高考数学异构异模复习第十五章几何证明选讲15.1平行线截割定理与相似三角形课件文
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么这两个直角三角形相似．
(4)相似三角形的性质定理 ①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于_相__似__比__．_ ②相似三角形周长的比等于__相__似__比__． ③相似三角形面积的比等于__相__似__比__的___平__方__．_ 结论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．
【解题法】 相似三角形的判定定理的选择 (1)已知有一角相等时，可选择判定定理一与判定定理二． (2)已知有两边对应成比例时，可选择判定定理二与判定定理三． (3)判定两个直角三角形相似时，首先看是否可以用判定直角三角形相似的方法来判定，如不能，再考 虑用判定一般三角形相似的方法来判定．
解析 由射影定理得，CD2＝AD·BD，
又∵BD∶AD＝1∶3，令 BD＝x，AD＝3x，
∴CD2＝AD·BD＝3x2，∴CD＝ 3x，
在 Rt△CDB 中，tan∠BCD＝CBDD＝
x＝ 3x
33，
∴∠BCD＝π6.
撬法·命题法 解题法
[考法综述] 考查三角形相似，利用平行线等分线段定理，三角形相似的性质，直角三角形射影定 理证明两个三角形相似，通常与圆交错考查．
【解题法】 平行线分线段成比例定理的应用 以相似三角形为载体，通过三角形相似构建相应线段比，解题时要充分利用中点作辅助线，从而有效 利用定理． 命题法 2 三角形相似的判定与性质 典例 2 (1)如图，在△ABC 中，AB＝AC，过点 A 的直线与其外接圆交于点 P，交 BC 的延长线于点 D.
①求证：PACC＝PBDD； ②若 AC＝3，求 AP·AD 的值．
三角形的第三边． 判定定理 3 三边对应_成__比__例___，两三角形相似．
(3)直角三角形相似的判定定理 定理 ①如果两个直角三角形_有__一__个__锐__角__对应相等，那么它们相似．
②如果两个直角三角形的_两__条__直__角__边___对应成比例，那么它们相似． 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那
(2)①证明：∵AD∥BC，∴AB＝CD，∠EDC＝∠BCD. 又 PC 与⊙O 相切，∴∠ECD＝∠DBC. ∴△CDE∽△BCD.∴DBCC＝DDCE. ∴CD2＝DE·BC，即 AB2＝DE·BC. ②由①知，DE＝ABBC2＝692＝4， ∵AD∥BC，∴△PDE∽△PBC， ∴PPDB＝DBCE＝49. 又∵PB－PD＝9，∴PD＝356，PB＝851. ∴PC2＝PD·PB＝356×851＝55422. ∴PC＝554.
2．如图，在△ABC 中，∠AED＝∠B，DE＝6，AB＝10，AE＝8，则 BC 的长为( )
15 A. 4 解析
B．7
15 C. 2
24 D. 5
由已知条件∠AED＝∠B，∠A 为公共角，所以△ADE∽△ACB，则有DBCE＝AAEB，从而 BC＝6×810
＝125.
π 3．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，CD⊥AB 于 D，若 BD∶AD＝1∶3，则∠BCD＝___6_____.
(2)一般三角形相似的判定定理
预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形 __相__似__．_
判定定理 1 两角对应_相__等____，两三角形相似． 判定定理 2 两边对应_成__比__例___且_夹__角____相等，两三角形相似．
引理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于
(1)可用来证明线段成比例、角相等． (2)可间接证明线段相等． (3)为计算线段的长度及角的大小创造条件． (4)可计算周长、特征线段长等.
1．思维辨析 (1)如果两个三角形的三个内角分别相等，则它们相似．( √ )
(2)在△ABC 和△A′B′C′中，若有A′ABB′＝A′ACC′，则△ABC∽△A′B′C′.( × ) (3)直角三角形 ABC 中，∠C＝90°，CD⊥AB，则有△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD.( √ )
第十五章 几何证明选讲
考点一 平行线截割定理与相似三角形
撬点·基础点 重难点
1 平行线等分线段定理 定理 如果__一__组__平__行__线___在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等． 推论 1 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． 推论 2 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． 2 平行线分线段成比例定理 定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段_成__比__例__．_ 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段_成__比__例__．_ 3 相似三角形的判定及性质 (1)定义：__对__应__角__相__等__，__对__应__边__成__比__例____的两个三角形叫做相似三角形．相似三角形对应边的比值叫 做_相__似__比 __． ___
命题法 1 平行线分线段成比例定理
典例 1 1
如图，在△ABC 中，点 D 是 AC 的中点，点 E 是 BD 的中点，AE 交 BC 于点 F，则FBCF的值
为____2____．
[解析] 如图，过点 D 作 DM∥AF 交 BC 于点 M.
∵点 E 是 BD 的中点，∴在△BDM 中，BF＝FM. 又点 D 是 AC 的中点，∴在△CAF 中，CM＝MF，∴FBCF＝FMB＋FMC＝12.
4 直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的_比__例__中__项___；两直角边分别是它们在斜边上的射影 与斜边的_比__例__中__项__． _
如图所示，在 Rt△ABC 中，AC ⊥BC，CD⊥AB，则 CD2＝AD·BD，AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB. 注意点 相似三角形性质的作用
(2)如图，梯形 ABCD 内接于⊙O，AD∥BC，过点 C 作⊙O 的切线，交 BD 的延长线于点 P，交 AD 的 延长线于点 E.
①求证：AB2＝DE·BC； ②若 BD＝9，AB＝6，BC＝9，求切线 PC 的长．
ຫໍສະໝຸດ Baidu
[解] (1)①证明：因为∠CPD＝∠ABC，∠PDC＝∠PDC， 所以△DPC∽△DBA，所以PACB＝PBDD. 又 AB＝AC，所以APCC＝PBDD. ②因为∠ABC＋∠APC＝180°，∠ACB＋∠ACD＝180°， ∠ABC＝∠ACB，所以∠ACD＝∠APC. 又∠CAP＝∠DAC， 所以△APC∽△ACD，所以AACP＝AADC. 所以 AP·AD＝AC2＝9.
(4)相似三角形的性质定理 ①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于_相__似__比__．_ ②相似三角形周长的比等于__相__似__比__． ③相似三角形面积的比等于__相__似__比__的___平__方__．_ 结论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．
【解题法】 相似三角形的判定定理的选择 (1)已知有一角相等时，可选择判定定理一与判定定理二． (2)已知有两边对应成比例时，可选择判定定理二与判定定理三． (3)判定两个直角三角形相似时，首先看是否可以用判定直角三角形相似的方法来判定，如不能，再考 虑用判定一般三角形相似的方法来判定．
解析 由射影定理得，CD2＝AD·BD，
又∵BD∶AD＝1∶3，令 BD＝x，AD＝3x，
∴CD2＝AD·BD＝3x2，∴CD＝ 3x，
在 Rt△CDB 中，tan∠BCD＝CBDD＝
x＝ 3x
33，
∴∠BCD＝π6.
撬法·命题法 解题法
[考法综述] 考查三角形相似，利用平行线等分线段定理，三角形相似的性质，直角三角形射影定 理证明两个三角形相似，通常与圆交错考查．
【解题法】 平行线分线段成比例定理的应用 以相似三角形为载体，通过三角形相似构建相应线段比，解题时要充分利用中点作辅助线，从而有效 利用定理． 命题法 2 三角形相似的判定与性质 典例 2 (1)如图，在△ABC 中，AB＝AC，过点 A 的直线与其外接圆交于点 P，交 BC 的延长线于点 D.
①求证：PACC＝PBDD； ②若 AC＝3，求 AP·AD 的值．
三角形的第三边． 判定定理 3 三边对应_成__比__例___，两三角形相似．
(3)直角三角形相似的判定定理 定理 ①如果两个直角三角形_有__一__个__锐__角__对应相等，那么它们相似．
②如果两个直角三角形的_两__条__直__角__边___对应成比例，那么它们相似． 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那
(2)①证明：∵AD∥BC，∴AB＝CD，∠EDC＝∠BCD. 又 PC 与⊙O 相切，∴∠ECD＝∠DBC. ∴△CDE∽△BCD.∴DBCC＝DDCE. ∴CD2＝DE·BC，即 AB2＝DE·BC. ②由①知，DE＝ABBC2＝692＝4， ∵AD∥BC，∴△PDE∽△PBC， ∴PPDB＝DBCE＝49. 又∵PB－PD＝9，∴PD＝356，PB＝851. ∴PC2＝PD·PB＝356×851＝55422. ∴PC＝554.
2．如图，在△ABC 中，∠AED＝∠B，DE＝6，AB＝10，AE＝8，则 BC 的长为( )
15 A. 4 解析
B．7
15 C. 2
24 D. 5
由已知条件∠AED＝∠B，∠A 为公共角，所以△ADE∽△ACB，则有DBCE＝AAEB，从而 BC＝6×810
＝125.
π 3．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，CD⊥AB 于 D，若 BD∶AD＝1∶3，则∠BCD＝___6_____.
(2)一般三角形相似的判定定理
预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形 __相__似__．_
判定定理 1 两角对应_相__等____，两三角形相似． 判定定理 2 两边对应_成__比__例___且_夹__角____相等，两三角形相似．
引理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于
(1)可用来证明线段成比例、角相等． (2)可间接证明线段相等． (3)为计算线段的长度及角的大小创造条件． (4)可计算周长、特征线段长等.
1．思维辨析 (1)如果两个三角形的三个内角分别相等，则它们相似．( √ )
(2)在△ABC 和△A′B′C′中，若有A′ABB′＝A′ACC′，则△ABC∽△A′B′C′.( × ) (3)直角三角形 ABC 中，∠C＝90°，CD⊥AB，则有△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD.( √ )
第十五章 几何证明选讲
考点一 平行线截割定理与相似三角形
撬点·基础点 重难点
1 平行线等分线段定理 定理 如果__一__组__平__行__线___在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等． 推论 1 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． 推论 2 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． 2 平行线分线段成比例定理 定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段_成__比__例__．_ 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段_成__比__例__．_ 3 相似三角形的判定及性质 (1)定义：__对__应__角__相__等__，__对__应__边__成__比__例____的两个三角形叫做相似三角形．相似三角形对应边的比值叫 做_相__似__比 __． ___
命题法 1 平行线分线段成比例定理
典例 1 1
如图，在△ABC 中，点 D 是 AC 的中点，点 E 是 BD 的中点，AE 交 BC 于点 F，则FBCF的值
为____2____．
[解析] 如图，过点 D 作 DM∥AF 交 BC 于点 M.
∵点 E 是 BD 的中点，∴在△BDM 中，BF＝FM. 又点 D 是 AC 的中点，∴在△CAF 中，CM＝MF，∴FBCF＝FMB＋FMC＝12.
4 直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的_比__例__中__项___；两直角边分别是它们在斜边上的射影 与斜边的_比__例__中__项__． _
如图所示，在 Rt△ABC 中，AC ⊥BC，CD⊥AB，则 CD2＝AD·BD，AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB. 注意点 相似三角形性质的作用
(2)如图，梯形 ABCD 内接于⊙O，AD∥BC，过点 C 作⊙O 的切线，交 BD 的延长线于点 P，交 AD 的 延长线于点 E.
①求证：AB2＝DE·BC； ②若 BD＝9，AB＝6，BC＝9，求切线 PC 的长．
ຫໍສະໝຸດ Baidu
[解] (1)①证明：因为∠CPD＝∠ABC，∠PDC＝∠PDC， 所以△DPC∽△DBA，所以PACB＝PBDD. 又 AB＝AC，所以APCC＝PBDD. ②因为∠ABC＋∠APC＝180°，∠ACB＋∠ACD＝180°， ∠ABC＝∠ACB，所以∠ACD＝∠APC. 又∠CAP＝∠DAC， 所以△APC∽△ACD，所以AACP＝AADC. 所以 AP·AD＝AC2＝9.