八年级数学相似图形
八年级数学图形的位似
八年级上册数学a字模型
八年级上册数学a字模型一、A字模型的概念。
在三角形中，A字模型是一种常见的相似三角形模型。
它类似字母“A”的形状，通常由一条与三角形一边平行的直线所截得的图形构成。
（一）基本图形结构。
1. 在三角形ABC中，DE平行于BC，这样就形成了一个典型的A字模型。
- 其中三角形ADE和三角形ABC相似。
- 对应角相等，即∠ADE = ∠ABC，∠AED = ∠ACB，∠A是公共角。
2. 相似比。
- 根据相似三角形的性质，相似三角形对应边成比例。
在这个A字模型中，(AD)/(AB)=(AE)/(AC)=(DE)/(BC)。
二、A字模型的性质及应用。
（一）求线段长度。
1. 例1：在三角形ABC中，DE平行于BC，AD = 2，DB = 3，AC = 10，求AE的长度。
- 因为DE平行于BC，所以三角形ADE相似于三角形ABC。
- 根据相似三角形对应边成比例，(AD)/(AB)=(AE)/(AC)。
- 首先求AB的长度，AB = AD+DB = 2 + 3 = 5。
- 设AE=x，则(2)/(5)=(x)/(10)，通过交叉相乘可得5x = 20，解得x = 4，即AE = 4。
2. 例2：已知三角形ABC中，EF平行于BC，AF = 3，FC = 2，BC = 10，求EF 的长度。
- 由于EF平行于BC，三角形AEF相似于三角形ABC。
- 此时(EF)/(BC)=(AF)/(AC)。
- 先求AC的长度，AC = AF+FC = 3+2 = 5。
- 设EF = y，则(y)/(10)=(3)/(5)，解得y = 6，即EF = 6。
（二）求比例关系。
1. 例3：在三角形ABC中，DE平行于BC，若AD:DB = 1:2，求三角形ADE与四边形DBCE的面积比。
- 因为DE平行于BC，三角形ADE相似于三角形ABC。
- 已知AD:DB = 1:2，那么AD:AB = 1:(1 + 2)=1:3。
- 根据相似三角形面积比等于相似比的平方，S_ ADE:S_ ABC=((AD)/(AB))^2 = ((1)/(3))^2=(1)/(9)。
北师大版八年级数学下相似图形复习周练习题(12)
第12周每周一练 相似图形复习班级：________ 姓名：_________________ 学号：________一、选择题:1．一个三角形三条高的比是6：4：3，那么三条高所在的边的长度之比为（ ）． A ．6：4：3 B ．3：4：6 C ．2：3：4 D ．1：2：3 2．如图，已知△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，且AD ：DF ：FB=1：1：1，则S △ADE ：S 四边形DFGE ：S 四边形FBCG 等于（ ）．A ．1：2：3B ．1：4：9C ．1：3：5D ．1：4：163．一个钢筋三脚架的三边长分别为20cm ，50cm ，60cm ，•现要做一个与其相似的钢筋三脚架，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，•则不同的截法有（ ）．A ．一种B ．二种C ．三种D ．五种4．如图，已知M 是平行四边行ABCD 的AB 边的中点，•CM•交BD•于点E ，•则图中阴影部分面积与平行四边行ABCD 面积之比为（ ）．A ．13B ．14C ．25D ．512二、填空题:5．如图，△ABC 中，MN ∥BC ，若∠C=68°，AM ：MB=1：2，则∠MNA=______度， AN ：•NC=____________．6．已知D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且AD=2，AB=3，AE=2.4，AC=3.6，•则S △ADE ：S 四边形BCED =______________．7．平行于△ABC 的边BC 的直线平分△ABC 的面积，且把BC 边上的高AD 分为AG•、•GD 两段，则AG ：GD 的值是_______________．8．如图，在△ABC 中，AB>AC ，过AC 上一点D 作直线DE ，交AB 于E ，使△ADE•和△ABC 相似，这样的直线可作____________条． 三、解答题9．如图，E 、F 分别为矩形ABCD 的边AD 、BC 的中点，•若矩形ABCD•∽矩形EABF ，AB=1，求矩形ABCD 的面积．10．如图，已知点D 在BC 上，BD ：DC=2：1，点E 在AD 上，AE ：ED=2：3，BE•的延长线交AC 于点F ，求BE ：EF 的值．11.如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD ⊥AC ．求证：BC 2=2CA ·CD ．12.已知：平行四边形ABCD ，E 是BA 延长线上一点，CE 与AD 、BD 交于G 、F ，求证：EF GF CF ⋅=2.A BCDF G E13．如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=4cm ，BC=7cm ，∠B=60°，P•为下底BC 上一点（不与B 、C 重合），连结AP ，过P 点作PE 交DC 于E ，使得∠APE=∠B ． （1）求证：△ABP ∽△PCE ；（2）在底边BC 上是否存在一点P ，使得AP ：PE =4：3，如果存在，求BP 、EC 的长；•如果不存在，请说明理由．第四章相似图形单元复习题参考答案一、选择题:1．若两个相似三角形的面积比为4：9，那么它们的相似比是（ A ）．A．2：3 B．4：9 C．16：81 D．1：2．252．一个三角形三条高的比是6：4：3，那么三条高所在的边的长度之比为（ C ）．A．6：4：3 B．3：4：6 C．2：3：4 D．1：2：33．如图1，已知△ABC中，DE∥FG∥BC，且AD：DF：FB=1：1：1，则S△ADE：S四边形DFGE：S四边形FBCG等于（C ）．A．1：2：3 B．1：4：9 C．1：3：5 D．1：4：16(1) (2)4．用放大镜看一个Rt△ABC，该三角形边长放大10倍后，下列结论正确的是（ B ）．A．∠B是原来的10倍 B．周长是原来的10倍C．∠A是原来的10倍 D．面积是原来的10倍5．一个钢筋三脚架的三边长分别为20cm，50cm，60cm，•现要做一个与其相似的钢筋三脚架，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，•则不同的截法有（ D ）． A．一种 B．二种 C．三种 D．五种6．已知b c a c a ba b c+++===k（a+b+c≠0），那么y=kx+k的图象一定不经过（ D ）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．如图2，已知M是平行四边行ABCD的AB边的中点，•CM•交BD•于点E，•则图中阴影部分面积与平行四边行ABCD面积之比为（ A ）．A．13B．14C．25D．512二、填空题:8．已知两个三角形对应中线之比为2：5，则它们周长的比是__2：5_．9．如图3，△ABC中，MN∥BC，若∠C=68°，AM：MB=1：2，则∠MNA=_68_度，AN：•NC=_1：2_．10．若32,234a b c a b ca++==则=__8__．(3) (4)11．已知D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且AD=2，AB=3，AE=2.4，AC=3.6，•则S △ADE ：S 四边形BCED =__4：5_．12．平行于△ABC 的边BC 的直线平分△ABC 的面积，且把BC 边上的高AD 分为AG•、•GD 两段，则AG ：GD13．如果两个相似三角形最短边长为4：5，而且周长和为36cm ，那么这两个三角形的周长分别为_16cm ，20cm __．14．如图4，在△ABC 中，AB>AC ，过AC 上一点D 作直线DE ，交AB 于E ，使△ADE•和△ABC 相似，这样的直线可作_2 条．15．雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，在他前面2m 处一块小积水块，他看到了旗杆顶端的倒影．如果旗杆底端到积水处的距离为40m ，该生的眼部高度是1.5m ，那么旗杆的高度是__30_m ． 三、解答题16.试作四边形，使它和已知的四边形位似比等于1：２，位似中心为O（1）使两个图形在点O 同侧（2）使两个图形在点O 两侧如图两四边形为所求17．如图，E 、F 分别为矩形ABCD 的边AD 、BC 的中点，•若矩形ABCD•∽矩形EABF ，AB=1，求矩形ABCD的面积．解：∵ 矩形ABCD•∽矩形EABF∴ABADEA AB =又E 为AD 的中点，AB=1 ∴AB ADAD AB =21 即2221AB AD = ∴2=ADO∴矩形ABCD 的面积=2=∙AD AB18．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB•上的一点，•EF•∥BC ，•并且将梯形ABCD 分成两个相似梯形AEFD 、EBCF ，若AD=4，BC=9，求AE ：EB 的值．解: ∵梯形AEFD ∽梯形EBCF, AD=4，BC=9∴EB AE BC EF EF AD == 即94EFEF =∴6=EF∴3264==EF AD∴AE ：EB=AD:EF=2:319．如图，已知点D 在BC 上，BD ：DC=2：1，点E 在AD 上，AE ：ED=2：3，BE•的延长线交AC 于点F ，求BE ：EF 的值．提示:过D 作DM ∥AC 交BF 于M易证△AEF ∽△DEM ∴EF ：EM= AE ：ED=2：3同理可证△BDM ∽△BCF ∴BM ：BF=BD ：BC=2：3由EF ：EM =2：3 得EF ：MF=2：5 由BM ：BF =2：3 得MF ：BF=1：3∴EF ：BF=2：15 ∴BE ：EF=13：220．ΔABC 为正三角形,D.B.C.E 在一条直线上,若∠DAE ＝1200,找出图中的相似三角形（写出证明过程）并探讨DB 、BC 、CE 之间的关系。
说课稿 北师大版 初中 数学 八年级 下册《相似三角形》
相似三角形尊敬的各位评委老师，上午好！我是来应聘小学数学的5号考生。
今天，我说课的题目是：《相似三角形》。
下面我将从说教材、说学情、说教法、说学法、说教学过程、说板书设计这六个方面进行我的说课。
下面开始我的说课。
一、说教材《相似三角形》是北师大版初中数学八年级下册第四章第五节课的教学内容。
本节课主要介绍了相似三角形的定义及应用这一概念解决一些实际问题。
本节课是在学生学习了相似多边形，知道了相似多边形的本质特征的基础上进行教学的，并为下一步学习相似三角形的判断定理做感性的准备，因此本节课具有承上启下的作用。
根据对教材地位和作用的分析，在新课改理念的指导下，我对这个课时确定了如下三维目标：知识与技能目标：了解两个三角形相似的概念，学会利用相似三角形解决一些实际问题，并在实际应用中加深对相似三角形的认识和理解。
过程与方法目标：在相似三角形概念的学习过程中，引导学生对问题观察、分析等，养成良好的思维习惯，并在应用的过程中进行对比学习，渗透类比的思想方法。
情感、态度与价值观目标：通过本节课的课的学习，学生体验数学学习活动中探索与创造的乐趣。
根据本节教材的地位和作用以及课改中明确要求学生了解两个三角形相似的概念和利用这个概念解决一些实际问题，因此本节课的教学重点是相似三角形的概念和初步应用，相似三角形概念中的对应边对应角理解起来还是有一些难度的，因此这是这节课的教学难点。
二、说学情分析学生的学习数学的基本情况，对于把握教材和教学具有重要指导意义。
因此在教学之前我来分析一下学情。
八年级学生还处于形象思维阶段，他们乐于尝试、探索、思考，好奇心和求知欲较强。
对于相似图形的概念有了一定的积累，初步具有比较、理解的能力，但是对于三角形相似概念中的对应关系的抽象能力还不够强，因此，在授课中我会注意这方面的问题，帮助学生建立相关知识体系。
三、说教法在新课改理念的指导下，教学中应关注学生交流能力的培养及探究问题的意识。
根据初中学生的心理特征及本节的内容特点，这节课我主要采用小组探究法和启发教学法，这两种教法的应用能够很好的引导学生探索知识，加快形成完整的认知结构，提高学生这方面知识的应用能力。
鲁教版(五四制)数学八年级下册第九章《图形的相似》单元整体设计课件
必做：课本习题P100 1-4 选做：5
A
D
E
B
C
A
D E
B
C
点
E
重
移 到
合 A
与
C
点
D
B
相似三角形基本图形
E
D
A
B
C
△ADE绕点A
旋转
E
D
A
B
C
∠ACB=Rt∠ CD⊥AB B
A D
C
D
1、在平行四边形ABCD中,AE:BE=1:2.
第九章 图形的相似 单元整体设计
1、了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上 的实例了解黄金分割。 2、通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形和相似比。 3、掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 。 4、了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边 成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。 *了解相似三角形判定定理的证明。 5、了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比； 面积比等于相似比的平方。 6、了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。 7、会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。
这两个风筝形状有何关系？ 如何证明这两个三角形的风筝相似呢？
动手探究：两个角对应相等的两个三角形相似
四人小组、合作探究： ·一个人画△ABC，使得∠A=45º，∠B=60°； ·另一个人画△DEF,使得∠D=45º，∠E=60°； ·第三人测量∠C与∠F、三角形各边的长； ·最后一人计算三组对应边的比。
课时分配： 1、成比例线段 2、平行线分线段成比例 3、相似多边形 4、探索三角形相似的条件 5、相似三角形判定定理的证明 6、黄金分割 7、利用相似三角形测高 8、三角形相似的性质 9、利用位似放缩图形
八年级数学下册第四章相似图形第一节线段的比
等比性质
若AB/CD=k，EF/GH=k，则 (AB+EF)/(CD+GH)=k。
等比线段
01
02
03
定义
两组线段分别对应成比例， 则称这两组线段为等比线 段。
判定方法
若AB/CD=EF/GH，则线 段AB、CD与EF、GH为等 比线段。
性质
等比线段具有传递性，即 若AB/CD=EF/GH=k，则 AB/EF=CD/GH=k。
黄金分割的哲学思考
黄金分割所体现的和谐与美感，引发了人们对美的本质、宇宙秩序等哲 学问题的思考。它启示人们追求协调、平衡和美感，推动人类文明不断 进步。
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线段比证明方法
综合法
分析法
构造法
通过已知条件和线段的基 本性质进行推理，逐步推 导出所需的线段比关系。
从结论出发，逆向分析， 逐步找到证明所需的条
件和已知信息。
通过构造辅助线或图形，将 问题转化为易于解决的形式
，从而证明线段比关系。
代数法
利用代数方法（如方程、 不等式等）进行证明，通 过计算验证线段比关系。
如果两条线段平行且被一条横截线所截， 那么它们所截得的线段之比是相等的，即 $frac{AB}{CD} = frac{EF}{GH}$。
线段的黄金分割性质
如果点C是线段AB的黄金分割点 （AC>BC），那么$frac{AC}{BC} = frac{AB}{AC}$，这个比值约等于1.618（黄 金比例）。
在物理学中，利用相似形原理解决光 学问题。例如，根据光线在不同介质 中的传播速度和角度，可以计算出光 线的折射角和反射角。
05
拓展：黄金分割与
线段比例美学
【苏教版】初中八年级下册数学课件 10.4探索三角形相似的条件(2)
A
D
E
B
C
F
4）课本 P98 讨论1、2
5）课本 P99 练习1、2
③如图，在RtΔABC中，∠C=90°,P为 斜边AB上一点,过P点的直线截得的三 角形与ΔABC相似，则这样的直线共有
条,并在图中画出这样的直线。 A
P
C
B
③如图，在RtΔABC中，∠C=90°,P为 斜边AB上一点,过P点的直线截得的三 角形与ΔABC相似，则这样的直线共有
∠A=∠A ∠AED=∠B
△ AED∽ △ABC
思考：在△ABC和△A’B’C’中，∠A= ∠A’,如果 AB AC 2 , 那么，它们
A'B' A'C'
相似吗？
A
A′
B
C B′
C′
你能用说理的方法来说明它们相似吗?
思考：在△ABC和△A’B’C’中， ∠A= ∠A’A,B如果AC 2 ，那么，它们
在△ABC和△A’B’C’中 ∵∠A=∠D,∠B=∠E, ∴△ABC∽△A’B’C’
复习回顾；
1.满足什么条件的两个三角形相似？
☆相似三角形的定义： ☆相似三角形的判定一：
两角对应相等的两个三角形相似
☆相似三角形的判定二：
平行于三角形一边的直线与其他两边 (或两边的延长线)相交,所构成的三 角形与原三角形相似.
3 条,并在图中画出这样的直线。
A
P
C
B
作业： 课本 P98练习 2
P102 习题10.4 2、7
条,并在图中画出这样的直线。 A
P
C
B
③如图，在RtΔABC中，∠C=90°,P为 斜边AB上一点,过P点的直线截得的三 角形与ΔABC相似，则这样的直线共有
八年级前四章知识点
八年级前四章知识点八年级前四章，分别是《全等形与相似形》、《平面直角坐标系与直线方程》、《角的概念与运算》、《三角形的性质与分类》。
这些章节内容的深度与难度不一，但都是初中数学中必须掌握的知识点。
全等形与相似形《全等形与相似形》是八年级数学中难度较低的一章，但也不可小觑。
全等形的定义是两个图形，它们的形状、大小、面积完全相同。
而相似形则是两个图形，它们的形状相同，但大小可以不同，比例相同。
通过全等性质，我们可以知道两个全等形的对应部分一定相等。
而相似形也有其特殊的性质，比如两个相似三角形的对应边比相等，对应角相等。
理解并掌握这些概念，可以更好地理解和解决与全等形和相似形相关的问题。
平面直角坐标系与直线方程《平面直角坐标系与直线方程》是一章难度较大的数学内容。
它主要涉及坐标系、直线和方程的关系，以及如何通过坐标系和方程来解决一些几何问题。
在这一章中，我们需要掌握二维平面直角坐标系的构建与运用；直线的方程与求解；如何求直线与坐标轴的交点；如何通过两点坐标求直线方程；如何通过直线方程确定直线的性质，比如斜率、截距等等。
在实际应用中，这些知识点能够在解决诸如直线垂直平分线、两条直线的夹角、作图等问题上起到巨大优势。
角的概念与运算《角的概念与运算》是数学中不可或缺的重点之一，它主要涉及角度、角平分线、同角、对应角等概念。
在这一章中，我们需要掌握如何表示角度，如何作角等分类的几何图形，如何确定角平分线，如何利用同角和对应角的性质来进行角度的计算等内容。
理解并掌握这些概念，可以有效地帮助我们解决许多与角度相关的问题，比如直角、平角、钝角等。
掌握角度的概念和运算，也为后续的三角函数打下了坚实的基础。
三角形的性质与分类《三角形的性质与分类》是八年级数学中必须掌握的重难点内容。
在这一章中，我们需要学习与三角形相关的性质和分类，比如三角形内角和定理、三角形外角和定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质等。
八年级数学各图形的性质和判定
顶点判定
具有n个顶点的图形是n边形。
结构判定
由n个顶点连接而成的图形是n边形。
多边Hale Waihona Puke 的内角和与外角和内角和计算
利用内角和性质，可以计算出任意多边形的内角和。
外角和性质
多边形的外角和等于360°，与多边形的边数无关。
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三角形外角定理
任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
三角形的三边关系
三角形有四个重要的心，分别是重心、内心、外心和垂心，它们分别具有不同的性质和判定方法。
三角形的重心、内心、外心和垂心
三角形的判定
如果三条边分别相等，则两个三角形全等。
边边边（SSS）判定
如果两条边和一个夹角分别相等，则两个三角形全等。
八年级数学各图形的性质和判定
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三角形 四边形 圆 相似图形 多边形
02.
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01.
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三角形
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01
三角形的性质
三角形的内角和等于180度。
三角形内角和定理
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
如果两个三角形的两个对应角相等，则这两个三角形相似。 角角判定 如果两个三角形的三组对应边之间存在一定的比例关系，则这两个三角形相似。 边边判定 如果一个三角形的两个对应角与另一个三角形的两个对应边之间存在一定的比例关系，则这两个三角形相似。 角边判定
相似三角形的性质和判定
相似三角形的对应角相等，对应边之间存在一定的比例关系，面积比为相似比的平方。
八年级数学暑假专题 图形的相似 北师大版
初二数学暑假专题 图形的相似北师大版【本讲教育信息】一．教学内容：暑假专题——图形的相似二．教学目标：1．了解线段的比、成比例线段、黄金分割．2．了解相似多边形的性质，掌握两个三角形相似的条件．3．了解图形的位似，能够利用作位似图形等方法将一个图形放大或缩小，利用图形的相似解决一些实际问题．三．知识要点分析： 1．线段的比（1）比例的性质：①a b ＝c d ⇔ad ＝bc ；②a b ＝c d ⇒b a ＝d c ；③a b ＝c d ⇒a ±b b ＝c ±d d ；④a b ＝cd＝e f ＝…＝mn （b ＋d ＋f ＋…＋n ≠0）⇒a ＋c ＋e ＋…＋m b ＋d ＋f ＋…＋n ＝a b． （2）点C 把线段AB 分成AC 和BC 两条线段．如果AC AB ＝BCAC ，那么称线段AB 被点C黄金分割．点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比． 2．相似三角形的判定、性质（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例．（2）两个三角形相似的条件：①两角对应相等的两个三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似；③两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 3．相似多边形的性质（1）相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比． （2）相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．4．位似图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比． 5．本讲内容结构如下：线段的比黄金分割形状相同的图形相似多边形的概念相似三角形及其判定条件的探索相似的综合应用，测量旗杆的高度相似多边形的性质图形的放大与缩小【典型例题】知识点1：线段的比例1．已知a 2＝b 3＝c 4＝d5≠0，求a ＋b ＋c ＋d b ＋c的值．题意分析：本例考查比例的性质，从已知和所求来看不能直接利用比例的性质解题． 思路分析：根据已知比例式的特点，设一个参数表示出a 、b 、c 、d ，再代入所求代数式求解．或利用比例的性质把已知和所求变形，以寻求中间比． 解：∵a 2＝b 3＝c 4＝d5≠0，∴a ＋b ＋c ＋d 2＋3＋4＋5＝a 2，b ＋c 3＋4＝b 3＝a 2， ∴a ＋b ＋c ＋d 14＝b ＋c 7，∴a ＋b ＋c ＋d b ＋c＝147＝2．解题后的思考：本例是等比性质与反比性质的综合运用．例2．已知线段AB ＝6，C 为AB 的黄金分割点，求AC －BC 的值．题意分析：黄金分割点把已知线段分成的较长线段与原线段的比是黄金比．思路分析：由黄金比和AB 的长度可求出AC 、BC 的长度，再求差即可．但应注意点C 的位置有两个．解：（1）若AC ＞BC ，如图所示：AB C∵点C 是线段AB 的黄金分割点，∴AC ＝5－12·AB ＝5－12×6＝35－3，BC ＝AB －AC ＝6－（35－3）＝9－35． ∴AC －BC ＝（35－3）－（9－35）＝65－12． （2）若AC ＜BC ，如图所示：ABC则BC ＝5－12·AB ＝35－3． ∴AC ＝AB －BC ＝6－（35－3）＝9－35， ∴AC －BC ＝（9－35）－（35－3）＝12－65． 综上所述，AC －BC 的值为65－12或12－65．解题后的思考：本例极容易忽视一条线段上有两个黄金分割点，即AC 不一定是较长线段，应分情况计算．注意，本例两种情况下的结果可分析出是互为相反数，因此可先计算其中一种的结果，另一种取其相反数即可．小结：解决比例问题除了要熟练掌握比例的性质，还有一种重要方法，那就是引入比值k 的方法．利用这种方法可以很方便地推导出比例的性质、解决比例式求值问题．知识点2：相似图形例3．如图所示，△ABC ∽△DBA ，∠BAC ＝80°，∠C ＝70°，AB ＝5cm ，AC ＝3cm ，BC ＝6cm ，求∠BDA 、∠BAD 、∠DAC 、BD 、AD 、DC ．BCD题意分析：本题根据相似三角形的性质求相似三角形的对应角的度数和对应边的长度． 思路分析：把已知的角、线段和所求的角、线段分类，化归到相应的相似三角形中，其中∠DAC 和DC 不能转化为相似三角形的角和边，应利用求差的方法来解．解：∵△ABC ∽△DBA ，∴∠BDA ＝∠BAC ＝80°，∠BAD ＝∠C ＝70°． ∴∠DAC ＝∠BAC －∠BAD ＝80°－70°＝10°．∵△ABC ∽△DBA ，∴AB DB ＝BC BA ＝ACDA．即5BD ＝65＝3AD ，解得BD ＝256，AD ＝52， ∴DC ＝BC －BD ＝6－256＝116．解题后的思考：解决相似三角形的性质问题时，注意对应位置上的字母必须对应，这样才能保证其中的角、线段的对应关系．例4．如图所示，在矩形ABCD 中，E 在AD 上，EF ⊥BE ，交CD 于F ，连接BF ，则图中与△ABE 一定相似的三角形是（ ）A ．△EFBB ．△DEFC ．△CFBD ．△EFB 与△DEFAB CDEF题意分析：要判定两个三角形是否相似，只需看这两个三角形是否具备相似条件，另外还要注意矩形的四个角都是直角这一隐含条件．思路分析：由题中给的已知条件可知，∠EAB ＝∠FDE ＝90°，∠DEF ＋∠EFD ＝∠DEF ＋∠BEA ＝90°，故∠EFD ＝∠BEA ，所以△ABE 与△DEF 相似，选项A 、C 中均没有△DEF ，故可排除，而我们又无法找到△EFB 与△ABE 相似所具备的条件，因此选项B 是正确的．解：B解题后的思考：一般情况下，在判断两个三角形是否相似时，若不知道两个三角形各边长度关系时，应考虑两角是否对应相等．小结：判断两三角形相似的方法有三种，其中“两角对应相等，两三角形相似”最简单，也最常用．知识点3：相似图形的应用例5．有一块三角形形状的铁板，如图所示，其中，AB ＝90cm ，AC ＝60cm ，BC ＝45cm ，现要在AB 、AC 上确定两点D 、E ，然后沿DE 将上面部分剪去，使剩下的四边形部分BDEC 为梯形，且DE ＝15cm ，如何确定点D 和点E 的位置？B CDE题意分析：欲确定点D 、E 的位置，只要求出AD 、AE 的长即可．思路分析：由已知条件，较易推出△ADE ∽△ABC ，利用其对应边成比例，即可求出AD 、AE 的长．解：由四边形BDEC 为梯形，得DE ∥BC ，所以∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，△ADE ∽△ABC ．所以DE BC ＝AD AB ＝AE AC ，即1545＝AD 90＝AE 60．因此AD ＝30（cm ），AE ＝20（cm ）．即点D 应距顶点A30cm ，点E 应距顶点A20cm ．解题后的思考：本题利用相似三角形的性质求出AD 、AE 的长，进而确定点D 和点E 的位置．题中要求“使剩下的四边形部分BDEC 为梯形”，如果将这一要求去掉，又该如何剪呢？例6．如图，电影胶片上每一个图片的规格为cm ×cm ，放映银幕的规格为2m ×2m ，若放映机的光源S 距胶片20cm 时，问银幕应在离镜头多远的地方才能使放映的图像刚好布满整个银幕？S题意分析：如图所示，可以看作一个正四棱锥．光源S 到胶片的距离正好是点S 到胶片中心的距离，光源S 到银幕的距离正好是点S 到银幕中心的距离．思路分析：设胶片和银幕两个正方形的中心（对角线交点）分别为O 2、O 1．则SO 1SO 2＝SD 1SD 2＝A 1D 1A 2D 2． B 1C 1D 1SA 1O 1O 2B 2A 2C 2D 2解：设银幕距镜头xcm ，根据题意，得2m ＝200cm ． x 20＝200，解得x ＝80007． 80007cm ＝807m ． 答：银幕距镜头807m 时，放映的图像刚好布满整个银幕．解题后的思考：解决此类问题首先应建立数学模型，把实物立体图形转化为平面几何图形，从而构造出相似三角形．小结：图形相似与现实世界有着密切的联系，常见的应用问题有两类：一是阳光下测量物体的高度．二是从某一点观测物体．总结：学习本讲应注意两点：一是利用比例的性质、相似图形的性质解决一些计算类的题目；二是在判断三角形相似或说明角相等、线段之间的关系时逐步加强逻辑推理的力度，认识和把握更为复杂的图形，提高研究“空间与图形”的水平．【预习导学案】（暑假专题——证明）一．预习前知1．什么是定义、命题、定理、公理、推论、证明？2．平行线的性质有哪些？如何判定两直线平行？3．三角形内角和定理及其推论是什么？二．预习导学1．下列语句中不是命题的是（）A．相等的角不是对顶角B．两直线平行，内错角相等C．两点之间线段最短D．过点O作线段MN的垂线2．地理老师在黑板上画了一幅世界五大洲的图形，并给每个洲都写上了代号，然后，他请5个同学每人认出2个洲来，5个同学的回答是：甲：3号是欧洲，2号是美洲乙：4号是亚洲，2号是大洋洲丙：1号是亚洲，5号是非洲丁：4号是非洲，3号是大洋洲戊：2号是欧洲，5号是美洲地理老师说：“你们每个人都认对了一半。
八年级数学相似三角形
一、相似三角形的定义
对应角相等 、 对应边成比例 ＿ 的两个三角形，叫 三、相似三角形的性质
相似三角形的判定：
相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两
边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。
相似三角形判定定理１:两角对应相等,两三角形相似。 相似三角形判定定理２:两边对应成比例且夹角相等,两三角
C E
A
D
B
F
合作交流
若AB=6 cm,AC=5cm,BC=8cm,AP=2cm,点Q从A出发， 沿折线ACB以1cm/s的速度移动，问经过几秒钟，PQ 截△ABC所得的新三角形与原三角形相似（点P在AB上 A A 固定不动）．
P Q
B P Q C
B
A P
C
A P
B
Q
C
B
Q
C
挑战自我
把30角的顶点放在BC边上运动（不与B、C重合），使一边 经过点A，另一边与AC相交于点F。 （1）BAD与CDF 相似吗？若相似，请证明；若不相似， 请说明理由。 （3）当ADF是等腰三角形时，求AF的长。
之比、对应中线之比、对应高之比都等于相似比.
相似三角形性质定理２:相似三角形周长之比等于相似比. 相似三角形性质定理３: 相似三角形面积之比等于相似比
的平方.
相似三角形判定与性质的应用
1.判一判:
（1）两个等腰三角形一定相似吗 不一定 （2）两个等边三角形一定相似吗 一定
引申：增加什 么条件能使两 个等腰三角形 相似
（3）两个直角三角形一定相似吗
不一定
引申：增加什么 条件能使两个直 角三角形相似
2.找一找:
(1) 如图, 在△ABC中, ∠ACB=90°, DE⊥AB,则图中有没有 三角形相似? (2) 若分别延长DE、BC交于点F,这时图中还有哪些三角形相 似? (3)若联结DC、AF，这时图中又有哪些三角形也相似？ B D C A
鲁教版(五四学制)数学八年级下册《利用位似放缩图形第1课时：位似图形及其画法》课件
9 利用位似放缩图形
第1课时 位似图形及其画法
学习目标
1. 了解图形位似的定义和相关性质.（重点） 2. 理解相似多边形与位似多边形的联系与区别.（重点） 3. 初步掌握利用位似把多边形按照一定比例放大或缩小
的绘图方法.（难点）
新课导入
八年级（1）班的同学们筹备一次班会，为了活跃气氛，他 们想把下面两个图样放大，使放大前后对应线段的比为1︰2， 然后制成各种彩纸图片，请你帮助他们找到放大图样的方法.
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直
线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．
其中正确命题的序号是（ A ）
A．②③
B．①②
C．③④
D．②③④
2.如图，图中两个四边形是位似图形，它们
的位似中心是（ D ）
A.点M
B.点N C.点O D.点PFra bibliotek 位似图形的画法
例 如图，已知△ABC，以点O为位似中心画△DEF，
使其与△ABC位似，且位似比为2.
D
解：作射线OA,OB,OC;在射线
OA,OB,OC上分别取点D,E,F,使 OD = 2OA,OE = 2OB,OF = 2OC;
A E
顺序连接D,E,F,使△DEF与
B
△ABC位似,相似比为2.
下面我们就一起来学习一种把图形放大或缩小的方法.
知识讲解
位似图形的定义
通过对这几幅图案的观察你发现了什么？有什么特点？
这些图案虽大小不同，但形状相同且有特殊的位置关系.
以上五幅图片是由一组形状相同的图片组成，在图片 ①和图片②上任取一组对应点A，B，直线AB经过镜头中心 点P吗？换其他的对应点试一试，还有类似规律吗？
初中数学鲁教版八年级下册《第九章 图形的相似 3 相似多边形》教材教案
相似多边形教学设计教学目标：1．经历相似多边形概念的形成过程，明确对应角、对应边的概念，了解相似多边形的含义以及相似比。
2.学会从多角度考虑问题，感受相似多边形的定义既是最它基本、最重要的判定，也是它最本质、最重要的性质。
3. 进一步发展归纳、类比、反思、交流等方面的能力，提高数学思维水平，体会反例的作用。
教学重点：了解相似多边形的含义以及相似比。
教学难点：相似多边形概念的探究过程。
学情分析：本节课的课题是《相似多边形》，选自鲁教版义务教育教科书（五四学制）数学八年级下册第九章《图形的相似》第三节。
学生在此之前已经学习了“形状相同的图形”，对“形状相同的图形”已经有了初步认识，但对于相似多边形的的理解，学生可能会产生一定的困难，所以教师应深入浅出的分析。
《相似多边形》是第九章相似图形中的重要内容之一,它是在学习了“形状相同的图形”的基础上, 本章学生一开始从观察生活中的图案到观察几何图形，要求找出形状相同的图形，继而回答问题：这些形状相同的图形有什么不同？认识了线段的比。
接着，借助方格纸上形状相同的图形，探索对应线段的比，引出成比例线段；在此基础上，进而研究比例的性质，然后探讨“相似多边形”。
对形状相同的图形做进一步深入和拓展；又为学习“相似三角形”奠定了基础，是进一步研究相似图形的工具性内容，在教材中具有承上启下的作用。
这样设计突出以“形”为载体，努力克服就“数”论“数”的局限，既有利学生通过“形”直观感知，加深对“数”的认识，又进一步渗透了“数”与“形”形结合的数学思想。
（一）情景导入（2分钟）在生活中存在大量形状相同的物体或图案,你能举出实例吗?（学生畅所欲言）嗯，其实在几何图形中也有大量形状相同的，例如咱们之前学习过的全等三角形。
考考大家的眼力，这是大小不同的两幅中国地图，选取相同位置画出两个六边形，它们形状相同吗？我们就地取材，教室黑板长3m，宽1.5m，外围木质边框宽0.75cm ，内外边框两个矩形形状相同吗？我预设学生大多会猜测形状相同，所以制作了课件，通过演示发现按一定比例放大后，形状并不相同。
八年级数学讲义相似三角形的性质
相似三角形的性质1．相似三角形的有关概念：定义：三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。
记作：△ABC∽△A′B′C′另外，相似三角形具有传递性（性质）。
2．典型例题例1．如图,正方形ABCD的边长为2,AE=EB,MN=1,线段MN的两端在BC、CD上,若△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似,求CM的长.例2．如图，AB∥CD，S△AOB=m2, S△DOC=n2，求S梯形ABCD.B CDMNEAD CA BOm2n2例3．如图，已知梯形ABCD 中, AB ∥BC,AC,BD 交于E,过E 作FG ∥BC,求证:EF=EG.例4.如图，在ABC ∆中，矩形DEFG 的一边DE 在BC 上，点G 、F 分别在AB 、AC 上，AH 是BC 边上的高，AH 与GF 相交于K ，18=GF ，10=EF ，48=BC 。
⑴求AH 的长；⑵若设x AH =，矩形DEFG 的周长为y ，写出y 与x 的函数关系式，并写出它的定义域。
思考：如图，P 为△ABC 内一点，求P 点作线段DE 、FG 、HI 分别平行于AB 、BC 和CA ，且DE=FG=HI=d ，AB=510，BC=450，CA=425，求d.A CFEB DGC B A I F G E PD H C课堂小练1．如图所示，CA ∥FG ∥BD ，若每两个三角形相似，构成一组相似三角形，那么图中相似三角形的组数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 2．如图所示，△ABC 中，DE ∥BC ，GF ∥AB ，则图中与△ABC 相似的三角形的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．3．如果两个等腰直角三角形的斜边之比为1：2A ．1：1 B．1：2 C ．1：2 D ．1：44．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ：BD=1：2 A ．21=BC DE B ．31=BC DE C ．12ADE ABC ∆=∆周长周长 D ．13ADE ABC ∆=∆面积面积5．如图所示，AC ⊥BC ，AD ⊥CD ，AB=5，AC=3， 要使Rt △ABC ∽Rt △ACD ，则CD 应为（ ）A ．59 B ．512 C ．59或512D ．无法确定 6．如图所示，E 、F 分别是线段AB 、CD 上的点，且AB ∥CD ，CE ∥FB ，AD 交CE 、BF 于点M 、N ，则图中相似三角形共有（ ） A ．8对 B ．6对 C ．4对 D ．2对7．如果一个三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形，则这个三角形必是（ A ．等腰三角形 B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 8中，AE ：EB=1：2，若△AEF 的面积为6cm ，则△DCF 的面积为（ ）A ．54cm 2B ．18cm 2C ．12cm 2D ．24cm 29．如图，DE ∥BC ，EF ∥AB ，S △ADE =1，S △EFC =4，则四边形BFED 的面积为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．910．如图，矩形EFGH 内接于△ABC ，AD ⊥BC 于点D ，交EH 于点M ，BC ＝10㎝，AM ＝8㎝，S △ABC ＝100㎝2。
人教版八年级数学上册电子书第十一章 相似三角形
人教版八年级数学上册电子书第十一章
相似三角形
相似三角形是几何学中的一个重要概念，本章将介绍相似三角形的定义、性质以及相似三角形的判定方法。
一、相似三角形的定义
相似三角形是指具有相等或成比例的对应角度，并且对应边成比例的两个三角形。
当两个三角形的形状相似时，它们的所有对应角度都相等，对应边的长度成比例。
二、相似三角形的性质
1. 相似三角形的对应边成比例。
设两个相似三角形中的对应边分别为a、b和c、d，如果它们相似，则有a/b = c/d。
2. 相似三角形的对应角度相等。
设两个相似三角形中的对应角分别为∠A、∠B和∠C、∠D，如果它们相似，则有∠A = ∠C，∠B = ∠D。
3. 相似三角形的周长成比例。
设两个相似三角形的对应边长分
别为a、b和c、d，如果它们相似，则周长之比为a+b+c : c+d。
三、相似三角形的判定方法
1. AA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则它们相似。
2. AAA判定法：如果两个三角形的每个角都相等，则它们相似。
3. SAS判定法：如果两个三角形的一个角相等，且两个角的对
边成比例，则它们相似。
4. SSS判定法：如果两个三角形的对应边成比例，则它们相似。
这些判定方法是判断两个三角形是否相似的基本依据，可以帮
助我们在几何学中进行相似三角形的判断和推导。
以上是人教版八年级数学上册电子书第十一章相似三角形的内容简介。
通过学习相似三角形的定义、性质以及判定方法，我们可以更好地理解几何学中的相似三角形概念，并应用于实际问题的解决中。
八年级上册数学-一线三等角模型及应用
第10讲 一线三等角模型及应用【知识导航】“一线三等角”在初中几何中出现得比较多，是一种常见的全等或相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成全等或相似图形．这三个等角可以是直角也可以是锐角或钝角，可以是在直线的同侧，也可以是在直线的异侧． 一、“一线三等角”的基本构图：321132CEB ADDCBEll二、“一线三等角”的基本性质：1．如果∠1＝∠2＝∠3，那么∠D ＝∠CBE ，∠ABD ＝∠E ．2．如果图中△ABD 与△CEB 中有一组对应边相等，则有△ABD ≌△CEB ． 三、“一线三等角”的基本应用：本讲主要学习“一线三等角”与全等．对于八年级而言，“一线三等角”主要应用于导角证三角形的全等，最常见的是直角型“一线三等角”，其次是60°角和45°角及一般的角． 【方法技巧】用法：若一线三等角都具备则直接应用；若一线三等角不完全具备，则需要构造出一线三等角．【板块一】 直角型“一线三等角”——“三垂直”【知识导航】直角型“一线三等角”又称“三垂直”或“K ”形图，是“一线三等角”问题中最为常见的一种．认识“三垂直”模型：直线绕直角顶点旋转，由外到内，由一般到特殊．【例1】如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，过点A 作直线l ,过B ，C 分别作BD ⊥l 于D ，CE ⊥l 于E ．（1）如图1，当直线l 在△ABC 的外部时，求证：DE ＝BD ＋CE ； （2）当直线l 在△ABC 的内部如图2所示时，求证：DE ＝BD －CE ；（3）当直线l 在△ABC 的内部如图3所示时，直接写出DE ，BD ，CE 三者之间的数量关系式为___________．lBBCBC图1 图2 图3【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，E 为BC 上一点，连接AE ，作AF ⊥AE 且AF ＝AE ，BF 交AC 于D ．（1）如图1，求证：点D 为BF 中点； （2）如图1，求证：BE ＝2CD ； （3）如图2，若BE CE ＝23，则ADCD＝____． 图2图1E CBAFDEAC F针对练习11．（1）如图1，△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ，AC ⊥BC ，A （0，3），C （1，0），求点B 的坐标． （2）如图2，△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ，AC ⊥BC ，A （－1，0），C （1，3），求点B 的坐标．（3）如图3，△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ，AC ⊥BC ，B （2，2），C （4，－2），求点A 的坐标．图1图2图3【板块二】等边三角形中的“一线三等角”【例3】如图，△ABC为等边三角形，D，E，F分别AB，BC，AC上的点，∠DEF=60°，BD=CE，求证：BE=CFAB DFE C针对练习21．如图，△ABC为等边三角形，D，E分别是BC，AC上的点BE，AD交于F，∠AFE＝60°．求证：AD＝BEEA B D FC【板块三】等腰直角三角形中的“一线三等角”【例4】如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别为AB，BC上的点，且CD=DE，∠CDF=45°，求证：BD＝BCA B CDE针对练习31．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠C＝90°，BC＝7，AD＝4，过点A作AE⊥AB，垂足为A，且AE＝AB，连接DE，求△ADE的面积。
北师大版八年级下册数学《图形的放大与缩小》相似图形说课教学课件复习提高
OD=2OA, OE=2OB, OF=2OC,那么,结果又会怎
样?
结果会得到一个放大了的△DEF,且△DEF的三边是
△ABC三边的2倍.即它们的位似比是2∶1. E
B
O
C
F
A
D
做一做
(2)如果在射线AO,BO,CO上分别取点D,E,F使 DO=OA,EO=OB,FO=OC,那么,结果又会怎样呢?
结果会得到一个与△ABC全等的△DEF,.即它们 的位似比是1∶1.
对于上面的例题,你还有其它方法吗?
如果依次在射线上PA,PB,PC,PD,PE,PF,PG上取点
A′,B′,C′,D′,E′,F′,G′呢?
A′
A
B′ C′
G′ B
G
F′ C F
P●
结果是一个向上的箭头，
DE
D′ E′ 新图形与原图形是位似图形,位似比是2∶1.
如图所示,作出一个新图形，使新图形与原图形对应线段 的比是2∶1.
2
三角形.
小结拓展
回味无穷
❖ 位似图形: ❖ 如果两个图形不仅相似,而且每组对应顶点所
在的直线都经过同一个点,那么这样的两个图 形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的 相似比又称为位似比. ❖ 位似图形的性质：位似图形上的任意一对对应 点到位似中心的距离之比等于位似比 ❖ 如何作位似图形(放大与缩小;正像与倒像).
做一做
培养逆向思维
在下图中哪,(些1)图,(形3)是中位的似两图个形图？形哪是些位图似形图不形是,(位2)
中似的图两 形个 ？图形不是位似图形.
分别指出图(1),(3)各自的位似中心;
P O
(1)
(2)
(3)
在下图中任取一对对应点,度量这两个点到位似 中心的距离,它们的比与位似比有什么关系?
新人教版八年级数学下册27.2.1 第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似(优秀教学设计)
27.2.1 相似三角形的判定第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似1．理解“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并能用文字、图形和符号语言表示；(重点)2．会运用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简单的问题．(难点)一、情境导入利用刻度尺和量角器画两个三角形，使它们的两条对应边成比例，并且夹角相等．量一量第三条对应边的长，计算它们的比与前两条对应边的比是否相等．另两个角是否对应相等？你能得出什么结论？二、合作探究探究点：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 【类型一】 直接利用判定定理判定两个三角形相似已知：如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 、E 分别是AB 、CB 延长线上的点，CE ＝9，AD ＝15，连接DE .若BC ＝6，AC ＝8，求证：△ABC ∽△DBE .解析：首先利用勾股定理可求出AB 的长，再由已知条件可求出DB ，进而可得到DB ∶AB 的值，再计算出EB ∶BC 的值，继而可判定△ABC ∽△DBE .证明：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，AC ＝8，∴AB ＝BC 2＋AC 2＝10，∴DB ＝AD －AB ＝15－10＝5，∴DB ∶AB ＝1∶2.又∵EB ＝CE －BC ＝9－6＝3，∴EB ∶BC ＝1∶2，∴EB ∶BC ＝DB ∶AB ，又∵∠DBE ＝∠ABC ＝90°，∴△ABC ∽△DBE .方法总结：解本题时一定要注意必须是两边对应的夹角才行，还要注意一些隐含条件，如公共角、对顶角等．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第2题【类型二】 添加条件使三角形相似如图，已知△ABC 中，D 为边AC 上一点，P 为边AB 上一点，AB ＝12，AC ＝8，AD ＝6，当AP 的长度为________时，△ADP 和△ABC 相似．解析：当△ADP ∽△ACB 时，AP AB ＝AD AC ，∴AP 12＝68，解得AP ＝9.当△ADP ∽△ABC 时，AD AB ＝AP AC ，∴612＝AP 8，解得AP ＝4，∴当AP 的长度为4或9时，△ADP 和△ABC 相似．故答案为4或9.方法总结：添加条件时，先明确已知的条件，再根据判定定理寻找需要的条件，对应本题可先假设两个三角形相似，再利用倒推法以及分类讨论解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题【类型三】 利用三角形相似证明等积式如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，E 为BC 的中点，ED 的延长线交CA 的延长线于F .求证：AC ·CF ＝BC ·DF .解析：先证明△ADC ∽△CDB 可得AD CD ＝AC BC ，再结合条件证明△FDC ∽△F AD ，可得AD CD＝DF CF，则可证得结论． 证明：∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠DAC ＋∠B ＝∠B ＋∠DCB ＝90°，∴∠DAC ＝∠DCB ，且∠ADC ＝∠CDB ，∴△ADC ∽△CDB ，∴AD CD ＝AC BC.∵E 为BC 的中点，CD ⊥AB ，∴DE ＝CE ，∴∠EDC ＝∠DCE ，∵∠EDC ＋∠FDA ＝∠ECD ＋∠ACD ，∴∠FCD ＝∠FDA ，又∠F ＝∠F ，∴△FDC ∽△F AD ，∴DF CF ＝AD DC ，∴AC BC ＝DF CF，∴AC ·CF ＝BC ·DF . 方法总结：证明等积式或比例式的方法：把等积式或比例式中的四条线段分别看成两个三角形的对应边，然后证明两个三角形相似，得到要证明的等积式或比例式．【类型四】 利用相似三角形的判定进行计算如图所示，BC ⊥CD 于点C ，BE ⊥DE 于点E ，BE 与CD 相交于点A ，若AC ＝3，BC ＝4，AE ＝2，求CD 的长．解析：因为AC ＝3，所以只需求出AD 即可求出CD .可证明△ABC 与△ADE 相似，再利用相似三角形对应边成比例即可求出AD .解：在Rt △ABC 中，由勾股定理可得AB ＝BC 2＋AC 2＝42＋32＝5.∵BC ⊥CD ，BE⊥DE ，∴∠C ＝∠E ，又∵∠CAB ＝∠EAD ，∴△ABC ∽△ADE ，∴AB AD ＝AC AE ，即5AD ＝32，解得AD ＝103，∴CD ＝AD ＋AC ＝103＋3＝193. 方法总结：利用相似三角形的判定进行边角计算时，应先利用条件证明三角形相似或通过作辅助线构造相似三角形，然后利用相似三角形对应角相等和对应边成比例进行求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题【类型五】 利用相似三角形的判定解决动点问题如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，5AC－3AB＝0，点P从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，与此同时点Q从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动，经过多长时间△ABC和△PQC相似？解析：由AC与AB的关系，设出AC＝3x cm，AB＝5x cm，在直角三角形ABC中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，进而得到AB与AC的长．然后设出动点运动的时间为t s，根据相应的速度分别表示出PC与CQ的长，由△ABC和△PQC相似，根据对应顶点不同分两种情况列出比例式，把各边的长代入即可得到关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，从而得到所有满足题意的时间t的值．解：由5AC－3AB＝0，得到5AC＝3AB，设AB为5x cm，则AC＝3x cm，在Rt△ABC 中，由BC＝8cm，根据勾股定理得25x2＝9x2＋64，解得x＝2或x＝－2(舍去)，∴AB＝5x ＝10cm，AC＝3x＝6cm.设经过t秒△ABC和△PQC相似，则有BP＝2t cm，PC＝(8－2t)cm，CQ＝t cm，分两种情况：①当△ABC∽△PQC时，有BCQC＝ACPC，即8t＝68－2t，解得t＝3211；②当△ABC∽△QPC时，有ACQC＝BCPC，即6t＝88－2t，解得t＝125.综上可知，经过125或3211秒△ABC和△PQC相似．方法总结：本题的关键是根据三角形相似的对应顶点不同，分两种情况△ABC∽△PQC 与△ABC∽△QPC分别列出比例式来解决问题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题三、板书设计1．三角形相似的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；2．应用判定定理解决简单的问题．本节课采用探究发现式教学法和参与式教学法为主，利用多煤体引导学生始终参与到学习活动的全过程中，处于主动学习的状态．采用动手实践，自主探索与合作交流的学习方法，使学生积极参与教学过程．在教学过程中展开思维，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，进一步理解观察、类比、分析等数学思想.（赠品，不喜欢可以删除）数学这个家伙即是科学界的“段子手”，又是“心灵导师”一枚。
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A
2
D
E
1
B
C
△ADE∽△ ABC
△ADE与 △ ABC 的相似
2
比为
3
A
B
1O
2
D
3
C
△AOB∽△ COD
△AOB与 △ COD 的相似
1
比为 3
如果相似比 k＝1 ，这两个三角
形有怎样的关系？
类似地，如果两个 边数相同的多边形的 对应角相等、对应边 成比例， 那么这两个多边形相 似.
相似多边形的对应边
自家的三个娃儿说：“不是我说你们，也是有点儿不懂事儿呢！吃完了饭，快去给你们“爹”认个错吧，看把他给气得！”李长善也过来劝慰 耿老爹：“耿大哥啊，娃儿们小，还都不懂事儿呢。你就别再生气了！一会儿咱们一起下地去，看到漫山遍野丰收的稻谷，你肯定会很高兴 的！”看到“爹”虽然不再掉眼泪了，但依然还是闷闷不乐的样子，兄妹三个赶快围拢过来，你一言我一语说好听的话，耿老爹很快就重新露 出了笑脸，慈爱地责备他们：“以后可不准再这样了啊！你们都大了，说话做事的，不能没有样子啊！这人常说了，娃儿们必须从小就养成 ‘站要有站相，坐要有坐相’；吃饭的时候，要坐得端端正正的；还要做到吃菜不露齿，喝汤不出声！而你们呢，吃着饭还嘻嘻哈哈连说带笑 的，像什么样子啊！在伯伯和大娘面前，让爹丢脸！”兄妹三人都说：“我们错了！我们保证，以后再不这样了！”耿老爹这才如释重负，轻 松地长出一口气，对兄妹三人说：“好啦，爹不生气了！你们三个听着啊，咱们从今以后都听你们伯伯和大娘的安排，不可以再像前些天一样 无所事事只顾读书学习了！咱父子们必须要尽我们所能，多多地帮着伯伯和大娘做一些事情，多干些活计！你们记住了没有啊？”兄妹三个齐 声说：“记住啦！我们一定会好好干活儿的！”耿老爹放心地笑了。李长善夫妇看到这场风波已经过去，就高兴地开始安排这“父子”四人干 活儿了。也是，家里种了水、旱地三十来亩，眼下秋收还没有全部结束呢！从此以后，耿老爹“父子”四人开始帮着李长善夫妇干各种各样的 活计。接触到外面的世界，做一些庄稼地里的力气活儿，耿老爹的心情和身板儿越来越好了。而更让他高兴的是，尚文和尚英这俩娃儿干起活 儿来都很卖力气，也很会干；尚武虽然年纪小干不了多少，但也一刻不停地跑前跑后忙活着做一些力所能及的小活计。这让耿老爹深深地感到， 他在大恩人李长善夫妇面前很有面子！“爷儿们”私下里时，他对“自己”这仨宝贝赞不绝口！尚文兄妹三人听到“爹”的夸奖，尽管心里非 常想笑，但却不敢再笑出来了。尚文说：“爹，这是我们应该做的啊！我们干这些活儿很高兴呢！”耿老爹高兴地说：“这才是爹的好娃儿啊！ 不过，你们也不能只顾干活儿，有空儿了还得认字、写字和读书啊！这些也是很重要的！”尚英说：“爹你就放心吧，我们都很爱跟你认字呢！ 看你能把一大本书念下来，我们很眼红啊！”耿老爹更高兴了，说：“那爹就好好教，你们就好好学，争取你们也很快就能把一大本书念下 来！”尚武小嘴儿甜甜地说：“爹，我虽然比哥哥和姐姐小，干活儿是比不过他们了，但认字、写字和读书，我一定不会落在他俩后面的！如 若不信，爹你就‘骑驴看书’，走着瞧吧！”耿老
D
∴四边形AFDE、四边形BDEF、四边形CEFD是平行四边形
∴∠EDF=∠ A ，∠ DEF= ∠B， ∠ DFE= ∠ C.
∴ △DEF ∽ △ABC
：如图，△ABC ∽△A' B' C' ，求∠α 的大
小和A' C'的长.
A
解：∵ △ABC ∽△A' B' C'
60°
10
∴∠α= ∠A=60°；（对应角相等） 8
(3)
(4)
活动三
小组合作操作
各角对应相等、各边对应成比例的 两个三角形叫做相似三角形.
如图，A A', B B', C C';
AB BC CA k, A' B' B'C' C' A'
则△ABC与△A'B'C'相似,记作
△ABC∽△A'B'C' ,其中k叫做它们的相似比.
大家好， 本节课由我和 各位一起来学习。 先请看两幅照片。
观察 欣赏
你能说一说上述图片的共同之处吗？
它们的大小不相等, 但形状相同.
活动一
全等的图形和形状相同的图形之间 有什么联系与区别?
形状相同的图形是相似的图形.
活动二
找一找：下面各组图形中，哪些是(2)
A
对应顶点的字母写
在对应的位置上
B
C
B'
A' C'
下面每组都有两个三角形相似,请
把它们表示出来,并说出它们的相
似比.
①
②
D
A'
A
A
2
4
1.5
3
2
C
B C'
B
C
B'
F
E
1.5
△ABC∽ △ A'B'C'
△ABC∽ △DEF
△ABC与 △ A'B'C' 的相似
1
比为
2
△DEF与 △ABC的
相似比为 2
的比 叫做相似比.
如图，D、E、F分别是△ABC三边的
中点，△DEF与△ABC相似吗？为什么？
解： △DEF ∽ △ABC
A
由三角形中位线性质，得
1
1
1
EF= BC， DE= AB， DF= AC.
2
2
2
∴ EF DE DF 1 BC AB AC 2
F
E
又由三角形中位线性质，可知
B
C
EF∥BC， DE ∥ AB， DF ∥ AC.
AB AC
B
C
，（对应边成比例）
A' B' A'C'
A'
α
6
∴
AC A' B' 106
A' C '
7.5 B'
C'
AB 8
学而不思则罔
回
头
一
我有哪些收获
看 ，
呢？
我
想
说
与大家分享！
…
作业
习题10.3 1、2、3、4
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