5-2量子-波函数和薛定谔方程 大学物理作业习题解答

模方为测量可能值的概率）
解：将波函数（x）用一维无限深方势阱的正交完备的本
征方程函数 作展开表示。
n
2 sinnx aa
0 x a
x
cnn
,
cn
* n
x
dx
8
cn
a 0
2 sin nx 4 sin x cos2 x dx a a a a a
2n,1
1 2
n,3
1 2
n,1
x L c,p /2x /2c E c/2c,E 1 / 2
2-3一维谐振子的基态波函数是 0 x A e a2x 2 /2 a 2 m 0 / ，试
求：(1)归一化系数A;(2)基态能E0（即零点能）（提示用哈密顿算
符作用基态波函数求E0）；(3)求 x 2 ；(4)借助不确定度关系，求
第二章 波函数和薛定谔方程
2用-1.作s圆表周示运粒动子的在粒圆子轨的道切上向位动置量的和统角计动不量确分定别量为。p由t 和不L确z=定rp关t。系若
spt / 2 ，证明 Lz / 2 ，其中是粒子的角位置。
解：由测不准关系： s p t / 2 .
令 p t lz / r, s r . 代入有： L z / 2
E1
2 8ma 2
0 x a
x a,x 0 n1 1,2,3,
同理计算ｙ，ｚ。由上可得：
E
h2 8m
n1 2 a2
n22 b2
n32 c2
;
x,y,z 8 sinn1x sinn2y sinn3z
abc a
b
c
5
2-5 取一维无限深势阱中心为坐标原点，即势阱表示为：
U ( x) 0 , x a / 2 ; U x x a / 2
1 2
n,1 n,3
c1
1 2
,
c3
1, 2
其它 c n 0 ,
c1
2
c2
2
1. 2
x 1 2 sin x sin 3x
2 a a
a
c1 2 c3 2 1, E
cn
2En
522 2ma2
9
2-7 设粒子在一维无限深势阱中运动，已知粒子所处的势场
Ux
0
x 0,x a 0xa
1 n
sinn 2
p1 4
1 2
1
,
1 2
1 3
,
1 2
1 5
,
1 2
1 7
,
12 (n 2,4,6)
( n 1,3,5)
Pmax
1 2
1 3
,
(n 3)
A 2 a
n
,P1 4
1 2
n 2
1 2
转化为经典问题! 10
a aa
En
n 2 2 2 2ma 2
.
7
2-6 粒子在 0 , a 范围内的一维无限深势阱中运动，其状态由以
下波函数
x 4 sin x cos2 x
a a a
求:(1)在该态上测得的能量可能值，及相应的概率；(2)求能量的
平均值（提示：用完备正交集 n a2 s in nax 展开，其展开系数
0
(2)由
x
2
dx 2
c2ea2x2dx c2
H
0
x
0
E
0
0
x
2
4a2
求
1,
E0
1 2
c
.
a 1/4
(3)
x 2
x2
x2
x2
0
2
dx
x 0
2dx2
a 2 x e2 a2x2dx
x0
a x
xea2x2dx2
a x
2
x 4a2
1 2a2
p 2
4
2
x2
2 4
2
m
1 2
m
E0
1 2m
p2
1 2
Rx2
1 4
1 2
m2
1 2
m
1 2
3
2-4 借助一维无限深势阱的结果，试给出粒子在三维无限深 势阱中的能级和波函数（设三维阱宽分别为a,b,c）。（提示： 独立事件同时发生的概率幅是各概率幅之积）
解:在阱外 在阱内
0
2 2 E 2m
0 xa,0 y b,0 Zc
2 2m
2 x2
2 y 2
2 z 2
x , y , z
E
令 x,y,z XxYyZz
1 X
2 2m
d2 dx2
X
1 Y
2 2m
d2 dy2
Y
1 Z
2 2m
d2 dx2
Z
Hale Waihona Puke Baidu
E
4
1 X
2 2m
d2X dx2
E,
或者
d2x dx 2
2mE 2
X
0
解的
X
(
x
)
2 sin n x
a
a
0
试求：(1)能量量子数为n的概率密度；(2)距势阱内壁四分之一宽
度内发现粒子的概率；(3)n为何值时在上述区域内发现粒子的概
率最大；(4)当时该概率的极限，并说明这一结果的物理意义。
解（1） （2）
（3） （4）
P1 4
a 4
2
sin2
n卜一x
dx
0a
a
a 3a
4
2 a
sin2
nx a
dx
1 2
基态零点能，提示：
e dx a2x2 / 2 0
x e 2 a2x2 / 2
2a 0
2a 3
解：谐振子能量本征值方程
2 2m
d2 dx 2
1 2
m2x2
n x
Enn x
其中
En
n
1 2
对应零点能
E0
1 2
基态波函数
0
x
cea2x2 /2,a2
m.
2
(1)基态波函数归一
写出粒子的能量本征方程，求能量本征值En和对应的本征函数 n
解：
2 2m
d2 dx 2
E
通解：
1
x A sin x B cos x,
2mE 2
2
在 xa/2 处应用边界条件，给出：
A sin a / 2 B cos a / 2 0 , A sin a/2 B cos a / 2 0
2-2原子从某一激发态向基态跃迁时,辐射的波列长度为L(相当干
长度),把L作为不确定度 x的大小，求光子的动量不确定度 p x
由E=cp计算能量不确定度 E， E正是激发态能级的宽度（所以从
具有一定能级宽度的激发态向基态跃迁时，辐射的光不是单色的),
它对应电子占据该激发态的寿命是有限的。证明： E /2 解：由 E cp , xp / 2
从而解得： A sina / 2 0 , B cosa / 2 0
6
分两类解：第一类，A=0, cos(a/2)=0; 第二类，B=0, sin(a/2)=0.
因此有： a / 2 n / 2,
n为奇数为第一类，n为偶数为第二类.
n为奇数： x Bcosnx 2 cosnx
aaa
n为偶数： x Asinnx 2 sinnx