西安电子科技大学讲义-随机过程

电子科技大学随机过程覃思义sjgc课件

选择合适的先验分布是贝叶斯分析中的关键问题，且贝叶斯分析可能对先验信息的依赖较强。
06
随机过程在通信中的应用
信号检测与估计
信号检测
在通信系统中，信号检测是接收端对发送端发送的信号进行识别和判断的过程。随机过程理论在信号检测中发挥了重要作用，通过对信号的统计特性进行分析，实现信号的有
效检测。
VS
常见的多用户检测算法包括匹配滤波器、最小均方误差、最大似然等，这些算法在理论上均可以利用随机过程理论进行推导和优化。
无线通信中的信号处理
无线通信环境复杂多变，信号处理技术对于保证通信系统的稳定性和可靠性至关重要。利用随机过程理论，可以对无线信道中的噪声、干扰等影响因素进行分析和控制，提高信号传输的质量和可靠性。
数学期望的性质
数学期望具有线性性质、可加性和可交换性等性质，这些性质在计算和推导中具有重要应用。
数学期望的运算
数学期望的运算包括求和、乘法、极限等运算，这些运算在计算随机变量的数学期望时是必要的。
方差与协方差
方差的定义
方差是随机变量与其数学期望的差的平方的平均值，用于描述随机变量取值分散的程度。
在数字信号处理、控制系统分析和离散时间系统模拟等领域中广泛应用，通过Z变换可以将离散时间序列转换为复平面上的函数，从而更好地分析系统的频率响应和稳定性。
05
随机过程优化
最优估计理论
最小方差无偏估计
在所有无偏估计中，具有最小方差的估计被称为最小方差无偏估计。
一致性估计
随着样本量的增加，估计值会逐渐接近真实值，这种估计被称为一致性估计。
协方差的定义
协方差是两个随机变量取值之间线性关系的度量，其值可以为正、负或零。

随机过程[2]

随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林
由以上定义可得 (1) mZ(t)=mX(t)+jmY(t) t∈T
(2) DZ(t)= DX(t)+DY(t)
t∈T
(3) CX(s,t)=RZ(s,t)-mZ(s)mZ(t) s,t∈T
随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林
举例
Zt = ∑ X k e j ( ω t +Φk ) ,t ∈ R , 其中ω0为正常数, n为设
解
mX (t ) = E[ X t ] = 0
− ∞ < t < +∞
RX ( s, t ) = E[ X s X t ]
= E[ A ]cos ω s cos ωt + E[ AB](sin ω s cos ωt + cos ω s sin ωt )
2
+ E[ B 2 ]sin ω s sin ωt 2 = σ cos ω (t − s ) − ∞ < s, t < +∞
随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林
5. 均方值函数设X={Xt , t∈T}是一实值随机过程，对任意t∈T,若 E[Xt]2存在则称E[Xt]2为随机过程X的均方值函数，记为ΦX(t).即 ΦX(t)= E[Xt]2 t∈T
随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林
随机过程的数字特征有如下关系 CX(s,t)=RX(s,t)-mX(s)mX(t) DX(t)=CX(t,t) ΦX(t)=RX(t,t) t∈T t∈T s,t∈T
0
n
固定正整数, X 1 , X 2 , L , X n , Φ1 , Φ 2 , L , Φ n 是相互独立的实随机变量,且 EX k = 0, DX k = σ k2 , Φk～U[0,2π], k=1,2,…,n. 计算S.P.{Zt ,t∈R}的均值函数和相关函数.

[西安电子科大通信原理讲义]07通信原理第七讲(可编辑)

《通信原理》第七讲§2．4 随机过程通过线性系统通信系统中的信号或噪声一般都是随机的，因此在以后的讨论中我们必然会遇到这样的问题：随机过程通过系统（或网络）后，输出过程将是什么样的过程？v t 等于输入信号v t 与系统的单位冲击响应h t 的卷线性系统的响应 0 i 积，即∞v t v t ?h t v τ h t ?τ dτ（2.4-1 ）0 i ∫?∞ i若h t ?H ωv t ?V ω，v t ?V ω，，则有0 0 i iV ωH ωV ω（2.4-2 ）0 i若线性系统是物理可实现的，则tv t v τh t ?τdτ（2.4-3 ）0 ∫?∞ i或∞v t h τv t ?τdτ（2.4-4 ）0 ∫0 i如果把v t 看作是输入随机过程的一个样本，则v t 可看作是输出随机过i程的一个样本。

显然，输入过程ξ t 的每个样本与输出过程ξ t 的相应样本之i间都满足式（2.4-4 ）的关系。

这样，就整个过程而言，便有∞ξt h τξt ?τdτ（2.4-5）0 ∫0 i假定输入ξ t 是平稳随机过程，现在来分析系统的输出过程ξt 的统计特i性。

ξ t一、输出过程 0 的数学期望∞∞∞E [ξ t ] E [ h τ ξ t ?τ dτ ] h τ E [ξt ?τ ]dτ a ? h τ dτ0 ∫0 i ∫0 i ∫0因为∞H ω∫0 h t ej ωt dt求得∞H 0 ∫0 h t dt所以E [ξ t ] a ?H 0 （2.4-6）由此可见, 输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与直流传递函数H 0的乘积，且E[ξ t ]与t无关。

ξ t二、输出过程 0 的自相关函数R t ,t E [ t t ]+τ ξ ξ +τ0 1 1 0 1 0 1[ ∞∞ ]E h α ξ t ?α dα h β ξ t+τ?β dβ∫ i 1 ∫ i10 0∞∞h α h β E [ξ t ?α ξ t+τ?β ]dαdβ∫∫ i 1 i 10 0根据平稳性E [ξ t ?α ξ t +τ?β ] R τ+α?βi 1 i 1 i于是∞∞R t ,t +τ h α h β R τ+α?β dαdβR τ（2.4-7）0 1 1 ∫∫i 00 0可见, ξ t 的自相关函数只依赖时间间隔τ而与时间起点t 无关。

随机过程讲义第一章

第一章随机过程及其分类在概率论中，我们研究了随机变量，n 维随机向量。

在极限定理中我们研究了无穷多个随机变量，但只局限在它们之间相互独立的情形。

将上述情形加以推广，即研究一族无穷多个、相互有关的随机变量，这就是随机过程。

1．随机过程的概念定义：设),,(P ∑Ω是一概率空间，对每一个参数T t ∈，),(ωt X 是一定义在概率空间),,(P ∑Ω上的随机变量，则称随机变量族});,({T t t X X T ∈=ω为该概率空间上的一随机过程。

其中R T ⊂是一实数集，称为指标集或参数集。

随机过程的两种描述方法：用映射表示T X ，R T t X →Ω⨯:),(ω即),(⋅⋅X 是一定义在Ω⨯T 上的二元单值函数，固定T t ∈，),(⋅t X 是一定义在样本空间Ω上的函数，即为一随机变量；对于固定的Ω∈ω，),(ω⋅X 是一个关于参数T t ∈的函数，通常称为样本函数，或称随机过程的一次实现，所有样本函数的集合确定一随机过程。

记号),(ωt X 有时记为)(ωt X 或简记为)(t X 。

参数T 一般表示时间或空间。

常用的参数一般有：（1）},2,1,0{0 ==N T ；（2）},2,1,0{ ±±=T ；（3）],[b a T =，其中a 可以取0或∞-，b 可以取∞+。

当参数取可列集时，一般称随机过程为随机序列。

随机过程});({T t t X ∈可能取值的全体所构成的集合称为此随机过程的状态空间，记作S 。

S 中的元素称为状态。

状态空间可以由复数、实数或更一般的抽象空间构成。

实际应用中，随机过程的状态一般都具有特定的物理意义。

例1：抛掷一枚硬币，样本空间为},{T H =Ω，借此定义：⎩⎨⎧=时当出现，时当出现T 2H ,cos )(t t t X π ),(∞+-∞∈t 其中2/1}{}{==T P H P ，则)},(,)({∞+-∞∈t t X 是一随机过程。

西安电子科技大学讲义随机过程的变换和滤波

第五章随机过程的变换和滤波概率论的主要应用之一，是从可利用的资源汇总，对随机变量做出估计。

一般将，这种问题的最优解是很难分析的。

然后，若只允许对数据进行线性运算，以及“最优性”是在均方意义下理解的话，那么问题就大大简化，这就是线性均方估计问题。

这个问题最早由维纳考虑并解决，与此同时，柯尔莫哥洛夫也独立的完成了此项工作。

他的解法完全基于正交性原理。

可简单的将此原理推广到随机过程；因而，各种看起来似乎没有关系的估值问题，都可以作为这个原理的明显应用来处理，而不需要用到变分法或任何其它高级的工具，也不需要一次又一次的重复地解同样的问题。

在下面的讨论中，我们将讨论随机信号的最优处理问题。

分别针对时间连续和时间离散的信号，将介绍在最小均方意义下具有最优逼近特性的变换。

随后我们讨论离散变化，最有线性变化和最优线性滤波的关系。

5.1 时间离散Karhunen-Loeve 变换在所有的线性变换中， Karhunen-Loeve 变换（KL变换）是一个在最小均方意义下最佳逼近随机过程的变换。

同时，KL变换是一个具有不相关系数的信号展开。

这种特性在很多数字信号处理方面如编码和模式识别有重要的应用。

这种变换适用于连续时间和离散时间信号处理。

本节将详细讨论离散情况。

不失一般性，考虑零均值实随机过程12,.n n x x x x R x ⎛⎫ ⎪ ⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭（5.1）设 12{,,,}n U u u u =是 n 维实向量空间 n R 的一组正交基，随机过程 x可被表示为：x U α=（5.2）这里 U 可看成由正交基构成的正交矩阵， 12(,,,)T n a ααα=。

可以看出：.TU x α=(5.3)假定：(),,1,2,,.i j j ij E i j n ααλδ== (5.4) 这里 ,1,2,,j i n λ= 是未知的实数，且 0.j λ≥ 由（5.3）和（5.4）可知(),,1,2,,.T T i j j ij E u xx u i j n λδ==（5.5）令：{}Tx x R E xx =(5.6)那么，（5.5）可被写成：,,1,2,,.T i j j ij x x u R u i j n λδ==（5.7）通过观察，我们可发现下列方程的解,1,2,,j u j n =也满足方程（5,7）.,1,2,,.j j j xxR u u j n λ==由于 x xR 是一个协方差矩阵，他的特征值问题具有下列特征值： 1．特征值是实数。

电子科技大学随机过程覃思义第一章1sjgc1.4

j 0 i 0
m 1 n 1
若存在实数 I, 使对任意的ε> 0, 存在δ> 0, 只要
λ max {( xi 1 xi ), ( y j 1 y j )} δ
0 i n 1 0 j m 1
（时, 对任意分点及 xi *，y j *) 的任意取法, 不等式
a f ( x )d [ g ( x )] a
电子科技大学
b b
3) 设α,β是任意常数，则
f ( x ) d [ g ( x )].
随机变量的数字特征
以上三个等式成立的意义是: 当等号右边存在时, 左边也存在并相等. 4) 若a < c <b, 则有
a f ( x )dg ( x ) c b a f ( x ) dg ( x ) c f ( x ) dg ( x )
dF ( x ) F ( x ) p ( x ) 0 , dx
若R-S积分存在则

f ( x )dF ( x ) f ( x ) p ( x )dx

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随机变量的数字特征
二、二元R-S积分简介
假定二元函数 F ( x , y ) 满足下述条件: 1) 对于平面上任意矩形 a1 x b1 , a2 y b2 ,有
均成立.
则记
a xb c yd
f ( x , y )dF ( x , y ) lim σ
λ 0
lim f ( x i* , y * ) F ( xi , x i 1 ; y j , y j 1 ) I j
λ 0 j 0 i 0
m 1 n 1
称积分 I 为 f ( x, y ) 关于 F ( x, y ) 在矩形 {( x, y ) : a x b, c y d } 上的 R-S 积分.

随机过程-电子科技大学-彭江燕 (1)

5.4 齐次马氏链的状态为揭示齐次马氏链的基本结构，需对其状态按概率特性进行分类，状态分类是研究n 步转移概率的极限状态的基础.EX.1设系统有三种可能状态E={1, 2 ,3},“1”表示系统运行良好, “2”表示系统运行正常，“3”表示系统失效.电子科技大学电子科技大学以X (n )表示系统在n 时刻的状态, 并设{X (n ),n ≥0}是一马氏链. 在没有维修及更换的条件下, 其自然转移概率矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10010110902012022017333231232221131211p p p p p p p p p P 由矩阵P 可见，从“1”或“2”出发经有限次转移后总能到达“3”状态，而一旦到达“3”状态则永远停留在“3”.状态“1”, “2”与状态“3”有不同的概率特性.状态“1”, “2”与状态“3”有不同的概率特性.一、刻画状态特性的几个特征量二、状态类型分类三、状态类型判别条件四、状态间的关系五、状态空间的分解电子科技大学一、刻画状态特性的几个特征量定义5.4.4，记及对1,≥∈∀n E j i },)0(11,)(,)({ˆ)(i X n k j k X j n X P f n ij =−≤≤≠==称为(n 步)首达概率.系统从状态“i ”出发经过n 步转移后首次到达状态“j ”的概率特别地称)(n ii f 为首返概率；5.4 齐次马氏链的状态电子科技大学∑∞==1)(n n ijf称为最终概率.定义5.4.5 自状态i 出发迟早(最终)到达j 的概率为})0()(,1{i X j n X n P f ij ==≥=使存在定理5.4.1(首达概率表示式)有，及对1,≥∈∀n E j i ;10)1)(≤≤n ij f 2) 首达概率可以用一步转移概率表示为为状态i 的最终返回概率.ii f ji i i j i j i i i j i n ij n n p p p f 1211112)(−−∑∑∑≠≠≠=电子科技大学j i i i j i ji i i j i n ij n n p p p f 1211112)(−−∑∑∑≠≠≠= 证1）显然ii 1i 2j2）分析示意图如下})0(1,,2,1,)(,)({)(i X n k j k X j n X P f n ij =−=≠== .)0(1,,2,1,})({,)(⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=−====∈≠i X n k i k X j n X P E i j i k k k ∪第1步第2步第n 步()01;n ij f ≤≤电子科技大学⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧===−==−≠≠≠−i X j n X i n X i X P n j i j i j i n )0(})(,)1(,,)1({11112 ∪∪∪()(),{()},1,2,,1(0).k n ij k i j f P X n j X k i k n X i ≠⎧⎫⎪⎪====−=⎨⎬⎪⎪⎩⎭∪∑∑∑≠≠≠−=j i ji j i n 112 })0()(,)1(,,)1({11i X j n X i n X i X P n ===−=− ji i i j i j i ii j i n n p p p 1211112−−∑∑∑≠≠≠=定义5.4.2 对j ∈E , 称})0(,)(,1:min{i X j n X n n T ij ==≥=为从i 到达j 的首达时间.注：若右边是空集, 则令T ij =∞.随机变量EX.2在股票交易过程中令状态空间为E ={－1, 0, 1}各状态分别代表“下跌”,“持平”,“上升”.若X (0)=0, 有使<<<<k n n n 21电子科技大学 ,1)(,,1)(,1)(21===k n X n X n X }0)0(,1)(:min{01===X n X n t k 则121},,,,min{n n n n k == 注1T ij 表示从i 出发首次到达j 的时间.T ii 表示从i 出发首次回到i 的时间.注2 T ij 与首达概率之间有关系式：,2,1,,,},)0({)1)(∞=∈===n E j i i X n T P f ij n ij.,},)0({)2E j i i X T P f ij ij ∈=∞<=若X (0)=0, 有使 <<<<k n n n 21续EX.1设系统有三种可能状态E ={1, 2 ,3}, “1”表示系统运行良好, “2”表示系统运行正常,“3”表示系统失效.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10010110902012022017333231232221131211p p p p p p p p p P T 13(1)1313{1(0)1}f P T X ====131,20p =ji i i j i j i i i j i n ij n n p p p f 1211112)(−−∑∑∑≠≠≠= 系统的工作寿命，有电子科技大学(2)1313{2(0)1}f P T X ===13{(0)1}P T n X ≥=研究首达概率和首达时间有实际工程意义.……13{(0)1}P T n X ≥=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10010110902012022017333231232221131211p p p p p p p p p P [0,],n 是系统在内运行的可靠性有1113122321,400p p p p =+=13{(0)1}k nP T k X ∞====∑()13n k nf∞==∑电子科技大学定理5.4.2概率与首达概率有关系式，任意步转移及对1,≥∈∀n E j i ∪∞==⊂==1}{})(,)0({m ij m T j n X i X 因证:⎭⎬⎫⎩⎨⎧====∞=∪∩1}{})(,)0({m ij m T j n X i X })(,)0({j n X i X ==故.)(1)()(m n jjnm m ijn ijpfp−=∑=电子科技大学})0()({)(i X j n X P P n ij===⎭⎬⎫⎩⎨⎧=====i X j n X m T P nm ij )0(})(,{1∪},)0()({})0({1m T i X j n X P i X m T P ij nm ij ======∑=⎭⎬⎫⎩⎨⎧====∞=∪∩1}{})(,)0({m ij m T j n X i X ∪nm ij m T j n X i X 1},)(,)0({=====})(,)0({j n X i X ==故电子科技大学马氏性})()({})0(,11,)(,)({1j m X j n X P i X m k j k X j m X P nm ==⋅=−≤≤≠==∑=})()({1)(j m X j n X P f nm m ij ===∑=()1{(0)}{()(0),}nn ijij ij m P P T m X i P X n j X i T m =======∑.)(1)(m n jjnm m ijpf−=∑=定义5.4.1使，若存在对1,,≥∈∀n E j i ,0)(>n ijp称自状态i 可达状态j ,记为.j i →定理5.4.3的充分必要条件是0>ij f .j i →证:必要性因01)(>=∑∞=m m ijij ff 至少存在一个n 使,有)(>n ijf ()()()1nn m n m ijijjjm pfp−==∑()(0)0n ijjj fP ≥>定义5.4.3称若,,0}{E j T P ij ∈=∞=∑∞===1)(][n n ijij ij nfT E μ为从状态i 出发, 到达状态j 的平均时间(平均步数).充分性因j i →使，存在1≥n 01)()()(>=∑=−nm m n jjm ijn ijpfp则在中至少有一个大于零，故)()1(,,n ijijff 01)(>=∑∞=m m ijij ff 特别当i=j 称jj μ为状态j 的平均返回时间.电子科技大学二、状态类型分类状态分类是研究n 步转移概率的极限状态的基础, 能有效地揭示其深刻的统计规律.续EX.1设系统有三种可能状态E ={1, 2 ,3},“1”表示系统运行良好, “2”表示系统运行正常，“3”表示系统失效.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∞→100100100lim )(n n P该系统的状态“3”是吸收态, 经有限步均会被吸收, 直观分析可得有必要分析各种状态的类型.电子科技大学定义5.4.6对状态i ∈E , 最终返回概率为f ii ，若f ii <1，称状态i 是非常返的(或瞬时的).若f ii =1，称状态i 是常返的；若马氏链的每个状态都是常返的, 则称为常返马氏链.f ii =1表示系统从状态i 出发几乎必定会返回状态i .定义5.4.7对常返状态i ∈E , 平均返回时间为μii ，若μii <+∞, 称状态i 是正常返的；进一步, 根据常返状态的平均返回步数再划分为两类.注若μii = +∞, 称状态i 为零常返的。

随机过程讲义(第一章)

P (Ω ) = 1 ；
对任意两两不交的至多可数集 {An } ⊂ F ， P⎛ ⎜ U An ⎞ ⎟ = P ( An ) ⎝n ⎠ ∑ n
称 P(⋅) 为 F 上的概率测度， (Ω, F , P) 称为概率空间。
1
1.4 随机变量的概念定义：设 (Ω, F , P ) 为一概率空间， X = X ( w) 为 Ω 上的一个实值函数，若对任意实数 x ，X −1 ((−∞, x) ) ∈ F ，则称 X 为 (Ω, F , P ) 上的一个（实）随机变量。称 F ( x) = P( X < x ) = P( X ∈ (−∞, x)) = P X −1 ((−∞, x) ) 为随机变量 X 的分布函数。随机变量实质上是 (Ω, F ) 到 (R, B ( R ) ) 上的一个可测映射 ( 函数 ) 。记
_______
2
α 1 , α 2 Lα m ， ∑∑ ϕ (t l − t k )α l α k ≥ 0 ；
l =1 k =1
m
m
5) ϕ ( w) 为 R n 上的连续函数。 6) 有限多个独立随机变量和的特征函数等于各自特征函数的乘积； 7) 设 X = (ξ1 , Lξ n ) 为 n 维随机向量，特征函数为 ϕ ( w1 ,L wn ) , 则
n→∞
敛到随机变量 X ；
2)
若 E X n 存在，且 lim E X n − X
n→∞
p
p
则称 X 1 , X 2 , L X n ,L p 阶收敛到 = 0，
随机变量 X ，特别当 p = 2 ，称为均方收敛。
3) 4)
若 P lim X n = X = 1 ，称 X 1 , X 2 , L X n ,L 几乎必然收敛到随机变量 X 。

电子科技大学随机过程覃思义第一章1sjgc1.3

y1=g1(x1,…,xn) ,…, yk=gk(x1,…,xn)
则 Yi=gi(X1,…,Xn), ( i=1,2,…,k)是随机变量. (Y1,Y2,…,Yk)的联合分布函数为：
F ( y1 , y2 , , yk ) P{Y1 y1 , Y2 y2 , , Yk yk }
P{ g1 ( X 1 , , X n ) y1 , , g k ( X 1 , , X n ) yk }
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随机变量的函数
2)关于一个(或几个)随机变量的函数
3）二维随机变量的变换
定理1.3.1 设(X1, X2)的联合密度为f(x1, x2),若函数 y1 g1 ( x1 , x 2 ); y2 g 2 ( x1 , x 2 ). 满足下述条件:
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随机变量的函数
f [ x1 ( y1 , y 2 ), x 2 ( y1 , y 2 )] J
电子科技大学
随机变量的函数
证 Y1, Y2是随机变量，其联合分布函数为
F ( y1 , y2 ) f ( x1 , x2 )dx1dx 2
D
其中 D {( x1 , x2 ) : g1 ( x1 , x2 ) y1 , g2 ( x1 , , y2 ), x 2 x 2 ( y1 , y2 ).
x1 y1 J x 2 y1 x1 y 2 0 x 2 y 2
② 有连续的一阶偏导数； ③Jacobi行列式
则Y1=g1(X1,X2), Y2=g2(X1,X2)的联合概率密度为
做积分变换
x1 x1 ( u1 , u2 ); x2 x2 ( u1 , u2 ).
y1

电子科技大学随机过程第一章讲解

解 1) 已求得A=a时，X t 的条件概率密度为

f
Xt
A
(
x
a)

π 0,
1 ,
a2 x2
x a;
其它. 怎样求f Xt ( x)？
电子科技大学
19.6.2
f Xt ( x) f Xt ,A( x, a)da

f Xt A( x a) f A(a)da
的随机过程 Xt (), t,以T该函数族为其有限维分
布函数族.
电子科技大学
19.6.2
如何确定随机过程的分布？
Ex.1.1.5 设随机过程
Xt acos(t ), t R,
其中a, ω是正常数, 随机变量Θ～U(－π, π), 试求过程的一维概率密度.
解 : 利用特征函数法
电子科技大学
19.6.2
(布朗运动) 漂浮在液面的微小粒子,不断进行
杂乱无章的运动. 这种运动是由于大量随机的、
相互独立的分子碰撞的结果. 用(Xt, Yt)表示t 时刻粒子的位置, 由于运动的无规则性, 当时间 t 改
变时Xt 和Yt 都是随机变量, 二维随机过程{(Xt, Yt), t ≥0}描述了粒子的运动过程.
若经无穷多次碰撞
记
{ω1(n) } {第n次碰撞后向左}，
{ω(2n) } {第n次碰撞后向右}，
随机变量序列
电子科技大学
19.6.2
X
n
(ω)

1, 1,
ω ω1(n);
ω

ω(n) 2
.
(n 1,2,)
则 Xnω: n 1,2, 描述了质点的随机运动.

随机过程-电子科技大学-彭江燕 (2)

第一章随机过程的基本概念§1.1 随机过程的定义及分布§1.2随机过程的数字特征§1.3 随机过程的基本类型§1.1 随机过程的定义及分布1.1.1 随机过程的直观背景观察研究随机现象随时间推移的演变过程.Ex.1从杂乱电讯号的一段观察{Y(t),0< t< T}中,研究是否存在某种确定或随机信号S(t )?过程检测Ex.2监听器上收到某人的话音记录{Z(t),α<t<β}试问他是否确实是追踪对象？过程识别Ex.3 人们记录下地球50年的气温数据探究：1. 气温有什么样的周期变化？2. 在气温周期变化规律下, 随时间的推移是否有变暖的趋势？Ex.4 雷达信号干扰,0t t τt X A S N t −=⋅+≥其中N t 是随时间变化的各种随机干扰的效应.A 反映信号经发射后的能量损失,τ则反映了雷达站与障碍物间距离. 由于各种随机干扰的存在, 雷达实际接收到的信号是某雷达站在t 时刻发出信号S t , 遇到障碍物后又反射回来, 接受到的发射信号为A·S t －τ, 其中抗干扰的重点是对反映干扰的这一随机过程N t 特性的研究.特点：关注对象是一族随时间或地点变化的随机变量.“一族”可指可列无限个，或不可列无限个.任务:将有限维随机向量的概念向“无限”推广.1.1.2 概率空间与随机向量(已介绍)电子科技大学1.1.3 随机过程定义，},)ω,({T t t X ∈定义1.1.8设给定概率空间(Ω,F , P )和指标集T , 若对每个t ∈T , 有定义在(Ω,F , P )上的随机变量与之对应. 称依赖于t 的随机变量族X t 为随机过程(随机函数).Ω∈ωωX t ),(记为},)ω({T t X t ∈，},{T t X t ∈.},)({T t t X ∈注指标集T 又称参数集或参数空间.电子科技大学当T =(1,2, …，n ),),,,(},)ω,({21n X X X T t t X "=∈随机向量当T =(1,2, …, n,…),),,(},)ω,({21"X X T t t X =∈时间序列当T ={(x , y ):a <x <b , c <y <d },},)ω,({T t t X ∈平面随机场，或多维指标集随机过程随机过程是n 维随机变量，随机变量序列的一般化,是随机变量X (t ), 的集合.T t ∈电子科技大学为随机过程的状态空间(或值域).随机过程可视为质点M 随时间推移所作的随机运动变化过程.},{T t X t ∈随机事件表示随机过程在时刻t时处于状态x.}{x X t =称集合},)(:{T t x X x E t ∈==ωEx.5质点布朗运动设质点在直线上随机游动, 经随机碰撞后各以1/2的概率向左或向右移动.若经无穷多次碰撞ωω()1()2{}{} {}{}t t t t ==记第次向左，第次向右，定义随机变量序列)1,2,(.ωω1,;ωω,1)ω()(2)(1"=⎪⎩⎪⎨⎧==−=t X t t t 则描述了直线上随机质点的运动.{}"1,2,:)ω(=t X t 其参数集T ={1,2,…}, 状态空间E ={－1, 1}.电子科技大学随机过程的理解}Ωω,:)ω,{(Ω∈∈=×T t t T 定义指标集和样本空间的积集随机过程是定义在积集上的二元函数：}),ω({T t X t ∈Ω×T ）（，Ω∈∈=ω,),()ω(T t t X X t ω1) 对固定的是一个定义在概率空间(Ω, F , P ) 上的随机变量；,T t ∈Ω∈ω，)ω(t X 2)当固定作为时间变量的函数，是一个定义在T 上的普通函数.Ωω0∈T t ∈)ω,(0t x ）（，Ω∈∈=ω,),()ω(T t t X X t ω即对于特定的试验条件随机过程是定义在积集上的二元函数：}),ω({T t X t ∈Ω×TX(t1,ω)X(t2,ω)X(t n,ω)x(t,ω1)x(t,ω2)x(t,ω3) t1t2t n当t 变化时, 构成一族随机变量.对不同的ω得到不同的确定性函数.电子科技大学电子科技大学ω2= 1.9164ω3= 2.6099ω1=5.4938对不同的ω得到不同的确定性函数.Ex.6 随机相位正弦波X t (ω) = αcos(βt +Θ), Θ~U(0, 2π)电子科技大学定义1.1.9对每一固定ω∈Ω, 称x t (ω)是随机过程相应于ω的样本函数。

第二章、随机过程的基本概念

{V (t),t 0}。 1、设已给概率空间(, F, P)及参数集T (,),则称
{X (,t), ,t T},
2020年5月6日星期三
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随机过程(西电版) 2.1 随机过程的定义
第2章随机过程的基本概念
为该概率空间上的随机过程，简记为 {X (t),t T}。
随机过程(西电版)
2.4 复随机过程
第2章随机过程的基本概念
设 {X (t),t T},{Y (t),t T}为两个实随机过程,则称
{Z(t) X (t) iY(t),t T}
为复随机过程.
1、复随机过程的数字特征设复随机过程 {Z (t),t T} 称
(1)均值函数为 mZ (t) E[Z (t)] mX (t) imY (t);
x2
P
A
x1,
A 2
x2
PA x1, A 2x2
3•
x1 2x2
2•
P( P(
A A
x1), x1 2x2 ), x1
2
x2 2x2
1•
•
•
•
1 23
x1
0,
x1
2x2 ,
x1
1或x1
2x2 ,
x2
1 2
F
0,
3
;
x1,
x2
1 3
,
x1
2x2,1
x1
2或x1
2x2 ,
0,
3
;
x1,
x2
.
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随机过程2(西.电2版随) 机过程的有限维分布函数族第2章随机过程的基本概念

通信原理课件(西安电子科技大学版)2

B(t1,t2)=E｛［ξ(t1)-a(t1)］［ξ(t2)-a(t2)］｝ =

[ x1 a(t1 )][x2 a(t2 )] f2(x1,x2; t1,t2)dx1dx2

式中，t1与t2是任取的两个时刻；a(t1)与a(t2)为在t1及
t2时刻得到的数学期望；f2(x1,x2; t1,t2)为二维概率密度函数。相关函数定义为 B(t1, t2)=R(t1, t2)-a(t1)a(t2)
Rξη(t1, t2)=E［ξ(t1)η(t2)］

(2.1 - 12)
2.2平稳随机过程
2.2.1定义
所谓平稳随机过程，是指它的统计特性不随时间的推移而变化。设随机过程{ξ(t)，t∈T},若对于任意n和任意选定t1＜t2 ＜…＜tn, tk∈T， k=1, 2, …, n，以及h为任意值，且x1, x2, …, xn∈R，有
则称f2(x1,x2; t1,t2)为ξ(t)的二维概率密度函数。
同理，任给t1, t2, …, tn∈T, 则ξ(t)的n维分布函数被定义为 Fn(x1,x2,…,xn; t1,t2,…,tn)=P｛ξ(t1)≤x1,ξ(t2)≤x2,…, ξ(tn)≤xn｝
2 Fn ( x1, x2 ...;t1,t2 ...,tn ) f ( x1, x2 ..., xn ; t1, t2 ...,tn ) x1 x2 ...xn
任给两个时刻t1, t2∈T，则随机变量ξ(t1)和ξ(t2)构成一个二元随机变量{ξ(t1), ξ(t2)}，称F2(x1,x2; t1,t2)=P｛ξ(t1)≤x1, ξ(t2)≤x2｝ (2.1 - 3) 为随机过程ξ(t)的二维分布函数。如果存在

随机过程基本知识-西安电子科技大学

相互独立的随机变量序列称N(t) 是参数为 Байду номын сангаас 的Poisson过程.
复合poisson过程
定义设 {N(t),t≥0} 是参数为λ 的Poisson过程, {Yk.k=1,2,…}是一列独立同分布的随机变量序列, 且与 {N(t),t≥0}独立
令X (t ) Yk , t 0
t-s内发生的随机事件数．
② N(t)是非负整数
③
④
实例 1.电话交换台的呼叫次数 2.放射性裂变的质点数 3.发生故障而不能工作的机器数 4.通过交通路口的车辆数 5.来到某服务窗口的顾客数 ……….. 以上实例中的呼叫,质点,机器,车辆,顾客等也统一叫做随机点
若计数过程 {N(t),t≥0} 满足
k 1
N (t )
称 {X(t),t≥0}为复合Poisson过程.
（4）连续时间连续状态高斯过程(正态过程） T=R, S=R
设{X(t), t ∈T }是取实值的S.P. ,若对任意的n≥1 及t1,t2,…,tn∈T, {X(t1), X(t2), …, X(tn)}是n维正态随机变量, 则称S.P. {X(t), t ∈T}为正态过程或高斯过程
(3) n 2, 0=t0 <t1 < <tn < ,W (tn )-W (tn -1 ), W (t2 )-W (t1 ),W (t1 )-W (t0 ) 相互独立
（４）随机过程Ｗ具有连续的样本轨道
2 1 的ＢＭ也称为标准Ｂｒｏｗｎ运动
二
根据轨道连续与否来分
样本轨道连续的随机过程
均值函数为0 功率谱密度为常数
（3）连续时间离散状态
Poisson过程 T=R+， S=N

西安电子科技大学研究生课程随机过程14

k 1
n
{nt E(k ) N (t) n} P(N (t) n)
n0
k 1
n
{nt E( U(k) )} P(N (t) n)
n0
k 1
n
{nt EU(k)} P(N (t) n)
n0
k 1
{nt 1 nt} (t)n et
n0
2
n!
t2 et (t)n1
s(t s) s 2s2
2st s
2st min(s,t)
CN (s,t) RN (s,t) mN (s)mN (t)
2st min(s,t) s t min(s,t)
2)对0 s t
平稳性
P(N(t) N(s) k) P(N(t s) N(0) k) P(N(t s) k)
定理 (到达时间间隔分布) 设{N(t),t≥0} 是参数为λ 的Poisson过程，
Tn,n 1,2,L 是其到达时间间隔序列，则
T1,T2,L ,Tn,L 是相互独立同服从参数为λ 的指数分布．
证明
独立性由于poisson过程是平稳的独立增量过程所以 T1,T2,L ,Tn ,L 相互独立.
c. t 0, N(t)服从参数是λt 的Poisson分布,即
P(N (t) k) (t)k et , k 0,1,2,
k!
则称计数过程{N(t),t≥0}是参数(强度,比率)为λ 的 Poisson过程.
定理设 {N(t),t≥0} 是参数为λ 的Poisson
过程，则 1) mN (t) t,t 0, DN (t) t,t 0,
得证
定理 (到达时间序列分布)
设{N(t),t≥0} 是参数为λ的Poisson过程,则其到达时间

电子科技大学随机过程第2章

(m n)
多元正态分布的边缘分布仍是正态分布
~ C 是C 保留第k1,k2,…,km 行及列所得的m 阶矩阵.
~ ~ ~ μ 也服从正态分布N (μ, C ), 其中 ( k1 , k2 ,, km ),
3.独立性问题
等价于其协方差矩阵是对角阵.
定理2.1.3 n维正态分布随机向量（X1,X2,…, Xn）相互独立的充要条件是它们两两不相关.
由X0, V 相互独立知
0 1 0 X0 ～N 0 , 0 1 V
X s 1 s X 0 X t 1 t V
因为
由正态分布的线性变换不变性得, 当s≠t时, (Xs, Xt)T的二维概率分布是非退化正态分布
Y KCK T , R(Y ) min( R(C ), R( K )) 2
即二维以上的线性变换向量Y= KX都是退化(奇异)联合正态分布.
电子科技大学
问题结论： 1)不能保证Y=KX 服从非退化正态分布. 2) 当|KCKT|≠0时, 随机向量Y 服从非退化正态分布. K为行满秩矩阵可证明推论非退化正态分布随机向量X的满秩线性变换仍服从非退化正态分布.
c2 c1 1 t1 t 2 1 t1 t 3
退化, 写不出概率密度
1 t
2 1
t1 t2 t3
t1 t2 0 t3
( t 2 t1 )( t 3 t 2 ) 1 t1 t 2 1 t1 t 3
故例中当n>2时，不能写出n维联合正态随机向量, 其线性变换 Y= KX, 有 1) 每一分量服从正态分布; 2) 不能构成二维以上的非退化联合正态分布;

西安电子科技大学讲义

1-1 两班半随机二进过程定义为()X t A =或-A ,(n－1)T <t <nT 0,1,2,.......n =±±其中值A 与-A 等概率出现，T 为一正常数，0,1,2,.......n =±±（1）画出典型的样本函数图形；（2）将此过程规类；（3）该过程是确定性过程么？1－2 离散随机过程的样本函数皆为常数，即(){}(0,)!kλt k λt P K k P t e k -===()X t C ==可变常数，式中C 为一随即变量，其可能值为11,2233c c c ===及，且他们分别以概率0.6，0.3及0.1出现。

（1）X （t ）是确定过程么？（2）求：在任意时刻t ，X(t)的一维概率密度。

1－3设随机过程X (t )=V t ，其中V 是在（0，1）是均匀分布的随机变量，求过程X （t ）的均值和自相关函数。

1－4设随机过程2X (t)=A t+B t ，式中A,B 为两个互不相关的随机变量，且有E[A ]=4,E[B ]=7,D [A ]=0.1,D [B ]=2.求过程X （t ）的均值，相关函数，协方差函数和方差。

1－5程X(t)的数学期望2E[X (t )]=t +4。

求另一随机过程 2Y (t )=t X (t )+t 的数学期望。

1－6信号X (t )=V cos 3t ，其中V 是均值为1，方差为1的随机变量。

设新的随机信号 λλ⎰t01Y (t)= X () d t 求Y （t ）的均值，相关函数，协方差函数和方差。

1－7个随机过程X(t),Y(t)都是非平稳过程 ()()cos X t A t t =,Y (t )=B(t )s i nt 其中()A t ，B (t )为相互独立，各自平稳的随机过程，且他们的均值均为0，自相关函数相等。

试证明这两个过程之和()()Z t X t =+Y (t )是宽平稳的。