向量解题技巧

一、怎么样求解向量的有关概念问题 掌握并理解向量的基本概念 １.判断下列各命题是否正确

(1)若c a c b b a ===则,,；

(2)两向量b a

、相等的充要条件是b a =且共线、b a ；

(3)b a

=是向量b a

=的必要不充分条件；

(1)若D C B A 、、、是不共线的四点，则C D B A

=是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；

(2)D C B A

=的充要条件是A 与C 重合，D B 与重合。

二、向量运算及数乘运算的求解方法

两个不共线的向量，加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的。两个有相同起点的向量的差

是连结两向量的终点，方向指向被减向量的向量，若起点不同，要平移到同一起点；重要结论：a 与b

不共线，则b a b a -+与是以a 与b

为邻边的平行四边形两条对角线所表示的向量。在求解向量的坐

标运算问题时，注意向量坐标等终点坐标减起点坐标，即若),(),,(2211y x B y x A ，则

=-=A O B O B A

),(),(),(12121122y y x x y x y x --=-。

例1 若向量_______2),1,0(),2,3(的坐标是则a b b a --== 例2 若向量____)2,1(),1,1(),1,1(=-=-==c c b a 则

b a D b a C b a B b a A 2

123.2123.2321.2321.+---+-

例3 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点),3,1(),1,3(-B A 若点

满足C B O A O C O

βα+=，其中R ∈βα,且1=+βα，则点C 的轨迹为（ ）

52. 02.0)2()1.( 01123.22=-+=-=-+-=-+y x D y x C y x B y x A

例4 O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足

)(C A C

A B A B A A O P O

++=λ，),0[+∞∈λ，则P 的轨迹一定过ABC ∆的（）

.A 外心 .B 内心 .C 重心 .D 垂心

例5 设G 是ABC ∆内的一点，试证明:

(1)若G 是为ABC ∆重心，则0

=++C B B G A G ；

(2)若0

=++C B B G A G ，则G 是为ABC ∆重心。

三、三点共线问题的证法

证明A,B,C 三点共线，由共线定理(共线与C A B A )，只需证明存在实数λ，使C A B A

λ=，，其

中必须有公共点。

共线的坐标表示的充要条件，若),(),,(2211y x b y x a ==

，则

)(0//12211221y x y x y x y x b a b a ==-⇔=⇔

λ

例1 已知A 、B 两点，P 为一动点，且B tA A O P O

+=，其中t 为一变量。

证明：1.P 必在直线AB 上；2.t 取何值时，P 为A 点、B 点？

例2 证明：始点在同一点的向量b a b a

23-、

、的终点在同一直线上 例3 对于非零向量b a b a b a b a +≤+≤-求证：

、, 四、求解平行问题

两向量平行，即共线，往往通过“点的坐标”来实现；两向量是否共线与它们模长的大小无关，只由它们的方向决定；两向量是否相等起点无关，只由模长和方向决定。

例1 已知),1(),1,2(),1,0(),0,1(y Q P N M 且Q P N M

//，求y 的值。

例2 已知点)2,1(-A ，若向量,132)3,2(==B A a B A

同向，与则B 点的坐标是____.

例3 平面内给定三向量)1,4(),2,1(),2,3(=-==c b a

，则：

(1) 求;23c b a -+ (2)n m c n b m a 、的实数求满足

+= (3) 若;),2//()(k a b b k a 求实数

-+

(4) 设.,1)//()(),(d c d b a c d y x d 求且满足=-+-=

例4

(1) 已知点)6,2(),4,4(),0,4(C B A ，求的坐标的交点，与P B D C A

。

(2) 若平行四边形ABCD 的顶点的坐标。求顶点D C B A ),6,5(),1,3(),2,1(--- 五、向量的数量积的求法

求数量积：⎪⎩

⎪⎨⎧+=••=•2121cos y y x x b a b a b a

坐标法：定义法：θ 当︒=︒=1800//θθ和时，b a 两种可能。故b a b a

•±=•

一些重要的结论：2

2a a a a =•=；2222)(b b a a b a +•±=±；22))((b a b a b a -=-+

例1 设c b a

,,是任意的非零的向量，且相互不共线，则（ ） 2249)23)(23(()(;

;0)()(b

a b a b a ④c b c a a c b ③b a b a ②b a c c b a ① -=-+••-•-<-=•-•垂直不与） 其中是真命题的为（ ）

②④③④C ②③B ①②A D. . . .

例2 已知平面上三点A 、B 、C ，满足,5,4,3===A C C B B A 则B A A C A C C B C B B A •+•+•的

值等于________。

例3 已知向量b a 和的夹角为︒120，且.______)2(,5,2=•-==a b a b a

则

六、如何求向量的长度

形如b a

μλ+的模长求法：开方转化为含数量积运算先平方→→，即： 2

22222b b a a b a μλμλ+•±=±

例1 已知向量____,,60,4,,=+︒==b a b a b a b a

则的夹角为与____,=+b a 其中 .___________,方向夹角为与方向的夹角为与a b a a b a

-+

例2 设向量的值。求满足b a b a b a b a

+=-==3,323,1,

七、如何求两向量的夹角

夹角公式：

2

2

2221212

121cos y x y x y y x x b

a b

a +•++=•=

θ

例1 已知._____,,36)5

1()3(,12,10的夹角求且b a b a b a

-=•==

例2 若21e e

与是夹角为︒60的单位向量，且的夹角与及求b a b a e e b e e a •+-=+=,23,22121。

八、垂直问题的求解

向量垂直的充要条件：

002121=+⇔=•⇔⊥y y x x b a b a 例1若向量所成的角。与则满足b a b a b a b a

,,-=+

例2在ABC ∆中ABC k C A B A ∆==且),,1(),3,2(

的一个内角为直角，求k 的值。