苏教版数学高二-数学苏教版选修2-1优化训练 抛物线2

1.经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线的方程是________． 解析：据题意设所求平行直线方程为3x －2y ＋c ＝0，又直线过抛物线y 2＝2x 的焦点⎝⎛⎭⎫12，0，代入求得c ＝－32

，故直线方程为6x －4y －3＝0. 答案：6x －4y －3＝0

2.设抛物线y 2＝mx 的准线与直线x ＝1的距离为3，则抛物线的方程为________．

解析：当m >0时，准线方程为x ＝－m

4

＝－2，∴m ＝8，此时抛物线方程为y 2＝8x ；

当m <0时，准线方程为x ＝－m

4

＝4，∴m ＝－16，此时抛物线方程为y 2＝－16x .

∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－16x .

答案：y 2＝8x 或y 2＝－16x

3.已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点．若P (2，2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．

解析：设抛物线方程为y 2＝2px ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1y 22＝2px 2

⇒y 21－y 2

2＝2p (x 1－x 2)，

即

y 1－y 2

x 1－x 2

·(y 1＋y 2)＝2p ⇒2p ＝1×4⇒p ＝2. 故y 2＝4x . 答案：y 2＝4x

4.抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且倾斜角等于π

3

的直线与抛物线在x 轴上方的曲线交

于点A ，则AF 的长为________．

解析：由已知可得直线AF 的方程为y ＝3(x －1)，

联立直线与抛物线方程消元得：3x 2－10x ＋3＝0，解之得：x 1＝3，x 2＝1

3

(据题意应舍去)，

由抛物线定义可得：AF ＝x 1＋p

2

＝3＋1＝4.

答案：4

[A 级 基础达标]

1.已知抛物线y ＝ax 2的准线方程为y ＝1，则a 的值为________．

解析：∵抛物线y ＝ax 2，∴x 2＝1a y 的准线方程是y ＝－14a ，依题意得－14a ＝1，∴a ＝－1

4

.

答案：－1

4

2.抛物线y 2＝24ax (a >0)上有一点M ，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线

的方程为________．

解析：由题意知，3＋6a ＝5，∴a ＝1

3

，∴抛物线方程为y 2＝8x .

答案：y 2＝8x

3.若抛物线y 2＝2x 上的一点M 到坐标原点O 的距离为3，则M 到该抛物线焦点的距离为________．

解析：依题意，设点M (x ，y )，其中x >0，则有⎩⎨⎧

y 2＝2x

x 2

＋y 2

＝3x >0

，由此解得x ＝1，又该抛物

线的准线方程为x ＝－12，结合抛物线的定义，点M 到该抛物线的焦点的距离等于1＋12＝3

2

.

答案：32

4.直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，则梯形APQB 的面积为________．

解析：直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作

垂线，垂足分别为P ，Q ，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x y ＝x －3，消元得x 2－10x ＋9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－2

，和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9y ＝6

，∴AP ＝10，BQ ＝2，PQ ＝8，∴梯形APQB 的面积为48. 答案：48 5.

如图，圆形花坛水池中央有一喷泉，水管OP ＝1 m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m ，P 距抛物线对称轴1 m ，则为使水不落到池外，水池直径最小为________m.

解析：

如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则

P (－1，－1)，代入

抛物线方程得p ＝1

2，抛物线x 2＝－y ，代点(x ，－2)，得x ＝2，即水池半径最小为r ＝(1＋

2)m ，水池直径最小为2r ＝(2＋22)m.

答案：2＋2 2

6.已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过点F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A 、B 两

点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4，求此抛物线的标准方程．

解：由题意，抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)，

焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，直线l ：x ＝p 2

， ∴A 、B 两点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，p ，⎝⎛⎭⎫p 2，－p ， ∴AB ＝2|p |.

∵△OAB 的面积为4，

∴12·⎪⎪⎪

⎪p 2·2|p |＝4，∴p ＝±2 2. ∴抛物线的标准方程为y 2＝±42x .

7.过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A 、B 两

点(点A 在y 轴左侧)，求AF

FB 的值．

解：直线方程为y －p 2＝3

3x ，

则x ＝3⎝⎛⎭⎫y －p

2，代入抛物线x 2＝2py ， 得3y 2

－5py ＋3p 2

4＝0，

解得y 1＝3p 2，y 2＝p

6

，

根据抛物线的定义得AF FB ＝p 6＋

p 23p 2＋p 2＝1

3

.

[B 级 能力提升]

8.等腰直角三角形OAB 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 是抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△OAB 的面积为________．

解析：设等腰直角三角形OAB 的顶点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2

，由OA ＝OB ，则x 21＋y 21＝x 22＋y 22

， ∴x 21－x 2

2＋2px 1－2px 2＝0，即(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0，

∵x 1>0，x 2>0，2p >0，

∴x 1＝x 2，即A 、B 关于x 轴对称．

故直线OA 的方程为：y ＝x tan45°，即y ＝x .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px y ＝x ，解得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0或⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝2p y ＝2p ，故AB

＝4p ，等腰三角形OAB 的面积为1

2

×2p ×4p ＝4p 2.

答案：4p 2

9.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：

①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；

⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2，1)．

其中能得出抛物线方程为y 2＝10x 的条件是________(要求填写合适条件的序号)． 解析：在①②两个条件中，应选择②，则由题意，可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)；对

于③，由焦半径公式r ＝1＋p

2

＝6，∴p ＝10，此时y 2＝20x ，不符合条件；