线性代数A章节练习题(2015)
线性代数试题A及答案
线性代数试题（A ）一、选择题：（每小题3分，共18分）2、2、A 、B 均为n 阶方阵，则以下表达正确的是__ _ （A ） AB=BA （B ） AB=0，则A=0或B=0 （C ） ()111---=B A AB （D ） ()T T TA B AB =3、设矩阵A 的秩是r , 则（A ）A 中没有等于零的1-r 阶子式 （B ）A 中至少有一个r 阶子式不等于零 （C ）A 中有不等于零的1+r 阶子式 （D ）A 中没有等于零的r 阶子式4、已知 )3,2,1(=a )31,21,1(=b ，且b a T A = 则4A =（A ） 27÷÷÷÷÷÷øöççççççèæ1233321231211（B ）÷÷÷÷÷÷øöççççççèæ1233321231211 （C ）9 (D) 81 5、设A 是可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，则*-=A A A A 1)( *-=A A B 1)( *--=A AA C 11)( 11)()(-*-=A A D6、与对角矩阵D = úúúûùêêêëé211 相似的矩阵是 (A) úúúûùêêêëé100020101. (B) úúúûùêêêëé200110001. (C) úúúûùêêêëé200010011. (D) úúúûùêêêëé-111021001 二、填空题：（每小题4分，共20分）1、设A , B 为三阶矩阵, 2=A ,41=B , 则12-)(BA = 2、行列式8040703362205010的值为 3、设A 是n 阶方阵,若3-=n A R )(,则0=AX 的基础解系所含向量的个数为4、k= 时，向量)5,,1(k =b 能由向量)1,1,2(),2,3,1(21-=a -=a 线性表出。
线性代数单元测试卷(含答案)
线性代数单元测试卷(含答案)一、选择题(每题2分，共20分)1. 在线性代数中，什么是矩阵的秩？A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵的非零行数D. 矩阵的最大线性无关行数正确答案：D2. 下列哪个不是矩阵的运算？A. 矩阵的加法B. 矩阵的减法C. 矩阵的除法D. 矩阵的乘法正确答案：C3. 矩阵的转置满足下列哪个性质？A. (A^T)^T = AB. (AB)^T = B^T * A^TC. (A + B)^T = A^T + B^TD. (AB)^T = A^T + B^T正确答案：B4. 什么是向量的线性组合？A. 向量相加B. 向量相减C. 向量乘以常数后相加D. 向量与常数相乘正确答案：C5. 下列哪组向量线性无关？A. (1, 0)B. (0, 1)C. (1, 1)D. (1, -1)正确答案：C二、填空题(每题3分，共30分)1. 给定矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]，求A的逆矩阵。
正确答案：[[-2, 1], [1.5, -0.5]]2. 给定矩阵B = [[2, 4], [1, 3]]，求B的特征值。
正确答案：[5, 0]3. 给定向量v = (1, 2, 3)，求v的范数。
正确答案：sqrt(14)4. 给定矩阵C = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]，求C的秩。
正确答案：25. 给定矩阵D = [[1, 2], [3, 4], [5, 6]]，求D的转置矩阵。
正确答案：[[1, 3, 5], [2, 4, 6]]三、解答题(每题10分，共40分)1. 什么是线性相关和线性无关？线性相关表示向量之间存在线性组合的系数不全为零的情况，即存在非零向量组合得到零向量。
线性无关表示向量之间不存在这样的关系，即只有全为零的线性组合才能得到零向量。
2. 什么是矩阵的行列式？矩阵的行列式是一个标量，它是一个方阵中各个元素按照一定规律相乘再求和的结果。
行列式可以用来判断方阵的逆是否存在，以及计算方阵的特征值等。
线性代数 课后作业及参考答案
《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λs βs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同15.设有矩阵Ａｍ×ｎ，Ｂｍ×ｓ，Ｃｓ×ｍ，则下列运算有意义的是（）。
线性代数章节练习题
b b2 ac
c
a
c2 a2
ab abc
b b2 abc
c c2 abc
abc
111
(a b c) a2 b2 c2 (a b c) a b c
111
a2 b2 c2
(a b c)(b a)(c a)(c b)
246 427 327 1000 427 327 1000 100 327 （2） 1014 543 443 2000 543 443 2000 100 443
D 2 0
2 7
2 0
2 0
5 3 2 2
求第四行各元素的余子式之和的值。
8 计算 n 阶行列式
x y 00 0 0 x y0 0 Dn 0 0 0x y y 0 00 x
3 1 1 9 计算行列式 D 1 5 1 。
1 1 3
3 2 2 10 计算三阶行列式 D k 1 k 。
（C） C PT AP
（D） C PAPT
13 计算
0 1 0 2007 1 2 3 0 1 0 2006 1 0 0 4 5 61 0 0 0 0 1 7 8 9 0 0 1
14 设 A 为 n 阶可逆阵，交换 A 的第 i 行与第 j 行后得到 B。 （1）证明 B 可逆；（2）求 AB-1
（C）当 n m 时，必有 AB 0
（D）当 n m 时，必有 AB 0 18 证明 R( A B) R( A) R(B)
4 1 41 则
R(BA 2A)
19 A 为 m p 矩阵，B 为 p n 矩阵，若 AB=0 证明： R( A) R(B) P
20 设 A 为 n 阶矩阵，且 A2=A，若 R( A) . 证明 R( A E) n r ，其中 E 为 n 阶单位阵
2014-2015(1)期末考试试卷(A)(线性代数)
考试课程：班级：姓名：学号：-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线---------------------------------------------------------第1页(共1页)3、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100152321A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=141B ，利用初等变换求1-A ，并求解求矩阵方程B AX =。
4、设有向量组TTTT---=--=-==)1,1,3,4(,)3,1,0,3(,)7,1,3,2(,)0,0,1,1(4321αααα，（1）求此向量组的秩和一个极大无关组；（2）将其余向量用极大无关组线性表示。
5、设四元非齐次线性方程组b Ax =的系数矩阵A 的秩为3，已知4321,,,ηηηη是它的四个解向量，且T )2,2,0,1(1=η，T )8,2,5,1(432=++ηηη，求其通解。
6、λ为何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++223321321321x x x x x x x x x λλλλ有唯一解？无解？有无穷多组解？7、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1010111a a A 与⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=b B 10相似，求b a ,的值。
8、求一个正交变换，将二次型2123222132142),,(x x x x x x x x f -+-=化为标准形。
9、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=30201t t t t A ，且A 为正定矩阵，求t 的取值范围。
三、证明题（每小题6分，共12分）1、设向量组321,,ααα线性无关，321αααβ++=，证明：1αβ-、2αβ-、3αβ-线性无关。
2、设A 是正交矩阵，证明：A 的特征值为1或1-。
考试课程：班级：姓名：学号：-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线---------------------------------------------------------满分8分得分4、满分8分得分5、满分8分得分满分8分得分7、满分8分得分8、满分8分得分满分8分得分三、证明题1、满分6分得分2、满分6分得分。
线性代数练习题
一.填空1.若()r A r =，则A 中必有一个（ ）阶子式不为零.２．A 为n 阶反对称矩阵，当且仅当对于任意n 维列向量X 均有T X AX =( ). ３．同一个向量在不同基下的坐标（ ）是不同的. ４．设((,))L V P n σ∈，则{0}Im Ker σσ=⇔=（ ）. ５．n 阶矩阵,A B 均正定，则A B ( ）正定. 6. 设三阶数字方阵A 的特征值为1,2,-2,则||A =().7.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110011001A ,则A 的初等因子为( ).8.若当块0()k J λ的初等因子组为 .9．正交矩阵的行列式为 .10．n 阶数字矩阵A 的所有不变因子的次数之和为 .11．已知n 阶实对称矩阵A 的特征值中共有t 个正实数,则A 的正惯性指数为 . 11. 设线性空间V 的任一向量都可由V 的线性无关向量组r ααα,,,21 线性表示,则V dim =( ).12. 设非零方阵A 的行列式为0,则()一定是A 的特征值.13. n 阶数字矩阵A 的所有初等因子的次数之和为（ ). 14. 设三阶矩阵A 的元素均为1,则A 的最小多项式为().15. 若x 是方阵A 的属于特征值λ的特征向量，则()是AP P B 1-=的属于特征值λ的特征向量.参考答案:r,0,一般,V,不一定,3)1(-λ, 0()k λλ- , 1± ,n , t , r, 0,n,)3(-λλ,x P 1- 二.选择题1.设W 为V 的子空间，则W 中的零元必定是V 的零元. （ ）２．在复数域C 作成自身上的线性空间中，令σαα=，则σ是C 的线性变换. （ ）３．设A 为n 阶可逆矩阵，则A 的特征矩阵E A λ-一定可逆. （ ）４．设σ是n 维欧氏空间V 的一个线性变换，则σ是正交变换的充要条件是σ把标准正交基变成标准正交基. （ ） ５．在3F 中定义变换σ（a a a 123,,）=（a a a 321,,）,则σ是3F 的一个线性变换. （ ）6. 若σ是线性空间V 的一个线性变换，n ααα,,,21 为V 的一组基，则)(,),(),(21n ασασασ 也为V 的一组基.()7. n 阶复矩阵A 与对角矩阵相似当且仅当它的不变因子全是一次的.( ) 8.任一线性空间一定含有无限多个向量. ( ） 9. n 阶复矩阵A 的最小多项式的根一定是A 的特征值.10.正定矩阵特征值都大于零. ( ） 11．同阶方阵,A B 相似的充要条件是有相同的最小多项式.( ）12.线性空间的两个子空间的并集也是子空间. ( ） 13. n 阶复矩阵A 的零化多项式无重根，则A 可对角化. ( ）14．若σ是线性空间V 的一个线性变换，n ααα,,,21 为V 的线性无关的向量组，则)(,),(),(21n ασασασ 也线性无关.15.有限维欧氏空间V 的正交变换在V 的任一组基下的矩阵皆为正交矩阵.()✓,✗, ✗ , ✓,✓, ✗,✗,✗,对, ✓ , ✗, ✗ , ✓ , ✗,错.三.选择题1.设矩阵A 的每行元素之和均为1,则( )一定是A 的特征值.A. 0B. 1C. 2D. 32．下列命题（ ）不是矩阵A 正定的判定条件.A ．A 与单位矩阵等价. B.A 特征值都大于零.C.A 与单位矩阵合同.D. A 的顺序主子式都大于零.3．设复数域C 是定义在复数域C 上的线性空间，则此线性空间维数为（ ）.A ．无限维 B. 3 C. 2 D. 14．设σ是数域F 上线性空间V 上的线性变换，若2I σ=，I 是恒等变换，则σ可能的特征值为（ ）. A. 0 B. 1 C. 2 D. 35．已知二次型),,(321x x x f 通过非退化线性替换化为标准形2221y y +-,则二次型),,(321x x x f （ ）.A.正定B. 半正定C. 负定D. 不定 6.设矩阵A 的每行元素之和均为1，则()一定是A 的特征值.A. 0B. 1C. 2D. 37.设A 为2阶矩阵，21,λλ是A 的特征值,则正确的是（ ）.A.2121||,)(λλλλ=+=A A trB. 2121||,)(λλλλ=--=A A trC. 2121||,)(λλλλ+==A A trD. 以上都不对8.已知二次型),,(321x x x f 通过正交线性替换化为标准形2221y y +-,则二次型),,(321x x x f （ ）. A.正定 B. 半正定 C. 负定 D. 不定9.下列命题（ ）不是n 阶实对称方阵A 正定的充要条件.A ．A 合同于1(,,),0,1,,n i diag d d d i n >= B. A 的正惯性指数为n C. 存在可逆矩阵n n C R ⨯∈，使得T A C C = D.A 与单位矩阵等价.10.设A 是n 阶矩阵，E 是n 阶单位矩阵，线性方程组0)(=-x A E λ的两个不同解向量分别是,αβ，则( )必是A 对应于特征值λ的特征向量. A.αB. βC. αβ+D. αβ-B, A , D ,B ,D,B,A,D,D,D 四.计算1.设实对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=122212221A ,求正交矩阵Q ,使得AQ Q T 为对角形矩阵. 1’ 已知实二次型323121232221321444),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=.(1)写出二次型),,(321x x x f 的矩阵;(2)用正交替换化),,(321x x x f 为标准形,并写出所用的正交替换及二次型的标准形.2. 若数字矩阵A 的特征矩阵E A λ-与23(1,44,1,1,32)diag λλλλ-+--等价.(1)试写E A λ-的标准形. (2)试写A 的初等因子.(3)试写A 的Jordan 标准形.3.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=242422221A 在实数域上的全部特征值与特征向量. 4.设A =3452⎛⎝⎫⎭⎪.(1)求A 的特征值与特征向量.(2)A 是否可以对角化？若能对角化写出相应的过渡矩阵P ，使P AP -1为对角矩阵.1.解:A 的特征多项式)5()1(||)(2-+=-=λλλλA E f故A 的特征值为-1,-1,5.取-1的线性无关的特征向量)1,1,0(),1,0,1(21-=-=αα将其正交单位化得)61,62,61(),21,0,21(21--=-=γγ取特征值5的特征向量)1,1,1(3=α 将其单位化得)31,31,31(3=γ令⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=31612131620316121Q 则)5,1,1(--=diag AQ Q T .2. 解:由条件知A 的初等因子为22(2),(2),(1)λλλ--+.(1) E A λ-的标准形为22(1,1,1,2,(2)(1))diag λλλ--+. (2) A 的初等因子为22(2),(2),(1)λλλ--+.(3) A 的Jordan 标准形2212111J ⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭3. 解:A 的特征多项式为2)2)(7(||)(-+=-=λλλλA E f故A 的特征值为-7,2,2.属于特征值2的特征向量为)1,0,2(),0,1,2(,,,21212211=-=∈+αααλR k k k k 属于特征值-7的线性无关的特征向量为)2,2,1(,,33-=∈ααR l l 4.解:(1)A 的特征多项式为34||(7)(2)52E A λλλλλ---==-+--故A 的特征值为7,2-.解其次线性方程组(7)0E A X -=,得其基础解系为1(1,1)ξ=,从而A 的属于特征值7的特征向量为1().k k ξ为任意数解其次线性方程组(2)0E A X --=,得其基础解系为2(4,5)ξ=-,从而A 的属于特征值2-的特征向量为2()k k ξ为任意数.(2)由(1)知A 有两个不同的特征值,故A 可以对角化.令 1415P ⎛⎫=⎪-⎝⎭则172PA P -⎛⎫=⎪-⎝⎭. 证明:1.设n n F ⨯是数域F 上的所有n 阶矩阵的集合,令}|{A APA S Tnn =∈=⨯,}|{A APA T Tnn -=∈=⨯.(1)证明:T S ,是n n F ⨯的子空间; (2)证明:TS F nn ⊕=⨯.证明: (1)由于S E ∈,故φ≠S .F l k S B A ∈∀∈∀,,,则lBkA lB kA T+=+)(故S lB kA ∈+,从而S 为n n F ⨯的子空间.同理可证T 是n n F ⨯的子空间.(法1)先证明TS F nn +=⨯.显然,nn FT S ⨯⊆+. nn FA ⨯∈∀,有22TTA A A A A -++=,而,22TTT A A A A +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+22TTT A A A A --=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- ,故TA A S A A TT∈-∈+2,2,从而TSA +∈,故T S F nn +⊆⨯.故T S F n n +=⨯.再证T S F n n ⊕=⨯,T S A ∈∀,则A A A T -==,从而0=A ,故}0{=T S . 故结论成立.(法2) T S A ∈∀,则A A A T -==,从而0=A ,故}0{=T S . 从而nn Fnn n n n T S T S T S ⨯==--++=-+=+dim 022)dim(dim dim )dim(222又nn FTS ⨯⊆+,故T S F n n ⊕=⨯.2.设σ为数域F 上的n 维线性空间V 的线性变换.证明:n Ker =+σσdim Im dim . 证明: 设r =σker dim ,取σKer 基r ααα,,,21 扩充为V 的基r ααα,,,21 ,n r αα,,1 +.则))(,),(())(,),(),(,),(),((Im 1121n r n r r L L ασασασασασασασσ ++==下证)(,),(1n r ασασ +线性无关,设)()(11=++++n n r r k k ασασ由σ为线性变换,故0)(11=++++n n r r k k αασ从而σααKer k k n n r r ∈++++ 11,设rr n n r r k k k k k ααααα----=++++ 221111即0112211=++++++++n n r r r r k k k k k ααααα由r ααα,,,21 ,n r αα,,1 +线性无关得01===+n r k k ,故)(,),(1n r ασασ +线性无关,且是σIm 的基,故r n -=σIm dim ,而r Ker =σdim ,从而结论成立. 3.证明:欧氏空间V 上的对称变换的属于不同特征值的特征向量是正交的.证明:设σ为V 的对称变换,μλ,为σ的两个不同特征值,V ∈βα,是σ的分别属于μλ,的特征向量,即μββσλαασ==)(,)(由))(,()),((βσαβασ=可得 ),(),(ββμβαλ=,而μλ≠,故0),=(βα,从而结论成立.4. 证明:方阵A 的行列式为0的充要条件为0是A 的特征值. 证明:必要性.由于|0|||0A E A -==,故0是A 的特征值.充分性.由于0是A 的特征值,故||)1(|||0|0A A A E n-=-=-=,即0||=A .5. 设A 为n 阶可逆实矩阵,在n R 中,定义nT TRY X AY A XY X ∈∀=,,),(证明:),(Y X 是n R 的内积.证明:nRZ Y X ∈∀,,,R k ∈∀由于(1)),()(),(X Y AX A Y AY A XAY A XY X TT TT TTT====;(2)),()(),(Y X k AY A kXAY A kX Y kX TTTT ===;(3)),(),()(),(Z Y Z X AZ A Y AZ A XAZ A Y X Z Y XTTTTTT+=+=+=+;(4)由A A T 正定知,0),(≥=AX A XX X T T.若0=X,则0),(=X X .若AXA XX X TT==),(0,由A A T正定知0=X .6.数域F 上一个n 阶矩阵A (E A A n ≠≠>,0,1)，满足A A =2.证明： (1)A 的特征值只能是0或1； (2) ()()Tr A r A =；(3) 对任意的自然数m k ,有()n A E r A r m k =-+)()(. 证明: (1)设λ为A 的任一特征值,α为对应的特征向量,即0,≠=αλααA由A A =2,有αλαλαααλα22)(=====A A A A A ,而0≠α,故λλ=2,于是0=λ或1.从而结论成立.(2) 由A A =2知λλλ-=2)(g 为A 的零化多项式,而)(λg 无重根,从而A 相似于对角阵,即存在可逆矩阵P使得P E PA r ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-01其中r A r =)(,而)(A tr 为对角阵对角元之和0011)(+++++= A tr ,故()()Tr A r A =.(3)由(2)有P E P A E P E PA rn m r k ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---0)(,011从而结论成立.7. 设σ是数域F 上的n 维线性空间V 的线性变换,且I =2σ.(1)证明:σ的特征值只能为1或1-;(2)用11,-V V 分别表示σ的属于特征值1和1-的特征子空间,证明:11-⊕=V V V.证明: (1) 设λ为σ的任意一个特征值,α为属于λ的一个特征向量,即λαασ=)(.由I =2σ,有αλλασασα22)()(===故12=λ,即σ的特征值为1或1-. (2)下证11-⊕=V V V .V ∈∀α,则))((21))((21ασαασαα++-=,且)))((21(21)(21)(21)(21)))((21(2ασααασασασασασ--=-=-=-)))((21(21)(21)(21)(21)))((21(2ασααασασασασασ+=+=+=+即11-+=V V V .11-∈∀V V α,则αασα-==)(,于是0=α.从而11-⊕=V V V8.证明反对称实矩阵的特征值是零或纯虚数.证明:设A 为n 阶反对称实矩阵,C λ∈为A 的任一特征值,n C α∈为对应的特征向量,即,0A αλαα=≠ 上式两边取共轭和转置得TTA A αλααλα=-=于是 TT TA λααααλαα-==而0Tαα>,故λλ-=.即λ为零或纯虚数.。
线性代数习题集[带答案解析]教学提纲
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线性代数习题集[带答案解析]仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢1第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数1323211112)(x x xxx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢31. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=100111010100111.6．行列式=-000100002000010n n .7．行列式=--001)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢410．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .14．已知db c a cc a b b a b c a cb a D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢516．已知行列式nn D001030102112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a db a dc a dc bd c b a d c ba d cb a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x ；仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢65. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)； 6. bn b b----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111； 8．xa a a a x a a a a x a a a a x n nn 321212121;9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 21000120000021001210001211．aa a a a a aa a D ---------=110001100011000110001.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢7四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b adc b a +++------=.4．∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢8参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-； 3. 1,0,2-=x ; 4. ∏-=-11)(n k k a x5. )111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢9第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。
2015线性A代数答案
A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4．设 A 是方阵，如有矩阵关系式 AB=AC，则必有（D） A. A =0 B. B C 时 A=0 C. A 0 时 B=C D. |A| 0 时 B=C
专业班级： 答题留空不够时，可写到纸的背面
5．已知 3×4 矩阵 A 的行向量组线性无关，则矩阵 AT 的秩等于（C） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每题 3 分，共 15 分） 1．排列 246(2n 2)(2n)135(2n 3)(2n 1) 的逆序数为
角阵.(12 分） 解：先求 A 的特征值、特征向量，由特征多项式，有
学号： 姓名： 注意保持装订完整，试卷撕开无效
类似地,
4
| E A |
0 0
0 3 1
0 1 ( 2)(4 ) 2 ................................3 分(2 分) 3
1，2，3 线性无关
x1 x3 0 x1 x2 0 x x 0 2 3 1 0 1
对 1 2, 由 (2 E A) x 0 ，
0 得到特征向量 p1 1 , 3 4, 由 (4 E A) x 0
1 1 0 0 2 3 C. 0 1 0 D. 0 1 0 0 0 2
1
5 11 0 5
1 1 0 5
1 1 3 1 1 3 0 0
......................................3 分
0 1 2 0
A 3E
1 1 1 A 4E E ,故 A 3 E A 4 E 10 10
大学线性代数章节题附加参考题
0 ⎞ ⎟ 0 ⎟ M ⎟ ，其中 ai ≠ 0 (i = 1,2,L , n) ，则 A −1 = （ ⎟ L a n −1 ⎟ L 0 ⎟ ⎠
） 。
） 。
⎛ 1 0 0⎞ ⎜ ⎟ −1 （10）设 A = ⎜ 2 2 0 ⎟ ， A * 是 A 的伴随矩阵，则 ( A*) = （ ⎜ 3 4 5⎟ ⎝ ⎠
⎛5 ⎜ ⎜2 （3）设 A = ⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎝ 2 1 0 0 0 0 ⎞ ⎟ 0 0 ⎟ , 则 A −1 = （ ⎟ 1 −2 ⎟ 1 1 ⎟ ⎠
） 。
） 。
⎛ 1 0 2⎞ ⎜ ⎟ (4) 设 A 为 4×3 的矩阵，且 A 的秩为 R(A)=2， B = ⎜ 0 2 0 ⎟, 则 R（AB）=（ ⎜ −1 0 3⎟ ⎝ ⎠
2, 3, 4) ， α 2 = (2, 3, 4, 5) ， α 3 = (3, 4, 5, 6 ) ，
） 。
α 4 = (4, 5, 6, 7 ) ，则该向量组的秩为（
（2） 已知三维向量空间的一个基为 α 1 = (1, 1,
0) ，α 2 = (1, 0, 1) ，α 3 = (0, 1, 1) ，
（2）设 A 是 3 × 3 矩阵，B 为 4 × 4 矩阵，且|A|=1，|B|=2, 则行列式||B|A|=（ （a）-2; (b) 2; (c) 8; (d) -8.
（3）设 A 是 3 × 3 矩阵， | A |= −2 ,把 A 按列分快为 A = ( A1 , A2 , A3 ) ，其中 A j ( j = 1,2,3) 是 A 的第 j 列，则行列式 | A3 − 2 A1 ,3 A2 , A1 |= （ ） 。
−1
9．设 (2 E − C B ) A = C ，其中 E 是 4 阶单位阵， A 表示 A 的转置矩阵，
线性代数练习题及答案10套
1 0 1 14．设矩阵 A= 0 2 0 ，矩阵 B A E ，则矩阵 B 的秩 r(B)= __2__． 0 0 1 0 0 1 B A E = 0 1 0 ，r(B)=2． 0 0 0
15．向量空间 V={x=(x1,x2,0)|x1,x2 为实数}的维数为__2__． 16．设向量 (1,2,3) ， (3,2,1) ，则向量 ， 的内积 ( , ) =__10__． 17．设 A 是 4×3 矩阵，若齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，则矩阵 A 的秩 r(A)= __3__． 18 ． 已 知 某 个 3 元 非 齐 次 线 性 方 程 组 Ax=b 的 增 广 矩 阵 A 经 初 等 行 变 换 化 为 ：
三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）
Ibugua
交大打造不挂女神的领跑者
123 23 3 21．计算 3 阶行列式 249 49 9 ． 367 67 7 123 23 3 100 20 3 解： 249 49 9 200 40 9 0 ． 367 67 7 300 60 7
线代练习题及答案（一）
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
1．设 A 为 3 阶方阵，且 | A | 2 ，则 | 2 A 1 | （ D A．-4 B．-1 C． 1 ） D．4
| 2 A 1 | 2 3 | A | 1 8
1 4． 2
）
1 2 3 1 2 2． 设矩阵 A= （1， 2） ， B= C= 则下列矩阵运算中有意义的是 （ B 4 5 6 ， 3 4 ，
行成比例值为零．
a1b2 a 2 b2 a 3 b2
(0044)《线性代数》大作业A
5.讨论为何值时，线性方程组
(1)有唯一解？(2作业共需要完成三道题：
第1-2题选作一题，满分30分；
第3-4题选作一题，满分30分；
第5题必作，满分40分。
答卷提交要求：考试题提前公布，学生下载试题和答题卷后，在答题卷上答题。完成后需网上提交答卷。答卷于11月20日－－12月6日通过点击页面左侧导航栏内“我的考试”－“课程论文/大作业”提交。
西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷
类别：网教专业：计算机科学与技术2015年12月
课程名称【编号】：线性代数【0044】A卷
大作业满分：100分
一、大作业题目
1.设4阶方阵A、B、C满足方程 ，试求矩阵A，其中 , .
2.设3阶方阵A的三个特征值为 A的属于 的特征向量依次为 求方阵A.
3.设矩阵 ,其中 线性无关， ,向量 ,求线性方程组 的通解.
线性代数题库及答案
《线性代数》题库及答案(总11页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--《线性代数》题库及答案一、选择题1．如果D=333231232221131211a a a a a a a a a ，则行列式33323123222113121196364232a a a a a a a a a 的值应为： A ． 6D B ．12D C ．24D D ．36D 2．设A 为n 阶方阵，R （A ）=r<n,那么：A ．A 的解不可逆B ．0=A中所有r 阶子式全不为零 D. A 中没有不等于零的r 阶子式 3．设n 阶方阵A 与B 相似，那么：A ．存在可逆矩阵P ，使B AP P =-1 B ．存在对角阵D ，使A 与B 都相似于DC ．E B E A λλ-=-D ．B A ≠4．如果3333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则131211332332223121333231323232a a a a a a a a a a a a ---等于A ． 6B ． -9C ．-3D ．-6 5．设矩阵n m ij a A ⨯=)(，m<n,且R （A ）=r,那么：A ．r<mB ．r<nC ．A 中r 阶子式不为零D ．A 的标准型为⎪⎪⎭⎫⎝⎛0E ，其中E 为r 阶单位阵。
6．A 为n 阶可逆矩阵，λ是A 的一个特征根，则A 的伴随矩阵*A 的特征根之一是：A ．nA1-λ B ．A λ C ．A 1-λ D ．nA λ7．如果⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=++050403z y kx z y z ky x 有非零解，则k 应为：____________。
A ． k =0B ． k =1C ． k =2D ． k =-28．设A 是n 阶方阵，3≥n 且2)(-=n A R ，*A 是A 的伴随阵，那么：___________。
2015-2016-2线性代数A卷-1350份
试题2015年~2016年第2学期课程名称：线性代数专业年级：考生学号：考生姓名：试卷类型：A 卷√B 卷□考试方式:开卷□闭卷√……………………………………………………………………………………………………………………注：请将所有答案写在答题纸上的指定位置，写在试卷上的答案一律无效！一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设B A ,均是n 阶矩阵，则下列等式正确的是（）（A ）2222)(B AB A B A ++=+（B ）T T T )(A B AB =（C ）||||||B A B A +=+（D ）BAAB =2.设向量组n ααα,,,21 )2(≥n 是线性相关的，则下列表述正确的是（）（A ）向量组n ααα,,,21 中一定有一个向量可由其余向量线性表示（B ）向量组n ααα,,,21 的极大无关组一定唯一（C ）向量组n ααα,,,21 中任意两个向量必线性相关（D ）向量组n ααα,,,21 中一定有一个为零向量3.设A ,B 是同阶方阵，则下列表述错误的是（）（A ）)()(),(B R A R B A R +≤（B ）)()()(B R A R B A R +≥+（C ）)()(A R AB R ≤（D ）)()(B R AB R ≤4.假设方阵A 与B 相似，则下述说法错误的是（）（A ）||||B A =（B ）A 与B 有相同的特征值（C ）A 与B 有相同的特征向量（D ）A 与B 有相同的秩5.设三阶方阵),,(321ααα=A 且1||=A ，则三阶方阵)2,,(3211αααα+=B 的行列式的值是（）（A ）不确定（B ）0（C ）1（D ）2二、填空题（每小题3分，共15分）6．已知E A =3，则=+-1)(E A ________.7.设方阵A 的行列式2||=A ，则=||T T AA A _______.8.已知向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a 32,321,111321ααα线性相关，则=a _________.9.已知矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2 1 02 0 04 2 1，则=)(A R ___.10.设三阶方阵A 的特征值为1,1,2则=+-||1A A ______.三、判断题,对的打√，错的打×（每小题2分，共10分）11.设B A ,均是n 阶对称矩阵，则B A +必是对称矩阵（）.12.设A 是n 阶矩阵，则n A A ||||*=（）.13.若矩阵A 可逆，则A 的特征值必不为0（）.14.任意齐次方程组0=⨯x A n m 必有非零解（）.15.对矩阵A 施加初等列变换秩不改变（）.四、计算题（每小题10分，共50分）16．求行列式00000000a ba b b a b a的值.17.设3阶矩阵X 满足等式X B AX 2+=,其中311110012,102,004202A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求矩阵X .18.问,a b 各取何值时，线性方程组1231231232021324x x x x x ax x x x b++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有无穷多解？并求其通解.19.求向量组123411343354,,,,22323342αααα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭53101α⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的秩，并求出一个极大无关组.-20.已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3 0 00 1 20 2 1A ，求100A .五、证明题（每小题5分，共10分）21.设A 为对称矩阵，B 为反对称矩阵，且,A B 可交换，A B -可逆，证明：()()1A B A B -+-是正交矩阵.22.设A 为n m ⨯矩阵，B 为s n ⨯矩阵，且0=AB ,证明n B R A R ≤+)()(.。
《线性代数A》补充作业题(参考答案)
10. 设是含有6个未知量的非齐次线性方程组，是齐次线性方程组的线性
无关的解，是线性方程组的解，且，为任意常数，则的通解为
（A）. （C） .
（B）. （D）.
【 （A） 】
11.设矩阵，其中线性无关，，向量，为任意常数，则线性方程组的通解为
（A）. （B）. （C）. （D）. 【 （C） 】
三、解答题
2．设，为5阶方阵，，，则
（A）2 .
（B）1.
（C）－.
（D）－2 .
【 （A） 】
【分析：】 3．设为阶方阵，且的行列式，为其伴随矩阵，则
（A）
（B）
（C）
【 （C） 】 【分析：由，有：，所以】
4．设，为5阶方阵，， ，则
（A）.
（B）16 .
（C） .
（D） （D）8 .
【 （C） 】
【分析：】
（1）求向量组的秩，并讨论它的线性相关性； （2）求向量组的一个最大无关组；（3）用最大无关组表示其余向量. 解：（1）由
，故，即向量组线性无关； （2）最大无关组为：； （3）用最大无关组表示：，． 五、证明题
1．设向量组：及：，，且向量组线性无关。证明向量组线性无关. 证法一：设有数，使得：，
即， 或．
5．设，，为同阶方阵，则下列等式正确的是
（A）． （B）．
（C）．
（D）． 【 （D） 】
6．下列命题一定成立的是
（A）若，则．
（B）若，则或．
（C）若，则．
（D） 若，则．
【 （D）
】
7．设，均为阶矩阵，为阶单位矩阵，则下列结论错误的是
（A）．
（B）如果，则或．
（C）．
（D）．
线性代数A模拟卷
=(-1,1,五、（16分）设向量组α1=(1,2,3,4)T, α2=(-1,1,-1,0)T, 分 设向量组α α3=(2,-1,3,1)T, α4=(0,3,2,4)T,求L=L(α1,α2,α3,α4)的维数dim L =(2,L=L( 的维数dim 的一组基,并写出其余向量在这组基下的坐标. 及L的一组基,并写出其余向量在这组基下的坐标.
.
.
3.设矩阵 3.设矩阵
1 2 2 1 2 3 B= A= 4 5 6 4 5 10
. 关.
初等矩阵P满足： 初等矩阵 满足：AP=B,则P= 满足 则
4. α1,α2,α3,α4均为3维向量，则向量组α1,α2,α3,α4必线性 均为3维向量，则向量组α 5. R [ x ]2 中的基
.
,
二、（15分）选择题： 、（ 分 选择题：
1.设α=(1,2,3)T, β=(1,1/2,1/3)T,A=αβT,则A10=（ 设 αβ 则 （
）.
1 1/ 2 1/ 3 9 （A）310; (B) 3 2 1 2 / 3 ） 3 3/ 2 1
1
;(C)
1 210 1 3 ( )10 2
210 310
(C)
a1 D = b1 c1
a2 b2 c2
.
x3 a1 y 3 + b1 z 3 c1
x2 y2 z2
a3 x1 b3 + y1 c3 z1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
2.设矩阵 的秩 设矩阵A的秩 设矩阵 的秩R(A)=r,则（ 则 ）. (A)A中只有一个 阶子式不为零，其余的 阶子式全为零； 中只有一个r阶子式不为零 阶子式全为零； 中只有一个 阶子式不为零，其余的r阶子式全为零 (B) A中存在一个 阶子式不为零，其余的 中存在一个r阶子式不为零 阶子式（ 中存在一个 阶子式不为零，其余的r+1阶子式（若有）全为零； 阶子式 若有）全为零； (C) A中所有的 阶子式均不为零，而高阶子式全为零 中所有的r阶子式均不为零 中所有的 阶子式均不为零，而高阶子式全为零. ax1 + x 2 + x3 = 1 3. 设线性方程组 x1 + ax 2 + x3 = a 有唯一解，则（ 有唯一解， ）. x + x + ax = a 2 2 3 1 (A)a=1;(B)a=-2;(C)a≠1且a≠-2. 且 4.设 向量组α1,α2,…，αs线性相关，则（ 线性相关， 4.设 向量组α ）. 一定可由α 线性表示； (A) α1一定可由α2,α3,…，αs线性表示； 一定不可由α 线性表示； (B) α1一定不可由α2,α3,…，αs线性表示； 其中至少有一个向量可由其余s 个向量线性表示. (C) 其中至少有一个向量可由其余s-1个向量线性表示. 5.n阶方阵 与对角阵相似，则（ 阶方阵A与对角阵相似 阶方阵 与对角阵相似， ）. (A)A有n个不同的特征值；(B) A有n个相同的特征值；(C) A有n 个不同的特征值； 个相同的特征值； 有 个不同的特征值 有 个相同的特征值 有 个线性无关的特征向量. 个线性无关的特征向量
线性代数考试题库及答案(一)
线性代数考试题库及答案(一)1.下面是线性代数考试题库及答案的第一部分专项同步练第一章行列式的格式正确版本：一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是(A) (B) (C) (D) .2.如果n阶排列j1j2…jn的逆序数是k，则排列jn…j2j1的逆序数是(B) n-k。
3.n阶行列式的展开式中含a11a12的项共有(D) (n-1)。
项。
4.1/1 = (D) 2.5.1/(-1) = (B) -1.6.在函数f(x) = (2x-1)/(2-x^3)中x^3项的系数是(A) 0.7.若D = |a11 a12 a13| |a21 a22 a23| |1 a32 a33|，则D1 =2a11a33 - 4a13a31 - 2a12a32.8.若 |a11 a12| |a21 a22| = a，则 |a12 a11| |ka22 ka21| = (-k^2)a。
9.已知4阶行列式中第1行元依次是-4.0.1.3，第3行元的余子式依次为-2.5.1.x，则x = 3.10.若D = |4 3 1 5| |-1 3 4 1| |2 -1 6 3| |-2 1 3 4|，则D中第一行元的代数余子式的和为(B) -2.11.若D = |-1 5| |3 -2|，则D = (A) -1.12.k等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组x1 + kx2 + x3 = 0，kx1 + x2 + x3 = 0，x2 + x3 = 0有非零解。
(B) -2.二、填空题1.2n阶排列24…(2n)13…(2n-1)的逆序数是n(2n-1)。
2.在六阶行列式中项a32a41a25a13a56a64的符号为-。
改写后的文章：线性代数考试题库及答案第一部分专项同步练第一章行列式一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是(A) (B) (C) (D) .2.如果n阶排列j1j2…jn的逆序数是k，则排列jn…j2j1的逆序数是(B) n-k。
《线性代数》练习题库参考答案
《线性代数》练习测试题库一.选择题1、=-0000000000121nn a a a a （ B ）A. n n a a a 21)1(-B. n n a a a 211)1(+-C. n a a a 212、n 阶行列式0000000000a a a a= （ B ）A.na B. (1)2(1)n n n a -- C. (1)n n a -3、n21＝ （ B ）A. (1)!nn - B. (1)2(1)!n n n -- C. 1(1)!n n +-4、 A 是n 阶方阵，m, l 是非负整数，以下说法不正确的是 （ C ）. A. ()m l mlA A = B. mlm lA A A+⋅= C. m m mB A AB =)(5、A 、B 分别为m n ⨯、s t ⨯矩阵, ACB 有意义的条件是 （ C ） A. C 为m t ⨯矩阵； B. C 为n t ⨯矩阵； C. C 为n s ⨯矩阵6、下面不一定为方阵的是 （C ）A.对称矩阵.B.可逆矩阵.C. 线性方程组的系数矩阵.7、 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1021 的伴随矩阵是 （A ） A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1021 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1201 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1021 8、 分块矩阵 00A B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（其中A 、B 为可逆矩阵）的逆矩阵是 （ A ）A. 1100A B --⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 00BA ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 1100B A --⎡⎤⎢⎥⎣⎦9、线性方程组Ax b = 有唯一解的条件是 （ A ）A.()()r A r A b A ==的列数B.()()r A r A b = .C.()()r A r A b A ==的行数10、线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211a ax x x a x ax x x x ax 有唯一解的条件是 （A ）A. 2,1-≠aB. 21-==a a 或.C. 1≠a11、 的是则下面向量组线性无关），，，＝（），，，＝（)6,2,4(054312--=--γβα（B ）A. 0，，βα B. γβ， C. γα， 12、设A 为正交矩阵，下面结论中错误的是 （ C ）A. A T 也为正交矩阵.B. A -1也为正交矩阵.C. 总有 1A =-13、二次型()233221214321342,,,,x x x x x x x x x x f --+=的矩阵为 （ C ）A 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---340402021B 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---320201011 C 、⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---0000032002010011 14、设r 是实二次型),,,(21n x x x f 的秩，p 是二次型的正惯性指数，q 是二次型的负惯性指数，s 是二次型的符号差，那么 （ B ）A. q p r -=；B. q p r +=；C. q p s +=； 15、下面二次型中正定的是 （ B ）A. 21321),,(x x x x x f =B.2322213212),,(x x x x x x f ++= C.22213212),,(x x x x x f +=二、判断题1、若行列式主对角线上的元素全为0，则此行列式为0. （ ⨯ ）2、A 与B 都是3×2矩阵，则A 与B 的乘积也是3×2矩阵。
~二学期线性代数历年考试及标答A
AA A A123001nnββαααα（8分）四、当a 、b 为何值时，线性方程组()12342342341234022132321x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=⎧⎪++=⎪⎨-+--=⎪⎪+++=-⎩ 有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出有无穷多组解时地通解．（10分）五、设矩阵A 与B 相似，其中200200001,01001001A B x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，①求x ; ②求正交阵P ，使得T P AP B =.（10分）六、证明题.（每题5分，共10分）1、设A 是n 阶矩阵，如果存在正整数k ，使得A O k =（O 为n 阶零矩阵）， 则矩阵A 地特征值全为0．2、设向量组12,,,r ααα是齐次方程组0AX =地一个基础解系，向量β不是方程组0AX =地解，求证：1,,,r ββαβα++线性无关.武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称：线性代数A（A 卷）一、选择题（每题3分，共15分）1、A2、B3、B4、A5、D二、填空题（每题3分，共15分）1、1，1，-12、33、24、15、4λ三、解答题（每题8分，共40分）1．1122112233...123111000100001000100001000100001000100000(8)n n nr r r rnn nn i iini iiαααββββββββαααααβαβ----==−−−−−−−→-=-∑∑分（5分）123100123100321010088310111001034101123100123100313101100110(3)888803410113011881191203881101012213001188⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭ ⎪--⎝⎭⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪→- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎝⎭2.解：分31100188110101(5)2213001188⎛⎫- ⎪⎪⎪→- ⎪⎪⎪--⎪⎪⎝⎭分131188123113211(6)2211113188-⎛⎫- ⎪⎛⎫ ⎪⎪⎪∴-=-⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭ ⎪-- ⎪⎝⎭分 故1X A B -==131881112231188⎛⎫- ⎪⎪ ⎪-- ⎪⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭（8分）123001123001321010088013111100034101123001123001131301100110(3)8888034101310011889111203881101012231001188⎛⎫⎛⎫⎪⎪-→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭ ⎪--⎝⎭⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪→- ⎪ -- ⎝⎭(解法2)：分13100188110101(6)2231001188⎛⎫-⎪⎪⎪→- ⎪⎪⎪⎪ ⎪--⎪ ⎪⎝⎭分 故X =131881112231188⎛⎫- ⎪⎪ ⎪-⎪⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭（8分）3．2222311101111110(1)1110032k k k k k k k k k k k k k k k k ⎛⎫⎛+⎫+⎪ ⎪+→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+----⎝⎭⎝⎭221110(1)00(3)(12)k k k k k k k k k k k ⎛⎫+ ⎪→-- ⎪ ⎪-+--⎝⎭，（4分）当0k ≠且3k ≠-时α可由123,,ααα线性表出，并且表示法唯一.（8分） 4．解:221102(1)(2)413I A λλλλλλ+---=-=+---解得特征值1231,2λλλ=-==. （3分）解齐次线性方程组()0E A X --=得基础解系为1101ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭故对应于11λ=-地特征值为：1111100c c c c ξ⎛⎫ ⎪=≠ ⎪ ⎪⎝⎭其中 （5分）解齐次线性方程组(2)0E A X -=得基础解系为：2311441,001ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（7分）故对应于232λλ==地特征值向量为：23223322331()4,0c c c c c c c c ξξ⎛⎫+ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其中不全. （8分）5．解：因为*||11A A A =-， （2分）所以 |||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A （5分）=|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A |-1=-8⨯2=-16.（8分）四、解： 将方程组地增广矩阵A 用初等行变换化为阶梯矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=01000101001221001111112323101221001111a b a a b a A （3分） 所以，⑴ 当1≠a 时，()()4==A A r r ，此时线性方程组有唯一解．⑵ 当1=a ，1-≠b 时，()2=A r ，()3=A r ，此时线性方程组无解．⑶ 当1=a ，1-=b 时，()()2==A A r r ，此时线性方程组有无穷多组解．（6分） 此时，原线性方程组化为12342340221x x x x x x x +++=⎧⎨++=⎩因此，原线性方程组地通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+--=-+=44334324311221x x x x x x x x x x 或者写为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡001110210121213321k k x x x x （10分） 五、解：因A 与B 相似，故有21(1)20x ++-=++解得0x =.（2分）A 地特征根为1231,1,2λλλ=-==.（3分） 解齐次线性方程组()0E A X λ-=，得对应于11λ=-地特征向量为*1011P ⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭，将它单位化得10P ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎝.（5分）对应于21λ=地特征向量为*2011P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，将它单位化得20P ⎛⎫ ⎪ ⎪=.（7分） 对应于32λ=地特征向量为*33100P P ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭.（9分）令()321,,P P P P =，则()321,,P P P P =即为所求正交矩阵.（10分）六．1、设λ是矩阵A 地特征值，0α≠是矩阵A 地属于λ地特征向量，则有αA αλ=．所以，()ααA A αAαA k k k kλλ====-- 11， （3分）但是O A =k，所以0α=kλ，但0α≠，所以0=λ． （5分） 2、假设1,,,r ββαβα++线性有关，则存在不全为零地01,,,r λλλ使得011()()0r r λβλβαλβα++++=，于是01()r λλλβ-+++=11r r λαλα+， （2分）又由于12,,,r ααα地线性无关性知01()0r λλλ-+++≠，于是 （4分）011rβλλλ=-+++（11r r λαλα+），这与已知向量β不是方程组0AX =地解矛盾.（5分）版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有 This article includes some parts, including text, pictures, and design.Copyright is personal ownership.5PCzV。
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（A）3
（B）－27 ).
（C）
1 27
（D）
1 3
3 下列命题正确的是(
（A） 若 A2 O ，则 A O (C) 若 AB O ， 且 A 可逆， 则BO
（B） 若 A2 A ，则 A O 或 A I （D） 若 AX AY ， 且AO， 则 X Y ). （D） 秩(A)≤k
（A） 2d
a13 2a11 a 23 d , 那么 3a 21 a33
2a12 3a 22
a32
a31 a32
（C）-d
（B）3d
x y z 0 3 已知齐次线性方程组 x 3 y z 0 仅有零解，则（ y z 0
（A） 0 且 1 ; （C） 0 ; 填空题： （B） 0 或 1 ; （D） 1 .
1 二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) x1 2 x2 3x3 2 x1 x2 8x1 x3 的矩阵 A
1 2 3 x1 2 二次型 f x1 , x2 , x3 x1 , x2 , x3 0 1 2 x2 对应的矩阵为： 1 0 3 x 3
3 若二次型 f x1 , x2 , x3 5x1 5x2 cx3 2 x1 x2 6 x1 x3 6 x2 x3 的秩为 2，则 c
2 2 2
计算题： 1 用正交变换法化二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 4 x1 4 x2 4 x3 4 x1 x2 4 x1 x3 4 x2 x3 为标
）
1 若 5 元线性方程组 AX b 的基础解系由四个线性无关的解向量构成，则 R A __ 2 若向量组 1 ( , 1, 1 ), 2 ( 1, , 1 ), 3 ( 1, 1, ) 线性相关，则 3 已知向量 (1, 1, 2) 与向量 (2, 2, x) 正交，则 x ＝
1 b b2 b3
1 c c2 c3
1 x x2 x3
（其中 a, b, c 是互不相同的数）的根是
.
计算题：
1 计算行列式
3 3 1 1 2 1 1 1 1 1
1 1
1 2
， 2 计算行列式 3
2 2 0 0
3 0 3 0
n 0 0 . n
4 1 1 5
n
3 计算行列式
xa a a a
b xb b b
3
，
1 2
2 若 3 阶方阵 A 有一个特征值为 2 ，且 A 6, tr A 6 ，则 A 的所有特征值为 3 已知三阶方阵 A 的特征值为 1，2，-1，则 E 2 A1 计算题
2 0 0 1 1 设 A 0 3 2 ，求一个正交矩阵 Q 使得 Q AQ 为对角矩阵。 0 2 3
2 已知 A 为三阶实对称矩阵，秩 r ( A) 2 , 1 ( 0， 1， 0 ) , 2 ( 1， 0， 1) ,是
T T
A 对应特征值 1 2 3 的特征向量，试求：
（1） A 的另一个特征值 3 及其特征向量 3 ； （2） 矩阵 A ，矩阵 A 。
n
2 2 2
准型，并求出正交变换。 2 问 取何值时，二次型
2 2 f x12 4 x2 4 x3 2x1 x2 2 x1 x3 4 x2 x3
为正定二次型？
证明题 1 证明：满足 A3 A2 2 A 2E 的实对称矩阵 A 是正定的。
2 已知矩阵 A， B 为 n 阶ห้องสมุดไป่ตู้定矩阵,证明: （1） 矩阵 AB 的特征值都大于零； （2）若 AB BA ，则 AB 为正定矩阵。
证明题： 1 设 A, B 均为正交阵，证明： AB 仍为正交阵。 2 已知 A 为 3 阶方阵， 1, 2 , 3 为 A 的三个不同的特征值， 1, 2 , 3 分别为相应的特征向量， 又 1 2 3 ，试证： , A , A2 线性无关. 第五章 二次型 选择题： 1 二次型 f x1 , x2 , x3 , x4 2 x1 x2 2 x1 x4 2 x2 x3 2 x3 x4 的秩为 （ （A）1 （B）2 （C）3 ） （D）4 ）
线性代数章节练习题
第一章 行列式 选择题 1 设 A 与 B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是（ （A） （C） ）
A B A B
（B） （D）
AB BA
A B A B
AB A B
2a13 3a 23 （ ） a33
（D）-6d
a11 a12 2 如果行列式 a 21 a 22 a31
T
. ．
T
计算题
x1 3x2 x3 0 1 设线性方程组 x1 4 x2 ax3 b ， 问当参数 a, b 取何值时， 2 x x 3x 5 3 1 2
(1). 此方程组无解? (2). 此方程组有唯一解? (3). 此方程组有无穷多解?
x1 x 2 x3 3 2 为何值时，线性方程组 x1 x 2 x3 2 有唯一解，无解和有无穷多解？当方程 x x x 2 2 3 1
c c xc c
d d d xd
第二章 矩阵 选择题 1 设 n 阶矩阵 A, B, C 满足 AB BC CA E ，则 A2 B 2 C 2 （
）
(A) 3E
(B) 2 E
2
(C) E
(D) 0 ).
2 设 A 是 3 阶可逆矩阵，且 A 3 A 0 ，则 A1 (
与 的夹角 （
( D)
2
）
( A)
4
( B)
2
(C )
）
2 设 A 的特征值为 1，1，0，则（
（A）A 可相似对角化 （B）A 不可相似对角化 3 下列方阵不一定是可逆矩阵的是（ ）
（C）A 可逆
（D）A 不可逆
( A)
正交矩阵
( B) 正定矩阵
(C ) 对称矩阵
( D) 过渡矩阵
求B
1 1 1 1 ，矩阵 X 满足 A* X A1 2 X ，其中 A* 为 A 的伴随矩阵， 2 设矩阵 A 1 1 1 1 1
求X . 证明题： 设 A 为 n 阶矩阵，且满足 A A ，证明： R( A E ) R( A) n .
2
第三章 线性方程组 选择题： 1 已知 1 , 2 是线性方程组 AX b 的两个不同的解， 1 , 2 是对应导出组 AX 0 的基础 解系，则 AX b 的通解是（ （A） k1 2 k2 (1 2 ) ）
1 2
2 2 （C） k1 2 k2 ( 1 2 ) 1 2
0 1 2 0
）
0 1 0 （A） 0 2 0 0 2 0
填空题
2
3 0 0 （B） 0 2 0 0 0 5
2 2
2 0 0 1 0 0 （C） 0 1 0 （D） 0 2 0 0 0 1 0 0 1
2 下列矩阵是正定矩阵的是 （ （A）
1 2 2 4
（B）
2 2 2 3
0 0 合同的是（ 5
（C）
4 5 5 2
（D）
3 2 2 3
2 3 下列矩阵中与矩阵 0 0
） （D） A
T
4 下列矩阵与可逆矩阵 A 有相同的特征值的是（ （A） A 填空题：
1
（B） A
2
（C） A E
1 1 1 在欧氏空间 R 中，设 1 3 , 2 0 ，则内积 1 2 , 1 2 4 5
*
, nr 是对应齐次线性方程
组的一个基础解系，证明 ⑴ * , 1 , 2 ,
, nr 线性无关； , * nr 线性无关.
⑵ * , * 1 , * 2 ,
第四章 矩阵的相似对角化 选择题： 1 设向量 (2,2,0,0), (0,0,1,1) ，则
4 已知矩阵 A 的一个 k 阶子式不等于 0，则秩(A)满足(
（A） 秩(A)>k
填空题
（B）秩(A)≥k
（C） 秩(A)=k
3 4 1 1 已知 A 则A ＝ ， 2 1
.
B
1 2 1 2
0
1 2 1 2
0
则 B 1 ＝ 0 ， 1
2 1 p3 p4 0 1
(1).求齐次方程组 Ax 0 的一个基础解系。(2). 求 Ax b 的通解。 证明题： 1 设向量组 1 , 2 , 3 线性无关， 证明： 向量组 1 1 , 2 1 2 , 3 1 2 3 线 性无关. 2 设 是非齐次线性方程组 Ax b 的一个解， 1 , 2 ,
组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。 4 设 A 为 4 阶方阵，4 维列向量 b 0 ， R( A) 2 。若 p1 , p2 , p3 , p4 都是非齐次方程组
2 2 Ax b 的解向量，且满足 p1 p2 , 0 4
3 0 p2 p3 , 1 2
（B）三个与 1 , 2 , 3 等价的向量组 （D） 1 2 , 2 3 , 3 1
3 设 A 为 m n 矩阵，齐次线性方程组 Ax o 仅有零解的充分条件是（ (A) A 的行向量线性相关；(B) A 的行向量线性无关； (C) A 的列向量线性相关；(D) A 的列向量线性无关. 填空题：