04第四章--不定积分

第四章不定积分

'、不定积分的概念和性质

1 •原函数：若F (x) = f (x)，则称F (x)为f (x)的一个原函数. 2.不定积分：若 F (x)二 f (x)，则 f (x)dx = F (x) • C • 3 .不定积分的基本性质：

(1) [ f(x)dx]" = f(x)或 d f (x)dx = f (x)dx ；

(2) F (x)dx=F(x) C 或 dF(x) =F(x) C . 例1 (1 )若xln x 是f (x)的一个原函数，求 f (x)；

(2) 若F(x)是 叱 的一个原函数，求dF(x 2

)；

x

(3)

若e »是f (x)的一个原函数，求

e x

f (x)dx ；

1 1

(4)

若 f (x) e x

dx =e x

C ，求 f (x);

(5) 求■ f (x 3

)dJ ；

(6) 若 f(x)二 e*，求

f (lnx)

dx . x

解(1)因为 f (x) =(xln x)" = ln x 1，所以

f (x)J .

x

sin x

(2)因为F (x)-——，所以

x (3)因为 f(x) =(e»)〔则 f (x)

= ，所以

e x

f (x)dx 二 e x e»dx 二 dx 二 x C .

f (x)

g x

. 2 dF(x 2) =[F (x 2) 2x]d^Sin ^x - x 2

2xdx 二 2sin x 2

dx . (4) 1

因为 f(x)e x

= 1

e

1

1 —e x

，所以

■ f(x 3)dJ = f (x 3

).

f (ln x) dx 二 f (In x)d(ln x)二 f (In x) C = e " x

c =丄 C . x x

(5) (6)

、直接积分法

被积函数经过恒等变形后，能用基本积分公式和不定积分的性质计算不定积分的方法，称为直接积分法.

例2 (1) (3) (5) (7) (9) 解

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9) 计算下列不定积分：

(x 1)2 .

rr dx；

2

-^pdx;

1 x2

4

也pdx;

1 x2

cos2x ,

dx ;

sin x cosx

sin4 x cos4 x 门

2 2

dx.

sin xcos x

2 3

j—LdxW vx

x x x

a e dx = (ae) dx

(2)

(4)

(6)

a x e x dx ;

2

(1

2x

2

)

dx；

x (1 x )

sin2 -

dx ；

2

cos2x ,

dx ；x

sin2

1

2x2

1

x"2)dx

5

2 2 4

x2

5

-2 2

-x2 2x2 C .

3

—- dx = 1

1 x

2 1 x2

1 2x2.

—厂dx 二

x2(1 x2)

4

x

2dx

1 x2

c

In (ae)

1 px = x - arctanx +C .

1 1 1

2 2 dx 二arctan x -

x x

1 3

dx x x arcta nx C .

3

_1亠

1x

1 —cosx ’1 .

dx(x - sin x) C .

2 2

2. 2

.cos x - sin x .

dx dx = (cos x - sin

x)dx

' sin x + cosx

二sin x cosx C .

,「1 —2sin2 x , r

dx 2 dx =

si n2 x

--cot x -2x C .

.4 亠 4

sin x cos x

cos2x

sin x cosx

cos2x

・2

sin x

-2 dx

sin2 xcos2 x 血二

・4

sin x

・2 2~

sin xcos x

4

cos x

2

+

・2 2 ' sin

xcos x y

dx

=(ta n 2x cot 2x)dx

= (sec x csc x -2)dx

=tan x - cot x - 2x C .

三、换元积分法

1 •第一换元积分法(凑微分法)

设 f (u)du = F(u) • C ，则

u (x)

f[ (x)] ： (x)dx 二 f [ ：(x)]d ：(x) f(u)du

^F(u) C u

一

(x)

F[「(x)] C .

常用的凑微分公式:

f (ax b)dx =1 f (ax b)d(ax b)；

a • f(ax n b)x nJL dx 二丄 f(ax n b)d(ax n

b); na L

f (lnx)2dx= f (ln x)d(ln x)； x

r J 1

十

J f — pdx=-J f (7) f(e ")e "d ^-： f (e")d(e")；

(8) f (sin x)cosxdx= f (sin x)d(sin x)；

(9) f (cosx)sin xdx - - f (cosx)d (cos x)；

2

(10) f (tanx)sec xdx 二 f (tanx)d(tanx)； (11)

f (cot x) csc 2

xdx = - f (cot x) d (cot x)；

(12) f (secx)secx tanxdx 二 f (secx)d(secx)； (13) f (cscx)cscxcotxdx 二-f (cscx)d(cscx)；

(14)

『f

= f f (arcsin x)d (arcsinx)；

W —x 2

(1)

(2)

(3) (4) (5) (6) dx =2 f (. x)d(.. x)

f (e x

)e x

dx 二 f(e x )d(e x

);