC的三个内角为A、B、C，当A为°时，取得最大值，且这个最大值为．24、化简：=25、化简：=．26、已知，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）=．27、已知tanθ=3，则（π﹣θ）=．28、sin（π+）sin（2π+）sin（3π+）…sin（2010π+）的值等于．29、f（x）=，则f（1°）+f（2°）+…+f（58°）+f（59°）=．30、若，且，则cos（2π﹣α）的值是．答案与评分标准一、选择题（共21小题）1、已知函数f（x）=sin，g（x）=tan（π﹣x），则（）A、f（x）与g（x）都是奇函数B、f（x）与g（x）都是偶函数C、f（x）是奇函数，g（x）是偶函数D、f（x）是偶函数，g（x）是奇函数考点：函数奇偶性的判断；运用诱导公式化简求值。
【高考数学】含有三角函数的导数大题
（2）若函数f （x ）在（0，）上存在两个极值点，求实数a 的取值范围．2．（2019秋•汕头校级期末）已知函数f （x ）＝x cos x ﹣2sin x +1，g （x ）＝x 2e ax （a ∈R ）．（1）证明：f （x ）的导函数f '（x ）在区间（0，π）上存在唯一零点；（2）若对任意x 1∈[0，2]，均存在x 2∈[0，π]，使得g （x 1）≤f （x 2），求实数a 的取值范围．注：复合函数y ＝e ax 的导函数y '＝ae ax ．3．（2020•开封一模）已知函数，a ∈R ，e 为自然对数的底数．（1）当a ＝1时，证明：∀x ∈（﹣∞，0]，f （x ）≥1；（2）若函数f （x）在上存在两个极值点，求实数a 的取值范围．4．（2020•遂宁模拟）已知函数（1）求曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（2）若函数g （x ）＝a （lnx ﹣x ）+f （x ）﹣e x sin x ﹣1有两个极值点x 1，x 2（x 1≠x 2）．且不等式g （x 1）+g （x 2）＜λ（x 1+x 2）恒成立，求实数λ的取值范围．5．（2018秋•济宁期末）已知函数f （x ）＝（x ﹣a ）cos x ﹣sin x ，g （x ）＝x 3﹣ax 2，a ∈R （Ⅰ）当a ＝1时，求函数y ＝f （x ）在区间（0，）上零点的个数；（Ⅱ）令F （x ）＝f （x ）+g （x ），试讨论函数y ＝F （x ）极值点的个数．6．（2019秋•五华区校级月考）已知函数，f '（x ）为f （x ）的导数．（1）证明：f （x ）在定义域上存在唯一的极大值点；（2）若存在x 1≠x 2，使f （x 1）＝f （x 2），证明：x 1x 2＜4．7．（2019秋•五华区校级月考）定义在[﹣π，+∞）的函数f （x ）＝e x ﹣cos x 的导函数为g （x ）．证明：（1）g （x ）在区间（﹣π，0）存在唯一极小值点；（2）f （x ）有且仅有2个零点．（1）当a ＝1时，证明：∀x ∈（﹣∞，0]，f （x ）≥1；1．（2020•开封一模）已知函数f （x ）＝a •e ﹣x +sin x ，a ∈R ，e 为自然对数的底数．二．解答题（共10小题）含有三角函数的导数题目8．（2019秋•遂宁月考）已知函数，（1）讨论f（x）在上的单调性．（2）当a＞0时，若f（x）在上的最大值为π﹣1，讨论：函数f（x）在（0，π）内的零点个数．9．（2019秋•肇庆月考）设函数f（x）＝sin x﹣ax+x3（a∈R）．（1）讨论f（x）的导函数f′（x）零点的个数；（2）若对任意的x≥0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．10．（2019秋•江岸区校级月考）已知函数，f'（x）是f（x）的导函数．（1）证明：当m＝2时，f'（x）在（0，+∞）上有唯一零点；（2）若存在x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2时，f（x1）＝f（x2），证明：．一．选择题二．解答题（共10小题）1．（2020•开封一模）已知函数f （x ）＝a •e ﹣x +sin x ，a ∈R ，e 为自然对数的底数．（1）当a ＝1时，证明：∀x ∈（﹣∞，0]，f （x ）≥1；（2）若函数f （x ）在（0，）上存在两个极值点，求实数a 的取值范围．【分析】（1）求出f ′（x ）＝﹣e ﹣x +cos x ，得出f ′（x ）≤0，则f （x ）在（﹣∞，0]上单调递减，结论可证．（2）函数f （x ）在（0，）上存在两个极值点；则f ′（x ）＝0在（0，）上有两个不等实数根，分离参数得a ＝e x cos x 在（0，）上有两个不等实数根；设g （x ）＝e x cos x ，讨论函数g （x ）的单调性即可解决；【解答】解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝e ﹣x +sin x ，f ′（x ）＝﹣e ﹣x +cos x ，当x ≤0时，﹣e ﹣x ≤﹣1，则f ′（x ）≤0（x ≤0）所以f （x ）在（﹣∞，0]上单调递减，f （x ）≥f （0）＝1；所以：∀x ∈（﹣∞，0]，f （x ）≥1；（2）函数f （x ）在（0，）上存在两个极值点；则f ′（x ）＝0在（0，）上有两个不等实数根；即f ′（x ）＝﹣ae ﹣x +cos x ＝0在（0，）上有两个不等实数根；即a ＝e x cos x 在（0，）上有两个不等实数根；设g （x ）＝e x cos x ，则g ′（x ）＝e x （cos x ﹣sin x ）；当时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增；当时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减；又g （0）＝1，，；故实数a的取值范围为：【点评】本题考查不等式证明，根据函数极值个数求参数的范围，函数零点问题，考查分离参数法，属于难题．2．（2019秋•汕头校级期末）已知函数f（x）＝x cos x﹣2sin x+1，g（x）＝x2e ax（a∈R）．（1）证明：f（x）的导函数f'（x）在区间（0，π）上存在唯一零点；（2）若对任意x1∈[0，2]，均存在x2∈[0，π]，使得g（x1）≤f（x2），求实数a的取值范围．注：复合函数y＝e ax的导函数y'＝ae ax．【分析】（1）设h（x）＝f′（x），然后对h（x）求导，结合导数与单调性的关系可判断h（x）的单调性，然后结合零点判定定理可证，（2）依题意，“对任意x1∈[0，2]，均存在x2∈[0，π]，使得得g（x1）≤f（x2），等价于“g（x）max≤f（x）max”，结合导数可分别求解最值，即可求解．【解答】解：（1）设h（x）＝f′（x）＝cos x﹣x sin x﹣2cos x＝﹣cos x﹣x sin x，∴h′（x）＝sin x﹣sin x﹣x cos x＝﹣x cos x当x时，h′（x）＜0；当x时，h′（x）＞0；所以h（x）在（0，）单调递减，在（）单调递增．又h（0）＝﹣1＜0lh（）＝﹣，h（π）＝1＞0，故f′（x）在区间（0，π）上存在唯一零点．（2）记f（x）在区间[0，π]上的最大值为f（x）max，g（x）在区间[0，2]上的最大值为g（x）max．依题意，“对任意x1∈[0，2]，均存在x2∈[0，π]，使得得g（x1）≤f（x2），等价于“g（x）max≤f（x）max”，由（Ⅰ）知，f′（x）在（0，π）只有一个零点，设为x0，且当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0；当x∈（x0，π）时，f′（x）＞0；，所以f（x）在（0，x0）单调递减，在当（x0，π）时单调递增．又f（0）＝1，f（π）＝1﹣π＜0，所以当x∈[0，π]时，f（x）max＝1．故应满足g（x）max≤1．因为g（x）＝x2e ax，所以g′（x）＝（ax2+2x）e ax＝x（ax+2）e ax．①当a＝0时，g（x）＝x2，对任意x∈[0，2]，g（x）max＝g（2）＝4，不满足g（x）max≤1．②当a≠0时，令g′（x）＝0，得x＝0或x＝﹣．（ⅰ）当﹣≥2，即﹣1≤a＜0时，在[0，2]上，g′（x）≥0，所以g（x）在[0，2]上单调递增，g（x）max＝g（2）＝4e2a．由4e2a≤1，得a≤﹣ln2，所以﹣1≤a≤﹣ln2．（ⅱ）当0＜﹣＜2，即a＜﹣1时，上，g′（x）＜0，g（x）单调递减．g（x）max＝．由≤1，得a≤﹣或a≥，所以a＜﹣1．（ⅲ）当﹣＜0，即a＞0时，显然在[0，2]上，g′（x）≥0，g（x）单调递增，于是g （x）max＝g（2）＝4e2a，此时不满足g（x）max≤1．综上，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣ln2]．【点评】本题主要考查了函数的导数与单调性关系，函数零点判定定理及恒成立与存在性问题与最值求解的相互转化，体现了分类讨论思想与转化思想的应用．3．（2020•开封一模）已知函数，a∈R，e为自然对数的底数．（1）当a＝1时，证明：∀x∈（﹣∞，0]，f（x）≥1；（2）若函数f（x）在上存在两个极值点，求实数a的取值范围．【分析】（1）把a＝1代入，直接用导数法证明即可；（2）对f（x）求导，，对a进行讨论，判断函数f（x）的极值，确定a的范围．【解答】解：（1）当a＝1时，，则，当x∈（﹣∞，0]时，0＜e x≤1，则，又因为cos x≤1，所以当x∈（﹣∞，0]时，，仅x＝0时，f'（x）＝0，所以f（x）在（﹣∞，0]上是单调递减，所以f（x）≥f（0）＝1，即f（x）≥1．（2），因为，所以cos x＞0，e x＞0，①当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，所以f（x）在上单调递增，没有极值点．②当a＞0时，在区间上单调递增，因为，f'（0）＝﹣a+1．当a≥1时，时，f'（x）≤f'（0）＝﹣a+1≤0，所以f（x）在上单调递减，没有极值点．当0＜a＜1时，f'（0）＝﹣a+1＞0，所以存在，使f'（x0）＝0，当时，f'（x）＜0，x∈（x0，0）时，f'（x）＞0，所以f（x）在x＝x0处取得极小值，x0为极小值点．综上可知，若函数f（x）在上存在极值点，则实数a∈（0，1）．【点评】本题考查了导数的综合应用及极值点引出的含参问题，综合性高，难度较大．4．（2020•遂宁模拟）已知函数（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若函数g（x）＝a（lnx﹣x）+f（x）﹣e x sin x﹣1有两个极值点x1，x2（x1≠x2）．且不等式g（x1）+g（x2）＜λ（x1+x2）恒成立，求实数λ的取值范围．【分析】（1）求出f′（x）＝e x sin x+e x cos x+x，求出切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程．（2）化简g（x）＝，求出导函数，通过g′（x）＝0有两个不同的正根，即x2﹣ax+a＝0有两个不同的正根，列出不等式组，不等式g（x1）+g（x2）＜λ（x1+x2）恒成立等价于恒成立，转化求解即可．【解答】解：（1）因为，所以f′（x）＝e x sin x+e x cos x+x，＝f′（0）＝1，又f（0）＝1，所以k切故所求的切线方程为y﹣1＝1×（x﹣0），即x﹣y+1＝0．（2）因为g（x）＝a（lnx﹣x）+f（x）﹣e x sin x﹣1＝所以，由题意g′（x）＝0有两个不同的正根，即x2﹣ax+a＝0有两个不同的正根，则，不等式g（x1）+g（x2）＜λ（x1+x2）恒成立等价于恒成立又＝＝＝＝所以，令（a＞4），则，所以在（4，+∞）上单调递减，所以y＜2ln2﹣3，所以λ≥2ln2﹣3．【点评】本题考查函数与方程的应用，函数的导数以及函数的最值的求法，切线方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，是难题．5．（2018秋•济宁期末）已知函数f（x）＝（x﹣a）cos x﹣sin x，g（x）＝x3﹣ax2，a∈R （Ⅰ）当a＝1时，求函数y＝f（x）在区间（0，）上零点的个数；（Ⅱ）令F（x）＝f（x）+g（x），试讨论函数y＝F（x）极值点的个数．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可判断单调性，结合零点判定定理可求．（2）先求导，再分类讨论即可求出函数的单调区间和极值【解答】解：（1）a＝1时，f（x）＝（x﹣1）cos x﹣sin x，∴f′（x）＝（﹣x+1）sin x，x∈（0，），sin x＞0，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当1＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＝1时，函数取得最小值f（1）＝﹣sin1＜0，而f（0）＝﹣cos1＜0．f（）＝﹣1＜0，故函数f（x）在区间（0，）上零点的个数为0，（2）函数F（x）＝（x﹣a）cos x﹣sin x x3﹣ax2，∴F′（x）＝（x﹣a）（x﹣sin x），令F′（x）＝0，解得x＝a，或x＝0，①若a＞0时，当x＜0时，F′（x）＞0恒成立，故F（x）在（﹣∞，0）上单调递增，当x＞a时，F′（x）＞0恒成立，故F（x）在（a，+∞）上单调递增，当0＜x＜a时，F′（x）＜0恒成立，故F（x）在（0，a）上单调递减，故有2个极值点，②若a＜0时，当x＞0时，F′（x）＞0恒成立，故F（x）在（﹣∞，0）上单调递增，当x＜a时，F′（x）＞0恒成立，故F（x）在（﹣∞，a）上单调递增，当a＜x＜0时，F′（x）＜0恒成立，故F（x）在（a，0）上单调递减，故有2个极值点，③当a＝0时，F′（x）＝x（x﹣sin x），当x＞0时，F′（x）＞0恒成立，故F（x）在（0，+∞）上单调递增，当x＜0时，F′（x）＞0恒成立，故F（x）在（﹣∞，0）上单调递增，∴F（x）在R上单调递增，无极值．【点评】本题考查了导数的几何意义和导数和函数的单调性和极值的关系，关键是分类讨论，考查了学生的运算能力和转化能力，属于难题6．（2019秋•五华区校级月考）已知函数，f'（x）为f（x）的导数．（1）证明：f（x）在定义域上存在唯一的极大值点；（2）若存在x1≠x2，使f（x1）＝f（x2），证明：x1x2＜4．【分析】（1）求出，判断函数的单调性，说明在定义域（0，+∞）存在唯一x0，使f'（x0）＝0且x0∈（1，2）；当0＜x＜x0时，f'（x）＞0；当x＞x0时，f'（x）＜0，推出结果．（2）存在x1≠x2，使f（x1）＝f（x2），即，得．设g（x）＝x﹣sin x，利用代换是判断函数的单调性推出，结合对数均值不等式，推出x1x2＜4．【解答】证明：（1），当x≥2时，，，，“＝”不能同时取到，所以f'（x）＜0；当0＜x＜2时，，所以f'（x）在（0，2）上递减，因为，，所以在定义域（0，+∞）存在唯一x0，使f'（x0）＝0且x0∈（1，2）；当0＜x＜x0时，f'（x）＞0；当x＞x0时，f'（x）＜0，所以x0是f（x）在定义域（0，+∞）上的唯一极值点且是极大值点．（2）存在x1≠x2，使f（x1）＝f（x2），即，得．设g（x）＝x﹣sin x，则g'（x）＝1﹣cos x≥0，g（x）在（0，+∞）上递增，不妨设x1＞x2＞0，则g（x1）＞g（x2），即x1﹣sin x1＞x2﹣sin x2，x1﹣x2＞sin x1﹣sin x2，所以，得，根据对数均值不等式，可得，x 1x2＜4．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．7．（2019秋•五华区校级月考）定义在[﹣π，+∞）的函数f（x）＝e x﹣cos x的导函数为g（x）．证明：（1）g（x）在区间（﹣π，0）存在唯一极小值点；（2）f（x）有且仅有2个零点．【分析】（1）结合导数与单调性的关系，先求解函数的单调性，然后求解函数极值，（2）结合导数与单调性关系及零点判定定理进行讨论即可求解．【解答】解：（1）∵g（x）＝e x+sin x，则g′（x）＝e x+cos x，容易得出，g′（x）＝e x+cos x在[﹣π，0）上单调递增，又g′（﹣π）＜0，g′（0）＞0，结合零点存在定理可知，存在唯一的x0∈（﹣π，0）使得g′（x）＝0，若x∈（﹣π，0），g′（x）＜0，g（x）单调递减，若x∈（x0，0），g′（x）＞0，g（x）单调递增，故g（x）存在唯一的极小值点，（2）由（1）可知g（x）在（﹣π，0）上存在唯一的极小值点x0，∴g（x0）＝e＜0，又g（0）＝1＞0，g（﹣π）＝e﹣π＞0，结合零点存在定理可知，存在唯一的x1∈（﹣π，x0），使得g（x1）＝0，存在唯一的x2∈（x0，0），使得g（x2）＝0，故当x∈（﹣π，x1）∪（x2，0）时，g（x）＞0，此时f（x）单调递增，当x∈（x1，x2）时，g（x）＞0，此时g（x）单调递减，则f（x1）＞f（﹣π）＞0，f（x2）＜f（0）＝0，由零点存在性定理可知，存在唯一m∈（x1，x2），使得f（m）＝0，故函数f（x）在[﹣π，0]上尤其仅有x＝m与x＝0两个零点，当x∈（0，+∞）时，e x＞1≥cos x，则f（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上没有零点，综上可得，f（x）有且仅有两个零点．【点评】本题主要考查了函数的极值及零点存在条件的应用，体现了分类讨论及转化思想的应用，属于中档试题．8．（2019秋•遂宁月考）已知函数，（1）讨论f（x）在上的单调性．（2）当a＞0时，若f（x）在上的最大值为π﹣1，讨论：函数f（x）在（0，π）内的零点个数．【分析】（1）对a分大于零和小于零两种情况讨论，利用导数即可求出函数f（x）在上的单调性；（2）由（1）知a＞0时f（x）的最大值为，从而求出a＝2，又因为f（x）在上单调递增，且f（0）＝﹣1＜0，，所以f（x）在内有且仅有1个零点．再讨论当x时，函数f（x）存在一个极值点x0，利用导数得到f（x）在上无零点，f（x）在（x0，π）内有且仅有1个零点，所以函数f（x）在（0，π）内有2个零点．【解答】解：（1）f'（x）＝a（sin x+x cos x），当a＜0，时，sin x＞0，cos x＞0，∴f'（x）＜0，f（x）单调递减，当时，sin x＞0，cos x＞0，∴f'（x）＞0，f（x）单调递增，综上得：当a＜0，f（x）在单调递减；a＞0时，f（x）在单调递增；（2）由（1）知a＞0时f（x）的最大值为由得a＝2，∴f（x）＝2x sin x﹣1，又∵f（x）在上单调递增；且f（0）＝﹣1＜0，，∴f（x）在内有且仅有1个零点．当时，令g（x）＝f'（x）＝2（sin x+x cos x），g'（x）＝2（2cos x﹣x sin x）＜0，∴g（x）在内单调递减，且，g（π）＝﹣2π＜0，∴存在，使得g（x0）＝0，∴①当时，f'（x）＞0，f（x）在单调递增，∴时，，∴f（x）在上无零点，②当x∈（x0，π）时，f'（x）＜0，f（x）在（x0，π）内单调递减，又∵f（x0）＞0，f（π）＝﹣1＜0，∴f（x）在（x0，π）内有且仅有1个零点，综上所求：函数f（x）在（0，π）内有2个零点．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和零点，是中档题．9．（2019秋•肇庆月考）设函数f（x）＝sin x﹣ax+x3（a∈R）．（1）讨论f（x）的导函数f′（x）零点的个数；（2）若对任意的x≥0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．【分析】（1）先对函数求导，结合为偶函数，问题可转化为先研究x≥0，结合导数与单调性的关系及函数的零点判定定理可求，（2）结合导数先判断函数的单调性，结合零点判定定理可求．【解答】解：（1），令，x∈R，g（x）为偶函数，先研究x≥0，则g'（x）＝x﹣sin x，g''（x）＝1﹣cos x≥0，∴g'（x）在[0，+∞）为递增函数，且g'（0）＝0，∴g'（x）≥0，即g（x）在[0，+∞）为单调递增函数，当g（0）＝1﹣a＞0，即a＜1，g（x）没有零点，当g（0）＝1﹣a＝0，即a＝1，g（x）有1个零点，当g（0）＝1﹣a》＜0，即a＞1，，∴当，g（x）＞0，∴当，g（x）在[0，+∞）有1个零点，∴g（x）为偶函数，在（﹣∞，0]也有有1个零点．综上：a＜1，f'（x）没有零点；a＝1，f'（x）有1个零点；a＞1，f'（x）有2个零点．（2）①当a≤1时，由（1）知f'（x）≥0，f（x）在[0，+∞）为单调递增函数，f（x）≥f（0）＝0，②当a＞1时，f'（2a）＝cos2a﹣a+2a2＝cos2a+a2+a（a﹣1）＞0，f'（0）＝1﹣a＜0，由零点存在性定理知∃x0∈（0，2a）使得f'（x0）＝0，且在（0，x0），f'（x）＜0，即f（x）单调递减，f（x）＜f（0）＝0与题设不符．综上可知，a≤1时，f（x）≥0，【点评】本题考查了导数的综合应用及零点判定定理的应用，属于中档题．10．（2019秋•江岸区校级月考）已知函数，f'（x）是f（x）的导函数．（1）证明：当m＝2时，f'（x）在（0，+∞）上有唯一零点；（2）若存在x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2时，f（x1）＝f（x2），证明：．【分析】（1）先求出f'（x），分析出当x∈（0，π）时，f'（x）为增函数，且，，得到f'（x）在（0，π）上有唯一零点，又因为当x∈[π，+∞）时，，所以f'（x）在[π，+∞）上没有零点，从而得出f'（x）在（0，+∞）上有唯一零点；（2）不妨设0＜x1＜x2，由f（x1）＝f（x2）得＝，即．设g（x）＝x﹣sin x，利用导数得到g（x）在（0，+∞）为增函数，从而，再证明：．从而得出，即．【解答】证明：（1）当m＝2时，，，当x∈（0，π）时，f'（x）为增函数，且，，∴f'（x）在（0，π）上有唯一零点，当x∈[π，+∞）时，，∴f'（x）在[π，+∞）上没有零点，综上知，f'（x）在（0，+∞）上有唯一零点；（2）不妨设0＜x1＜x2，由f（x1）＝f（x2）得＝，∴，设g（x）＝x﹣sin x，则g'（x）＝1﹣cos x≥0，故g（x）在（0，+∞）为增函数，∴x2﹣sin x2＞x1﹣sin x1，从而x2﹣x1＞sin x2﹣sin x1，∴＝，∴，下面证明：，令，则t＞1，即证明，只要证明，（*）设，则，∴h（t）在（1，+∞）单调递减，当t＞1时，h（t）＜h（1）＝0，从而（*）得证，即，∴，即．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的零点，利用导数研究函数的单调性，是中档题．。
最新导数练习题(含答案)
导数概念及其几何意义、导数的运算一、选择题：1 已知32()32f x ax x =++，若(1)4f '-=，则a 的值等于A193B103C163D1332 已知直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++切于点（1，3），则b 的值为 A3B-3C 5D -53 函数2y x a a =+2（）(x-)的导数为 A222()x a -B223()x a +C223()x a -D 222()x a +4 曲线313y x x =+在点4(1,)3处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 A19B 29C 13D 235 已知二次函数2y ax bx c =++的导数为(),(0)0f x f ''>，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则(1)(0)f f '的最小值为 A3B52C 2 D326 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为 A 2()(1)3(1)f x x x =-+- B()2(1)f x x =-C2()2(1)f x x =-D ()1f x x =-7 下列求导数运算正确的是 A 211()1x x x'+=+B21(log )ln 2x x '=C3(3)3log x x e '=⋅D 2(cos )2sin x x x x '=-8 曲线32153y x x =-+在1x =处的切线的倾斜角为 A6π B 34π C 4π D 3π9 曲线3231y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为 A34y x =-B32y x =-+C43y x =-+ D 45y x =-10 设函数sin cos y x x x =+的图像上的点(,)x y 处的切线斜率为k ，若()k g x =，则函数()k g x =的图像大致为11 一质点的运动方程为253s t =-，则在一段时间[1,1]t +∆内相应的平均速度为 A36t ∆+B36t -∆+C36t ∆- D 36t -∆-12 曲线()ln(21)f x x =-上的点到直线230x y -+=的最短距离是ABCD 013 过曲线32y x x =+-上的点0P 的切线平行于直线41y x =-，则切点0P 的坐标为 A (0,1)(1,0)-或B(1,4)(1,0)--或C(1,4)(0,2)---或D (2,8)(1,0)或14 点P 在曲线323y x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是 A[0,]2πB3[0,)[,)24πππ C 3[,)4ππ D 3(,]24ππ二、填空题15 设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等实根，且()22f x x '=+，则()y f x =的表达式是______________16 函数2sin x y x=的导数为_________________________________17 已知函数()y f x =的图像在点(1,(1))M f 处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+=_________ 18 已知直线y kx =与曲线ln y x =有公共点，则k 的最大值为___________________________ 三、解答题19 求下列函数的导数（1）1sin 1cos x y x-=+ (2) 52sin x x y x +=(3) y = (4) tan y x x =⋅ 20 已知曲线21:C y x =与22:(2)C y x =--，直线l 与12,C C 都相切，求直线l 的方程21 设函数()bf x ax x=-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --= （1）求()f x 的解析式（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值。
三角函数二阶偏导数练习题I1
☂1：y=sin 9x 求二阶导数。
☂2：求函数y=cos7xtan5x 的二阶导数。
☂3：求函数y=cos(3x+8)x的二阶导数。
☂4：求z=sin(x 5+5y)的二阶偏导数。
☂5：求z=sin 6(4x+23y)的二阶偏导数。
☂6：求函数z=sin 11x-x 2y 2+e 4的二阶偏导数。
三角函数二阶偏导数的练习题及参考答案：☂1：y=sin 9x 求二阶导数。
解：y=sin 9x ，求复合函数求导法则有：y'=9sin 8x*cosx;y"=9(8sin 7xcos 2x-sin 8xsinx),=9sin 7x(8cos 2x-sin 2x)。
☂2：求函数y=cos7xtan5x 的二阶导数。
解：y=cos7xtan5x ，求函数乘积求导法则有：y'=-7sin 7xtan 5x+5cos 7xsec 25x;y"=-7(7cos 7xtan 5x+5sin 7xsec 25x)+5(-7sin 7xsec 25x+10cos 7xsec 25xtan 5x),=-72cos 7xtan 5x-70sin 7xsec 25x+50cos 7xsec 25xtan 5x 。
☂3：求函数y=cos(3x+8)x的二阶导数。
解：y=cos(3x+8)x，求函数商求导法则有： y'=-3sin(3x+8)x-cos(3x+8)x 2; =-3sin(3x+8)x+cos(3x+8)x 2=-A B; y"=-A'B-AB'B 2,其中： A'=32cos(3x+8)x+3sin(3x+8)-3sin(3x+8)=32cos(3x+8)x,B'=2x,代入上述二阶导数，有：y"=-32cos(3x+8)x*x 2-2x[3sin(3x+8)x+cos(3x+8)]x 4, =-32cos(3x+8)x 2-2[3sin(3x+8)x+cos(3x+8)]x 3。
【高考数学】含有三角函数的导数大题
（2）若函数f （x ）在（0，）上存在两个极值点，求实数a 的取值范围．2．（2019秋•汕头校级期末）已知函数f （x ）＝x cos x ﹣2sin x +1，g （x ）＝x 2e ax （a ∈R ）．（1）证明：f （x ）的导函数f '（x ）在区间（0，π）上存在唯一零点；（2）若对任意x 1∈[0，2]，均存在x 2∈[0，π]，使得g （x 1）≤f （x 2），求实数a 的取值范围．注：复合函数y ＝e ax 的导函数y '＝ae ax ．3．（2020•开封一模）已知函数，a ∈R ，e 为自然对数的底数．（1）当a ＝1时，证明：∀x ∈（﹣∞，0]，f （x ）≥1；（2）若函数f （x）在上存在两个极值点，求实数a 的取值范围．4．（2020•遂宁模拟）已知函数（1）求曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（2）若函数g （x ）＝a （lnx ﹣x ）+f （x ）﹣e x sin x ﹣1有两个极值点x 1，x 2（x 1≠x 2）．且不等式g （x 1）+g （x 2）＜λ（x 1+x 2）恒成立，求实数λ的取值范围．5．（2018秋•济宁期末）已知函数f （x ）＝（x ﹣a ）cos x ﹣sin x ，g （x ）＝x 3﹣ax 2，a ∈R （Ⅰ）当a ＝1时，求函数y ＝f （x ）在区间（0，）上零点的个数；（Ⅱ）令F （x ）＝f （x ）+g （x ），试讨论函数y ＝F （x ）极值点的个数．6．（2019秋•五华区校级月考）已知函数，f '（x ）为f （x ）的导数．（1）证明：f （x ）在定义域上存在唯一的极大值点；（2）若存在x 1≠x 2，使f （x 1）＝f （x 2），证明：x 1x 2＜4．7．（2019秋•五华区校级月考）定义在[﹣π，+∞）的函数f （x ）＝e x ﹣cos x 的导函数为g （x ）．证明：（1）g （x ）在区间（﹣π，0）存在唯一极小值点；（2）f （x ）有且仅有2个零点．（1）当a ＝1时，证明：∀x ∈（﹣∞，0]，f （x ）≥1；1．（2020•开封一模）已知函数f （x ）＝a •e ﹣x +sin x ，a ∈R ，e 为自然对数的底数．二．解答题（共10小题）含有三角函数的导数题目8．（2019秋•遂宁月考）已知函数，（1）讨论f（x）在上的单调性．（2）当a＞0时，若f（x）在上的最大值为π﹣1，讨论：函数f（x）在（0，π）内的零点个数．9．（2019秋•肇庆月考）设函数f（x）＝sin x﹣ax+x3（a∈R）．（1）讨论f（x）的导函数f′（x）零点的个数；（2）若对任意的x≥0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．10．（2019秋•江岸区校级月考）已知函数，f'（x）是f（x）的导函数．（1）证明：当m＝2时，f'（x）在（0，+∞）上有唯一零点；（2）若存在x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2时，f（x1）＝f（x2），证明：．一．选择题二．解答题（共10小题）1．（2020•开封一模）已知函数f （x ）＝a •e ﹣x +sin x ，a ∈R ，e 为自然对数的底数．（1）当a ＝1时，证明：∀x ∈（﹣∞，0]，f （x ）≥1；（2）若函数f （x ）在（0，）上存在两个极值点，求实数a 的取值范围．【分析】（1）求出f ′（x ）＝﹣e ﹣x +cos x ，得出f ′（x ）≤0，则f （x ）在（﹣∞，0]上单调递减，结论可证．（2）函数f （x ）在（0，）上存在两个极值点；则f ′（x ）＝0在（0，）上有两个不等实数根，分离参数得a ＝e x cos x 在（0，）上有两个不等实数根；设g （x ）＝e x cos x ，讨论函数g （x ）的单调性即可解决；【解答】解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝e ﹣x +sin x ，f ′（x ）＝﹣e ﹣x +cos x ，当x ≤0时，﹣e ﹣x ≤﹣1，则f ′（x ）≤0（x ≤0）所以f （x ）在（﹣∞，0]上单调递减，f （x ）≥f （0）＝1；所以：∀x ∈（﹣∞，0]，f （x ）≥1；（2）函数f （x ）在（0，）上存在两个极值点；则f ′（x ）＝0在（0，）上有两个不等实数根；即f ′（x ）＝﹣ae ﹣x +cos x ＝0在（0，）上有两个不等实数根；即a ＝e x cos x 在（0，）上有两个不等实数根；设g （x ）＝e x cos x ，则g ′（x ）＝e x （cos x ﹣sin x ）；当时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增；当时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减；又g （0）＝1，，；故实数a的取值范围为：【点评】本题考查不等式证明，根据函数极值个数求参数的范围，函数零点问题，考查分离参数法，属于难题．2．（2019秋•汕头校级期末）已知函数f（x）＝x cos x﹣2sin x+1，g（x）＝x2e ax（a∈R）．（1）证明：f（x）的导函数f'（x）在区间（0，π）上存在唯一零点；（2）若对任意x1∈[0，2]，均存在x2∈[0，π]，使得g（x1）≤f（x2），求实数a的取值范围．注：复合函数y＝e ax的导函数y'＝ae ax．【分析】（1）设h（x）＝f′（x），然后对h（x）求导，结合导数与单调性的关系可判断h（x）的单调性，然后结合零点判定定理可证，（2）依题意，“对任意x1∈[0，2]，均存在x2∈[0，π]，使得得g（x1）≤f（x2），等价于“g（x）max≤f（x）max”，结合导数可分别求解最值，即可求解．【解答】解：（1）设h（x）＝f′（x）＝cos x﹣x sin x﹣2cos x＝﹣cos x﹣x sin x，∴h′（x）＝sin x﹣sin x﹣x cos x＝﹣x cos x当x时，h′（x）＜0；当x时，h′（x）＞0；所以h（x）在（0，）单调递减，在（）单调递增．又h（0）＝﹣1＜0lh（）＝﹣，h（π）＝1＞0，故f′（x）在区间（0，π）上存在唯一零点．（2）记f（x）在区间[0，π]上的最大值为f（x）max，g（x）在区间[0，2]上的最大值为g（x）max．依题意，“对任意x1∈[0，2]，均存在x2∈[0，π]，使得得g（x1）≤f（x2），等价于“g（x）max≤f（x）max”，由（Ⅰ）知，f′（x）在（0，π）只有一个零点，设为x0，且当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0；当x∈（x0，π）时，f′（x）＞0；，所以f（x）在（0，x0）单调递减，在当（x0，π）时单调递增．又f（0）＝1，f（π）＝1﹣π＜0，所以当x∈[0，π]时，f（x）max＝1．故应满足g（x）max≤1．因为g（x）＝x2e ax，所以g′（x）＝（ax2+2x）e ax＝x（ax+2）e ax．①当a＝0时，g（x）＝x2，对任意x∈[0，2]，g（x）max＝g（2）＝4，不满足g（x）max≤1．②当a≠0时，令g′（x）＝0，得x＝0或x＝﹣．（ⅰ）当﹣≥2，即﹣1≤a＜0时，在[0，2]上，g′（x）≥0，所以g（x）在[0，2]上单调递增，g（x）max＝g（2）＝4e2a．由4e2a≤1，得a≤﹣ln2，所以﹣1≤a≤﹣ln2．（ⅱ）当0＜﹣＜2，即a＜﹣1时，上，g′（x）＜0，g（x）单调递减．g（x）max＝．由≤1，得a≤﹣或a≥，所以a＜﹣1．（ⅲ）当﹣＜0，即a＞0时，显然在[0，2]上，g′（x）≥0，g（x）单调递增，于是g （x）max＝g（2）＝4e2a，此时不满足g（x）max≤1．综上，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣ln2]．【点评】本题主要考查了函数的导数与单调性关系，函数零点判定定理及恒成立与存在性问题与最值求解的相互转化，体现了分类讨论思想与转化思想的应用．3．（2020•开封一模）已知函数，a∈R，e为自然对数的底数．（1）当a＝1时，证明：∀x∈（﹣∞，0]，f（x）≥1；（2）若函数f（x）在上存在两个极值点，求实数a的取值范围．【分析】（1）把a＝1代入，直接用导数法证明即可；（2）对f（x）求导，，对a进行讨论，判断函数f（x）的极值，确定a的范围．【解答】解：（1）当a＝1时，，则，当x∈（﹣∞，0]时，0＜e x≤1，则，又因为cos x≤1，所以当x∈（﹣∞，0]时，，仅x＝0时，f'（x）＝0，所以f（x）在（﹣∞，0]上是单调递减，所以f（x）≥f（0）＝1，即f（x）≥1．（2），因为，所以cos x＞0，e x＞0，①当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，所以f（x）在上单调递增，没有极值点．②当a＞0时，在区间上单调递增，因为，f'（0）＝﹣a+1．当a≥1时，时，f'（x）≤f'（0）＝﹣a+1≤0，所以f（x）在上单调递减，没有极值点．当0＜a＜1时，f'（0）＝﹣a+1＞0，所以存在，使f'（x0）＝0，当时，f'（x）＜0，x∈（x0，0）时，f'（x）＞0，所以f（x）在x＝x0处取得极小值，x0为极小值点．综上可知，若函数f（x）在上存在极值点，则实数a∈（0，1）．【点评】本题考查了导数的综合应用及极值点引出的含参问题，综合性高，难度较大．4．（2020•遂宁模拟）已知函数（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若函数g（x）＝a（lnx﹣x）+f（x）﹣e x sin x﹣1有两个极值点x1，x2（x1≠x2）．且不等式g（x1）+g（x2）＜λ（x1+x2）恒成立，求实数λ的取值范围．【分析】（1）求出f′（x）＝e x sin x+e x cos x+x，求出切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程．（2）化简g（x）＝，求出导函数，通过g′（x）＝0有两个不同的正根，即x2﹣ax+a＝0有两个不同的正根，列出不等式组，不等式g（x1）+g（x2）＜λ（x1+x2）恒成立等价于恒成立，转化求解即可．【解答】解：（1）因为，所以f′（x）＝e x sin x+e x cos x+x，＝f′（0）＝1，又f（0）＝1，所以k切故所求的切线方程为y﹣1＝1×（x﹣0），即x﹣y+1＝0．（2）因为g（x）＝a（lnx﹣x）+f（x）﹣e x sin x﹣1＝所以，由题意g′（x）＝0有两个不同的正根，即x2﹣ax+a＝0有两个不同的正根，则，不等式g（x1）+g（x2）＜λ（x1+x2）恒成立等价于恒成立又＝＝＝＝所以，令（a＞4），则，所以在（4，+∞）上单调递减，所以y＜2ln2﹣3，所以λ≥2ln2﹣3．【点评】本题考查函数与方程的应用，函数的导数以及函数的最值的求法，切线方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，是难题．5．（2018秋•济宁期末）已知函数f（x）＝（x﹣a）cos x﹣sin x，g（x）＝x3﹣ax2，a∈R （Ⅰ）当a＝1时，求函数y＝f（x）在区间（0，）上零点的个数；（Ⅱ）令F（x）＝f（x）+g（x），试讨论函数y＝F（x）极值点的个数．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可判断单调性，结合零点判定定理可求．（2）先求导，再分类讨论即可求出函数的单调区间和极值【解答】解：（1）a＝1时，f（x）＝（x﹣1）cos x﹣sin x，∴f′（x）＝（﹣x+1）sin x，x∈（0，），sin x＞0，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当1＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＝1时，函数取得最小值f（1）＝﹣sin1＜0，而f（0）＝﹣cos1＜0．f（）＝﹣1＜0，故函数f（x）在区间（0，）上零点的个数为0，（2）函数F（x）＝（x﹣a）cos x﹣sin x x3﹣ax2，∴F′（x）＝（x﹣a）（x﹣sin x），令F′（x）＝0，解得x＝a，或x＝0，①若a＞0时，当x＜0时，F′（x）＞0恒成立，故F（x）在（﹣∞，0）上单调递增，当x＞a时，F′（x）＞0恒成立，故F（x）在（a，+∞）上单调递增，当0＜x＜a时，F′（x）＜0恒成立，故F（x）在（0，a）上单调递减，故有2个极值点，②若a＜0时，当x＞0时，F′（x）＞0恒成立，故F（x）在（﹣∞，0）上单调递增，当x＜a时，F′（x）＞0恒成立，故F（x）在（﹣∞，a）上单调递增，当a＜x＜0时，F′（x）＜0恒成立，故F（x）在（a，0）上单调递减，故有2个极值点，③当a＝0时，F′（x）＝x（x﹣sin x），当x＞0时，F′（x）＞0恒成立，故F（x）在（0，+∞）上单调递增，当x＜0时，F′（x）＞0恒成立，故F（x）在（﹣∞，0）上单调递增，∴F（x）在R上单调递增，无极值．【点评】本题考查了导数的几何意义和导数和函数的单调性和极值的关系，关键是分类讨论，考查了学生的运算能力和转化能力，属于难题6．（2019秋•五华区校级月考）已知函数，f'（x）为f（x）的导数．（1）证明：f（x）在定义域上存在唯一的极大值点；（2）若存在x1≠x2，使f（x1）＝f（x2），证明：x1x2＜4．【分析】（1）求出，判断函数的单调性，说明在定义域（0，+∞）存在唯一x0，使f'（x0）＝0且x0∈（1，2）；当0＜x＜x0时，f'（x）＞0；当x＞x0时，f'（x）＜0，推出结果．（2）存在x1≠x2，使f（x1）＝f（x2），即，得．设g（x）＝x﹣sin x，利用代换是判断函数的单调性推出，结合对数均值不等式，推出x1x2＜4．【解答】证明：（1），当x≥2时，，，，“＝”不能同时取到，所以f'（x）＜0；当0＜x＜2时，，所以f'（x）在（0，2）上递减，因为，，所以在定义域（0，+∞）存在唯一x0，使f'（x0）＝0且x0∈（1，2）；当0＜x＜x0时，f'（x）＞0；当x＞x0时，f'（x）＜0，所以x0是f（x）在定义域（0，+∞）上的唯一极值点且是极大值点．（2）存在x1≠x2，使f（x1）＝f（x2），即，得．设g（x）＝x﹣sin x，则g'（x）＝1﹣cos x≥0，g（x）在（0，+∞）上递增，不妨设x1＞x2＞0，则g（x1）＞g（x2），即x1﹣sin x1＞x2﹣sin x2，x1﹣x2＞sin x1﹣sin x2，所以，得，根据对数均值不等式，可得，x 1x2＜4．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．7．（2019秋•五华区校级月考）定义在[﹣π，+∞）的函数f（x）＝e x﹣cos x的导函数为g（x）．证明：（1）g（x）在区间（﹣π，0）存在唯一极小值点；（2）f（x）有且仅有2个零点．【分析】（1）结合导数与单调性的关系，先求解函数的单调性，然后求解函数极值，（2）结合导数与单调性关系及零点判定定理进行讨论即可求解．【解答】解：（1）∵g（x）＝e x+sin x，则g′（x）＝e x+cos x，容易得出，g′（x）＝e x+cos x在[﹣π，0）上单调递增，又g′（﹣π）＜0，g′（0）＞0，结合零点存在定理可知，存在唯一的x0∈（﹣π，0）使得g′（x）＝0，若x∈（﹣π，0），g′（x）＜0，g（x）单调递减，若x∈（x0，0），g′（x）＞0，g（x）单调递增，故g（x）存在唯一的极小值点，（2）由（1）可知g（x）在（﹣π，0）上存在唯一的极小值点x0，∴g（x0）＝e＜0，又g（0）＝1＞0，g（﹣π）＝e﹣π＞0，结合零点存在定理可知，存在唯一的x1∈（﹣π，x0），使得g（x1）＝0，存在唯一的x2∈（x0，0），使得g（x2）＝0，故当x∈（﹣π，x1）∪（x2，0）时，g（x）＞0，此时f（x）单调递增，当x∈（x1，x2）时，g（x）＞0，此时g（x）单调递减，则f（x1）＞f（﹣π）＞0，f（x2）＜f（0）＝0，由零点存在性定理可知，存在唯一m∈（x1，x2），使得f（m）＝0，故函数f（x）在[﹣π，0]上尤其仅有x＝m与x＝0两个零点，当x∈（0，+∞）时，e x＞1≥cos x，则f（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上没有零点，综上可得，f（x）有且仅有两个零点．【点评】本题主要考查了函数的极值及零点存在条件的应用，体现了分类讨论及转化思想的应用，属于中档试题．8．（2019秋•遂宁月考）已知函数，（1）讨论f（x）在上的单调性．（2）当a＞0时，若f（x）在上的最大值为π﹣1，讨论：函数f（x）在（0，π）内的零点个数．【分析】（1）对a分大于零和小于零两种情况讨论，利用导数即可求出函数f（x）在上的单调性；（2）由（1）知a＞0时f（x）的最大值为，从而求出a＝2，又因为f（x）在上单调递增，且f（0）＝﹣1＜0，，所以f（x）在内有且仅有1个零点．再讨论当x时，函数f（x）存在一个极值点x0，利用导数得到f（x）在上无零点，f（x）在（x0，π）内有且仅有1个零点，所以函数f（x）在（0，π）内有2个零点．【解答】解：（1）f'（x）＝a（sin x+x cos x），当a＜0，时，sin x＞0，cos x＞0，∴f'（x）＜0，f（x）单调递减，当时，sin x＞0，cos x＞0，∴f'（x）＞0，f（x）单调递增，综上得：当a＜0，f（x）在单调递减；a＞0时，f（x）在单调递增；（2）由（1）知a＞0时f（x）的最大值为由得a＝2，∴f（x）＝2x sin x﹣1，又∵f（x）在上单调递增；且f（0）＝﹣1＜0，，∴f（x）在内有且仅有1个零点．当时，令g（x）＝f'（x）＝2（sin x+x cos x），g'（x）＝2（2cos x﹣x sin x）＜0，∴g（x）在内单调递减，且，g（π）＝﹣2π＜0，∴存在，使得g（x0）＝0，∴①当时，f'（x）＞0，f（x）在单调递增，∴时，，∴f（x）在上无零点，②当x∈（x0，π）时，f'（x）＜0，f（x）在（x0，π）内单调递减，又∵f（x0）＞0，f（π）＝﹣1＜0，∴f（x）在（x0，π）内有且仅有1个零点，综上所求：函数f（x）在（0，π）内有2个零点．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和零点，是中档题．9．（2019秋•肇庆月考）设函数f（x）＝sin x﹣ax+x3（a∈R）．（1）讨论f（x）的导函数f′（x）零点的个数；（2）若对任意的x≥0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．【分析】（1）先对函数求导，结合为偶函数，问题可转化为先研究x≥0，结合导数与单调性的关系及函数的零点判定定理可求，（2）结合导数先判断函数的单调性，结合零点判定定理可求．【解答】解：（1），令，x∈R，g（x）为偶函数，先研究x≥0，则g'（x）＝x﹣sin x，g''（x）＝1﹣cos x≥0，∴g'（x）在[0，+∞）为递增函数，且g'（0）＝0，∴g'（x）≥0，即g（x）在[0，+∞）为单调递增函数，当g（0）＝1﹣a＞0，即a＜1，g（x）没有零点，当g（0）＝1﹣a＝0，即a＝1，g（x）有1个零点，当g（0）＝1﹣a》＜0，即a＞1，，∴当，g（x）＞0，∴当，g（x）在[0，+∞）有1个零点，∴g（x）为偶函数，在（﹣∞，0]也有有1个零点．综上：a＜1，f'（x）没有零点；a＝1，f'（x）有1个零点；a＞1，f'（x）有2个零点．（2）①当a≤1时，由（1）知f'（x）≥0，f（x）在[0，+∞）为单调递增函数，f（x）≥f（0）＝0，②当a＞1时，f'（2a）＝cos2a﹣a+2a2＝cos2a+a2+a（a﹣1）＞0，f'（0）＝1﹣a＜0，由零点存在性定理知∃x0∈（0，2a）使得f'（x0）＝0，且在（0，x0），f'（x）＜0，即f（x）单调递减，f（x）＜f（0）＝0与题设不符．综上可知，a≤1时，f（x）≥0，【点评】本题考查了导数的综合应用及零点判定定理的应用，属于中档题．10．（2019秋•江岸区校级月考）已知函数，f'（x）是f（x）的导函数．（1）证明：当m＝2时，f'（x）在（0，+∞）上有唯一零点；（2）若存在x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2时，f（x1）＝f（x2），证明：．【分析】（1）先求出f'（x），分析出当x∈（0，π）时，f'（x）为增函数，且，，得到f'（x）在（0，π）上有唯一零点，又因为当x∈[π，+∞）时，，所以f'（x）在[π，+∞）上没有零点，从而得出f'（x）在（0，+∞）上有唯一零点；（2）不妨设0＜x1＜x2，由f（x1）＝f（x2）得＝，即．设g（x）＝x﹣sin x，利用导数得到g（x）在（0，+∞）为增函数，从而，再证明：．从而得出，即．【解答】证明：（1）当m＝2时，，，当x∈（0，π）时，f'（x）为增函数，且，，∴f'（x）在（0，π）上有唯一零点，当x∈[π，+∞）时，，∴f'（x）在[π，+∞）上没有零点，综上知，f'（x）在（0，+∞）上有唯一零点；（2）不妨设0＜x1＜x2，由f（x1）＝f（x2）得＝，∴，设g（x）＝x﹣sin x，则g'（x）＝1﹣cos x≥0，故g（x）在（0，+∞）为增函数，∴x2﹣sin x2＞x1﹣sin x1，从而x2﹣x1＞sin x2﹣sin x1，∴＝，∴，下面证明：，令，则t＞1，即证明，只要证明，（*）设，则，∴h（t）在（1，+∞）单调递减，当t＞1时，h（t）＜h（1）＝0，从而（*）得证，即，∴，即．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的零点，利用导数研究函数的单调性，是中档题．。
三角函数10道大题(带答案)
三角函数10道大题(带答案)三角函数1.已知函数$f(x)=4\cos x\sin(x+\frac{\pi}{6})+\sin(2x-\frac{\pi}{4})+2\cos2x-1,x\in R$。
Ⅰ）求$f(x)$的最小正周期；Ⅱ）求$f(x)$在区间$[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}]$上的最大值和最小值。
2.已知函数$f(x)=\tan(2x+\frac{\pi}{4}),x\in R$。
Ⅰ）求$f(x)$的定义域与最小正周期；II）设$\alpha\in(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$，若$f(\alpha+\frac{\pi}{4})=2\cos2\alpha$，求$\alpha$的大小。
3.已知函数$f(x)=\frac{(sinx-cosx)\sin2x}{\sin x}$。
1）求$f(x)$的定义域及最小正周期；2）求$f(x)$的单调递减区间。
4.设函数$f(x)=\frac{2\pi\cos(2x+\frac{\pi}{4})+\sin2x}{24}$。
Ⅰ）求函数$f(x)$的最小正周期；II）设函数$g(x)$对任意$x\in R$，有$g(x+\pi)=g(x)$，且当$x\in[0,\frac{\pi}{2}]$时，$2\pi g(x)=1-f(x)$，求函数$g(x)$在$[-\pi,0]$上的解析式。
5.函数$f(x)=A\sin(\omega x-\frac{\pi}{6})+1(A>0,\omega>\frac{\pi}{6})$的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{\pi}{2}$。
1）求函数$f(x)$的解析式；2）设$\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})$，则$f(\alpha)=2$，求$\alpha$的值。
6.设$f(x)=4\cos(\omega x-\frac{\pi}{6})\sin\omegax+\cos2\omega x$，其中$\omega>0$。
完整版)导数求导练习题
完整版)导数求导练习题1.若 $f(x) = \sin\alpha - \cos x$，则 $f'(\alpha)$ 等于什么？答：$f'(\alpha) = \cos\alpha$。
2.函数 $f(x) = ax^3 + 3x^2 + 2$，若 $f'(-1) = 4$，则 $a$ 的值等于什么？答：$f'(x) = 3ax^2 + 6x$，代入 $x=-1$ 得 $-3a + (-6) = 4$，解得 $a = -\frac{10}{3}$。
3.函数 $y=x\sin x$ 的导数是什么？答：$y' = \sin x + x\cos x$。
4.函数 $y=x^2\cos x$ 的导数是什么？答：$y' = 2x\cos x - x^2\sin x$。
5.若 $y=(2x^2-3)(x^2-4)$，则 $y'$ 等于什么？答：$y' = 4x^3 - 16x$。
6.若 $y=3\cos x - 4\sin x$，则 $y'$ 等于什么？答：$y' = -3\sin x - 4\cos x$。
7.与直线 $2x-6y+1=0$ 垂直，且与曲线 $y=x^3+3x^2-1$ 相切的直线方程是什么？答：曲线在点 $(-1.-1)$ 处的斜率为 $9$，所以切线方程为$y+1 = 9(x+1)$。
8.质点运动方程是 $s=t^2(1+\sin t)$，则当 $t=2$ 时，瞬时速度为什么？答：$v(t) = 2t(1+\sin t) + t^2\cos t$，代入 $t=2$ 得 $v(2) = 8+4\sqrt{2}$。
9.求曲线 $y=x^3+x^2-1$ 在点 $P(-1,-1)$ 处的切线方程。
答：曲线在点 $(-1,-1)$ 处的斜率为 $3(-1)^2+2(-1) = -1$，所以切线方程为 $y+1 = -(x+1)$。
三角函数诱导公式练习题非常经典含有--答案
一、选择题1．如果|cos x |=cos （x +π），则x 的取值集合是（ ）A．－2π+2k π≤x ≤2π+2k π B ．－2π+2k π≤x ≤2π3+2k πC ． 2π+2k π≤x ≤2π3+2k πD ．（2k +1）π≤x ≤2（k +1）π（以上k ∈Z ）2．sin （－6π19）的值是（ ）A ． 21 B ．－21C ．23 D ．－233．下列三角函数：①sin （n π+3π4）；②cos（2n π+6π）；③sin （2n π+3π）；④cos ［（2n +1）π－6π］；⑤sin ［（2n +1）π－3π］（n ∈Z ）．其中函数值与sinπ的值3相同的是（）A．①②B．①③④C．②③⑤D．①③⑤4．若cos（π+α）=－10，5且α∈（－π，0），则tan（2π3+α）2的值为（）A．－6B．363C．－6D．2625．设A、B、C是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是（）A．cos（A+B）=cos C B．sin（A+B）=sin C C．tan （A+B）=tan C D．sin2B A =sin2C 6．函数f（x）=cos3πx（x ∈Z）的值域为（）A．{－1，－1，0，21，21} B ．{－1，－21，21，1}C ．{－1，－23，0，23，1} D ．{－1，－23，23，1}二、填空题7．若α是第三象限角，则)πcos()πsin(21αα---=_________．8．sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°=_________．三、解答题9．求值：sin （－660°）cos420°－tan330°cot （－690°）．10．证明：1)πtan(1)π9tan(sin 211cos )πsin(22++-+=--⋅+θθθθθ．11．已知cos α=31，cos（α+β）=1，求证：cos （2α+β）=31．12． 化简：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 290sin 21．13、求证：)π5sin()πcos()π6cos()π2sin()π2tan(θθθθθ+-----=tan θ．14． 求证：（1）sin （2π3－α）=－cos α；（2）cos （2π3+α）=sin α．参考答案1一、选择题1．C 2．A 3．C 4．B 5．B 6．B二、填空题7．－sin α－cos α 8．289三、解答题 9．43+1．10．证明：左边=θθθθ22sin cos cos sin 2-1--=－θθθθθθθθθθcos sin cos sin )sin )(cos sin (cos )cos (sin 2-+=-++， 右边=θθθθθθθθcos sin cos sin tan tan tan tan -+=1-1+=1+-1--，左边=右边，∴原等式成立． 11．证明：∵cos （α+β）=1，∴α+β=2k π．∴cos （2α+β）=cos （α+α+β）=cos （α+2k π）=cos α=31．12．解：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 290sin 21=)360270cos()70180sin()36070cos()36070sin(21︒⨯+︒+︒+︒︒+︒︒+︒-+=︒-︒︒︒-70sin 70cos 70cos 70sin 21 =︒-︒︒-︒70sin 70cos )70cos 70(sin 2=︒-︒︒-︒70sin 70cos 70cos 70sin =－1．13．证明：左边=θθθθθθθθθθsin cos cos )sin )(tan ()sin )(cos ()cos()sin()tan(--=-----=tan θ=右边，∴原等式成立．14证明：（1）sin（π3－α）2=sin［π+（π－α）］=－sin（2π－2α）=－cosα．（2）cos（π3+α）=cos［π+2（π+α）］=－cos（2π+α）=sinα．2三角函数的诱导公式2一、选择题：1．已知sin(π+α)=23，则4sin(3π-α)值为（）4A.1 B. —21 C.223 D. —232．cos(π+α)= —21，23π<α<π2,sin(π2-α) 值为（ ）A. 23 B. 21 C.23±D. —233．化简：)2cos()2sin(21-∙-+ππ得（ ）A.sin2+cos2B.cos2-sin2C.sin2-cos2D.± (cos2-sin2)4．已知α和β的终边关于x 轴对称，则下列各式中正确的是（ ）A.sin α=sin βB.sin(α-π2) =sin βC.cos α=cos βD. cos(π2-α) =-cos β5．设tan θ=-2, 2π-<θ<0，那么sin 2θ+cos(θ-π2)的值等于（ ），A. 51（4+5） B. 51（4-5）C. 51（4±5） D. 51（5-4）二、填空题：6．cos(π-x)= 23，x ∈（-π，π），则x 的值为 ．7．tan α=m ，则=+-+++)c o s(-s i n ()c o s(3s i n (απα）απ）απ ．8．|sin α|=sin （-π+α），则α的取值范围是 ．三、解答题： 9．)cos(·3sin()cos()n(s 2sin(απα）παπα）π----+-απi ．10．已知：sin （x+6π）=41，求sin （)67x +π+cos 2（65π-x ）的值．11． 求下列三角函数值：（1）sin 3π7；（2）cos 4π17；（3）tan （－6π23）；12． 求下列三角函数值：（1）sin3π4·cos6π25·tan4π5；（2）sin［（2n+1）π－3π2］.13．设f（θ）=)cos()π(2cos23)2πsin()π2(sin cos2223θθθθθ-+++-++-+，求f（3π）的值.参考答案21．C 2．A 3．C 4．C 5．A6．±65π7．11-+m m8．[(2k-1) π,2kπ]9．原式=)cos(·sin()cos()ns(sinαα）παπα--+--αi=)cos?(sin)cos(sin2αααα--=sin α 10．161111．解：（1）sin 3π7=sin（2π+3π）=sin 3π=23.（2）cos 4π17=cos （4π+4π）=cos 4π=22.（3）tan （－6π23）=cos （－4π+6π）=cos 6π=23.（4）sin （－765°）=sin ［360°×（－2）－45°］=sin（－45°）=－sin45°=－2.2注：利用公式（1）、公式（2）可以将任意角的三角函数转化为终边在第一象限和第二象限的角的三角函数，从而求值.12．解：（1）sinπ4·cos6π25·tan4π5=sin3（π+π）·cos（4π+6π）·tan（π+4π）3=（－sinπ）·cos6π·tan4π=（－323）·23·1=－43.（2）sin ［（2n +1）π－3π2］=sin （π－3π2）=sin 3π=23.13．解：f （θ）=θθθθθcos cos 223cos sin cos 2223++-++=θθθθθcos cos 223cos cos 1cos 2223++-+-+=θθθθθcos cos 22)cos (cos 2cos 2223++--- =θθθθθcos cos 22)1(cos cos )1(cos 223++---=θθθθθθθcos cos 22)1(cos cos )1cos )(cos 1(cos 222++--++-=θθθθθcos cos 22)2cos cos 2)(1(cos 22++++-＝cosθ－1，∴f（3π）=cos3π－1=21－1=－1.2三角函数公式1．同角三角函数基本关系式sin2α＋cos2α=1sinα=tanαcosαtanαcotα=12．诱导公式(奇变偶不变，符号看象限)（一）sin(π－α)＝sinαsin(π+α)＝-sinαcos(π－α)＝-cosαcos(π+α)＝-cosαtan(π－α)＝-tanαtan(π+α)＝tanαsin(2π－α)＝-sinαsin(2π+α)＝sinαcos(2π－α)＝cosαcos(2π+α)＝cosαtan(2π－α)＝-tanαtan(2π+α)＝tanα（二）sin(π2－α)＝cosαsin(π2+α)＝cosαcos(π2－α)＝sin αcos(π2+α)＝- sin αtan(π2－α)＝cot αtan(π2+α)＝-cot αsin(3π2－α)＝-cos αsin(3π2+α)＝-cos αcos(3π2－α)＝-sin αcos(3π2+α)＝sin αtan(3π2－α)＝cot αtan(3π2+α)＝-cot αsin(－α)＝－sinαcos(－α)=cosαtan(－α)=－tanα3．两角和与差的三角函数cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβcos(α－β)=cosαcosβ＋sinαsinβsin (α+β)=sinαcosβ＋cosαsinβsin (α－β)=sinαcosβ－cosαsinβtan(α+β)=tanα+tanβ1－tanαtanβtan(α－β)= tanα－tanβ1＋tanαtanβ4．二倍角公式sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α－sin2α＝2 cos2α－1＝1－2 sin2αtan2α=2tanα1－tan2α5．公式的变形（1）升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α1—cos2α＝2sin2α（2）降幂公式：cos2α＝1＋cos2αsin2α＝21－cos2α2（3）正切公式变形：tanα+tanβ＝tan(α+β)（1－tan αtanβ）tanα－tanβ＝tan(α－β)（1＋tanαtanβ)（4）万能公式（用tanα表示其他三角函数值）sin2α＝2tanα1+tan2αcos2α＝1－tan2α1+tan2αtan2α＝2tanα1－tan2α6．插入辅助角公式asinx＋bcosx=a2+b2sin(x+φ) (tanφ= b a )特殊地：sinx±cosx＝ 2sin(x±π4 )7．熟悉形式的变形（如何变形）1±sinx±cosx 1±sinx 1±cosxtanx＋cotx若A、B是锐角，A+B＝π4，则（1＋tanA）(1+tanB)=2 8．在三角形中的结论若：A＋B＋C=π,A+B+C2=π2则有tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanCtan A2tanB2＋tanB2tan C2＋tanC2tanA2＝1。
导数求导练习题(可编辑修改word版)
x x x 2 x x xx xx 1. 若 f （x ）=sin α－cos x ，则 f ′（α）等于A ．sin αB ．cos αC ．sin α+cos αD ．2sin α 2．f （x ）=ax 3+3x 2+2，若 f ′（－1）=4，则 a 的值等于A ． 19 3 C ． 13 3 3. 函数 y = sin x 的导数为B ．16 3 D ．10 3A ．y ′=2 sin x + cos xB ．y ′= sin x+ cos xC ．y ′= sin x+ cos xD ．y ′= sin x－ cos x4. 函数 y =x 2cos x 的导数为A. y ′=2x cos x －x 2sin xB ．y ′=2x cos x +x 2sin xC ．y ′=x 2cos x －2x sin xD ．y ′=x cos x －x 2sin x5.若 y =(2x 2-3)(x 2-4),则 y ’= .6. 若 y =3cosx -4sinx ,则 y ’= .7. 与直线 2x －6y +1=0 垂直，且与曲线 y =x 3+3x 2－1 相切的直线方程是 ．8. 质点运动方程是 s =t 2（1+sin t ），则当 t =时，瞬时速度为．29.求曲线 y=x3+x2-1 在点 P （-1，-1）处的切线方程.3 x 7+ x 3 + 5 x 43 x1 - x 1 + x x2 + a 21. 函数 y = （a >0）的导数为 0，那么 x 等于x A ．a B ．±a C ．－aD ．a 22. 函数 y = sin x的导数为xA ．y ′=x cos x + sin xx 2C ．y ′=x sin x - cos xx 2B ．y ′=x cos x - sin xx 2D ．y ′=x sin x + cos xx 2 3. 若 y = 1+ x2 - x 2, 则 y’=.4. 若 y = -3x 4 + 3x 2 - 5x 3, 则 y’=. 5. 若 y = 1+ cos x, 则 y’=.1- cos x6．已知 f （x ）= ，则 f ′（x ）=．7．已知 f （x ）= 1 + 1，则 f ′（x ）=．8. 已知 f （x ）=sin 2x1 + cos 2x，则 f ′（x ）=．9. 求过点（2，0）且与曲线 y = 1相切的直线的方程．x10. 质点的运动方程是s = t 2 + 3 , 求质点在时刻 t=4 时的速度.t同步练习1 + cos x2 1. 函数 y =A ． 1(3x - 1)26的导数是 B.6C. －6D. －62. 已知 (3x - 1)31y = sin2x +sin x 2(3x - 1)2，那么 y ′是(3x - 1)3 (3x - 1)2A ．仅有最小值的奇函数B ．既有最大值，又有最小值的偶函数C ．仅有最大值的偶函数D ．非奇非偶函数3. 函数 y =sin 3（3x +）的导数为 4A ．3sin 2（3x +）cos （3x +）B ．9sin 2（3x +）cos （3x +） 4 444C ．9sin 2（3x +）D ．－9sin 2（3x +）cos （3x +） 4444. 若 y=（sinx-cosx )3 ，则 y’=.5. 若 y= ，则 y’= .6. 若 y=sin 3(4x+3)，则 y’= .7. 函数 y =（1+sin3x ）3 是由两个函数复合而成．8. 曲线 y =sin3x 在点 P （，0）处切线的斜率为 ．39. 求曲线 y = 1 在(x 2- 3x )2 1 M (2, ) 4处的切线方程.10. 求曲线 y = sin 2x 在 M (, 0) 处的切线方程.x 1. 函数 y =cos （sin x ）的导数为A ．－［sin （sin x ）］cos xB ．－sin （sin x ）C ．［sin （sin x ）］cos xD ．sin （cos x ）2．函数 y =cos2x +sin 的导数为A. －2sin2x +cos x2xB. 2sin2x +cos x2 xC. －2sin2x +sin x2 xD. 2sin2x －cos x2 x3. 过曲线 y =1 x + 1 上点 P （1， 1 ）且与过 P 点的切线夹角最大的直线的方程为2A ．2y －8x +7=0B ．2y +8x +7=0C ．2y +8x －9=0D ．2y －8x +9=04. 函数 y =x sin （2x －）cos （2x +）的导数是．2 2 5. 函数 y = cos(2x -的导数为 ．) 3 1 6. 函数 y =cos 3 x 的导数是 ．同步练习同步练习ln x ln x2 ln x 1 x lnx1 + x2 1. 函数 y =ln （3－2x －x 2）的导数为A.2x + 3 C ． 2x + 2 x 2+ 2x - 3B ． 13 - 2x - x 2 D ． 2x - 2 x 2+ 2x - 3 2. 函数 y =lncos2x 的导数为A. －tan2x B ．－2tan2xC ．2tan xD ．2tan2x3. 函数 y = 的导数为A. 2x B ． xC ．D ．4. 在曲线 y =x + 9的切线中，经过原点的切线为 ．x + 55. 函数 y =log 3cos x 的导数为 ．6. 函数 y =x 2lnx 的导数为 .7. 函数 y =ln （lnx ）的导数为 .8. 函数 y =lg (1+cosx )的导数为 .1+ 3x 2 9. 求函数 y =ln 2 - x2 的导数．10. 求函数 y =12．求函数 y =ln （ －x ）的导数．12x ln x1．下列求导数运算正确的是A ．（x + 1 ）′=1+ 1 x x 2B ．（log 2x ）′= 1 x l n 2C ．（3x ）′=3x log 3eD ．（x 2cos x ）′=－2x sin x2．函数 y = ax 2 -2 x（a >0 且 a ≠1），那么 y ′为A ． a x2-2 xln aB ．2（ln a ） a x2-2 xC ．2（x －1） a x2-2 x·ln aD ．（x －1） a x2-2 xln a3．函数 y =sin32x 的导数为 A ．2（cos32x ）·32x ·ln3 B ．（ln3）·32x ·cos32xC ．cos32xD ．32x ·cos32x (2e x + 1)24. 设 y = e x，则 y ′=．5. 函数 y = 22x的导数为 y ′=．6. 曲线 y =e x －e ln x 在点（e ，1）处的切线方程为．7. 求函数 y=e 2x lnx 的导数.8. 求函数 y =x x （x >0）的导数．。
导数和三角函数练习题(有答案)
复习题1．已知集合{230}A x x =∈-≥R ，集合2{320}B x x x =∈-+<R ，则A B =( )（A ）32x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ （B ）322x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ （C ）{}12x x << （D ）322x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭2．已知2log 3a =，12log 3b =，123c -=，则A.c b a >> B ．c a b >> C.a b c >> D.a c b >> 3．[2014·太原模拟]函数y ＝(12)x 2＋2x －1的值域是( ) A.(－∞，4) B.(0，＋∞) C.(0,4] D.[4，＋∞)4．已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =．则（ ）（A ）>>a b c （B ）>>a c b （C ）>>c a b （D ）>>c b a5．函数y=x 2﹣2x ﹣1在闭区间[0，3]上的最大值与最小值的和是（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．26．[2014·郑州质检]要得到函数y ＝cos2x 的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象沿x 轴( )A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移8π个单位 D.向左平移8π个单位7．（5分）（2011•湖北）已知函数f （x ）=sinx ﹣cosx ，x ∈R ，若f （x ）≥1，则x的取值范围为（ ） A.{x|k π+≤x≤k π+π，k ∈Z} B.{x|2k π+≤x≤2k π+π，k ∈Z} C.{x|k π+≤x≤k π+，k ∈Z} D.{x|2k π+≤x≤2k π+，k ∈Z}8．函数()si ()n f x A x ωϕ＝＋（000A ωϕπ>><<，，)的图象如图所示，则(0)f 的值为 （ ）A ．1B ．0C D9．已知函数)sin()(ϕω+=x A x f ),0,0(πϕπω<<->>A 的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式为( )A ．)421sin(2)(π+=x x fB ．)4321sin(2)(π+=x x fC ．)421sin(2)(π-=x x fD ．)4321sin(2)(π-=x x f10．已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f ，其导函数)(x f '的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式为( )A ．)421sin(2)(π+=x x fB ．)421sin(4)(π+=x x fC ．)421sin(2)(π-=x x fD ．)421sin(4)(π-=x x f11．函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象如图所示．为了得到g(x)＝－Acosωx(A ＞0，ω＞0)的图象，可以将f(x)的图象( )A ．向右平移12π个单位长度B ．向右平移512π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度 D ．向左平移512π个单位长度12．若1tan()47πα+=，则tan α=（ ）（A ）34 （B ）43 （C ）34- （D ）43-13．已知函数x x f ωcos )(=)0,(>∈ωR x 的最小正周期为π，为了得到函数()=x g)4sin(πω+x 的图象，只要将()x f y =的图象（ ）A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度14．函数y ＝cos 2x 在下列哪个区间上是减函数( ) A.-4,4ππ⎤⎡⎥⎢⎣⎦， B.344ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D.[,]2ππ15．为了得到sin 2y x =的图象，只需将sin(2)3y x π=+的图象 （ ）A ．向右平移3π个长度单位B ．向右平移6π个长度单位C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移3π个长度单位16．已知1sin(),(0,)22ππαα+=-∈，则cos α的值为 .17．设角α是第三象限角，且sin2α＝－sin2α，则角2α是第________象限角． 18．若 tan α＝3，则 sin 2α－2 sin αcos α＋3 cos 2α＝______. 19．若sin 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝35，则cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝________.20．已知0<x<π，sinx ＋cosx ＝15. (1)求sinx －cosx 的值；(2)求tanx 的值．21．已知函数().1cos 2cos sin 322-+=x x x x f(I)求函数()x f 的单调增区间; (II)当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时,求函数()x f 的最大值及相应的x 值.参考答案1．B 【解析】试题分析：3{230}[,).2A x x =∈-≥=+∞R 2{320}(1,2).B x x x =∈-+<=R 所以A B =322x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭．考点：集合运算 2．D 【解析】试题分析：由对数函数的性质知1a >，0b <，由幂函数的性质知01c <<，故有a c b >>. 考点：对数、幂的比较大小 3．C【解析】设t ＝x 2＋2x －1，则y ＝(12)t. 因为t ＝(x ＋1)2－2≥－2，y ＝(12)t为关于t 的减函数， 所以0＜y ＝(12)t ≤(12)－2＝4， 故所求函数的值域为(0,4]．4．（B ） 【解析】 试题分析：由0.60.6log 0.5>log 0.6=1,1a >.ln 0.5ln10,0b <=<.0.5000.60.61,01c <<=∴<<.可得a c b >>.故选（B ）考点：1.对数函数的性质.2.指数函数的性质.3.数的大小比较. 5．B【解析】∵y=x 2﹣2x ﹣1=（x ﹣1）2﹣2 ∴当x=1时，函数取最小值﹣2， 当x=3时，函数取最大值2 ∴最大值与最小值的和为0 故选B 6．B【解析】∵y ＝cos2x ＝sin(2x ＋2π)，∴只需将函数y ＝sin2x 的图象沿x 轴向4π个单位，即得y ＝sin2(x ＋4π)＝cos2x 的图象，故选B. 7．B 【解析】试题分析：利用两角差的正弦函数化简函数f （x ）=sinx ﹣cosx ，为一个角的一个三角函数的形式，根据f （x ）≥1，求出x 的范围即可．解：函数f （x ）=sinx ﹣cosx=2sin （x ﹣），因为f （x ）≥1，所以2sin （x ﹣）≥1，所以，所以f （x ）≥1，则x 的取值范围为：{x|2k π+≤x≤2k π+π，k ∈Z}故选B点评：本题是基础题考查三角函数的化简，三角函数不等式的解法，考查计算能力，常考题型． 8．A 【解析】试题分析：由已知，4112,(),2,3126A T πππω==⨯-==，所以()2sin 2()f x x ϕ＝＋， 将(),26π代人得，()2,s 2si in(6)1n 23ππϕϕ==⨯＋＋，所以，,326πππϕϕ==＋， ()2sin 2(0)2sin 2(),(01662s n 6)i f x x f πππ⨯==＝＋＝＋，故选A ．考点：正弦型函数，三角函数求值．9．B 【解析】试题分析：由图象可知函数的最大值为2，最小值为-2，所以2A =; 由图象可知函数的周期324,22T πππ⎛⎫⎛⎫=⨯--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以221=42T ππωπ== 所以，13-+==2224πππϕϕ⎛⎫⨯∴ ⎪⎝⎭， 所以函数的解析式为：)4321sin(2)(π+=x x f 故答案选B.考点：三角函数的图象与性质. 10．B 【解析】试题分析：因为()()sin f x A x ωϕ=+,所以 ()()cos f x A x ωωϕ'=+由()f x ' 图象知32,4222T T ππππ⎛⎫=--=∴= ⎪⎝⎭,22142T ππωπ=== 2A ω=，4A ∴=10224ππϕϕ⎛⎫⨯-+=⇒= ⎪⎝⎭ ()14sin 24f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭故选B.考点：1、导数的求法；2、三角函数的图象与性质. 11．B【解析】由图象知，f(x)＝sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭，g(x)＝－cos 2x ，代入B 选项得sin 52123x ππ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝sin 22x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－sin 22x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－cos 2x ． 12．（C ） 【解析】试题分析：由1tan()47πα+=所以tan 113,tan 1tan 74ααα+=∴=--.故选（C ）. 考点：1.角的和差公式.2.解方程的思想.13．B 【解析】试题分析：由于函数x x f ωcos )(=)0,(>∈ωR x 的最小正周期为π，所以2ω=.所以函数()cos 2f x x = sin(2)2x π=+.所以将函数()x f y =向右平移8π即可得到()sin(2)4g x x π=+.故选B.考点：1.函数的平移.2.函数的诱导公式. 14．C 【解析】试题分析：A ：当[,]44x ππ∈-时，2[,]22x ππ∈-，不是减函数；B ：当3[,]44x ππ∈时，32[,]22x ππ∈，不是减函数；C ：当[0,]2x π∈时，2[0,]x π∈，是减函数；D ：当[,]2x ππ∈时，2[,2]x ππ∈，不是减函数，故选C.考点：三角函数单调性判断.15．B 【解析】试题分析：sin(2)3y x π=+sin 2()6x π=+，所以向右平移6π个长度单位即可. 考点：三角函数的平移变换. 16．23 【解析】试题分析：1s i n ()s i n 2παα+=-=-,即1sin 2α=，又(0,)2πα∈，故c o s i α==.考点：诱导公式，同角三角函数的基本关系式. 17．四【解析】由α是第三象限角，知2k π＋π<α<2k π＋32π (k ∈Z)，k π＋2π<2α<k π＋34π(k ∈Z)，知2α是第二或第四象限角，再由sin 2α＝－sin 2α知sin 2α<0，所以2α只能是第四象限角． 18．35【解析】sin 2α－2 sin αcos α＋3 cos 2α＝2222sin 2sin cos 3cos sin cos αααααα-++ ＝22tan 2tan 3tan 1ααα-++＝12610-＝35. 19．－35【解析】cos 6πα⎛⎫+⎪⎝⎭＝cos 32ππα⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝－sin 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－35. 20．（1）75（2）-43【解析】(1)∵sinx ＋cosx ＝15，∴1＋2sinxcosx ＝125， ∴2sinxcosx ＝－2425，又∵0<x<π，∴sinx>0，2sinxcosx ＝－2425<0，∴cosx<0，∴sinx －cosx>0，∴sinx －cosx 75＝.(2)111717sinx cosx tanx sinx cosx tanx ＋＋＝，＝－－，tanx ＝－43.21．(I) ()x f 的单调递增区间为()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6.3ππππ(II)6π=x 时. ()x f 取最大值,最大值为2.【解析】试题分析：(I)()1cos 2cos sin 322-+=x x x x f x x 2cos 2sin 3+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin 2πx令()Z k k x k ∈+≤+≤-226222πππππ得()Z k k x k ∈+≤≤-63ππππ∴()x f 的单调递增区间为()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6.3ππππ (II)由⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 可得67626πππ≤+≤x 所以当,262ππ=+x 即6π=x 时. ()x f 取最大值,最大值为2.考点：本题主要考查三角函数的和差倍半公式，三角函数的图象和性质。
三角函数诱导公式经典例题
三角函数诱导公式练习题及答案1．2cos(−θ)+sin(π−θ)cos(π2−θ)+sin(3π2−θ)=4，求tanθ的值 2．已知f(α)=sin(α−3π)⋅cos(2π−α)⋅sin(−α+32π)cos(−π−α)⋅sin(−π−α)（1）化简f(α)；（2）若α为第四象限角且sinα=−35，求f(α)的值；（3）若α=−313π，求f(α)。
3．已知sin(α+2022π)−6sin(α−3π2)2cos(α−π)−sinα=−tan 3π4． （1）求tanα的值；（2）求sinα−cosα的值。
4．已知sinα=−35，且α为第三象限角.（1）求cosα和tanα的值；（2）已知f(α)=2sin(π+α)+cos(2π+α)cos(α−π2)+sin(π2+α)，求f(α)的值。
5．已知关于x 的方程25x 2−ax +12=0的两根为sinθ和cosθ，其中θ∈(π4，3π4)，（1）求a 的值；（2）求2sin(θ+π2)−cos(θ−π2)+sin(θ−π)cos(π+θ)4cos(θ+π2)−1的值。
6．已知f(α)=cos(π−α)sin(−α−π)sin(α−π2)cos(3π2+α)tan(π−α). （1）化简f(α)；（2）若角α为第二象限角，且sinα=13，求f(α)的值。
7．已知tanα=2，求cos(π2+α)sin(−α)+cos(2π−α)的值。
8．已知α∈(0，π2)，cosα=35，求sin(π2−α)+cos(3π2−α)sin(3π+α)+cos(π−α)的值。
9．（1）化简sin(π−α)sin(π2−α)cos(π+α)cos(π2+α)．（2）已知：tanα=2，求sinα+2cosα5cosα−sinα的值．10．化简f(α)=sin(π−α)cos(3π2−α)tan(−π−α)cos(−π2−α)tan(2π+α)11．已知cosα=−√55，α是第三象限角，求： （1）tanα的值；（2）sin(3π2−α)cos(π+α)tan(−α−π)cos(2π−α)sin(π−α)tan(−α)的值. 12．已知tanα=12，求13cos(−α)−2cos(π2−α)sin(π2+α)+3sin(π+α)的值． 13．已知cosα=−45，且tanα>0．（1）求tanα的值；（2）求2sin(π−α)+sin(π2+α)cos(2π−α)+cos(−α)的值． 14．已知3cosα−2sinαsinα+2cosα=−14，cos(π+α)cos(π2+α)sin(3π2−α)cos(3π2−α)sin(3π−α)sin(5π2+α)的值。
三角函数诱导公式练习题附答案
三角函数诱导公式练习题一、选择题（共21小题）1、已知函数f（x）=sin，g（x）=tan（π﹣x），则（）A、f（x）与g（x）都是奇函数B、f（x）与g（x）都是偶函数C、f（x）是奇函数，g（x）是偶函数D、f（x）是偶函数，g（x）是奇函数2、点P（cos2009°，sin2009°）落在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限3、已知，则=（）A、 B、C、 D、4、若tan160°=a，则sin2000°等于（）A、B、C、D、﹣5、已知cos（+α）=﹣，则sin（﹣α）=（）A、﹣B、C、﹣D、6、函数的最小值等于（）A、﹣3B、﹣2C、D、﹣17、本式的值是（）A、1B、﹣1C、D、8、已知且α是第三象限的角，则cos（2π﹣α）的值是（）A、B、C、D、9、已知f（cosx）=cos2x，则f（sin30°）的值等于（）A、 B、﹣C、0 D、110、已知sin（a+）=，则cos（2a﹣）的值是（）A、B、 C、﹣D、﹣11、若，，则的值为（）A、B、C、D、12、已知，则的值是（）A、B、C、D、13、已知cos（x﹣）=m，则cosx+cos（x﹣）=（）A、2mB、±2mC、D、14、设a=sin（sin20080），b=sin（cos20080），c=cos（sin20080），d=cos（cos20080），则a，b，c，d的大小关系是（）A、a＜b＜c＜dB、b＜a＜d＜cC、c＜d＜b＜aD、d＜c＜a＜b15、在△ABC中，①sin（A+B）+sinC；②cos（B+C）+cosA；③tan tan；④，其中恒为定值的是（）A、②③B、①②C、②④D、③④16、已知tan28°=a，则sin2008°=（）A、B、C、D、17、设，则值是（）A、﹣1B、1C、D、18、已知f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）+4（a，b，α，β为非零实数），f（2007）=5，则f（2008）=（）A、3B、5C、1D、不能确定19、给定函数①y=xcos（+x），②y=1+sin2（π+x），③y=cos（cos（+x））中，偶函数的个数是（）A、3B、2C、1D、020、设角的值等于（）A、B、﹣C、D、﹣21、在程序框图中，输入f0（x）=cosx，则输出的是f4（x）=﹣csx（）A、﹣sinxB、sinxC、cosxD、﹣cosx二、填空题（共9小题）22、若（﹣4，3）是角终边上一点，则Z的值为．23、△ABC的三个内角为A、B、C，当A为°时，取得最大值，且这个最大值为．24、化简：=25、化简：= ．26、已知，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）= ．27、已知tanθ=3，则（π﹣θ）= ．28、sin（π+）sin（2π+）sin（3π+）…sin（2010π+）的值等于．29、f（x）=，则f（1°）+f（2°）+…+f（58°）+f（59°）= ．30、若，且，则cos（2π﹣α）的值是．答案与评分标准一、选择题（共21小题）1、已知函数f（x）=sin，g（x）=tan（π﹣x），则（）A、f（x）与g（x）都是奇函数B、f（x）与g（x）都是偶函数C、f（x）是奇函数，g（x）是偶函数D、f（x）是偶函数，g（x）是奇函数考点：函数奇偶性的判断；运用诱导公式化简求值。
三角函数 诱导公式专项练习(含答案)
三角函数诱导公式专项练习(含答案) 三角函数诱导公式专项练一、单选题1.sin(-600°)的值为（）A。
-√3/2B。
-1C。
1D。
√3/22.cos(11π/3)的值为（）A。
-√3/2B。
-13/2C。
√2D。
23.已知sin(30°+α)=√3/2，则cos(60°-α)的值为A。
1/2B。
-1/2C。
√3/2D。
-√3/24.已知cos(π/3+α)=-5/2，且α∈(2π/5,π)，则XXX(α-π)=（）A。
-34/4B。
-3C。
4D。
35.已知sin(π-α)=-2/√3，且α∈(-2,0)，则tan(2π-α)的值为A。
2√5/5B。
-2√5/2√5C。
±5D。
√5/26.已知cos(π/4-α)=√2/2，则sin(α+π/4)=（）A。
-3B。
1C。
√2D。
√14/47.已知sinα=3/5，2<α<π/2，则sin(2-α)=（）A。
3/5B。
-3/5C。
4/5D。
-4/58.已知tanx=-12/5π，x∈(π/2,π)，则cos(-x+3π/2)=（）A。
5/13B。
-5/12C。
13D。
-12/139.如果cos(π+A)=-1，那么sin(π/2+A)=A。
-1/2B。
2C。
1D。
-110.已知cos(π/2-α)-3cosα/(sinα-cos(π+α))=2，则tanα=（）A。
12/5B。
-3C。
1/2D。
-511.化简cos480°的值是（）A。
1B。
-1C。
√3/2D。
-√3/212.cos(-585°)的值是（）A。
√2/2B。
√3/2C。
-√3/2D。
-√2/213.已知角α的终边经过点P(-5,-12)，则sin(3π/2+α)的值等于()A。
-5B。
-12/13C。
13D。
12/1314.已知cos(π+α)=2/3，则tanα=（）A。
√55/2B。
2√5/52.已知cosα=2/5，-2/5<α<0，则tan(α+α)cos(-α)tanα的值为（）答案：D解析：由cosα=2/5可得sinα=-√(21)/5，代入公式可得tan(α+α)cos(-α)tanα=-1/√3=-√3/3，故选D。
三角函数、数列、导数试题及详解
三角函数、数列导数测试题及详解一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的．1．已知点A （-1，1），点B （2，y ），向量a=（l ，2），若//AB a，则实数y 的值为A ．5B ．6C ．7D ．82．已知等比数列123456{},40,20,n a a a a a a a ++=++=中则前9项之和等于 A ．50B ．70C ．80D ．903．2(sin cos )1y x x =+-是A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数 4．在右图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x+y+z 的值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量*1(,),(,1),n n n n c a a b n n n N +==+∈，下列命题中真命题是A ．若*,//n n n N c b ∀∈总有成立，则数列{}n a 是等差数列B ．若*,//n n n N c b ∀∈总有成立，则数列{}n a 是等比数列C ．若*,n n n N c b ∀∈⊥总有成立，则数列{}n a 是等差数列D ．若*,n n n N c b ∀∈⊥总有成立，则数列{}n a 是等比数列6．若sin2x 、sinx 分别是sin θ与cos θ的等差中项和等比中项，则cos2x 的值为A B C D ．14-7．如图是函数sin()y x ωϕ=+的图象的一部分，A ，B 是图象上的一个最高点和一个最低点，O 为坐标原点，则OA OB ⋅的值为A ．12πB ．2119π+C ．2119π-D ．2113π-8．已知函数()cos ((0,2))f x x x π=∈有两个不同的零点x 1，x 2，且方程()f x m =有两个不同的实根x 3，x 4．若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m 的值为A ．12B ．12-CD9．设函数f （x ） =e x （sinx —cosx ），若0≤x ≤2012π，则函数f （x ）的各极大值之和为A ．1006(1)1e e e πππ--B ．20122(1)1e e eπππ-- C ．10062(1)1e e e πππ-- D ．2012(1)1e e eπππ-- 10．设函数011()(),21xf x x A x =++为坐标原点，A 为函数()y f x =图象上横坐标为*()n n N ∈ 的点，向量11,(1,0),n n k k n n k a A A i a i θ-===∑向量设为向量与向量的夹角，满足15tan 3nkk θ=<∑的最大整数n 是 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，题两空的题，其答案按先后次序填写，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 11．设1(sin cos )sin 2,()3f f ααα+=则的值为 ．12．已知曲线1*()()n f x x n N +=∈与直线1x =交于点P ，若设曲线y=f （x ）在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为201212012220122011,log log log n x x x x +++ 则的值为____．13．已知22sin sin ,cos cos ,33x y x y -=--=且x ，y 为锐角，则tan （x -y ）= ． 14．如图放置的正方形ABCD ，AB =1．A ，D 分别在x 轴、y 轴的正半轴（含原点）上滑动，则OC OB ⋅的最大值是____．15．由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项，将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项，按图中多边形的边数依次称 这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”…，将构图边数增加到n 可 得到“n 边形数列”，记它的第r 项为P （n ，r ），则（1）使得P （3，r ）>36的最 小r 的取值是 ；（2）试推导P （n ，r ）关于，n 、r 的解析式是____．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知2(2sin ,),(1cos 1)OA a x a OB x x ==-+ ，O 为坐标原点，0,a ≠设(),.f x OA OB b b a =⋅+>（I ）若0a >，写出函数()y f x =的单调速增区间； （Ⅱ）若函数y=f （x ）的定义域为[,2ππ]，值域为[2，5]，求实数a 与b 的值，17．（本小题满分12分）如图，某测量人员，为了测量西江北岸不能到达的两点A ，B 之间的距离，她在西江南岸找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D,从D 点可以观察到点A ，C ；到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C ；并测量得到数据：∠ACD=90°,∠ADC= 60°,∠ACB =15°，∠BCE =105°，∠CEB =45°，DC=CE =1（百米）． （I ）求△CDE 的面积； （Ⅱ）求A ，B 之间的距离．18．（本小题满分12分）国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费．每一年度申请总额不超过6000元．某大学2010届毕业生李顺在本科期间共申请了24000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内（按36个月计）全部还清．签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元，第13个月开始，每月工资比前一个月增加5%直到4000元．李顺同学计划前12个月每个月还款额为500元，第13个月开始，每月还款额比前一月多x 元．（I ）若李顺恰好在第36个月（即毕业后三年）还清贷款，求x 的值；（II ）当x=50时，李顺同学将在第几个月还清最后一笔贷款？他还清贷款的那一个月的工资余额是多少？（参考数据：1.0518 =2.406,1.0519=2.526，1.0520 =2.653，1.0521=2.786） 19．（本小题满分12分）已知函数()sin .f x x x =+ （I ）当[0,],()x f x π∈时求的值域；（II ）设2()()1,()1[0,)g x f x g x ax '=-≥++∞若在恒成立，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分13分）已知211()(1),()10(1),{}2,()()()0,n n n n n f x x g x x a a a a g a f a +=-=-=-+=数列满足9(2)(1).10n n b n a =+- （I ）求证：数列{a n ，-1）是等比数列；（Ⅱ）当n 取何值时，b n 取最大值，并求出最大值；（Ⅲ）若1*1m m m m t t m N b b ++<∈对任意恒成立，求实数t 的取值范围．21．（本小题满分14分）设曲线C ：()ln ( 2.71828),()()f x x ex e f x f x '=-= 表示导函数．（I ）求函数f （x ）的极值；（Ⅱ）数列{a n }满足111,2(3)n na e a f e a +'==+．求证：数列{a n }中不存在成等差数列的三项；（Ⅲ）对于曲线C 上的不同两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），x 1<x 2，求证：存在唯一的012(,)x x x ∈，使直线AB 的斜率等于0().f x '参考答案一、选择题： 1．【考点分析】本题主要考查平面向量的运算和向量平行充要条件的基本运用．【参考答案】 C【解题思路】AB →＝（3，y －1），∵AB →∥a ，∴31＝y －12，∴y ＝7．2． 【考点分析】本题主要考查等比数列的基本运算性质．【参考答案】 B ．【解题思路】3321654)(q a a a a a a ++=++，∴213=q ，3654987)(q a a a a a a ++=++=10，即9s =70．3．【考点分析】本题考查三角函数的性质和同角三角函数的基本关系式的运用，考查基本运算能力． 【参考答案】D【解题思路】2(sin cos )12sin cos sin 2y x x x x x =+-==，所以函数2(sin cos )1y x x =+-是最小正周期为π的奇函数。
第29讲 带三角函数的导数题(解析版)
第二十九讲带三角函数的导数题知识与方法带有三角函数的导数题，处理方法与指数、对数、多项式函数有类似的地方，也有不同之处.在研究带三角部分的函数的零点、单调性时，除了常规的那些方法之外，还要适时运用下面的几个技巧：1.sin x 和cos x 的有界性：例如当x →+∞时，x ，x e ，ln x 这些部分都会不断增大，趋于+∞，而sin x ，cos x 则始终在[]1,1-内震荡，利用这一特征，我们可以抓住函数的各个部分之中影响函数值的主要部分，放缩掉次要部分，进而分区间进行讨论.这是三角类导数题相比其它导数题最主要的独特特征.2．取点技巧：在论证函数零点时，往往需要取点，而三角函数的取点，很多时候可以考虑取一些特殊的角，如2π、π、π-等.3．三角不等式：sin tan x x x <<02x π⎛⎫<< ⎪⎝⎭，熟悉这一不等式及其图形背景，解决问题时可用于适度放缩.典型例题【例1】已知函数()()12sin 0f x x x x =+->，()()sin 0g x x x x =-≥（1）求()f x 和()g x 的最小值；（2）证明：()2xf x e ->【解析】解：（1）由题意，()12cos f x x '=-，当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当,3x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故()f x 在()0,π上的最小值为133f ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，又当x π≥时，()12sin 123f x x x f ππ⎛⎫=+-≥+-> ⎪⎝⎭，所以()f x的最小值为13π+-，另一方面，()1cos 0g x x '=-≥，所以()g x 在[)0,+∞上单调递增．故()()min 00g x g ==.（2）要证()2x f x e ->，只需证212sin x x x e -+->，即证()212sin 1x x x e +->，设()()212sin x h x x x e =+-()0x >，则()()()22324sin 2cos 22sin 32sin 2cos x x h x x x x e x x x x e '=+--=-+--，由（1）知当0x >时，sin x x >，所以22sin 0x x ->，而32sin 2cos 304x x x π⎛⎫--=-+> ⎪⎝⎭，所以()0h x '>在()0,+∞上恒成立，故()h x 在()0,+∞上单调递增，结合()01h =知()1h x >，所以()212sin 1x x x e +->，故不等式()2x f x e ->成立.【例2】已知函数()ln 2sin f x x x x =-+，()f x '为()f x 的导函数.（1）证明：()f x '在()0,π上存在唯一的零点；（2）判断()f x 的零点个数，并给出证明.【解析】解法1：（1）由题意，()f x 的定义域为()0,+∞，()112cos f x x x'=-+，()212sin f x x x ''=--，当()0,x π∈时，()0f x ''<，所以()f x '在()0,π上单调递减，又()12cos10f '=>，2102f ππ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，所以()f x '在()0,π上存在唯一的零点.（2）设()f x '在()0,π上的零点为0x 012x π⎛⎫<< ⎪⎝⎭，由（1）可得当()00,x x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当()0,x x π∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，111111ln 2sin ln 22sin 222222f ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，因为126π<，所以1sin sin 262ππ<=，故12sin12<，而1ln 212--<-，所以102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，又ln 20222f πππ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，所以()f x 在1,22π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有一个零点，又()ln 0f πππ=-<，所以()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点，另一方面，当3,2x ππ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，()112cos 0f x x x '=-+<，所以()f x 在3,2ππ⎡⎤⎢⎣⎦上没有零点，当32x π>时，易证ln 2x x x e ≤<,，所以()ln 2sin 2sin 2sin 22x xf x x x x x x x =-+<-+=-，而2sin 2x ≤，1132222x π>⨯>，所以()0f x <，故()f x 在3,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上没有零点，综上所述，()f x 在定义域()0,+∞上有且仅有2个零点.解法2：（1）由题意，()f x 的定义域为()0,+∞，()112cos f x x x '=-+，()212sin f x x x''=--，当()0,x π∈时，()0f x ''<，所以()f x '在()0,π上单调递减，又303f ππ⎛⎫'=> ⎪⎝⎭，2102f ππ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，所以()f x '在()0,π上存在唯一的零点.（2）设()f x '在()0,π上的零点为0x 032x ππ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，由（1）可得当()00,x x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当()0,x x π∈时，()0f x '<，()f x单调递减，22211122sin 0f e e e ⎛⎫=--+< ⎪⎝⎭，()0ln 0333f x f πππ⎛⎫>=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 在021,x e ⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点，又()ln 0f πππ=-<，所以()f x 在()0,x π上有一个零点，当[],2x ππ∈时，()ln 2sin ln f x x x x x x =-+≤-，易证ln 1x x ≤-，所以ln 110x x x x -≤--=-<，从而()0f x <恒成立，故()f x 在[],2ππ上没有零点，当()2,x π∈+∞时，()ln 2sin ln 2f x x x x x x =-+≤-+，设()()ln 22g x x x x π=-+>，则()110g x x'=-<，所以()g x 在()2,π+∞上单调递减，结合()()2ln 2220g πππ=-+<知()0g x <，所以()0f x <，故()f x 在()2,π+∞上没有零点，综上所述，()f x 在定义域()0,+∞上有且仅有2个零点.【例3】已知函数()ln sin f x a x x x =-+，其中a 为非零常数.（1）若函数()f x 在()0,+∞上单调递增，求a 的取值范围；（2）设3,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且cos 1sin θθθ=+，证明：当2sin 0a θθ<<时，()f x 在()0,2π上恰有两个极值点.【解析】（1）由题意，()cos 1af x x x'=-+，因为()f x 在()0,+∞上单调递增，所以()0f x ''≥恒成立，即cos 10ax x-+≥，所以()cos 1a x x ≥-，因为0x >，cos 10x -≤，所以()cos 10x x -≤,又当2x π=时，()cos 10x x -=，所以()cos 1x x -的最大值是0，因为()cos 1a x x ≥-，所以0a ≥，故实数a 的取值范围是[)0,+∞.（2）由（1）知()()1cos 1cos a f x x a x x x x x'=-+=-+设()cos g x a x x x =-+()02x π<<，则()cos sin 1g x x x x '=-++，()2sin cos g x x x x ''=+，当0x π<≤时，cos 10x -+>，sin 0x x ≥，所以()0g x '>；当32x ππ<<时，()0g x ''<，所以()g x '在3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，又()20g π'=>，331022g ππ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，所以()g x '在3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有一个零点，又3,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且cos 1sin θθθ=+，所以()cos sin 10g θθθθ'=-++=，从而()g x '在3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的零点就是θ，且当x πθ<<时，()0g x '>，当302x π<<时，()0g x '<；当322x ππ≤<时，易得()3cos sin 0g x x x x '''=->，所以()g x ''在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，因为3202g π⎛⎫''=-<⎪⎝⎭，()220g ππ''=>所以()g x ''在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点，记作0x ，且当032x x π≤<时，()0g x ''<；当02x x π<<时，()0g x ''>，所以()g x '在03,2x π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在()0,2x π上单调递增，又331022g ππ⎛⎫'=-<⎪⎝⎭，()20g π'=，所以()0g x '<在3,22ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立；综上所述，当0x θ<<时，()0g x '>；当02x π<<时，()0g x '<，所以()g x 在()0,θ上单调递增，在(),2θπ上单调递减，()()02g g a π==，()cos g a θθθθ=-+，又2sin 0a θθ<<，且cos 1sin θθθ=+，所以()00g <，()20g π<，()()2cos 1sin sin 0g a a a θθθθθθθθθθ=-+=-++=->，从而()g x 在()0,θ和(),2θπ上各有一个零点，分别记作1x 和2x ，则()()1200f x g x x x x '>⇔>⇔<<，()()1000f x g x x x '<⇔<⇔<<或22x x π<<，所以()f x 在()10,x 上单调递减，在()12,x x 上单调递增，在()2,2x π上单调递减，故()f x 在()0,2π上恰有两个极值点.强化训练1.已知函数()ln f x x x ax =-()a ∈R （1）讨论()f x 在()1,+∞上的单调性；（2）当1a =时，判断()()3cos 22F x f x x x ππ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的零点个数，并说明理由.【解析】（1）由题意，()ln 1f x x a '=+-，且当1x >时，ln 0x >，当1a ≤时，10a -≥，所以()0f x '>，从而()f x 在()1,+∞上单调递增；当1a >时，()10a f x x e -'>⇔>，()101a f x x e -'<⇔<<，所以()f x 在()11,a e -上单调递减，在()1,a e -+∞上单调递增.（2）当1a =时，()ln f x x x x =-，()3ln cos 22F x x x x x x ππ⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭，所以()ln sin F x x x '=-，()1cos 0F x x x ''=->，从而()F x '在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又ln 1022F ππ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，33ln 1022F ππ⎛⎫'=+>⎪⎝⎭，所以()F x '在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一的零点，记作0x ，且()0302F x x x π'>⇔<<，()002F x x x π'<⇔<<，故()F x 在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在03,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，因为ln 02222F ππππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，3333ln 02222F ππππ⎛⎫=->⎪⎝⎭，所以()F x 有且仅有1个零点.2．已知函数()3sin 2f x ax x =-，其中a ∈R ，且()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上的最大值为32π-.（1）求a 的值；（2）判断()f x 在()0,π上的零点个数，并给出证明.【解析】（1）()()sin cos f x a x x x '=+，显然sin cos 0x x x +≥在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，所以当0a >时，()0f x '≥，故()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，从而()max 332222f x f a πππ-⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，解得：1a =，符合题意，当0a <时，()0f x '≤，所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，从而()()max 33022f x f π-==-≠，不合题意，当0a =时，()32f x =-，不合题意，综上所述，实数a 的值为1.（2）由（1）知()3sin 2f x x x =-，且()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又()3002f =-<，3022f ππ-⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点，而()f x '在,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，又102f π⎛⎫'=> ⎪⎝⎭，()0f ππ'=-<，所以()f x '在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点1x ，当1,2x x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f x '>，当()1,x x π∈时，()0f x '<，故()f x 在1,2x π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在()1,x π上单调递减，又3022f ππ-⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()302f π=-<，所以()f x 在,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上有一个零点，综上所述，()f x 在()0,π上有且仅有2个零点.3．已知函数()sin x f x e x =（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意的0,2x π⎡⎤∈⎢⎣⎦，()f x ax ≥恒成立，求实数a 的取值范围.【解析】（1）由题意，()()sin cos sin 4x x f x e x x x π⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭所以()30sin 022224444f x x k x k k x k πππππππππ⎛⎫'>⇔+>⇔<+<+⇔-<<+⎪⎝⎭()370sin 022*******f x x k x k k x k ππππππππππ⎛⎫'<⇔+<⇔+<+<+⇔+<<+⎪⎝⎭，故()f x 的单调递增区间是32,244k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，单调递减区间是372,244k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，其中k ∈Z .（2）()()0sin 0x f x ax f x ax e x ax ≥⇔-≥⇔-≥，设()sin 02x g x e x ax x π⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭，则()()sin cos x g x e x x a '=+-，()2cos 0x g x e x ''=≥，所以()g x '在0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增，且()01g a '=-，22g e aππ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭当1a ≤时，()00g '≥，所以()0g x '≥恒成立，故()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增，又()00g =，所以()0g x ≥恒成立，即sin 0x e x ax -≥，满足题意；当2a e π≥时，02g π⎛⎫'≤ ⎪⎝⎭，所以()0g x '≤恒成立，故()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上单调递减，又()00g =，所以当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0g x <，sin 0x e x ax -<，不合题意；当21a e π<<时，()00g '<，02g π⎛⎫'> ⎪⎝⎭，所以()g x '在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一的零点，记作0x ，且()000g x x x '<⇔≤<，()002g x x x π'>⇔<≤，所以()g x 在[)00,x 上单调递减，结合()00g =可得当()00,x x ∈时，()0g x <，即sin 0x e x ax -<，不合题意；综上所述，实数a 的取值范围是(],1-∞.4．已知函数()()sin 1x f x e ax x a =-+-∈R .（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）当12a ≤<时，证明：()f x 有且仅有2个零点.【解析】（1）当2a =时，()2sin 1x f x e x x =-+-，()2cos x f x e x '=-+，()sin x f x e x ''=-，当0x ≥时，1x e ≥，sin 1x ≤，所以()0f x ''≥，故()f x '在[)0,+∞上单调递增，结合()00f '=知()0f x '≥，所以()f x 在[)0,+∞上单调递增，当0x <时，1x e <，cos 1x ≤，所以()2cos 0x f x e x '=-+<，从而()f x 在(),0-∞上单调递减，综上所述，()f x 的单调递增区间为[)0,+∞，单调递减区间为(),0-∞.（2）由题意，()cos x f x e a x '=-+，()sin x f x e x ''=-，当0x ≥时，()0f x ''≥，所以()f x '在[)0,+∞上单调递增，又12a ≤<，所以()020f a '=->，故()0f x '>恒成立，从而()f x 在[)0,+∞上单调递增，结合()00f =知()f x 在[)0,+∞上有且仅有一个零点，当时0x π-≤<，0x e >，0sinx ≤，所以()0f x ''>，从而()f x '在[),0π-上单调递增，又()10f e a ππ-'-=--<，()020f a '=->，所以()f x '在(),0π-上有一个零点0x ，且当[)0,x x π∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()0,0x x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，又()10f e a πππ--=+->，()00f =，所以()f x 在(),0π-上有一个零点，当x π<-时，()sin 1sin 120x x f x e ax x e a x a ππ=-+->++->->，所以()f x 无零点，综上所述，()f x 有且仅有2个零点.5.已知函数()ln cos 02f x x ax x x x π⎛⎫=+-<≤ ⎪⎝⎭（1）当1a =-时，设()()f x g x x=，证明：()0g x <；（2）若()f x 恰有2个零点，求a 的最小整数值.【解析】（1）当1a =-时，()ln cos 02f x x x x x x π⎛⎫=--<≤ ⎪⎝⎭，()ln cos 1x g x x x =--，()21ln sin 0x g x x x -'=+>，所以()g x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，又2ln 1022g πππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以()0g x <恒成立.（2）当1a ≤时，()ln cos ln cos f x x ax x x x x x x =+-≤+-，当01x <≤时，ln 0x ≤，()cos cos 10x x x x x -=-<，所以ln cos 0x x x x +-<，从而()0f x <，当12x π<≤时，设()ln cos h x x x x x =+-12x π⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，则()1cos sin 1h x x x x x '=+--，()212sin cos 0h x x x x x ''=---<，所以()h x '在1,2π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，又()1 cos1sin10h '=-<，所以()0h x '<，从而()h x 在1,2π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，因为()1cos110h =-<，所以()0h x <，即ln cos 0x x x x +-<，故()0f x <，所以当1a ≤时，()0f x <恒成立，从而()f x 没有零点；当2a =时，()ln 2cos f x x x x x =+-，()12cos 2sin 1f x x x x x'=+--，()214sin 2cos 0f x x x x x ''=---<，所以()f x '在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，又11112cos sin 0222f ⎛⎫'=+-> ⎪⎝⎭，()12cos12sin10f '=-<，所以()f x '在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上有1个零点，记作0x ，则()000f x x x '>⇔<<，()002f x x x π'<⇔<≤，从而()f x 在()00,x 上单调递增，在0,2x π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，因为111111ln cos cos ln 20222222f ⎛⎫=+-=--< ⎪⎝⎭，()12cos112cos103f π=->-=，ln 0222f πππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以()f x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,2π⎛⎫⎪⎝⎭上各有1个零点，从而()f x 共有2个零点，故a 的最小整数值为2.6.已知函数()sin x x xf x e a=-（1）若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为2y x b =+，求a ，b 的值；（2）若03a <<，讨论()f x 在()0,π上的零点个数.（参考数据：24.8e π≈）【解析】（1）由题意，()sin x x x f x e a =-，()1cos x x x f x e a -'=-，所以()00f =，()101f a'=-，一方面，()1012f a'=-=，所以1a =-，另一方面，切点()0,0在切线2y x b =+上，所以0b =.（2）由（1）可得()()1cos 1cos xx xa x e xx x f x e a ae ---'=-=，设()()1cos x g x a x e x =--()0x π<<，则()()cos sin x g x a e x x '=---，()()()cos sin sin cos 2sin 0x x xg x e x x e x x e x ''⎡⎤=--+--=>⎣⎦，所以()g x '在()0,π上单调递增，由于03a <<，所以()010g a '=--<，()0g a e ππ'=-+>，从而()g x '在()0,π上有唯一的零点，记作0x ，且()000g x x x '<⇔<<，()00g x x x π'>⇔<<，故()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x π上单调递增，()01g a =-，()()10x g a e ππ=-+>，当01a <≤时，()00g ≤，所以()g x 在()0,π上有唯一的零点，记作1x ，且当10x x <<时，()0g x <，所以()0f x '<，当1x x π<<时，()0g x >，所以()0f x '>，从而()f x 在()10,x 上单调递减，在()1,x π上单调递增，又()00f =，()0f e πππ=>，所以()f x 有且仅有1个零点，当13a <<时，()00g >，又1022g a ππ⎛⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()g x 在()0,π上有2个零点，记作2x ，3x ()23x x <，且当20x x <<或3x x π<<时，()0g x >，所以()0f x '>，当23x x x <<时，()0g x <，所以()0f x '<，从而()f x 在()20,x 上单调递增，在()23,x x 上单调递减，在()3,x π上单调递增，又()00f =，222120222a e f a e ae ππππππ-⎛⎫=-=< ⎪⎝⎭，()0f e πππ=>，所以()f x 共有2个零点.。
三角函数及导数试题
一．选择题（36分，每小题3分）1．已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为A ．120° B ．150° C ．180° D ．240°2．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bcosC+ccosB=asinA ，则△ABC 的形状为A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定3．若函数f （x ），g （x ）满足0)()(11⎰-=dx x g x f ，则f （x ），g （x ）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f （x ）=sin x ，g （x ）=cos x ；②f （x ）=x+1，g （x ）=x ﹣1；③f （x ）=x ，g （x ）=x 2，其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．设函数f ′（x ）是奇函数f （x ）（x ∈R ）的导函数，f （﹣1）=0，当x ＞0时，xf ′（x ）﹣f （x ）＜0，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是 A ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B ．（﹣1，0）∪（1，+∞） C ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D ．（0，1）∪（1，+∞） 5．已知函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x=时，函数f （x ）取得最小值，则下列结论正确的是A ．f （2）＜f （﹣2）＜f （0）B ．f （0）＜f （2）＜f （﹣2）C ．f （﹣2）＜f （0）＜f （2）D ．f （2）＜f （0）＜f （﹣2）6． “a ≤﹣1”是“函数f （x ）=lnx+ax+在[1，+∞）上是单调函数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．函数y=sin （ωx+φ）（x ∈R ，ω＞0，0≤φ＜2π）的部分图象如图，则 A ．ω=，φ=B ．ω=，φ= C ．ω=，φ=D ．ω=，φ=8．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d=f （l ）的图象大致为ABCD9．函数f （x ）=sinx 在区间（0，10π）上可找到n 个不同数x 1，x 2，…，x n ，使得nn x x f x x f x x f )(......)()(2211===则n 的最大值等于A ．8B ．9C ．10D ．1110．若函数f （x ）=sin ωx （ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω= A ．B ．C ．2D ．311． “a=1”是“函数ax ax y 22sin cos -=的最小正周期为π”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．若542s i n ,532co s -==θθ则角θ的终边一定落在直线上．A ．7x+24y=0B ．7x ﹣24y=0C ．24x+7y=0D ．24x ﹣7y=0二．填空题（12分，每小题3分）13．设函数f （x ）在（0，+∞）内可导，且f （e x ）=x+e x，则f ′（1）= ．14．已知)3sin()(πω+=x x f （ω＞0），)3()6(ππf f =，且f （x ）在区间)3,6(ππ上有最小值，无最大值，则ω= ． 15．设f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且g （x ）≠0，当x ＜0时)()()()(x g x f x g x f '>'，且0)3(=-f ，则不等式0)()(<x g x f 的解集是 ．16．如图，y=f （x ）是可导函数，直线l 是曲线y=f （x ）在x=4处的切线，令g （x ）=，则g ′（4）= ．三．解答题（64分,17-20题每题11分，21、22每题10分） 17．设函数xx x f π+=ln )(，m ∈R ．（Ⅰ）当m=e （e 为自然对数的底数）时，求f （x ）的极小值；（Ⅱ）讨论函数3)(')(xx f x g -=零点的个数； （Ⅲ）若对任意b ＞a ＞0，＜1恒成立，求m 的取值范围．18．设函数)ln 2()(2x x k xe xf x +-=（k 为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）当k ≤0时，求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若函数f （x ）在（0，2）内存在两个极值点，求k 的取值范围．19．设函数x k x x f ln 2)(2-= k ＞0． （1）求f （x ）的单调区间和极值；（2）证明：若f （x ）存在零点，则f （x ）在区间（1，）上仅有一个零点．20．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足2asinA=（2b ﹣c ）sinB+（2c ﹣b ）sinC ． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a=2，b=2，求△ABC 的面积．21．在△ABC 中，已知AB=2，AC=3，A=60°． （1）求BC 的长；（2）求sin2C 的值． 22．已知函数f （x ）=sin （2x ﹣）+2cos 2x ﹣1．（Ⅰ）求函数f （x ）的单调增区间；（Ⅱ）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且a=1，b+c=2，f （A ）=，求△ABC 的面积． 四、选做题（共8分） 23．【选修4-4 坐标系与参数方程】已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为：，曲线C 的参数方程为：（α为参数）．（I ）写出直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．必做题答案：1-6 CACAAA 7-12 CCCBAD13．2 14．15．)3,0()3,( --∞16．-17.解：（Ⅰ）当m=e 时，f （x ）=lnx+，∴f ′（x ）=；∴当x ∈（0，e ）时，f ′（x ）＜0，f （x ）在（0，e ）上是减函数；当x ∈（e ，+∞）时，f ′（x ）＞0，f （x ）在（e ，+∞）上是增函数；∴x=e 时，f （x ）取得极小值为f （e ）=lne+=2； （Ⅱ）∵函数g （x ）=f ′（x ）﹣=﹣﹣（x ＞0），令g （x ）=0，得m=﹣x 3+x （x ＞0）；设φ（x ）=﹣x 3+x （x ＞0），∴φ′（x ）=﹣x 2+1=﹣（x ﹣1）（x+1）；当x ∈（0，1）时，φ′（x ）＞0，φ（x ）在（0，1）上是增函数，当x ∈（1，+∞）时，φ′（x ）＜0，φ（x ）在（1，+∞）上是减函数；∴x=1是φ（x ）的极值点，且是极大值点，∴x=1是φ（x ）的最大值点，∴φ（x ）的最大值为φ（1）=；又φ（0）=0，结合y=φ（x ）的图象，如图； 可知：①当m ＞时，函数g （x ）无零点； ②当m=时，函数g （x ）有且只有一个零点； ③当0＜m ＜时，函数g （x ）有两个零点； ④当m ≤0时，函数g （x ）有且只有一个零点； 综上，当m ＞时，函数g （x ）无零点；当m=或m ≤0时，函数g （x ）有且只有一个零点；当0＜m＜时，函数g （x ）有两个零点；（Ⅲ）对任意b ＞a ＞0，＜1恒成立，等价于f （b ）﹣b ＜f （a ）﹣a 恒成立；设h （x ）=f （x ）﹣x=lnx+﹣x （x ＞0），则h （b ）＜h （a ）． ∴h （x ）在（0，+∞）上单调递减；∵h ′（x ）=﹣﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，∴m ≥﹣x 2+x=﹣+（x ＞0），∴m ≥；对于m=，h ′（x ）=0仅在x=时成立；∴m 的取值范围是[，+∞）．18. 解：（Ⅰ）f （x ）的定义域为（0，+∞），∴f ′（x ）=﹣k （﹣）=（x ＞0），当k ≤0时，kx ≤0，∴e x﹣kx ＞0，令f ′（x ）=0，则x=2，∴当0＜x ＜2时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ＞2时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，∴f （x ）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+∞）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，k ≤0时，函数f （x ）在（0，2）内单调递减，故f （x ）在（0，2）内不存在极值点；当k ＞0时，设函数g （x ）=e x﹣kx ，x ∈[0，+∞）．∵g ′（x ）=e x ﹣k=e x ﹣e lnk，当0＜k ≤1时，当x ∈（0，2）时，g ′（x ）=e x﹣k ＞0，y=g （x ）单调递增，故f （x ）在（0，2）内不存在两个极值点；当k ＞1时，得x ∈（0，lnk ）时，g ′（x ）＜0，函数y=g （x ）单调递减，x ∈（lnk ，+∞）时，g ′（x ）＞0，函数y=g （x ）单调递增，∴函数y=g （x ）的最小值为g （lnk ）=k （1﹣lnk ）函数f （x ）在（0，2）内存在两个极值点当且仅当解得：e综上所述，函数f （x ）在（0，2）内存在两个极值点时，k 的取值范围为（e ，）19. 解：（1）由f （x ）=f'（x ）=x ﹣由f'（x ）=0解得x=f （x ）与f'（x ）在区间（0，+∞）上的情况如下：X （o ，）（f'（x ） ﹣ 0f （x ）↓所以，f （x ）的单调递增区间为（），单调递减区间为（0，）； f （x ）在x=处的极小值为f （）=．（2）证明：由（1）知，f （x ）在区间（0，+∞）上的最小值为f （）=．因为f （x ）存在零点，所以，从而k ≥e当k=e 时，f （x ）在区间（1，]上单调递减，且f （）=0所以x=是f （x ）在区间（1，]上唯一零点． 当k ＞e 时，f （x ）在区间（0，）上单调递减，且，所以f （x ）在区间（1，]上仅有一个零点．综上所述，若f （x ）存在零点，则f （x ）在区间（1，]上仅有一个零点． 20. 解：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得，整理得，所以又A ∈（0，π），故．（Ⅱ）由正弦定理可知，又a=2，，， 所以． 又，故或．若，则，于是；若，则，于是．21. 解：（1）由余弦定理可得：BC 2=AB 2+AC 2﹣2AB •ACcosA=4+8﹣2×2×3×=7， 所以BC=．（2）由正弦定理可得：，则sinC===，∵AB ＜BC ，∴C 为锐角， 则cosC===． 因此sin2C=2sinCcosC=2×=．22. 解：（Ⅰ）因为===所以函数f （x ）的单调递增区间是〔〕（k ∈Z ）（Ⅱ）因为f （A ）=，所以又0＜A＜π所以从而故A=在△ABC 中，∵a=1，b+c=2，A=∴1=b 2+c 2﹣2bccosA ，即1=4﹣3bc ．故bc=1从而S △ABC =选做题答案23. 解：（1）∵直线l的极坐标方程为：，∴ρ（sin θ﹣cos θ）=，∴，∴x﹣y+1=0．（2）根据曲线C 的参数方程为：（α为参数）．得（x ﹣2）2+y 2=4，它表示一个以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，圆心到直线的距离为：d=，∴曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值=．。
函数导数三角函数客观试题及答案
，3] [3，＋，3] [3，3)25的减区间为[3，[3，1，＝－1a ，因为，且－1≥，解得－1≤1≤＝在＝a x ＋1在1(lnln 为奇函数，而＝1(式f (x )ø÷öπ，0∪èçæø÷öπ3，π依据偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原、g (x )的图象，∵f(x)g(x)<0轴下方的，即满足要求，∴－<或÷ö11>1>0.31，B. 22 － 2＝1，∴＝2＝1，∴＋4x≥22x·42x＝＝4x，即log11，log12，34，11，12，log1单调递减而1<2|log1[答案] A[解析]f(x)＝|log12x|＝|log2x|1[答案] A [解析]解法一：作y ＝(12)xlog 1，＋)B ．(3，＋∞) ，5)D ．(－∞，2))2)x 的图象，然后向上的图象，然后向上平移平移1个单位，得y ＝(12 (x 2－5x ＋6)的单调增区间为( 5－52)17＋7]())，∴ 3 353知1 53的分子分母都是的分子分母都是奇数3>0，11，∴＝1.1＝12x÷ö11＝÷ö1，－5)(5，＋－5，＋>5，故选ø÷ö12çæ÷ö1＝－1不合题意，故选çæ1÷ö1x －1－1x 11－1ax 1x －x ，>1x 2－2x 在时，12－2x ＝(1[答案] A[解析] ∵y ′＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ， ∴k ＝g (x )＝x cos x ，易知其图象为A.27、(2011·汕头模拟)设f (x )＝îïíïìx 2x ∈[0，1]2－x x ∈(1，2]，则õó02f (x )d x 等 )A.34B.45＝1x －C.51x －1x ＝5ôó－ππB.π ôó－ππïππ，－<A.4 B.3 ．－4 ．－3＝－4，＝sin α＝－4÷ö－π＝3，选动π个÷ö－π÷ö1x －πçæ÷ö1x －π个单位，∴用π代替倍，∴用1x ÷ö－π÷ö1x＝π，＝ππ，＝π＝π，＝π＝π，＝5π4＝T ＝2πT ＝π.π×＝π，得π，∴选4，5，∵向右平移平移πA.16B.56 16或56 ．－16 4，5，＝3，12，3×12－4×5＝16，故选3sin 3sin(150°3cos 3sin ＝－312A.25B.7C.16D.9 1sin ＋2cos ＝1sin 2cos 2214tan 2573，＝－5，÷ö，ππ，336333 63 <π－π<＝3，＝1－cos 2(α－β)＝4；∵－<＝－，∴＝.33 4 3 D.2.A.A.44＝4，选＝，所以4＝43，3c －a ，＝－323A.5 ．－5 43＝3.bc 23sin b ＋3，C.2 ．－2 ＝－2，＝1|15，1，故选＝15.的距离等于|c |a 2＋b2＝＝13，(13)＝－79，∴。
三角函数导数题
题目：求函数f(x) = sin(x) + x^2的导数
解答：
根据导数的定义，我们知道函数f(x)的导数f'(x)是f(x)的变化率。
对于三角函数sin(x)，其导数是cos(x)，而对于常数项x^2，其导数是2x。
因此，我们可以将f(x)的导数表示为：
f'(x) = cos(x) + 2x
接下来，我们根据导数的定义进行计算。
首先，我们计算三角函数的导数：
f'(x) = cos(x)
然后，我们计算x^2的导数：
f'(x) = 2x
最后，我们将两个导数相加得到f(x)的导数：
f'(x) = cos(x) + 2x
综上所述，函数f(x) = sin(x) + x^2的导数为f'(x) = cos(x) + 2x。
除了上述直接计算的方法，我们还可以利用已知的导数公式来求解。
已知的导数公式有：
(sinx)' = cosx
(x^n)' = nx^(n-1) (n为常数)
根据这些公式，我们可以先分别求出sin(x)和x^2的导数，然后将它们相加得到f(x)的导数：
f'(x) = (sinx)' + (x^2)'
= cosx + 2x
这个结果与直接计算得到的结果相同。
使用已知的导数公式可以更快速地求出函数的导数。