5-2量子-波函数和薛定谔方程大学物理作业习题解答

合集下载

量子力学课后习题答案

量子力学习题及解答第一章量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。

解根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ，（1）以及 c v =λ，（2）λρρd dv v v -=，（3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。

但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。

首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。

据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。

解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。

第二章薛定谔方程习题

第二章薛定谔方程习题 (课本44页)2.1 证明在定态中，概率流密度与时间无关。

证明：当一个系统处于定态时，其波函数),(t rϕ可以写作，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Et ir t rexp )(),(φϕ 于是便有，⎪⎭⎫⎝⎛=Et ir t rexp )(),(**φϕ 根据概率流密度的定义式(2.4-4)有，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∇⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∇⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-∇⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∇⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∇-∇≡ϕϕϕϕϕϕϕϕψψψψt iE t iE t iE t iE m i t iE t iE t iE t iE m i m i Jexp exp exp exp 2exp exp exp exp 2)(2******即有，)(2)(2****φφφφϕϕϕϕ∇-∇=∇-∇=mi m i J 显然，在定态中概率流密度与时间无关。

从某种意义上说明上述波函数称为定态波函数是名副其实的。

2.2 由下列两定态波函数计算概率流密度：⑴ )exp(11ikr r=ϕ，⑵ )exp(12ikr r-=ϕ。

从所得结果说明1ϕ表示向外传播的球面波，2ϕ表示向内(即向原点)传播的球面波。

解：在解本题之前，首先给出一个函数f 的梯度在球坐标系下的表达式，即ϕθθϕθ∂∂+∂∂+∂∂=∇f r e f r e r f e f r sin 1ˆ1ˆˆ ⑴ 首先求解函数1ϕ的概率流密度r ikrikr r ikr ikrikr r ikr e mr k r ike re e r e r ike r e e r e m i r ikr r ikr r ikr r ikr m i m i J ˆˆˆ2)exp()exp()exp()exp(2)(22221*1*111 =⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎭⎫⎝⎛∇---∇=∇-∇=---ϕϕϕϕ可见，概率流密度1J 与r同号，这便意味着1J 的指向是向外的，即1ϕ表示向外传播的球面波。

《量子力学教程》作业题及答案--2017-2018第一学期

第二章波函数和薛定谔方程
1、求一维线性谐振子处在第一激发态时概率最大的位置。
解：ψ 1(x ) =（
2α
π
）αxe − α
2
x2 /2
w(x ) = ψ 1(x ) =
2
2α 3
π
x 2e − α
2
x2
2 2 2 2 ∂w(x ) = 0 得 2xe − α x − 2α 2xx 2e − α x = 0 ∂x
E n x n y = E n x + E n y = (n x + 2n y + )ω
3）对于基态， n x ,n y = 0 ， E 00 =
3 ω 是非简并的； 2
对于第一激发态，
5 n x = 1 ， E 10 = ω 是非简并的； 2 n y = 0 7 n x = 0 n x = 2 ，， E 01 = E 20 = ω 能级是二重简并的； 2 = 1 = 0 n n y y 9 n x = 3 nx = 1 ，，E E = = ω 是二重简并的。 30 11 n = 1 2 = 0 n y y
x < 0 0 ≤ x ≤ a 中， x > a
V0
4
的本征态，试确定此势阱的宽度 a 。
解：对于 E = −
V0
4
< 0 的情况，三个区域中的波函数分别为
ψ 1 ( x ) = 0 ψ 2 ( x ) = A sin kx ψ ( x ) = B exp(− αx ) 3
其中，
k=
n
则只有量子数 n = 1,3,5, 时， H n (0) = 0 （ n = 1,3,5, ）则能级为 E n = ( n + 1 2 )ω

量子力学习题及答案

?2k ( 7 )
(7)代入(6)
csin2kk22a?dcos2k2a??kccos2k2a?
k21
kdsin2k2a
1
利用(4)、(5)，得
k1k2kasin2k2a?acos2k2a??acos2k2a?2kdsin2k2a
1
a[(
k1k2k?2k)sin2k2a?2cos2k2a]?0
1?a?0
?
2
2?
??4
??0?e?4(b?x)对于区域Ⅰ，u(x)??，粒子不可能到达此区域，故?1(x)?0
而. ????2? (u0?e)
2
0?
2
?2?①
??2? (u1?e)
3
???
2
?3?0 ②
??2?e4
???
2
?
4
?0
对于束缚态来说，有?u?e?0
∴ ????k21?2?0 k22? (u0?e)
因此k1x
??1?ae ?
3
?fe
?k
1x
由波函数的连续性，有
?1(0)??2(0),?a?d(4)
?1?(0)???2
(0),?k1a?k2c (5)??(2a)??1a
3?(2a),?k2ccos2k2a?k2dsin2k2a??k?2k2
1fe(6)
?1a
2(2a)??3(2a),?csin2k2a?dcos2k2a?fe
1???k1?1?1?2?(u0?e)?????2??k22?2?0 (2) k22?2?e?2
束缚态0＜e＜u0 ??
??3??k2
1?3?0 (3)?1x
1?ae
?k?be
?k1x

量子力学课后习题答案

Wnl (r)dr Rnl2 (r)r 2dr
例如：对于基态 n 1, l 0
W10 (r) R102 (r)r 2

4 a03
r e2 2r / a0
求最可几半径
R e 2 r / a0
10
a03 / 2
dW10 (r) 4 (2r 2 r 2 )e2r / a0
x)

k
2
2
(
x)

0
其解为 2 (x) Asin kx B cos kx
根据波函数的标准条件确定系数A、B，由连续性条件，得
2 (0) 1(0) B 0
2 (a) 3 (a) Asin ka 0
A0
sin ka 0
ka n
(n 1, 2, 3,)
[1 r
eikr
r
(1 r
eikr )

1 r
eikr
r
(1 r
eikr )]er
i1 1 11 1 1

2
[ r
(
r2
ik
) r

r
(
r2
ik
r )]er

k
r2
er
J1与er 同向。 1 表示向外传播的球面波。
习题
(2)
J2

i
2
(
2
* 2
2*
解：U (x)与t 无关，是定态问题
薛定谔方程为

2
2
d2 dx2

(x) U (x) (x)

E (x)
在各区域的具体形式为：
x0

量子力学典型例题解答讲解

量子力学例题第二章一．求解一位定态薛定谔方程1．试求在不对称势井中的粒子能级和波函数[解] 薛定谔方程:当, 故有利用波函数在处的连续条件由处连续条件:由处连续条件:给定一个n 值,可解一个, 为分离能级.2．粒子在一维势井中的运动求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数[解]体系的定态薛定谔方程为当时对束缚态解为在处连续性要求将代入得又相应归一化波函数为:归一化波函数为:3分子间的范得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为求束缚态的能级所满足的方程[解]束缚态下粒子能量的取值范围为当时当时薛定谔方程为令解为当时令解为当时薛定谔方程为令薛定谔方程为解为由波函数满足的连续性要求,有要使有非零解不能同时为零则其系数组成的行列式必须为零计算行列式,得方程例题主要类型: 1.算符运算; 2.力学量的平均值; 3.力学量几率分布.一. 有关算符的运算1.证明如下对易关系(1)(2)(3)(4)(5)[证](1)(2)(3)一般地,若算符是任一标量算符,有(4)一般地,若算符是任一矢量算符,可证明有(5)=0同理：。

2.证明哈密顿算符为厄密算符[解]考虑一维情况为厄密算符, 为厄密算符,为实数为厄密算符为厄密算符3已知轨道角动量的两个算符和共同的正交归一化本征函数完备集为,取: 试证明: 也是和共同本征函数, 对应本征值分别为: 。

[证]。

是的对应本征值为的本征函数是的对应本征值为的本征函数又:可求出:二.有关力学量平均值与几率分布方面1.(1)证明是的一个本征函数并求出相应的本征值；(2)求x在态中的平均值[解]即是的本征函数。

本征值2.设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，如粒子的状态由波函数描写。

求粒子能量的可能值相应的概率及平均值【解】宽度为a的一维无限深势井的能量本征函数注意:是否归一化波函数能量本征值出现的几率 , 出现的几率能量平均值另一做法3 .一维谐振子在时的归一化波函数为所描写的态中式中，式中是谐振子的能量本征函数，求（1）的数值；2）在态中能量的可能值，相应的概率及平均值；（3）时系统的波函数；（4）时能量的可能值相应的概率及平均值[解](1) , 归一化，，，（2），，；，；，；（3）时，所以：时，能量的可能值、相应的概率、平均值同（2）。

《量子力学教程》_课后答案

其解为
2 ( x) A sin kx B coskx
④
13
根据波函数的标准条件确定系数 A，B，由连续性条件，得
2 (0) 1 (0)
2 ( a ) 3 ( a)
⑤ ⑥ ⑥
⑤
B0 A sin ka 0
A0 s i n 0 ka ka n
《量子力学教程》习题解答
1
《量子力学教程》
习题解答说明
• 为了满足量子力学教学和学生自学的需要，完善精品课程建设，我们编写了周世勋先生编写的《量子力学教程》的课后习题解答。本解答共分七章，其中第六章为选学内容。 • 第一章第二章第三章第四章第五章第六章第七章
2
目录
• • • • • • • 第一章绪论第二章波函数和薛定谔方程第三章力学量的算符表示第四章态和力学量的表象第五章微扰理论第六章弹性散射第七章自旋和全同粒子
(1)
J1与r 同向。表示向外传播的球面波。
i * * J1 ( 1 1 1 1 ) 2m i 1 ikr 1 ikr 1 ikr 1 ikr [ e ( e ) e ( e )]r0 2m r r r r r r i 1 1 1 1 1 1 [ ( 2 ik ) ( 2 ik )]r0 2m r r r r r r k k 2 r0 3 r mr mr
0
2
n ， n 1,2, 。 eB
1 2 1 eBR 1 2 2 n e B n B B 电子的动能为 E v 2 2 2 eB
动能间隔为 E B B 9 10 J 热运动能量（因是平面运动，两个自由度）为 E kT ，所以当 T 4K 时， E 4.52 10 J ；当

量子力学习题解答-第2章

第二章定态薛定谔方程本章主要内容概要：1. 定态薛定谔方程与定态的性质：在势能不显含时间的情况下，含时薛定谔方程可以通过分离变量法来求解。

首先求解定态薛定谔方程（能量本征值方程）222.2d V E m dxψψψ-+= 求解时需考虑波函数的标准条件（连续、有限、单值等）。

能量本征函数n ψ具有正交归一性（分立谱）*()()m n mn x x dx ψψδ∞-∞=⎰或δ函数正交归一性（连续谱）'*'()()()q qx x dx q q ψψδ∞-∞=-⎰ 由能量本征函数n ψ可以得到定态波函数/(,)()niE t n n x t x eψ-ψ=定态波函数满足含时薛定谔方程。

对分立谱，定态是物理上可实现的态，粒子处在定态时，能量具有确定值n E ，其它力学量（不显含时间）的期待值不随时间变化。

对连续谱，定态不是物理上可实现的态（不可归一化），但是它们可以叠加成物理上可实现的态。

含时薛定谔方程的一般解可由定态解叠加而成，在分离谱情况下为 (,)(,)n n nx t c x t ψ=ψ∑系数n c 由初始波函数确定(,0)()n n nx c x ψψ=∑ ， *()(,0)n n c x x dx ψ∞-∞=ψ⎰由波函数(,)x t ψ的归一性，可以得到系数n c 的归一性21nnc=∑对(,)x t ψ态测量能量只能得到能量本征值，得到n E 的几率是2n c ，能量的期待值可由2n n nH c E =∑求出。

这种方法与用*ˆ(,)(,)H x t H x t dx∞-∞=ψψ⎰方法等价。

2. 一维典型例子：（a）一维无限深势阱（分立谱，束缚态）0, 0(),x aV x<<⎧=⎨∞⎩其它地方能量本征函数和能量本征值为2222(), 0;1,2,3,...2nnn xx x a nanEmaπψπ⎛⎫=<<=⎪⎝⎭=若0,(),a x aV x-<<⎧=⎨∞⎩其它地方则能量本征函数和能量本征值为2222()(), ;1,2,3,...22(2)nnnx x a a x a nanEm aπψπ⎛⎫=+-<<=⎪⎝⎭=1n=是基态（能量最低），2n=是第一激发态。

量子力学波函数练习题详解

量子力学波函数练习题详解在量子力学中，波函数是描述微观粒子行为的数学工具。

通过解波函数方程，我们可以了解粒子的能量、位置以及其他一系列重要的物理性质。

为了更好地理解波函数的应用，下面将详细解答几个关于波函数的练习题。

题目一：给定一个波函数ψ(x) = Aexp(ikx)，求其归一化常数A和归一化因子。

解答：归一化常数A表示波函数的幅度，而归一化因子用于保证波函数的总概率为1。

首先，我们需要将波函数ψ(x)归一化以得到概率密度函数。

概率密度函数是波函数的模的平方，即|ψ(x)|^2。

对于给定的波函数ψ(x) = Aexp(ikx)，我们可以计算模的平方：|ψ(x)|^2 = |Aexp(ikx)|^2= A* A* exp(ikx) * exp(-ikx)= |A|^2我们可以发现，模的平方与A的平方成正比。

为了保证概率密度函数积分为1，我们需要要求 |A|^2 = 1。

因此，归一化常数A的值为A = 1。

归一化因子为整个波函数的积分常数，我们可以通过积分来计算归一化因子：∫|ψ(x)|^2 dx = ∫|A|^2 dx= ∫ dx= ∫ 1 dx= x + C其中C为积分常数。

由于波函数描述的是连续的空间，我们取积分区间为负无穷到正无穷，因此积分结果为无穷大。

为了保证积分结果为1，我们需要引入归一化因子N来调整积分结果：∫|ψ(x)|^2 dx = N ∫ dx= N(x + C)由于积分结果为1，我们可以得到归一化因子N的值为N = 1/√(2π)。

综上所述，给定的波函数ψ(x) = exp(ikx)的归一化常数A为1，归一化因子N为1/√(2π)。

题目二：给定一个波函数ψ(x) = A(x + 2)，求其归一化常数A和归一化因子。

解答：同样地，我们需要将给定的波函数ψ(x)归一化。

首先，计算波函数的模的平方：|ψ(x)|^2 = |A(x + 2)|^2= A*(x + 2)*(x + 2)= A^2*(x^2 + 4x + 4)为了保证概率密度函数积分为1，我们对模的平方进行积分并求出归一化因子N：∫|ψ(x)|^2 dx = ∫ A^2*(x^2 + 4x + 4) dx= A^2 ∫ (x^2 + 4x + 4) dx= A^2 * (1/3 * x^3 + 2 * x^2 + 4 * x) + C其中C为积分常数。

量子物理参考答案大全

量子物理参考答案大全量子物理参考答案大全量子物理是一门研究微观世界的学科，它揭示了微观粒子的行为和性质，以及这些行为和性质如何影响宏观世界。

在量子物理中，有许多重要的概念和理论，这些概念和理论对于理解和解释微观世界的现象至关重要。

在本文中，我们将为您提供一份量子物理参考答案大全，希望能够帮助您更好地理解这个复杂而神奇的学科。

1. 什么是量子？量子是指物质和能量的最小单位。

在经典物理中，物质和能量可以连续地分割，而在量子物理中，它们只能以离散的方式存在。

量子的离散性质导致了一系列奇特的现象，如量子叠加和量子纠缠。

2. 什么是量子叠加？量子叠加是指量子系统可以同时处于多个状态的现象。

换句话说，一个粒子可以同时处于不同的位置、动量或能量状态。

这与我们在日常生活中观察到的经典物体的行为截然不同。

量子叠加是量子计算和量子通信等领域的基础。

3. 什么是量子纠缠？量子纠缠是指两个或更多个量子系统之间存在一种特殊的关联关系。

当两个量子系统纠缠在一起时，它们的状态是相互依赖的，即使它们之间的距离很远。

这种关联关系在量子通信和量子隐形传态等领域有着重要的应用。

4. 什么是波粒二象性？波粒二象性是指微观粒子既可以表现出粒子的特性，如位置和动量，又可以表现出波的特性，如干涉和衍射。

这一概念是量子物理的基石，它揭示了微观粒子行为的奇特性质。

5. 什么是量子力学？量子力学是研究量子系统行为的理论框架。

它提供了描述和计算量子系统的数学工具和规则。

量子力学包括波函数、薛定谔方程和量子力学算符等概念。

通过量子力学，我们可以预测和解释微观粒子的行为。

6. 什么是薛定谔方程？薛定谔方程是描述量子系统演化的基本方程。

它通过一个波函数来描述系统的状态，并通过一个算符来描述系统的物理量。

薛定谔方程可以用来计算系统的能量和波函数的演化。

7. 什么是量子力学算符？量子力学算符是描述量子系统物理量的数学对象。

它们对应于可观测量，如位置、动量和能量。

(完整word版)量子力学典型例题分析解答

量子力学例题第二章一．求解一位定态薛定谔方程1．试求在不对称势井中的粒子能级和波函数[解] 薛定谔方程:当，故有利用波函数在处的连续条件由处连续条件:由处连续条件：给定一个n 值,可解一个, 为分离能级. 2．粒子在一维势井中的运动求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数［解]体系的定态薛定谔方程为当时对束缚态解为在处连续性要求将代入得又相应归一化波函数为：归一化波函数为:3分子间的范得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为求束缚态的能级所满足的方程[解] 束缚态下粒子能量的取值范围为当时当时薛定谔方程为令解为当时令解为当时薛定谔方程为令薛定谔方程为解为由波函数满足的连续性要求，有要使有非零解不能同时为零则其系数组成的行列式必须为零计算行列式,得方程例题主要类型：1。

算符运算；2。

力学量的平均值； 3.力学量几率分布.一。

有关算符的运算1。

证明如下对易关系（1)（2）（3)(4）(5)［证](1)(2）(3)一般地，若算符是任一标量算符,有(4)一般地，若算符是任一矢量算符，可证明有(5）=0同理:。

2。

证明哈密顿算符为厄密算符[解］考虑一维情况为厄密算符，为厄密算符，为实数为厄密算符为厄密算符3已知轨道角动量的两个算符和共同的正交归一化本征函数完备集为,取: 试证明：也是和共同本征函数, 对应本征值分别为: 。

［证］.是的对应本征值为的本征函数是的对应本征值为的本征函数又：可求出:二。

有关力学量平均值与几率分布方面1. (1)证明是的一个本征函数并求出相应的本征值；(2)求x在态中的平均值［解]即是的本征函数.本征值2. 设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动,如粒子的状态由波函数描写.求粒子能量的可能值相应的概率及平均值【解】宽度为a的一维无限深势井的能量本征函数注意：是否归一化波函数能量本征值出现的几率, 出现的几率能量平均值另一做法3 。

一维谐振子在时的归一化波函数为所描写的态中式中，式中是谐振子的能量本征函数,求（1)的数值；2）在态中能量的可能值,相应的概率及平均值；（3）时系统的波函数；（4）时能量的可能值相应的概率及平均值[解］（1) ，归一化，，，（2）,，；，;，；(3）时，所以：时，能量的可能值、相应的概率、平均值同（2）.4．设氢原子处于状态求氢原子的能量，角动量平方以及角动量z分量的可能值,这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值.［解] 能量本征值能量本征态当n=2 时本征值为的，出现的几率为100%可能值为出现的几率分别为:.5 。

大学物理：量子物理第二章波函数和薛定谔方程-1

量子力学
粒子状态的坐标（位置）基本描述动量（运动速度） --都是确定量
粒子具有波粒二象性，不可能同时具有确定的坐标和动量，坐标和动量都是以一定的几率出现。用波函数描写体粒子的量子状态。
其它量
其它物理量如能量等都所有其它量都是以一定几率
是坐标和动量的函数-- 出现--用波函数描写体粒子
电子在底片上各位置出现的几率不是常数，出现的几率大，即出现干涉图样中的“亮条纹”；有些地方电子出现的几率为零，没有电子到达，显示“暗条纹”。在电子双缝干涉实验中观察到的，是大量事件所显示出来的一种概率分布。玻恩对波函数物理意义的解释：波函数在空间某一点的强度和在该点找到粒子的几率成正比。
8
E p2 2m
自由粒子波函数：
(x,
t
t)
i
E
( x, t )
E (x,t) i (x,t)
t
x
i
p
2
x 2
p2 2
p2
2 2
x2
2 2
i t 2m x2
3
一维自由粒子运动所遵从的薛定谔方程：
i
t
2
2m
2
x 2
三维自由粒子运动所遵从的薛定谔方程：
i
t
2
2m
(
2
x2
2
y 2
都是确定量
的量子状态。
11
例如在量子力学中力学量表示为：
对于一维粒子出现在x坐标的平均值为
x x | (x) |2 dx *(x) x (x)dx
相应的涨落偏差
结论：经典力学能够表示粒子确定的位置和动量，但是量子力
学中的波函数只能给出粒子位置的平均值x 及其偏差(x)2 。 12

大学物理知识总结习题答案(第十章)量子物理基础

第十章量子物理基础本章提要1．光的量子性· 物体由于自身具有一定温度而以电磁波的形式向周围发射能量的现象称热辐射。

· 在任何温度下都能全部吸收照射到它表面上的各种波长的光（电磁波），则这种物体称为绝对黑体，简称黑体。

· 单位时间内物体单位表面积发出的包括所有波长在内的电磁波的辐射功率，称为辐射出射度。

2．维恩位移定律· 在不同的热力学温度T 下，单色辐射本领的实验曲线存在一个峰值波长λm ，维恩从热力学理论导出T 和λm 满足如下关系λm T b =其中b 是维恩常量。

3．斯忒藩—玻尔兹曼定律· 斯忒藩—玻尔兹曼定律表明黑体的辐射出射度M 与温T 的关系4T M σ=其中s 为斯忒藩—玻尔兹曼常量。

对于一般的物体4T M εσ=e 称发射率。

4．黑体辐射· 黑体辐射不是连续地辐射能量，而是一份份地辐射能量，并且每一份能量与电磁波的频率ν成正比，这种能量分立的现象被称为能量的量子化，每一份最小能量E hv =被称为一个量子。

黑体辐射的能量为E nhv =，其中n ＝1，2，3，…，等正整数，h 为普朗克常数。

· 普朗克黑体辐射公式简称普朗克公式25/λ2πhc 1()λ1hc kT M T e l =-· 光是以光速运动的粒子流，这些粒子称为光量子，简称光子。

· 一个光子具有的能量为νh E =。

5．粒子的波动性· 德布罗意认为实物粒子也具有波粒二象性，它的能量E 、动量p 跟和它相联系的波的频率ν、波长λ满足以下关系2E mc h ν==λh p m u == 这两个公式称为德布罗意公式或德布罗意假设。

与实物粒子相联系的波称为物质波或德布罗意波。

· x x p D D ?h 或者E t D D ?h 这一关系叫做不确定关系。

其中为位置不确定量、动量不确定量、能量不确定量、时间不确定量。

第二章-波函数与薛定谔方程-习题答案

第二章波函数与薛定谔方程 1．计算n=4时，所对应经典线性振子的振幅4A =？[解]：由线性谐振子能量公式 1()2E w n =+α=4n =时，2q E w ∴=又2212E w A μ=A A x ∴===即振幅4A =2. 证明在定态中，几率流密度与时间无关2 **()()() () ()，iEtr t r f t r e iJ mψψ-ψ===ψ∇ψ-ψ∇ψ22**** [()()()()] [()()()()]（）（）i i i i Et Et Et Et i r e r e r e r e m ir r r r mψψψψψψψψ----=∇-∇=∇-∇可见t J 与无关。

3. 由下列两定态波函数计算几率流密度ikr ikr e re r -==1)2( 1)1(21ψψ 从所得结果说明ψ1表示向外传播的球面波，ψ1表示向内（即向原点）传播的球面波。

解：分量只有和r J J 21在球坐标中ϕθθϕθ∂∂+∂∂+∂∂=∇sin r 1e r 1e r r 0**111110(1) ()21111 [()()]2ikr ikr ikr ikriJ mi e e e e r m r r r r r rψψψψ--=∇-∇∂∂=-∂∂022023111111[()()]2 i ik ik r m r r r r r rk kr r mr mr=----+==r J 1与同向。

表示向外传播的球面波。

rmrk r mr k r )]r 1ik r 1(r 1)r 1ik r 1(r 1[m 2i r )]e r 1(r e r 1)e r 1(r e r 1[m 2i )(m2i J )2(3020220ikr ikr ikr ikr *2*222-=-=---+-=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψ可见，r J与2反向。

表示向内(即向原点) 传播的球面波。

4．求自由粒子的几率流密度J =？[解]自由粒子波函数()()iEx v Ax r e-=2*()()ii Et EtA x r x r ee--∇2*2*[()()()()]2iA x r x r A x r x r M=∇-∇ 对于自由粒子 ()i p rx r e ⋅= ()ip rix r pe⋅∇=*()i p rx r e-⋅=*()i p rix r pe-⋅∇=-22[()]2i i J A P x r M∴=- 5．下列波函数中，哪些是定态？哪些是非定态？]（1）1()()()i i ix ETix ETx x xt u eU x e ---=+（2）122()()()i i E T E Thx x xt u e u x e--=+ 12()E E ≠（3）3()()i iETETx x xt u eu x e-=+[解]：（1）是定态，（2）（3）是非定态。

量子力学练习参考解答

量子力学练习参考解答第一章波函数与薛定谔方程1.1，1.2，1.3题解答略。

1.4（a ）设一维自由粒子的初态为一个Gauss 波包，222412)(1)0,(απαψxx p i e e x -=证明：初始时刻，0=x ，0p p =[]2)(12α=-=∆x x x[]α2)(12=-=∆p p p2 =∆⋅∆p x证：初始时刻012222===-+∞∞-+∞∞-⎰⎰dx exdx x x x απαψ2122222222απαψα===-∞+∞-∞+∞-⎰⎰dx exdx x x x()22122α=-=∆xx x)0,(x ψ的逆变换为⎰+∞∞--=dx ex p ipx/)0,(21)(ψπϕ＝⎰+∞∞---dx eeeipx x x p i/2412220)(121απαπ＝2220()22214(/)p p eααπ--22202()()p p p eααϕπ--=因此02)(p dp p p p ==⎰+∞∞-ϕ2222222)(0αϕ +==⎰∞+∞-p dp p p p()α22122 =-=∆p p p2 =∆⋅∆p x注：也可由以下式子计算p 和2p ：2222(,0)()(,0)(,0)()(,0)dp x ix dx dxd p x x dxdx ψψψψ+∞*-∞+∞*-∞=-=-⎰⎰1.5 设一维自由粒子的初态为)0,(x ψ，证明在足够长时刻后，()[]⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-=t mx t imx i t m t x ϕπψ2exp 4exp ,2式中()()⎰+∞∞--=dx e x k ikx0,21ψπϕ是)0,(x ψ的Fourier 变换。

提示：利用()x e e x i i δπααπα=-∞→24/lim。

证：依照平面波的时刻转变规律 ()t kx i ikxe e ω-→ ， m k E 22==ω，任意时刻的波函数为()()()dk e k t x mtkkx i 2/221, -+∞∞-⎰=ϕπψ()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅=⎰∞+∞-22/2ex p 212t mx k m t i k dk etimx ϕπ（1）那时刻足够长后（所谓∞→t ），上式被积函数中的指数函数具有δ函数的性质，取m t 2 =α ，（2）参照此题的解题提示，即得()()⎰+∞∞--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅≈k d t mx k k e t m et x i timx δϕππψπ4/2221,2⎪⎭⎫⎝⎛=-t mx e e t m t imx i ϕπ2/4/2 （3） 1.6 依照粒子密度散布ρ和粒子流密度散布j的表示式， ()()()t r t r t r ,,,*ψψρ=()()()()()[]t r t r t r t r mi t r j ,,,,2,**ψψψψ∇-∇-=概念粒子的速度散布v()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∇-∇-==t r t r t r t r m i j v ,,,,2**ψψψψρ 证明：0=⨯∇v 。

(完整版)量子力学期末考试题及解答

一、波函数及薛定谔方程1.推导概率（粒子数）守恒的微分表达式;()(),,w r t J r t o t∂+∇•=∂解答：由波函数的概率波解释可知，当(),r t ψ已经归一化时，坐标的取值概率密度为()()()()2,,,,w r t r t r t r t ψψψ*== （1）将上式的两端分别对时间t 求偏微商，得到()()()()(),,,,,w r t r t r t r t r t t t tψψψψ**∂∂∂=+∂∂∂ （2）若位势为实数，即()()V r V r *=，则薛定谔方程及其复共轭方程可以分别改写如下形式()()()()2,,,2r t ih ir t V r r t t m h ψψψ∂=∇-∂ （3）()()()()2,,,2r t ih ir t V r r t t m hψψψ***∂=-∇+∂ （4）将上述两式代入（2）式，得到()()()()()22,,,,,2r t ih r t r t r t r t t mψψψψψ**∂⎡⎤=∇-∇⎣⎦∂ ()()()(),,,,2ihr t r t r t r t mψψψψ**⎡⎤=∇•∇-∇⎣⎦ （5）若令()()()()(),,,,,2ih J r t r t r t r t r t mψψψψ**⎡⎤=∇-∇⎣⎦ （6）有()(),,0w r t J r t t∂+∇•=∂ （7）此即概率（粒子数）守恒的微分表达式。

2.若线性谐振子处于第一激发态()2211exp 2x C x α⎛⎫ψ=- ⎪⎝⎭求其坐标取值概率密度最大的位置，其中实常数0α>。

解答：欲求取值概率必须先将波函数归一化，由波函数的归一化条件可知()()222221exp 1x dx Cx x dx ψα∞∞-∞-∞=-=⎰⎰（1）利用积分公示())2221121!!exp 2n n n n x x dx αα∞++--=⎰ （2）可以得到归一化常数为C = （3）坐标的取值概率密度为 ()()()322221exp w x x x x ψα==- （4）由坐标概率密度取极值的条件())()3232222exp 0d w x x x x dx αα=--= （5）知()w x 有五个极值点，它们分别是 10,,x α=±±∞（6）为了确定极大值，需要计算()w x 的二阶导数()()()232222322226222exp d w x x x x x x dx αααα⎤=----⎦)()32244222104exp x x x ααα=-+- （7）于是有()23200x d w x dx ==> 取极小值（8）()220x d w x dx =±∞= 取极小值（9）()23120x d w x dx α=±=< 取极大值（10）最后得到坐标概率密度的最大值为2111w x x ψαα⎛⎫⎛⎫=±==±= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（11）3.半壁无限高势垒的位势为()()()()000x v x x a v x a ∞<⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求粒子能量E 在00E v <<范围内的解。

波函数及薛定谔方程习题解

En =
π2 2 2 n 2μ a 2
(n = 1, 2,3, ) 能量是量子化的
两组波函数的空间部分：
nπ ⎧ B cos x, ⎪ ⎪ a ψn = ⎨ ⎪ 0, ⎪ ⎩ nπ ⎧ A sin x, ⎪ ⎪ a ψn = ⎨ ⎪ 0, ⎪ ⎩
可以将上式合并写为：
a a - ≤x≤ 2 2 a a x< - , x> 2 2 a a - ≤x≤ 2 2 a a x< - , x> 2 2
E
t ) + v( x) exp(−ix) exp(−i E t)
E
t)
= [u ( x) exp(ix) + v( x) exp(−ix)]exp(−i E1 E2
由此可见，其能量值为固定值 E ，故此状态为定态。对于ψ 2 ( x, t ) = u ( x) exp(−i 所以不是定态。对于ψ 3 ( x, t ) = u ( x) exp(−i
∴ψ 2 ( x) = A sin
(n = 1, 2, 3, )
nπ x a
题解仅供参考,如有问题请联系 zhyjiao@,谢谢
第二章波函数与薛定谔方程习题解
门福殿教授著《量子力学》
由归一化条件
∫
由
∞
2 ψ ( x) dx = 1 得
A2 ∫ sin 2
0
a
nπ xdx = 1 a
2
令k =
2
，得
d 2ψ 2 ( x) + k 2ψ 2 ( x) = 0 dx 2
④
其解为
ψ 2 ( x) = A sin kx + B cos kx
a 2 a 2
根据波函数的标准条件确定系数 A，B，由连续性条件，得

量子力学第二章习题新参考资料

第二章波函数和薛定谔方程2.1. 证明在定态中,几率流密度与时间无关. 解: 几率流密度公式为()**2J iψψψψμ=∇-∇ 而定态波函数的一般形式为()(),iEtt eψψ-=r r将上式代入前式中得:()()()()**2J r r r r i ψψψψμ⎡⎤=∇-∇⎣⎦ 显然是这个J 与时间无关.2.2. 由下列两定态波函数计算几率流密度; (1) ,e rikr11=ψ (2) i k r e r-=12ψ 从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波,2ψ表示向内(即向原点)传播的球面波.解: 在球坐标中,梯度算符为11sin e e e rr r r θϕθθϕ∂∂∂∇=++∂∂∂ 1ψ和2ψ只是r 的函数,与ϕθ,无关,所以()11111e e e ikr r r r e r ik ik r r r r ψψψ∂⎛⎫⎛⎫∇==-=- ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭,()**11211e e e ikr r r r e r ik ik r r r r ψψψ-∂⎛⎫⎛⎫∇==-+=-+ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭()*222111e e e ikr r r r e r ik ik r r r r ψψψψ-∂⎛⎫⎛⎫∇==-+=-+=∇ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭()()**221111ikr r r r e r ik ik r r r r r ψψψψ∂⎛⎫⎛⎫∇==-=-=∇ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭e e e将以上四式代入 ()()()()**2J r r r r i ψψψψμ⎡⎤=∇-∇⎣⎦ (1) 对于ikre r11=ψ12222111122r r r i k p ik r r r rμμμμ⎡⎤=-===⎢⎥⎣⎦p J e e e (2) 对于ikre r-=12ψ212222111122r r r i k p ik r r r r μμμμ⎡⎤==-=-=-=-⎢⎥⎣⎦p J e e e J 计算的结果已经很清楚ikr e r 11=ψ这样的球面波,是沿r e 方向传播的波, 121p J e r r μ=.而球面波ikre r-=12ψ传播方向与1ψ相反,即21J J =- 2.3. 一粒子在一维势场()⎪⎩⎪⎨⎧>∞≤≤<∞=ax a x x x U 00中运动,求粒子的能级和对应的波函数.解: 从定态薛定谔方程 02222=+ψμψEdx d即 02=+''ψψk()0k E =>可知,其解为ikx ikx Be Ae -+=ψ. 在0≤x 和a x ≥处，波函数为 0)(=x ψ，在a x ≤≤0处，波函数为 ikx ikx Be Ae -+=ψ 从()00=ψ得 0=+B A 即 B A -=因此有 ()2sin sin ikx ikxA e e iA kx C kx ψ-=-==从()0=a ψ得 sin 0ka = 即要求 321,,n n ka ==π所以 sin1,2,3n n C x n aπψ==22222an E n μπ = 归一化条件1*=⎰dx ψψ可得a C 2=()()2211sin 1cos 2,cos 1cos 222αααα⎡⎤=-=+⎢⎥⎣⎦所以1,2,30n n x n x a aπψ==≤≤综合得:000n n x x a ax x aπψ≤≤=<>⎩或2.4. 证明()sin20n n A x a x a ax aπψ⎧'+<⎪=⎨⎪≥⎩式中的归一化常数是a A 1=' 解: 这是宽度为a 2,将坐标原点选在势阱中心而表示的一维无限深势阱的波函数,利用归一化条件得()2222202222010sin 0sin 2222sin 2a a aa a n n n dx A x a dx dx A ydya a aa n A zdz A A a n n ππππππ+∞-∞-''=+++='''==⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰所以 a eA i 1δ=' 取 0=δ 得 aA 1=' 2.5. 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置. 解: 一维谐振子第一激发态的波函数为 ()()x xex *x 1212112222ψαπαψα=⋅=- 其中μωα==1x几率密度 ()()223*211xw x x x e αψψ-==)()22223323222210x x dw x x e x x e dx αααα--=-=-= 极值点有 00,,x x =±±∞使:)2223224421520x d w x x e dx ααα-=-+< 只有μω±=±=0x x两个值,所以μω=x 和μω-=x 处第一激发态粒子出现的几率最大.2.6. 在一维势场中运动的粒子,势能对原点对称:()()x U x U =-,证明粒子定态的波函数具有确定的宇称.解: 定态的波函数满足的薛定谔方程为()()()x E x x H ˆψψ=哈密顿算符 ()()222ˆ2d H x U x dxμ=-+ 于是当x x -→时, ()()()x U x U x U =-→而拉普拉斯算符 ()222222222222dxd x d d dx d μμμ -=--→- 即在坐标反射下,哈密顿算符不变,即()()x H ˆx Hˆ=- 写出坐标反射后的薛定谔方程()()()x E x x H ˆ-=--ψψ考虑到()()x H ˆx H ˆ=-有 ()()()x E x x H ˆ-=-ψψ 比较 ()()()()()()ˆˆH x x E x H x x E x ψψψψ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩1μω=如果属于能量E 的本征值是非简併的,反射变换前后,状态函数有如下关系()()x x λψψ=-,()()()x x x ψλλψψ2=-=,1±=λ.即()()x x ψψ±=-可见,粒子的定态波函数具有确定的宇称,奇宇称或偶宇称. 当()()x x ψψ-=时,称该波函数为偶宇称. 当()()x x ψψ-=-时,称该波函数为奇宇称. 但是如果属于能量E 的本征值是简併的,特别是()()x x ψλψ-≠这时可以构造两个与之相关的波函数()()()()()(),.f x x xg x x x ψψψψ-=+--=--据此,可知()(),f x f x -=因而具有偶宇称;()().g x g x -=-因而具有奇宇称.以上结果本质上是根据哈密顿的对称性去推知它的本征函数的对称性.一般地,如果属于某一能量的本征态是非简併的, 那么, 能量本征态会携带哈密顿算符的对称性.但是, 如果属于某一能量的本征态是简併的,那么并不是其中的每一个本征态都会携带哈密顿算符的对称性.但总可以通过它们的某种组合使之携带哈密顿算符的对称性.2.7. 一粒子在一维势阱()⎩⎨⎧<>>=ax ax U x U 00 中运动,求束缚态()00U E <<的能级所满足的方程.解: 粒子所满足的方程()()()22101122d x U x E x x a dx ψψψμ-+=<- ()()222222d x E x a x a dx ψψμ-=-<<()()()a x x E x U x dxd >=+-33032222ψψψμ令 22 Eμα= ()202E U -=μβ 方程变为()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>=-''<<-=+''-<=-''ax x x a x a x x a x x x 000323222121ψβψψαψψβψ它们的解分别是:()112212312sin cos sin x xx xA e A e x aB x B x B x a x aC e C e x aββββψψαααδψ--=+<-=+=+-<<=+> 由波函数的有限性条件限制,必须要求120A C ==()12231sin xxA e x aB x a x aC e x aββψψαδψ-=<-=+-<<=> (1)根据波函数在边界上连续及导数连续的条件, 确定常数.(1) 波函数ψ连续1232x a x ax a x a x a x a ψψψψ=-=-==⎧=-=⎪⎨==⎪⎩得 ()()21s i n s i n aaA e Ba C e B a ββαδαδ--⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩ (2) (2) 波函数导数ψ'连续[][][][]⎩⎨⎧'='='='-===-=-=a x a x a x a x a x a x 22332211ψψψψψψψψ 得 ()()c o tc o ta a βααδβααδ=-+⎧⎪⎨-=+⎪⎩ (3) 由此明显看出:由(2)可以用消去两个待定系数2A 和1C ;由(3)可以确定δ和能量E .由(3)得()()()cot cot cot a a a αδαδαδ+=--+=-所以 ()();0,1,2a k a k αδπαδ+=+-=±±,由此得πδk 21=,由于余切以π为周期, 故只有两个独立解:20πδ,=,把0=δ和2π分别代入(3)式得到确定能量的方程为：0cot 2tan a a δααβδπααβ==-==将上面的式子同乘以势垒宽度a0cot 2tan a a aa a aδααβδπααβ==-==再考虑到:022()a a a βα==-令,u a v a αβ===则由上式容易得出222202u v U a μ+=tan cot v u uv u u==-对于0δ=, 其能级由222202cot u v U a v u uμ⎧+=⎨=-⎩确定, 而对应的波函数的系数由()()21sin sin aa A Be a C Be a ββαα⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 确定.其波函数可写作如下形式()()()()()123sin sin sin x a x a B a e x a B x a x a B a e x aββψαψαψα+--=-<-=-<<=> 波函数为奇函数.对于2δπ=, 其能级由222202tan u v U a v u uμ⎧+=⎨=⎩确定, 而对应的波函数的系数由()()21cos cos aa A Be a C Be a ββαα⎧=⎪⎨=⎪⎩ 确定.其波函数可写作如下形式()()()()()123cos cos cos x a x a B a e x a B x a x a B a e x aββψαψαψα+--=<-=-<<=> 波函数为偶函数.系数B 可由归一化条件确定.取以v 为纵轴, u 为横轴的直角坐标系, 因为,αβ都不是负数, 故u 和v 也都不取负值. 我们可以只取第一象限, 在这象限中画出超越曲线tan v u u =. 圆和超越曲线的交点就是所求的解. 由u a α==我们有2222u E a μ=(4) 将图中圆和超越曲线交点的横坐标u 代入(4)式中, 即得第二组粒子能量的可能值.同样在第一象限中画出超越曲线cot v u u =-. 圆和超越曲线的交点就是所求的解. 将图中圆和超越曲线交点的横坐标u 代入(4)式中, 即得第一组粒子能量的可能值.设: 222208,1,2,3U a nn πμ==2222242n u v n ππ⎛⎫+== ⎪⎝⎭(5)图 2.7是(5)所描写的圆与曲线tan v u u =、cot v u u =-相交的情况. 当1n =时, 只与曲线tan v u u =相交, 故只有一个解, 当2n =时, 与曲线tan v u u =、cot v u u=-各有一点相交, 有两个解,分别属于第一组解和第二组解, 等等.2.8. 分子间的范德瓦尔斯力所产生的势能可以近似地表示为图2.7()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-<≤<∞=bx bx a U ax Ux x U 00010求束缚态的能级所满足的方程.解: 束缚态,即要求01<<-E U .分区域写出薛定谔方程:()()()()()()()()1222022222313322244200222x d x U x E x x a dx d x U x E x a x bdxd x E x x bdx ψψψψμψψψμψψμ=<-+=≤≤--=≤≤-=>其中2k = 则 ()()22220x k x ψψ''-= 其中3k = 则 ()()23330x k x ψψ''+=其中4k = 则 ()()24440x k x ψψ''-=以上三方程的解分别为:()()()()22442334sin k x kxkxk xx Ae A e x B k x x Ce C e ψψδψ--'=+=+'=+ 在0x =处, ()200ψ=,得0A A '+=.令A A '=-;对于()4x ψ,当∞→x 应有限,故0C '=, 则波函数可写为()()()()()2242334sin k x kxkxx A e e x B k x x Ce ψψδψ--=-=+= 由波函数导数的连续性得[][]()()[][]()322333223334434tan th tan x a x a x b x b k x a k a k a k k x b k b k ψψψψδψψψψδ====⎧''==+=⎪⎪⎨⎪''==+=-⎪⎩即()113332324tan th ,tan k k k a k a k b k k δδ--⎡⎤⎛⎫+=+=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭由上两式消去δ,得()()11333224tan th tan k k k a b k a k k --⎡⎤⎛⎫-=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭用到公式111tan tan tan 1x yx y xy---±±= 上式成为 ()()()()()332342232433324332242th th tan th 1th k k k a k k k a k k k k k a b k k k k k k k a k a k k ++-==⎡⎤⎣⎦-- 此即能量满足的方程.以下无正文仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。

5-2量子-波函数和薛定谔方程 大学物理作业习题解答

量子力学课后习题答案

第二章 薛定谔方程 习题

《量子力学教程》作业题及答案--2017-2018第一学期

量子力学习题及答案

量子力学课后习题答案

量子力学典型例题解答讲解

《量子力学教程》_课后答案

量子力学习题解答-第2章

量子力学波函数练习题详解

量子物理参考答案大全

(完整word版)量子力学典型例题分析解答

大学物理：量子物理第二章 波函数和薛定谔方程-1

大学物理知识总结习题答案(第十章)量子物理基础

第二章-波函数与薛定谔方程-习题答案

量子力学练习参考解答

(完整版)量子力学期末考试题及解答

波函数及薛定谔方程习题解

量子力学第二章习题新参考资料

5-2量子-波函数和薛定谔方程大学物理作业习题解答

第二章薛定谔方程习题

大学物理：量子物理第二章波函数和薛定谔方程-1