高中平面几何讲义

高中平面几何

(上海教育出版社叶中豪)

知识要点

三角形的特殊点

重心，外心，垂心，内心，旁心，类似重心，九点圆心，Spieker点，Gergonne点，Nagel点，等力点，Fermat点， Napoleon点， Brocard点，聚点，切聚点，X点，Tarry点，Steiner点，Soddy点，Kiepert双曲线

特殊直线、圆

Euler线，Lemoine线，极轴，Brocard轴，九点圆，Spieker圆，Brocard圆，Neuberg圆，McCay圆，

Apollonius圆，Schoute圆系，第一Lemoine圆，第二Lemoine圆，Taylor圆，Fuhrmann圆

特殊三角形

中点三角形，垂三角形，切点三角形，切线三角形，旁心三角形，弧中点三角形，反弧中点三角形，

第一Brocard三角形，第二Brocard三角形，D-三角形，协共轭中线三角形

相关直线及相关三角形

Simson线，垂足三角形，Ceva三角形，反垂足三角形，反Ceva三角形

重心坐标和三线坐标

四边形和四点形

质点重心，边框重心，面积重心，Newton线，四点形的核心，四点形的九点曲线

完全四边形

Miquel点，Newton线，垂心线，外心圆，Gauss-Bodenmiller定理

重要轨迹

平方差，平方和，Apollonius圆

三角形和四边形中的共轭关系

等角共轭点，等角共轭线，等截共轭点，等截共轭线

几何变换及相似理论

平移，旋转（中心对称），对称，相似和位似，相似不动点，逆相似轴，两圆外位似中心及内位似中心

Miquel定理

内接三角形，外接三角形，Miquel点

根轴

圆幂，根轴，共轴圆系，极限点

反演

反演，分式线性变换（正定向和反定向）

配极

极点与极线，共轭点对，三线极线及三线极点，垂极点

射影几何

点列的交比，线束的交比，射影几何基本定理，调和点列与调和线束，完全四边形及完全四点形的调和性， Pappus定理，Desargues定理，Pascal 理，Brianchon定理

著名定理

三大作图问题，勾股定理，黄金分割，鞋匠的刀，P’tolemy定理，Menelaus定理，Ceva定理，Stewart定理，Euler线，Fermat- Torricelli问题Fagnano- Schwarz问题，Newton线，Miquel定理，Simson线， Steiner定理，九点圆，Feuerbach定理，Napoleon定理，蝴蝶定理，Morley定理Mannheim定理

例题和习题

1．以△ABC的AB、AC两边向形外作正方形ABEP和ACFQ，AD是BC边上的高。求证：直线AD、BF CE三线共点。

2．以△ABC的AB、AC两边为直角边，向两侧作等腰直角三角形ABD和ACE，使∠ABD＝∠ACE＝90°求证线段DE的中点的位置与顶点A的位置无关。

3．已知梯形ABCD中，AD∥BC。分别以两腰AB、CD为边向外侧作正方形ABGE和正方形DCHF。连接EF，设线段EF的中点为M。求证：MA＝MD。

4．△ABC中，AM是中线，H是垂心，N是AH中点，过A作外接圆切线，交对边于D点。求证：ND⊥AM (06061602．gsp)

5．△ABC中，D是BC边上一点，设O、O1、O2分别是△ABC、△ABD、△ACD的外心，求证：A、O、

O1、O2四点共圆。（Salmon定理）

6．△ABC中，D是BC边上一点，设O、O1、O2分别是△ABC、△ABD、△ACD的外心，O′是A、O、

O1、O2四点所共圆（Salmon圆）的圆心。求证：

（1）O′D⊥BC的充要条件是：AD恰好经过△ABC的九点圆心！

B C

（2）记△ABC的九点圆心为N i 。作O′E⊥BC，垂足为E。则N i E∥AD！(06051705．gsp) (06052901．gsp)

B C

7．四边形ABCD中，P点满足∠PAB＝∠CAD，∠PCB＝∠ACD，O1、O2分别是△ABC、△ADC的外心。求证：△PO1B∽△PO2D。（06060301．gsp）

D

8．设I是圆外切四边形ABCD的内心，求证：△IAB，△IBC，△ICD，△IDA的垂心共线。

9．已知凸四边形ABCD满足：AB+AD=BC+CD，延长BA，CD交于E点，延长BC，AD交于F点。

求证：EB+ED=FB+FD（或EA+EC=FA+FC）。（05123102．gsp）

E

10．（06.8.9）设A、B、C、D是椭圆

22

22

1

x y

a b

+=上四点。若直线AB、CD的斜率之积

2

2

AB CD

b

k k

a

=，

则直线AC、BC或直线AD、BC的斜率之积也必等于

2

2

b

a

。

（注：这时经过A、B、C、D四点的任意二次曲线的离心率必不小于椭圆

22

22

1

x y

a b

+=的离心率──

c

a

。）（06080901．gsp）

（06081201．gsp）

1．在△ABC中，D是BC边上一点，设O1、O2分别是△ABD、△ACD的外心，O′是经过A、O1、O2三点的圆之圆心。求证：O′D⊥BC的充要条件是：AD恰好经过△ABC的九点圆心。

B C

【证明】取△ABC的外心O，则熟知A、O、O1、O2四点共圆（Salmon圆）。易知△AO1O2∽△ABC，且O1O2是AD的垂直

平分线。作顶点A关于BC边的对称点A′，易看出△AO′D∽△AOA′。设BC边高的垂足为G，再取AO连线的中点L，则LG 是△AOA′的中位线，进而知△AO′D∽△ALG。得∠O′DA＝∠LGA。……………①

再作外心O关于BC的对称点O′，由AH＝2OM＝OO′知A O′经过九点圆心Ni。（注：△AHNi≌△O′ONi）由LM∥A O′知∠ADC＝∠LMG；在直角梯形AOMG中，得∠LMG＝∠LGM。

故∠ADC＝∠LGM。……………②

而∠LGM＋∠LGA＝90°。

将①、②代入得∠O′DA＋∠ADC＝90°。