高二数学第二学期阶段测试(附答案)
高二数学下学期阶段性检测试题含解析 试题 2
2021-2021学年高二数学下学期阶段性检测试题〔含解析〕单位：乙州丁厂七市润芝学校 时间：2022年4月12日 创编者：阳芡明一、填空题〔本大题一一共12小题，满分是54分，其中1-6题每一小题4分，7-12题每一小题5分〕考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写上结果.1.i 为虚数单位，假设复数()()12ai i ++是纯虚数，那么实数a =______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用复数的运算法那么进展化简，然后再利用纯虚数的定义即可得出． 【详解】∵复数〔1+ai 〕〔2+i 〕＝2﹣a +〔1+2a 〕i 是纯虚数，∴20120a a -=⎧⎨+≠⎩，解得a ＝2． 故答案为：2．【点睛】纯熟掌握复数的运算法那么、纯虚数的定义是解题的关键，此题属于根底题．5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩〔θ为参数〕的焦距为______. 【答案】6 【解析】 【分析】消参求出椭圆的普通方程，即可求出椭圆的焦距．【详解】将5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩变形为cos 5sin 4xy θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，平方相加消去参数θ可得：2212516x y +=， 所以，c ==3，所以，焦距为2c ＝6．故答案为6．【点睛】此题考察椭圆的参数方程，考察椭圆的性质，正确转化为普通方程是关键．2212x y +=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是______. 【答案】221x y -= 【解析】 【分析】根据椭圆的HY 方程求出焦点和顶点坐标，得出双曲线的顶点和焦点，从而求出双曲线的方程．【详解】椭圆2212x y +=的焦点为F 〔±1，0〕，，0〕；那么双曲线的顶点为〔±1，0〕0〕， ∴a ＝1，c，∴b ==1， ∴双曲线的方程为221x y -=， 故答案为：221x y -=．【点睛】此题考察了椭圆与双曲线的HY 方程与简单几何性质的应用问题，是根底题．23π的扇形，当侧面积是27π时，那么该圆锥体的体积是______.【答案】 【解析】 【分析】由圆锥体侧面展开图的半径是圆锥的母线长，展开图的弧长是底面圆的周长，可以求出圆锥的母线和底面圆半径，从而得出高和体积．【详解】设圆锥的侧面展开图扇形的半径为l ，那么侧面展开图扇形的面积S 1223π=⨯ l 2＝27π；∴l ＝9．又设圆锥的底面圆半径为r ，那么2πr ＝23πl ， ∴r 13=l ＝3； ∴圆锥的高h === ∴该圆锥体的体积是：V 圆锥13=•πr 2•h 13=•π•9•=．故答案为：．【点睛】此题考察圆锥的体积公式，考察了空间想象才能，计算才能，关键是弄清楚侧面展开图与圆锥体的关系,属于根底题．x 、y 满足11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，那么目的函数2z x y =-的最大值为______.【答案】5 【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(1,1),(2,1),(1,0)A B C -，直线2z x y =-过点C 时取最大值1. 考点：线性规划【易错点睛】线性规划的本质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目的函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进展比拟，防止出错；三，一般情况下，目的函数的最大或者最小值会在可行域的端点或者边界上获得.M 的底面圆的半径与球O 的半径一样，假设圆柱M 与球O 的体积相等，那么它们的外表积之比:S S =圆柱球______.〔用数值答题〕 【答案】76【解析】 【分析】由中圆柱M 与球O 的体积相等，可以求出圆柱的高与圆柱底面半径的关系，进而求出圆柱和球的外表积后，即可得到S 圆柱：S 球的值．【详解】∵设圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径均为R ，M 的高为h 那么球的外表积S 球＝4πR 2 又∵圆柱M 与球O 的体积相等 即2343R h R ππ= 解得h ＝43R ， 4πR 2＝2πR 2+2πR •h 那么S 圆柱＝2πR 2+2πR •h=2143R π，S 球24R π=，∴S 圆柱：S 球147436==：， 故答案为：76.【点睛】此题考察的知识点是球的体积和外表积，圆柱的体积和外表积，其中根据求出圆柱的高，是解答此题的关键．1z 、2z 是实系数一元二次方程20x px q ++=的两个根，且212z z =，那么pq =______.【答案】1 【解析】 【分析】设z 1＝a +bi ，那么z 2＝a ﹣bi ，〔a ，b ∈R 〕，根据两个复数相等的充要条件求出z 1，z 2，再由根与系数的关系求得p ，q 的值．【详解】由题意可知z 1与z 2为一共轭复数，设z 1＝a +bi ，那么z 2＝a ﹣bi ，〔a ，b ∈R 且b 0≠〕，又212z z =，那么222abi a b -+=a ﹣bi ，∴〔2a +b 〕+〔a +2b 〕i ＝1﹣i ，∴22122ab a a b a b b ⎧=-⎪⎧-=⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩．∴z 1＝12-，z 2＝12-i ，〔或者z 2＝12-，z 1＝12--i 〕由根与系数的关系，得p ＝﹣〔z 1+z 2〕＝1，q ＝z 1•z 2＝1， ∴pq ＝1． 故答案为：1.【点睛】此题考察实系数一元二次方程在复数集的根的问题，考察了两个复数相等的充要条件，属于根底题．221x y -=，1A 、2A 是它的两个顶点，点P 是双曲线上的点，且直线1PA 的斜率是12，那么直线2PA 的斜率为______. 【答案】2 【解析】 【分析】设P 〔x 0，y 0〕，那么22001x y -=，202011y x =-，由A 1〔﹣1，0〕，A 2〔1，0〕，知k 1k 2200020001111y y y x x x =⋅==+--，由此能求出直线PA 2的斜率． 【详解】设P 〔x 0，y 0〕，那么22001x y -=，∴202011y x =-， ∵A 1〔﹣1，0〕，A 2〔1，0〕，设直线PA 1的斜率为k 1，直线PA 2的斜率为k 2，∴k 1k 2200020001111y y y x x x =⋅==+--， ∵k 112=， ∴k 22=． 故答案为：2．【点睛】此题考察两直线的斜率之积的求法，考察曲线上点的坐标与曲线方程的关系，考察了分析问题的才能，属于根底题．R 的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面间隔 都等于3Rπ，且经过这三个点的小圆周长为4π，那么R =______.【答案】【解析】 【分析】根据题意，得出AB ＝BC ＝CA ＝R ，利用其周长得到正三角形ABC 的外接圆半径r ，故可以得到高，设D 是BC 的中点，在△OBC 中，又可以得到角以及边与R 的关系，在Rt △ABD 中，再利用直角三角形的勾股定理，即可解出R ．【详解】∵球面上三个点，其中任意两点间的球面间隔 都等于3Rπ， ∴∠ABC ＝∠BCA ＝∠CAB 3π=，∴AB ＝BC ＝CA ＝R ，设球心为O ，因为正三角形ABC 的外径r ＝2，故高AD 32=r ＝3，D 是BC 的中点． 在△OBC 中，BO ＝CO ＝R ，∠BOC 3π=，所以BC ＝BO ＝R ，BD 12=BC 12=R ．在Rt △ABD 中，AB ＝BC ＝R ，所以由AB 2＝BD 2+AD 2，得R 214=R 2+9，所以R ＝故答案为：．【点睛】此题考察了球的根本概念及性质应用，考察了空间想象才能，是根底题．x的方程1x +m 的取值范围是______.【答案】m 1≥-． 【解析】 【分析】由题意可得，函数y ＝x +1的图象和函数y =的图象有一个交点，对函数y =的m 分类，分别画出y =的图象，可求出实数m 的取值范围．【详解】∵关于x 的方程x+12m x =+有一个实数解， 故直线y ＝x +1的图象和函数y 2m x =+的图象有一个交点．在同一坐标系中分别画出函数y ＝x +1的图象和函数y 2m x =+的图象．由于函数y 2m x =+，当m=0时，y 22m x x x =+==和直线y ＝x +1的图象如图：满足有一个交点； 当m>0时，y 2m x =+y 2﹣x 2＝m(y>0)此双曲线y 2﹣x 2＝m 的渐近线方程为y ＝±x ，其中y=x 与直线y ＝x +1平行， 双曲线y 2﹣x 2＝m 的顶点坐标为〔0，m 〕， 如图：只要m>0，均满足函数y ＝x +1的图象和函数y 2m x =+的图象有一个交点，当m<0时，y 2m x =+x 2﹣y 2＝﹣m(y>0)，此双曲线x 2﹣y 2＝﹣m 的渐近线方程为y ＝±x ，其中y=x 与直线y ＝x +1平行， 而双曲线x 2﹣y 2＝﹣m 的顶点坐标为〔m ±-，0〕，如图：1m -≤时，满足函数y ＝x +1的图象和函数y 2m x +即当1m 0-≤<时符合题意； 综上： m 1≥-， 故答案为：m 1≥-．【点睛】此题考察的知识点直线和双曲线的位置关系的应用，将问题转化为直线y ＝x +1的图象和函数y 2m x =+是解答此题的关键，考察了数形结合思想，属于中档题．1111ABCD A B C D -中，点M 、N 分别在线段1AB 、1BC 上运动〔不包括线段端点〕，且AM BN =.以下结论：①1AA MN ⊥；②假设点M 、N 分别为线段1AB 、1BC 的中点，那么由线MN 与1AB 确定的平面在正方体1111ABCD A B C D -上的截面为等边三角形；③四面体MBCN 的体积的最大值为124；④直线1D M 与直线1A N 的夹角为定值.其中正确的结论为______.〔填序号〕【答案】① ② ③ 【解析】 【分析】①作NE ⊥BC ，MF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，可得四边形MNEF 是矩形，可得MN ∥FE ，利用AA 1⊥面AC ，可得结论成立；②截面为△AB 1C ，为等边三角形，故正确．③设=BN 1λB C ，那么MBCN V ＝13BCNS d M ﹣BCN =11λ1λ624-≤（），故③成立； ④设=BN 1λB C ，当λ接近于0时，直线1M D 与直线1N A 的夹角接近于3π，当λ接近于1时，夹角接近于2π，故④不正确；【详解】①作NE ⊥BC ，MF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，∵AM ＝BN ，∴NE ＝MF ，∴四边形MNEF 是矩形，∴MN ∥FE ，∵AA 1⊥面AC ，EF ⊂面AC ，∴AA 1⊥EF ，∴AA 1⊥MN ，故①正确；②点M 、N 分别为线段AB 1、BC 1的中点，那么由线MN 与AB 1确定的平面在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1 上的截面为△AB 1C ，为等边三角形，故②正确． ③设=BN 1λB C ，那么M BCN V -＝13BCNS d M ﹣BCN ，又AM=BN=11λB λA C B =,∴BCN S=1λ2，d M ﹣BCN =()1λAB 1λ-=-，∴MBCN V ＝13BCNS d M ﹣BCN =11λ1λ624-≤（），当且仅当1λ2=时获得最大值，故③成立；④设=BN 1λB C ，当λ接近于0时，直线1M D 与直线1N A 的夹角近似于直线1A D 和直线1BA 的夹角，接近于3π，当λ接近于1时，直线1M D 与直线1N A 的夹角近似于直线11D B 和直线11A C 的夹角，接近于2π，故④不正确； 综上可知，正确的结论为①②③故答案为：①②③【点睛】此题考察线面平行、垂直，考察点到面的间隔 的计算，考察学生分析解决问题的才能，属于中档题．12.“横看成岭侧成峰，远近上下各不同.〞同一事物从不同角度看，我们会有不同的认识.请解决以下问题：设函数2()(21)2(,,0)f x ax b x a a b R a =++--∈≠在[]3,4至少有一个零点，那么22a b +的最小值为______.【答案】1100【解析】【分析】把等式看成关于a ，b 的直线方程：〔x 2﹣1〕a +2xb +x ﹣2＝0，由于直线上一点〔a ，b 〕到原点的间隔 大于等于原点到直线的间隔 222222(1)(2)x a b x x -+≥-+，从而可得a 2+b 222221()51(24)2x x x x -≥=+-++-；从而解得． 【详解】把等式看成关于a ，b 的直线方程：〔x 2﹣1〕a +2xb +x ﹣2＝0，由于直线上一点〔a ，b 〕到原点的间隔 大于等于原点到直线的间隔 ，≥所以a2+b222221()51(24)2xx xx-≥=+-++-，∵x﹣252x+-在[3，4]是减函数，∴252+≤x﹣252x+≤-1+5；即92≤x﹣252x+≤-6；故2115100(24)2xx≥-++-；当x＝3，a225=-，b350=-时取等号，故a2+b2的最小值为1100．故答案为：1100．【点睛】此题考察了函数的零点的应用，把等式看成关于a，b的直线方程〔x2﹣1〕a+2xb+x ﹣2＝0是难点，属于较难题．二、选择题〔本大题一一共有4小题，满分是20分，每一小题5分〕每一小题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑l与平面α平行，直线m在平面α上，那么〔〕A. 直线l不平行于直线mB. 直线l与直线m异面C. 直线l与直线m没有公一共点D. 直线l与直线m不垂直【答案】C【解析】【分析】由中直线l与平面α平行，直线m在平面α上，可得直线l与直线m异面或者平行，进而得到答案．【详解】∵直线l 与平面α平行，由线面平行的定义可知：直线l 与平面α无公一共点， 又直线m 在平面α上，∴直线l 与直线m 没有公一共点，应选：C ．【点睛】此题考察的知识点是空间中直线与直线之间的位置关系，考察了直线与平面平行的定义，属于根底题．{|()()20,,,}A z a bi z a bi z a b R z C =++-+=∈∈，{|||1,}B z z z C ==∈，假设A B ⋂=∅，那么a ，b 之间的关系是〔 〕A. 1a b +>B. 1a b +<C. 221a b +<D. 221a b +>【答案】C【解析】【分析】先设出复数z ，利用复数相等的定义得到集合A 看成复平面上直线上的点，集合B 可看成复平面上圆的点集，假设A ∩B ＝∅即直线与圆没有交点，借助直线与圆相离的定义建立不等关系即可．【详解】设z ＝x +yi ，那么〔a +bi 〕〔x ﹣yi 〕+〔a ﹣bi 〕〔x +yi 〕+2＝0化简整理得，ax +by +1＝0即，集合A 可看成复平面上直线上的点，集合B 可看成复平面上圆x 2+y 2=0的点集，假设A ∩B ＝∅，即直线ax +by +1＝0与圆x 2+y 2=0没有交点，d 2211a b =+＞，即a 2+b 2＜1应选：C ．【点睛】此题考察了复数相等的定义及几何意义，考察了直线与圆的位置关系，考察了转化思想，属于中档题．15.某四面体的六条棱长分别为3，3，2，2，2，2，那么两条较长棱所在直线所成角的余弦值为〔 〕A. 0B. 79C. 0或者79D. 以上都不对【答案】B【解析】【分析】当较长的两条棱是四面体相对的棱时，根据三角形两边之和大于第三边出现矛盾，得此种情况不存在；当它们是四面体相邻的棱时，根据余弦定理可以算出所成角的余弦之值，由此可得正确答案．【详解】①当较长的两条棱是四面体相对的棱时，如图，取CD中点E，那么∵等腰△BCD中，中线BE⊥CD，等腰△ACD中，中线AE⊥CD，AE、BE是平面ABE内的相交直线∴CD⊥平面ABE，结合AB⊆平面ABE，可得AB⊥CD此时两条较长棱所在直线所成角的余弦值为cos90°＝0，检验：此时△ABE中，AE＝BE72=，不满足AE+BE＞AB，故此种情况舍去；②当较长的两条棱是四面体相邻的棱时，如图设所成的角为θ，根据余弦定理得cosθ9947 2339+-==⨯⨯综上所述，得所求余弦值为7 9应选B.【点睛】此题考察了在四面体中求两条棱所在直线所成角的余弦值，着重考察了余弦定理、线面垂直的断定与性质和异面直线所成角等知识，属于根底题．16.以下命题：①根据斜二测画法，三角形的直观图是三角形；②有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；③两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥；④假设两个二面角的半平面互相垂直，那么这两个二面角的大小相等或者互补.其中正确命题的个数为〔〕A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】由斜二测画法规那么直接判断①正确；举出反例即可说明命题②、③、④错误；【详解】对于①，由斜二测画法规那么知：三角形的直观图是三角形；故①正确；对于②，如图符合条件但却不是棱柱；故②错误；对于③，两相邻侧面所成角相等的棱锥不一定是正棱锥，例如把如下图的正方形折叠成三棱锥不是正棱锥．故③错误；对于④，一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个角的平面角相等或者互补错误，如教室中的前墙面和左墙面构成一个直二面角，底板面垂直于左墙面，垂直于前墙面且与底板面相交的面与底板面构成的二面角不一定是直角．故④错误；∴只有命题①正确．应选A．【点睛】此题考察了命题的真假判断与应用，考察了空间几何体的构造特征，考察了学生的空间想象才能和思维才能，是中档题．三、解答题〔本大题一一共5题，满分是76分〕解答以下各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1.〔1〕求二面角1B AC B --的大小；〔用反三角函数表示〕〔2〕求直线1A B 与平面11BDD B 所成角的大小.【答案】〔1〕2；〔2〕6π. 【解析】【分析】〔1〕连接AC ，取AC 中点O ，连接BO ，1B O ，先说明1BOB ∠为二面角1B AC B --的平面角，再在1Rt BO B 中求得1tan BOB ∠即可．〔2〕取11B D 的中点1O ，连接1A O 和1BO .由1111A O B D ⊥和111AO BB ⊥得1A O ⊥平面11BDD B ，可得11A BO ∠为直线1A B 与平面11BDD B 所成的角. 在直角三角形11AO B 中， 计算11sin A BO ∠即可.【详解】〔1〕连接AC ，取AC 中点O ，连接BO ，1B O ，因为AB BC =，那么BO AC ⊥， 因为11AB CB =，那么1B O AC ⊥，所以1BOB ∠为二面角1B AC B --的平面角.因为1B B ⊥平面ABCD，2BO =，11BB =，所以11tan BB BOB BO ∠==所以1BOB ∠=，即二面角1B AC B --的大小为.〔2〕取11B D 的中点1O ，连接1A O 和1BO .由1111A O B D ⊥和111AO BB ⊥得1AO ⊥平面11BDD B ， 所以11A BO ∠为直线1A B 与平面11BDD B 所成的角.在直角三角形11AO B中，11A O =，1A B = 所以111111sin 2A O A BO A B ∠==，所以116A BO π∠=， 所以直线1AB 与平面11BDD B 所成角的大小为6π. 【点睛】此题考察线面角的大小的求法，考察二面角的大小的求法，利用定义定理作出所求角是关键，是中档题．24y x =，(),0A a 是x 轴上一点，(),P x y 是抛物线上任意一点.〔1〕假设1a =，求PA 的最小值；〔2〕O 为坐标原点，假设PA 的最小值为OA ，务实数a 的取值范围.【答案】〔1〕1；〔2〕2a ≤.【解析】【分析】〔1〕由题意及抛物线的定义可得PA =P 到准线的间隔 ，可得P 为抛物线的顶点时，PA 的最小值为1.〔2〕将PA 表示为关于x 的函数，结合二次函数的性质求得结果.【详解】〔1〕当a=1时，A 〔1，0〕为抛物线的焦点，此时PA =P 到准线的间隔 ， ∴当P 为抛物线的顶点时，P 到准线的间隔 最小为1，即PA 的最小值为1.〔2〕222||()214PA x a y x ax x =-+=-++22(2)43x a a a =+-+--||PA 的最小值为||OA ，即当0x =时||PA 获得最小值，所以20a -≤，即2a ≤.【点睛】此题考察了抛物线的定义的应用，考察了二次函数最值问题，考察了分析转化才能，属于根底题.19.如图，四面体ABCD 中，32DA DB DC ===且DA DB DC ==两两互相垂直，点O 是ABC ∆的中心.〔1〕过O 作OE AD ⊥，求DEO ∆绕直线DO 旋转一周所形成的几何体的体积；〔2〕将DAO ∆绕直线DO 旋转一周，那么在旋转过程中，直线DA 与直线BC 所成角记为θ，求cos θ的取值范围.【答案】〔146；〔2〕60cos θ≤≤. 【解析】【分析】〔1〕由圆锥的几何特征可得，该几何体由两个底面相等的圆锥组合而成，其中两个圆锥的高〔2〕以O 为坐标原点，OF 为x 轴，OG 为y 轴，OD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式求得cosθ=，令t y =+，结合点A 的轨迹方程求得t 的范围，可得结果.【详解】〔1〕过E 作EH DO ⊥，经计算得DO =，=OA 2OE =，由此得EH =所以DEO ∆绕直线DO 旋转一周所形成的几何体的体积21339V π⎛== ⎝⎭. 〔2〕过O 作OG AC 交AB 于G ，以O 为坐标原点，OF 为x 轴，OG 为y 轴，OD 为z 轴，建立空间直角坐标系，那么D ，()10y f x π=-，3,0)C -，设(, ,0)A x y ，那么(33,3,0)BC =-，(,AD x y =--，所以cosθ=， 在xOy 平面上，点A 的轨迹方程为2212x y +=，令t y =+，将t y =+看作直线y=，那么直线y=与圆2212x y +=有公一共点，那么||2t d =≤所以0t ≤≤0cos θ≤≤. 【点睛】此题考察了旋转体的体积，考察了利用空间向量进展异面直线所成的角的求法，涉及点的轨迹问题，属于中档题．20.如图，几何体EF ABCD -中，CDEF 是边长为2的正方形，ABCD 为直角梯形，AB CD ∥，AD DC ⊥，2AD =，90ADF ∠=︒.〔1〕求异面直线BE 和CD 所成角的大小；〔2〕求几何体EF ABCD -的体积；〔3〕假设平面ABCD 内有一经过点B 的曲线Γ，该曲线上的任一动点都满足EQ 与CD 所成角的大小恰等于BE 与CD Γ的形状并说明理由.【答案】〔1〕6arccos 3；〔2〕163；〔3〕双曲线. 【解析】【分析】〔1〕根据几何体的特征，建立空间直角坐标系，求出向量CD ，BE 的坐标，利用向量坐标运算求异面直线所成角的余弦值，可得角的大小；〔2〕利用几何体的体积V ＝V E ﹣ABCD +V B ﹣CEF ，分别求得两个棱锥的底面面积与高，代入棱锥的体积公式计算．〔3〕利用向量夹角公式直接可得关于x ，y 的表达式，满足双曲线方程，可得结果.【详解】〔1〕∵AD DC ⊥且90ADF ︒∠=，∴AD ⊥平面CDEF ，∴AD DE ⊥如图建系，以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴，建立空间直角坐标系， 那么(2,4,0)B ，(0,0,2)E ，(0,2,0)C ，(0,0,0)D ，(2,4,2)BE =--，(0,2,0)CD =- 设异面直线BE 和CD 所成角的大小为θ，那么6cos 13||||BE CD BE CD θ⋅==⋅所以异面直线BE 和CD 所成角的大小为6arccos 3. 〔2〕如图，连结EC ，过B 作CD 的垂线，垂足为N ，那么BN ⊥平面CDEF ，且BN ＝2．∵V EF ﹣ABCD ＝V E ﹣ABCD +V B ﹣ECF ()1111111642222223332323ABCD EFC S DE S BN =⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=． ∴几何体EF ﹣ABCD 的体积为163． 〔3〕设(, , 0)Q x y ，那么(,,2)EQ x y =-，由题意知EQ 与CD 所成角的大小为6 所以226|3||42EQ CD EQ CD x y ⋅==++⋅‖ 化简得22184y x -= 所以曲线Γ的形状是双曲线.【点睛】此题考察了利用向量法求异面直线所成角，考察了组合几何体体积的计算，考察了学生的空间想象才能与运算才能，属于中档题．C ：22221(0)x y a b a b+=>>，其长轴是短轴的两倍，以某短轴顶点和长轴顶点为端点的线段5π，直线l 与椭圆交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点.〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕过点O 作直线l 的垂线，垂足为D .假设OA OB ⊥，求点D 的轨迹方程；〔3〕设直线OA ，l ，OB 的斜率分别为1k ，k ，2k ，其中0k >且212k k k =.设OAB ∆的面积为S .以OA 、OB 为直径的圆的面积分别为1S ，2S ，求12S S S+的取值范围. 【答案】〔1〕2214x y +=；〔2〕2245x y +=；〔3〕5,4π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】【分析】〔1〕由题意知a ＝2b=，由此能求出椭圆方程．〔2〕先考虑直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，和椭圆的方程联立，结合向量的垂直关系即可找到找m ，k的关系式，从而求得||5OD =．再验证斜率不存在时也满足，那么可得点D 的轨迹方程. 〔3〕设直线l 的方程为y ＝kx +m ，A 〔x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，利用韦达定理、椭圆弦长公式结合条件能求出12S S S+的取值范围． 【详解】〔1〕由题可知，2a b =，解得：2a =，1b =， 故椭圆的方程为：2214x y +=. 〔2〕当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+， 由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()()222148410k x kmx m +++-=，由韦达定理有： ()12221228144114km x x k m x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩且()2216140k m ∆=+-> ∵OA OB ⊥，∴0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=∴()()12120x x kx m kx m +++=由韦达定理代入化简得：22544m k =+∵OD 垂直直线l，∴ ||5OD ==当直线l 斜率不存在时，设l ：x t =，易求255t，此时||5OD =所以点D 的轨迹方程为2245x y +=.〔3〕设直线l 的方程为(0)y kx m m =+≠，由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()()222148410k x kmx m +++-=，由韦达定理有：()12221228144114kmx x k m x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩且()2216140k m ∆=+->∵212k k k =⋅，∴()()1221212kx m kx m k k k x x ++=⋅=，即()2120km x x m ++=由韦达定理代入化简得：214k =. ∵0k >，∴12k =此时()21620m ∆=->，即(m ∈⋃.故121||2S AB d x =⋅=-||||m m ==又()22221211224S S x y x y π+=⋅+++2212332444x x π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭()212123521624x x x x πππ⎡⎤=⋅+-+=⎣⎦为定值.∴1254S S S π+=5544ππ=≥ ∴当且仅当1m =±时等号成立.综上：125,4S S S π+⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】此题考察椭圆方程的求法及求曲线的方程，考察弦长公式、三角形面积公式及直线与椭圆位置关系的应用，考察了函数思想，属于较难题．。
广东省高二下学期阶段性测试 数学 解析版
高二数学测试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（ ） {}11A x x =-<<{}02B x x =≤≤A B = A. B.C.D.[)0,1(]1,2-(]1,2()0,1【答案】A 【解析】【分析】根据交集的定义计算可得；【详解】解：因为，， {}11A x x =-<<{}02B x x =≤≤所以； [)0,1A B ⋂=故选：A2. 若复数满足（为虚数单位），则= z ()12z i i +=i zA. 1B. 2C.D.【答案】C 【解析】【详解】试题分析：因为，所以因此(1)2z i i +=22(1)1,12i i i z i i -===++1z i =+=考点：复数的模3. 已知两条直线和，若，则实数的值为()1:110l m x y ++-=21:20l x my +-=12l l //m （ ） A. 或1 B.C. 1D.2-2-1-【答案】B 【解析】【分析】根据题意得，解方程得或，再检验即可得答案. ()120m m +-=2m =-1m =【详解】解：因为直线和， ()1:110l m x y ++-=21:20l x my +-=12l l //所以，解得或，()120m m +-=2m =-1m =当时，直线和重合，不满足；1m =1:210l x y +-=2:210l x y +-=当时，直线和，满足平行. 2m =-1:10l x y -+-=2:2210l x y --=所以 2m =-故选：B4. 已知函数f(x)=2sin(ωx+) (ω>0)的最小正周期为4π，则该函数的图像6πA. 关于点(,0)对称B. 关于点(,0)对称 3π53πC. 关于直线x=对称D. 关于直线x=对称 3π53π【答案】B 【解析】【分析】先根据最小正周期的值求出的值确定函数的解析式，然后令求出w 6x k πωπ+=的值，得到原函数的对称点，然后对选项进行验证即可． x 【详解】解：由函数的最小正周期为得， ()2sin(0)6f x x πωω=+>4π12ω=由得，对称点为，，当时为126x k ππ+=23x k ππ=-(23k ππ-0)()k z ∈1k =(53π，， 0)故选：．B 【点睛】本题主要考查正弦函数的最小正周期的求法和对称性． 5. 过点作圆的切线，则切线方程为（ ）()3,3M -()22125C x y -+=：A. B. C.D.4330x y ++=43210x y -+=0x y +=60x y -+=【答案】B 【解析】【分析】先求，由切线与MC 垂直可得切线斜率，由点斜式即可得切线方程. MC k 【详解】由题可知点在圆上，，则切线的斜率为， ()3,3-C 303314MC k -==---43所以切线方程为，化简可得. ()4333y x -=+43210x y -+=故选：B6. 已知，，若，则（ ）()sin ,1a α= ()1,2cos b α= a b ⊥ πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭A. B.C. D. 33-13-1-【答案】D 【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算求出，代入两角差的正切计算可求出结果.tan α【详解】解：因为，所以有，即，a b ⊥sin 2cos 0αα+=tan 2α=-所以. πtan 13tan 341tan 1ααα--⎛⎫-=== ⎪+-⎝⎭故选：D7. 已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则函数21()cos 4f x x x =+()t f t （，）k 的大致图象是（ ）()k g t =A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】求得，得到函数在点处的切线的斜率为1()sin 2f x x x '=-()t f t （，），1()sin 2k f t t t ='=-得出函数，利用函数的奇偶性和特殊的函数的值，即可求解。
2022-2023学年湖北省鄂东南三校联考高二下学期阶段考试(二)数学试题【含答案】
2022-2023学年湖北省鄂东南三校联考高二下学期阶段考试（二）数学试题一、单选题1．“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，节约粮食是我国的传统美德．已知学校食堂中午有2种主食、6种素菜、5种荤菜，小华准备从中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为午饭，并全部吃完，则不同的选取方法有（ ）A ．13种B ．22种C ．30种D ．60种【答案】D【分析】根据分步乘法计数原理可求出结果.【详解】根据分步乘法计数原理，共有（种）不同的选取方法，26560⨯⨯=故选：D ．2．若直线与直线平行，则实数（ ）．410mx y -+=230x y +-=m =A ．2B ．C ．D ．2-1212-【答案】B【分析】根据直线平行的关系计算求解即可.【详解】解：两直线的斜率分别是，，由两直线平行可知，解得．4m12-142m =-2m =-故选：B ．3．已知数列满足，，则（ ）．{}n a 13a =()111n na n a *+=-∈N 4a =A ．B ．C ．3D ．2312-32【答案】C【分析】根据递推关系直接求解即可.【详解】解：因为，，13a =()111n na n a *+=-∈N 所以，，，．211213a a =-=321112a a =-=-43113a a =-=故选：C4．某班举办古诗词大赛，其中一个环节要求默写《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》，并要求《将进酒》与《望岳》默写次序相邻，则不同的默写次序有（ ）A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种【答案】B【分析】根据排列中相邻问题捆绑法即可求解.【详解】可先将《将进酒》与《望岳》捆绑起来看作一个元素，与剩下两首诗词全排列，有种33A 排法，然后捆绑的《将进酒》与《望岳》也有排列，有种排法，根据乘法原理，得种22A 2323A A 12=排法，即不同的默写次序有12种.故选：B.5．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数（ ）．ln x ay x +=()1,a :250l x y -+==a A ．B ．1C ．D ．21232【答案】C【分析】函数求导，计算，利用切线与直线垂直，求得a 值.()11k f =':250l x y -+=【详解】因为，21ln x ay x --'=所以曲线在点处的切线的斜率为，直线l 的斜率，ln x a y x +=()1,a ()111k f a ='=-22k =由切线与直线l 垂直知，即，解得．121k k =-()211a -=-32a =故选：C ．6．记椭圆：的左顶点为，右焦点为，过点且倾斜角为的直线与C 22221(0)x y a b a b +=>>A F A 30 l 椭圆交于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ）C B BF AF ⊥CA B C D 1【答案】A【分析】由条件列关于的方程，由此可求离心率.,,a b c 【详解】因为椭圆的左顶点为，右焦点为，22221x y a b +=A F 所以，()(),0,,0A a F c -因为点在轴上方，又，所以将代入椭圆可得，即，B x BF AF ⊥x c =C 2b y a =2,b B c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为直线的倾斜角为，l 30所以，又，2b ac a +222b a c =-化简，所以解得)222a ac a c +-)211e e +=-e =故选：A.7．已知等比数列的前项和为，且，若，，则（ ）{}n a n n S 0n a >68S =1838S =24S =A ．27B ．45C ．65D ．73【答案】C【分析】根据等比数列前项和的性质可得，，，成等比数列，然后根据n 6S 126S S -1812S S -2418S S -等比中项的性质，代入数据求出，进而即可求出答案.1220S =【详解】由等比数列前项和的性质可得，，，成等比数列，n 6S 126S S -1812S S -2418S S -所以有，即，()()212661812S S S S S -=-()()212128838S S -=⨯-整理可得，解得（舍）或.2121282400S S --=1212S =-1220S =又因为，()()()181212624182S S S S S S -=--所以有，解得.()()224(3820)20838S -=--2465S =故选：C.8．已知函数的定义域为R ，为的导函数，且，则不等式()f x ()f x '()f x ()()0xf x f x '+>的解集是（ ）()()()2222x f x x f x ++>A ．B ．()2,1-()(),21,-∞-⋃+∞C ．D ．()(),12,-∞-⋃+∞()1,2-【答案】D 【分析】构造，由导函数得到其单调性，从而由单调性解不等式求出答案.()()g x xf x =【详解】根据题意，构造函数，则，()()g x xf x =()()()0g x xf x f x ''=+>所以函数在R 上单调递增，又，即，()g x ()()()2222x f x x f x ++>()()22g x g x +>所以，即，解得.22x x +>220x x --<12x -<<故选：D.二、多选题9．下列运算错误的是（ ）A ．B ．'2(2)2log e x x='=C ．D ．(sin1)cos1'=31(log )ln 3x x '=【答案】AC【分析】利用基本初等函数的求导公式，逐项计算判断作答.【详解】对于A ，，A 错误；(2)2ln 2x x'=对于B ，，B 正确；11221()2x x -'=='=对于C ，，C 错误；(sin1)0'=对于D ，，D 正确.31(log )ln 3x x '=故选：AC10．某校环保兴趣小组准备开展一次关于全球变暖的研讨会，现有10名学生，其中5名男生5名女生，若从中选取4名学生参加研讨会，则（ ）A ．选取的4名学生都是女生的不同选法共有5种B ．选取的4名学生中恰有2名女生的不同选法共有400种C ．选取的4名学生中至少有1名女生的不同选法共有420种D ．选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有155种【答案】AD【分析】A 选项只在女生5人中选取4人，直接列式求解；B 选项男、女生选取各2人，则分别选取即可列式求解；C 用间接法列式求解；D 分情况讨论.【详解】选取的4名学生都是女生的不同选法共有种，故A 正确；45C 5=恰有2名女生的不同选法共有=100种，故B 错误；2255C C 至少有1名女生的不同选法共有种，故C 错误；44105C C 205-=选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有种，故D 正确.041322555555C C C C C C 155++=故选：AD.11．已知抛物线：的焦点为，为上一点，且，直线交于C 22(0)y px p =>F ()4,A n C 5AF =AF C另一点，记坐标原点为，则（ ）B O A ．B ．C ．D ．2p =8n =1(,1)4B -3OA OB ⋅=- 【答案】AD【分析】根据条件先求出抛物线的标准方程，再逐项分析求解.【详解】依题意，抛物线C 的准线为，2:2(0)y px p =>2px =-因为为C 上一点，且，则，()4,A n ||5AF =452pAF =+=解得，故A 正确；2p =可得抛物线C :，焦点为，24y x =()1,0F 因为A 为C 上一点，则4，所以 ，故B 错误；24n =⨯4n =±若，则线的方程为，()4,4A AF ()413y x =-代入，得，整理得，解得或，2:4C y x =()216149x x -=241740x x -+=14x =4x =因为B 与A 分别在x 轴的两侧，可得；1,14B ⎛⎫- ⎪⎝⎭同理：若，可得；()4,4A -1,14B ⎛⎫ ⎪⎝⎭综上所述：或，故C 错误；1,14B ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,14B ⎛⎫ ⎪⎝⎭若，则，则；()4,4A ()1,,144,4OB OA ⎛⎫=⎝=- ⎪⎭ 143OA OB ⋅=-=-同理：若，可得；()4,4A -3OA OB ⋅=-故D 正确；故选：AD.12．已知是数列的前项和，，，，则（ ）nS {}n a n ()113202,n n n a a a n n *+--+=≥∈N 11a =24a =A ．583S =B ．数列是等比数列{}1n n aa +-C ．1323n n a -=⋅-D ．3223nn S n =⋅--【答案】ABD【分析】根据递推关系式依次求得数列的前项，加和即可知A 正确；将递推关系式转化为{}n a 5，结合，由等比数列定义可得B 正确；利用累加法可求得C 错误；()112n n n n a a a a +--=-213a a -=采用分组求和的方式，结合等比数列求和公式可求得D 正确.【详解】对于A ，，，，()113202,n n n a a a n n *+--+=≥∈N 11a =24a =，，，3213210a a a ∴=-=4323222a a a =-=5433246a a a =-=，A 正确；51410224683S ∴=++++=对于B ，由得：，()113202,n n n a a a n n *+--+=≥∈N ()112n n n n a a a a +--=-又，数列是以为首项，为公比的等比数列，B 正确；213a a -=∴{}1n n a a+-32对于C ，由B 知：，1132n n n a a -+-=⋅当时，2n ≥()()()()11223211n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-+⋅⋅⋅+-+=，()()1231112322213321132212n n n n n ------++⋅⋅⋅++=⨯=-+=⋅--又满足，，C 错误；11a =1322n n a -=⋅-()1322n n a n -*∴=⋅-∈N 对于D ，，D 正确.()011123222232322312nn n n S n n n --=++⋅⋅⋅+-=⨯-=⋅---故选：ABD.三、填空题13．已知等差数列的前n 项和为，若，则__________．{}n a n S 785a a +=14S =【答案】35【分析】根据给定条件，利用等差数列性质结合前n 项和公式求解作答.【详解】因为是等差数列，，所以．{}n a 114785a a a a +=+=()1141414352a a S +==故答案为：3514．若圆与圆外切，则________．221:5C x y +=222:480C x y x y m +---=m =【答案】15-【分析】由题意分别求两圆的圆心和半径，根据两圆外切可得，代入运算求解．1212C C r r =+【详解】由题意可得：圆的圆心分别为，半径分别是12,C C 12(0,0),(2,4)C C，)1220r r m ==>-因为圆外切，所以，12,C C 1212C C r r =+．=1520m =->-故答案为：.15-15．在中国空间站某项建造任务中，需6名航天员在天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱这三个舱内同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少1人，至多3人，则不同的安排方案共有___________种.【答案】450【分析】安排方案可以分为两类，第一类，每个舱各安排2人，第二类，分别安排3人，2人，1人，结合分堆分配问题解决方法求解即可.【详解】满足条件的安排方案可以分为两类，第一类，每个舱各安排2人，共有（种）不同的方案；2223642333C C C A 90A ⋅=方案二：一个实验舱安排3人，一个实验舱2人，一个实验舱1人，共有（种）不同的方案.32136313C C C A 360=所以共有不同的安排方案.()90360450+=种故答案为：450.16．设函数 在区间[上有零点，则实数的取值范围是___________.()e 2xf x mx =-1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦m 【答案】3e e ,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】参数分离，构造新函数，根据所构造的新函数的值域求解.【详解】令 ，则，函数 在区间[，3]上有零点等价于()e 20x f x mx =-=e 2xm x =()e 2x f x mx =-12直线与曲线在上有交点， y m =()e 2xg x x =1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则 ，当时，单调递减，当 时，单()()'21e 2x x g x x -=1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()()'0,g x g x ＜(]1,3x ∈()()'0,g x g x ＞调递增，， ，显然， ，()()mine 12g x g ==()1321e e ,326g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭132e e 6∴()3e e ,26g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即当时，函数在上有零点；m 3e e ,26⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为： .3e e ,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦四、解答题17．已知的展开式中前三项的二项式系数和为.nx ⎛⎝37(1)求；n (2)求展开式中的常数项.【答案】(1)；8n =(2).1792【分析】（1）写出前三项二项式系数，根据和为，列方程求出的值；37n （2）利用通项，并令的指数为0，求出常数项．x 【详解】（1）因为的展开式中前三项的二项式系数分别是，，，nx ⎛⎝0C n 1C n 2C n 所以，()012711C C 32C n n n n n n -=+++=+即，2720n n +-=解得或8n =()9n =-舍去（2）的展开式中通项为，8x ⎛ ⎝()()4883188C C 208N kk k k k kk T x x k k --+⎛==-≤≤∈ ⎝，由时，可得，即第7项为常数项，4803k -=6k =所以展开式中的常数项为.()66618C 21792T +=-=18．已知等差数列的前项和为，且.{}n a n 632n S a a =，7499S S a -=+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)设数列的前项和为，求.1n S⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T n T 【答案】(1)n a n=(2)21n n T n =+【分析】（1）根据等差数列公式，运用条件列方程求出；1,a d（2）运用裂项相消法求解.【详解】（1）设数列{}的公差为，n a d 由，得 ，解得 ，637492,9a a S S a =-=+()()()111115227214689a d a d a d a d a d ⎧+=+⎪⎨+-+=++⎪⎩11,1a d == ；∴n a n =（2），()()11111,2221n n n n a a n n S S n n ++⎛⎫===- ⎪+⎝⎭ ；11111112212233411n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-++-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 综上，.2,1n n na n T n ==+19．已知函数的两个极值点满足.()()323129R f x ax x x a =++-∈12,x x 122x x =-(1)求的值；a (2)求在区间上的最值.()f x []3,3-【答案】(1)2a =-(2)最大值为36，最小值为-16【分析】（1）有2个极值点等价于导函数有2个零点，根据条件运用韦达定理求解；()f x ()'f x （2）根据导函数求出的单调区间，根据单调性以及闭区间两端的函数值求解.()f x 【详解】（1），令，则有2个零点，显然 ，()'23612f x ax x =++()'0f x =()'f x 12,x x 0a ≠由韦达定理得 ，又代入①得： ，121224x x a x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①②122x x =-1242,x x a a =-=再代入②得： ， ，符合题意，284,2a a a -==-2646120∆=+⨯⨯＞；()3223129f x x x x ∴=-++-（2） ，得下表：()()()'26612621f x x x x x =-++=--+x()3,1---1()1,2-2()2,3()'f x0＜00＞00＜()f x 单调递减极小值-16单调递增极大值11单调递减又，，()336f -=()30f =所以在区间上的最大值为36，最小值为-16；()f x []3,3-综上，，在区间上的最大值为36，最小值为-16.2a =-()f x []3,3-20．如图，在四棱柱中，底面是矩形，平面平面，点是1111ABCD A B C D -ABCD 11AA D D ⊥ABCD E 的中点，.AD 1122A A A D AD AB ====(1)求证：平面平面；1A EB ⊥ABCD (2)求直线与平面所成角的正弦值.1A D 1A BC 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）先证明，根据面面垂直的性质定理证明⊥平面，再由面面垂直判1A E AD ⊥1A E ABCD 定定理证明平面平面； 1A EB ⊥ABCD （2）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量与平面的法向量，利用空间向量夹角公式1A D 1A BC 求直线与平面夹角.1A D 1A BC【详解】（1）因为，点是的中点，所以，11A A A D =E AD 1A E AD ⊥又平面平面，平面平面，11AA D D ⊥ABCD 11AA D D ABCD AD =平面，1A E ⊂11AA D D 所以⊥平面ABCD ，又平面，1A E 1A E ⊂1A EB 所以平面平面；1A EB ⊥ABCD （2）取的中点，连结，BC F EF 因为四边形为矩形，且，ABCD 22AD AB ==所以四边形为正方形，，CDEF EF AD ⊥以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，E EF ED 1EA x yz 则，()()()(11,1,0,1,1,0,0,1,0,B C D A -所以，()((110,2,0,,0,1,BC BA A D ==-= 设平面的法向量，1A BC (),,m x y z = 则 有，即，100m BC m BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩200y x y =⎧⎪⎨-++=⎪⎩令，则1z =0,y x ==所以平面的一个法向量，1A BC )m = 设直线与平面所成角为，1A D 1A BC θ则1sin cos ,m A θ= 直线与平面1A D 1A BC21．已知双曲线是上一点.()2222:10,0x y C a b a b -=>>()4P C (1)求的方程；C (2)已知直线与交于两点，为坐标原点，若，判断直线是():0l y kx m m =+>C ,E F O 4OE OF ⋅= l 否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】(1)22124x y -=(2)直线恒过定点l(0,【分析】（1）根据离心率、双曲线关系和双曲线所过点可构造方程求得，进而得到双曲,,a b c 22,ab 线方程；（2）将直线方程与双曲线方程联立可得韦达定理的结论，代入向量数量积的坐标运算中，整理可求得.m =【详解】（1）双曲线的离心率，，则， C ==c e a 22223c a b a ∴=+=222b a =又为上一点，，解得：，，()4P C 22101612a a ∴-=22a =24b ∴=双曲线的方程为：.∴C 22124x y -=（2）设，，()11,E x y ()22,F x y 由得：，22124y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()2222240k x kmx m ----=，则；()()2222220Δ44240k k m k m ⎧-≠⎪∴⎨=+-+>⎪⎩222224k m k ⎧≠⎨>-⎩，，12222km x x k ∴+=-212242m x x k +=--()()()()221212121212121OE OF x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ∴⋅=+=+++=++++ ，()()2222222142422k m k m m k k ++=-++=--整理可得：，又，，则212m =0m >m ∴=:l y kx =+直线恒过定点.∴l (0,22．已知函数，.()()ln f x x x a =-a ∈R (1)若函数在上单调递增，求a 的取值范围；()f x []1,4(2)若，求证：.0a >()()2ln f x x x a ≤--【答案】(1)；(,1]-∞(2)证明见解析.【分析】（1）对求导后，问题转化为在[1,4]上恒成立，进而求得的最小值即可()f x ()0f x '≥()f x '求解；（2）由可得只需证明，令，求导后求得0x >ln 2ln x a x a -≤--()2ln ln g x x a a x =+---；令，求导后求得，从而可得，()(1)1ln g x g a a ≥=--()1ln (0)h a a a a =-->()(1)0h a h ≥=()0g x ≥问题得证.【详解】（1），因为函数在[1,4]上单调递增，()ln 1=-+'f x x a ()f x 所以在[1,4]上恒成立，()0f x '≥又在[1,4]上单调递增，所以，()ln 1=-+'f x x a min ()1f x a '=-+所以，解得，所以的取值范围是.10a -+≥1a ≤a (,1]-∞（2）因为，所以要证，只需证，0,0a x >>()(2ln )f x x x a ≤--ln 2ln x a x a -≤--令，则.()2ln ln g x x a a x =+---11()1x g x x x -'=-=当时，，函数单调递减；01x <<()0g x '<()g x 当时， ，函数单调递增.1x >()0g x '>()g x 所以，()(1)1ln g x g a a ≥=--令，则，()1ln (0)h a a a a =-->11()1a h a a a -'=-=当时，单调递减，当时，单调递增.01a <<()0,()h a h a '<1a >()0,()h a h a '>所以时，取最小值, 则,1a =()h a ()(1)0h a h ≥=所以时，，因此.0a >()0h a ≥()0g x ≥所以.()(2ln )f x x x a ≤--。
深圳市龙华区2022-2023学年高二下学期第二次阶段考试(期中)数学试卷及参考答案
深圳市龙华区2022-2023学年高二下学期第二次阶段考试（期中）数学试卷及参考答案本试卷22小题，满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的班级、姓名、考生号填写在答题卡规定的位置上。
2.答题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
4.考试结束后，将答题卡交回。
第I卷（选择题）一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一二、多选题(本题共4小题，每题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
)第II卷（非选择题）三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)四、解答题(本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明或演算步骤。
) 17．(10分)甲、乙、丙、丁4位志愿者被安排到A，B，C三所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教.(1)不同的安排方法共有多少种？(2)求甲乙志愿者被同时安排到同一个学校的概率.(3)求在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两位志愿者的概率.(1)根据散点图可知，可用函数模型b y a x=+拟合y (2)已知该产品的年销售额m （单位：千万元）与每件产品成本222001005002510y y m y =-+++-.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本10千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入（注：年利润=年销售额—年投入成本）参考公式：对于一组数据()11,u v 、()22,u v 、L 、(21．（12分）某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数X 的分布列和数学期望.(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数Y 的分布列和数学期望.(3)如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由.22．（12分）已知函数()22ln f x x x x x =+-．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)已知()()2g x f x x x =--，若()()12g x g x =且12x x ≠，证明：1201x x <<参考答案：9．AC【分析】根据给定条件，利用分组分配的方法，列式判断AB ；利用隔板法计算判断C ；利用分类加法计数原理列式计算判断D 作答.【详解】对于A ，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，先取2本给甲，再从余下4本中取2本给乙，最后2本给丙，不同分法有222642C C C 种，A 正确；对于B ，把6本不同的书按1:2:3分成3组有123653C C C 种方法，再分给甲、乙、丙三人有33A 种方法，不同分法种数是12336533C C C A ，B 错误；对于C ，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，相当于把6本相同的书排成一排，中间形成5个间隙，。
2024年上外版高二数学下册阶段测试试卷141
2024年上外版高二数学下册阶段测试试卷141考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、【题文】为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试,得分(十分制)如图所示,假设得分值的中位数为m e,众数为m o,平均值为则()A. m e=m o=B. m e=m o<C. m eo<D. m oe<2、【题文】设则下列不等式中恒成立的是 ( )A.B.C.D.3、【题文】已知数列是等差数列，且又则=" " （）A. 1B. 4C. 5D. 64、曲线与直线围成的封闭图形的面积为（）A.B.C.D.5、若平面α的一个法向量为=（4，1，1），直线l的一个方向向量为=（﹣2，﹣3，3），则l与α所成角的正弦值为（）A.B.C.D.6、已知双曲线的一个焦点坐标是(5,0)，则b等于（）.A. 16B. 8C. 5D. 47、设O为坐标原点，M(1,2)，若N(x,y)满足则的最大值为( )A. 4B. 6C. 8D. 108、已知抛物线y2=4x过焦点且倾斜角为60∘的直线与抛物线交于AB两点，则△AOB的面积为()A. 33B. 833C. 433D. 2339、设函数f(x)在R上存在导函数f′(x)对于任意的实数x都有f(x)=4x2−f(−x)当x∈(−∞,0)时，f′(x)+12<4x若f(m+1)≤f(−m)+4m+2则实数m的取值范围是()A. [−12,+∞)B. [−32,+∞)C. [−1,+∞)D. [−2,+∞)评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)10、已知设则____．11、已知一个样本的方差则这组数据的总和等于____．12、【题文】“无字证明”(proofs wi thout words), 就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：____．13、【题文】已知则_．14、【题文】在平面直角坐标系xOy中，设D是由不等式|x|＋|y|≤1表示的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向E中随机投一点，则所投点落在D中的概率是____.15、【题文】锐角三角形ABC中，若A=2B，所对的边分别为则下列四个结论:①②③④其中正确的是____．16、设向量=（-1，3，2），=（4，-6，2），=（-3，12，t），若=m+n则t=______ ，m+n= ______ ．17、某班有4位同学住在同一个小区，上学路上要经过1个路口．假设每位同学在路口是否遇到红绿灯是相互独立的，且遇到红灯的概率都是则最多1名同学遇到红灯的概率是______ ．评卷人得分三、作图题(共8题，共16分)18、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？19、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）20、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）21、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？22、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）23、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）24、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共1题，共5分)25、【题文】已知－1＜a+b＜3且2＜a－b＜4，求2a+3b的取值范围.评卷人得分五、计算题(共3题，共9分)26、1. （本小题满分10分）某班组织知识竞赛，已知题目共有10道，随机抽取3道让某人回答，规定至少要答对其中2道才能通过初试，他只能答对其中6道，试求：（1）抽到他能答对题目数的分布列；（2）他能通过初试的概率。
高二数学下学期阶段性检测试题含解析 试题
实验中学2021-2021年高二数学下学期阶段性检测试题〔含解析〕单位：乙州丁厂七市润芝学校 时间：2022年4月12日 创编者：阳芡明一、单项选择题1.设函数()f x x =，那么0(1)(1)lim x f x f x∆→+∆-=∆〔 〕A. 0B. 1C. 2D. 1-【答案】B 【解析】 【分析】根据极限的运算法那么，直接计算，即可得出结果. 【详解】因为()f x x =，所以()()001111limlimlim 1x x x f x f x xxx x∆→∆→∆→+∆-+∆-∆===∆∆∆.应选：B.【点睛】此题主要考察极限的运算，属于根底题型.2.假设33210n n A A =，那么n =〔 〕A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C 【解析】 【分析】根据排列数的计算公式，求解，即可得出结果.【详解】因为33210n n A A =，所以*3,n n N ≥∈，所以有()()()()221221012n n n n n n ⋅-⋅-=⋅-⋅-， 即()()22152n n -=-，解得：8n =. 应选：C.【点睛】此题主要考察排列数的计算，熟记公式即可，属于根底题型.3.一物体做直线运动，其位移s 〔单位：m 〕与时间是t 〔单位：s 〕的关系是25s t t =-+，那么该物体在2t s =时的瞬时速度为〔 〕 A. 3 B. 7 C. 6 D. 1【答案】D 【解析】 【分析】求出25s t '=-+即可求出物体在2t s =时的瞬时速度. 【详解】解：25s t '=-+，当2t =时，1s '=. 应选:D.【点睛】此题考察了函数导数的求解.此题的关键是求出函数的导数. 4.函数334y x x =-+有〔 〕 A. 极大值6，极小值2 B. 极大值2，极小值6 C. 极小值－1，极大值2 D. 极小值2，极大值8【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，令其为0，解出方程后那么可判断函数及导数随自变量的变化情况，从而可求出极值.【详解】解：令2330y x '=-=，解得1x =±，那么,y y '随x 的变化如下表x(),1-∞-1-()1,1-1()1,+∞y '+-+y62所以，当1x =-时，函数有极大值为6；当1x =时，函数有极小值为2. 应选:A.【点睛】此题考察了函数极值的求解.一般求函数的导数时，求出导数后，令导数为0，解出方程后，画表探究函数、导数随自变量的变化情况，从而可求出极值. 5.函数()f x 与fx 的图象如下图，那么不等式组()()03f x f x x '<⎧⎨<<⎩解集为〔 〕A. 0,1B. ()1,3C. 1,2D. ()1,4【答案】B 【解析】 【分析】根据导函数与原函数单调性关系确定()f x 与()f x '的图象，然后可得结论．【详解】由导函数与原函数单调性关系知图中实线是()f x '的图象，虚线是()f x 的图象，不等式组()()03f x f x x <⎧⎨<<'⎩解集是{|13}x x <<．应选：B ．【点睛】此题考察导函数与函数单调性的关系，属于根底题．6.从6男2女一共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人效劳队，要求效劳队中至少有1名女生，一共有不同的选法种数为〔 〕 A. 420 B. 660 C. 840 D. 880【答案】B 【解析】 【分析】利用间接法可得答案.【详解】从6男2女一共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人效劳队，一共有2286840A C ⋅=种选法，其中不含女生的有2264180A C =种选法，所以效劳队中至少有1名女生的选法种数为840180660-=. 应选：B【点睛】此题考察了有限制条件的排列组合综合题，使用间接法是解题关键，属于根底题. 7.设01a <<，离散型随机变量X 的分布列是那么当a 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内增大时〔 〕 A. ()D X 增大 B. ()D X 减小 C. ()D X 先减小后增大 D. ()D X 先增大后减小【答案】D 【解析】 【分析】根据方差公式计算出方差后，利用二次函数的单调性可得答案.【详解】111()0122222a a E X a -=⨯+⨯+⨯=+， 所以22211111()(0)(1)(2)222222a a D X a a a -=--⨯+--⨯+--⨯21124a a =-++， 所以()D X 在1(0,)4上增大，在12(,)43上减小，即()D X 先增大后减小. 应选：D【点睛】此题考察了离散型随机变量的方差公式，以及二次函数的单调性，属于根底题. 8.函数()212ee x xf x mx +-=--在R 上为增函数，那么m 的取值范围为〔 〕A. (,-∞B. )⎡+∞⎣C. (,-∞D. )⎡+∞⎣【答案】A【解析】 【分析】函数()212ee x xf x mx +-=--在R 上为增函数,等价于()2122e 2e 0x x f x m +-'=+-≥对x ∈R 恒成立，然后别离变量，得2122e 2e x x m +-≤+，求出2122e 2e +-+x x 的最小值，就能确定m 的取值范围.【详解】因为函数()212ee x xf x mx +-=--在R 上为增函数，所以()2122e 2e 0x x f x m +-'=+-≥对x ∈R 恒成立，即2122e 2e x x m +-≤+对x ∈R 恒成立，又因为2122e 2e x x +-+≥=m ≤ 应选：A【点睛】此题主要考察利用函数的单调性求参数的取值范围，别离变量是解决此题的关键. 二、多项选择题9.关于()11a b -的说法，正确的选项是〔 〕 A. 展开式中的二项式系数之和为2048 B. 展开式中只有第6项的二项式系数最大 C. 展开式中第6项和第7项的二项式系数最大 D. 展开式中第6项的系数最大 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二项展开式的二项式系数的性质进展分析可知A 正确，B 不正确，C 正确，根据项的系数的符号可知D 不正确.【详解】()11a b -的展开式中的二项式系数之和为1122048=，所以A 正确；因为11n =为奇数，所以展开式中有12项，中间两项〔第6项和第7项〕的二项式系数相等且最大，所以B 不正确，C 正确；展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，所以D 不正确. 应选：AC【点睛】此题考察了二项展开式的二项式系数的性质，考察了二项展开式中项的系数的最值问题，属于根底题.10.函数()32f x x ax bx c =+++，那么〔 〕A. 函数()y f x =一定存在最值B. 0x R ∃∈，()00f x =C. 假设0x 是()f x 的极值点，那么()00f x '=D. 假设0x 是()f x 的极小值点，那么()f x 在区间()0,x -∞单调递增 【答案】BC 【解析】 【分析】根据x →-∞时，()f x →-∞，当x →+∞时，()f x →+∞，可判断A 不正确；再结合图象的连续性可判断B 正确；根据可导函数在极值点处的导数值为零，可判断C 正确；根据三次函数的单调性可知，D 不正确.【详解】()32f x x ax bx c =+++，2()32f x x ax b '=++，当x →-∞时，()f x →-∞，当x →+∞时，()f x →+∞，所以函数无最值，故A 不正确； 又函数图象是连续不断的，所以函数图象与x 轴有交点，所以0x R ∃∈，使()00f x =，所以B 正确；因为0x 是()f x 的极值点，且函数()f x 是可导函数，所以()00f x '=，故C 正确； 因为0x 是()f x 的极小值点，那么()f x 在区间()0,x -∞上先递增，再递减，故D 不正确. 应选：BC【点睛】此题考察了三次函数的图象和性质，考察了函数的极值点，属于根底题. 11.甲、乙两类水果的质量〔单位：kg 〕分别服从正态分布()211,N μσ，()222,Nμσ其正态分布的密度曲线如下图，那么以下说法正确的选项是〔 〕A. 乙类水果的平均质量20.8μ=B. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D. 乙类水果的质量服从的正态分布的参数2 1.99=σ 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用正态分布的性质，逐一进展判断即可.【详解】由图象可知，甲图象关于直线0.4x =对称，乙图象关于直线0.8x =对称 所以12120.4,0.8,μμμμ==<，故A ，C 正确；因为甲图象比乙图象更“高瘦〞，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B 正确；因为乙图象的最大值为1.9921.992πσ=，所以2 1.99σ≠，故D 错误； 应选：ABC【点睛】此题主要考察了正态分布的性质的应用，属于中档题. 12.函数()2ln f x x x=+，那么以下结论正确的选项是〔 〕 A. 函数()f x 的单调减区间是(0,2)B. 函数()y f x x =-有且只有1个零点C. 存在正实数k ，使得()f x kx >成立D. 对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，假设()()12f x f x =那么124x x +> 【答案】ABD 【解析】 【分析】A 选项，对函数求导，解对应不等式，可判断A ；B 选项，令()2ln x x x xg +=-，对其求导，研究单调性，根据零点存在定理，可判断B ； C 选项，先由()f x kx >得到22ln x k x x<+，令()22ln xh x x x =+，用导数的方法判断其单调性，即可断定C ；D 选项，令()0,2t ∈，那么()20,2t -∈，令()()()22g t f t f t =+--，对其求导，断定其单调性，得到()()22f t f t +<-，令122x t =+>，根据题中条件，即可断定出D. 【详解】A 选项，因为()2ln f x x x=+，所以()22212x f x x x x -'=-+=，由()0f x '>得，2x >；由()0f x '<得，02x <<，因此函数()f x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增；故A 正确；B 选项，令()2ln x x x xg +=-，那么()22222172122014x x x x x x x g x ⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭+'=---==<-显然恒成立； 所以函数()2ln x x x xg +=-在()0,∞+上单调递减； 又()ln112110g =-=>+，()212ln 21ln 20g =-=-<+， 所以函数()2ln x x x xg +=-有且仅有一个零点；故B 正确； C 选项，假设()f x kx >，可得22ln x k x x<+，令()22ln x h x x x =+，那么()42341ln ln 4x x x x x h x x x x ----'=+=， 令()ln 4u x x x x =--，那么()1ln 1ln u x x x '=--=-， 由()0u x '>得01x <<；由()0u x '<得1x >；所以函数()u x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减； 因此()()130u x u ≤=-<；所以()3ln 40x x x h x x --'=<恒成立，即函数()22ln xh x x x=+在()0,∞+上单调递减，所以函数()22ln xh x x x=+无最小值； 因此，不存在正实数k ，使得()f x kx >成立；故C 错； D 选项，令()0,2t ∈，那么()20,2t -∈，那么22t +>； 令()()()()()2224222ln 2ln 2ln 2242t tg t f t f t t t t t t t+=+--=++---=++---， 那么()()()()222222241624802244t t t g t t t tt ---'=+⋅=-<+---， 所以()g t 在()0,2上单调递减，那么()()00g t g <=，即()()22f t f t +<-， 令122x t =+>，由()()()122f x f x f t =<-，得22x t >-，那么12224x x t t +>-++=，当14≥x 时，124x x +>显然成立，所以对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，假设()()12f x f x =那么124x x +>.故D 正确. 应选：ABD.【点睛】此题主要考察导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的性质即可，属于常考题型. 三、填空题13.曲线y ＝x 2+lnx 在点〔1，1〕处的切线方程为_____．【答案】320x y --= 【解析】 【分析】首先求1x =处的导数，再根据切线公式()()000y y f x x x '-=-求切线方程. 【详解】解析：12y x x'=+，在点〔1，1〕处的切线斜率为3，所以切线方程为320x y --=. 【点睛】此题考察了导数的几何意义求切线方程，属于简单题型.14.用1，2，3，4，5这5个数字组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的数的个数为______.〔用数字答题〕 【答案】24 【解析】 【分析】由题意知，能被5整除的四位数末位必为5，其它位的数字从剩余的四个数中任选三个全排列即可.【详解】解：由题意知，能被5整除的四位数末位必为5，只有1种方法，其它位的数字从剩余的四个数中任选三个全排列有34=432=24A ⨯⨯， 故答案为：24【点睛】此题考察了分步计数原理的应用，主要抓住能被5整除的整数的特征〔末位数为0或者5〕，此题末位数字只能是5，属于根底题．15.盒中一共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色一样外完全一样.从盒中一次随机取出4个球，设X 表示取出的三种颜色球的个数的最大数，那么()3P X ==______.【答案】1363【解析】 【分析】由题意3X =表示抽出的4个球中有3个红球、1个其他色或者者3个黄球、1个其他色，计算概率即可.【详解】当3X =时，随机取出4个球中有3个红球、1个其他色，一共有314520C C ⋅=种取法，随机取出4个球中有3个黄球、1个其他色，一共有31366C C ⋅=种取法，所以当取出的三种颜色球的个数的最大数为3时，一共有20626+=种取法， 所以()49262613312663P X C ====, 故答案为：1363【点睛】此题主要考察了组合的实际应用，古典概型，考察了推理运算才能，属于中档题.16.设函数()32f x ax bx cx =++〔a ，b ，R c ∈，0a ≠〕假设不等式()()2xf x af x '-≤对一切R x ∈恒成立，那么a =______，b ca+的取值范围为______. 【答案】 (1). 3 (2). 1[,)6-+∞【解析】 【分析】由()32f x ax bx cx =++，先求导，那么不等式()()2xf x af x '-≤对一切R x ∈恒成立，即为()()()2323220a a x b ab x c ac x -+-+--≤对一切R x ∈恒成立，结合三次函数的性质那么230a a -=，然后再利用二次函数的性质求解. 【详解】因为()32f x ax bx cx =++，所以()232f x ax bx c '=++，因为不等式()()2xf x af x '-≤对一切R x ∈恒成立， 所以()()()2323220a ax b ab x c ac x -+-+--≤对一切R x ∈恒成立，所以230a a -=，解得3a =或者0a =〔舍去〕，所以2220bx cx ++≥对一切R x ∈恒成立， 当0,0b c ==时，20≥，成立，当0,0b c =≠时，1x c ≥-或者1x c≤-，不成立，当0b ≠时， 那么()20280b c b >⎧⎪⎨∆=-≤⎪⎩，解得22c b ≥， 当0,0b c ==时，03b c b ca ++==， 当0b ≠时， ()22111112223336c c c b c b c a ++-++=≥=≥-， 综上：b ca +的取值范围为1[,)6-+∞. 故答案为：①3；②1[,)6-+∞【点睛】此题主要考察不等式恒成立，导数的应用以及函数性质的应用，还考察了运算求解的才能，属于中档题. 四、解答题17.求以下函数的导数：〔1〕()()()31cos 1f x x x =+-；〔2〕()21x xf x x =-+. 【答案】〔1〕322sin sin 33cos x x x x x x -+--〔2〕212ln 2(1)x x -+【解析】 【分析】〔1〕根据积的导数运算法那么及根本初等函数的导数公式计算即可；〔2〕先化简函数，根据商的导数运算法那么及根本初等函数的导数公式计算即可. 【详解】〔1〕()()()()()()()33321cos 11cos 1sin 131cos f x x x x x x x x x '''=+-++-=---+322sin sin 33cos x x x x x x =-+--.〔2〕因为1()21211x x x f x x x =-=--++， 那么21()2ln 2(1)xf x x '=-+. 【点睛】此题主要考察了根本初等函数的导数公式和和差积商的求导法那么，考察了计算才能，属于根底题.年寒假是特殊的寒假，因为抗击疫情全体学生只能在家进展网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某在网上随机抽取120名学生对线上教育进展调查，其中男生与女生的人数之比为11∶13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意. 〔1〕完成22⨯列联表，并答复能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关〞；〔2〕从被调查的对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作线上学习的经历介绍，其中抽取男生的个数为ζ，求出ζ的分布列及期望值.参考公式：附：()()()()()22n ad bc K a b a c b d c d -=++++【答案】〔1〕表格见解析，有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关〞；〔2〕分布列见解析，()98E ξ= 【解析】 【分析】〔1〕根据男生与女生的人数之比为11∶13，以及总人数120，可求出男，女生总人数，即可完成22⨯列联表，并根据HY 性检验的根本思想，求出2K 的观测值，对照临界值表，即可判断是否有把握；〔2〕根据〔1〕可知，男生抽3人，女生抽5人，于是，离散型随机变量 的可能取值为0,1,2,3，并且服从超几何分布，即可利用公式()33538k kC C P k C ξ-==〔0,1,2,3k =〕，求出各概率，得到分布列，求出期望【详解】〔1〕因为男生人数为：11120551113⨯=+，所以女生人数为1205565-=，于是可完成22⨯列联表，如下：根据列联表中的数据，得到2K 的观测值22120(30152550)960 6.713 6.63555658040143k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关〞. 〔2〕由〔1〕可知男生抽3人，女生抽5人，依题可知ξ的可能取值为0,1,2,3，并且ξ服从超几何分布，()33538k kC C P k C ξ-==〔0,1,2,3k =〕，即()35385028C P C ξ===，()21533815128C C P C ξ===， ()23138515256C C P C ξ===，()33381356C P C ξ===.可得分布列为可得()51515190123282856568E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】此题主要考察HY 性检验根本思想的初步运用，以及超几何分布的应用，意在考察学生的数学建模才能和数学运算才能，属根底题．19.函数()ln x e af x a x x x=--〔1〕当0a =时，求函数()f x 的单调区间；〔2〕假设函数()f x 在1x =处获得极大值，务实数a 的取值范围. 【答案】〔1〕增区间为()1,+∞，减区间为()0,1 〔2〕(,.)e +∞ 【解析】 【分析】〔1〕()()()21,'x x e x e f x f x x x -==，根据导数的正负得到函数单调性. 〔2〕()()()21'xe a xf x x --=，讨论a e ≤和a e >两种情况，根据函数的单调性得到极值情况，得到答案.【详解】〔1〕()f x 的定义域为()0,∞+，当0a =时，()()()21,'x xe x ef x f x x x-==， 令()0f x >得1x >，令()'0f x <得，所以()f x 的增区间为()1,+∞，减区间为()0,1.〔2〕()()()21'xe a xf x x--=①当a e ≤时，假设()1,x ∈+∞，那么0x x e a e e -≥->， 此时()()()21'0xe a xf x x--=>，()f x 在()1,+∞上单调递增所以函数()f x 在1x =处不可能获得极大值，a e ≤不合题意. ②当a e >时，ln 1a >函数()f x 在1x =处获得极大值. 综上可知，a 的取值范围是(,.)e +∞【点睛】此题考察了函数的单调性，根据极值点求参数，意在考察学生的计算才能和应用才能.20.某工厂消费某种型号的农机具零配件，为了预测今年7月份该型号农机具零配件的场需求量，以合理安排消费，工厂对本年度1月份至6月份该型号农机具零配件的销售量及销售单价进展了调查，销售单价x 〔单位：元〕和销售量y 〔单位：千件〕之间的6组数据如下表所示：〔1〕根据1至6月份的数据，求y 关于x 的线性回归方程〔系数准确到〕；〔2〕结合〔1〕中的线性回归方程，假设该型号农机具零配件的消费本钱为每件3元，那么工厂如何制定7月份的销售单价，才能使该月利润到达最大？〔计算结果准确到〕参考公式：回归直线方程ˆˆˆybx a =+，()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑参考数据：621605.82i i x ==∑，61168.24i i i x y ==∑【答案】〔1〕ˆ0.30 5.86y x =-+；〔2〕销售单价为元时，该月利润才能到达最大【解析】 【分析】〔1〕求出,x y 的平均数，利用最小二乘法即可得出y 关于x 的线性回归方程； 〔2〕由题意得出7月份的利润的关系式，结合二次函数的性质，即可得出结论.【详解】〔1〕由条件知，11.19.19.410.28.811.4106x +++++==，2.53.13 2.8 3.2 2.41766y +++++==所以()()()16666122221117168.24610886ˆ0.30605.82610291iiiii i iii i x x y y x ynx ybx x xnx ====---⋅-⨯⨯====-≈--⨯--∑∑∑∑，1788ˆ10 5.866291a⎛⎫=--⨯≈ ⎪⎝⎭故y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.30 5.86yx =-+. 〔2〕假设7月份的销售单价为x 元那么由〔1〕可知，7月份零配件销量为ˆ0.30 5.86yx =-+ 故7月份的利润()()20.3 5.8630.3 6.7617.58x x x x ω=-+-=-+-，其对称轴33.811.33x =≈，故7月份销售单价为元时，该月利润才能到达最大. 【点睛】此题主要考察了求线性回归方程以及用回归直线方程进展估计，属于中档题. 21.某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A ，B ，及CD 的中点P 处，20AB =km,10km CD =,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上〔含边界〕，且A ，B 与等间隔 的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO ，BO ，OP ，设排污管道的总长为y km ．〔I 〕按以下要求写出函数关系式：①设(rad)BAO θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式； ②设(km)OP x =，将y 表示成x 的函数关系式．〔Ⅱ〕请你选用〔I 〕中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短．【答案】〔I 〕①2010sin 10(0)cos 4y θπθθ-=+<<②2220200(010)y x x x x =+-+<<〔Ⅱ〕选择函数模型①，P 位于线段AB 的中垂线上且间隔 AB 边3km 3处． 【解析】【详解】〔I 〕①由条件可知PQ 垂直平分AB ，(rad)BAO θ∠=，那么10cos cos AQ OA BAO θ==∠故10cos OB θ=，又1010tan OP θ=-，所以 10101010tan cos cos y OA OB OP θθθ=++=++-2010sin 10(0)cos 4θπθθ-=+<<．单位：乙州丁厂七市润芝学校 时间：2022年4月12日 创编者：阳芡明②(km)OP x =，那么10OQ x =-，所以OA OB ===所以所求的函数关系式为10)y x x =+<<．〔Ⅱ〕选择函数模型①． 22210cos (2010sin )(sin )10(2sin 1)cos cos y θθθθθθ-----=='． 令0y '=得1sin 2θ=，又04πθ<<，所以6πθ=． 当06πθ<<时，0y '<，y 是θ的减函数；64ππθ<<时，0y '>，y 是θ的增函数． 所以当6πθ=时min 10y =．当P 位于线段AB 的中垂线上且间隔 AB边km 3处． 22.函数()()()221ln f x a x x a =--++.〔1〕当1a =时，讨论函数()f x 的单调性；〔2〕假设函数()f x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，求a 的取值范围. 【答案】〔1〕减区间为()0,2，单调递增区间为()2,+∞；〔2〕24ln 2a ≥-【解析】【分析】〔1〕把1a =代入到()f x 中求出()f x '，令()0f x '>求出x 的范围即为函数的增区间，令()0f x '<求出x 的范围即为函数的减区间；〔2〕()0f x <时不可能恒成立，所以要使函数在1(0,)2上无零点，只需要对1(0,)2x ∈时()0f x >恒成立，列出不等式解出a 大于一个函数，利用导数得到函数的单调性，根据函 数的增减性得到这个函数的最大值即可得到a 的取值范围；单位：乙州丁厂七市润芝学校 时间：2022年4月12日创编者：阳芡明 【详解】解：〔1〕当1a =时，()12ln f x x x =--，定义域为()0,∞+，那么()21f x x '=-，令()0f x '>，得2x >，令()0f x '<，得02x <<，∴()f x 的单调递减区间为〔0，2〕，单调递增区间为()2,+∞.〔2〕∵函数()f x 在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭上无零点， ∴在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x >恒成立或者()0f x <恒成立，()()()()()221ln 212ln f x a x x a a x x =--++=---，()()1111221ln 4ln 222222f a a a ⎛⎫⎛⎫=-⋅-++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ①当102f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭时，24ln 2a ≥-， 在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭上，()()()()()212ln 4ln 212ln f x a x x x x =---≥---，记()()()4ln 212ln x g x x ---=，()114ln 212ln 02212g ⎛⎫--⎛⎫= ⎪-⎝⎭⎪⎭⎝=那么()24ln 2g x x '=-， 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()24ln 24ln 240x g x <'-=-<， ∴在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭上，()g x 单调递减，∴()102g x g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即()()4ln 212ln 0x x --->，∴()()()4ln 212ln 0f x x x ≥--->，即()0f x >在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，满足题意； ②当102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭时，4ln 22a <-+，24ln 2110162a e e --<<=<，单位：乙州丁厂七市润芝学校 时间：2022年4月12日 创编者：阳芡明 ()()()()()2222221ln 21a a a a f e a e e a a e ----=--++=-+，∵24ln 20a ->>，210a e -+>，∴()()()22210a a f ea e --=-+>， ∴()f x 在21,2a e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上有零点，即函数()f x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有零点，不符合题意. 综上所述，24ln 2a ≥-.【点睛】此题考察学生会利用导函数的正负确定函数的单调性，会根据函数的增减性求出闭区间上函数的最值，掌握不等式恒成立时所满足的条件，属于中档题．。
2024年沪科版高二数学下册阶段测试试卷698
2024年沪科版高二数学下册阶段测试试卷698考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、在等比数列｛an｝中，a1＝1，q∈R且｜q｜≠1，若am＝a1a2a3a4a5，则m等于A. 9B. 10C. 11D. 122、已知椭圆的左、右两焦点分别为F1，F2，点A在椭圆上，∠F1AF2=45°；则椭圆的离心率e等于（）A.B.C.D.3、已知椭圆上一点P到椭圆的一焦点的距离为3，则P到另一焦点的距离是（）A.B. 2C. 3D. 64、过椭圆的左顶点A的斜率为的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在上的射影恰好为右焦点F，若则椭圆离心率的取值范围是（）A.B.C.D.5、用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )A.B.C.D.6、已知为不重合的两个平面，直线那么“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7、在△ABC中，“”是“△ABC为直角三角形”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8、已知在△ABC中，∠A=60°，D为AC上一点，且BD=3，•=•则•等于（）A. 1B. 2C. 3D. 49、已知复数z满足z（1+i）=1-i，则|z|=（）A. iB. 1C. -iD. -1评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)10、【题文】手表的表面在一平面上．整点1，2，，12这12个数字等间隔地分布在半径为的圆周上．从整点到整点的向量记作则＝____．11、【题文】一个算法的程序框图如右图所示,则该程序输出的结果为_________.12、【题文】已知的最小值为则正数____．13、设x，y满足约束条件若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值为12，则的最小值为____14、在等差数列{a n}中，a1=45，a3=41，则前n项的和S n达到最大值时n的值是____．15、若z=(sinθ−35)+i(cosθ−45)是纯虚数，则tanθ的值为 ______ ．评卷人得分三、作图题(共7题，共14分)16、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？17、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）18、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）19、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？20、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）21、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）22、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共1题，共5分)23、如图，一矩形铁皮的长为8m，宽为3m，在四个角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以制成一个无盖的长方体容器，所得容器的容积V（单位：m3）是关于截去的小正方形的边长x（单位：m）的函数．（1）写出关于x（单位：m）的函数解析式；（2）截去的小正方形的边长为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？评卷人得分五、综合题(共1题，共2分)24、（2015·安徽）设椭圆E的方程为+=1(a b0),点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足=2直线OM的斜率为参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、C【分析】试题分析：由题可知，由等比数列通项公式知，若有成立，则有成立，即则有故考点：等比数列的通项公式【解析】【答案】C2、B【分析】由题意，F1（-c；0）；将x=c代入椭圆方程可得∴y=∵∠F1AF2=45°；∴∴∴e2+2e-1=0∵0＜e＜1∴e=故选B．【解析】【答案】将x=c代入椭圆方程可得可得y= 由∠F1AF2=45°，可得由此可求椭圆的离心率．3、C【分析】试题解析：不妨设则考点：本题考查椭圆的定义点评：解决本题的关键是应用椭圆第一定义【解析】【答案】C4、C【分析】【解析】试题分析：结合已知作图则可知：|AF2|=a+c，|BF2|=∴k=tan∠BAF2=故可知化简得到故答案为C考点：本题主要考查了椭圆与直线的位置关系及椭圆的几何性质和直线的斜率与倾斜角，难度不大，但需要灵活运用和转化知识．【解析】【答案】C5、C【分析】【解析】由图形可知：第一个金鱼需用火柴棒的根数为：2+6=8；第二个金鱼需用火柴棒的根数为：2+2×6=14；第三个金鱼需用火柴棒的根数为：2+3×6=20；；第n个金鱼需用火柴棒的根数为：2+n×6=2+6n．故答案为2+6n．【解析】【答案】C6、A【分析】【解答】由得是线面垂直的判定定理，但时，平面的直线不可能都垂直于平面故本题选A．7、A【分析】解：“ ”⇒A=90°⇒“△ABC为直角三角形”；反之不成立；可能为B或C=90°．因此“ ”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件．故选：A．“ ”⇒A=90°⇒“△ABC为直角三角形”；反之不成立，可能为B或C=90°．即可判断出．本题考查了充要条件的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．【解析】【答案】 A8、C【分析】解：如图，设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b；c，且设AD=m；∵∠A=60°，∴由得：∴又BD=3；∴在△ABD中由余弦定理得：∴ m=∴．故选：C．可画出图形，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，并设AD=m，这样根据便可得到从而得到m= 这样在△ABD中由余弦定理便可建立关于c的方程，可解出c= 从而有m=然后进行数量积的计算便可求出的值．考查向量数量积的计算公式，余弦定理，以及向量夹角的概念．【解析】【答案】 C9、B【分析】解：z（1+i）=（1-i）；则∴|z|=1．故选：B．利用复数的运算法则；共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解析】【答案】 B二、填空题(共6题，共12分)10、略【分析】【解析】试题分析：因为整点把圆分成12份，所以每一份所对应的圆心角是30度，连接相邻的两点与圆心组成等腰三角形底边平方为每对向量的夹角为30°，所以每对向量的数量积为所以=考点：平面向量的数量积运算；数列求和。
高二数学第二学期阶段测试
高二数学第二学期阶段测试高二数学第二学期阶段测试必修五专题检测一.填空题1．在△ABC中,角均为锐角,且则△ABC的形状是钝角三角形.2．在△中,若,则等于 .3．等差数列项的和等于99.4．在公比为整数的等比数列中,如果那么该数列的前项之和为.5．若,则等于3 .6．若,则函数的值域是7．下列不等式(1) (2) (3) (4),其中不能恒成立的是(1)(2)(4).8．二次方程,有一个根比大,另一个根比小,则的取值范围是9．一个两位数的个位数字比十位数字大,若这个两位数不大于,则这个两位数为13或24.10．函数的最大值为1.11．在△ABC中,,则的最大值是4 . 12．在△ABC中,,则的最大值是. 13．两个等差数列则_shy;_shy;= 14．在等比数列中, 若则_shy;_shy;=三.解答题15 ．⑴在△ABC中, ,求.⑵在△ABC中,设求的值.解析:(1) ,而,所以(2)∵∴,即,∴,而∴,∴16．已知.满足约束条件(1)求的最小值,以及相应的.值;(2)求的最大值,以及相应的.值解析:作出区域如右图(1)直线经过点时,有最小值3(2),其中点为三角形ABC内部及其边界上的点,可知当点P与点C重合时, 17．已知数列的前项和,(1)求的值. (2)求的表达式解析: (1)=;;∴(2)为偶数时;为奇数时∴18.某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需要面粉6吨,每吨面粉的价格为1800元,面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元,购面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少?解析:设该厂天购买一次面粉,平均每天所支付的总费用为元．∴购买面粉的费用为元,保管等其它费用为,∴,即当,即时,有最小值,答:该厂天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少．19．已知二次函数的图像经过坐标原点,其导函数为,数列的前n项和为,点均在函数的图像上.(1)求数列的通项公式;(2)设,是数列的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数m;解析:(1)设这二次函数f(_)＝a_2+b_ (a≠0) ,则 f`(_)=2a_+b,由于f`(_)=6_－2,得a=3 , b=－2, 所以f(_)＝3_2－2_.又因为点均在函数的图像上,所以＝3n2－2n.当n≥2时,an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－＝6n－5.当n＝1时,a1＝S1＝3_12－2＝6_1－5,所以,an＝6n－5 ()(2)由(1)得知＝＝,故Tn＝＝＝(1－).因此,要使(1－)_lt;()成立的m,必须且仅须满足≤,即m≥10,所以满足要求的最小正整数m为10.20.已知数列中,,且(1)求数列的通项公式;(2)设函数,数列的前项和为,求的通项公式;(3)求数列的前项和.解析:(1)∵∴∴,累乘,得.(2) ∴当时,时,也符合∴的通项公式是(3)数列是首项为,公差的等差数列当,即时,;当时,=综上所述,。
高二数学阶段性测试题(含答案)
高二数学阶段性测试题（含答案）一、单选题1．已知ABC 的三个顶点()3,0A 、()1,2B -、()1,3C -，则ABC 的中线AD 的长是（ ）A B ．3 C D ．12 2．“01t <<”是“曲线2211x y t t+=-表示椭圆”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数3x y a -=（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在椭圆221x y m n +=（0m >，0n >）上，则m n +的最小值为（ ）A ．12B ．14C ．16D ．184．圆1C ：2220x y x +-=与圆2C ：()()2224x y a +++=有且仅有一条公切线，则=a （ ）A ．16B ．25C ．36D ．16或365．已知1F ､2F 是椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且12PF PF ⊥.若12PF F △的面积为9，则b =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为 （ ）A ．1B ．2CD 17．已知圆22(1)4x y -+=内一点P (2，1)，则过P 点的最短弦所在的直线方程是（ ） A ．10x y --= B ．30x y +-= C ．30x y ++= D ．2x =8．已知圆224x y +=，直线l ：y x b =+，若圆224x y +=上恰有4个点到直线l 的距离都等于1，则b 的取值范围为( )A ．()1,1-B ．[]1,1-C ．⎡⎣D ．( 9．设直线1:370l x y +-= 与直线2:10l x y -+=的交点为P ,则P 到直线:20l x ay a ++-=的距离最大值为 （ ）A B ．4 C ．DA B C D 11．圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．直线l ：280x y +-=与椭圆C ：2211612x y +=相切于点P ，椭圆C 的焦点为1F ，2F ，由光学性质知直线1PF ，2PF 与l 的夹角相等，则12F PF ∠的角平分线所在的直线的方程为（ ） A ．210x y --=B ．10x y -+=C ．210x y -+=D ．10x y --=12．已知点(4,0)A 和(2,2)B ，M 是椭圆221259x y +=上的动点，则||||MA MB +最大值是（ ）A．10+B ．10-C ．8D ．8二、填空题(共0分) 13．已知(0,0,0)A ，(0,1,0)B ，(1,0,1)C ，(,1,2)D x ，若A ，B ，C ，D 四点共面，则x =___________．14．已知12,F F 为椭圆C ：221164x y +=的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12PQ F F =，则四边形12PFQF 的面积为________．15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，左、右顶点为A 、B ，3FA =，1FB =．则直线12y x =+被椭圆C 截得的弦长为_____________． 16．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，斜率为12的直线l 经过左焦点1F 且交C 于A ，B 两点（点A 在第一象限），设12AF F △的内切圆半径为1r ，12BF F △的内切圆半径为2r ，若123r r =，则椭圆的离心率e =______． 三、解答题17．已知圆C 过点()6,0A ，()1,5B ，且圆心在直线1l 上，直线1l 过点()4,0D -且与直线2:2710l x y -+=平行。
2022-2023学年江苏省常州市高二下学期4月阶段性调研测试数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省常州市高二下学期4月阶段性调研测试数学试题一、单选题1．可以表示为( )．899091100⨯⨯⨯⨯ A ．B ．C ．D ．10100A 11100A 12100A 13100A 【答案】C【分析】根据排列数的计算公式即可判断﹒()()()12··1mn A n n n n m ⋅-⋅-- ＝＋【详解】＝，899091100⨯⨯⨯⨯ 12100A 故选：C﹒2．若平面，的法向量分别为，，并且，则x 的值为（ ）αβ()1,2,4a =-(),1,2b x =--//αβA ．10B ．C ．D ．10-1212-【答案】C【解析】根据两个法向量共线可得的值.x 【详解】因为，共线，故，故，//αβ,a b 12124x --==-12x =故选：C.3．根据组合数的性质可知，（ ）222223410C C C C +++⋅⋅⋅+=A ．B ．C ．D ．310C 211C 311C 411C 【答案】C【分析】根据性质直接可得.1121C C C C C r r r r r r r r n n +++++++⋅⋅⋅+=【详解】由性质可得.1121C C C C C r r r r r r r r n n +++++++⋅⋅⋅+=222232341011C C C C C +++⋅⋅⋅+=故选：C4．从名大学毕业生中选人担任村长助理，则甲、乙至少有人入选，而丙没有入选的不同选法1131的种数为（ ）A ．B ．C ．D ．49566484【答案】C【分析】分别在甲、乙有且仅有人入选和甲、乙人都入选的情况下确定选法种数，根据分类加12法计数原理可求得结果.【详解】甲、乙有且仅有人入选、丙没有入选的情况有：种；11228C C 56=甲、乙人都入选、丙没有入选的情况有：种；218C 8=甲、乙至少有人入选，而丙没有入选的不同选法的种数有种.∴156864+=故选：C.5．将一枚骰子连续抛两次，得到正面朝上的点数分别为、，记事件A 为 “为偶数”，事件x y x y +B 为“”，则的值为（ ）7x y +<(|)P B A A ．B ．C ．D ．13125979【答案】B【分析】利用条件概率的公式求解即可.【详解】根据题意可知，若事件为“为偶数”发生，则、两个数均为奇数或均为偶数，A x y +x y 其中基本事件数为，，，，，，，，，()1,1()1,3()1,5()2,2()2,4()2,6()3,1()3,3()3,5，，，，，，，，，一共个基本事件，∴()4,2()4,4()4,6()5,1()5,3()5,5()6,2()6,4()6,618,()181362P A ==而A 、同时发生，基本事件有当一共有9个基本事件，∴，B 91()364P AB ==则在事件A 发生的情况下，发生的概率为,B ()()()114122P AB P B A P A ===故选:.B 6．已知三棱锥中，点为棱的中点，点为的重心，设，，O ABC -M OA G ABC OA a = OB b =，则向量（ ）OC c =MG = A ．B ．111633a b c-++ 111633a b c --C ．D ．111633a b c -+ 111633a b c-+- 【答案】A【解析】作出图形，利用重心的性质可得出关于、、的表达式，再由可得OGa b c MG OG OM =- 结果.【详解】连接并延长交于点，连接，则为的中点，且，CG AB E OE E AB 23CG CE=()()()111111222222CE CA AE CA AB CA CB CA CA CB OA OC OB OC=+=+=+-=+=-+-，1122a b c =+- ，22111113322333OG OC CG OC CE c a b c a b c⎛⎫∴=+=+=++-=++ ⎪⎝⎭ 为的中点，.M OA 11111113332633MG OG OM a b c a a b c⎛⎫∴=-=++-=-++ ⎪⎝⎭ 故选：A.7．某次考试共有4道单选题，某学生对其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道做对的概率为0.8，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25．若从这4道题中任选2道，则这个学生2道题全做对的概率为（ ）A ．0.34B ．0.37C ．0.42D ．0.43【答案】C【分析】根据排列组合以及概率的乘法公式即可求解.【详解】设事件表示“两道题全做对”，A 若两个题目都有思路，则,223124C 0.80.32C P =⨯=若两个题目中一个有思路一个没有思路，则，1113224C C 0.80.250.1C P =⨯⨯=故,12()0.320.10.42P A P P =+=+=故选：C8．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵ABC﹒A1B1C1中，∠ACB＝90°，若AB，AA1＝2，当鳖臑A1﹒ABC体积最大时，直线B1C 与平面ABB1A1所成角的余弦值为（）AB C．D13【答案】A【分析】当鳖臑A1﹒ABC体积最大时，AC＝BC＝1，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值．【详解】解：在堑堵ABC﹒A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB，AA1＝2，当鳖臑A1﹒ABC体积最大时，AC＝BC＝1，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，B1（0，1，2），C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），11(0,1,2),(1,1,0),(0,0,2)B C BA BB=--=-=设平面ABB1A1的法向量，(,,)n x y z=则，取x＝1，得，120n BA x yn BB z⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩(1,1,0)n=设直线B1C与平面ABB1A1所成角为θ，则sinθ=所以cosθ=∴直线B1C与平面ABB1A1二、多选题9．从4名男生、3名女生中选2人分别担任班长和副部长，要求选出的2人中至少有一名男生，则不同的方法数为（ ）A ．B ．C ．D ．112462C C A ()222732CC A -()11224342C CC A +2273A A -【答案】BCD【分析】根据选项注意分析即可.【详解】表示从4名男生中选1人，再从剩余的6人中选1人，最后将选出的2人进行排112462C C A 列，当选出的2人都为男生时，此算法有重复，故A 错误；表示先从7人中选2人，减去2人都是女生的情况，最后将选出的2人进行排列，故()222732CC A -B 正确；表示先从4名男生和3名女生中各选1人，或从4名男生中选2人，最后将选出的()11224342C CC A +2人进行排列，故C 正确；表示从7人中选出2人进行排列，然后减去2人都是女生的情况，故D 正确.2273A A -故选：BCD10．已知，则（ ）()727012712x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+A ．B ．01a =722a =C ．D ．01271a a a a +++⋅⋅⋅+=-701273a a a a +++⋅⋅⋅+=【分析】令可求得可判断A ；写出该二项展开式的通项可得可判断B ；令，求得0x =0a 2a 1x =，进而求得可判断C ；由二项展开式的通项分析可知，当为偶数0127a a a a +++⋅⋅⋅+127a a a +++ k 时，，当为奇数时，，然后令可得出所求式子的值，可判断D ．0k a >k 0k a <=1x -【详解】因为，()727012712x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+令，得，故A 正确；0x =01a =展开式的通项为 ，则，故B 错误；()712x -7177C 1(2)(2)C r r r r r r r T x x -+=-=-7222(2)C 84a =-=令，得，故C 正确；1x =01271a a a a -=+++⋅⋅⋅+展开式的通项为，则，其中且，()712x -17(2)C r r r r T x +=-()72C kkk a =-07k ≤≤N k ∈当为偶数时，；当为奇数时，，k 0k a >k 0k a <令，可得，故D 正确.=1x -70127012345673a a a a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=-+-+-+-=故选：ACD.11．假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布（单位：g ），生产线乙正常情况下生产出来包装食盐质量为x g ，随机变量x 服()2500,5N从正态密度函数，其中，则（ ）()2200(1000)x x ϕ--=x ∈R 附：随机变量，则，，2(,)N ξμσ-()0.683P μσξμσ-<<+=()220.954P μσξμσ-<<+=．()330.997P μσξμσ-<<+=A ．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于485g 的概率为0.15%B ．生产线乙的食盐质量()2~1000,100x N C ．生产线乙产出的包装食盐一定比生产线甲产出的包装食盐质量重D ．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于515g ，于是判断出该生产线出现异常是合理的【答案】AD【分析】根据正态分布的参数，以及结合原则的参考数据，即可判断选项.3σ【详解】由条件可知，设生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐的质量为，X其中，其中，，()2500,5X N 500μ=5σ=则，故A 正确；()()10.99748530.00150.15%2P X P X μσ-<=<-===B. 随机变量x 服从正态密度函数，可知，，，()2200(1000)x x ϕ--=1000μ=10σ=所以生产线乙的食盐质量，故B 错误；()2~1000,10x N C.不一定，可能小概率事件发生，生产线乙产出的包装食盐比生产线甲产出的包装食盐质量轻，故C 错误；D.，说明生产线甲抽到质量大于515g 的可()()10.99751530.00150.15%2P X P X μσ->=>+===能性很低，所以随机抽取两包质量均大于515g ，说明判断出该生产线出现异常是合理的，故D 正确.故选：AD12．已知离散型随机变量服从二项分布，其中，记为奇数的概率为，X (),B n p N ,01n p *∈<<X a 为偶数的概率为，则下列说法中正确的有（ ）X b A ．B ．时，1a b +=12p =a b=C ．时，随着的增大而增大D ．时，随着的增大而减小102p <<a n 112p <<a n 【答案】ABC【分析】选项A 利用概率的基本性质即可，B 选项由条件可知满足二项分布，利用二项分布进行分析，选项C ，D 根据题意把的表达式写出，然后利用单调性分析即可.a 【详解】对于A 选项，由概率的基本性质可知，，1a b +=故A 正确，对于B 选项，由时，离散型随机变量服从二项分布，12p =X 1,2B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭则，()()11C 10,1,2,3,,22kn kk nP X k k n -⎛⎫⎛⎫===-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以，()1351111C C C 2222nnn n n n a -⎛⎫⎛⎫=+++=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()0241111C C C 2222nnn n n n b -⎛⎫⎛⎫=+++=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，故B 正确，a b =对于C,D 选项，，()()()1111222nnnp p p p p a -+---⎡⎤⎡⎤--⎣⎦⎣⎦==当时，为正项且单调递增的数列，102p <<()1122np a --=故随着的增大而增大故选项C 正确，a n 当时，为正负交替的摆动数列，112p <<()12n a p =-故选项D 不正确.故选：ABC.三、填空题13．在棱长为1的正方体中，为棱上任意一点，则=_______.1111ABCD A B C D -M 1CC AM BC ⋅【答案】1【分析】根据空间向量的线性运算及数量积的运算性质求解.【详解】如图，在正方体中，为棱上任意一点，则，，M 1CC 11CM CC AA λλ==01λ≤≤.()()21001AM BC A AC CM AB AD AA D D AD A λ∴=+⋅=++⋅⋅=++= 故答案为：1.14．展开式中含项的系数为______．()521x y -+2x y 【答案】－60【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.【详解】，()()552112x y x y -+=+-⎡⎤⎣⎦设该二项式的通项公式为，()()5155C 12C 2rrr r rr T x y x y -+=⋅⋅-=⋅-因为的次数为，所以令，2x y 33r =二项式的通项公式为，()32x y -()313C 2r r r r T x y '''-'+'=⋅⋅-令，1r '=所以项的系数为，2x y ()3153C C 260⋅⋅-=-故答案为：60-15．某企业的一批产品由一等品零件、二等品零件混装而成，每包产品均含有10个零件．小张到该企业采购，利用如下方法进行抽检：从该企业产品中随机抽取1包产品，再从该包产品中随机抽取4个零件，若抽取的零件都是一等品，则决定采购该企业产品；否则，拒绝采购．假设该企业这批产品中，每包产品均含1个或2个二等品零件，其中含2个二等品零件的包数占，则小张决10%定采购该企业产品的概率为______．【答案】4375【分析】根据题意，分析可得含1个二等品零件的包数占，进而由对立事件和互斥事件的概率90%公式计算可得答案．【详解】解：根据题意，该企业这批产品中，含2个二等品零件的包数占，则含1个二等品零10%件的包数占，90%在含1个二等品零件产品中，随机抽取4个零件，若抽取的4个零件都是一等品，其概率，491410C 3C 5P ==在含2个二等品零件产品中，随机抽取4个零件，若抽取的4个零件都是一等品，其概率，482410C 1C 3P ==则小张决定采购该企业产品的概率；93114310510375P =⨯+⨯=故答案为：．4375四、双空题16．在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号次，每次发射信号“0”和n “1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为.X ①当时，_______；6n =()2P X ≤=②已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任Y ()E Y ()D Y 意正实数，有.根据该不等式可以对事件“”的概率作出下a ()()()21D Y P Y E Y a a -<≥-()Y E Y a-<限估计.为了至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，估计信号发射次数的最小n 值为_______.【答案】12501132【分析】①根据二项分布公式计算；②运用二项分布公式算出和，再根()2P X ≤()E X ()D X 据题意求出中a 的表达式，最后利用切比雪夫不等式求解.()X E X a-<【详解】①当时，由已知，6n =16,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 所以()()()()2012P X P X P X P X ≤==+=+= ；652412666111111615112222264646432C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅=++=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②由已知，所以，1,2X B n ⎛⎫⎪⎝⎭ ()()0.5,0.25E X n D X n ==若，则，即，即.0.40.6Xn ≤≤0.40.6n X n ≤≤0.10.50.1n X n n -≤-≤0.50.1X n n -≤由切比雪夫不等式，()20.250.50.11(0.1)nP X n n n -≤≥-要使得至少有的把握使发射信号“1”的频率在与之间，则，98%0.40.620.2510.98(0.1)nn -≥解得，所以估计信号发射次数的最小值为1250.1250n ≥n 故答案为：；1250.1132五、解答题17．在1，2，3，…，9这9个自然数中，任取2个不同的数.(1)求这2个数中恰有1个是奇数的概率；(2)设X 为所取的2个数中奇数的个数，求随机变量X 的概率分布及均值.【答案】(1)59(2)分布列见解析，均值为．109【分析】（1）由9个数中5个奇数，4个偶数，可得出取出的2个数中恰有1个是奇数的方法数，从而计算出概率；（2）X 的可能值依次为，分别计算出概率的分布列，由均值公式计算出均值．0,1,2【详解】（1）9个数中5个奇数，4个偶数，因此所求概率为；11542959C C P C ==（2）X 的可能值依次为，0,1,2，，24291(0)6C P X C ===25295(2)18C P X C ===的分布列为X X012P1659518均值为．15510()01269189E X =⨯+⨯+⨯=18．已知在的展开式中，第2项与第8项的二项式系数相等.()()*2nx n -∈N (1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中的常数项.()112n x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】(1)41120x (2)1280【分析】（1）根据题目条件先求出，再根据二项式系数的性质求出结果；n （2），结合（1）中的结果，求出的常数项和的系数()(2)(2112)n n nx x x x x =⎛⎫---⎝-⎪⎭- n (2)nx -x 即可.【详解】（1）依题意得，，解得，根据二项式系数的性质最大，于是展开式中系数17C C n n =8n =48C 最大的项为：.44448C (2)1120x x -=（2），展开式的常数项为：，展开式()()888211(2)2x x x x x -⎛⎫--⎭--⎪= ⎝8(2)x -8(2)256-=8(2)x -的的系数为：，于是展开式的常数项为：x 778C (2)1024-=-()8112x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭256(1024)1280--=19．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，平面，S ABCD -ABCD ,,AD BC AB BC SA ⊥⊥//ABCD 22SA AB BC AD ====(1)求到平面的距离；C SBD (2)求平面与平面的夹角的正弦值.SAB SCD 【答案】【分析】（1）根据等体积求解.S BCD C SBD V V --=（2）以为坐标原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设平A ,,AD AB AS x y z A xyz -面与平面的夹角为，则代入求解.SAB SCD θ1212cos n n n n θ⋅=⋅【详解】（1）平面，所以是三棱锥的高，SA ⊥ ABCD SA SBCD -根据题意，设到平面的距离为，，C SBD h SD BD SB ===由得，S BCDC SBD V V --=1133BCD SBD S SA S h ⋅⋅=⋅⋅ 代入数据，得11112223232h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯h 所以到平面.C SBD（2）由平面，平面，SA ⊥ABCD ,AB AD ⊂ABCD ，又则，,SA AB SA AD ∴⊥⊥,,AD BC AB BC ⊥//AB AD ⊥两两垂直，,,SA AB AD ∴以为坐标原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，A ,,AD AB AS x y z A xyz -则，则()()()0,0,2,1,0,0,2,2,0S D C ()()1,0,2,1,2,0SD DC =-=设平面的一个法向量为，则，令，SCD ()1000,,n x y z =()()()()1000001000001,0,2,,201,2,0,,20SD n x y z x z DC n x y z x y ⎧⋅=-⋅=-=⎪⎨⋅=⋅=+=⎪⎩ 01z =则，()12,1,1n =-平面的一个法向量，SAB ()21,0,0n =设平面与平面的夹角为，则，SAB SCDθ1212cos n n n n θ⋅===⋅与平面sin θ∴=SAB SCD 20．（1）求证：；11C C r r n n r n --=（2）求和：；123C 2C 3C C n n n n n n +++⋅⋅⋅+（3）求证：当随机变量时，(),X B n p ()E X np=【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析12n n -⋅【分析】（1）由组合数公式证明即可；（2）由（1）中结论，结合二项式系数的性质求解； （3）写出的表达式，由（2）中结论，结合二项式定理求解．()E X 【详解】（1），，()()()!!C !!!1!r n n n r r n r r n r r =⋅=---()()()()()111!!C !1!!1!r n n n n n n r r n r r ---=⋅=----所以.11C C r r n n r n --=（2）12301211111C 2C 3C C C C C C n n n n n n n n n n n n n n n -----+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+.()012111111C C C C 2n n n n n n n n ------=+++⋅⋅⋅+=⋅（3）()()()()()120011220C 11C 12C 1C 1nn n n nn n n n E X p p p p p p n p p --=⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅⋅+-()()()1201121111C 1C 1C 1n n n nn n n n p p n p p n p p ------=⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅⋅+-()()()120001111111C 1C 1C 1n n n n n n n n p p p p p p p -------⎡⎤=⋅⋅⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+-⎣⎦.()11n n p p p np-=⋅⋅+-=21．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，，点在棱上，PABCD -PA ⊥ABCD 3PA AB ==E PD 且，点是棱上的动点（不含端点）.2PE ED =F PC (1)若是棱的中点，求的余弦值；F PC EAF ∠(2)求与平面所成角的正弦值的最大值.PA AEF 【答案】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出，的坐标，利用向量夹角公式求解；AE AF（2）设，求出平面的法向量，设与平面所成角为，则PF PC λ=AEF 1n PA AEF θ.1sin cos ,n θ=【详解】（1）由平面，，平面，所以，，PA ⊥ABCD AB AD ⊂ABCD PA AB ⊥PA AD ⊥又，所以、、两两垂直，AB AD ⊥PA AB AD 以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，A AB AD AP x y z A xyz-则，，，，，，()0,0,3P ()0,0,0A ()3,0,0B ()3,3,0C ()0,3,0D ()0,1,2E 当为棱的中点时，，则，，F PC 333,,222F ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0,1,2AE = 333,,222AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,AE AF AE AF AE AF⋅===所以EAF ∠（2），设，，()3,3,3PC =-()3,3,3PF PC λλλλ==-01λ<<则，则，又，()3,3,3AF AP λλλ--= ()3,3,33AF λλλ=- ()0,1,2AE = 设平面的一个法向量为，AEF ()1111,,n x y z =则，即，取，1100n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ()111112033330y z x y z λλλ+=⎧⎨++-=⎩131,2,1n λλ-⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，设与平面所成角为，()0,0,3PA =-PA AEF θ1sin cos ,n θ== 令，当时，，221611435y λλλ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭13λ=min 5y=即时，13λ=sin θ所以与平面PA AEF22．法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包，该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1000g ，上下浮动不超过50g ，这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000g ，标准差为50g 的正态分布.(1)已知如下结论：若，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据()2,X N μσ~X (),2k k k *∈≥N k 的平均值为，则随机变量.利用该结论解决下面问题.Y 2,Y N k σμ⎛⎫~ ⎪⎝⎭①假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为，求Y ；()980P Y <②庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在上并经计算()950,105025个面包质量的平均值为978.72g.庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加菜举报该面包师的理由；(2)假设有两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黑色面包有2个；第二箱中共装有8个面包，其中黑色面包有3个.现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包.求取出黑色面包个数的分布列及数学期望.附：①随机变量服从正态分布，则，η()2,N μσ()0.6827P μσημσ-≤≤+=，()220.9545P μσημσ-≤≤+=()330.9973P μσημσ-≤≤+=②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生【答案】(1)①；②答案见解析0.02275(2)分布列见解析，1724【分析】（1）（i ）由正太分布的对称性及原则进行求解；（ii ）结合第一问求解的概率及小概率3σ事件进行说明；（2）设取出黑色面包个数为随机变量，则的可能取值为0,1,2,求出相应的概率，进而求出分布ξξ列及数学期望.【详解】（1）（i ）假设面包师说法是真实的，则每个面包的质量()21000,50X N 由已知结论可知，()21000,10Y N由附①数据知，()10.95459800.022752P Y -≤==（ii ），由附②知，事件“”为小概率事件，980Y ≤由题25个面包质量的平均值，978.72980Y =<小概率事件“”发生所以庞加莱认为面包师的说法不真实，进行了举报980Y ≤（2）由题意，设随机挑选一箱，取出两个面包，其中黑色面包个数为，则的取值为0，1，2ξξ设“所取两个面包来自第箱”，所以=i A i ()1,2i =1212A A P P ==设“所取两个面包有各黑色面包”，由全概率公式i B =i ()1,2i =，()()()()()22540110222268C C 115302C 2C 140P P B A P A P B A P A ξ==+=⨯+⨯=∣∣，()()()()()111153421111222268C C C C 1144912C 2C 840P P B A P A P B A P A ξ==+=⨯+⨯=∣∣，()()()()()22322112222268C C 117322C 2C 840P P B A P A P B A P A ξ==+=⨯+⨯=∣∣所以黑色面包个数的分布列为ξξ012P5314044984073840所以53449735951701214084084084024E ξ=⨯+⨯+⨯==。
天津市第四十七中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试卷(含答案)
天津市第四十七中学2023—2024第二学期高二年级第二次阶段性检测 数学试卷一、选择题（每题5分，共45分）1．设集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知a 、b 、，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（）A ．B ．C ．D ． 4．下列说法中正确的个数为（）个①对立事件一定是互斥事件；②在经验回归直线方程中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量减少0．1个单位；③两个随机变量的线性相关性越强，相关系数绝对值越接近于1；④在回归分析棋型中，若相关指数越小，则残差平方和越大，棋型的拟合效果越好．A ．1B ．2C ．3D ．45．已知函数，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．6．若，则（ ）A ．B ．1 CD ．{}2{2},340A xx B x x x =>-=+-≤∣∣A B = (,1]-∞[4,2)--(2,1]-[1,)+∞c ∈R a b =22ac bc =()y f x =()f x e 1()e 1x x f x +=-e 1()e 1x x f x -=+()f x =()f x =ˆ0.110y x =+ˆy2R 1()f x x x=-0.550.5log 2,log 0.2,0.5a b c -===()()()f b f a f c <<()()()f c f b f a <<()()()f b f c f a <<()()()f a f b f c <<23,35,54a b c ===4log ()abc =2-127．已知随机变量X 服从正态分布，且，则等于（）A ．0．14B ．0．36C ．0．72D ．0．868．8．已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．9．设定义在上的函数与，若，且为奇函数，设的导函数为，则下列说法中一定正确的是（ ）A ．是奇函数B ．函数的图象关于点对称C ．D ．点（其中）是函数的对称中心二、填空题（每题5分，共30分）10．在的展开式中，项的系数为__________．（用数字作答）11．分别从0，2，4和1，3，5中各任取2个数字组成一个没有重复数字的四位数，这样的四位数有_____个．12．公差大于零的等差数列中，成等比数列，若，则________．13．已知，则的最小值为__________．14．某学校有A ，B 两家餐厅，经统计发现，某班学生第1天午餐时选择A 餐厅和选择B 餐的概率均为．如果第1天去A 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为；如果第1天去B 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为，则某同学第2天去A 餐厅用餐的概率为假设班内各位同学的选择相互独立，随机变量X 为该班3名同学中第2天选择B 餐厅的人数，则随机变量X 的均值_________．15．设，函数，若函数恰有4个学点，则数a 的取值范围为__________．三、解答题（共75分，需写出必要的文字说明、推理过程或计算步臻，只有结果的不给分）16．（本小题满分14分）如图，PD 垂直于梯形ABCD 所在平面，，F 为线段PA 上一()22,N σ(1.52)0.36P x ≤<=( 2.5)P x >()||f x x x =[0,)x ∈+∞()214()f x x f x α-+≥(0,2](,2]-∞[0,)+∞(,0]-∞R ()f x ()g x (2)(1)2,()(1)2f x g x f x g x +--==++(1)g x +()g x ()g x '()f x ()g x '(1,0)20231()0k g k ==∑(2,2)k k ∈Z ()f x 322x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x {}n a 5311,a a 25a =37a a +=2,0a b >>42a ab b+-123545()E X =a R ∈22||,0()54,0x a x f x x x x +<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩()||y f x ax =-90ADC BAD ∠=∠=︒点，，四边形PDCE 为矩形．（I ）若F 是PA 的中点，求证：平面DEF ；（Ⅱ）求直线AE 与平面BCP 所成角的正弦值；（Ⅲ）若点F 到平面BCP的距离为，求PF 的长．17．（本小题满分15分）2024年世界羽联赛已经开始，同时，也是奥运年，4年一度最精彩赛事即将来临！为了激发同学们的奥运精神，某校组织同学们参加羽毛球比赛，若甲、乙两位同学相约打一场羽毛球比赛，采用五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假设在每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立（I ）求甲以的比分获胜的概率；（Ⅱ）设X 表示比赛结束时进行的总局数，求X 的分布列及数学期望．18．今年是中国共产党建党103周年，为庆祝中国共产党成立103周年，某高中决定开展“学党史，知奋进”党史知识克赛活动，为了解学生的获奖情况与选修历史学科之间的关系，在全校随机选取了选修历史和不选修历史各50人作为样本，设事件“获奖”，“选修历史”，据统计．统计100名学生的获奖情况后得到如下列联表：获奖没有获奖合计选修历史没有选修历史合计0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：（I ）完成上面列联表，并依据的独立性检验，能否有把握推断认为“党史知识竞赛获奖与选修历史学科有关”；（结果保留三位小数）112PD AB AD CD ====AC ∥1623133:1A =B =12(,()53P AB P B A ==∣∣αx α22(),()()()()n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++22⨯0.05α=95%（Ⅱ）从选历史且获奖的学生中选取2名男生和4名女生组成“学党史、知奋进宣讲团”，在某次活动中，从这6名学生中随机选取3人为宣讲员，求男生宣讲员人数的分布列和数学期望．19．（本小题满分15分）已知等差数列，满足，正项数列的前n 项和为，且．（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）求（Ⅲ）在之间插入1个数，使成等差数列，在之间插入2个数，使成等差数列，……；在之间插入n 个数，使成等差数列①求；②求20．（本小题满分16分）已知函数．（I ）讨论的单调区间；（Ⅱ）当时，令．①证明：当时，；②若数列满足，证明：．天津市第四十七中学2023-2024（二）高二年级第二次月考数学试卷答案一、选择题1．C 2．A 3．D 4．B 5．C 6．D 7．A 8．D9 ．D二、填空题（本大题共6小题．每题5分共30分）10．6 11．180 12．28 13．6 14．， 15．三、解答题16．（本小题满分14分）ξ{}n a 14591,a a a a =+={}n b n S 31n n S =-{}n a {}n b ()2*121(1)(1)nkk k k a n k k =⎡⎤++-∈⎢⎥⋅+⎣⎦∑N 12,b b 11c 1112,,b c b 23,b b 2122,c c 221223,,,b c c b 1,n n b b +12,,..,n n nn c c c ⋯121,,,..,,n n n nn n b c c c b +⋯nk c 11212231323312n n nn c c c c c c c c c ++++++++++…………()e ,x f x ax a a =--∈R ()f x 1a =22()()f x g x x =0x >()1g x >{}()*n x n ∈N()111,e 3n x n x g x +==()2e 11n x n -<710910(1,0)(1,2)-（I ）以D 为坐标原点，正方向为x ，y ，z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，设平面DEF 的法向量为，令平面DEF ，平面DEF ．（III ）设平面BCP 的法向量，令，解得：；设直线AE 与平面BCP 所成角为，．则直线AE 与平面BCP（III ），设由平面BCP 的法向量，点F 到平面BCP 的距离．解得，所以．17．（本小题满分15分）（I ）以的比分获胜，则甲在前3局胜2局输1局，第4局胜利，概率为：（Ⅱ）X 可能的取值为3，4，5，；；X345,,DA DC DP1(1,0,0)(1,1,0),(0,2,0),(0,2A B C P E F ⎛ ⎝(,,)m x y z = 00DE m z DF m x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩1,2,(2,1,y z x m ===∴= 0,AC m AC mAC ∴⋅=⊥⊂/AC ∴∥(,,),(1,1,0),(0,(1,n x y z BC CP AE ==-=-=-020BC n x y CP n y ⎧⋅=-+=⎪∴⎨⋅=-+=⎪⎩ 1y =1,x z n ==∴= θ||sin |cos ,|||||AE n AE n AE n θ⋅∴=<>==⋅(1,0,PA = (,0,),[0,1]PF PA λλλ==∈n = ||||1||26PF n d n λ⋅===13λ=1||||3PF PA == 3:12232128C 33327P ⎛⎫=⋅⋅⋅=⎪⎝⎭33211(3)333P X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223812110(4)2733327P X C ⎛⎫==+⋅⋅⋅=⎪⎝⎭11081108107(5)1()345327273272727P X E X ==--==⨯+⨯+⨯=P18．（本小题满分15分）（I ）设获奖且没选修历史为x 人（人）又（人）获奖没有获奖合计选修历史203050没有选修历史104050合计3070100（I ）由题意可得列联表：零假设为：党史知识竞赛获奖与选修历史学科无关则故依据的独立性检验，推断不成立，即有把握认为“党史知识竞赛获奖与选修历史学科”有关．（Ⅱ）由题意的取值可能为0，1，2，则，故的分布列为：012P则．19．（本小题满分15分）（I ）设数列的公差为d ，由题意知，，解得，所以；因为数列的前n 项和为，且满足．所以当时，，1310278271(,10505x p A B x ===∣1030213=-0H 22100(20401030) 4.762 3.84130705050χ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯0.05α=0H 95%ξ3122142424333666C C C C C 131(0),(1),(2)C 5C 5C 5P P P ξξξ=========ξξ153515131()0121555E ξ=⨯+⨯+⨯={}n a 111348a d a d a d +++=+1d =n a n ={}n b n S 31nn S =-1n =11312b =-=当时，．验证，当时，，满足上式，故．（Ⅱ）．（Ⅲ）成等差数列，，①②设，则，设，所以，，两式相减得，，所以．20．（本小题满分16分）（I ）函数定义域为R ，求导得，当时，恒成立，即在上单调递增，当时，令，解得，令，解得，即在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，在上单调递增，2n ≥111313123n n n n n n b S S ---=-=--+=⨯1n =11b =123n n b -=⨯221(12)221112;(1)(1)2(1)1nk k k k n n k a n n k k k k =++⎛⎫==+-=-+ ⎪++⎝⎭∑21111111112(1)1112232212121nk k n k k n n n n =-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+-++++=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 2212122(1)21nk k k n a n n k k n =⎡⎤++=+-⎢⎥++⎣⎦∑121,,,,,n n n nn n b c c c b +⋯111232343111n n n n n n b b d n n n --+-⨯-⨯⨯===+++1114321232311n n n nk n n k nc b kd k n n ---⨯++=+=⨯+=⨯⨯++111121(1)3(1)4323432121n n n n n n mnn n n n n n n M c c c nc d n n n n ----+-⨯=+++=+⋅=⨯⨯⨯+⨯=⨯++ ()()1121212112121212n n m n n mn n c c c c c c c c c c c c M M M +++++++=+++++++=+++ 12n n T M M M =+++ 012214383123(44)343n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-+⨯ 123134383123(44)343n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ (121012312443434343433333n n n n T n ---=+⨯+⨯++⨯-⨯=+++++ 1343443(24)3213nnn n n n n --⨯=⨯-⨯=-⨯--1(21)3n n T n =+-⨯()f x ()e x f x a '=-0a ≤()0f x '>()f x (,)-∞+∞0a >()e 0x f x a '=->ln x a >()e 0x f x a '=-<ln x a <()f x (,ln )a -∞(ln ,)a +∞0a ≤()f x (,)-∞+∞当时，在上单调递减，在上单调递增．（II ）当时，，①当时，，令恒成立，则在上单调递减，，因此，成立，所以当时，．②由①可知，当时，，由得，即，由，可得，而，又，即，则，由于，只需证，又当时，，令恒成立，则在上单调递增，，则当时，恒有，而，即成立，不等式成立，因此成立，即成立．0a >()f x (,ln )a -∞(ln ,)a +∞1a =()22e 1()x x g x x --=0x >()222112e 121e 112e xx xx x x x x x ++-->⇔>++⇔<2211122(),1,0,()0xx x x x F x x F x e e++-'=>=<()F x 0,)+∞01()(0)10e F x F <=-=21121exx x ++<0x >()1g x >(0,)x ∈+∞()1g x >113x =()21e 1xg x =>20x >()1e n x n g x +=0n x >113e 1e 1x -=-3327e e 028⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭133e 2<1131e 1e 12x -=-<()12e 11e 12nnnx x n⎛⎫-<⇔-< ⎪⎝⎭()()1111e 1e 11e 222n n n x x x n g x +-<-⇔-<-0x >()22211()1e 4e 44(2)(2)e (2)022x x x g x x x x x x x -<-⇔-+++=-+++>(2)e 102x x x -⇔+>+22(2)e e ()1,0,()02(2)x xx x h x x h x x x -'=+>=>++()h x (0,)+∞()(0)0h x h >=0x >2e 102x x x -⋅+>+0n x >()111e 22n x n g x -<-()11e1e 12n n x x +-<-()()()111211111e 1e 1e 1e 12222n n n x x x x n n +-+-<-<-<<-< 1e 12nnx ⎛⎫-< ⎪⎝⎭。
高二数学下册阶段测试试卷及答案
高二数学下册阶段测试试卷及答案通州区三余中学2010～2011学年(下)阶段测试试卷数学试题(正卷) 注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共6页，包含填空题(共14题)、解答题(共10题)，满分200分，考试时间为150分钟。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题纸上。
3．请认真核对答题纸密封线内规定填写的项目是否准确。
4．作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其他位置作答一律无效．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上． 1．已知，其中是实数，是虚数单位，则等于▲ ． 2．用演绎法证明是增函数时的大前提是▲ ． 3．点是椭圆上的一个动点，则的最大值为▲ ． 4．多项式（）的展开式中，的系数为▲ ． 5．学校要选派4名爱好摄影的同学中的3名参加校外摄影小组的3期培训（每期只派1名），由于时间上的冲突，甲、乙两位同学都不能参加第1期培训，则不同的选派方式有▲ 种． 6．从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是▲ ． 7．计算▲ ． 8．曲线的极坐标方程为，则曲线的直角坐标方程为▲ ． 9．观察下列的算式：1＝1，3＋5＝8，7＋9＋11＝27，13＋15＋17＋19＝64，21＋23＋25＋27＋29＝125，…，从中归纳出一个一般性的结论：▲ ． 10．已知直线方程为 ,先进行的变换,再进行的变换, 则变换后其方程为▲ ． 11．已知复数z满足，则的最小值为▲ ． 12．参数方程所表示的曲线的普通方程为▲ ． 13．设平面内有条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用表示这条直线交点的个数，则当＞４时，＝▲ ．（用含的数学表达式表示）． 14．从装有个球（其中个白球，1个黑球）的口袋中取出个球 ,共有种取法，这种取法可分成两类：一类是取出的个球中，没有黑球，有种取法，另一类是取出的个球中有一个是黑球，有种取法，由此可得等式： + = ．则根据上述思想方法，当时，化简• ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1人,从中选5人外出比赛. （1）若选出男运动员3名,女运动员2名，有多少种不同的选派方法？（2）若队长至少有1人参加，有多少种不同的选派方法？（3）若至少有1名女运动员，有多少种不同的选派方法？（4）若既要有队长, 又要有女运动员，有多少种不同的选派方法？16．（本小题满分14分）设 , . （Ⅰ）当 =2011时,记，求；[来源:Z*xx*] （Ⅱ）若展开式中的系数是20，则当、变化时，试求系数的最小值．17．（本小题满分14分）甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.5，0.6，0.75．（1）求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；（2）设经过两次考试后，能被该高校预录取的人数为，求随机变量的期望．18．（本小题满分16分）若某一等差数列的首项为，公差为展开式中的常数项，其中m是7777-15除以19的余数，则此数列前多少项的和最大？并求出这个最大值．19．（本小题满分16分）若不等式对一切正整数都成立，求正整数的最大值，并用数学归纳法证明你的结论．（本小题满分16分）设z是虚数，ω是实数，且－1＜ω＜2．（1）20．求 |z| 的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：u为纯虚数；（3）求ω的最小值．数学试题(附加题) 一、选做题：每小题10分，共20分． 1．（矩阵与变换）设是把坐标平面上的点的横坐标伸长到倍，纵坐标伸长到倍的伸压变换．（Ⅰ）求矩阵的特征值及相应的特征向量；（Ⅱ）求逆矩阵以及椭圆在的作用下的新曲线的方程．2.（坐标系与参数方程）求直线（）被曲线所截的弦长.二、必做题：本大题共2小题，每小题10分，共20分． 3.2009年芬兰国际象棋比赛的决赛在中国队的卜祥志和乌克兰队的科罗波夫两名棋手之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分，根据以往经验，每局中国队赢的概率为，乌克兰队赢的概率为，且每局比赛输赢互不影响.若中国队第n局的得分记为，令 . （1）求的概率；（2）若规定：当其中一方的积分达到或超过4分时，比赛结束，否则，继续进行.设随机变量表示此次比赛共进行的局数，求的分布列及数学期望.4．等比数列{ }的前项和为，已知对任意的，点均在函数且均为常数)的图像上. （1）求的值；（2）当时，记，证明：对任意的，不等式成立.数学试题(附加题) 一、选做题：每小题10分，共20分． 1．选修4―2 矩阵与变换2．选修4―4 参数方程与极坐标二、必做题：本大题共2小题，每小题10分，共20分． 3．4．参考答案一、填空题： 1． 2．增函数的定义 3． 4．0 5．12 6． 7． 8． 9．[(n2－n)＋1]＋[(n2－n)＋3]＋[(n2－n)＋5]＋…＋ [(n2－n)＋(2n－1)]＝n3 10．4x-y-42=0 11．4 12． 13． 14．二、解答题： 15．解：（1）C C ＝120（种）---------------------------------------------------------------------------3分（2）C C ＋C C ＝140＋56＝196 （种）-------------------------------------6分（3）C －C ＝246 （种）------------------------------------------------９分（4）C －C －C ＝191 （种）------------------------------------------13分答：略-----------------------------------------------------------------------------14分 16．解：（Ⅰ）令，得= …6分（Ⅱ）因为，所以 ,则的系数为 = 10分所以当时，展开式中的系数最小，最小值为85…………14分 17．解：（1）分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件、、；表示事件“恰有一人通过笔试”，则（2）解法一：因为甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格的概率均为，所以，故．解法二：分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事件，则所以，，．于是，． 18．S25=S26=1300 19．解：当n=1时，，即，∴a<26，又a∈ ，∴取a=25 (2)分下面用数学归纳法证明：[ ．…………4分（1）当n=1时，已证。
扬州市扬州大学附属中学高二年级第二学期数学学科阶段检测 1(月考)(后附答案解析)
扬大附中高二年级春学期数学学科阶段检测1一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求)1．下列求导运算正确的是（）A ．()'sin cos x x=-B ．'1ln xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()'1x x xee-=D ．()'12x x=2．202320222021202019841983⨯⨯⨯⨯⋯⨯⨯等于（）A ．402023C B ．412023C C ．402023A D ．412023A 3.81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（）A.70B.56C.28D.70-4．有4名新冠疫情防控志愿者，每人从3个不同的社区中选择1个进行服务.则不同的选择办法共有（）种.A.81B.64C.16D.95．平面α的一个法向量是1(2n = ,1-,1)3，平面β的一个法向量是(3m =- ,6,2)-，则平面α与平面β的位置关系是（）A ．平行B ．重合C ．平行或重合D ．垂直6．如图所示，空间四边形的各边和对角线长均相等，E 是BC 的中点，那么（）A ．AE BC AE CD ⋅<⋅B ．AE BC AE CD⋅=⋅ C ．AE BC AE CD⋅>⋅ D ．AE BC ⋅ 与AE CD ⋅不能比较大小7．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒，12AC CC ==，M 是11A B 的中点，以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．若11A B C M ⊥，则异面直线CM 与1A B 所成角的余弦值为（）A ．23B ．33C ．23D ．73（第7题）图）8.已知函数()()22e xf x x ag x x =-+=，，若对任意的[]21,1x ∈-，存在11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是（）A.[]e 1,4+ B.[e ，4]C.1e,4e⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D.1e 1,4e⎡⎤++⎢⎥⎣⎦二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)9.如图是()y f x =的导数()y f x '=的图象，则下面判断错误的是（）A ．在(3,1)-内()f x 是增函数B ．在(3,4)内()f x 是减函数C ．在2x =时()f x 取得极小值D ．当4x =时()f x 取得极大值10．若3221213A 2A 6A x x x +++≤+，则正整数x 的值是（）A ．2B ．3C ．4D ．511．现有4个小球和4个小盒子，下面的结论正确的是（）A ．若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有24种放法B ．若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有18种C ．若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有144种D ．若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种12．如图，底面ABCD 是边长为2的正方形，半圆面APD ⊥底面ABCD ．点P 为半圆弧 AD 上（不含A ，D 点）的一动点．下列说法正确的是（）A ．BP PD ⋅的数量积不恒为0B ．三棱锥P BCD -体积的最大值为23C ．存在点P ，使得AB PB DB DP⋅=⋅D ．点A 到平面BPD 的距离取值范围为(2三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在空间直角坐标系O xyz -中，已知(110)(102)A B -，，，，，，点C 满足2AC AB =，则点C 的坐标为．14.已知函数()y f x =的图象在点()()1,1M f 处的切线方程是21y x =+，则()()11f f '+=．15.设()20121nn n x a a x a x a x +=++++ ，若23a a =，则n =．16.将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列，记第i 项为()1,2,,7i a i = ，若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有个；若该数列恰好先减后增，则这样的数列共有个．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11,2AB AD AA ===，1160A AD A AB DAB ∠=∠=∠=︒，M 为11A C 与11B D 的交点.若AB a = ，AD b =，1AA c =.（1）用a ，b ，c 表示BM ；（2）求BM 的长.18．（本小题满分12分）（1）计算：()2973100100101C C A +÷；（2）计算3333412C C C +++ .（均要求写出必要的数学式，结果用数字作答）19．（本小题满分12分）已知函数()325f x x ax bx =-++，在2x =-和23x =处取得极值.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在[]4,1-上的最大值.20．（本小题满分12分）在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是11C D 与AB 的中点.（1）求11A B 与截面1A ECF 所成角的正弦值；（2）求点B 到截面1A ECF 的距离．21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD为等腰直角三角形，且π2PAD ∠=，点F 为棱PC 上的点，平面ADF 与棱PB 交于点E .（1）求证：//EF AD ；（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面PCD 与平面ADFE 所成锐二面角的大小.条件①：2AE 条件②：平面PAD ⊥平面ABCD ；条件③：PB FD ⊥.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.22．（本小题满分12分）已知函数()2e xf x ax =-（e 是自然对数的底数，a ∈R ）.（1）设()f x 的导函数为()f x '，试讨论()'f x 的单调性；（2）当e a =时，若0x 是()f x 的极大值点，判断并证明()0f x 与3e4大小关系.扬大附中高二年级春学期数学学科阶段检测1参考答案1．D 【详解】对于A 选项，()sin cos x x '=，A 选项错误；对于B 选项，211x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭，B 选项错误；对于C 选项，()ln x x a a a '=，C 选项错误；对于D 选项，'=D 选项正确.故选：D.2．D 【详解】根据排列数公式可得：412023202320222021202019841983A ⨯⨯⨯⨯⋯⨯⨯=.故选：D.3.【答案】A 【详解】根据题意，81+x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭展开式的通项为2888181C C rr r r rr T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令820r -=，解可得4r =，则有458C 70T ==；即81+x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为70.故选：A.4．A.【详解】解：每名新冠疫情防控志愿者都有3种不同的选择方法，根据分步计数原理可知，不同的选择方法共有4381=（种)．故答案为：81．5．【答案】C 【详解】 平面α的一个法向量是1(2n = ,1-,1)3，平面β的一个法向量是(3m =-,6,2)-，∴6m n =- ，∴平面α与平面β的关系是平行或重合．故选：C ．6．C 【详解】∵E 是BC 的中点，AB AC =，∴AE BC ⊥ ，即0AE BC ⋅= ．不妨设空间四边形的各边和对角线长均为1，又AB ，AC ，AD 两两之间的夹角均为60°，∴()()12AE CD AB AC AD AC ⋅=+⋅- ()12AB AD AB AC AC AD AC AC =⋅-⋅+⋅-⋅ 104=-<．故AE BC AE CD ⋅>⋅．故选：C 7．【答案】A8.【答案】B 【详解】解：()2e xg x x =的导函数为()()22e e 2e xxxg x x x x x '=+=+，由[)1,0x ∈-时，()0g x '<，(]0,1x ∈时，()0g x '>，可得g （x ）在[–1，0]上单调递减，在（0，1]上单调递增，故g （x ）在[–1，1]上的最小值为g （0）=0，最大值为g （1）=e ，所以对于任意的2[1,1]x ∈-，()[]20,e g x ∈．因为2y x a =-+开口向下，对称轴为y 轴，所以当0x =时，max ()f x a =，当2x =时，min ()4f x a =-，则函数2()f x x a =-+在[12-，2]上的值域为[a –4，a ]，由题意，得][[0,e 4a ⊆-，]a ，可得40e a a -≤<≤，解得e 4a ≤≤．故选：B.9．ACD 【详解】3(3,)2x ∈--时，()0f x '<，此时()f x 在3(3,)2--单调递减3(,2)2x ∈-时，()0f x '>，此时()f x 在3(,2)2-单调递增(2,4)x ∈时，()0f x '<，此时()f x 在(2,4)单调递减(4,5)x ∈时，()0f x '>，此时()f x 在(4,5)单调递增()f x 在2x =处左增右减，故在2x =时()f x 取得极大值()f x 在4x =处左减右增，故在2x =时()f x 取得极小值综上可知：B 正确故选：ACD 10.【答案】ABC3221213A 2A 6A x x x +++≤+，即为()()()()()31122161132212x x x x x x x x x x ⎧+-≤++++⎪+≥⎪⎨+≥⎪⎪+≥⎩，解得24x ≤≤，又因N x +∈，所以不等式的解集为{}2,3,4.11．BCD 【详解】对于A ，若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，共有44256=种放法，故A 错误；对于B ，若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒，则一个盒子放3个小球，另一个盒子放1个小球或两个盒子均放2个小球，共有()2242118C A ⋅+=种放法，故B 正确；对于C ，若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒，则两个盒子中各放1个小球，另一个盒子中放2个小球，共有112314323422144C C C A C A ⋅⋅⋅⋅=种放法，故C 正确；对于D ，若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同，若()2,1,4,3代表编号为1，2，3，4的盒子放入的小球编号分别为2，1，4，3，列出所有符合要求的情况：()2,1,4,3，()4,1,2,3，()3,1,4,2，()2,4,1,3，()3,4,1,2，()4,3,1,2，()2,3,4,1，()3,4,2,1，()4,3,2,1，共9种放法，故D 正确.故选：BCD.12．【答案】BD 【详解】因为半圆面APD ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，由面面垂直的性质可知，AB ⊥平面APD ，,,AB AP AB PD AP PD ⊥⊥⊥.对于A ，()0BP PD AP AB PD AP PD AB PD ⋅=-⋅=⋅-⋅=，故A 错误；对于B ，设点P 到平面BCD 的距离为h ，则111222213323332P BCD BCD V S h h h -=⋅=⨯⨯⨯=≤⨯=△，当点P 为 AD 中点时，取等号，故B 正确；对于C ，22()||(0,4)DB DP DP PA AB DP DP PA DP AB DP DP ⋅=++⋅=+⋅+⋅=∈()24AB PB AB AB AP AB AB AP ⋅=⋅-=-⋅= ，即不存在点P ，使得AB PB DB DP ⋅=⋅，故C 正确；对于D ，因为2||||cos ||DB DP DB DP PDB DP ⋅=⋅∠=，所以cos ||4PDB DP ∠=，所以1||||sin 2BDP S BD DP PDB =⋅∠= △因为22cos ()DP DA DP DA ADP DP PA PD PA DP DP DP ⋅=⋅∠=⋅-=⋅+= ，所以cos 2DP ADP ∠=，设点P到平面ABD 的距离为1h ，点A 到平面BPD 的距离为2h，则1||sinh DP PDA DP =⋅∠== A BPD P ABD V V --=，所以22133h =，设(0,2)DP t =∈ ，则2h =28(4,8)t -∈，所以2h ∈，故D 正确；故选：BCD13．【答案】(314)--，，14.【答案】5【详解】由导数的几何意义可得()12f '=，将点M 的坐标代入切线方程可得()12113f =⨯+=，因此，()()115f f '+=.故答案为：5.15.【答案】5【详解】(1)n x +展开式第1r +项1C rrr n T x +=，∵23a a =，∴23C C n n =，∴235n =+=.16.【答案】144；62若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，则有4343A A 144⋅=个；从1，2，3，4，5，6中选出1个数排在1的右侧，其余排在1的左侧，得到先减后增的数列有16C 个；从1，2，3，4，5，6中选出2个数排在1的右侧，其余排在1的左侧，得到先减后增的数列有26C 个；从1，2，3，4，5，6中选出3个数排在1的右侧，其余排在1的左侧，得到先减后增的数列有36C 个；从1，2，3，4，5，6中选出4个数排在1的右侧，其余排在1的左侧，得到先减后增的数列有46C 个；从1，2，3，4，5，6中选出5个数排在1的右侧，其余排在1的左侧，得到先减后增的数列有56C 个；故满足条件的总个数为：1234566666C C C C C 62++++=个．17．【答案】(1)()12BM c b a =+- ，(2)172(1)由题意得()()1111111111111222BM BB B M AA B D AA A D A B c b a =+=+=+-=+-（2）所以1122BM c b a =+-=172==18．【答案】（1）16；（2）15n =.【详解】（1）原式()3233333101100100101101101101333311 6=+÷=÷=÷==C C A C A A A A A .（2）由33343334124412C C C C C C +++=+++ ，而11!!(1)!C C C ()!!(1)!(1)!(1)!!n n n m m m m m m m n n m n n m n n -+++=+==--+--+，所以43343444125121313!C C C C C C 7159!4!+++=++=== 19．【答案】（1）∵()325f x x ax bx =-++，∴()232f x x ax b '=-+，∵在2x =-和23x =处取得极值，∴()20203f f '⎧-=⎪⎨⎛⎫'= ⎪⎪⎝⎭⎩，即212402232033a a b a b ++=⎧⎪⎨⎛⎫⨯-⨯+= ⎪⎪⎝⎭⎩,解得2a =-，4b =-，经检验适合题意，∴()32245f x x x x =+-+（2）∵()2344f x x x '=+-，∴由()0f x ¢=，解得2x =-或23x =，当x 在[]4,1-上变化时，()f x ¢和()f x 的变化如下：x4-()4,2--2-22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭232,13⎛⎫ ⎪⎝⎭1()f x ¢+-+()f x 11-递增极大值()213f -=递减极小值295327f ⎛⎫=⎪⎝⎭递增4∴所以当4x =-时，函数()f x 取得最小值()411f -=-，当2x =-时，函数取得极大值同时也是最大值()213f -=，故函数()f x 在[]4,1-上的最大值为13和最小值为11-.20．【答案】以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则(F a ，2a ，0)，(B a ，a ，0)，(0C ，a ，0)，1(A a ，0，)a ，(0E ，2a，)a ，1(B a ，a ，)a ，则1(A E a - ＝，2a ，0)，1(0A F ＝，2a，)a -，11(0A B = ，a ，0)，设平面1A ECF 的一个法向量为(n x =，y ，)z ，则1100n A E n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即2020x y y z -=⎧⎨-=⎩，取1x =，则(1n = ，2，1)，设11A B 与截面1A ECF 所成角为θ，则11111126sin ,36n A B a cos n A B a n A B θ⋅⨯＝＜＞＝＝＝，∴11A B 与截面1A ECF 所成角正弦值为63．(2)由(1)知(0FB ＝，2a，0)，平面1A ECF 的一个法向量为(1n = ，2，1)，∴点B 到截面1A ECF 的距离||||66||141n FB a d a n ⋅===++21．【答案】(1)证明见解析(2)π3【详解】（1）证明：因为底面ABCD 是正方形，所以//AD BC ，BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ,所以//AD 平面PBC ，又因为平面ADF 与PB 交于点E .AD ⊂平面ADFE ，平面PBC ⋂平面,ADFE EF =所以//EF AD .（2）选条件①②侧面PAD 为等腰直角三角形，且π,2PAD ∠=即2PA AD ==，PA AD ⊥平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PA ⊂平面PAD ,则PA ⊥平面ABCD ，又ABCD 为正方形，所以,,PA AB PA AD AB AD ⊥⊥⊥.以点A 为坐标原点，,,AB AD AP 分别为x 轴,y 轴,z 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0),(0,0,2),(2,2,0),(2,0,0),(0,2,0)A P CB D 因为2AE =E 为PB 的中点，则(1,0,1)E 从而：(2,2,2),(0,2,0),(1,0,1)PC AD AE =-==，设平面ADFE 的法向量为：(,,)n x y z = ，则020n AE x z n AD y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令1x =，可得(1,0,1)n =- 设平面PCD 的法向量为：(,,)n a b c = ，则2202220n PD b c n PC a b c ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ，令1b =，可得(0,1,1)n = 所以1cos ,2PB n PB n PB n ⋅== 则两平面所成的锐二面角为π3选条件①③侧面PAD 为等腰直角三角形，且,2PAD π∠=即2,PA AD PA AD==⊥,AD AB PA AB A ⊥⋂=，且两直线在平面内，可得AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，则AD PB ⊥.又因为,,PB FD AD FD D ⊥⋂=且两直线在平面内，则PB ⊥平面ADFE ,AE ⊂平面,ADFE 则PB AE ⊥因为PA AB =，所以PAB 为等腰三角形，所以点E 为PB 的中点又因为2AE =PAB 为等腰直角三角形，下面同①②选条件②③侧面PAD 为等腰直角三角形，且2PAD π∠=，即2,PA AD PA AD ==⊥平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PA ⊂平面PAD ,则PA ⊥平面,ABCD ABCD 为正方形，所以,,PA AB PA AD AB AD ⊥⊥⊥.又因为,,PB FD AD FD D ⊥⋂=且两直线在平面内，则PB ⊥平面ADFE ，AE ⊂平面,ADFE 则PB AE ⊥因为PA AB =，所以PAB 为等腰三角形，所以点E 为PB 的中点.下面同①②22．(1)答案见解析(2)()034ef x <，证明见解析（1）∵()2e xf x ax =-，∴()e 2x f x ax '=-令()()e 2x f x axg x '=-=，则()e 2x g x a '=-.①若0a ≤，则()e 20xg x a '=->，所以单调递增；②若0a >，则当(,ln 2)x a ∈-∞时，()0g x '<，所以()g x 所以单调递减；当(ln 2,)x a ∈+∞时，()0g x '>，所以()g x 单调递增；综上，当0a ≤时，()f x '在(,)-∞+∞上单调递增；当0a >时()f x '在(,ln 2)a -∞单调递减，在(ln 2,)a +∞单调递增.（2）由（1）知，当e a =时，()'f x 在,l )e (n 2-∞上单调递减，在ln 2e (,)+∞上单调递增；∵()()ln 2e 2e 1ln 2e 0f '=-<，且124(0)10,()e e 0,(4)e 8e 012f f f ''=>=-<'=->故()'f x 存在两个零点01,x x 且()0110,,(ln 2e,42x x ∈∈.()'f x 的符号及()f x 的单调性如下表所示：x ()0,x -∞0x ()01,x x 1x ()1,x +∞()f x '+0-0+()f x ↗极大↘极小↗由于0x 是()f x '的一个零点，故()000'e 2e 0x f x x =-=，所以00e 2e xx =于是，()()022*******e e 2e e e 2x f x x x x x x =-=-=-+∵010,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2003024x x <-+<所以()()20003e e 24f x x x =-+<.。
高二数学第二学期阶段考试(含答案解析)
高二数学第二学期阶段考试（含答案解析）一．选择题（共8小题）1．对于定义在R上的奇函数f（x），满足f（﹣x）f（3x）=0，若f（﹣1）=1，则f（1）f（2）f（3）…+f（2015）=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】利用函数的奇偶性，以及函数的关系式，求出函数的周期，然后求解函数值即可．【解答】解：定义在R上的奇函数f（x），满足f（﹣x）f（3x）=0，可得f（x）=f（3x），所以函数的周期为3．定义在R上的奇函数f（x），可知f（0）=0，又f（﹣1）=1，f（2）=f（﹣1）=1，f（1）=﹣f（﹣1）=﹣1．f（1）f（2）f（3）=﹣11+0=0；f（1）f（2）f（3）…+f（2015）=671（f（1）f（2）f（3））f（1）f（2）=0﹣11=0．故选：B．【点评】本题考查抽象函数的应用，函数的周期以及函数的奇偶性的应用，考查计算能力．2．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=f（x4）且f（3）=0，则方程f（x）=0在区间（0，10）内整数根有（）A．4个B．5个C．6个D．7个【分析】由已知函数为奇函数，求出函数的周期为4可得f（0）=0f（4）=f（8）=0，由f （3）=0（7）=0，又f（﹣3）=0f（1）=f（5）=f（9）=0，从而可得结果．【解答】解：由已知可知f（3）=0，因为f（x）是R上的奇函数，所以f（﹣3）=﹣f（3）=0，f（0）=0，又因为函数的周期为4，即f（x4）=f（x），所以f（0）=f（4）=f（8）=0，f（3）=f（7）=0，f（﹣3）=f（1）=f（5）=f（9）=0，所以方程f（x）=0在x（0，10）的根有 1，3，4，5，7，8，9，共7个．故选：D．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性、函数的单调性及函数周期的综合运用，解决本题的关键是熟练掌握函数的各个性质并能灵活运用性质，还要具备一定的综合论证的解题能力．3．若定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=f（x2），且f（1）=0，则f（x）在区间（0，5上具有零点的最少个数是（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】根据函数的奇偶性和周期性之间的关系，即可确定函数零点的个数．【解答】解：f（x）=f（x2），函数f（x）的周期是2．f（1）=0，f（1）=f（3）=f（5）=0，f（x）定义在R上的奇函数，f（0）=0，即f（0）=f（2）=f（4）=0，在区间（0，5上的零点至少有1，2，3，4，5，故选：A．【点评】本题主要考查函数零点的个数的判断，利用函数奇偶性和周期性之间的关系是解决本题的关键．4．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x2）=﹣f（x），则，f（2016）的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f（0）=0，进而由f（x）满足f（x2）=﹣f（x），可得f（x4）=﹣f（x2）=f（x），即函数f（x）是周期为4的函数，则有f（2016）=f（4504）=f（0），即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）为R上的奇函数，则有f（0）=﹣f（0），即f（0）=0，f（x）满足f（x2）=﹣f（x），则有f（x4）=﹣f（x2）=f（x），即函数f（x）是周期为4的函数，则有f（2016）=f（4504）=f（0）=0；故选：B．【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及周期性的判断与应用，关键在于利用奇函数的性质求出f（0）的值．5．对于定义在R上的奇函数f（x），满足f（x）=﹣f（x），则f（1）f（2）f（3）=（）A．0 B．﹣1 C．3 D．2【分析】由已知中f（x）=﹣f（x），可得函数的周期为3，再由奇函数的性质可得f（3）=，f（0）=0，f（2）=﹣f（1），代入计算可得．【解答】解：f（x）=﹣f（x），f（x3）=﹣f（x）=f（x）函数的周期为3，又函数f（x）为R上的奇函数，f（0）=0，f（3）=（03）=f（0）=0，f（2）=f（﹣13）=f（﹣1）=﹣f（1），f（1）f（2）f（3）=f（1）﹣f（1）0=0故选：A．【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性，属基础题．6．对任意的xR，定义在R上的奇函数f（x）满足：f（x3）=﹣f（x4），则f（1000）=（）A．﹣1 B．1 C．0 D．1000【分析】由题意可得，f（x）=﹣f（x1），故 f（x）=f（x2），即函数 f（x）是周期等于2的周期函数，故有f（1000）=f（0）=0．【解答】解：定义在R上的奇函数f（x）满足：f（x3）=﹣f（x4），f（x）=﹣f（x1），f（x）=f（x2），即函数f（x）是周期等于2的周期函数．f（1000）=f（0）=0，故选：C．【点评】本题主要考查函数的奇偶性和周期性，求函数的值，属于中档题．7．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），且f（﹣1）=2，则f（1）f （2）f（3）…+f（2017）的值为（）A．1 B．0 C．﹣2 D．2【分析】本题通过赋值法对f（2﹣x）=f（x）中的x进行赋值为2x，可得﹣f（x）=f（2x），可得到函数f（x）的周期为4，根据奇函数的性质得到f（0）=0，再通过赋值法得到f（1），f（2），f（3），f（4）的值，即可求解．【解答】解：f（2﹣x）=f（x），f[2﹣（2x）=f（2x），即f（﹣x）=f（2x），即﹣f（x）=f（2x），f（x4）=f（4x），故函数f（x）的周期为4．定义在R上的奇函数f（x）满足f（2﹣x）﹣f（x）=0，且f（﹣1）=2，f（0）=0，f（1）=﹣f（﹣1）=﹣2，f（2）=f（0）=0，f（3）=f（﹣1）=2，f（4）=f（0）=0，f（1）f（2）f（3）…+f（2017）=504•f（1）f（2）f（3）f（4）f（2017）=504（﹣20+2+0）f（1）=0（﹣2）=﹣2，故选：C．【点评】本题通过赋值法结合奇函数的性质，利用周期性和图象平移的知识即可求解，属于基础题．8．已知定义在R上的函数f（x）满足：f（xy）=f（x）f（y）4xy（x，yR），f（1）=2．则f（﹣2）=（）A．2 B．4 C．8 D．16【分析】先计算f（0）=0，再得出f（x）f（﹣x）﹣4x2=0，令g（x）=f（x）﹣2x2，则g （x）为奇函数，通过计算g（﹣2）得出f（﹣2）的值．【解答】解：令x=y=0得f（0）=2f（0），f（0）=0，再令y=﹣x，得f（0）=f（x）f（﹣x）﹣4x2=0，令g（x）=f（x）﹣2x2，则g（x）g（﹣x）=f（x）f（﹣x）﹣4x2=0，g（x）=f（x）﹣2x2是奇函数，f（2）=2f（1）4=8，g（2）=f（2）﹣8=0，g（﹣2）=f（﹣2）﹣8=0，f（﹣2）=8．故选：C．【点评】本题考查了抽象函数的性质应用，奇函数的判断与性质，属于中档题．二．填空题（共2小题）9．定义在R上的奇函数f（x）对任意xR都有f（x）=f（x4），当x（﹣2，0）时，f（x）=2x，则f（2016）﹣f（2015）= ﹣．【分析】求出函数的周期，利用函数的周期以及函数的奇偶性，转化求解函数值即可．【解答】解：对任意xR都有f（x）=f（x4），可知函数的周期为：4．当x（﹣2，0）时，f（x）=2x，在R上的奇函数f（x），f（0）=0，则f（2016）﹣f（2015）=f（0）﹣f（﹣1）=0﹣2﹣1=﹣．故答案为：．【点评】本题考查抽象函数的应用，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．10．已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x）=﹣f（x4），且在区间0，2上是增函数，则f（﹣17），f（27），f（64）的大小关系从小到大的排列顺序为f（﹣17），f（64），f（27）．【分析】先由f（x）是奇函数且f（x4）=﹣f（x）转化得到f（x8）=f（x），然后按照条件，将问题转化到区间0，2上应用函数的单调性进行比较．【解答】解：f（x）=﹣f（x4）f（x8）=f（x）f（x）是奇函数f（﹣x）=﹣f（x），f（0）=0f（﹣17）=f（﹣9）=f（﹣1）=﹣f（1）f（27）=f（19）=f（11）=f（3）=﹣f（﹣1）=f（1）f（64）=f（0）=0f（x）在区间0，2上是增函数f（1）0，﹣f（1）0∴f（27）f（64）f（﹣17）故答案为：f（﹣17），f（64），f（27）【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的综合运用，综合性较强，条件间结合与转化较大，属中档题．三．解答题（共6小题）11．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=f（x4），且x（0，2时，f（x）=．（1）求f（x）在﹣2，2上的解析式；（2）判断f（x）在0，2上的单调性，并给予证明；（3）当λ为何值时，关于方程f（x）=λ在﹣2，2上有实数解？【分析】（1）由条件可得函数的周期为4，设x﹣2，0），则﹣x（0，2，根据f（﹣x）===﹣f（x），求得f（x）=．再根据奇函数的定义可得f（0）=0，从而求得可得，f（x）在﹣2，2上的解析式．（2）根据f（0）=0，当x（0，2时，由于f（x）=1﹣0，且f（x）随着x的增大而增大，可得f（x）在0，2上是增函数．再利用函数的单调性的定义进行证明．（3）由题意可得，本题即求函数λ=f（x）在﹣2，2上的值域，再利用函数的单调性求得函数f（x）在﹣2，2上的值域．【解答】解：（1）奇函数f（x）满足f（x）=f（x4），故函数的周期为4．由于x（0，2时，f（x）=，设x﹣2，0），则﹣x（0，2，故 f（﹣x）===﹣f（x），f（x）=．再根据奇函数的定义可得f（0）=0，可得，f（x）在﹣2，2上的解析式为f（x）=．（2）在0，2上，f（0）=0，当x（0，2时，由于f（x）==1﹣0，且f（x）随着x的增大而增大，故f（x）在0，2上是增函数．证明：设0x1＜x2≤2，则由f（x1）﹣f（x2）=1﹣﹣1﹣=＜0，可得f（x1）f（x2），故f（x）在0，2上是增函数．（3）由题意可得，本题即求函数λ=f（x）在﹣2，2上的值域．利用函数的单调性求得函数f（x）在﹣2，2上的值域为λ|y=0，或λ≤，或﹣λ＜﹣，故λ的范围为：λ|y=0，或λ≤，或﹣λ＜﹣．【点评】本题主要考查函数的周期性、单调性和奇偶性的应用，求函数的解析式和函数的值域，体现了转化的数学思想，属于基础题．12．若函数f（x）对任意实数x．yR均有f（x）f（y）=f（xy），且当x0时，f（x）0，f（1）=﹣2；（1）求证：f（x）为奇函数：（2）求证：f（x）是R上的减函数：（3）求f（x）在﹣3，4上的最大值和最小值：（4）解不等f（x﹣4）f（2﹣x2）16．【分析】（1）先令x=y=0得f（0）=0，再令y=﹣x得f（﹣x）=﹣f（x）；（2）直接运用函数单调性的定义和作差法证明；（3）运用单调性求函数的最值；（4）应用函数的奇偶性和单调性解不等式．【解答】解：（1）因为实数x，yR均有f（x）f（y）=f（xy），令x=y=0得，f（0）f（0）=f（0），所以，f（0）=0，再令y=﹣x得，f（0）=f（x）f（﹣x），所以，f（﹣x）=﹣f（x），故f（x）为奇函数；（2）任取x1，x2（﹣，），且x1x2，f（x1）﹣f（x2）=f（x1﹣x2）（x2）﹣f（x2）=f（x1﹣x2）f（x2）﹣f（x2）=f（x1﹣x2）因为x1﹣x20，所以f（x1﹣x2）0，因此，f（x1）f（x2），故f（x）为R上的单调减函数；（3）因为函数f（x）在R上单调递减，所以，f（x）min=f（4），f（x）max=f（﹣3），又因为f（1）=﹣2，所以f（4）=f（2）f（2）=4f（1）=﹣8，f（﹣3）=﹣f（3）=﹣f（1）f（1）f（1）=6，所以，函数在﹣3，4上的最大值为6，最小值为﹣8；（4）因为f（8）=f（4）f（4）=﹣16，所以，f（﹣8）=16，所以，原不等式可化为：f（x﹣4）（2﹣x2）f（﹣8），即，（x﹣4）（2﹣x2）﹣8，即x2﹣x﹣60，解得x﹣2，3，即该不等式的解集为：﹣2，3．【点评】本题主要考查了抽象函数奇偶性，单调性的判断和证明，以及应用函数的单调性和奇偶性确定函数的值域和解不等式，属于中档题．14．若非零函数f（x）对任意实数x，y均有f（x）•f（y）=f（xy），且当x0时f（x）1．（1）求证：f（x）0；（2）求证：f（x）为R上的减函数；（3）当时，对a﹣1，1时恒有，求实数x的取值范围．【分析】（1）根据抽象函数，利用赋值法证明f（x）0；（2）根据函数单调性的定义证明f（x）为R上的减函数；（3）利用函数单调性的性质，解不等式即可．【解答】解：（1）证法一：f（0）•f（x）=f（x），即f（x）f（0）﹣1=0，又f（x）0，f（0）=1当x0时，f（x）1，则﹣x0，f（x）•f（﹣x）=f（0）=1，则．故对于xR恒有f（x）0．证法二：，f（x）为非零函数，f（x）0（2）令x1x2且x1，x2R，有f（x1）•f（x2﹣x1）=f（x2），又x2﹣x10，即f（x2﹣x1）1故，又f（x）0，f（x2）f（x1）故f（x）为R上的减函数．（3）故，则原不等式可变形为f（x2﹣2ax2）f（2）依题意有 x2﹣2ax0对a﹣1，1恒成立，或x﹣2或x=0故实数x的取值范围为（﹣，﹣20}∪[2，）．【点评】本题主要考查抽象函数的应用，以及函数单调性的定义，以及利用函数的单调性解不等式，考查学生的运算能力．1．已知函数f（x）的定义域为（0，），当x（0，1）时f（x）0，且x，y（0，）时总有f（x•y）=f（x）f（y）（1）求证：f（）=f（x）﹣f（y）；（2）证明：函数f（x）在定义域（0，）上为减函数；（3）若f（3）=1，且f（a）f（a﹣1）2，求a的取值范围．【分析】（1）需要特别注意构造方法，x=y•即可．（2）抽象函数的单调性证明需要特别注意构造方法，构造出（0，1），可应用已知得f（）0，进而根据函数单调性的定义得到结论．（3）根据若f（3）=1，f（9）=2，根据运算法以及单调性求得a的范围．【解答】解：（1）证明：由题意得：f（x）=f（y•）=f（y）f（），故f（）=f（x）﹣f（y）．（2）证明：设0x1＜x2，f（x1）=f（）=f（x2）f（），当x（0，1）时f（x）0，∈（0，1），f（）0，f（x1）f（x2），函数f（x）在定义域（0，）上为减函数；（3）若f（3）=1，f（9）=2，f（a）f（a﹣1）f（9）=f（9（a﹣1）），a＞9（a﹣1），1＜a＜．【点评】本题考查抽象函数的运算法则以及单调性的证明和解不等式．。
高二数学下学期第二阶段测试试题 理含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校二零二零—二零二壹下学期高二年级第二次阶段性考试理科数学一、选择题：〔每一小题5分，总分值是60分〕1.复数A.B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意得，应选D．考点：复数的运算．2.以下说法：①将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，HY差也变为原来的倍；②设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均减少5个单位；③线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；④在某项测量中，测量结果服从正态分布，假设位于区域的概率为0.4，那么位于区域⑤利用统计量来判断“两个事件的关系〞时，算出的值越大，判断“与有关〞的把握就越大其中正确的个数是A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】逐一考察所给的说法：①将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，HY差也变为原来的倍，原说法错误；②设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均减少5个单位，原说法正确；③线性相关系数的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，原说法错误；④在某项测量中，测量结果服从正态分布，假设位于区域的概率为0.4，那么位于区域内的概率为0.5，原说法错误；⑤利用统计量来判断“两个事件的关系〞时，算出的值越大，判断“与有关〞的把握就越大，原说法正确.此题选择B选项.3.的值是A. B. C. D.【答案】A【解析】因为定积分，结合定积分的几何意义可知圆心为〔1,1〕，半径为1的四分之一个圆的面积减去得到，即为，选A.4.设定义在上的函数的导函数为，且满足，，假设，那么A. B.C. D.与的大小不能确定【答案】C【解析】解析：由题设可知函数的图像关于直线成轴对称，且当是增函数，当时是减函数，因为，且，所以，应选答案C。
5.书架上有三本数学书和两本语文书，某同学两次分别从书架各取一本书，取后不放回，假设第一次从书架取出一本数学书记为事件，第二次从书架取出一本数学书记为事件，那么A.B. C. D.【答案】C【解析】第一次从书架取出一本数学书有种方法，其中第二次从书架取出一本数学书有种方法，据此可得，所求概率值为.此题选择C选项.6.如图，一个树形图根据以下规律不断生长，1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点，那么第11行的实心圆点的个数是A.21B.34C.55D.89【答案】C【解析】根据1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点，知：第1行的实心圆点的个数是0；第2行的实心圆点的个数是1；第3行的实心圆点的个数是1=0+1；第4行的实心圆点的个数是2=1+1；第5行的实心圆点的个数是3=1+2；第6行的实心圆点的个数是5=2+3；第7行的实心圆点的个数是8=3+5；第8行的实心圆点的个数是13=5+8；第9行的实心圆点的个数是21=8+13；第10行的实心圆点的个数是34=13+21；第11行的实心圆点的个数是55=21+34.此题选择C选项.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或者用累加法、累乘法、迭代法求通项．7.假设的展开式中没有常数项，那么的可能取值是A.7B.8C.9D.10【答案】C【解析】由题意可得(x+x−3)n的展开式中没有常数项，且没有x−1项，且没有x−2项。
湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高二下学期第二次阶段性考试数学试题(含答案)
长沙市第一中学2023—2024学年度高二第二学期第二次阶段性检测数学时量：120分钟 满分：150分得分__________.一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数z 满足()1i 2i z -=+，则复数z 的虚部为（ ） A.32 B.32- C.3i 2 D.3i 2- 2.已知某校高三（1）班有51名学生，春季运动会上，有17名学生参加了田赛项目，有22名学生参加了径赛项目，田赛和径赛都参加的有9名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（ ） A.25 B.23 C.21 D.193.已知向量()()1,2,2,1a b ==，则向量a 在向量b 上的投影向量的坐标为（ ） A.42,55⎛⎫⎪⎝⎭ B.84,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.48,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.24,55⎛⎫ ⎪⎝⎭4.已知直线,,a b c 是三条不同的直线，平面,,αβγ是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A.若,a c b c ⊥⊥，则a ∥b B.若a ∥,b a ∥α，则b ∥αC.若a ∥,b α∥,c a α⊥，且c b ⊥，则c α⊥D.若,βαγα⊥⊥，且a βγ⋂=，则a α⊥5.若将大小形状完全相同的三个红球和三个白球（除颜色外不考虑球的其他区别）排成一排，则有且只有两个白球相邻的排法有（ ） A.6 B.12 C.18 D.366.若()()21ln 1f x x x=+-，设()()()0.33,ln2,2a f b f c f =-==，则,,a b c 的大小关系为（ ） A.c a b >> B.b c a >> C.a b c >> D.a c b >>7.已知等比数列{}n a 的前n 项和为1631,,872n S a S S ==，若n S λ…恒成立，则λ的最小值为（ ）A.14 B.13 C.12D.1 8.已知222211228x y x y +=+=，且12120x x y y +=，则()()2212122x x y y +-++的最大值为（ ）A.9B.12C.36D.48二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.关于二项式31x ⎛ ⎝的展开式，下列说法正确的有（ ） A.有3项 B.常数项为3C.所有项的二项式系数和为8D.所有项的系数和为010.已知曲线:44C y y x x =+，则（ ） A.曲线C 在第一象限为双曲线的一部分 B.曲线C 的图象关于原点对称 C.直线2y x =与曲线C 没有交点 D.存在过原点的直线与曲线C 有三个交点11.若定义域为R 的函数()f x 不恒为零，且满足等式()()()2xf x x f x =+'，则下列说法正确的是（ ） A.()00f = B.()f x 在定义域上单调递增 C.()f x 是偶函数 D.函数()f x '有两个极值点三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.某小球可以看作一个质点，沿坚直方向运动时其相对于地面的高度h （单位：m ）与时间t （单位：s ）存在函数关系()2269h t t t =-++，则该小球在2s t =时的瞬时速度为__________m /s .13.若随机变量X 服从正态分布()22,N σ，且()30.66P X =…，则(1)P X <=__________.14.在四面体ABCD 中，且3,AB CD AC BD AD BC ======点,P Q 分别是线段AD ，BC 的中点，若直线PQ ⊥平面α，且α截四面体ABCD 形成的截面为平面区域Ω，则Ω的面积的最大值为__________.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()()cos 12cos b C c B +=-.（1）证明：2a b c +=； （2）若95,cos 16c C ==，求ABC 的面积. 16.（本小题满分15分）由四棱柱1111ABCD A B C D -截去三棱锥111D A DC -后得到如图所示的几何体，四边形ABCD 是菱形，4,2,AC BD O ==为AC 与BD 的交点，1B O ⊥平面ABCD .（1）求证：1B O ∥平面11A DC ；（2）若二面角11O AC D --的正切值为6，求平面11A DC 与平面11BCC B 夹角的大小. 17.（本小题满分15分）已知函数()()()ln 1e xf x ax a x =+--.（1）当1a =时，求证：()2f x <-；（2）若()f x 存在两个零点，求实数a 的取值范围. 18.（本小题满分17分）短视频已成为当下宣传的重要手段，某著名景点利用短视频宣传增加旅游热度，为调查某天南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关，该景点对当天前来旅游的500名游客调查得知，南方游客有300人，因收看短视频而来的280名游客中南方游客有200人.（1）依据调查数据完成如下列联表，并根据小概率值0.001α=的独立性检验，分析南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关联；（2）为了增加游客的旅游乐趣，该景点设置一款5人传球游戏，每个人得到球后都等可能地传给其余4人之一，现有甲､乙等5人参加此游戏，球首先由甲传出.（i ）若*i ∈N ，求经过i 次传递后球回到甲的概率；（ii ）已知*m ∈N ，记前m 次传递中球传到乙的次数为X ，求X 的数学期望.参考公式：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++；若12,,,m Y Y Y 为随机变量，则()11m mi i i i E Y E Y ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑. 附表：19.（本小题满分17分）已知双曲线22:1C x y -=，过()2,0R 的直线l 与双曲线C 的右支交于,P Q 两点. （1）若PQ =l 的方程，（2）设过点R 且垂直于直线l 的直线n 与双曲线C 交于,M N 两点，其中M 在双曲线的右支上. （i ）设PMN 和QMN 的面积分别为12,S S ，求12S S +的取值范围；（ii ）若M 关于原点对称的点为T ，证明：M 为PQN 的垂心，且,,,P Q N T 四点共圆.长沙市第一中学2023—2024学年度高二第二学期第二次阶段性检测数学参考答案一､二､选择题1.A 【解析】()()()()2i 1i 2i 13i 1i 1i 1i 22z +++===+--+，故z 的虚部为32.故选：A. 2.C 【解析】设高三（1）班有51名学生组成的集合为U ，参加田赛项目的学生组成的集合为A ，参加径赛项目的学生组成的集合为B ，由题意集合A 有17个元素，B 有22个元素，A B ⋂中有9个元素，所以A B ⋃有1722930+-=个元素.所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为513021-=.故选：C.3.B 【解析】12214||145,||415,cos ,,5||55a b a b a b a b ⋅⨯+⨯=+==+=〈〉===⨯∣，∴向量a 在向量b 上的投影向量为2,1484cos ,5,555b a a b b⎛⎫⋅⋅=⨯= ⎪⎝⎭，故选：B. 4.D 【解析】对于A ，若,a c b c ⊥⊥，则a b ､可能平行，可能异面，可能相交，故A 错误； 对于B ，若a ∥,b a ∥α，则b ∥α或b α⊂，故B 错误；对于C ，以长方体ABCD A B C D '-'''为例，AB ∥平面,A B C D CD ''''∥平面,,A B C D BC AB BC CD ⊥''⊥''，但BC 与平面A B C D ''''不垂直，故C 错误；故选D.5.B 【解析】除颜色外不考虑球的其他区别，将三个白球分成两堆，只有一种分法，大小形状完全相同的三个红球排成一排也只有一种排法，将白球插空有24A 12=种可能，故选：B.6.D 【解析】由题意知()(),00,x ∞∞∈-⋃+，由()()21ln ()1f x x f x x⎡⎤-=-+-=⎣⎦-， 所以()f x 为偶函数，当()()()210,,ln 1x f x x x∞∈+=+-单调递增， 因为()()()()0.333,ln2,2a f fb fc f =-===，且00.3112222,0ln2lne 1=<<=<<=，所以0.3ln223<<，所以()()()0.3ln223f f f <<-，即a c b >>.故选：D.7.C 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由6387S S =，得()6338S S S -=-，则()45612318a a a a a a ++=-++，即()()312312318q a a a a a a ++=-++， 因为1230a a a ++≠，所以318q =-，解得12q =-，所以11122n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以1112211113212nn nS ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+，当n 为奇数时，11132nn S ⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以112n S S =…，当n 为偶数时，1111323nn S ⎡⎤⎛⎫=-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以()max 12n S =，所以12λ….故选：C.8.C 【解析】依题意，()11,A x y 与()22,B x y 为圆22:8O x y +=上一点，且π2AOB ∠=，得ABO 为等腰直角三角形，设M 为AB 的中点，则点M 在以O 为圆心，2为半径的圆上，即224M M x y +=， 故()()()222222121212122414122M M x x y y x x y y x y ⎡⎤++⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-++=-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 因为点M 到定点()1,0的距离的最大值为3d =，因此()()2212122x x y y +-++的最大值为36.9.BCD 【解析】对A，因为二项式31x ⎛ ⎝的展开式中共有4项，故A 错误；对B，二项式31x ⎛- ⎝的展开式中通项为()33321331C (C (1)03kk k kkkk T xk x --+⎛⎫==- ⎪⎝⎭剟，令3302k -=，得2k =，所以常数项为2203C (1)3x -=，故B 正确； 对C，二项式31x ⎛- ⎝中，所有项的二项式系数和为328=，故C 正确； 对D ，令1x =，得310x ⎛= ⎝，故D 正确.故选：BCD.10.AC 【解析】当0,0x y >…时，曲线22:14y C x -=，为焦点在y 轴上的双曲线的一部分；当0,0x y <>时，曲线22:14y C x +=，为焦点在y 轴的棈圆的一部分；当0,0x y <<时，曲线22:14y C x -=，为焦点在x 轴上的双曲线的一部分；当0,0x y ><时，曲线C 没有图象.由图象可知，A 正确，B 错误，结合曲线C 的渐近线可知C 正确，D 错误.11.AD 【解析】对于A ，令0x =得()200f =，即()00f =，A 正确；对于B ，若()f x 在定义域上单调递增，当0x <时，()()00f x f <=，令3x =-，得()()3330f f ----'=>，即()30f '-<，与()f x 在定义域上单调递增矛盾，故B 错误；对于C ，若()f x 是偶函数，则()()f x f x -=，且()()f x f x -='-'，因为()()()2xf x x f x =+'， 所以()()()2xf x x f x --=+'--，所以()()()()22x f x x f x +=-+-，即()20xf x =， 得0x =或()0f x =，又()00f =，所以()0f x =恒成立，矛盾，故C 错误； 对于D ，当0x ≠时，()()()()221x f x f x fx xx '+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，记()()()21g x f x f x x ⎛'⎫==+ ⎪⎝⎭， 则()()()()()222222211g x f x f x f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'⎛⎫=-++=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝⎭'⎭⎝⎭，所以()()()()22242241x x f x g x f x xx x ++⎛⎫=++= ⎪⎝⎭'，令2420x x ++=，解得1222x x =-=-+()f x 不恒为零，所以在12,x x 两边()g x '异号， 所以12,x x 为()g x 的极值点，所以函数()f x '有两个极值点，D 正确.故选：AD三､填空题12.-2 【解析】由函数()2269h t t t =-++，可得()46h t t =-+'，则()24262h =-⨯+=-'，所以该小球在2s t =时的瞬时速度为-2.故答案为：-2.13.0.34 【解析】X 服从正态分布()22,N σ，则()(1)(3)1310.660.34P X P X P X <=>=-=-=….故答案为0.34.【解析】四面体ABCD拓展为长方体，如图所示，3,AB AC AD ===设111,,AC a A B b AA c ===，则有22222210,7,? 2,9,a b b c a b c c a ⎧+=⎪⎪+====⎨⎪+=⎪⎩解得 因为点,P Q 分别是线段,AD BC 的中点，所以PQ ⊥底面1A BC ， 又有直线PQ ⊥平面α，所以α∥底面1A BC ，设平面α与ABC ACD ABD BCD ､､､的交线分别为：,,,MF MH FG GH ， 因为α∥底面1,A BC BCD 分别与平面1,A BC α交于,GH BC ，所以GH ∥BC ，同理FM ∥BC ，所以GH ∥FM ，同理FG ∥HM ，所以四边形FGHM 为平行四边形， 且1FGH AQC ∠∠=，在1Rt A BC中，1111sin A B AC ACB ACB BC BC ∠∠==== ()11111sin sin π2sin22sin cos 5AQC ACB ACB ACB ACB ∠∠∠∠∠=-===所以1sin sin FGH AQC ∠∠== 设BG k =，则3GD k =-，由GH ∥BC，所以3,3GH GD kGH BC BD -== 由GF∥AD，同理可得3kGF =GF GH +=因为平行四边形FGHM 围成一个平面区域Ω，面积为S ，2sin 2GF GH S GF GH FGH GH ∠+⎫=⋅⋅=⋅=⎪⎝⎭…当且仅当2GF GH ==时取等号.四､解答题15.【解析】（1）法一：根据正弦定理()()cos 12cos sin cos sin 2sin sin cos b C c B B C B C C B +=-⇒+=-， 整理得()sin cos sin cos sin 2sin sin sin 2sin B C C B B C B C B C ++=⇒++=， 因为πA B C ++=，所以()sin sin sin sin 2sin A B C A B C =+⇒+=， 由正弦定理可得2a b c +=；法二：由()()cos 12cos ,cos cos 2b C c B b C c B b c +=-++=，由射影定理知cos cos b C c B a +=（因为sin cos sin cos sin B C C B A +=），故2a b c +=. （2）因为9cos 16C =，由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，即229258a b ab =+-， 又5c =，故10a b +=，从而22525()1008ab a b +=+=，解得24ab =， 因为9cos 16C =，所以sin 16C ==，所以11sin 2422164ABCSab C ==⨯⨯=. 16.【解析】（1）四边形ABCD 是菱形，4,2,AC BD O ==为AC 与BD 的交点，1B O ⊥平面ABCD .∴以直线1,,OA OD OB 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()0,0,0,2,0,0,0,1,0,2,0,0,0,1,0O A B C D --，设()10,0,B a ， 由()110,1,AA BB a ==得()12,1,A a ，由()110,1,CC BB a ==得()12,1,C a -，则()()()11114,0,0,2,0,,0,0,A C D A a O B a =-==，设平面11A DC 的法向量为(),,m x y z =，则1110,40,20,0m AC x x az m DA ⎧⋅=-=⎧⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩取1y =，得()0,1,0m =，11001000m OB a m OB ∴⋅=⨯+⨯+⨯=⇒⊥，又1OB ⊄平面11A DC ，1OB ∴∥平面11A DC .（2）取11AC 的中点()0,1,M a ，则1B M∥OD ，又四边形ABCD 是菱形，1,AC BD B O ⊥⊥平面1,ABCD B O AC ⊥，故AC ⊥面1B MDB ，则11,OM AC OM AC ⊥⊥，又DM ∥1OB ，故11DM AC ⊥.所以OMD ∠为二面角11O AC D --的平面角.则tan 6OMD ∠=，得a = 故()()1110,1,23,2,1,0BB B C ==-， 设平面11BCC B 的法向量为()111,,n x y z =，则11111110,0,20,0n BB y x y n B C ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎪⎪⎩⎩取11z =，得()3,n =--，(1cos,213m n ⨯-∴==-⨯，∴平面11A DC 与平面11BCC B 夹角的余弦值为2，∴平面11A DC 与平面11BCC B 夹角为π6.法二：（1）将几何体补成四棱柱，用常规法做. （2）找到平面角两分，两个法向量各两分，后面一样. 17.【解析】（1）当1a =时，()ln e ,0xf x x x =->.先证明：e 1,0x x x >+>，设()e 1xg x x =--，则()e 10xg x =->'，即()()00g x g >=，即e 1x x >+，类似地有1e ,0ln 1x x x x x ->⇒-厔，因此()()()ln e 112xf x x x x =-<--+=-，证毕.（2）令()()ln 1e 0xax a x +--=，得()ln e xax ax x +=+，设()ln g x x x =+，显然()g x 在定义域上单调递增，而e e lne x x x x +=+，则()()e,e xxg ax g ax =∴=，依题意，方程exax =有两个不等的实根，显然0a ≠，故1ex xa =存在两个不同的零点， 设()ex x h x =，则()()1e xh x x -=-'， （i ）当0a <时，则0x <，此时()h x 在(),0∞-上单调递增，()1h x a=最多一个零点，不合题意； （ii ）当0a >时，此时0x >，当01x <<时，()0h x '>，当1x >时，()0h x '<，()h x ∴在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，()max 1()1eh x h ==，要使()1h x a =有两个零点，则11ea <，解得e a >， 综上可知，e a >.18.【解析】（1）将所给数据进行整理，得到如下列联表：零假设0H ：南北方游客来此景点旅游与短视频无关联.220.001500(20012080100)800034.63210.828300200280220231x χ⨯⨯-⨯==≈>=⨯⨯⨯，根据小概率值0.001α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为南北方游客来此景点旅游与收看短视频有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001. （2）（i ）设经过i 次传递后回到甲的概率为()()11111,12444i i i i P P P P i --=-⨯=-+…，1111545i i P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又111055P -=-≠，所以15i P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为15-，公比为14-的等比数列，所以1111554i iP -⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭. （ii ）方法一：设第i 次传递时甲接到球的次数为i Y ，则i Y 服从两点分布，()i i E Y P =，设前m 次传递中球传到甲的次数为Y ，()123111114144(),155********mmm mi i m i i m m E Y E Y E Y P P P P ==⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭===++++=-⨯=⨯-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+∑∑，因为()()4m E Y E X -=，所以()111525254mm E X ⎛⎫=+-⨯- ⎪⎝⎭.方法二：设第i 次传递时，乙接到球的概率和次数分别为i q 与i X ，则i X 服从两点分布，()i i E X q =， 由题可知()1111111,4545i i i i q q q q --⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，又114q =，所以111520q -=，所以15i q ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为120，公比为14-的等比数列，1111111,5204554i ii i q q -⎛⎫⎛⎫-=⨯-=-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()111111441()15514mm m m i i i i i i m E X E X E X q ===⎡⎤⎛⎫-⨯--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦====-⨯⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭∑∑∑，故()111525254mm E X ⎛⎫=+-⨯- ⎪⎝⎭.19.【解析】（1）设()()1122,,,P x y Q x y ，直线:2l x my =+，因为直线l 与双曲线右支相交，故11m -<<， 联立双曲线方程221x y -=，得()()2221430,Δ43m y my m -++==+， 则12122243,11m y y y y m m -+==--， 故12PQ y =-==即4292470m m -+=，解得213m =，或273m =（舍去），因此3m =±，从而直线l的方程为23x y =±+.（2）（i ）若0m =，则22MN a ==，由（1）可知，PQ ==此时1212S S MN PQ +=⋅= 当0m ≠时，设()()3344,,,M x y N x y ，直线1:2n x y m=-+， 由（1）同理可知2343422224433,111111m m m y y y y m m m m--+====----，故34MN y =-=注意到1212S S MN PQ +=⋅12==令()22120,t m m ∞=+-∈+，则12S S +=>综上可知，12S S +的取值范围是)∞⎡+⎣.（ii ）先证明M 为PQN 的垂心，只需证明0MP NQ ⋅=，注意到，()()MP NQ MR RPNR RQ RP RQ MR NR ⋅=++=⋅+⋅，而()()11222,2,RP RQ x y x y ⋅=-⋅-()()()2121212221x x y y m y y =--+=+，同理34211MR NR y y m ⎛⎫⋅=+⎪⎝⎭， ()212342111MP NQ m y y y y m ⎛⎫⋅=+++ ⎪⎝⎭()()()22222222213131313101111m m m m m m m m m ⎛⎫-+ ⎪+++⎝⎭=+=-=----， 因此MP NQ ⊥，又MN PQ ⊥，故M 为PQN 的垂心，因此180NMP NQP ∠+=， 再证明,,,P Q N T 四点共圆，即只需证明：NTP NMP ∠∠=. 因为,M T 关于原点对称，则22221P T P M P M P M P M PT PM P T P M P M P M P My y y y y y y y y y k k x x x x x x x x x x --+--⋅=⋅=⋅==--+--， 同理可得1NT NM k k ⋅=；则11tan tan 1111NT PT NM PM PM NMNT PT NM PM NM PMk k k k k k NTP NMP k k k k k k ∠∠---====+++，即NTP NMP ∠∠=，因此180NTP NQP ∠∠+=，因此,,,P Q N T 四点共圆.。
高二下学期阶段性质量检测·数学答案
绝密★启用前高二下学期阶段性质量检测·参考答案2020.5一、单选题（每题5分，共40分）DCBA ABCD 二、多选题（每题5分，共20分）AC AB BD ABC 三、填空题（每题5分，共20分）13.43 14. (),2-∞ 15. 12 16. 1；),14(2+∞-e e四、解答题：本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）（1）当m =1时,不等式为x 2−x −12>0,(x +3)(x −4)>0,………………4分∴解集为{x | x <−3或x >4}…………………………………………5分 （2）若不等式 f(x)<0的解集为R ,则①当m =0时, −12<0恒成立,适合题意; …………………………7分 ②当m ≠0时,应满足{m <0Δ<0,即{m <0m 2+48m <0 解得−48<m <0………………9分 由上可知, {m|−48<m ≤0}即为所求………………………………………………10分 18．（12分）（1（∵f（x ）的图象经过P（0（2（（∴d=2（……………………1分∴f（x（=x 3+bx 2+cx+2（f'（x（=3x 2+2bx+c（ ………………………………2分 ∵点M（（1（f（（1））处的切线方程为6x（y+7=0∴f'（x（|x=（1=3x 2+2bx+c|x=（1=3（2b+c=6①（ ……………………………………3分还可以得到，f（（1（=y=1，即点M（（1（1）满足f（x ）方程，得到﹣1+b（c+2=1② ………………4分 由①（②联立得b=c=（3 …………………………………………………………5分 故所求的解析式是f（x（=x 3（3x 2（3x+2（…………………………………………6分（2）由（1）知，2936233)(2323+--=-+--=x x x x x x x x g ，……………………7分)3)(1(33)2(3963)(22-+=--=--='x x x x x x x g …………………………………………8分令0)(='x g ，得3,1=-=x x 或…………………………………………………………9分当)1,(--∞∈x 时，0)(>'x g当)3,1(-∈x 时，0)(<'x g当),3(+∞∈x 时，0)(>'x g …………………………………………………………11分所以函数)(x g 的极大值为7)1(=-g .…………………………………………12分19.（12分）20.（12分）解析（1）从使用手机支付的人群中随意抽取1人，抽到青年的概率为7 10，∴使用手机支付的人群中青年的人数为710⨯120＝84，则使用手机支付的人群中的中老年的人数为120﹣84＝36，……………………………1分由此填写2×2列联表如下；………………………………………3分根据表中数据，计算K2()22008448363236001168412080203⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯17.734＞7.879，∴P（K2≥7.879）＝0.005，由此判断有99.5%的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”；……………4分（2）根据分层抽样方法，从这200名顾客中抽取10人，抽到“使用手机支付”的人数为10120200⨯=6，“不使用手机支付”的人数为4，…………5分设随机抽取的3人中“使用手机支付”的人数为随机变量X，则X的可能取值分别为0，1，2，3；………………………………………………6分计算P（X＝0）34310130CC==，P（X＝1）2146310310C CC⋅==，P（X＝2）124631012C CC⋅==，P（X＝3）3631016CC==，…………………………………………………………………………………………………………10分∴X的分布列为：…………………………………………………………………………………………11分X 的数学期望为EX ＝0130⨯+1310⨯+212⨯+31965⨯=．………………………………12分 21．(12分)（1）因为曲线段OAB 过点O ，且最高点为A(4,4)（{c =016a +4b +c =4−b2a=4 ，解得{a =−14b =2c =0.………………………………………………1分 所以，当x ∈[0,6]时，y =−14x 2+2x （…………………………………………2分 因为后一部分为线段BC ，B(6,3),C(10,0)（ 当x ∈[6,10]时，y =−34x +152（……………………………………………3分综上，f(x)={−14x 2+2x,x ∈[0,6]−34x +152,x ∈(6,10].……………………………………………4分 （2）设OM =t(0<t ≤2)，则MQ =−14t 2+2t,PN =−14t 2+2t （………5分 由PN =−14t 2+2t =−34x +152，得x =13t 2−83t +10，所以点N(13t 2−83t +10,0)（………7分 所以，绿化带的总长度（y =MQ +QP +PN =2(−14t 2+2t)+(13t 2−113t +10)=−16t 2+13t +10.………10分所以当t =1时y max =616.……………………………………………………………12分22．（12分）（1）当a＝1时，f′（x）1111xxxe xex xe----=-=（x＞0）．………………………………1分令g（x）＝e x﹣1﹣x，g′（x）＝e x﹣1﹣1，由g′（x）＝0，可得x＝1．…………2分当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，∴当x＝1时，g（x）min＝g（1）＝0，即g（x）≥0，…………………………3分∴f′（x）≥0，则f（x）在（0，+∞）是增函数；………………………4分（2）解：设h（x）＝f（x+1）＝ln（x+1）+ae﹣x﹣a（x＞0），h′（x）()()1111xxxe a xaex x e--+=-=++．………………………………………………5分令p（x）＝e x﹣a（x+1），则p′（x）＝e x﹣a．…………………………6分①当a≤1时，p′（x）＞e0﹣a＝1﹣a≥0，…………………………7分∴p（x）在（0，+∞）上单调递增，∴p（x）＞p（0）＝1﹣a≥0．∴h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，则h（x）＞h（0）＝0，结论成立；…………………………9分②当a＞1时，由p′（x）＝0，可得x＝lna，………………………10分当x∈（0，lna）时，p′（x）＜0，p（x）单调递减，又p（0）＝1﹣a＜0，∴x∈（0，lna）时，p（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0．∴x∈（0，lna）时，h（x）单调递减，此时h（x）＜h（0）＝0，结论不成立．…………………………11分综上，{a|a≤1}即为所求．…………………………12分。
高二数学下册阶段测试题及答案
适用精选文件资料分享高二数学下册 4 月阶段测试题及答案厦门理工学院附中（杏南中学） 2010-2011 学年 2 学期 4 月数学 ( 理科) 学科高二年段阶段测试卷考试时间： 120 分钟总分： 150 一、选择题：本大题共 10 小题，每题 5 分，满分 50 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．在答题卷上的相应题目的答题地域内作答 . 1. 复数的值是（） A ．2i B. －2i C. 2 D. －2 2.若是纯虚数，则实数m为（） A ． 1 B. 1或2 C. 0 D.－1或 1 或 2 3 ．设函数可导，则（）A．B. C. D. 4．反证法证明命题：“三角形的内角中最稀有一个不大于 60 度”时，反设正确的选项是（）． A ．假设三内角都不大于 60 度 B ．假设三内角都大于 60 度C．假设三内角至多有一个大于 60 度 D．假设三内角至多有两个大于60 度 5. ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 6. 以下求导式子，正确的个数是（）函数在点（－1，－3）处的切线方程是（） A ． B. C. D. 8. 平行六面体的棱长均为 2，∠ABB’=120° ∠B’BC=60°∠ ABC=90°, =( ) A ． B. C.D. 9 ．复数 z 的虚部为，模为 2，则该复数 z =( ) A. B. C. D. 10. 已知，奇函数在上单调，则字母应满足的条件是（）. A. ; B. C. D.二、填空题：本大题共6 小题，每题4 分，共24 分．在答题卷上的相应题目的答题地域内作答 . 11 ．一物体在力（单位:N）的作用下，沿与力 F 同样的方向，从处运动到处. （单位： m）. 力所作的功为 12. 将“函数y=2x+5 的图像是一条直线”用三段论表示为：大前提：小前提：结论：13. 数列2，5，11，20，X，47，。
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高二数学第二学期阶段测试
必修五专题检测
一、填空题
1．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是钝角三角形。
2．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于0015030或 。
3．等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项的和9S 等于99。
4．在公比为整数的等比数列{}n a 中，如果,12,183241=+=+a a a a 那么该数列的前8项之和为510。
5．若02522>-+-x x ，则221442-++-x x x 等于3 。
6．若122+x ≤()142x -，则函数2x y =的值域是1[,2]8 7．下列不等式（1）
b a 11< （2）b a 11> （3）2a b > （4）22a b >，其中不能恒成立的
是（1）（2）（4）。
8．二次方程22(1)20x a x a +++-=,有一个根比1大,另一个根比1-小,则a 的取值范围是10a -<<
9．一个两位数的个位数字比十位数字大2，若这个两位数不大于30，则这个两位数为13或24。
10．函数)2(22x x y -=的最大值为1。
11．在△ABC 中，,26-=AB 030C =，则AC BC +的最大值是4 。
12．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是
21。
13．两个等差数列{}{},,n n b a ,327......2121++=++++++n n b b b a a a n n 则55b a =12
65 14．在等比数列{}n a 中, 若,75,393==a a 则12a =375±
三、解答题
15 ．⑴在△ABC 中， 3,21,,1200==>=∆ABC S a b c A ，求c b ,。
⑵在△ABC 中，设,3,2π=
-=+C A b c a 求B sin 的值。
解析：（1）1sin 3,4,2
ABC S bc A bc ∆=== 2222cos ,5a b c bc A b c =+-+=， 而c b >，所以4,1==c b
（2）∵2,a c b +=∴sin sin 2sin A C B +=，即2sin cos 4sin cos 2222A C A C B B +-=， ∴13sin cos 2224B A C -==，而0,22
B π<<∴13cos 24B =， ∴313sin 2sin
cos 222B B B ===839 16．已知x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y
（1）求y x z +=21的最小值，以及相应的x 、y 值；
（2）求222y x z +=的最大值，以及相应的x 、y 值
解析：作出区域如右图
（1）直线y x z +=21经过点)1,2(-C 时，有最小值3
（2）222y x z +=OP =，其中点),(y x P 为三角形ABC
内部及其边界上的点，可知当点P 与点C 重合时，5)(max 2=z
17．已知数列{}n a 的前n 项和)34()1(...139511--++-+-=-n S n n ，
（1）求312215S S S -+的值。
（2）求n S 的表达式
解析： （1）15S =29741=⨯+；22S 44114-=⨯-=；
61154131=⨯+=S ∴312215S S S -+76614429-=--=
（2）n 为偶数时n n S n 2)4(2
-=-⨯=； n 为奇数时12]3)1(4[)1(211-=-+++-=-=++n n n a S S n n n
∴⎩
⎨⎧--=为奇数为偶数n n n n S n 122 18。
某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
解析：设该厂x 天购买一次面粉，平均每天所支付的总费用为y 元．
∴购买面粉的费用为6180010800x x ⨯=元，
保管等其它费用为3(6126)9(1)x x x ⨯+++=+， ∴108009(1)900100108099()x x x y x x x
+++=
=++
10809910989≥+⨯=，即当100x x
=，即10x =时，y 有最小值10989， 答：该厂10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少． 19．已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设11n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20
n m T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m ；
解析：（1）设这二次函数f(x)＝ax 2+bx (a ≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x －2,得
a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x 2－2x.
又因为点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上，所以n S ＝3n 2－2n.
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2－2n ）－[]
)1(2)132---n n （
＝6n －5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5 （n N *∈）
（2）由（1）得知13+=
n n n a a b ＝[]5)1(6)56(3---n n ＝)161561(21+--n n ， 故T n ＝∑=n i i b 1＝
21⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+--++-+-)161561(...)13171()711(n n ＝21（1－161+n ）. 因此，要使
21（1－161+n ）<20m （n N *∈）成立的m,必须且仅须满足21≤20
m ，即m ≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10. 20。
已知数列{}n a 中，11a =，113(2n n n a a n --=⋅≥且*)n N ∈
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设函数3()log (
)(*)9n n a f n n N =∈，数列{}n b 的前n 项和为()f n ，求{}n b 的通项公式；
（3）求数列{||}n b 的前n 项和n S 。
解析：（1）∵*),2(311N n n a a n n n ∈≥⋅=--且 ∴11
3--=n n n a a ∴ ,3,322312==a a a a ，11
3--=n n n a a 累乘，得2)1(3-=n n n a 。
（2）*)(25)9
(log )(23N n n n a n f n n ∈-== ∴2)1(1-==f b 当2≥n 时，()3)]1(5)1[(2
1521)1()(22-=-----=--=n n n n n n f n f b n 1=n 时，3121-=-=b 也符合
∴{}n b 的通项公式是*)(3N n n b n ∈-=
（3）数列{}n b 是首项为2-，公差1=d 的等差数列
当03≤-=n b n ，即3≤n 时，2
5|)(|2n n n f S n -==； 当4≥n 时，||||||21n n b b b S +++= =||2||32121b b b b b b n ++++++ 2
125|)3(|2)(2+-=+=n n f n f
综上所述，⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧∈>+-∈≤-=),3(2125*),3(2522
N n n n n N n n n n S n。