系统动力学讲稿3

辅助变量的表函数表示
构思表函数系一种颇具难度的技巧，表函数以图形表示方法在模 型中规定变量之间的关系。 例：
R BC.KL=NCF*BS.K*ELBC.K ELBC是LFO 的函数。 LFO（0~1）：被兴建前夕至完全建成 LFO=0， 未占用； LFO=1，占用
土地对企业建设的影响
辅助变量的表函数表示
LEVEL——状态变量； 状态变量； 状态变量 INFLOW——输入速率； 输入速率； 输入速率 OUTFLOW——输出速率； 输出速率； 输出速率 DT——计算间隔。 计算间隔。 计算间隔
如何确定状态变量
状态变量——积累量？ 积累量？ 状态变量 积累量 即 某种变量什么情况下应以LEVEL方程表示，在什么情况下以常数 或辅助变量表示更合适？ 积累量：随时间的积累效应 积累量 变化速率：视状态变量的变化速率，与模型的时间坐标相比较的快慢 变化速率 而定。 LEVEL的变化速率与时间坐标比较，快？慢？ 常数——随时间轴变化非常慢； 辅助变量——随时间轴变化非常快； 状态变量——一般情况。
Baidu Nhomakorabea
rabbit births
rabbit birth rate
initial fox population
average fox life fox mortality lookup fox food requirements
rabbit crowding initial rabbit
population fox rabbit consumption lookup
期望雇员的阶跃增长时的外部特性
状态变量：去耦作用 去耦作用 它使连接的各辅助变量更加具有 独立性。 辅助变量：瞬变 瞬变
结论： 结论：
若因果链中的变量值可随其输入量的变化而瞬变，则它们可定义 为辅助变量；若一变量经因果链的传递将改变其波形，则宜以状 态变量表示。
状态变量方程小结
状态变量环节能改变随时间变化的输入量的形状，能削弱输 入量与输出量之间的联系，使它们多多少少能独立变化，从 而使模型可能具备不平衡的动力学性质。 把某变量定义为状态变量？ 1. 积累量：即首先取决于是否能把这个量看作为某种对时间变 化的积累过程。 2. 根据积分过程的时间常数来判断： 时间常数很大时→常数项； 时间常数很大时→常数项； 时间常数很小时→辅助变量； 时间常数很小时→辅助变量； 一般情况→状态变量。 一般情况→状态变量。
速率方程式： R RATE.KL=LEVEL.K*CONST 举例 R IPR.KL=BAL.K*FAIR 量纲问题
IPR=（元）*（1/年）=（元/年）
银行付息结构流图
(GOAL.K-LEVEL.K)/ADJTM
速率方程式：
R RATE.KL= (GOAL.K-LEVEL.K)/ADJTM
纯雇佣率采用(GOAL.K-LEVEL.K)/ADJTM模式的结构 模式的结构 纯雇佣率采用
(09) fox food availability = fox rabbit consumption/(Fox Population * fox food requirements) Units: Dmnl A lookup table showing the relationship between the input (crowding) along the x axis and the output (the effect that crowding has on the death rate) along the y-axis. (10) fox food requirements = 25 Units: Rabbit/Year/Fox (11) fox mortality lookup Units: Dmnl ([(0,0)-(2,20)],(0,20),(0.5,2),(1,1),(2,0.5) )
R
HFR.KL=(WFS.K－ HFR.KL=(WFS.K－WF.K)/WFAT FR.KL=(WFS.K
状态变量在回路中的作用
具有积累作用的状态变量环节有 改变其各种形式输入量特性（曲 线形状）的能力。 输入——状态
常数——LEV取直线增长的形式。 取直线增长的形式。 常数 取直线增长的形式 直线增长——LEV将为抛物线增长。 将为抛物线增长。 直线增长 将为抛物线增长 震荡波——性质不同的波形 。 性质不同的波形(T)。 震荡波 性质不同的波形
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辅助方程小结
1.
量化模型回路中的信息和变量时，要有清晰的概念。构模者 可借助因果关系图和流图等工具进行从变量的构思到具体建 立变量的方程式。 在建立辅助方程时，最富有启发的思想往往来自变量的量纲， 量纲分析与量化方法是一种很重要的技巧。 正确、合理地使用表函数。
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5.2 模型与方程——Fox-Rabbit Ecology
A T
ELBC.K=TABLE(TELBC,LFO.K,0,1,0.1) TELBC=1.3/1.28/1.25/1.22/1.18/1.1/1/0.7/0.3/0.1/0
建立表函数的原则
1.
建立表函数时大致要考虑：曲线的斜率 形状 斜率和形状 斜率 形状，一个或一个以上的特 特 殊点和参考曲线 参考曲线。 殊点 参考曲线 设置曲线的斜率。使之与其表示的影响的性质吻合，负值斜率代表负 设置曲线的斜率 反馈，正值斜率代表正反馈。 选择曲线的形状。小心确定在极端条件下和曲线中部的斜率与曲线的 选择曲线的形状 值。 尽可能在表函数上把x,y的特殊点 特殊点标出，如：x,y分别取0和1时，极端 特殊点 条件下的x,y值和某些研究问题所要求的特殊点。 一些参考线 参考线如y=x，y=y0，或y=x0，可用来表示理想与希望的条件， 参考线 作用达饱和的限制或表函数中的其他内容。 实际系统难以测量时，用表函数 表函数表示系统的非线性影响与压力是最有 表函数 效与方便的。但是切勿滥用表函数，在可以用清晰的表达式表示因素 的影响时，不要用表函数。
5.1.2 速率 变化率 方程 速率(变化率 变化率)方程
速率方程的功用：把影响系统状态的诸因素——来自系统内外 的信息、计划与决策，转化成改变系统状态的行动。 构思模型与建立方程时，一个重要的任务便是寻找适当的方程 式去描述速率（或变化率）。
典型的变化率方程（构造复杂速率的基本单元）：
LEVEL.K*CONST
状态变量与Level方程 方程 状态变量与 速率（变化率） 速率（变化率）方程 辅助方程 SD模型举例 模型举例
5.1.1 状态变量与 状态变量与Level方程 方程
状态变量是随时间而变化的积累量，是物质、能量与信息的储存环节。 如：人口、企业雇员人数、库存、生产能力、银行存款等。 状态变量的输入、输出变化率使积累量增加或减少。 L LEVEL.K=LEVEL.J+DT * (INFLOW.JK- OUTFLOW.JK)
X(LFO) Y(ELBC) 0 1.3 0.1 1.28 0.2 1.25 0.3 1.22 0.4 1.18 0.5 1.1 0.6 1 0.7 0.7 0.8 0.3 0.9 0.1 1 0
土地占用系数LFO 土地占用系数LFO 与土地对企业建设的影响ELBC 土地对企业建设的影响ELBC 存在非线性关系
L WF.K=WF.J+DT*HFR.JK R HFR.KL=(WFS.K-WF.K)/WFAT
速率方程小结
关于RATE方程的两点说明：
1. 避免违背客观事实
例：世界纯出生率NBR
R NBR.KL=(NBRN * P.K) * NBRMM.K*NBRFM.K*NBRPM.K*NBRCM.K NBR——出生率 NBRN——正常的出生系数 P—— 人口 四个对出生率的影响影响因素：NBRMM、 NBRFM、 NBRPM、 NBRCM依 次是物质条件、食物供应、污染程度与居住条件。
(12) Fox Population = INTEG (fox births-fox deaths, initial fox population) Units: Fox (13) fox rabbit consumption = Fox Population * fox food requirements * fox rabbit consumption lookup (rabbit crowding) Units: Rabbit/Year (14) fox rabbit consumption lookup ([(0,0)-(6,6)],(0,0),(1,1),(2,2),(6,2) ) Units: Dmnl Relating rabbits to foxes (15) initial fox population = 40 Units: Fox (16) initial rabbit population = 500 Units: Rabbit
状态变量在回路中的作用
一个因果链中的状态变量具有改变系统整体的动力学性质的 能力。
• WFS突增？
HFR（高），WF↑（快速）； （ ）， （快速）； HFR（低）， 平滑趋近于WFS。 （ ），WF↑平滑趋近于 平滑趋近于 。 HFR=0, WF=WFS
雇员的累积作用流图
• 突增WFS的特性经由状态变量WF 自身的积累变换，WF表现平滑指数增 平滑指数增 长自寻的特性。 长自寻的特性。
假如发生世界性灾难？（应分别考虑出生率、死亡率）
2. 方程形式要尽可能自然、合理地描述客观因素的影响 方程形式要尽可能自然、
5.1.3 辅助变量与方程
在系统动力学模型中，辅助变量 辅助变量表述了系统内部的信息。建模 辅助变量 的任务之一是揭示系统内部的机理 系统内部的机理和对变量之间的关系加以量 系统内部的机理 变量之间的关系加以量 化。 辅助方程：概念→量化 → 辅助变量可为常数项、状态变量、速率或其他辅助变量的任一 组合。 辅助变量方程的表达类似于速率方程，都是代数运算，且无标 准形式。
5. 模型与方程的建立(3)
变量与方程 模型参数 方程的初始值 模型实例
5.1 建立 方程 建立SD方程
建立方程是把模型结构“翻译”成数学方程式的过程，把非正 规、概念的构思转换成正式的定量的数学表达式——规范模型。 建立方程的目的：在于使模型能用计算机模拟（或得到解析 解），以研究模型假设中隐含的动力学特性，并确定解决问题 的方法与对策。
LEVEL.K/LIFE
(GOAL.K(GOAL.K-LEVEL.K)/ADJTM
LEVEL.K*AUX.K与LEVEL.K/AUX.K 与 EFFECT.K+NORM.K（某些因素的影响作用+额定速率）
EFFECT.K*NORM.K（额定速率与某个（或几个）因子的乘积）
LEVEL.K*CONST
effect of crowding on deaths lookup average rabbit life
fox births
fox birth rate
Fox Population
fox deaths
fox rabbit consumption
rabbit deaths
Rabbit Population
fox food availability
carrying capacity
方程举例
(01) average fox life = 4 Units: Year (02) average rabbit life = 2 Units: Year (03) carrying capacity = 500 Units: Rabbit (04) effect of crowding on deaths lookup Units: Dmnl (05) FINAL TIME = 50 Units: Year The final time for the simulation. (06) fox birth rate = 0.25 Units: 1/Year (07) fox births = Fox Population * fox birth rate Units: Fox/Year (08) fox deaths = Fox Population / average fox life * fox mortality lookup (fox food availability) Units: Fox/Year ([(0,0)-(10,20)],(0,0.75),(1,1),(2,1.25),(5,2),(10,20) )