2021年北师大版高二数学下期中试卷及答案

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北师大版高二下期中考试数学试卷及答案(理科)(必备优质)

高二下学期期中考试数学（理）一、选择题：（每小题5分，共60分）1. 椭圆2212xy+=上的一点P到焦点1F的距离等于1，则点P到另一个焦点2F的距离是（）A．1 B．3 C1 D ．1-2. 若方程22125x yk k-=+-表示双曲线，则k的取值范围是（）A．(,2)-∞- B．(2,5)- C．[)(,2)5,-∞-+∞ D．(5,)+∞3. 设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为12y x=±，则双曲线的离心率为（）A．5 B．2D．544. 设椭圆22221x ym n+=（0m>，0n>）的右焦点与抛物线28y x=的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（）A.2211216x y+= B.2211612x y+= C.2214864x y+= D.2216448x y+=5. xy=与2xy=围成的封闭图形的面积为（）A.31B.41C.61D.216．函数32()32f x ax x=++，若4)1(=-'f，则a的值等于（）A．193B．163C．133D．1037. 曲线123+-=xxy在点（1,0）处的切线方程为（）A.1-=xy B.1+-=xy C. 22-=xy D. 22+-=xy8．把长度为16的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积和的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D.89. dxx⎰421等于（）A.2ln2- B. 2ln2 C. 2ln- D. 2ln10. 设)(xf'是函数f(x)的导函数，=y)(xf'的图象如左下图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是（ )（=y)(xf的图象）A B C D11. 方程0333=--xx的实数根的个数为（）A. 3B. 2C. 1D.012. 设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若FCFBFA++=0，则|FA|+|FB|+|FC|=（）A ．9 B. 6 C. 4 D. 3 二、填空题（每小题5分，共20分）13. 曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线的倾斜角为___________________； . 14. 函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是_________________________ 15．设点P 是双曲线x 2－23y =1上一点，焦点F （2，0），点A （3，2），使|PA |+21|PF |有最小值时，则点P 的坐标是．16. 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，则直线l 的方程为______________________ .三、解答题（共70分）17. 已知函数23)(bx ax x f +=，当1x =时，有极大值3；（1）求,a b 的值；（2）求函数)(x f 的极小值18. 若双曲线与椭圆1162522=+y x 有相同的焦点，与双曲线1222=-y x 有相同渐近线，求双曲线方程.19. 已知长轴长为22，短轴长为2，焦点在x 轴上的椭圆，过它的左焦点1F 作倾斜角为4π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长． 20. 已知a 为实数，()()2()4f x x x a =--。

2022北京北师大实验高二(下)期中数学试题参考答案

北大附中2021-2022学年第2学期期中考试一、选择题（共10小题，每题4分，共40分）1.已知集合(1,3]A =，N 表示自然数集，则A N = （）A.{1,2}B.{1,2,3}C.{2}D.{2,3}2.设复数z 满足(45)1i z +=，则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.抛物线22y x =-的焦点到准线的距离是（）A.12B.1C.2D.44.不等式22log log (1)1x x +->的解集是（）A.(,1)(2,)-∞-+∞ B.(,1)-∞- C.(2,)+∞ D.(1,)+∞5.已知3()3f x x x =-，则120x x +=是12()()0f x f x +=的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件6.将定义域为R 的奇函数()y f x =的图像上所有点向右平移一个单位，再将得到的图形上所有点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，下列等式一定成立的是（）A.(1)0g -= B.1(02g -= C.1(02g = D.(1)0g =7.已知圆2210x y +=与圆222450x y ax ay +---=相交，则a 的取值可能是（）A.23-B.24-C.26-D.28-8.直线1ax by +=被圆22(2)(2)4x y -+-=截得的弦长等于4，则ab 的最大值是（）A.12B.14C.18D.1169.设,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面.下列命题中真命题的个数是（）①若//,a b αα⊂，则a b =∅ ；②若,,//a b a b αβ⊥⊥，则a β⊥；③若//,//,a a b b αα≠∅ ，则b α⊂；10.生态学家希望预测在一个野生鸟类保护区里斑点猫头鹰和老鼠的种群量水平.令n x 表示n 年后老鼠的种群量，n y 表示n 年后斑点猫头鹰的种群量，生态学家提出了下列模型：1max{1.20.001,0}n n n n x x x y +=-，10.70.002n n n n y y x y +=+.注意：,n n x y 可以是分数，因为1以内的误差是允许的.下面有三条结论：①存在0,0a b >>，如果11,x a y b ==，那么对任意正整数n ，,n n x a y b ==；②如果10y >，那么对任意正整数n ，1n y +与n y 的大小关系只取决于n x ，而与n y 无关；③对任意110,0x y >>，存在正数M ，使得对任意正整数n ，n y M ≤；其中全部正确结论的序号是（）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③二、填空题（5小题，每小题5分，共25分）11.在1123()x x -的展开式中，含6x 项的系数为.12.已知角α的终边与角6πα+的终边关于直线y x =对称，写出一个符合条件的角α=.（用弧度制表示）13.已知平面向量,a b 满足||1,||,45==<>= a b a b ，则|2|+=a b ，cos ,2<+>=b a b .14.已知数列{}n a 的通项公式是2()()n n a a a R n+=∈，如果{}n a 是递增数列，那么a 的取值范围是.15.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，1,AB PA PA ABCD ==⊥底面，AC BD O = .设E 是线段PC 上一动点，下面有四条结论：①无论E 在什么位置，//PA EBD 面；②无论E 在什么位置，EBD PAC ⊥面面；③点A 到平面EBD 的最小距离是22；④直线AB 与平面EBD 的最大夹角是45 .三、解答题（共6小题，85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）16.（本小题13分）在三角形ABC 中，60B = ，4ac =.（1）求三角形ABC 的面积；（2）从条件①、条件②中选择一个作为已知，求三角形ABC 的周长.条件①：sin 4sin A C =；条件②：b =.17.（本小题14分）菲尔兹奖（英语：Fields Medal ），是依加拿大数学家John Charles Fields 要求设立的国际性数学奖项，于1936年首次颁发.菲尔兹奖是数学领域的国际最高奖项之一.因诺贝尔奖未设置数学奖，故该奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”.菲尔兹奖每四年颁发一次（二战期间停发），在由国际数学联合会主办的四年一度的国际数学家大会上举行颁奖仪式，每次授予2至4名有卓越贡献的年轻数学家.获奖者必须在该年元旦前未满40岁，每人能获得1.5万加拿大元奖金和金质奖章一枚.英国数学家Andrew Wiles 于1994年证明了费马大定理，但因年龄原因，在1998年国际数学家大会上获得了特别制作的菲尔兹奖银质奖章.自菲尔兹奖设立以来至2018年，60位菲尔兹奖获奖者（不含Andrew Wiles ）获奖时的年龄的柱形图如下：（1）求60位菲尔兹奖获得者年龄的最小值，众数，25%分位数；（2）2002年的国际数学家大会是在北京召开的，这次数学家大会上有两位数学家获得菲尔兹奖，且获奖时的年龄都是36岁.现从历届36岁时获奖的菲尔兹奖得主中随机选取3人，用X 表示其中在2002年获奖的人数，求X 的具有M 国国籍不具有M 国国籍总计2000年之前获奖1527422000年之后获奖31518总计184260现从60位菲尔兹奖获得者中随机选取一人，用A 表示事件“这个人在2000年之后获奖”，用B 表示事件“这个人不具有．．．M 国国籍”.写出(|)P B A 和(|)P A B 的值.（只写出结论，不要求证明）18.（本小题13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，,,//PA ABCD AD CD AD BC ⊥⊥平面，3BC =，2PA AD CD ===，点E 为PD 的中点，点F 在线段PC 上.（1）证明：AEF PCD ⊥面面；（2）如果二面角F AE P --的正弦值等于63，求PFPC的值.19.（本小题14分）已知椭圆22:33C x y +=.点12,F F 分别为椭圆的左、右焦点.（1）求椭圆C 的短轴长和点12,F F 的坐标；（2）设00(,)P x y 为椭圆C 上一点，且在第一象限内，直线2F P 与y 轴相交于点Q ，若点1F 在以PQ 为直径的圆的外部，求0x 的取值范围.20.（本小题16分）已知函数2221()1ax a f x x +-=+，其中0a >.（1）若1a =，求曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程；（2）讨论()f x 的单调性；（3）如果对任意12,[0,1]x x ∈，都有12|()()|1f x f x -≤，求a 的取值范围.21.（本小题15分）“更相减损之术”是中国古代数学专著《九章算术》中提到的用来求两个正整数的最大公约数的算法.任给两个正整数,a b ，构造一个数列{}n a ，使得12,a a a b ==，且对任意正整数n ，21||n n n a a a ++=-.可以证明{}n a 中一定存在为0的项，且第一个为0的项的前一项就是,a b 的最大公约数.类似地，任给两个正整数,a b ，构造数列{}n b ，使得12,b a b b ==，且对任意正整数n ，21|2|n n n b b b ++=-.（1）若1,2a b ==，写出34100,,b b b 的值；（2）{}n b 是否有可能是递增数列？请对你的结论给出证明；（3）证明：对任意的正整数,a b ，要么{}n b 中不存在最大项，要么数列{}n b 从某一项起为常数.北京师范大学附属实验中学2021-2022学年度高二年级第二学期数学期中练习试卷答案一、选择题二、填空题 11、1 12、512 13、271314、3-；17683- 15、①②④（14题：第一个空3分，第二个空2分。

北师大版高二下期中考试数学试卷及答案(文科)-精

高二下学期期中考试数学（文）一、选择题：（每小题5分，共60分）1. 椭圆2212xy+=上的一点P到焦点1F的距离等于1，则点P到另一个焦点2F的距离是（）A．1 B．3 C1 D ．12. 若方程22125x yk k-=+-表示双曲线，则k的取值范围是（）A．(,2)-∞- B．(2,5)- C．[)(,2)5,-∞-+∞ D．(5,)+∞3. 设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为12y x=±，则双曲线的离心率为（）A．5 B C．．544. 设椭圆22221x ym n+=（0m>，0n>）的右焦点与抛物线28y x=的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（）A.2211216x y+= B.2211612x y+= C.2214864x y+= D.2216448x y+=5. 经过（1，2）点的抛物线的标准方程是（）A. y2＝4xB. x2＝21y C. y2＝4x 或x2＝21y D. y2＝4x 或x2＝4y6．函数32()32f x ax x=++，若4)1(=-'f，则a的值等于（）A．193B．163C．133D．1037. 曲线123+-=xxy在点（1,0）处的切线方程为（）A.1-=xy B.1+-=xy C. 22-=xy D. 22+-=xy8．把长度为16的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积和的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D. 89. 函数344+-=xxy在区间[]2,3-上的最小值为（）A 72B 36C 12D /010. 设)(xf'是函数f(x)的导函数，=y)(xf'的图象如左下图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是（ )（=y)(xf的图象）A B C D11. 方程0333=--xx的实数根的个数为（）A. 3B. 2C. 1D.012. 设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若++=0，则|FA|+|FB|+|FC|=（）A ．9 B. 6 C. 4 D. 3 二、填空题（每小题5分，共20分）13. 曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线的倾斜角为___________________； . 14. 函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是_________________________ 15．设点P 是双曲线x 2－23y =1上一点，焦点F （2，0），点A （3，2），使|PA |+21|PF |有最小值时，则点P 的坐标是．16. 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，则直线l 的方程为______________________ .三、解答题（共70分）17. 已知函数23)(bx ax x f +=，当1x =时，有极大值3；（1）求,a b 的值；（2）求函数)(x f 的极小值18. 若双曲线与椭圆1162522=+y x 有相同的焦点，与双曲线1222=-y x 有相同渐近线，求双曲线方程. 19. 已知长轴长为22，短轴长为2，焦点在x 轴上的椭圆，过它的左焦点1F 作倾斜角为4π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．20. 已知a 为实数，()()2()4f x x x a =--.（1）求导数)(x f '；（2）若0)1(=-'f ，求()f x 在[-1,1]上的值域；（3）若()f x 在[-1,1]上是递减函数，求a 的取值范围21. 已知抛物线y x 42=，l 是它的准线. 若),(),,(2211y x Q y x P 是抛物线互异两点，分别以Q P ,为切点作抛物线的切线，两切线交于点A.（I ）若AP ⊥AQ ，证明：421-=x x（II ）证明：AP ⊥AQ 的充要条件是点A 在直线l 上.数学答案（文）一、选择题：（将正确答案填入表格内，每小题5分，共60分）二、填空题（每小题5分，共20分） 13.0135. 14. )35,(--∞,),1(+∞ 15)2,321(16. 082=-+y x 三、解答题（共70分）17.（本题满分14分）(1)9,6=-=b a (2) 0 18.（本题满分14分）13622=-y x 19.（本题满分14分）324 20. （本题满分14分）文科：（1）423)(2--='ax x x f （2）]29,23[- （3）]21,21[- 理科：(1)423)(2--='ax x x f (2)]29,2750[- (3) ]2,2[-21.（本题满分14分）证明略。

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高二下学期期中考试数学（文）一、选择题：（每小题5分，共60分）1. 椭圆2212x y +=上的一点P 到焦点1F 的距离等于1，则点P 到另一个焦点2F 的距离是（） A ．1 B ．3 C 1 D ．12. 若方程22125x y k k-=+-表示双曲线，则k 的取值范围是（）A ．(,2)-∞-B ．(2,5)-C ．[)(,2)5,-∞-+∞UD ．(5,)+∞3. 设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为12y x =±，则双曲线的离心率为（） A ．5 B ．544. 设椭圆22221x y m n +=（0m >，0n >）的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（）A.2211216x y +=B.2211612x y += C.2214864x y += D.2216448x y += 5. 经过（1，2）点的抛物线的标准方程是（）A. y 2＝4xB. x 2＝21y C. y 2＝4x 或x 2＝21y D. y 2＝4x 或x 2＝4y 6．函数32()32f x ax x =++，若4)1(=-'f ，则a 的值等于（）A ．193 B ．163 C ．133 D ．1037. 曲线123+-=x x y 在点（1,0）处的切线方程为（） A.1-=x y B.1+-=x y C. 22-=x y D. 22+-=x y8．把长度为16的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积和的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D. 89. 函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（） A 72 B 36 C 12 D 010. 设)(x f '是函数f (x )的导函数，=y )(x f '的图象如左下图所示，则y =f (x )的图象最有可能的是（ )（=y )(x f '的图象） A B C D11. 方程0333=--x x 的实数根的个数为（）A. 3B. 2C. 1D.012. 设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若++=0，则|FA|+|FB|+|FC|=（）A ．9 B. 6 C. 4 D. 3二、填空题（每小题5分，共20分）13. 曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线的倾斜角为___________________； . 14. 函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是_________________________ 15．设点P 是双曲线x 2－23y =1上一点，焦点F （2，0），点A （3，2），使|PA |+21|PF |有最小值时，则点P 的坐标是．16. 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，则直线l 的方程为______________________ .三、解答题（共70分）17. 已知函数23)(bx ax x f +=，当1x =时，有极大值3；（1）求,a b 的值；（2）求函数)(x f 的极小值 18. 若双曲线与椭圆1162522=+y x 有相同的焦点，与双曲线1222=-y x 有相同渐近线，求双曲线方程.19. 已知长轴长为22，短轴长为2，焦点在x 轴上的椭圆，过它的左焦点1F 作倾斜角为4π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．20. 已知a 为实数，()()2()4f x x x a =--.（1）求导数)(x f '；（2）若0)1(=-'f ，求()f x 在[-1,1]上的值域；（3）若()f x 在[-1,1]上是递减函数，求a 的取值范围21. 已知抛物线y x 42=，l 是它的准线. 若),(),,(2211y x Q y x P 是抛物线互异两点，分别以Q P ,为切点作抛物线的切线，两切线交于点A.（I ）若AP ⊥AQ ，证明：421-=x x（II ）证明：AP ⊥AQ 的充要条件是点A 在直线l 上.数学答案（文）一、选择题：（将正确答案填入表格内，每小题5分，共60分）二、填空题（每小题5分，共20分）13.0135. 14. )35,(--∞,),1(+∞ 15)2,321(16. 082=-+y x 三、解答题（共70分）17.（本题满分14分）(1)9,6=-=b a (2) 018.（本题满分14分） 13622=-y x 19.（本题满分14分）324 20. （本题满分14分）文科：（1）423)(2--='ax x x f （2）]29,23[-（3）]21,21[- 理科：(1)423)(2--='ax x x f (2)]29,2750[- (3) ]2,2[- 21.（本题满分14分）证明略。

2020-2021北京师范大学第二附属中学高中必修二数学下期中试卷含答案

2020-2021北京师范大学第二附属中学高中必修二数学下期中试卷含答案一、选择题1．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（） A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m αD ．若m αβ=I ，n m ⊥，则n α⊥2．已知直线m 、n 及平面α，其中m ∥n ，那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集。

其中正确的是（）A ．（1）（2）（3）B ．（1）（4）C ．（1）（2）（4）D ．（2）（4）3．<九章算术>中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面,2,4ABC PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（） A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π4．如图是某四面体ABCD 水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD 外接球的表面积为A ．20πB ．1256π C ．25π D ．100π 5．已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = )A ．1B ．1-C ．2-或1D ．2或16．已知三棱锥S ABC -的每个顶点都在球O 的表面上，ABC ∆是边长为43角形，SA ⊥平面ABC ，且SB 与平面ABC 所成的角为6π，则球O 的表面积为（） A ．20πB ．40πC ．80πD ．160π7．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（）A．1763B．1603C．1283D．328．已知AB是圆22620x y x y+-+=内过点(2,1)E的最短弦，则||AB等于（）A．3B．22C．23D．259．已知直线()()():21110l k x k y k R++++=∈与圆()()221225x y-+-=交于A，B两点，则弦长AB的取值范围是（）A．[]4,10B．[]3,5C．[]8,10D．[]6,1010．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为A．1∶2B．1∶3C．1∶5D．3∶211．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )．A．130B．140C．150D．16012．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm）是（）A．3B1033C．23D833二、填空题13．如图，在圆柱O1 O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1 O2的体积为V1 ,球O的体积为V2，则12VV的值是_____14．已知一束光线通过点()3,5A -，经直线l ：0x y +=反射，如果反射光线通过点()2,5B ，则反射光线所在直线的方程是______.15．过点(1,2)-且与直线2390x y -+=垂直的直线方程为____________． 16．直线10ax y ++=与连接A （4，5），B （-1，2）的线段相交，则a 的取值范围是___．17．已知B 与点()1,2,3A 关于点()0,1,2M -对称，则点B 的坐标是______． 18．圆台的两个底面面积之比为4：9，母线与底面的夹角是60°，轴截面的面积为1803，则圆台的侧面积为_____．19．已知点(,)P x y 是直线4(0)y kx k =-->上的一个动点，PA ，PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的面积的最小值为2，则实数k 的值为__________．20．如图：点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个命题： ①三棱锥1A D PC -的体积不变； ②1A P ∥面1ACD ；③1DP BC ^； ④面1PDB ^面1ACD ．其中正确的命题的序号是__________.三、解答题21．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上．（Ⅰ）求证：1BC A B ⊥；（Ⅱ）若P 是线段AC 上一点，3,2AD AB BC ===，三棱锥1A PBC -的体积为33，求AP PC 的值.22．在三棱锥S ABC -中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB BC ⊥，AS AB =，过A 作AF SB ⊥，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．（1）求证：平面EFG ∥平面ABC ．（2）求证：BC SA ⊥．23．若圆M 的方程为22(2)(5)10x y -+-=，△ABC 中，已知(1,1)A ，(4,2)B ，点C 为圆M 上的动点．（1）求AC 中点D 的轨迹方程；（2）求△ABC 面积的最小值．24．已知过点()0,2P -的圆M 的圆心(),0a 在x 轴的非负半轴上，且圆M 截直线20x y +-=所得弦长为22（1）求M 的标准方程；（2）若过点()0,1Q 且斜率为k 的直线l 交圆M 于A 、B 两点，若PAB △的面积为33l 的方程．25．如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，1AD DC BC ===，60ABC ∠=︒，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =.(1)证明：BC ⊥平面ACFE ；(2)设点M 在线段EF 上运动，平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角为θ，求cos θ的取值范围.26．如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，,AD AB ⊥22,AB BC AD ===四边形EDCF 为矩形，2DE =，平面EDCF ⊥ABCD .（1）求证：//DF 平面ABE ；（2）求二面角B EF D --二面角的正弦值；（3）在线段BE 上是否存在点P ，使得直线AP 与平面BEF 所成角的正弦值为66，若存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】由题设，,αβ⊥ 则A. 若m α⊂，则m β⊥，错误；B. 若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ 错误；D. 若m αβ⋂=，n m ⊥，当n β⊄ 时不能得到n α⊥，错误. 故选C.2．C解析：C 【解析】【分析】根据题意，对每一个选项进行逐一判定，不正确的只需举出反例，正确的作出证明，即可得到答案. 【详解】如图（1）所示，在平面内不可能由符合题的点；如图（2），直线,a b 到已知平面的距离相等且所在平面与已知平面垂直，则已知平面为符合题意的点；如图（3），直线,a b 所在平面与已知平面平行，则符合题意的点为一条直线，综上可知（1）（2）（4）是正确的，故选C.【点睛】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟记空间中点、线、面的位置关系是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与论证能力，属于基础题.3．C解析：C 【解析】【分析】先作出三棱锥P ABC -的图像，根据P ABC -四个面都为直角三角形和PA ⊥平面ABC ，可知PC 中点即为球心，利用边的关系求出球的半径，再由24S R π=计算即得. 【详解】三棱锥P ABC -如图所示，由于P ABC -四个面都为直角三角形，则ABC V 是直角三角形，且2ABC π∠=，2223BC AC AB ∴=-=，又PA ⊥平面ABC ，且PAC V 是直角三角形，∴球O 的直径2222PC R PA AB BC ==++2025==，5R ∴=，则球O 的表面积2420S R ππ==.【点睛】本题考查多面体外接球的表面积，是常考题型.4．C解析：C 【解析】【分析】【详解】由三视图可知，这是三棱锥的三视图，如下图所示，三角形BCD 为等腰直角三角形，其外心为BD 中点1O ，设O 为AD 中点，则O 为外接球球心，半径长度为1522AD =，所以表面积为25π.5．D解析：D 【解析】【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a 的值，即可得到答案．【详解】由题意，当2a 0-+=，即a 2=时，直线ax y 2a 0+-+=化为2x y 0+=，此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当2a 0-+≠，即a 2≠时，直线ax y 2a 0+-+=化为122x y a a a+=--，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得2a2a a-=-，解得a 1=；综上所述，实数a 2=或a 1=．【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.6．C解析：C 【解析】【分析】根据线面夹角得到4SA =，计算ABC ∆的外接圆半径为42sin ar A==，2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得答案.【详解】SA ⊥平面ABC ，则SB 与平面ABC 所成的角为6SBA π∠=，故4SA =. ABC ∆的外接圆半径为42sin ar A==，设球O 的半径为R ，则2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得R =O 的表面积为2480R ππ=. 故选：C . 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.7．B解析：B 【解析】该几何体为一个正方体去掉一个倒四棱锥，其中正方体棱长为4，倒四棱锥顶点为正方体中心，底面为正方体上底面，因此体积是32116042433-⨯⨯=，选B. 点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．8．D解析：D 【解析】【分析】求出圆的标准方程，确定最短弦的条件，利用弦长公式进行求解即可．【详解】圆的标准方程为（x ﹣3）2+（y +1）2＝10，则圆心坐标为C （3，﹣1），半径为 10，过E 的最短弦满足E 恰好为C 在弦上垂足，则CE 22(32)[11]5=-+--=（），则|AB |222(10)(5)25=-=，故选D ．【点睛】本题主要考查圆的标准方程的求解，以及直线和圆相交的弦长问题,属于中档题．9．D解析：D 【解析】【分析】由直线()()21110k x k y ++++=，得出直线恒过定点()1,2P -，再结合直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】由直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈，可得()210k x y x y ++++=，又由2010x y x y +=⎧⎨++=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，即直线恒过定点()1,2P -，圆心()1,2C ，当CP l ⊥时弦长最短，此时2222AB CP r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得min 6AB =，再由l 经过圆心时弦长最长为直径210r =，所以弦长AB 的取值范围是[]6,10. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了直线系方程的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练利用直线的方程，得出直线恒过定点，再结合直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.10．C解析：C 【解析】【分析】由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案【详解】设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝r ．∴S 侧＝πrl ＝πr 2，S 底＝πr 故选C ．【点睛】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，属于基础题．11．D解析：D 【解析】设直四棱柱1111ABCD A B C D -中，对角线119,15AC BD ==，因为1A A ⊥平面,ABCD AC Ì,平面ABCD ，所以1A A AC ⊥，在1Rt A AC ∆中，15A A =，可得221156AC AC A A =-=, 同理可得2211200102BD D B D D =-==，因为四边形ABCD 为菱形，可得,AC BD 互相垂直平分，所以2211()()1450822AB AC BD =+=+=，即菱形ABCD 的边长为8，因此，这个棱柱的侧面积为1()485160S AB BC CD DA AA =+++⨯=⨯⨯=，故选D.点睛：本题考查了四棱锥的侧面积的计算问题，解答中通过给出的直四棱柱满足的条件，求得底面菱形的边长，进而得出底面菱形的底面周长，即可代入侧面积公式求得侧面积，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，其中正确认识空间几何体的结构特征和线面位置关系是解答的关键.12．B解析：B 【解析】由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥，1104323333V =⋅=. 故选：B.二、填空题13．【解析】设球半径为则故答案为点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体锥体或台体则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出则常解析：32设球半径为r ，则213223423V r r V r π⨯==π．故答案为32．点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．14．【解析】【分析】计算关于直线的对称点为计算直线得到答案【详解】设关于直线的对称点为故故故反射光线为：化简得到故答案为：【点睛】本题考查了直线的反射问题找出对称点是解题的关键解析：27310x y -+=【解析】【分析】计算()3,5A -关于直线0x y +=的对称点为()15,3A -，计算直线1A B 得到答案.【详解】设()3,5A -关于直线0x y +=的对称点为()1,A x y ，故51335022y x x y -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪+=⎪⎩，故()15,3A -. 故反射光线为1A B ：()532525y x -=-++，化简得到27310x y -+=. 故答案为：27310x y -+=.【点睛】本题考查了直线的反射问题，找出对称点是解题的关键.15．【解析】【分析】因为直线l 与已知直线垂直根据两直线垂直时斜率的乘积为-1由已知直线的斜率求出直线l 的斜率然后根据（-12）和求出的斜率写出直线l 的方程即可【详解】因为直线2x-3y+9=0的斜率为所解析：3210x y +-=【解析】【分析】因为直线l 与已知直线垂直，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，由已知直线的斜率求出直线l 的斜率，然后根据（-1，2）和求出的斜率写出直线l 的方程即可．【详解】因为直线2x-3y+9=0的斜率为23 ，所以直线l 的斜率为32- ，则直线l 的方程为：3212y x -=-+（），化简得3210x y +-=.即答案为3210x y +-=．本题考查学生掌握两直线垂直时斜率的关系，会根据一点和斜率写出直线的点斜式方程，是一道基础题．16．或【解析】【分析】判断直线恒过定点P （0-1）计算PAPB 的斜率再利用数形结合求a 的取值范围【详解】解：由直线ax+y+1=0的方程判断直线恒过定点P （0-1）如图所示计算且或则或即实数a 的取值范围解析：32a ≤-或3a ≥ 【解析】【分析】判断直线0ax by c ++=恒过定点P （0，-1），计算PA 、PB 的斜率，再利用数形结合求a 的取值范围．【详解】解：由直线ax+y+1=0的方程，判断直线恒过定点P （0，-1），如图所示，计算513402PA k +==-，21310PB k +==--- 且PA k k ≥或PB k k ≤，则PA a k ≤-或PB a k ≥-，即实数a 的取值范围是：32a ≤-或3a ≥．故答案为：32a ≤-或3a ≥．【点睛】本题考查直线的斜率与直线方程的应用问题，是基础题．17．【解析】【分析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果【详解】设B 则所以所以的坐标为【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式考查基本分析求解能力属基础题解析：()1,4,1--【解析】【分析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果. 【详解】设B (),,x y z ,则1230,1,2222x y z+++=-==，所以1,4,1x y z =-=-=，所以B 的坐标为()1,4,1--．【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式，考查基本分析求解能力，属基础题.18．【解析】【分析】首先通过两个底面面积之比为得到半径比设出上底半径为下底半径为由因为母线与底面的夹角是得到母线长为高为就可以根据轴截面的面积解出代公式求出侧面积即可【详解】圆台的两个底面面积之比为则半解析：360π【解析】【分析】首先通过两个底面面积之比为4:9，得到半径比，设出上底半径为2k ，下底半径为3k ，由因为母线与底面的夹角是60o ，得到母线长为2k ，高为3k .就可以根据轴截面的面积解出6k =，代公式求出侧面积即可. 【详解】圆台的两个底面面积之比为4:9，则半径比为2:3所以设圆台的上底半径为2k ，下底半径为3k ，由于母线与底面的夹角是60o ，所以母线长为2k 3k . 由于轴截面的面积为1803，所以()46332k k k+=6k =.所以圆台的上底半径为12，下底半径为18.母线长为12. 所以圆台的侧面积为()121812360ππ+⨯=. 故答案为：360π 【点睛】本题主要考查圆台的性质以及圆台的侧面积，同时考查了线面成角问题，属于中档题.19．【解析】分析：画出图形（如图）根据圆的性质可得然后可将问题转化为切线长最小的问题进而转化为圆心到直线距离的最小值的问题处理详解：根据题意画出图形如下图所示由题意得圆的圆心半径是由圆的性质可得四边形的解析：【解析】分析：画出图形（如图），根据圆的性质可得2PBC PACB S S =V 四边形，然后可将问题转化为切线长最小的问题，进而转化为圆心到直线距离的最小值的问题处理．详解：根据题意画出图形如下图所示．由题意得圆22:20C x y y +-=的圆心()0,1，半径是1r =，由圆的性质可得2PBC PACB S S =V 四边形，四边形PACB 的最小面积是2， ∴PBC S V 的最小值112S rd ==（d 是切线长）， ∴2d =最小值，∵圆心到直线的距离就是PC 的最小值，2221251k+==+又0k >， ∴2k =．点睛：本题考查圆的性质、切线长定理的运用，解题时注意转化思想方法的运用，结合题意将问题逐步转化为点到直线的距离的问题处理．20．①②④【解析】对于①因为从而平面故上任意一点到平面的距离均相等以为顶点平面为底面则三棱锥的体积不变正确；对于②连接容易证明且相等由于①知：平面平面所以可得面②正确；对于③由于平面若则平面则为中点与动解析：. ① ② ④ 【解析】对于①，因为11//AD BC ，从而1//BC 平面1AD C ，故1BC 上任意一点到平面1AD C 的距离均相等，∴以P 为顶点，平面1AD C 为底面，则三棱锥1A D PC -的体积不变，正确；对于②，连接111,A B A C 容易证明111//AC A D 且相等，由于①知：11//AD BC ，平面11//BA C 平面1ACD ，所以可得1//A P 面1ACD ，②正确；对于③，由于DC ⊥平面111,BCB C DC BC ∴⊥，若1DP BC ^，则1BC ⊥平面DCP ，1BC PC ⊥，则P 为中点，与P 动点矛盾，错误；对于④，连接1DB ，由1DB AC ⊥且11DB AD ⊥，可得1DB ⊥面1ACD ，由面面垂直的判定知平面1PDB ⊥平面1ACD ，④正确，故答案为①②④.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）3．【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）要证线线垂直，一般先证线面垂直，考虑直线BC ，由已知AD 与平面1A BC 垂直可得AD BC ⊥，再由直三棱柱中侧棱1AA 与底面ABC 垂直，又得1AA BC ⊥，从而可得BC 与平面1AA B 垂直，于是得证线线垂直；（2）由（1）知ABC ∆是等腰直角三角形，可得其面积，由1AD A B ⊥可通过解直角三角形得1AA ，从而可求得三棱锥1A ABC -的体积．由三棱锥1A PBC -与三棱锥1A ABC -的关系可求得PC ，从而得APPC．（也可设PC x =，求得三棱锥1A PBC -（用x 表示），再由已知列方程解得x ）．试题解析：（1）∵AD ⊥平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ，∴AD BC ⊥，在直三棱柱111ABC A B C -中易知1AA ⊥平面ABC ， ∴1AA BC ⊥，∵1AA AD A =I ，∴BC ⊥平面11AA B B ， ∵1A B ⊂平面11AA B B ， ∴1BC A B ⊥.（2）设PC x =，过点B 作BE AC ⊥于点E ，由（1）知BC ⊥平面11AA B B ，∴BC AB ⊥.∵2AB BC ==，∴AC BE ==∴12PBC S BE CP x ∆=⋅=. ∵AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上， ∴1AD A B ⊥∵1,2AA BA AD AB ⊥=，在Rt ABD ∆中，1BD ==，又21AD BD A D =⋅，∴13A D =，在1Rt ADA ∆中，1AA ===∴11133A PBC PBC V S AA x -∆=⋅=.又三棱锥1A PBC -x =，解得4x =.∴AP =53AP PC =. 22．（1）见解析（2）见解析【解析】[证明] （1）∵AS AB =，AF SB ⊥，垂足为F ，∴F 是SB 的中点，又因为E 是SA 的中点，∴EF ∥AB ，∵EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴EF ∥平面ABC ；同理EG ∥平面ABC . 又EF EG E ⋂=，∴平面EFG ∥平面ABC .（2）∵平面SAB ⊥平面SBC ，且交线为SB ，又AF ⊂平面SAB ，AF SB ⊥， ∴AF ⊥平面SBC ，∵BC ⊂平面SBC ，∴AF BC ⊥，又因为AB BC ⊥，AF AB A ⋂=，AF 、AB ⊂平面SAB ， ∴BC ⊥平面SAB ，∵SA ⊂平面SAB ，∴BC SA ⊥.【考点定位】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力. 23．（1）2235()(3)22x y -+-= （2）12【解析】【分析】（1）利用相关点法求出点D 的轨迹方程；（2）首先求出直线AB 的方程，求出圆心到直线的距离，圆心到直线的距离减去半径即圆上的点到直线的距离的最小值，即可求出ABC ∆面积的最小值。

北京66中-学年高二数学下学期期中试题理(含解析)北师大版

北京66中-学年高二数学下学期期中试题理（含解析）北师大版 2021-2021学年北京66中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（3分）（2021?湖南）复数的值为（）A． 1��i B． 1+i C．��1��i D．��1+i 考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化为a+bi（a、b∈R），可得选项．解答：解：．故选B．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，高考常考题，是基础题． 2．（3分）（）D． 3 A． 6 B． 5 C． 4 考点：定积分．专题：计算题．分析：直接根据定积分的运算法则求解即可． 12222解答：解：∫22xdx=x|1=2��1=3 故选D．点评：本题是定积分的简单计算，是基础题．323．（3分）设f（x）=ax+3x+2，若f′（��1）=4，则a的值等于（）A． B． C．考点：导数的运算．专题：计算题．分析：先求出导函数，再代值算出a． 2解答：解：f′（x）=3ax+6x，∴f′（��1）=3a��6=4，∴a=D．故选D．点评：本题是对导数基本知识的考查，属于容易题，在近几年的高考中，对于导数的考查基本围绕导数的计算和导数的几何意义展开，是考生复习时的重点内容． 4．（3分）若，则实数x的值为（）C． 4或1 D．其它 A． 4 B． 1 考点：组合及组合数公式．专题：计算题．分析：直接利用组合数公式的性质列式求解x的值．解答：解：由，得①或②解①得，x=1．解②得，x=4．所以x的值为4或1．故选C．点评：本题考查了组合及组合数公式，考查了组合数公式的性质，是基础的运算题． 35．（3分）（2021?江西模拟）曲线y=x��2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（） A．30° B．45° C．60° D．120° 考点：导数的几何意义．专题：计算题．分析：欲求在点（1，3）处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知k=y′|x=1，再结合正切函数的值求出角α的值即可． /22解答：解：y=3x��2，切线的斜率k=3×1��2=1．故倾斜角为45°．故选B．点评：本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角，本题属于容易题． 6．（3分）（2021?杭州二模）在的展开式中的常数项是（）A． 7 B．��7 C． 28 D．��28 考二项式系数的性质．点：专计算题．题：分利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出展开式的常数项．析：解解：展开式的通项为答：令故选A 点本题考查利用二项展开式的通项公式解决展开式的特定项问题，属于基础题．评： 327．（3分）函数f（x）=x��3x+2x的极值点的个数是（） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用．分析：对函数求导，结合导数的符号判断函数的单调性，进而可求函数的极值的个数． 2解答：解：由题知f（x）的导函数f'（x）=3x��6x+2，当x∈则函数f（x）在32时，f'（x）＜0，当x∈上单调递减，函数f（x）在或（1，+∞）时，f'（x）＞0，，（1，+∞）上单调递增，∴函数 f（x）=x��3x+2x有2个极值点．故答案为：C．点评：本题考查利用导数研究函数的极值．属于基础题． n8．（3分）在（x+y）的展开式中，若第七项系数最大，则n的值可能等于（）A． 13，14 B． 14，15 C． 12，13 D． 11，12，13 考点：二项式系数的性质．专题：计算题；分类讨论．分析：根据题意，分三种情况讨论，①若仅T7系数最大，②若T7与T6系数相等且最大，③若T7与T8系数相等且最大，由二项式系数的性质，分析其项数，综合可得答案．解答：解：根据题意，分三种情况：①若仅T7系数最大，则共有13项，n=12；②若T7与T6系数相等且最大，则共有12项，n=11；③若T7与T8系数相等且最大，则共有14项，n=13；所以n的值可能等于11，12，13；故选D．点评：本题考查二项式系数的性质，注意分清系数与二项式系数的区别于联系；其次注意什么时候系数会取到最大值． 39．（3分）（2021?昌图县模拟）若函数f（x）=x+ax��2在区间（1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是（） A． [��3，+∞） B．（��3，+∞） C． [0，+∞） D．（0，+∞）考点：函数的单调性与导数的关系．专题：计算题． 2分析：由已知，f′（x）=3x≥0在[1，+∞）上恒成立，可以利用参数分离的方法求出参数a的取值范围． 2解答：解：f′（x）=3x+a，根据函数导数与函数的单调性之间的关系，f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成222立，即a≥��3x，恒成立，只需a大于��3x 的最大值即可，而��3x 在[1，+∞）上的最大值为��3，所以a≥��3．即数a的取值范围是[��3，+∞）．故选A．点评：本题考查函数导数与函数的单调性之间的关系，参数取值范围求解．本题采用了参数分离的方法． 10．（3分）已知一个命题P（k），k=2n（n∈N），若n=1，2，…，1000时，P（k）成立，且当n=1000+1时它也成立，下列判断中，正确的是（） A． P（k）对k=2021成立 B． P（k）对每一个自然数k成立C． P（k）对每一个正偶数k成立 D． P（k）对某些偶数可能不成立考点：进行简单的合情推理．专题：概率与统计． *分析：由于命题p（k），这里k=2n（n∈N），当n=1，2，…，1000时，p（k）成立，而当n=1000+1时，故p（k）对于1～1000内的奇数均成立，对其它数却不一定成立，故可得结论． *解答：解：由于命题p（k），这里k=2n（n∈N），当n=1，2，…，1000时，p（k）成立，而当n=1000+1时，故p（k）对于1～1000内的奇数均成立，对其它数却不一定成立故p（k）对于k=2021不一定成立，对于某些偶数可能成立，对于每一个偶数k不一定成立，对于每一个自然数k不一定成立．故选D．点评：本题考查的知识点是用数学归纳法证明数学命题，考查学生的推理能力，属于中档题．二．填空题（每小题4分，共24分） 11．（4分）函数f（x）=1��lnx在x=1处的切线方程是 y=2��x ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可得到切线方程．解答：解：∵f（x）=1��lnx，∴f′（x）=�� x=1时，f′（1）=��1，f（1）=1 ∴函数f（x）=1��lnx在x=1处的切线方程是y��1=��（x��1），即y=2��x 故答案为：y=2��x．点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题． 12．（4分）（文）如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=��x+8，则f（5）+f′（5）= 2 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：根据导数的几何意义，结合切线方程，即可求得结论．解答：解：由题意，f（5）=��5+8=3，f′（5）=��1 ∴f（5）+f′（5）=2 故答案为：2 点评：本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题． 13．（4分）由0，1，3，5，7，9这六个数字组成 480 个没有重复数字的六位奇数．考点：计数原理的应用．专题：概率与统计．分析：先排第一位、第六位，再排中间，利用乘法原理，即可得到结论．解答：解：第一位不能取0，只能在5个奇数中取1个，有5种取法；第六位不能取0，只能在剩余的4个奇数中取1个，有4种取法；中间的共四位，以余下的4个数作全排列．所以，由0，1，3，5，7，9这六个数字组成的没有重复数字的六位奇数有5×4×=480个．故答案为：480 点评：本题考查计数原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．77614．（4分）若（2x��1）=a7x+a6x+…+a1x+a0，则a7+a5+a3+a1= 1094 ．考点：二项式定理．专题：计算题；概率与统计．分析：在所给的等式中，令x=1可得 a7+a6 +…+a1 +a0 =1 ①，再令x=��1可得��a7 +a6 ��55+a4��a3+a2��a1 +a07=��3 ②．把①减去②，两边再同时除以2求得 a7+a5+a3+a1的值．解答：解：在所给的等式中，令x=1可得a7 +a6 +…+a1 +a0 =1 ①，再令x=��1可得��a7 +a6��55+a4��a3+a27��a1 +a0 =��3 ②．把①减去②，两边再同时除以2求得a7+a5+a3+a1==1094，故答案为1094．点评：本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于中档题． 15．（4分）已知x＞0，观察下列几个不等式：；；；；…；归纳猜想一般的不等式为，（n是正整数）．考点：归纳推理．专题：探究型．分析：根据题意，对给出的几个等式变形可得，x+≥1+1，x+≥2+1，x+≥3+1，…，类推可得变化规律，左式为x+，右式为n+1，即可得答案．解答：解：根据题意，对给出的等式变形可得，x+≥1+1，x+≥2+1，x+≥3+1，…，则一般的不等式为x+≥n+1，（n是正整数）；故答案为x+≥n+1（n是正整数）．感谢您的阅读，祝您生活愉快。

北师大附中2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题及参考答案

北京师大附中2020－2021学年下学期高二年级期中考试数学试卷本试卷有四道大题，考试时长120分钟，满分150分。

一、单项选择题，本大题共8小题，共32分。

在各小题列出的四个选项中，有且只有一项是正确的，请选出符合要求的选项。

1.函数x y 2=在区间[0x ，0x +∆x ]上的平均变化率为A.xx ∆+0 B.1+x∆ C.x∆+2 D.22.一个物体的位移s 关于时间t 的运动方程为s=1－t+t 2，其中s 的单位是：m ，t 的单位是：s ，那么物体在t=3s 时的瞬时速度是A.5m ／sB.6m ／sC.7m ／sD.8m ／s3.下列函数中，是奇函数且在定义域内为单调函数的是A.2xy = B.y =ln x C.y =x +sin x D.y =x34.函数)(x f y =的导函数)('x f y =的图象如图所示，则函数)(x f y =的图象可能是5.已知集合M={－2，3}，N={－4,5,6}，依次从集合M ，N 中各取出一个数分别作为点P 的横坐标和纵坐标，则在平面直角坐标系中位于第一、二象限内的点P 的个数是A.4B.5C.6D.76.若曲线b ax x y ++=2在点（0，b ）处的切线方程是x +y －1=0，则A.a=1，b=1B.a=－l ，b=lC.a=l ，b=－1D.a=－1，b=－16。

7.“a ≥0”是“函数)(x f =x a x ln 2+在[1，+∞）上单调递增”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.某电动汽车“行车数据”的两次记录如下表：记录时间累计里程（单位：公里）平均耗电量（单位：kW ·h ／公里）剩余续航里程（单位：公里）2019年1月1日40000.1252802019年1月2日41000.126146（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，平均耗电量=累计里程累计耗电量，剩余续航里程=平均耗电量剩余电量下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是A.等于12.5 B.12.5到12.6之间C.等于12.6D.大于12.6二、多项选择题，本大题共2小题，共8分。

北师大版高二下期中考试数学试卷及答案(理科)-精选

高二下学期期中考试数学（理）一、选择题：（每小题5分，共60分）1. 椭圆2212xy+=上的一点P到焦点1F的距离等于1，则点P到另一个焦点2F的距离是（）A．1B．3C1D．12. 若方程22125x yk k-=+-表示双曲线，则k的取值范围是（）A．(,2)-∞-B．(2,5)-C．[)(,2)5,-∞-+∞D．(5,)+∞3. 设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为12y x=±，则双曲线的离心率为（）A．5B C D．544. 设椭圆22221x ym n+=（0m>，0n>）的右焦点与抛物线28y x=的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（）A.2211216x y+= B.2211612x y+= C.2214864x y+= D.2216448x y+=5. xy=与2xy=围成的封闭图形的面积为（）A.31B.41C.61D.216．函数32()32f x ax x=++，若4)1(=-'f，则a的值等于（）A．193B．163C．133D．1037. 曲线123+-=xxy在点（1,0）处的切线方程为（）A.1-=xy B.1+-=xy C. 22-=xy D. 22+-=xy8．把长度为16的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积和的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D.89. dxx⎰421等于（）A.2ln2- B. 2ln2 C. 2ln- D. 2ln10. 设)(xf'是函数f(x)的导函数，=y)(xf'的图象如左下图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是（) （的图象）A B C D11. 方程0333=--xx的实数根的个数为（）A. 3B. 2C. 1D.012. 设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若FCFBFA++=0，则|FA|+|FB|+|FC|=（）A ．9 B. 6 C. 4D. 3 二、填空题（每小题5分，共20分）13. 曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线的倾斜角为___________________； . 14. 函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是_________________________ 15．设点P 是双曲线x 2－23y =1上一点，焦点F （2，0），点A （3，2），使|PA |+21|PF |有最小值时，则点P 的坐标是． 16. 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，则直线l 的方程为______________________ .三、解答题（共70分） 17. 已知函数23)(bx ax x f +=，当1x =时，有极大值3；（1）求,a b 的值；（2）求函数)(x f 的极小值 18. 若双曲线与椭圆1162522=+y x 有相同的焦点，与双曲线1222=-y x 有相同渐近线，求双曲线方程. 19. 已知长轴长为22，短轴长为2，焦点在x 轴上的椭圆，过它的左焦点1F 作倾斜角为4π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．20. 已知a 为实数，()()2()4f x x x a =--。

2020-2021学年北京师大实验中学高二(下)期中数学复习卷2(含答案解析)

2020-2021学年北京师大实验中学高二(下)期中数学复习卷2一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={x|3≤x<7}，B={2<x<10}，则A∩B()A. {x|3≤x<7}B. {x|3<x<7}C. {x|2≤x<7}D. {x|2≤x<10}2.函数f(x)=2|sinx|是()A. 最小正周期为2π的奇函数B. 最小正周期为2π的偶函数C. 最小正周期为π的奇函数D. 最小正周期为π的偶函数3.已知函数f(x)={x 2+9,x≤1lgx,x>1，记f1(x)=f(x)，f2(x)=f(f1(x))，f3(x)=f(f2(x))，…，则f2014(10)=()A. lg109B. 2C. 1D. 104.三个数a=70.3，b=0.37，c=log70.3，则()A. c<b<aB. b<a<cC. b<c<aD. a<c<b5.已知函数，其中为常数．那么“”是“为奇函数”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.若函数f(x)=x3−3ax+a在区间(1,2)上不单调，则实数a的取值范围是()A. 1<a<2B. 1<a<4C. 2<a<4D. a<1，或a>47.已知函数f(x)=−x3+ax2−x−1在(−∞,+∞)上存在极值，则实数a的取值范围是()A. [−√3,√3]B. (−√3,√3)C. (−∞,−√3)∪(√3,+∞)D. (−∞,−√3]∪[√3,+∞)8.“金导电、银导电、铜导电、铁导电，所以一切金属都导电”，此推理方法是()A. 类比推理B. 归纳推理C. 演绎推理D. 分析法二、单空题（本大题共5小题，共25.0分）9.在三棱锥C−ABD中(如图)，△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，AB=4，二面角A−BD−C的大小为60°，并给出下面结论：①AC⊥BD；②AD⊥CO；③△AOC为正三角形；④cos∠ADC=√32；⑤四面体ABCD的外接球表面积为32π，其中真命题是______ ．10.已知正项数列{a n}的前n项和为S n，当n≥2时，(a n−S n−1)2=S n S n−1，且a1=1，设b n=log2a n+13，则b1+b2+⋯+b n+34n+1的最小值是______．11.奇函数f(x)在(−∞,0]上单调递减，则不等式f(2x)+f(x−3)>0的解是______．12.15.如果的定义域为，对于定义域内的任意，存在实数使得成立，则称此函数具有“性质”.给出下列命题：①函数具有“性质”；②若奇函数具有“性质”，且，则；③若函数具有“性质”，图象关于点成中心对称，且在上单调递减，则在上单调递减，在上单调递增；④若不恒为零的函数同时具有“性质”和“性质”，且函数对，都有成立，则函数是周期函数．其中正确的是(写出所有正确命题的编号)．13.下列结论中：(1)定义在R上的函数f(x)在区间(−∞,0]上是增函数，在区间[0,+∞)也是增函数，则函数f(x)在R上是增函数；(2)若f(2)=f(−2)，则函数f(x)不是奇函数；(3)函数y=x−0.5是(0,1)上的减函数；(4)对应法则和值域相同的函数的定义域也相同；(5)若x0是函数y=f(x)的零点，且m<x0<n，则f(m)f(n)<0一定成立；写出上述所有正确结论的序号：______．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）14.已知集合A={x|x2−3x+2=0}，用列举法表示集合A为(1)；若集合B⊆A，则集合B的个数为(2)．四、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数f(x)=√5−x+lg(x+1)的定义域为集合A，函数g(x)=lg(x2−2x+a)的定义域为集合B．(Ⅰ)当a=−8时，求A∩B；(Ⅱ)若A∩∁R B={x|−1<x≤3}，求a的值．16.已知a，b为正实数，(1)若a+b=2，求11+a +41+b的最小值；(2)求证：a2b2+a2+b2≥ab(a+b+1)．17.已知函数f(x)=x·e x−1−a(x+lnx)，a∈R．(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为x轴，求a的值：(2)在(1)的条件下，求f(x)的单调区间；(3)若∀x>0，f(x)≥f(m)恒成立，且f(m)≥0，求证：f(m)≥2(m2−m3).18.已知正数，若对任意满足条件的都有成立，求实数的取值范围。

2021北京师大附中高二(下)期中数学(教师版)

2021北京师大附中高二（下）期中数学考生须知：1.本试卷满分150分。

2.在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号。

3.试题答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4.在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5.考试结束时，将本试卷、答题卡一并交回。

一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（3分）直线y＝x+1的倾斜角是（）A．B．C．D．2．（3分）如果直线3x﹣y＝0与直线mx+y﹣1＝0平行，那么m的值为（）A．﹣3B．C．D．33．（3分）圆（x+1）2+（y﹣2）2＝1与x轴的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定4．（3分）“m＝n”是“方程mx2+ny2＝1表示圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（3分）1765年，数学家欧拉在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，这条直线就是后人所说的“欧拉线”．已知△ABC的顶点B（﹣1，0），C（0，2），且|AB|＝|AC|＝4，则△ABC的欧拉线方程为（）A．2x﹣4y﹣3＝0B．2x+4y+3＝0C．4x﹣2y﹣3＝0D．2x+4y﹣3＝06．（3分）设O为坐标原点，点A（1，0），动点P在抛物线y2＝4x上，且位于第一象限，M是线段P A的中点，则直线OM的斜率的取值范围为（）A．（0，1]B．（0，1）C．（1，+∞）D．[1，+∞）7．（3分）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点A（x，y）与点B（a，b）之间的距离的几何问题．结合上述观点，可得方程的解是（）A．B．C．D．8．（3分）在化学课上，你一定曾注意到，当装有液体的试管稍微倾斜一点时，液面的轮廓是椭圆形的．即用平面α截圆柱面，当圆柱的轴与α所成角为锐角时，圆柱面的截线是一一个椭圆．著名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α的上方和下方，两球分别和α相切于F1，F2两点，并且都与圆柱面相切．给出下列四个结论：①过截线上的任意一点P作圆柱的母线，分别与两球相交于M，N，则|MN|为所得椭圆的长轴长；②F1，F2两点是所得椭圆的两个焦点；③若球心距|O1O2|＝4，球的半径为1，则所得椭圆的焦距为；④当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大．其中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①②③D．①②③④二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）抛物线x2＝4y的焦点坐标是；准线方程为．10．（3分）双曲线的实轴长是，渐近线方程是．11．（3分）写出一个离心率为的双曲线的标准方程．12．（3分）已知抛物线C：y2＝8x上一点M到焦点的距离为3，那么点M到y轴的距离为．13．（3分）已知圆C：x2+y2＝4与圆D：x2+y2﹣4x+2y+4＝0相交于A，B两点，则两圆公共弦线所在的直线方程为，公共弦AB的长为．14．（3分）2020年12月，“嫦娥五号”月球探测器首次实现从月球无人采样返回，这标志着中国航天又向前迈出一大步．我校航天社团利用计算机模拟探测器某段飞行轨迹，如图，探测器在环月椭圆轨道上运动，月球的球心为椭圆的一个焦点，探测器在近月点“制动”后，进入距离月球表面n千米的环月圆形轨道．已知两轨道相切于近月点，远月点到月球表面的最近距离为m千米，月球半径为r千米，则椭圆轨道的长轴长为；离心率为．15．（3分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是底面ABCD内一动点．（1）若P到直线AA1与直线BC的距离相等，则动点P的轨迹所有在的曲线是．（2）若P到直线AA1与与平面A1B1C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是．16．（3分）数学史上，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为“卡西尼曲线”．卡西尼是法国天文学家，他在1675年研究土星及其卫星的运行规律时，发现了这种类型的曲线，为纪念他对土星研究的贡献，美欧在1997年合作发射的土星探测器就是以他的名字命名的．设卡西尼曲线C的两定点为F1（﹣1，0）和F2（1，0），常数为a（a＞0）．给出下列四个结论．①曲线C一定过原点；②曲线C一定关于坐标轴对称；③当且仅当a≥1时曲线C上存在到F1，F2距离相等的点；④曲线C上存在点P使得△F1PF2的面积大于．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题（共4题，共52分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．（12分）请选择（1）与（2）其中一组，写出该组中满足相应条件的点M的轨迹方程．（请注意，只能选择其中一组作答，每组写出3个方程，不能两组混选，多选按先写的一组计分）题组（1）点M满足的条件点M的轨迹方程点M到定点F（﹣1，0）的距离与它到定直线x＝1的距离相等．①点M到定点F（1，0）的距离与它到定直线x＝4的距离之比为．②点M到定点F（2，0）的距离与它到定直线x＝1的距离之比为．③题组（2）已知两定点F1（﹣2，0），F2（2，0）．平面内，点M满足的条件点M的轨迹方程|MF1|+|MF2|＝6①|MF1|﹣|MF2|＝2②③18．（15分）已知抛物线y2＝4x，O为坐标原点，抛物线上是否存在A，B两点关于点P（1，1）对称，若存在，求△OPB的面积；若不存在，说明理由．19．（15分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为F，点A（2，0）在椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F的直线l（不与x轴重合）交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别与直线x＝4交于点P，Q．求证：以线段PQ为直径的圆被x轴截得的弦长为定值．20．（10分）下面是某同学在学段总结中对圆锥曲线切线问题的总结和探索，现邀请你一起合作学习，请你思考后，将答案补充完整．（1）圆O：x2+y2＝r2上点M（x0，y0）处的切线方程为．理由如下：．（2）椭圆（a＞b＞0）上一点（x0，y0）处的切线方程为；（3）P（m，n）是椭圆L：外一点，过点P作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，如图，则直线AB 的方程是．这是因为在A（x1，y1），B（x2，y2）两点处，椭圆L的切线方程为和．两切线都过P点，所以得到了和，由这两个“同构方程”得到了直线AB的方程；（4）问题（3）中两切线P A，PB斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为y﹣n＝k（x﹣m），由，得（1+3k2）x2+6k（n﹣km）x+3（n﹣km）2﹣3＝0，化简得△＝0得（3﹣m2）x2+2mnk+1﹣n2＝0．若P A⊥PB，则由这个方程可知P点一定在一个圆上，这个圆的方程为．（5）抛物线y2＝2px（p＞0）上一点（x0，y0）处的切线方程为y0y＝p（x0+x）；（6）抛物线C：x2＝4y，过焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，分别过点A，B作抛物线的两条切线l1和l2，设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线l1的方程为x1x＝2（y1+y）．直线l2的方程为x2x＝2（y2+y），设l1和l2相交于点M．则①点M在以线段AB为直径的圆上；②点M在抛物线C的准线上．2021北京师大附中高二（下）期中数学参考答案一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．【分析】根据题意，设直线的倾斜角为θ，由直线的方程可得直线的斜率，进而可得tanθ＝1，据此分析可得答案．【解答】解：根据题意，直线y＝x+1，设其倾斜角为θ，其斜率k＝1，则有tanθ＝1，则θ＝．故选：B．【点评】本题考查直线的倾斜角与斜率，涉及直线的斜截式方程，属于基础题．2．【分析】根据题意，求出两条直线的斜率，由直线平行与斜率的关系，分析可得﹣m＝3，解可得m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，直线3x﹣y＝0的斜率k1＝3，直线mx+y﹣1＝0的斜率k2＝﹣m，若直线3x﹣y＝0与直线mx+y﹣1＝0平行，则有﹣m＝3，即m＝﹣3；故选：A．【点评】本题考查直线平行的判定方法，注意直线平行与直线斜率的关系．3．【分析】由圆的方程求出圆心坐标与半径，再由圆心到x轴的距离大于半径得答案．【解答】解：圆（x+1）2+（y﹣2）2＝1的圆心坐标为（﹣1，2），半径为1，圆心（﹣1，2）到x轴的距离d＝2＞1，∴圆（x+1）2+（y﹣2）2＝1与x轴的位置关系是相离．故选：C．【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，是基础题．4．【分析】根据圆的方程，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若m＝n＝0时，方程mx2+ny2＝1等价为0＝1，无意义，不能表示圆，若方程mx2+ny2＝1表示圆，则m＝n＞0，∴“m＝n”是“方程mx2+ny2＝1表示圆”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用圆的标准方程是解决本题的关键，比较基础．5．【分析】由|AB|＝|AC|＝4，可得△ABC的外心、重心、垂心都位于线段BC的垂直平分线上，求出线段BC的垂直平分线，即可求出△ABC的欧拉线方程．【解答】解：∵|AB|＝|AC|＝4，∴△ABC的外心、重心、垂心都位于线段BC的垂直平分线上，∵△ABC的顶点B（﹣1，0），C（0，2），∴线段BC的中点的坐标为（，1），线段BC所在直线的斜率，∴线段BC垂直平分线的方程为y﹣1＝，即2x+4y﹣3＝0，∴△ABC的欧拉线方程为2x+4y﹣3＝0．故选：D．【点评】本题主要考查了欧拉线的方程，三角形的外心重心垂心的性质，属于中档题．6．【分析】首先设出点P的坐标，然后结合中点坐标公式和斜率公式求得斜率的表达式，最后求解斜率的取值范围即可．【解答】解：设点P的坐标为P（4m，4m）（m＞0），则：，∵m＞0，∴，即直线OM的斜率的取值范围为（0，1）．故选：B．【点评】本题主要考查圆锥曲线中的范围问题，函数值域的求解，等价转化的数学思想等知识，属于中等题．7．【分析】先把方程整理为，问题转化为平面内一点M（x，1）到定点（﹣2，0）的距离比到定点（2，0）的距离大2，利用双曲线的定义即可求出M的轨迹方程，进而可以求解．【解答】解：由方程可得：，其几何意义为平面内一点M（x，1）到定点（﹣2，0）的距离比到定点（2，0）的距离大2，由双曲线的定义可得点M的轨迹是以（﹣2，0），（2，0）为焦点的双曲线的右支，则c＝2，2a＝2，所以a＝1，b＝，则M的轨迹方程为：，令y＝1，解得x＝（舍去），所以方程的解是，故选：C．【点评】本题考查了双曲线的性质，双曲线方程的求解，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．8．【分析】对于①②：根据切线长定理的空间推广，|PF1|+|PF2|＝|PM|+|PN|＝|MN|＝|O1O2|是定值，由椭圆的定义可得①②是否正确；对于③：当|O1O2|＝4时，|OO1|＝2，球半径为1，即R＝1，在直角三角形O1OC中，|OC|2＝|OO1|2﹣R2＝3，则c＝时，即可判断③是否正确；对于④：由上可知b不变，当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，由图易知2a越来越小，则越来越大，可判断④是否正确．【解答】解：对于①②：根据题意PM，PN分别为两球面的切点，切点为M，N，根据切线长定理的空间推广，可得PF1＝PM，PF2＝PN，所以|PF1|+|PF2|＝|PM|+|PN|＝|MN|＝|O1O2|是定值，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，|MN|为所得椭圆的长轴长，故①，②正确；对于③：当|O1O2|＝4时，|OO1|＝2，球半径为1，即R＝1，在直角三角形O1OC中，|OC|2＝|OO1|2﹣R2＝22﹣12＝3，c＝时，所以焦距为2c＝2，故③正确；对于④：由上可知b不变，当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，由图易知2a越来越小，则越来越大，所以e2越来越小，即离心率越来越小，故④错误，综上所述：①②③正确；故选：C．【点评】本题考查了椭圆的几何性质及其应用，属于中档题．二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）9．【分析】由抛物线方程可得2p＝4，即p＝2，由焦点（0，），准线方程y＝﹣，计算可得所求．【解答】解：抛物线x2＝4y的2p＝4，即p＝2，可得焦点为（0，1），准线方程为y＝﹣1．故答案为：（0，1），y＝﹣1．【点评】本题考查抛物线的方程和性质，记住焦点坐标和准线方程是解题的关键，属于基础题．10．【分析】根据双曲线的标准方程分别进行求解即可．【解答】解：由双曲线的方程得a2＝1，b2＝3，则a＝1，b＝，则双曲线的实轴长2a＝2，渐近线方程为y＝±x＝x，故答案为：2，y＝x【点评】本题主要考查双曲线实轴和渐近线的求解，求出a，b是解决本题的关键．11．【分析】根据题意，由双曲线的离心率公式，即c＝a，假设双曲线的焦点在x轴且a＝1，求出双曲线的标准方程，即可得答案．【解答】解：根据题意，要求双曲线的离心率e＝＝，则c＝a，若双曲线的焦点在x轴，a＝1，则c＝，b＝1，则要求双曲线的方程为x2﹣y2＝1，故答案为：x2﹣y2＝1（答案不唯一）．【点评】本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的标准方程，属于基础题．12．【分析】首先确定抛物线的准线方程，然后结合抛物线的定义即可求得点到y轴的距离．【解答】解：由抛物线的方程可得其准线方程为：x＝﹣2，结合抛物线的定义可知点M到直线x＝﹣2的距离为3，则点M到y轴的距离为3﹣2＝1．故答案为：1．【点评】本题主要考查抛物线准线方程的求解，抛物线定义的应用，属于基础题．13．【分析】将两圆的方程作差，消去x2和y2，即可得到公共弦方程，由点到直线的距离公式求出圆心C到直线AB 的距离，由，即可求出公共弦长．【解答】解：因为圆C：x2+y2＝4与圆D：x2+y2﹣4x+2y+4＝0相交于A，B两点，所以AB所在直线即为两圆公共弦所在的直线方程，联立两圆的方程，消去x2和y2，可得4x﹣2y＝8，即2x﹣y﹣4＝0，故两圆公共弦线所在的直线方程为2x﹣y﹣4＝0；因为圆C：x2+y2＝4的圆心C（0，0），半径r＝2，则圆心C到直线AB的距离为，所以＝，则公共弦AB的长为．故答案为：2x﹣y﹣4＝0；．【点评】本题考查了圆与圆位置关系的应用，直线与圆位置关系的应用，要掌握两圆公共弦方程的求解方法，公共弦的求解方法，属于中档题．14．【分析】由题意首先确定长轴长，然后得到关于a，c的等式，最后得到关于离心率的方程，解方程即可确定离心率的值．【解答】解：由题意可得，长轴长2a＝m+n+2r，且：，即，∴．故答案为：．【点评】本题主要考查椭圆离心率的求解，椭圆的实际应用等，属于基础题．15．【分析】（1）连接AP，则点P到点A的距离与点P到直线BC的距离相等，由抛物线的定义可得答案．（2）连接AP，点P到直线AA1的距离等于A，P两点的距离，点P到平面A1B1C1D1的距离为正方体的棱长，进而可得答案．【解答】解：（1）连接AP，点P到直线AA1的距离等于A，P两点的距离，若P到直线AA1与直线BC的距离相等，则点P到点A的距离与点P到直线BC的距离相等，所以点P的轨迹为以A为焦点，以BC为准线的抛物线．（2）连接AP，点P到直线AA1的距离等于A，P两点的距离，点P到平面A1B1C1D1的距离为正方体的棱长，若P到直线AA1与与平面A1B1C1D1的距离相等，则点P的轨迹为以A为圆心AB为半径的四分之一个圆．故答案为：（1）抛物线．（2）以A为圆心AB为半径的四分之一个圆．【点评】本题考查圆锥曲线的轨迹，属于中档题．16．【分析】设P（x，y），由两点的距离公式可得曲线的方程，代入原点，可判断①；将x换为﹣x，y不变或y换为﹣y，x不变，可判断②；令|PF1|＝|PF2|，可判断③；由三角形的面积公式和正弦函数的有界性可判断④．【解答】解：设P（x，y），由|PF1|•|PF2|＝a，可得•＝a，①，将（0，0）代入上式，可得1＝a，即当a＝1时，曲线才过原点，故①错误；②，将x换为﹣x，y不变，代入方程，可得方程不变，图象关于y轴对称；将y换为﹣y，x不变，可得方程不变，图象关于x轴对称，故②正确；③，令|PF1|＝|PF2|，解得|PF1|＝|PF2|＝，因为|F1F2|＝2，要构成三角形，可得2＞2，即a＞1，故③错误；④，S＝|PF1|•|PF2|•sin∠F1PF2＝sin∠F1PF2≤，故④错误．故答案为：②．【点评】本题考查命题的真假判断，以及曲线方程的求法和特征，考查推理能力和运算能力，属于中档题．三、解答题（共4题，共52分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．【分析】由椭圆，抛物线，双曲线的定义可得（1）中的①，（2）中①②的轨迹方程，由两点间的距离公式及比值故选求出（1）中的②③，（2）中的③的轨迹方程．【解答】解：（1）当满足①时由抛物线的定义可得，定点为抛物线的焦点，定直线为抛物线的准线，所以M的轨迹方程为：y2＝4x；②＝•|x﹣1|设M的坐标为（x，y），由题意可得＝•|x﹣4|，整理可得：+＝1；所以M的轨迹方程为：+＝1；③设M的坐标为（x，y），由题意可得：＝•|x﹣1|，整理可得：x2﹣y2＝2，所以M的轨迹方程为：﹣＝1；（2）中①由椭圆的定义可得，|MF1|+|MF2|＝6＞|F1F2|＝4，所以可得M的轨迹为以点F1（﹣2，0），F2（2，0）．为焦点的椭圆，这时c＝2，2a＝6，即a＝3，所以b2＝a2﹣c2＝5，所以M的轨迹方程为：+＝1；②由双曲线的定义可得M的轨迹以F1，F2为焦点的双曲线的右支，且c＝2，2a＝2，即a＝1，所以b2＝c2﹣a2＝3，所以M的轨迹方程为x2﹣＝1，（x＞0）；③设M（x，y），由＝2可得＝2，整理可得：（x﹣）2+y2＝，所以M的轨迹方程为：（x﹣）2+y2＝．【点评】本题考查由圆锥曲线的定义求点的轨迹方程及其他情形轨迹方程的求法，属于中档题．18．【分析】假设存在满足题意的点，然后结合抛物线的方程讨论点是否存在即可．【解答】解：设存在满足题意的点，其点A的坐标为：A（4m2，4m）（m＞0），由中点坐标公式可得B（2−4m2，2−4m），点B在抛物线上，则：（2−4m）2＝4（2−4m2），解方程可得：，由对称性，不妨取，则：，直线AP的方程为y−1＝2（x−1），即2x﹣y﹣1＝0，坐标原点到直线的距离：，易知．【点评】本题主要考查抛物线中的探索性问题，中点坐标公式的应用，方程思想的应用等知识，属于中等题．19．【分析】（1）利用椭圆的几何性质列式求解即可；（2）设直线l方程为x＝my+1，联立椭圆方程，求出P，Q两点坐标，并结合韦达定理求出PQ间的距离及中点坐标，再利用弦长公式求出弦长即可．【解答】解：（1）由条件有，解得c＝1，b＝，所以椭圆C的方程为．（2）证明：F（1，0），设直线l的方程为x＝my+1，M（x1，y1），N（x2，y2）．联立椭圆方程，整理得（3m²+4）y²+6my﹣9＝0，，．直线MA的方程为y＝，令x＝4，得P（4，），同理，Q（4，）．所以|PQ|＝|﹣|＝＝＝6．PQ中点为（4，），即（4，﹣3m）．故以线段PQ为直径的圆被x轴截得的弦长为＝．即：以线段PQ为直径的圆被x轴截得的弦长为定值．【点评】本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．20．【分析】（1）若切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，则，求出k，然后利用点斜式直线方程求解即可，验证当切线的斜率不存在时也适合，即可得到切线的方程；（3）通过椭圆L的切线方程为和都过点P，由这两个“同构方程”即可得到了直线AB 的方程；（4）设切线P A，PB的统一表达式为y﹣n＝k（x﹣m），与椭圆方程联立，得到△＝0，利用两条直线垂直的充要条件以及韦达定理得到，即可得到圆的方程．【解答】解：（1）圆O：x2+y2＝r2上点M（x0，y0）处的切线方程为．理由如下：①若切线的斜率存在，设切线的斜率为k，则，所以，又过点M（x0，y0），由点斜式可得，y﹣y0＝（x﹣x0），化简可得，，又，所以切线的方程为；②若切线的斜率不存在，则M（±r，0），此时切线方程为x＝±r．综上所述，圆O：x2+y2＝r2上点M（x0，y0）处的切线方程为．（3）在A（x1，y1），B（x2，y2）两点处，椭圆L的切线方程为和，因为两切线都过P点（m，n），所以得到了和，由这两个“同构方程”得到了直线AB的方程为；（4）问题（3）中两切线P A，PB斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为y﹣n＝k（x﹣m），由，可得（1+3k2）x2+6k（n﹣km）x+3（n﹣km）2﹣3＝0，由△＝0，可得（3﹣m2）x2+2mnk+1﹣n2＝0（*），因为P A⊥PB，则k P A•k PB＝﹣1，所以（*）式中关于k的二次方程有两个解且其乘积为﹣1，则，可得m2+n2＝4，所以圆的半径为2，且过原点，其方程为x2+y2＝4．故答案为：（1），理由见解析；（3）；（4）x2+y2＝4．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，直线与椭圆位置关系的应用，点斜式直线方程的求解以及圆的切线的几何性质的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．。

【高二】2021高二数学下册期中考试文科试卷(北师大版有答案)

【高二】2021高二数学下册期中考试文科试卷（北师大版有答案）一、：（每小题5分，共60分）1.椭圆上的一点到焦点的距离等于，则点到另一个焦点的距离是（）a．b．c．d．2.若方程表示双曲线，则的取值范围是（）a．b．c．d．3.设双曲线的焦点在轴上，两条渐近线为，则双曲线的离心率为（）a．b．c．d．4.设椭圆（，）的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（）a.b. c.d.5.经过（1，2）点的抛物线的标准方程是（）a.y2＝4xb.x2＝yc.y2＝4x或x2＝yd.y2＝4x或x2＝4y6．函数，若，则的值等于（）a．b．c．d．7.曲线在点（1,0）处的切线方程为（）a.b.c.d.8．把长度为16的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积和的最小值为（）a.2b.4c.6d.89.函数在区间上的最小值为（）abcd10.设是函数f(x)的导函数，的图象如左下图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是（)（的图象）abcd11.方程的实数根的个数为（）a.3b.2c.1d.012.设f为抛物线y2=4x的焦点，a、b、c为该抛物线上三点，若=0，则fa+fb+fc=（）a．9b.6c.4d.3二、题（每小题5分，共20分）13.曲线在点处的切线的倾斜角为___________________；.14.函数的单调递减区间就是_________________________15．设点p就是双曲线x2－=1上一点，焦点f（2，0），点a（3，2），并使pa+pf存有最小值时，则点p的座标就是．16.已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，则直线的方程为______________________.三、解答题（共70分）17.未知函数，当时，存有极大值；（1）求的值；（2）求函数的极小值18.若双曲线与椭圆存有相同的焦点，与双曲线存有相同渐近线，谋双曲线方程.19.已知长轴长为，短轴长为2，焦点在轴上的椭圆，过它的左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于，两点，求弦的长．20.未知为实数，.（1）求导数；（2）若，谋在[-1,1]上的值域；（3）若在[-1,1]上是递减函数，求的取值范围21.未知抛物线，就是它的准线.若是抛物线互异两点，分别以为切点并作抛物线的切线，两切线处设点a.（i）若，证明：（ii）证明：的充要条件就是点a在直线上.数学答案（文）一、：（将恰当答案插入表格内，每小题5分后，共60分后）二、题（每小题5分，共20分）13..14.,1516.三、解答题（共70分）17.（本题满分14分后） (1)(2)018.（本题满分14分后）19.（本题满分14分）20.（本题满分14分后）文科：（1）（2）（3）理科：(1)(2)(3)。

北京西城44中高二下期中试卷北师大版数学(理科)word含解析

北京市第四十四中学2021-2021学年度第二学期期中测试高二数学试卷〔理科〕一、选择题：每题只有一个正确答案，每题5分，共40分．1．某一射手所得环数的分布列如下：A ．0.09B ．0.79C ．0.88D ．以上都不对【答案】C【解析】(6)0.090.280.290.22P x >=+++，选C ．2．在复平面内，复数12i -对应的点位于〔〕．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】12i2i21i 2i (2i)(2i)555++===+--+，第一象限，选A ．3．612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为〔〕．A ．160B ．160-C ．480D ．480-【答案】B【解析】66216C 2(1)rr r r r Tx --+=⋅⋅-⋅，令620r -=，3r =，∴常数为336C 2(6)160⋅⋅-=-，选B ．4．函数()f x 的导函数()f x '的图象如下图，那么()f x 的图象最有可能的是〔〕． A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】2x <-时，()0f x '<，()f x 单减，20x -<<时，()0f x '>，()f x 单增，0x ≥，()0f x '<，()f x 单减，选A ．5．从7名同学〔其中4男3女〕中选知名4参加环保知识竞赛，假设这4人中既有男生又有女生，那么不同选法的种数为〔〕．A ．25B ．28C ．31D ．34【答案】D【解析】共有47C 35=种，不可能仅有女生，仅有男生有1种情况，选D ．6．极坐标方程(1)(π)0(0)ρθρ--=≥表示的图形是〔〕．A ．两个圆B ．一个圆和一条射线C ．两条直线D ．一条直线和一条射线【答案】B【解析】(1)(π)0ρθ--=，∴1ρ=或πθ=，1ρ=为圆，πθ=为射线，选B ．7．盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都一样且灯口向下放着．现需要一只卡口灯泡使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，那么他直线第3次才获得卡口灯泡的概率为〔〕．A ．2140B ．1740C ．310D ．7120【答案】D 【解析】从中取一只螺口概率为310，再取一只螺口概率为29， ∵有8只灯泡，有一只螺口和7只卡口灯泡， ∴从中取一只卡口灯泡的概率是78．到第3次才获得卡口灯泡，选D ．8．对于R 上可导的任意函数()f x ，假设满足(1)()0x f x '-≥，那么必有〔〕．A ．(0)(2)2(1)f f f +<B ．(0)(2)2(1)f f f +>C ．(0)(2)2(1)f f f +≥D ．(0)(2)2(1)f f f +≤【答案】C【解析】1x ≥时，()0f x '≥，()f x 在(1,)+∞上单增，1x <时，()0f x '≤，()f x 在(,1)-∞上单减，1x =时，()f x 获得极小值，也为最小值，选C ．二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．9．复数(2i)i z =-的虚部是__________．【答案】2【解析】2i 1z =+，虚部为2．10．假设3230123(21)x a a x a x a x +=+++，那么该展开式的二项式系数之和为__________；0123a a a a -+-+ 的值为__________．【答案】1【解析】328=，令1x =-，有01231()a a a a -=-++-，11．假设120()d 0x mx x +=⎰，那么m =__________．【答案】23- 【解析】120()d x mx x +⎰，12．假设圆C 的参数方程为3cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=⎩〔θ为参数〕，那么圆C 的圆心坐标为__________，圆C 与直线30x y +-=的交点个数为__________．【答案】(1,0)C2 【解析】22(1)9x y -+=，3r =，(1,0)C ．有2交点．13．()f x 为定义在(0,)+∞上的可导函数，且()()f x xf x '>恒成立，那么不等式21()0x f f x x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭的解集为__________〔结果写成集合或区间形式〕．【答案】{}|1x x > 【解析】()()f x F x x =，2()()()xf x f x F x x '-'=， ∴()F x 为定义域上减函数，由21()0x f f x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，得1()1f f x x xx⎛⎫ ⎪⎝⎭>， 14．函数()e ln x f x a x =+的定义域设为D ，关于函数()f x 给出以下命题：①对于任意(0,)a ∈+∞，函数()f x 是D 上的减函数．②对于任意(,0)a ∈-∞，函数()f x 存在最小值．③存在(0,)a ∈+∞，使得对于任意的x D ∈,都有()0f x >成立．④存在(,0)a ∈-∞，使得函数()f x 有两个零点．其中正确命题的序号是__________．〔写出所有正确命题的序号〕【答案】②④ 【解析】()e x a f x x'=+，①()e x a f x x'=+在(0,)a ∈+∞时，(0,)x ∈+∞恒大于零，()0f x '>， ∴①错误．②对(,0)a ∀∈-∞，00x ∃>使000()e 0x a f x x '=+=且函数()f x 在0(0,)x 上单减，在0(,)x +∞单增，那么函数()f x 存在最小值0()f x ，②正确．③当(0,)a ∈+∞，画出e x y =，ln y a x =，可看出，0x →时，()f x →-∞，③错误．④当(,0)a ∈-∞时，由〔2〕知，()f x 存在，最小值0()f x ，存在a 使得000()e ln 0x f x a x =+<，当0x →时，()f x →+∞，x →+∞时，()f x →+∞，所以()f x 有两零点，④对，综上：②④对．三、解答题：本大题共6小题，共80分．15．二次函数2()3f x x mx =+-在点(0,3)-处的切线与直线2y x =-平行．〔Ⅰ〕务实数m 的值．〔Ⅱ〕求()()4g x xf x x =+的单调区间和极值．【答案】见解析【解析】〔Ⅰ〕2()3f x x mx =+-，()2f x x m '=+，由(0)2f '=-，得2m =-，令()0g x '=，得11x =，213x =．∴,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，(1,)+∞为单调增区间， 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭为单调递减区间，在1x =，有极小值0，13x =有极大值427． 16．设进入某商场的每一位顾客购置甲种商品的概率为0.5，购置乙种商品的概率为0.6，且购置甲种商品与购置乙种商品互相独立，各顾客之间购置商品也是互相独立的．〔Ⅰ〕求进入商场的1位顾客甲、乙两种商品都购置的概率．〔Ⅱ〕求进入商场的1位顾客至少购置甲、乙两种商品中的一种概率．〔Ⅲ〕记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购置甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望．【答案】见解析【解析】记A 为进入的1位买甲，B 为进入的1位买乙，C 为进入的1位买甲、乙中的一种，D 为进入的1位顾客至少购置甲、乙两种中的一种．17．甲、乙两人参加一次英语口语考试，在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题，规定每位考生都从备选题中随机抽出3道题进展测试，至少答对2道题才算合格．〔Ⅰ〕求甲、乙两人考试合格的概率分别是多少？〔Ⅱ〕求乙答对试题数ξ的概率分布及数学期望？【答案】见解析【解析】〔Ⅰ〕A ={甲合格}，B ={乙合格}，〔Ⅱ〕ξ可取1，2，3，18．1x =是函数()1e xax bx f x +=+的极值点．〔Ⅰ〕务实数a 的值．〔Ⅱ〕试讨论()f x 的单调性．【答案】见解析【解析】〔Ⅰ〕2()1e xax bx f x +=+，而1x =为极点，当0b =时，()1f x =为常函数，当0b >时，0b >时，()f x 在(,1)-∞单增(1,)+∞单减，0b <时，()f x 在(,1)-∞单减，(1,)+∞单增．19．椭圆2214x C y +=:，点A 的坐标为(0,)m 直线l 与椭圆C 交于不同的两点M 、N 〔均异于点A 〕．〔Ⅰ〕假设直线l 的方程为2y x =+，求线段MN 的长．〔Ⅱ〕假设直线l 过点(1,0)，点M 、N 均在经点A 为圆心的圆上，务实数m 的取值范围．【答案】〔Ⅱ〕见解析【解析】〔Ⅰ〕22442x y y x ⎧+=⎨=+⎩，〔Ⅱ〕设:(1)l y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y ，∵M ，N 在以A 为圆心圆上，而1212y y k x x -=-，11(1)y k x =-，22(1)y k x =-， ∴原式为21212(2)20x x k x x km +++--=，∴化简有233311444k m k k k ===++，当且仅当12k =时等号成立，当k 不存在时显然34m ≤时满足题意，综上：34m ≤． 20．函数2()(2)ln f x ax a x x =-++．〔Ⅰ〕当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程．〔Ⅱ〕当0a >时，函数()f x 在[]1,e 上的最小值为2-，务实数a 的取值范围．〔Ⅲ〕假设对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，12x x <，且1122()2()2f x x f x x +<+恒成立，务实数a 的取值范围．【答案】见解析【解析】〔Ⅰ〕1a =时，2()3ln f x x x x =-+，〔Ⅱ〕2()(2)ln f x ax a x x =-++定义域为(0,)+∞，当0a >时，令()0f x '=，1()(21)(1)0f x x ax x'=--=， ∴12x =或1a ，当101a<≤，即1a ≥时，()f x 在[1,e]单增，当11e a <<时，()f x 在[1,e]上最小为1(1)2f f a ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭，舍去，当1e a≥时，()f x 在[1,e]上单减， ∴()f x 在[1,e]上最小为(e)(1)2f f <=-舍去，综上：1a ≥．〔Ⅲ〕设2()()2ln g x f x x ax ax x =+=-+，原条件等价为()g x 在(0,)+∞单增，当0a =时，1()0g x x'=>，合题，当0a ≠时，只需()0g x '≥在(0,)+∞恒成立，而(0,)x ∈+∞，只要2210ax ax -+≥，那么要0a ≥，而221y ax ax =-+过(0,1)，104n x =>，只要280a a ∆=-≤，即08a <≤．综上，08a ≤≤．。

北京东城25中高二下期中考试卷北师大版数学word 含解析

北京市第二十五中学2021-2021学年度第二学期期中过程性评价高二年级数学试卷〔理科〕2021年4月一、选择题：本大题共10小题．每题4分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．请将答案填入机读卡对应的序号中． 1．(1)i i -等于〔〕．A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+【答案】B【解析】复数2i(1i)i i 1i -=-=+．应选B ．2．函数5ln y x x =++的导数为〔〕．A ．1B ．1xC ．11x+D ．1x x+【答案】C【解析】由5ln y x x =++得15(ln )1y x x x''''=++=+．应选C ．3．以下三句话按“三段论〞形式排列顺序正确的选项是〔〕． ①cos ()y x x =∈R 是三角函数； ②三角函数是周期函数；③cos ()y x x =∈R 是周期函数．A ．①②③B ．②①③C ．②③①D ．③②①【答案】B【解析】根据“三段论〞：“大前提〞→“小前提〞⇒“结论〞可知： ①cos ()y x x =∈R 是三角函数是“小前提〞； ②三角函数是周期函数是“大前提〞； ③cos ()y x x =∈R 是周期函数是“结论〞．故“三段论〞形式排列顺序为：②①③．应选B ．4．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度〞时，反设正确的选项是〔〕．A ．假设三个内角都不大于60度B ．假设三个内角都大于60度C ．假设三个内角至多有一个大于60度D ．假设三个内角至多有两个大于60度【答案】B【解析】用反证法证明数学命题时，应假设原命题结论的否认成立， “至少有一个〞的否认为“一个也没有〞，所以应假设三个内角都大于60度．应选B ．5．任一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系式是23s t t =-，那么物体的初速度是〔〕．A ．0B ．3C ．2-D ．32t -【答案】B【解析】由23s t t =-得32s t '=-，当0t =时，3s '=，即物体的初速度是3．应选B ．6．某消费厂家的年利润y 〔单位：万元〕与年产量x 〔单位：万件〕的函数关系式为31812343y x x =-+-，那么使该消费厂家获得最大年利润的年产量为〔〕．A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件【答案】C【解析】由31812343y x x =-+-得281y x '=-+，(0)x >，令0y '>得09x <<；令0y '<得9x >，∴函数31812343y x =-+-在(0,9)上单调递增，在(9,)+∞上单调递减，∴当9x =时，y 取最大值，即使该消费厂家获得最大年利润的年产量为9万件．应选C ．7．11(1)d x x x --⎰的值为〔〕．A ．2B ．23C ．13-D ．16-【答案】B【解析】11232111111152(1)d ()d 32663x x x x x x x x ---⎛⎫-=-=-=-+= ⎪⎝⎭⎰⎰．应选B ．8．用科学归纳法证明11112321n n ++++<-〔n ∈N 且1n >〕，第二步证明中从“k 到1k +〞时，左端增加的项数是〔〕． A ．21k + B ．21k - C ．2k D ．12k -【答案】C【解析】当n k =时，不等式左边11112321k =++++-，当1n k =+时，不等式左边111111232121k k +=++++++--， ∴证明中从k 到1k +时，左端增加了121(21)2k k k +---=项．应选C ．9．数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且n S ，1n S +，12a 成等差数列，通过计算1S ，2S ，3S ，猜测当1n ≥时，n S 等于〔〕． A ．1212n n -+B ．1112n --C ．(1)2nn n +D ．2121n n --【答案】D【解析】由题意可知，1122n n S a S +=+，当1n =时，123322a S ==，当2n =时，12332272224a S S ++===， ∴猜测当1n ≥时，1212n n n S --=．应选D ．10．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为〔〕．A ．24B ．18C ．12D ．6【答案】B【解析】分两种情况：①假设0，2中选出的数字是0，那么0只能排在十位，从1，3，5中选两个数字分别放在个位和百位，共有23A 种可能；②假设0，2中选出的数字是2，那么先从十位和百位中选出1个位置放置2，有12C 种可能，再从1，3，5中选两个数字放于剩余两个位置有23A 种可能，此时奇数有1223C A 个．综上所述，奇数的个数共有212323A C A 61218+=+=．应选B ．二、填空题：本大题共6小题，每题3分，共18分．请将答案写在答题卷相应位置．11．假设复数(21)i (2)i(,)x y y x y -+=+-∈R ，那么x y +=__________．【答案】5【解析】∵复数(21)i (2)i x y y -+=+-，(,)x y ∈R ， ∴2121x y y -=⎧⎨-=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩，故5x y +=．12．函数3()6([0,2])f x x x x =-∈的最大值是__________．【答案】0【解析】由3()6f x x x =-，[0,2]x ∈得2()36f x x '=-，令()0f x '>，得x <x > 令()0f x '<得x <∴函数()f x在上单调递减，在上单调递增，且(0)0f =，(2)8124f =-=-，∴3()6f x x x =-，[0,2]x ∈的最大值是0．13．有4部车床，需加工3个不同的零件，不同的安排方法有__________种．【答案】64【解析】每一个零件有4种加工方法，那么加工3个不同的零件，不同的安排方法有3464=种．14．直线23y x =+与抛物线2y x =所围成的图形面积为__________．【答案】323【解析】由223y x y x=+⎧⎨=⎩得直线23y x =+与抛物线2y x =的交点坐标为：(1,1)-，(3,9)，那么由定积分的几何意义可知直线23y x =+与抛物线2y x =所围成的圆形面积为：32233111532(23)d 39333x x x x x x --⎛⎫+-=+-=+= ⎪⎝⎭⎰． 15．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，那么不同的组队方案共有__________种．【答案】70【解析】根据题意，可分两种情况：①假设小分队有1名男医生，2名女医生，那么组队方案有1254C C 30⋅=种，②假设小分队有2名男医生，1名女医生，那么组队方案有2154C C 40=种，由分类计数原理可得，不同的组队方案共有304070+=种．16．如图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，给出以下命题： ①2-是函数()y f x =的极值点； ②1是函数()y f x =的极值点；③()y f x =在0x =处切线的斜率小于零； ④()y f x =在区间(2,2)-上单调递增．那么正确命题的序号是__________．〔写出所有正确命题的序号〕【答案】①④【解析】对于①，由导函数()y f x '=的图象可知当(,2)x ∈-∞-时，()0f x '<，当(2,1)x ∈-时，()0f x '>， ∴2-是函数()y f x =的极小值点，故①正确；对于②，由导函数()y f x '=的图象可知当(2,1)x ∈-时，()0f x '>，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>， ∴1不是函数()y f x =的极值点，故②错误；对于③，因为(0)0f '>，所以()y f x =在0x =处切线的斜率大于零，故③错误；对于④，由导函数()y f x '=的图象可知，当(2,2)x ∈-时，()0f x '≥时，所以()y f x =在区间(2,2)-上单调递增，故④正确．综上所述，证明命题的序号是①④．三、解答题：本大题共4小题，共42分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．复数1i z =+．〔1〕假设复数234z z ω=+-，那么复数ω的模长||ω=__________．〔2〕假如221i 1z az bz z ++=--+，务实数a ，b 的值．【答案】见解析．【解析】〔1〕∵复数1i z =+，∴复数ω的模长||ω= 〔2〕∵复数1i z =+，又∵221i 1z az bz z ++=--+，即()(2)i (1i)i a b a +++=-⋅，解得1a =-，2b =．18．函数32()32f x x ax bx =-+在点1x =处有极小值1-．〔1〕求a ，b 的值．〔2〕求()f x 的极大值．【答案】见解析．【解析】解：〔1〕由32()32f x x ax bx =-+，得2()362f x x ax b '=-+， ∵函数32()32f x x ax bx =-+在点1x =处有极小值1-，解得13a =，12b =-．〔2〕由〔1〕知，32()f x x x x =--，2()321(1)(31)f x x x x x '=--=-+，令()0f x '>，得13x <-或1x >；令()0f x '<，得113x -<<，∴函数()f x 在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和(1,)+∞上单调递增，在1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，∴当13x =-时，()f x 取极大值，15()327f x f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭极大值．【注意有文字】19．数列{}n a 中，11a =，12()2nn n a a n a +=∈+N *．〔1〕求2a ，3a ，4a 的值．〔2〕归纳{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明．【答案】见解析．【解析】解：〔1〕∵数列{}n a 中，11a =，12()2nn n a a n a +=∈+N *，〔2〕由〔1〕猜测21n a n =+，证明：当1n =时，11a =，等式成立，假设当n k =时，等式成立，即21k a k =+，那么当1n k =+时，12222122(1)121k k k a k a a k k +⋅+===+++++，∴当1n k =+时，等式成立，综上所述，对一切正整数n ，21n a n =+都成立．20．函数1()ln f x a x x=-，a ∈R ．〔1〕假设曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y +=垂直，求a 的值．〔2〕求函数()f x 的单调区间．〔3〕当1a =，且2x ≥时，证明：(1)25f x x --≤．【答案】见解析．【解析】解：〔1〕由函数1()ln f x a x x=-，a ∈R ，得：函数()f x 的定义域为{}|0x x >，21()a f x x x'=+，∵曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y +=垂直，〔2〕由于21()ax f x x+'=，(0)x >，①当0a ≥时，对于(0,)x ∈+∞，有()0f x '>恒成立， ∴()f x 在(0,)+∞上单调递增；②当0a <时，由()0f x '=，得1(0,)x a=-∈+∞，当10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减．综上所述，当0a ≥时，()f x 的单调增区间是(0,)+∞；当0a <时，()f x 的单调增区间是10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调减区间是1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．〔3〕证明：当1a =时，1(1)ln(1)1f x x x -=---，[)2,x ∈+∞，令1()ln(1)251g x x x x =---+-，那么2211(21)(2)()21(1)(1)x x g x x x x --'=+-=----，当2x >时，()0g x '<， ∴()g x 在(2,)+∞上单调递减，又∵(2)0g =，∴当[)2,x ∈+∞时，()(2)g x g ≤，即()0g x ≤，∴1ln(1)2501x x x ---+-≤，即(1)25f x x --≤，故当1a =且2x ≥时， (1)25f x x --≤成立．。

2020-2021学年北师大版高二数学(理)下学期期中质量检测试题及解析

（新课标）最新北师大版高中数学选修1-1高二数学试卷（理）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分为110分，考试时间为120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题（每小题4分，共32分。

）1. 下列求导数运算正确的是（）A. B.C. D.2. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则（）A. 2B.C.D.3. 极坐标方程化为直角坐标方程是（）A. B.C. D.4. 已知函数，其导函数的图像大致为（）5. 定积分的值为（）A. B. C. D.6. 设，则集合中元素的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 无数个7. 要做一个圆锥形漏斗，母线长为20cm，要使其体积最大，则其高应为（）A. B. C. D.8. 从如图所示的正方形区域内任取一个点，则点取自阴影部分的概率为（）A. B. C. D.二、填空题（每小题4分，共24分）9. 复数，，则等于_________________。

10. 函数的单调增区间为_____________，单调减区间为_____________。

11. 极坐标系中，直线的方程是，则点到直线的距离为________。

12. 记等差数列的前项和，利用倒序求和的方法得：；类似的，记等比数列的前项的积为，且，试类比等差数列求和的方法，可将表示成首项，末项与项数的一个关系式，即公式_______________。

13. 如图，在圆内接四边形中，对角线，相交于点。

已知，，，则_____________，的长是______________。

14. 已知数列2010，2011，1，－2010，－2011，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2011项之和等于____________。

第Ⅱ卷三、解答题（共5个小题，共44分）15. 已知，求证：16. 求证：17. 已知函数，其中实数。

（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在处取得极值，试讨论的单调性。

18. 图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交点处相遇，若竖直线段有一条的为第一层，有两条的为第二层，以此类推，竖直线段有条的为第层，每一层的竖直通道从左到右分别称为第1通道、第2通道，……，现在有一个小球从入口向下（只能向下，不能向上）运动，小球在每个交点处向左到达下一层或者向右到达下一层的可能性是相同的。

2021-2022学年北京师范大学附属实验中学高二下学期期中数学试题(解析版)

2021-2022学年北京师范大学附属实验中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．在等差数列{}n a 中，31a =，55a =，则9a =（） A ．13 B ．14 C ．15 D ．16【答案】A【分析】利用等差数列的基本量，即可求解.【详解】设等差数列的公差为d ，532125a a d d =+=+=，解得：2d =，则59413a a d =+=. 故选：A2．假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%.在该市场中随机购买一个灯泡，是合格品的概率为（） A ．84% B ．85% C ．86% D ．87%【答案】C【分析】分别设A 为甲厂产品，B 为乙厂产品，C 表示合格产品，依据全概率公式()()()()()P C P A P C A P B P C B =⋅+⋅计算即可．【详解】设A 为甲厂产品，B 为乙厂产品，C 表示合格产品，则()0.6P A =，()0.4P B =，()0.9P C A =，()0.8P C B =，所以()()()()()0.60.90.40.80.86P C P A P C A P B P C B =⋅+⋅=⨯+⨯=，故选：C3．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：若以上两组数据的方差中较小的一个为2s ，则2s 的值为（）A ．35B ．25C ．1D ．2【答案】B【分析】把表格中的数据分别代入平均数公式、方差公式，求出甲、乙两个班级的平均数、方差，再比较即可．【详解】由题意得，x 甲=677875++++=7，2s 甲=(222221[(67)(77)(77)(87)77)5⎤-+-+-+-+-⎦=25， x 乙=5768975++++=，2s 乙=()()()()()22222157776787975⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦=2，所以两组数据的方差中较小的一个为：25，故选：B ．4．已知数列{}n a ，如果121321,,,,,n n a a a a a a a ---⋅⋅⋅-⋅⋅⋅是首项为1，公比为12的等比数列，则n a =（） A ．1122n --B ．2122n --C ．3122n -D ．13122n --【答案】A【分析】分析条件，直接把数列121321,,,,,n n a a a a a a a ---⋯-⋯的前n 项求和即可得到答案．【详解】由题意可知，()()()121211311121211211222n n n n n n a a a a a a a a --⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦--⋯-==-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦--＝＋＋＋＋，故选：A ﹒5．有一组样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅，由这组数据得到新样本数据12,,,⋅⋅⋅n y y y ，其中()1,2,,i i y x c i n =+=⋅⋅⋅，0c ≠，则这两组样本数据的（） A ．平均数相同 B ．标准差相同 C ．中位数相同 D ．众数相同【答案】B【分析】易得新样本数据12,,,⋅⋅⋅n y y y 中每个数据在原12,,,n x x x ⋅⋅⋅数据上加了不为0的常数，再根据各数据的性质得出答案即可【详解】设样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的平均数为1x ，标准差为2x ，中位数为3x ，众数为4x ，由()1,2,,i i y x c i n =+=⋅⋅⋅，0c ≠，可得新样本数据12,,,⋅⋅⋅n y y y 平均数为1x c +，标准差为2x ，中位数为3x c +，众数为4x c +，故标准差不变故选：B6．已知数列{}n a 满足：11(1)2n n n a a +++-=，则其前100项和为 A ．250 B ．200 C ．150 D ．100【答案】D【详解】因为2212n n a a -+= ,所以100123499100()()()250100,S a a a a a a =++++++=⨯=选D.7．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3, 3.5x y ==，则由观测的数据得到的线性回归方程可能为（） A ．0.3 4.4y x =-+ B ．2 2.4y x =- C ．29.5y x =-+ D ．0.4 2.3y x =+【答案】D【分析】利用变量x 与y 正相关，排除选项AC ，再利用回归直线方程过样本中心点，代入验证即可.【详解】利用变量x 与y 正相关，排除选项AC根据回归直线方程过样本中心()3,3.5代入BD 选项，知D 选项满足3.50.43 2.3=⨯+，故选：D【点睛】关键点点睛：本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键，较为基础．80.618⎫≈⎪⎪⎝⎭的矩形称为黄金矩形，把称为黄金分割比例.如图为希腊的一座古建筑，其中图中的矩形ABCD ，EBCF ，FGHC ，FGJI ，LGJK ，MNJK 均为黄金矩形，若M 与K 间的距离超过1.5米，C 与F 间的距离小于11米，则该古建筑中A 与B 间的距离可能是（）（参考数据：20.6180.382≈，30.6180.236≈，40.6180.146≈，50.6180.090≈，60.6180.056≈，70.6180.034≈）A ．30.3米B ．30.1米C ．29.2米D ．27.4米【答案】D【分析】根据题意设设AB x =米，510.618a -=≈，从而表示出M 与K 间的距离、C 与F 间的距离，列出不等式求解后比较各选项即可. 【详解】设AB x =米，510.618a -=≈，因为矩形ABCD ，EBCF ，FGHC ，FGJI ，LGJK ，MNJK 均为黄金矩形，所以23,,BC ax CF a x GF a x ===，456,,GJ a x JK a x KM a x ===，又因为M 与K 间的距离超过1.5米，C 与F 间的距离小于11米，所以62 1.511a x a x ⎧>⎨<⎩，解得26.78628.796x <<，比较各选项可知该古建筑中A 与B 间的距离可能是27.4米. 故选：D9．已知数列{}n a 满足112a =，110n n n n a a a a ++-+=，则数列{}1n n a a +的前100项的和是（） A ．2551B ．50101C ．99202D ．100101【答案】A【分析】首项由条件得数列1na 是等差数列，再求数列{}n a 的通项公式，得()()1112n n a a n n +=++，最后利用裂项相消法求和.【详解】110n n n n a a a a ++-+=，1111n n a a +∴-=，且112a =，所以数列1na 是首项为2，公差为1的等差数列，所以()1211n n n a =+-=+，即11n a n =+，()()11111212n n a a n n n n +==-++++ 10011111111 (233445101102)S =-+-+-++- 1125210251=-=. 故选：A10．已知{}n a 是各项均为整数的递增数列，且15a ≥，若13521120n a a a a -++⋅⋅⋅+=，则n 的最大值为（） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】C【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得n 可能的最大值．【详解】若要使n 尽可能的大，则1a 取最小值，数列递增幅度要最小，不妨设数列{}n a 是首项为5，公差为1的等差数列，则4n a n =+，所以()()121213521523422n n a a n n n a a a a n n --+++++⋅⋅⋅+===+，当9n =，248136117n n +=+=，当10n =，2410040140120n n +=+=>，所以n 的最大值为9．故选：C ．二、填空题11．在13和3之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则中间三个数的积等于_________. 【答案】1【分析】设公比为q ，利用已知条件求出2q ，然后根据通项公式可求得答案．【详解】设公比为q ，插入的三个数分别为234,,a a a ，因为151,33a a ==，所以49q =，得23q =，所以()332332323411111313a a a a q a q a q aq ⎛⎫⋅⋅=⋅⋅==⋅= ⎪⎝⎭，故答案为：112．掷红、蓝两个均匀的骰子，设事件A ：蓝色骰子的点数是1或2，事件B ：两骰子的点数之和小于5.则()P B A =__________. 【答案】512【分析】根据条件概率公式()()()n AB P B A n A =，分别求事件AB 和A 包含的基本事件，再求概率.【详解】()()()()()P AB n AB P B A P A n A ==，其中事件AB 包含的基本事件包含()1,1，1,2，()1,3，()2,1，()2,2，其中第一个数表示蓝色骰子的点数，共5个基本事件，事件A 包含的基本事件有2612⨯=个，所以()512P B A =. 故答案为：51213．设随机变量X 的分布列为()1,1,2,33kP X k a k ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，则a 的值为___________.【答案】2713【分析】根据离散型随机变量的分布列的性质，随机变量对应事件的概率之和等于1求解.【详解】因为随机变量X 的分布列为()1,1,2,3,3kP X k a k ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭所以根据分布列的性质有231111,333a a a ⎛⎫⎛⎫⋅+⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以111131,392727a a ⎛⎫⋅++=⨯= ⎪⎝⎭所以27.13a = 故答案为：271314．设正整数0121012122222k kk k n a a a a a --=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅，其中{}()0,10,1,2,,i a i k ∈=⋅⋅⋅，记0121n k k b a a a a a -=+++⋅⋅⋅++.例如0125120212=⨯+⨯+⨯，那么51012b =++=.则下列说法正确的有_______. ①73b =；②2n n b b =；③231n n b b +=+；④8543n n b b ++=.【答案】①②④【分析】由0127121212=⨯+⨯+⨯，可求7b ，由0121012122222k k k k n a a a a a --=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅得01212301120222222k k k k n a a a a a +-=⨯+⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅，即可判断②，同理判断③与④．【详解】由0127121212=⨯+⨯+⨯，那么71113b =++=，①正确；由0121012122222k k k k n a a a a a --=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅则01212301120222222k k k k n a a a a a +-=⨯+⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅所以2n n b b =，②正确；由()0121230112312222212k k k k n a a a a a +-+=⨯+⋅+⋅+⋅+⋅++⋅+⋅⋅⋅所以2301211n k b a a a a +=++++++，012111n k k b a a a a a -=++⋅⋅⋅+++++故231n n b b +≠+，③不正确；由1230120114243121222222k k k k n a a a a a ++-+=⨯+⨯+⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅0122341235018512021222222k k k k n a a a a a ++-+=⨯+⨯+⨯+⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅所以4301211n k b a a a a +=++++++，85012101n k b a a a a +=+++++++故8543n n b b ++=，④正确．故答案为：①②④ 三、双空题15．在数列{}n a 中，112a =-，111nn na a a ++=-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4a =___________，2022S =___________.【答案】 3- 17683-【分析】根据递推公式依次计算,即可算出4a ,同时计算到5a 时,可以发现数列{}n a 是以4为周期的周期数列,因此可以根据数列的周期性算出2022S . 【详解】111n n n a a a ++=-,112a =-, 1211111211312a a a -+∴===-⎛⎫-- ⎪⎝⎭,232111321113a a a ++===--,3431123112a a a ++===---,()45411311132a a a +-===----, ∴数列{}n a 是以4为周期的周期数列, 20221220221111176850523=23233S a a a ⎛⎫=+++=⨯-++--+- ⎪⎝⎭∴,故答案为：3-；17683-. 【点睛】本题考查已知数列的递推公式求值,一般而言有两种解题思路,一是通过递推公式求出其通项公式再求值,二是该数列可能为周期数列,利用周期性求值.属于中档题四、解答题16．已知函数()3f x x =.(1)求()f x 的导数()f x '；(2)求曲线()f x 在()()1,1f 处切线的方程.【答案】(1)()23f x x '=(2)32y x =-【分析】（1）利用基本初等函数的导数公式及求导法则直接计算作答；（2）求出()1f '，再利用导数的几何意义求出切线方程．【详解】(1)函数()3f x x =定义域为R ，()23f x x '=．(2)由（1）知，()13f '=，而()11f =，于是得函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程是13(1)y x -=-，即32y x =-．17．已知数列{}n a 满足12a =，112n na a +=-. (1)写出2a ，3a ，4a ；(2)试猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明. 【答案】(1)232a =，343a =，454a =(2)1+=n n a n，证明见解析【分析】（1）分别令1n =，2n =，3n =可得2a ，3a ，4a 的值；（2）由1a ，2a ，3a ，4a 可猜想n a ，再用数学归纳法证明即可. 【详解】(1)因为12a =，112n na a +=-，当1n =，213222a =-=；当2n =，324233a =-=；当3n =，435244a =-=； (2)由121a =，232a =，343a =，454a =，由此猜想可得1+=n n a n，下面用数学归纳法证明：当1n =时，121a =显然成立；假设(),n k k N *=∈时，命题成立，即1k k a k+=，当1n k =+时，1121122111k k k k k a a k k k ++++=-=-==+++，故当1n k =+时，猜想也成立，综上可得：数列{}n a 的通项公式1+=n n a n，n *∈N . 18．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n n a b 的前n 项和n S .【答案】(1)数列{}n a 的通项公式为21n a n =-，数列{}n b 的通项公式为12n n b -=；(2)()2323nn S n =-+【分析】（1）设出等差数列的公差和等比数列的公比，结合已知条件求解即可；（2）写出该数列的通项公式后，运用错位相减法求和即可.【详解】(1)因为数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是各项都为正数的等比数列，所以设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为()0q q >，因为111a b ==，3521a b +=，5313a b +=，所以()()4212121,14113d q d q ++⨯=++⨯=，解得2,2d q ==，所以()()1112121n a a n d n n =+-=+⨯-=-， 1112nn nb b q ，所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =-，数列{}n b 的通项公式为12n n b -=(2)()1221n n n a n b -=⨯-，所以()23111232527221n n S n -=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-，①所以()()2341212325272232212n n n n S n -=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-+⨯-，② ①-②，得()()231122222221n n n S n -=+⨯++++-⨯--()12221222112n nn --⨯=+⨯-⨯--()3223n n =--所以()2323nn S n =-+.19．甲、乙两支篮球队进行比赛，已知每一场甲队获胜的概率为0.6，乙队获胜的概率为0.4，每场比赛均要分出胜负.比赛时采用三场两胜制，即先取得两场胜利的球队胜出. (1)求甲队以二比一获胜的概率； (2)求乙队获胜的概率；(3)若比赛采用五场三胜制，试问甲获胜的概率是增大还是减小，请说明理由. 【答案】(1)0.288 (2)0.352(3)甲获胜的概率是增大，理由见详解．【分析】（1）第一、二场甲队只胜一场，第三场胜，根据概率乘法与加法求解即可；（2）设i B =“乙队第i 场获胜”，则乙队获胜的概率为()()()12312312P P B B B P B B B P B B =++；（3）因为()()i i P A P B >，所以比赛的场数越多甲获胜的概率越大．【详解】(1)设=i A “甲队第i 场获胜”，则甲队以二比一获胜的概率为 ()()1231230.60.40.60.40.60.60.288P P A A A P A A A =+=⨯⨯+⨯⨯=；(2)设i B =“乙队第i 场获胜”，则乙队获胜的概率为()()()123123120.40.60.40.60.40.40.40.40.352P P B B B P B B B P B B =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯=；(3)甲获胜的概率是增大因为()()i i P A P B >，所以比赛的场数越多甲获胜的概率越大．20．某科技企业2021年招聘员工，其中A 、B 、C 、D 、E 五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：(1)从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；(2)从应聘A 岗位的6人中随机选择2人.记X 为这2人中被录用的人数，求X 的分布列和数学期望；(3)表中A 、B 、C 、D 、E 各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例.研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位.（只需写出结论）【答案】(1)4331000(2)见解析(3)A ，B ，D ，E【分析】（1）根据录用总人数与应聘总人数的比值得出概率；（2）根据超几何分布列的概率公式得出分布列和数学期望；（3）分析发现C 岗位中男性较多拉高了整体录用率，再去掉C 岗位后计算剩余4个岗位的男女总录用比例得出结论【详解】(1)因为表中所有应聘人员总数为5334671000+=，被该企业录用的人数为 264169433+=，所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为4331000P =． (2)X 可能的取值为0,1,2．因为应聘A 岗位的6人中，被录用的有4人，未被录用的有2人，所以 ()2226C 10C 15P X ===； ()112426C C 81C 15P X ===；()2426C 22C 5P X ===．所以 X 的分布列为：()1824012151553E X =⨯+⨯+⨯=． (3)分析图表可得，C 岗位中男女录取比例，但男性应聘人数明显更多，因此影响了总录取率，除去C 岗位则男性应聘人数为264，录取人数为97，录取率约为37% ；女性应聘人数为427，录取人数为145，录取率约为34%，二者之差的绝对值不大于5% 故只考虑其中A ，B ，D ，E 四种岗位，男性、女性的总录用比例也接近【点睛】计算离散型随机变量的概率，要融入题目的情景中去，对于文字描述题，题目亢长，要逐句的分析.超几何分布的特征：（1）样本总体分为两大类，要么A 类，要么B 类；（2）超几何分布是组合问题，分组或分类，有明显的选次品的意思；（3）超几何分布是将随机变量X 分类，每一类之间是互斥事件；（4）超几何分布的随机变量X 的确定，只需搞清楚最少和最多两种情况，其他的X 在最少和最多之间.21．首项为O 的无穷数列{}n a 同时满足下面两个条件： ①1n n a a n +-=；②12n n a -≤(1)请直接写出4a 的所有可能值；(2)记2n n b a =，若1n n b b +<对任意*n N ∈成立，求{}n b 的通项公式； (3)对于给定的正整数k ，求12...k a a a +++的最大值．【答案】（1）2,0,6--；（2）2n b n =-；（3）当k 为奇数时,k S 的最大值为0; 当k 为偶数时，k S 的最大值为2k -.【分析】(1)由递推关系得到4a 的所有可能值；(2)由题意可知数列{}n a 的偶数项2462,,,...,...n a a a a 是单调递增数列，先证明数列{}n a 中相邻两项不可能同时为非负数，即可得到结果；(3) 由（2）的证明知，1,n n a a +不能都为非负数，分类讨论即可得到结果. 【详解】（1）4a 的值可以取2,0,6-- .（2）因为2n n b a =，因为1n n b b +<对任意*n N ∈成立，所以{}n b 为单调递增数列，即数列{}n a 的偶数项2462,,,...,...n a a a a 是单调递增数列，根据条件21a =-，40a =，所以当20n a ≥对2n ≥成立，下面我们证明“数列{}n a 中相邻两项不可能同时为非负数”，假设数列{}n a 中存在1,i i a a +同时为非负数，因为1||i i a a i +-=，若1,i i a a i +-= 则有()i 1112i i a a i i ++-=+≥>，与条件矛盾，若i 1,i a a i +-=-则有112i i i a a i i +-=+≥>，与条件矛盾，所以假设错误，即数列{}n a 中相邻两项不可能同时为非负数，此时20n a ≥对2n ≥成立，所以当2n ≥时，21210,0n n a a -+≤≤，即212212,n n n n a a a a -+<<，所以 22121n n a a n --=-，()212222n n a a n ---=--，所以()()22121221n n n n a a a a ----+-=，即2221n n a a --=，其中2n ≥ ，即11n n b b --=，其中2n ≥，又121b a ==-，240b a ==，所以{}n b 是以11b =-，公差为1的等差数列，所以()112n b n n =-+-=- . （3）记1231k k k S a a a a a -=+++++，由（2）的证明知，1,n n a a +不能都为非负数，当0n a ≥，则1a 0n +<，根据1||n n a a n +-=，得到1n n a a n +=-，所以112212n n n n a a a n n +-+=-≤-≤-，当10n a +≥，则a 0n <，根据1||n n a a n +-=，得到+1n n a a n =-，所以11112202n n n n a a a n n +++-+=-≤-≤，所以，总有10n n a a ++≤成立，当n 为奇数时，1||n n a a n +-=，故1,n n a a -的奇偶性不同，则1n n a a ++ 1≤-，当n 为偶数时，10n n a a ++≤ ，当k 为奇数时，()()12310k k k S a a a a a -=+++++≤，考虑数列：01,1,2,2,--，， 12k --，12k -⋯，可以验证，所给的数列满足条件，且0k S =, 所以k S 的最大值为0，当k 为偶数时，()()1212k k k k S a a a a -=++++≤-，考虑数列：01,1,2,2--，，，-22k -，22k -，2k- ,可以验证，所给的数列满足条件，且2k kS =-，所以k S 的最大值为2k-.【点睛】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意归纳总结能力的培养，考查了转化能力和运算能力，属于难题.。