苏教版数学高二-数学苏教版选修2-1优化训练 抛物线2
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-1优化训练 模块综合检测
(时间：120分钟；满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中横线上) 1．已知命题p ：若实数x ，y 满足x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为0；命题q ：若a >b ，则1a <1b.给出下列4个复合命题：①p ∧q ；②p ∨q ；③ p ；④ q . 其中真命题的序号是__________．解析：∵x 2＋y 2＝0，∴x ＝y ＝0，∴p 真；∵a >b 1a <1b ，当a >0>b 时，1a >0，1b <0，∴1a >1b ，∴q 假．∴①③假，②④真．答案：②④2．已知命题p ：∃x 0∈R ，sin x 0≤1，则 p 为__________． 解析：存在性命题的否定是全称命题． 答案：∀x ∈R ，sin x >13．双曲线的渐近线为y ＝±22x ，且过点M (2，－1)，则双曲线的方程为__________．解析：依题设双曲线为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，将点M 代入，得λ＝1.答案：x22－y 2＝14．下列命题的否定是真命题的有__________个．①p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋14≥0；②q ：所有的正方形都是菱形； ③r ：∃x 0∈R ，x 20－2x 0＋2≤0；④s ：至少有一个实数x ，使x 2＋1＝0.解析：因为p 、q 均为真命题，所以 p、 q 都是假命题．又因为r 、s 均为假命题，所以 r 、 s 都是真命题．答案：25．如图所示，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，M 是AB 的中点，则sin 〈DB ′→，CM →〉的值是__________．解析：以D 为原点，DA ，DC ，DD ′所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，B ′(1,1,1)，C (0,1,0)，M (1，12，0)，所以DB ′→＝(1,1,1)，CM →＝(1，－12，0)．故cos 〈DB ′→，CM →〉＝1×1＋1×(－12)＋1×012＋12＋12·12＋(－12)2＋02＝1515，则sin 〈DB ′→，CM →〉＝21015.答案：210156．已知M 是抛物线x 2＝8y 上一点，若以M 为圆心且与抛物线准线相切的圆恰好过抛物线顶点，则该圆的周长是__________．解析：由抛物线定义可知，圆M 过焦点F (0,2)，故其圆心M 又在直线y ＝1上，所以圆心坐标为M (±22，1)，半径r ＝3，圆M 的周长为6π.答案：6π7．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为__________．解析：椭圆的离心率e 1＝ 1－b 2a 2＝32，所以b 2a 2＝14，故双曲线的离心率e 2＝ 1＋b 2a2＝52. 答案：528．已知正四棱锥P －ABCD 的体积为12，底面边长为23，则侧面与底面所成二面角的大小为__________．解析：设正四棱锥底面中心为O ，取AB 的中点E ，连结OE 、PE 、PO (图略)，则∠PEO为所求二面角的平面角，由已知可得PO ＝3，OE ＝3，tan ∠PEO ＝POOE＝3，∴∠PEO ＝60°.答案：60°9．已知点A (4,1,3)，B (2,3,1)，C (3,7，－5)，若P (x ，－1,3)在平面ABC 内，则x 的值为__________．解析：由已知设OP →＝a OA →＋b OB →＋c OC →，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋2b ＋3c ＝xa ＋3b ＋7c ＝－13a ＋b －5c ＝3a ＋b ＋c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－4c ＝1x ＝11.答案：1110．给出以下结论：①“x ≠0或y ≠0”是“x 2＋y 2≠0”的充要条件； ②q ∨p 为真命题是“p ∧q ”为真命题的必要条件；③命题“a 、b 都是偶数，则a ＋b 是偶数”的否命题是“a 、b 都是偶数，则a ＋b 不是偶数”．其中正确结论的序号是__________． 答案：①②11．已知抛物线y 2＝ax 与直线y ＝1－x 有惟一公共点，则该抛物线的焦点到准线的距离为__________．解析：将x ＝1－y 代入抛物线方程，得y 2＋ay －a ＝0，依题意有Δ＝a 2＋4a ＝0，所以a ＝－4，抛物线方程为y 2＝－4x .故焦点到准线距离为：p ＝2.答案：212．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．若椭圆上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率的取值范围为__________．解析：由a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1⇒sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝a c ＝|PF 2||PF 1|>1，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝2ac a ＋c ，|PF 2|＝2a 2a ＋c .又∵|PF 2|－|PF 1|<|F 1F 2|， 即2a 2a ＋c －2ac a ＋c <2c ， ∴c 2＋2ac －a 2>0， ∴e 2＋2e －1>0， ∴2－1<e <1. 答案：(2－1,1) 13.如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成角的大小是__________．解析：建立如图所示的坐标系，O 为BC 中点，设三棱柱的棱长为2a ，则点A (3a,0,0)，B (0，a,0)，B 1(0，a,2a )，M (0，－a ，a ) 则AB 1→＝(－3a ，a,2a )，BM →＝(0，－2a ，a ) AB 1→·BM →＝0－2a 2＋2a 2＝0， 所以异面直线AB 1与BM 所成的角为90°. 答案：90°14．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1,1)，BA →|BA →|＋BC →|BC →|＝3|BD →|BD →，则四边形ABCD 的面积为__________．解析：由已知AB →＝DC →＝(1,1)，得四边形ABCD 为平行四边形，且平行四边形ABCD 为菱形，其中锐角为60°，边长为2，所以四边形ABCD 的面积为2·2sin60°＝ 3. 答案： 3二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，化简下列向量表达式． (1)AB →＋DD 1→＋B 1C 1→； (2)AA 1→＋BC →； (3)AB →＋12(CC 1→＋A 1D 1→＋CD →)．解：(1)AB →＋DD 1→＋B 1C 1→＝AB →＋BB 1→＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→. (2)AA 1→＋BC →＝AA 1→＋A 1D 1→＝AD 1→. (3)AB →＋12(CC 1→＋A 1D 1→＋CD →)＝AB →＋12(BB 1→＋B 1C 1→＋C 1D 1→)＝AB →＋12BD 1→＝AO →(O 为正方体中心)．16．(本小题满分14分)已知A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是抛物线y ＝2x 2上两个不同点，若x 1x 2＝－12，且A 、B 两点关于直线y ＝x ＋m 对称，试求m 的值．解：由已知得k AB ＝－1，且AB 的中点C (x 0，y 0)在直线y ＝x ＋m 上，设直线AB 的方程为y ＝－x ＋n ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋ny ＝2x 2，消去y 并整理得2x 2＋x －n ＝0，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝1＋8n >0x 1x 2＝－n 2＝－12，∴n ＝1.又x 1＋x 2＝－12，∴x 0＝－14，y 0＝－x 0＋1＝54.∵C (x 0，y 0)在直线y ＝x ＋m 上， ∴54＝－14＋m ，∴m ＝32. 17．(本小题满分14分)已知命题p ：函数f (x )＝log 2m (x ＋1)是定义域上的增函数，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0.(1)写出命题q 的否定 q ；并求出m 的取值范围，使得命题 q 为真命题； (2)如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数m 的取值范围．解：(1)由已知得 q ：∃x 0∈R ，x 2＋mx ＋1<0. 若 q 为真命题，则Δ＝m 2－4>0， ∴m <－2或m >2.即m 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)． (2)由已知得，p 为真命题时， m >12，即A ＝{m |m >12}． q 为真命题时，Δ＝m 2－4≤0， ∴－2≤m ≤2，即B ＝{m |－2≤m ≤2}． 若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题， 则p 与q 一真一假． ∴m ∈A ∩∁R B ＝{m |m >2}或m ∈B ∩∁R A ＝{m |－2≤m ≤12}．故m 的取值范围是[－2，12]∪(2，＋∞)．18．(本小题满分16分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝CC 1＝2，AC ⊥BC ，点D 是AB 的中点． (1)求证：AC 1∥平面CDB 1； (2)求点B 到平面CDB 1的距离； (3)求二面角B －B 1C －D 的余弦值． 解：(1)证明：如图，建立空间直角坐标系，则A (2,0,0)，B (0,2,0)，C (0,0,0)，B 1(0,2,2)，C 1(0,0,2)，D (1,1,0)． 设平面CDB 1的法向量为n ＝(x ，y ，z ) 由⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥CD→n ⊥CB 1→，得⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y ，z )·(1，1，0)＝x ＋y ＝0(x ，y ，z )·(0，2，2)＝2y ＋2z ＝0.取z ＝1，得n ＝(1，－1,1)．又AC 1→＝(－2,0,2)， ∴AC 1→·n ＝－2＋0＋2＝0， ∴AC 1→⊥n .∵AC 1⊄平面CDB 1，∴AC 1∥平面CDB 1.(2)设B 到平面CDB 1的距离为h ，则h ＝|n ·CB →||n |＝23＝233.(3)显然平面BCB 1的一个法向量为CA →＝(2,0,0)，∴cos 〈n ，CA →〉＝n ·CA →|n ||CA →|＝23×2＝33，∴二面角B －B 1C －D 的余弦值为33.19．(本小题满分16分)在△ABC 中，已知B (－3,0)，C (3,0)，D 为直线BC 上的一个点，AD →·BC →＝0，△ABC 的垂心为H ，且AH →＝3HD →.(1)求点H 的轨迹M 的方程；(2)若过点C 且斜率为－12的直线与轨迹M 交于点P ，设Q (t,0)点是x 轴上任意一点，求当△CPQ 为锐角三角形时t 的取值范围．解：(1)设H (x ，y )是曲线上任意一点． ∵AD →·BC →＝0，∴AD ⊥BC .∴点H 在线段AD 上，又∵AH →＝3 HD →， AD →＝4 HD →，∴A 点的坐标为(x,4y )．∵H 为△ABC 的垂心，所以AC →⊥BH →，AC →·BH →＝0. AC →＝(3－x ，－4y )，BH →＝(x ＋3，y )，∴(3－x ，－4y )·(x ＋3，y )＝0.化简整理得x 29＋4y 29＝1.所以H 点的轨迹方程为x 29＋4y 29＝1(y ≠0)．(2)过点C 且斜率为－12的直线方程为y ＝－12(x －3)，由⎩⎨⎧y ＝－12(x －3)x 29＋4y 29＝1(y ≠0)，得P (0，32)．要使△CPQ 为锐角三角形，则三个内角均为锐角，所以PQ →·PC →>0，QP →·QC →>0，CP →·CQ →>0三式同时成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧(t ，－32)·(3，－32)＝3t ＋94>0(－t ，32)·(3－t ，0)＝t 2－3t >0(－3，32)·(t －3，0)＝9－3t >0，解得t 的取值范围为(－34，0)．20．(本小题满分16分)已知椭圆E 的方程是x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，其左顶点为(－2,0)，离心率e ＝12.(1)求椭圆E 的方程； (2)已知倾斜角为45°且过右焦点的直线l 交椭圆E 于A 、B 两点，若椭圆上存在一点P ，使OP →＝λ(OA →＋OB →)，试求λ的值．解：(1)由已知得a ＝2， e ＝c a ＝12，∴c ＝1，b ＝3， 故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)得右焦点F (1,0)， 因此直线l 的方程为y ＝x －1.代入椭圆方程并整理得7x 2－8x －8＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则x 1＋x 2＝87，∴y 1＋y 2＝(x 1－1)＋(x 2－1)＝(x 1＋x 2)－2＝－67.∴OP →＝λ(OA →＋OB →) ＝λ(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝λ(87，－67)，∴P 点坐标为(8λ7，－6λ7)，代入椭圆方程得：14×64λ249＋13×36λ249＝1. ∴λ2＝74，∴λ＝±72.。
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-1优化训练 命题及其关系
1．(2011年高考重庆卷改编)“x<－1”是“x2－1>0”的________条件．解析：x2－1>0⇒x>－1，故x<－1⇒x2－1>0，但x2－1>0 x<－1，∴“x<－1”是“x2－1>0”的充分而不必要条件．答案：充分而不必要2．(x＋1)(x＋2)>0是(x＋1)(x2＋2)>0的________条件．解析：(x＋1)(x＋2)>0⇒x<－2或x>－1，(x＋1)(x2＋2)>0⇒x>－1，x>－1⇒x<－2或x>－1.答案：必要不充分3．设x∈R，则“x＝1”是“x3＝x”的________条件．解析：当x＝1时，x3＝x成立．若x3＝x，x(x2－1)＝0，得x＝－1或x＝0或x＝1，不一定得x＝1.答案：充分不必要4．函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象关于y轴对称的充要条件是________．解析：f(x)关于y轴对称⇔－b2a＝0⇔b＝0.答案：b＝0一、填空题1．设p、r都是q的充分条件，s是q的充分必要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的________条件，r是t的________条件．解析：由题意知p⇒q，r⇒q，s⇔q，s⇒t，t⇒r，所以p⇒t，r⇔t.答案：充分充要2．从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空：(1)“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”是“ac<0”的________；(2)“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的________．解析：(1)ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根⇒b2－4ac≥0⇒b2≥4ac ac<0，反之，ac<0⇒b2－4ac>0⇒ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，所以“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”是“ac<0”的必要条件．(2)△ABC≌△A′B′C′⇒△ABC∽△A′B′C′，但△ABC∽△A′B′C′ABC≌△A′B′C′，∴“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的充分条件．答案：(1)必要条件(2)充分条件3．已知命题p：x1，x2是方程x2＋6x－5＝0的两根，q：x1＋x2＝－6，则p是q的________条件．解析：由根与系数的关系可知p⇒q，但q p.答案：充分不必要4．已知数列{a n}，那么“对任意的n∈N＋，点P n(n，a n)都在直线y＝2x＋1上”是“{a n}为等差数列”的________条件．解析：∵P n(n，a n)是直线y＝2x＋1上，∴a n ＝2n ＋1，a n ＋1＝2(n ＋1)＋1，∴a n ＋1－a n ＝2，a 1＝3.∴数列{a n }是等差数列，若数列{a n }是等差数列，却得不到(n ，a n )在直线y ＝2x ＋1上．答案：充分不必要5．函数f (x )＝x |x ＋a |＋b 是奇函数的充分且必要条件是________．解析：若f (x )为奇函数，即f (－x )＝－f (x )，∴(－x )|－x ＋a |＋b ＝－x |x ＋a |－b ，则必有a ＝b ＝0，即a 2＋b 2＝0.当a 2＋b 2＝0即a ＝0且b ＝0时，f (x )＝x |x |为奇函数．答案：a ＝0且b ＝06．下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是________．①p ：a ＋c >b ＋d ，q ：a >b 且c >d②p ：a >1，b >1，q ：f (x )＝a x －b (a >0，且a ≠1)的图象不过第二象限③p ：x ＝1，q ：x 2＝x④p ：a >1，q ：f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数解析：a ＋c >b ＋d a >b 且c >d ，但a >b 且c >d ⇒a ＋c >b ＋d .答案：①7．关于x 的方程m 2x 2－(m ＋1)x ＋2＝0的实数根的总和为2的充要条件是________．解析：当m ＝0时，原方程即为x ＝2，满足条件；当m ≠0时，m ＋1m2＝2，m ＝1或m ＝－12， Δ＝(m ＋1)2－8m 2；m ＝1及m ＝－12均使Δ<0，故充要条件是m ＝0. 答案：m ＝08．已知命题p ：1－c <x <1＋c (c >0)，命题q ：x >7或x <－1，并且p 是q 的既不充分又不必要条件，则c 的取值范围是________．解析：命题p 对应的集合A ＝{x |1－c <x <1＋c ，c >0}，同理，命题q 对应的集合B ＝{x |x >7或x <－1}．因为p 是q 的既不充分又不必要条件，所以A ∩B ＝∅或A ⊄B 且B ⊄A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－c ≥－11＋c ≤7，①或⎩⎪⎨⎪⎧1＋c ≥－11－c ≤7，②，解①得c ≤2，解②得c ≥－2，又c >0，综上所述得0<c ≤2.答案：0<c ≤2二、解答题9．已知p ：A ＝{x ∈R |x 2＋ax ＋1≤0}，q ：B ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2≤0}，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：B ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，∵p 是q 的充分不必要条件，∴p ⇒q ，即A B ，可知A ＝∅或方程x 2＋ax ＋1＝0的两根要在区间[1,2]内∴Δ＝a 2－4<0或⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥01≤－a 2≤24＋2a ＋1≥01＋a ＋1≥0，得－2≤a ≤2.10．已知M ＝{x |(x ＋3)(x －5)>0}，P ＝{x |x 2＋(a －8)x －8a ≤0}．(1)求a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分而不必要条件；(2)求a 的一个取值范围，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个必要而不充分条件． 解：M ＝{x |x <－3或x >5}，P ＝{x |(x ＋a )(x －8)≤0}．(1)显然，当－3≤－a ≤5，即－5≤a ≤3时，M ∩P ＝{x |5<x ≤8}．取a ＝0，由M ∩P ＝{x |5<x ≤8}不能推出a ＝0.所以a ＝0是M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分而不必要条件．(2)当M ∩P ＝{x |5<x ≤8}时，－5≤a ≤3，此时有a ≤3，但当a ≤3时，推不出M ∩P ＝{x |5<x ≤8}．所以a ≤3是M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个必要而不充分条件．11．是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：由x 2－x －2>0⇒x >2或x <－1；4x ＋p <0⇒x <－p 4. 当－p 4≤－1，即p ≥4时， 由x <－p 4≤－1⇒x <－1⇒x 2－x －2>0， 故当p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件．由于x 2－x －2>0 4x ＋p <0，所以不存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的必要条件．。
苏教版数学高二- 选修2-1试题 抛物线的几何性质
2.4.2 抛物线的几何性质 一、填空题 1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是________．【解析】∵p 2＝2，∴p ＝4，∴抛物线标准方程为y 2＝8x. 【答案】 y 2＝8x2．经过抛物线y 2＝2px(p>0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为________． 【解析】 通径长为2p.【答案】 2p3．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线与抛物线相交于P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝8，则PQ 的值为________．【解析】 PQ ＝x 1＋x 2＋2＝10.【答案】 104．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是________． 【解析】 由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为3x －y ＝0或3x ＋y ＝0，则焦点到渐近线的距离d 1＝|3×1－0|32＋－12＝32或d 2＝|3×1＋0|32＋12＝32. 【答案】32 5．已知等边三角形AOB 的顶点A ，B 在抛物线y 2＝6x 上，O 是坐标原点，则△AOB 的边长为________．【解析】 设△AOB 边长为a ，则A(32a ，a 2)，∴a 24＝6×32a. ∴a ＝12 3.【答案】 12 36．过抛物线y ＝ax 2(a>0)的焦点F 作一条直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ的长分别为m 、n ，则1m ＋1n＝________.【解析】 由焦点弦性质知1PF ＋1FQ ＝2p ，抛物线的标准方程为x 2＝1a y(a>0)，∴2p ＝1a ，p ＝12a， ∴1PF ＋1FQ ＝4a ，即1m ＋1n＝4a. 【答案】 4a7．已知弦AB 过拋物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点，则以AB 为直径的圆与拋物线的准线的位置关系是________．【解析】 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 中点为M(x 0，y 0)，如图，则AB ＝AF ＋BF ＝x 1＋x 2＋p.设A ，B ，M 到准线l ：x ＝－p 2距离分别为d 1，d 2，d ，则有d 1＝x 1＋p 2，d 2＝x 2＋p 2， d ＝d 1＋d 22＝x 1＋x 2＋p 2＝AB 2， ∴以AB 为直径的圆与拋物线的准线相切．【答案】 相切8．如图2－4－4所示是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽________米．图2－4－4【解析】 设水面与拱桥的一个交点为A ，如图所示，建立平面直角坐标系，则A 的坐标为(2，－2)．设抛物线方程为x 2＝－2py(p>0)，则22＝－2p×(－2)，得p ＝1.设水位下降1米后水面与拱桥的交点坐标为(x 0，－3)，则x 20＝6，解得x 0＝±6，所以水面宽为26米．【答案】 2 6二、解答题9．设抛物线顶点在原点，焦点在y 轴负半轴上，M 为抛物线上任一点，若点M 到直线l ：3x ＋4y －14＝0的距离的最小值为1，求此抛物线的标准方程．【解】 设与l 平行的切线方程为3x ＋4y ＋m ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2py 3x ＋4y ＋m ＝0得2x 2－3px －pm ＝0. ∴Δ＝0即m ＝－98p. 又d ＝|14－98p|5＝1，∴p ＝8或p ＝1529(舍)， ∴抛物线的标准方程为x 2＝－16y.10．过点(0,4)，斜率为－1的直线与拋物线y 2＝2px(p ＞0)交于两点A ，B ，如果OA ⊥OB(O 为原点)求拋物线的标准方程及焦点坐标．【解】 直线方程为y ＝－x ＋4.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋4，y 2＝2px ，消去y 得x 2－2(p ＋4)x ＋16＝0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2(p ＋4)，x 1x 2＝16，Δ＝4(p ＋4)2－64＞0.所以y 1y 2＝(－x 1＋4)(－x 2＋4)＝－8p.由已知OA ⊥OB 得x 1x 2＋y 1y 2＝0，从而16－8p ＝0，解得p ＝2.所以，拋物线的标准方程为y 2＝4x ，焦点坐标为(1,0)．图2－4－511．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A 、B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB →的值；(2)如果OA →·OB →＝－4，证明：直线l 必过一定点，并求出该定点．【解】 (1)设l ：my ＝x －1与y 2＝4x 联立，得y 2－4my －4＝0，∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2＋m(y 1＋y 2)＋1＝－3.(2)证明：设l ：my ＝x ＋n 与y 2＝4x 联立，得y 2－4my ＋4n ＝0， ∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4n.由OA →·OB →＝－4＝(m 2＋1)y 1y 2－mn(y 1＋y 2)＋n 2＝n 2＋4n ，解得n ＝－2， ∴l ：my ＝x －2过定点(2,0)．。
高中苏教版数学选修2-1课堂精练：2.4.1抛物线的标准方程(含答案解析)
1．抛物线y2＝－ 8x 的焦点到准线的距离为__________ ．x2y2__________．2．以双曲线1的右极点为焦点的抛物线方程为433．在抛物线 y2＝ 2px 上，横坐标为 4 的点到焦点的距离为5，则 p 的值为 __________．4．抛物线 y＝ ax2的准线方程为y1，则 a＝__________.25．已知点 (－ 2,3)与抛物线 y2＝ 2px(p＞0) 的焦点的距离是5，则 p 的值为 __________ ．6．已知直线 l 1： 4x－ 3y＋6＝ 0 和直线 l 2： x＝－ 1，抛物线 y2＝ 4x 上一动点 P 到直线 l 1和直线 l2的距离之和的最小值是 __________ ．7．设 P 是抛物线 x2＝ 2y 上的一点，若点P 到此抛物线的准线的距离为8.5，则 P 点的坐标是 ______．8．圆心在抛物线2x 轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程是y ＝ 2x 上，且与__________ ．9．设 O 为坐标原点， F 为抛物线 y 2＝ 4x 的焦点， A 为抛物线上一点，若· ＝－OA AF4，求点 A 的坐标．x2y210．已知抛物线的极点在原点，它的准线过双曲线 1 的一个焦点，且这条准a2b2线与双曲线的两个焦点的连线相互垂直，又抛物线与双曲线交于点3, 6，求抛物线和2双曲线的方程．参照答案1.答案： 4分析：由已知可得p＝ 4，∴焦点到准线的距离为 4.2.2分析：∵双曲线x2y2答案： y ＝ 4x41的右极点为(1,0)，即抛物线的焦点坐标3为 (1,0) ，∴抛物线方程为y2＝ 4x.3.答案： 214.答案：2∴1 1 ，4a25.答案： 42p∴026.答案： 2分析：明显p＞ 0，∴ 4＋p＝ 5，∴ p＝ 2.2分析：把方程y＝ ax2化为标准方程得x2＝1y，得准线方程为y1，a2 1a.2p分析：∵抛物线的焦点坐标为F,0，2＋9＝ 25，∴ p＝ 4.分析：如下图，动点P 到 l 2： x=－1 的距离可转变为PF 的距离，由图4+6可知，距离和的最小值即 F 到直线 l 1的距离d 2 .32 +427. 答案： ( ±4,8)分析：设点P 的坐标为 (x0， y0) ，∵抛物线x2＝2y 的准线为y 1，2∴y0＋1＝ 8.5，∴ y0＝ 8，代入 x2＝ 2y 得 x02＝ 16，∴ x0＝±4.∴P 点的坐标为 ( ±4,8). 218. 答案：x22＋( y±1) 2＝ 1分析：由题设可知，圆与x 轴的切点为抛物线的焦点，∴圆心为1, 1 ，半径为1. 22∴圆的方程为x 1＋(y±1)2＝1. 29. 答案：解：设A(x 0， y 0)， F(1,0) ， OA ＝ (x 0， y 0)，AF ＝ (1－ x 0，－ y 0)， OA ·AF ＝x 0(1－ x 0)－ y 02＝－ 4.∵ y 02＝ 4x 0，∴ x 0－ x 02－ 4x 0＋ 4＝ 0 x 02＋ 3x 0－ 4＝ 0.∴ x 0＝ 1 或－ 4.又 x 0＞ 0，∴ x 0＝ 1，y 0＝ ±2，即 A 点坐标为 (1， ±2).10. 答案：解：设抛物线的方程为y 2 ＝ 2px( p ＞ 0)，依据点3, 6 在抛物线上可得2( 6)2 2p 3 .2 解之，得 p ＝2.故所求抛物线方程为 y 2＝ 4x ，抛物线的准线方程为 x ＝－ 1.又双曲线的左焦点在抛物线的准线上，∴ c ＝ 1，即 a 2＋ b 2＝ 1.x 2 y 21 .故双曲线方程为1 a 2a 2又点 3, 6 在双曲线上，∴96 1，24a 21 a 2解得 a 2＝ 1.同时 b 2＝ 3，44x 2 y 2 1.所以所求双曲线的方程为3144。
苏教版数学高二 选修2-1测评2.4.2 抛物线的几何性质
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．抛物线焦点在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，AF ＝5，则该抛物线的方程是________．【解析】 设抛物线的标准方程为y 2＝2ax (a ≠0)，设A (m ，－3)． 由抛物线定义得5＝AF ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋a 2，又(－3)2＝2am ， ∴a ＝±1或a ＝±9，故所求抛物线的标准方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x . 【答案】 y 2＝±2x 或y 2＝±18x2．抛物线y 2＝4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB ＝43，则焦点到弦AB 的距离为________．【解析】 由题意我们不妨设A (x,23)，则(23)2＝4x ，∴x ＝3，∴直线AB 的方程为x ＝3，抛物线的焦点为(1,0)，∴焦点到弦AB 的距离为2.【答案】 23．在抛物线y 2＝16x 内，过点(2,1)且被此点平分的弦AB 所在直线的方程是________. 【导学号：09390047】【解析】 显然斜率不存在时的直线不符合题意．设直线斜率为k ，则直线方程为y －1＝k (x －2)①，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －2)，y 2＝16x ，消去x 得ky 2－16y ＋16(1－2k )＝0，∴y 1＋y 2＝16k ＝2(y 1，y 2分别是A ，B 的纵坐标)，∴k ＝8，代入①得y ＝8x －15.【答案】 y ＝8x －154．已知过抛物线Γ：x ＝－y 22的焦点F 的直线交抛物线Γ于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝－7，则AB 的值为________．【解析】 因为x ＝－y 22，所以y 2＝－2x ，所以抛物线Γ的准线方程为x ＝12，根据抛物线的定义知AF ＝12－x 1，BF ＝12－x 2，所以AB ＝AF ＋BF ＝1－(x 1＋x 2)＝1－(－7)＝8.【答案】 85．直线y ＝k (x ＋1)与抛物线y 2＝8x 有两个交点，则实数k 的取值范围是________．【解析】 联立直线与抛物线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k (x ＋1)，所以ky 2－8y ＋8k ＝0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，Δ＝(－8)2－4×k ×8k ＞0，解得－2＜k ＜2，且k ≠0.所以实数k 的取值范围是(－2，0)∪(0，2)． 【答案】 (－2，0)∪(0，2)6．已知抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，P 是E 的准线l 上一点，Q 是直线PF 与E 的一个交点．若PQ →＝2QF →，则直线PF 的方程为________. 【导学号：09390048】【解析】 抛物线E ：y 2＝4x 的焦点F (1,0)，设Q 到l 的距离为d ，则QF ＝d .∵PQ →＝2QF →，∴|PQ →|＝2|QF →|＝2d ，∴直线的倾斜角为45°或135°，∴直线的斜率为±1，∴直线的方程为x ＋y －1＝0或x －y －1＝0. 【答案】 x ＋y －1＝0或x －y －1＝07．如图2-4-3是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽_____________ m.图2-4-3【解析】建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．由题意A(2，－2)，代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝6，故水面宽为2 6 m.【答案】2 68．设点A的坐标为(a,0)(a∈R)，则曲线y2＝2x上的点到A点的距离的最小值为________. 【导学号：09390049】【解析】设抛物线上的点到A点的距离为d，抛物线上任一点的坐标为(x，y)，则d2＝(x－a)2＋y2＝x2－(2a－2)x＋a2＝[x－(a－1)]2＋(2a－1)．因为x∈[0，＋∞)，所以当a－1≥0，即a≥1时，d2min＝2a－1，d min＝2a－1；当a－1<0，即a<1时，当x＝0时，d2min＝a2，d min＝|a|.【答案】2a－1(a≥1)或|a|(a<1)二、解答题9．已知抛物线y2＝2px(p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线的方程．【解】 设直线OA 的方程为y ＝kx ，k ≠0，则直线OB 的方程为y ＝－1k x ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2px ，得x ＝0(舍)或x ＝2p k 2，∴A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k 2，2p k ，B 点坐标为(2pk 2，－2pk )，由|OA |＝1，|OB |＝8， 可得⎩⎪⎨⎪⎧4p 2k 2＋1k 4＝1， ①4p 2k 2(k 2＋1)＝64，②解方程组得k 6＝64，即k 2＝4.则p 2＝16k 2(k 2＋1)＝45，又p >0，则p ＝255，故所求抛物线方程为y 2＝455x .10．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC→＝OA →＋λOB →，求λ的值． 【解】 (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4，由抛物线定义得，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程为y 2＝8x .(2)由于p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可化简为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4，42)；设C (x 3，y 3)，则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.[能力提升]1．等腰直角三角形AOB 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△AOB 的面积为________．【解析】 由条件，不妨设l OA 为y ＝x ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y 2＝2px ，得x ＝2p ，所以A (2p,2p )．故S △AOB ＝12·2·(2p )·(2p )＝4p 2.【答案】 4p 22．过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F 作一条直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别为m ，n ，则1m ＋1n ＝________.【解析】 由焦点弦性质，知1PF ＋1FQ ＝2p ，抛物线的标准方程为x 2＝1a y (a >0)，∴2p ＝1a ，p ＝12a ，∴1PF ＋1FQ ＝4a ，即1m ＋1n ＝4a . 【答案】 4a3．已知抛物线y ＝18x 2与双曲线y 2a 2－x 2＝1(a ＞0)有共同的焦点F ，O 为坐标原点，P 在x 轴上方且在双曲线，则OP →·FP→的最小值为________．【解析】 抛物线y ＝18x 2的焦点F 为(0,2)，则双曲线y 2a 2－x 2＝1中，c ＝2，则a 2＝3.即双曲线方程为y 23－x 2＝1，设P (m ，n )()n ≥3，则n 2－3m 2＝3，则OP →·FP →＝(m ，n )·(m ，n －2)＝m 2＋n 2－2n ＝n 23－1＋n 2－2n ＝4n 23－2n －1＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫n －342－74，所以当n ＝3时，OP →·FP →的最小值为3－2 3. 【答案】 3－2 34．如图2-4-4，抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明：直线AC经过原点O.图2-4-4【证明】法一：设直线AB的方程为y＝k⎝⎛⎭⎪⎫x－p2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C⎝⎛⎭⎪⎫－p2，y2.联立方程，得⎩⎨⎧y＝k⎝⎛⎭⎪⎫x－p2，y2＝2px，消去x，得y2－2pyk－p2＝0，∴y1y2＝－p2，k OA＝y1x1，k OC＝y2－p2＝2py1.又∵y21＝2px1，∴k OC＝y1x1＝k OA，∴AC经过原点O.当k不存在时，AB⊥x轴，同理可得k OA＝k OC，所以AC经过原点O.法二：因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，由于直线AB斜率不确定，所以经过点F的直线AB的方程可设为x＝my＋p2，代入抛物线方程消去x得y2－2pmy－p2＝0.若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是该方程的两个根，所以y1y2＝－p2.因为BC∥x轴，且点C在准线x＝－p2上，所以点C的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－p2，y2，故直线CO的斜率为k＝y2－p2＝2py1＝y1x1，即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O.法三：如图，过A作AD⊥l，D为垂足，则AD∥EF∥BC，设AC 与EF 相交于点N ，则EN AD ＝CN AC ＝BFAB ，NF BC ＝AF AB .由抛物线的定义可知AF ＝AD ，BF ＝BC ，∴EN ＝AD ·BF AB ＝AF ·BC AB ＝NF .即点N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合，所以直线AC 经过原点O .。
2019-2020学年高二数学苏教版选修2-1练习题：(十二) 抛物线的标准方程(含答案)
课时跟踪训练(十二) 抛物线的标准方程1．抛物线x 2＝8y 的焦点坐标是________．2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，其上的点P (－3，m )到焦点的距离为5，则抛物线方程为________．3．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________． 4．抛物线x 2＝－ay 的准线方程是y ＝2，则实数a 的值是________．5．双曲线x 2m －y 2n＝1(mn ≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为________．6．根据下列条件，分别求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点；(2)抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，AF ＝5.7．设抛物线y 2＝mx (m ≠0)的准线与直线x ＝1的距离为3，求抛物线的方程．8．一个抛物线型的拱桥，当水面离拱顶2 m 时，水宽4 m ，若水面下降1 m ，求水的宽度．答 案1．解析：由抛物线方程x 2＝8y 知，抛物线焦点在y 轴上，由2p ＝8，得p 2＝2，所以焦点坐标为(0,2)．答案：(0,2)2．解析：因为抛物线顶点在原点、焦点在x 轴上，且过p (－3，m )，可设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，由抛物线的定义可知，3＋p 2＝5.∴p ＝4.∴抛物线方程为y 2＝－8x . 答案：y 2＝－8x3．解析：椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为(2,0)，由p 2＝2，得p ＝4. 答案：44．解析：由条件知，a ＞0，且a 4＝2，∴a ＝8. 答案：85．解析：y 2＝4x 的焦点为(1,0)，则c ＝1，c a ＝2，∴a ＝12， 即m ＝a 2＝14，n ＝c 2－a 2＝34，∴mn ＝14×34＝316. 答案：3166．解：(1)双曲线方程化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，且－p 2＝－3，∴p ＝6，∴方程为y 2＝－12x . (2)设所求焦点在x 轴上的抛物线的方程为y 2＝2px (p ≠0)，A (m ，－3)，由抛物线定义，得5＝AF ＝⎪⎪⎪⎪m ＋p 2. 又(－3)2＝2pm ，∴p ＝±1或p ＝±9，故所求抛物线方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x .7．解：当m ＞0时，由2p ＝m ，得p 2＝m 4，这时抛物线的准线方程是x ＝－m 4. ∵抛物线的准线与直线x ＝1的距离为3，∴1－⎝⎛⎭⎫－m 4＝3，解得m ＝8， 这时抛物线的方程是y 2＝8x .当m ＜0时，⎝⎛⎭⎫－m 4－1＝3，解得m ＝－16. 这时抛物线的方程是y 2＝－16x .综上，所求抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－16x .8．解：如图建立直角坐标系．设抛物线的方程为x2＝－2py，∵水面离拱顶2 m时，水面宽4 m，∴点(2，－2)在抛物线上，∴4＝4p，∴p＝1.∴x2＝－2y，∵水面下降1 m，即y＝－3，而y＝－3时，x＝±6，∴水面宽为2 6 m.即若水面下降1 m，水面的宽度为2 6 m.。
苏教版高中数学选修2-1：2.4《抛物线》测试(选修2—1)
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作高中苏教选修（2-1）2.4抛物线水平测试题一、选择题1．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点(3)P m ，到焦点的距离为5，则抛物线方程为（ ）Ａ．28x y =Ｂ．24x y = Ｃ．24x y =- Ｄ．28x y =答案：A2．抛物线212y x =截直线21y x =+所得弦长等于（ ） Ａ．15Ｂ．215 Ｃ．152 Ｄ．15答案：A3．抛物线方程为212y x =，则下列说法正确的是（ ）Ａ．抛物线通径长为5Ｂ．焦点在y 轴上Ｃ．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6Ｄ．过此抛物线焦点的弦中最短的弦长为10答案：D4．若点A 的坐标为（3，2），F 为抛物线22y x =的焦点，点P 是抛物线上的一动点，则PA PF +取得最小值时，点P 的坐标是（ ）Ａ．(00)，Ｂ．(11)， Ｃ．(22)， Ｄ．112⎛⎫ ⎪⎝⎭， 答案：C5．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点弦AB 的两端点为1122()()A x y B x y ，，，，则关系式1212y y x x 的值一定等于（ ） Ａ．4Ｂ．4- Ｃ．4p Ｄ．4p -答案：B6．过抛物线22(0)y px p =>的焦点作直线交抛物线于两点1122()()M x y N x y ，，，，若123x x p +=，则MN 的值为（ ）Ａ．2pＢ．4p Ｃ．6p Ｄ．8p答案：B二、填空题7．过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于1122()()P x y Q x y ，，，两点，若126x x +=，则PQ 的值为 ．答案：88．如果过(0)A a ，和(0)B a ，两点的直线与抛物线223y x x =--没有交点，那么实数a 的取值范围是 ． 答案：134⎛⎫-- ⎪⎝⎭∞，9．设P 是曲线24(1)y x =-上的一个动点，则点P 到点（0，1）的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为 ． 答案：510．设抛物线24y x =被直线2y x b =+所截得的弦长为35，则b = ．答案：4-11．过点（2，4）的直线与抛物线28y x =只有一个公共点，则这样的直线共有 条．答案：212．一个正三角形的三个顶点都在抛物线24y x =上，其中一个顶点的坐标在原点，则这个三角形的面积是 ． 答案：483三、解答题13．（1）过抛物线22y mx =焦点F 作x 轴的垂线交抛物线于A 、B 两点，且6AB =，求m的值；（2）求焦点在直线240x y --=上的抛物线标准方程．解：（1）由题意可知AB 为抛物线的通径且6AB =，26m ∴=，即3m =±。
苏教版高中数学选修2-1：2.4《抛物线》测试(选修2—1).docx
高中苏教选修（2-1）2.4抛物线水平测试题一、选择题1．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点(3)P m ，到焦点的距离为5，则抛物线方程为（ ）Ａ．28x y =Ｂ．24x y = Ｃ．24x y =- Ｄ．28x y =答案：A2．抛物线212y x =截直线21y x =+所得弦长等于（ ） Ａ．15Ｂ．215 Ｃ．152 Ｄ．15答案：A3．抛物线方程为212y x =，则下列说法正确的是（ ）Ａ．抛物线通径长为5Ｂ．焦点在y 轴上Ｃ．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6Ｄ．过此抛物线焦点的弦中最短的弦长为10答案：D4．若点A 的坐标为（3，2），F 为抛物线22y x =的焦点，点P 是抛物线上的一动点，则PA PF +取得最小值时，点P 的坐标是（ ）Ａ．(00)，Ｂ．(11)， Ｃ．(22)， Ｄ．112⎛⎫ ⎪⎝⎭， 答案：C5．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点弦AB 的两端点为1122()()A x y B x y ，，，，则关系式1212y y x x 的值一定等于（ ） Ａ．4Ｂ．4- Ｃ．4p Ｄ．4p -答案：B6．过抛物线22(0)y px p =>的焦点作直线交抛物线于两点1122()()M x y N x y ，，，，若123x x p +=，则MN 的值为（ ）Ａ．2pＢ．4p Ｃ．6p Ｄ．8p答案：B二、填空题7．过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于1122()()P x y Q x y ，，，两点，若126x x +=，则PQ 的值为 ．答案：88．如果过(0)A a ，和(0)B a ，两点的直线与抛物线223y x x =--没有交点，那么实数a 的取值范围是 ． 答案：134⎛⎫-- ⎪⎝⎭∞，9．设P 是曲线24(1)y x =-上的一个动点，则点P 到点（0，1）的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为 ． 答案：510．设抛物线24y x =被直线2y x b =+所截得的弦长为35，则b = ．答案：4-11．过点（2，4）的直线与抛物线28y x =只有一个公共点，则这样的直线共有 条．答案：212．一个正三角形的三个顶点都在抛物线24y x =上，其中一个顶点的坐标在原点，则这个三角形的面积是 ． 答案：483三、解答题13．（1）过抛物线22y mx =焦点F 作x 轴的垂线交抛物线于A 、B 两点，且6AB =，求m的值；（2）求焦点在直线240x y --=上的抛物线标准方程．解：（1）由题意可知AB 为抛物线的通径且6AB =，26m ∴=，即3m =±。
高中苏教版数学选修2-1课堂精练：2.4.2抛物线的几何性质(含答案解析)
1．若抛物线的通径长为8，则抛物线的焦点到准线的距离为__________．2．已知，过抛物线的焦点且垂直于其对称轴的弦AB，抛物线的准线交x 轴于点 M，则∠AMB ＝__________.3．过抛物线 y＝ ax2(a＞ 0)的焦点 F 作向来线交抛物线于P， Q 两点，若线段 PF 与 FQ的长分别是 p， q，则11__________. p q4．已知抛物线 y2＝ 2px(p＞ 0)的焦点为 F，点 P1(x1，y1)， P2 (x2， y2)， P3(x3， y3)在抛物线上，且 2x2＝ x1＋x3，则 FP 1，FP 2， FP 3之间的等量关系是 __________．5．抛物线 y2＝ 4x 的弦 AB 垂直于 x 轴，若AB 4 3 ，则焦点到AB的距离为__________．6．探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，灯口直径为60 cm，灯深 40 cm，则光源到反射镜极点的距离是__________．7．已知抛物线 C：y2＝2px(p＞ 0)的准线为 l，过 M(1,0)且斜率为 3 的直线与l订交于点 A，与 C 的一个交点为B，若AM MB ，则p＝________.8．过抛物线 y2＝ 4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A， B 两点， O 为坐标原点．若AF ＝3，则△ AOB 的面积为 __________．9．过点 (0,4)，斜率为－ 1 的直线与抛物线y2＝ 2px(p＞0) 交于两点A，B，假如 OA⊥OB(O 为原点 )，求 p 的值及抛物线的焦点坐标．210．如图，直线l ：y＝ x＋ b 与抛物线 C： x ＝ 4y 相切于点 A.(1)务实数 b 的值；(2)求以点 A 为圆心，且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程．参照答案1. 答案： 4分析：∵通径长为 8，∴ 2p ＝8.∴焦点到准线的距离为 p ＝4.2. 答案： 90° 分析：不如设如图状况 .由题意可得AF=FM ， BF=FM .∴∠ AMF =∠BMF =45°，即∠ AMB=90°.3. 答案： 4a分析：抛物线方程为x 2＝ 1 y.取直线平行于 x 轴，则 p ＝ q ＝1 .a2a∴11 4a . pq4. 答案： FP 1＋ FP 3＝2FP 2分析：由抛物线的定义得FP 1＝ x 1＋ p，2同理 FP ＝ x ＋ p，FP ＝ x ＋ p，两式左右两边分别相加，得 FP ＋FP ＝ x ＋ x ＋ 2·p223313132 22＝ 2x 2＋ 2·p ＝ 2 x 2p＝ 2FP 2.225. 答案： 2 分析：不如设 A(x, 23 )，则 (2 3) 2 4x .∴ x ＝ 3.∴直线 AB 的方程为 x ＝ 3.∵抛物线的焦点为 (1,0) ，∴焦点到 AB 的距离为 2.6. 答案： 45分析：如图成立直角坐标系，则点A坐标为 (40,30). 设抛物线方程为8290 p 45 .y =2px ，将 A(40,30)代入得 p，因此8287. 答案： 2分析：过点 B 作 BE 垂直准线l 于 E.∵ AM ＝MB ，∴M为AB的中点，∴BM＝1AB.2又∵直线 l 的斜率为 3 ，∴∠BAE＝30°.∴BE＝1AB，∴ BM ＝ BE，2∴点 M 为抛物线的焦点，∴ p＝ 2.8.答案：32分析：设点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由 AF＝ 3及抛物线定义可得，x1 2＋ 1＝ 3，∴ x1＝ 2.∴ A点坐标为 (2，2 2)，则直线2202.∴直线AB 的斜率k221AB 的方程为 y＝2 2 (x－1)，即为2 2x y 2 20，则点O到该直线的距离为d 22.3y24x,消去 y 得， 2x2－ 5x＋ 2＝0，解得 x1＝ 2，x2＝1.∴ BF＝ x2＋ 1＝3，∴由y 2 2( x 1),22 39AB＝3＋＝.∴S AOB 1AB d19 2 2 3 2. 222329.答案：解：直线方程为 y＝－ x＋4.由yy2x 4,2 px,消去y 得x2－ 2(p＋ 4)x＋ 16＝ 0.设 A( x1，y1 )， B(x2， y2)，则x1＋ x2＝ 2(p＋ 4)， x1x2＝ 16，＝4(p＋ 4)2－ 64＞ 0.因此 y1y2＝ (－ x1＋ 4)( － x2＋ 4)＝－ 8p.由已知 OA⊥ OB 得 x1x2＋ y1y2＝ 0，进而 16－ 8p＝ 0，解得 p＝ 2.因此抛物线的方程为y2＝ 4x，焦点坐标为F(1,0).y x b,10. 答案：解： (1) 由得 x2－ 4x－ 4b＝0.(*)x2 4 y,由于直线 l 与抛物线 C 相切，因此＝(－4) 2－ 4× (－ 4b)＝ 0.解得 b＝－ 1.(2)由 (1)可知 b＝－ 1，故方程 (*) 即为x2－ 4x＋ 4＝ 0.解得 x＝ 2，代入 x2＝ 4y，得 y＝1.故点 A (2,1).由于圆 A 与抛物线 C 的准线相切，因此圆 A 的半径 r 等于圆心 A 到抛物线的准线y＝－ 1 的距离，即 r＝ |1－ (－ 1)|＝ 2.因此圆 A 的方程为 (x－ 2)2＋ (y－ 1)2＝ 4.。
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-1优化训练 空间向量的应用 (2)
1．已知直线l 1的一个方向向量为a ＝(1，－2,1)，直线l 2的一个方向向量为b ＝(2，－2,0)，则两直线所成角的余弦值为__________．解析：cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1×2＋(－2)×(－2)6×8＝32.所以两直线所成角的余弦值为32. 答案：322．若直线l 的方向向量为a ＝(－2,3,1)，平面α的一个法向量为n ＝(4,0,1)，则直线l 与平面α所成角的正弦值等于__________．解析：sin θ＝|a ·n ||a ||n |＝|(－2)×4＋1×1|14×17＝23834.答案：238343．若一个锐二面角的两个半平面的法向量分别为m ＝(0,0,3)，n ＝(8,9,2)，则这个锐二面角的余弦值为__________．解析：cos θ＝|m ·n ||m ||n |＝3×29×149＝2149149.答案：21491494．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱BB 1、B 1C 1的中点，若∠CMN ＝90°，则异面直线AD 1与DM 所成的角为__________．解析：分别以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(图略)． 设D 1A 1＝a ，D 1C 1＝b ，D 1D ＝c ，则M (a ，b ，c 2)，N (a2，b,0)，C (0，b ，c )，A (a,0，c )，∴NM →＝(a 2，0，c 2)，MC →＝(－a,0，c 2)．又∵∠CMN ＝90°， ∴NM →·MC →＝0.∴a 2＝c 22. 又DM →＝(a ，b ，－c 2)，AD 1→＝(－a,0，－c )，∴DM →·AD 1→＝－a 2＋c 22＝0.∴DM →⊥AD 1→. 答案：90°一、填空题1．若平面α的一个法向量为n ＝(3,3,0)，直线l 的一个方向向量为v ＝(1,1,1)，则l 与α所成角的余弦值为__________．解析：设l 与α所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，v 〉|＝|n ·v |n ||v ||＝|3＋3＋0|32·3＝63，∴cos θ＝33. 答案：332．在一个二面角的两个面内各有一个与二面角的棱垂直的向量n 1＝(0，－1,3)和n 2＝(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为__________．解析：由cos 〈n 1，n 2〉＝0－2＋1210·24＝156，知这个二面角的余弦值为156或－156.答案：156或－1563．在直角坐标系中，已知A (2,3)，B (－2，－3)，沿x 轴把直角坐标系折成平面角为θ的二面角A －Ox －B ，使∠AOB ＝90°，则cos θ等于__________． 解析：过A 、B 分别作x 轴垂线，垂足分别为A ′、B ′(图略)，则AA ′＝3，BB ′＝3，A ′B ′＝4，OA ＝OB ＝13，折后，∠AOB ＝90°，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝26，由AB →＝AA ′→＋A ′B ′→＋B ′B →，得|AB →|2＝|AA ′→|2＋|A ′B ′→|2＋|B ′B →|2＋2|AA ′→|·|B ′B →|cos(π－θ)． ∴26＝9＋16＋9＋2×3×3×cos(π－θ)，∴cos θ＝49.答案：494．在边长为a 的正三角形ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B －AD －C 后，BC ＝12a ，这时二面角B －AD －C 的大小为__________．解析：依题意∠BDC 为二面角B －AD －C 的平面角，在△BCD 中，BD ＝CD ＝a 2，BC ＝12a ，所以B —AD —C ＝60°.答案：60°5．在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，ABCD 为正方形，且PD ＝AB ＝1，G 为△ABC 的重心，则PG 与底面ABCD 所成角的正切值为__________．解析：连结BD ，则G ∈BD ，由PD ⊥面ABCD 知∠PGD 为所求角．因为PD ＝AB ＝1，G 为△ABC 重心，所以DG ＝23BD ＝223.因此tan ∠PGD ＝PD DG ＝324.答案：3246．如图，将等腰直角三角形ABC 沿中位线DE 将其折成60°的二面角A －DE －B ，则直线AB 与平面BCDE 所成角的正切值是__________．解析：如图，∵DE ⊥平面ADC ，∴∠ADC 为二面角A －DE －B 的平面角，即∠ADC ＝60°， 又AD ＝DC ，∴△ADC 为正三角形．由面ADC ⊥面BCDE ，过A 作AF ⊥DC 于F ，则AF ⊥面BCDE ， ∴∠ABF 为AB 与面BCDE 所成角． 设AD ＝1，则在Rt △AFB 中， AF ＝32，BF ＝(12)2＋22＝172， ∴tan ∠ABF ＝AF BF ＝32172＝5117.答案：51177.如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成角的度数是__________．答案：60°8.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值为__________．解析：以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则A (1,0,0)，M (1，12，1)，C (0,1,0)，N (1,1，12)，∴AM →＝(0，12，1)，CN →＝(1,0，12)．∴cos〈AM→，CN→〉＝AM→·CN→|AM→|·|CN→|＝0×1＋12×0＋1×120＋14＋1·1＋0＋14＝25.答案：25二、解答题9．如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2a.(1)建立适当的空间直角坐标系，并写出点A，B，A1，C1的坐标；(2)求AC1与侧面ABB1A1所成的角．解：(1)如图所示，以点A为坐标原点，以AB所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，以经过原点且与平面ABB1A1垂直的直线为x轴，建立空间直角坐标系．由已知得A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0,0，2a)，C1(－32a，a2，2a)．(2)取A1B1的中点M，则M(0，a2，2a)，连结AM，MC1，有MC1→＝(－32a,0,0)，且AB→＝(0，a,0)，AA1→＝(0,0，2a)，∴MC1⊥面ABB1A1.∴AM→与AC→所成角即为所求的角．∵AC1→·AM→＝0＋a24＋2a2＝94a2，又|AC1→|＝3a24＋a24＋2a2＝3a，|AM→|＝a24＋2a2＝32a，∴cos〈AC1→，AM→〉＝AC1→·AM→|AC1→||AM→|＝32，∴〈AC1→，AM→〉＝30°，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.10.在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝a，且PA⊥平面ABCD，PA＝1.(1)若在边BC 上存在一点Q ，使PQ ⊥QD ，求a 的取值范围；(2)当边BC 上存在惟一点Q ，使PQ ⊥QD 时，求二面角A －PD －Q 的余弦值． 解：(1)以AD →、AB →、AP →为x ，y ，z 轴建立如图的空间直角坐标系，则B (0,2,0)，C (a,2,0)，D (a,0,0)，P (0,0,1)．设Q (t,2,0)(t >0)，则PQ →＝(t,2，－1)，DQ →＝(t －a,2,0)， ∵PQ ⊥QD ， ∴PQ →·DQ →＝t (t －a )＋4＝0，即t 2－at ＋4＝0，a ＝t ＋4t ≥4.故a 的取值范围为[4，＋∞)．(2)由(1)知，当t ＝2，a ＝4时，边BC 上存在惟一点Q ，使PQ ⊥QD ，此时Q (2,2,0)，D (4,0,0)，设n ＝(x ，y ，z )是平面PQD 的法向量， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·DP →＝0n ·DQ →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋z ＝0－2x ＋2y ＝0.取x ＝1，则n ＝(1,1,4)是平面PQD 的一个法向量． 而AB →＝(0,2,0)是平面PAD 的一个法向量，cos 〈AB →，n 〉＝AB →·n |AB →|·|n |＝232·3＝69.∴二面角A －PD －Q 的余弦值为69.11.如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 上的动点．(1)试确定点F 的位置，使得D 1E ⊥平面AB 1F ；(2)当D 1E ⊥平面AB 1F 时，求二面角C 1－EF －A 的余弦值．解：以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)设DF＝x，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，D1(0,1,1)，E(1，12，0)，F(x,1,0)．∴D1E→＝(1，－12，－1)，AB1→＝(1,0,1)，DF→＝(x,1,0)，∴D1E→·AB1→＝1－1＝0，即D1E⊥AB1.于是D1E⊥平面AB1F⇔D1E⊥AF⇔D1E→·AF→＝0⇔x－12＝0，即x＝12.故当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.(2)当D1E⊥平面AB1F时，F是CD的中点，又E是BC的中点，则EF∥BD.连结AC，设AC与EF交于点H，则AH⊥EF.连结C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影．∴C1H⊥EF，即∠AHC1是二面角C1－EF－A的平面角．∵C1(1,1,1)，H(34，34，0)，∴HC1→＝(14，14，1)，HA→＝(－34，－34，0)．∴cos∠AHC1＝HA→·HC1→|HA→|·|HC1→|＝－3898×98＝－13.即二面角C1－EF－A的余弦值为－13.。
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-1优化训练 模块综合检测2
(时间：120分钟；满分：160分)模块综合检测一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)1.已知命题p ：∀x ∈R ，x 2＋x －1<0，则命题﹁p 是________． 解析：全称命题的否定是存在性命题． 答案：∃x ∈R ，x 2＋x －1≥02.已知点A (1，－2，0)和向量a ＝(－3，4，12)，若AB →＝2a ，则点B 的坐标为________．解析：设B (x ，y ，z )，则AB →＝(x －1，y ＋2，z )，又AB →＝2a ，解得x ＝－5，y ＝6，z ＝24，所以B 点坐标为(－5，6，24)．答案：(－5，6，24)3.若向量a ＝(1，1，x )，b ＝(1，2，1)，c ＝(1，1，1)，满足条件(c －a )·(2b )＝－2，则x ＝________．解析：c －a ＝(0，0，1－x )，(c －a )·(2b )＝2(0，0，1－x )·(1，2，1)＝2(1－x )＝－2，解得x ＝2.答案：24.已知a ∈R ，则“a >2”是“1a <12”的________条件．解析：由1a <12可得a －22a >0，即得a >2或a <0，∴“a >2”是“1a <12”的充分不必要条件．答案：充分不必要5.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为________．解析：根据椭圆方程可得c ＝25－9＝4，又椭圆与双曲线焦点相同，故其焦点坐标为(±4，0)，又据已知得：⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝2，c ＝4，故a ＝2，b ＝c 2－a 2＝23，故其渐近线方程为y ＝±bax ＝±3x .答案：3x ±y ＝06.双曲线x 216－y 29＝1上一点P 到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项，则P 点到左焦点的距离为________．解析：由a ＝4，b ＝3，得c ＝5.设左焦点为F 1，右焦点为F 2，则|PF 2|＝12(a ＋c ＋c －a )＝c ＝5，由双曲线的定义得：|PF 1|＝2a ＋|PF 2|＝8＋5＝13.答案：137.已知抛物线C ：y 2＝x 与直线l ：y ＝kx ＋1，“k ≠0”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的____________条件．解析：当k ＝0时，直线y ＝1与抛物线C ：y 2＝x 只有一个交点；所以直线l 与抛物线C有两个不同交点必须k ≠0；当k ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝kx ＋1，得k 2x 2＋(2k －1)x ＋1＝0，Δ＝(2k －1)2－4k 2＝－4k ＋1，则Δ不一定大于零，此时直线l 与抛物线C ，可能没有交点，可能有一个交点，也可能有两个交点，所以“k ≠0”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”必要不充分条件．答案：必要不充分8.抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________．解析：设抛物线y ＝－x 2上一点为(m ，－m 2)，该点到直线4x ＋3y －8＝0的距离为|4m －3m 2－8|5，故当m ＝23时，取得最小值为43.答案：439.已知G 是△ABC 的重心，O 是平面ABC 外的一点，若λOG →＝OA →＋OB →＋OC →，则λ＝________．解析：如图，正方体中，OA →＋OB →＋OC →＝3OG →，所以λ＝3. 答案：310.若点P (2，0)到双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为________．解析：设过第一象限的渐近线倾斜角为α⇒sin α＝22⇒α＝45°⇒k ＝1；所以y ＝±bax ＝±x⇒a ＝b ，因此c ＝2a ，e ＝ca＝ 2.答案： 211.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为________．解析：抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F 坐标为(a 4，0)，则直线l 的方程为y ＝2(x －a4)，它与y 轴的交点为A (0，－a 2)，所以△OAF 的面积为12|a 4|·|a2|＝4，解得a ＝±8，所以抛物线方程为y 2＝±8x .答案：y 2＝±8x12.若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________．解析：由题意，F (－1，0)，设点P (x 0，y 0)，则有x 204＋y 203＝1，解得y 20＝3(1－x 204)，因为FP →＝(x 0＋1，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 0(x 0＋1)＋3(1－x 204)＝x 204＋x 0＋3， 此二次函数对应的抛物线的对称轴为x 0＝－2， 因为－2≤x 0≤2，所以当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值224＋2＋3＝6.答案：613.如图在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，A 1A ＝6，M 是CC 1的中点，则二面角B －AM －C 的大小为________．解析：以点C 为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则B (1，0，0)，A (0，3，0)，A 1(0，3，6)，M (0，0，62)，所以A 1B →＝(1，－3，－6)， AM →＝(0，－3，62)，因为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1， 所以CC 1⊥面ABC ，所以CC 1⊥BC ， 因为∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC ， 所以BC ⊥平面ACC 1，即BC ⊥面AMC ，所以CB →＝(1，0，0)是平面AMC 的一个法向量， 设n ＝(x ，y ，z )是平面BAM 的一个法向量， BA →＝(－1，3，0)，BM →＝(－1，0，62)．由⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA →＝0n ·BM →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3y ＝0－x ＋62z ＝0，取z ＝2，得n ＝(6，2，2)，因为|CB →|＝1，|n |＝23， 所以cos 〈CB →，n 〉＝623＝22，又二面角B －AM －C 的平面角是锐角， 因此二面角B －AM －C 的大小为45°.答案：45°14.设x 1，x 2∈R ，常数a >0，定义运算“*”，x 1*x 2＝(x 1＋x 2)2－(x 1－x 2)2，若x ≥0，则动点P (x ，x *a )的轨迹是________．解析：因为x 1*x 2＝(x 1＋x 2)2－(x 1－x 2)2， 所以x *a ＝（x ＋a ）2－（x －a ）2＝2ax ，则P (x ，2ax )，设P (x 1，y 1)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝xy 1＝2ax ，消去x 得y 21＝4ax 1(x 1≥0，y 1≥0)， 故点P 的轨迹为抛物线的一部分．答案：抛物线的一部分二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)已知p ：(x ＋2)(x －10)≤0，q ：[x －(1－m )][x －(1＋m )]≤0(m >0)，若﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：因为﹁p 是﹁q 的必要不充分条件， 则p 是q 的充分不必要条件，由p ：(x ＋2)(x －10)≤0可得－2≤x ≤10， 由q ：[x －(1－m )][x －(1＋m )]≤0(m >0)， 可得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)， 因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－21＋m ≥10，得m ≥9，即实数m 的取值范围为m ≥9.16.(本小题满分14分)如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，H 是正方形AA 1B 1B 的中心，AA 1＝22，C 1H ⊥平面AA 1B 1B ，且C 1H ＝ 5.(1)求异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值； (2)求二面角A －A 1C 1－B 1的正弦值；(3)设N 为棱B 1C 1的中点，点M 在平面AA 1B 1B 内，且MN ⊥平面A 1B 1C 1，求线段BM的长．解：如图所示，以点B 为坐标原点，建立空间直角坐标系，依题意，得A (22，0，0)，B (0，0，0)，C (2，－2，5)，A 1(22，22，0)，B 1(0，22，0)，C 1(2，2，5)．(1)易得AC →＝(－2，－2，5)，A 1B 1→＝(－22，0，0)，因为cos 〈AC →，A 1B 1→〉＝AC →·A 1B 1→|AC →||A 1B 1→|＝43×22＝23.所以异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值为23.(2)易知AA 1→＝(0，22，0)，A 1C 1→＝(－2，－2，5)．设平面AA 1C 1的法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1C 1→＝0，m ·AA 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 1－2y 1＋5z 1＝0，22y 1＝0.不妨令x 1＝5，可得z 1＝2，即m ＝(5，0，2)． 同样地，设平面A 1B 1C 1的法向量n ＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1C 1→＝0，n ·A 1B 1→＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2－2y 2＋5z 2＝0，－22x 2＝0.不妨令y 2＝5，可得z 2＝2，即n ＝(0，5，2)．于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝27×7＝27，从而sin 〈m ，n 〉＝357.所以二面角A －A 1C 1－B 1的正弦值为357.(3)由N 为棱B 1C 1的中点，得N (22，322，52)．设M (a ，b ，0)，则MN →＝(22－a ，322－b ，52)．由MN ⊥平面A 1B 1C 1，得⎩⎪⎨⎪⎧MN →·A 1B 1→＝0，MN →·A 1C 1→＝0.即⎩⎨⎧（22－a ）·（－22）＝0，（22－a ）·（－2）＋（322－b ）·（－2）＋52×5＝0.解得⎩⎨⎧a ＝22，b ＝24.故M (22，24，0)．因此BM →＝(22，24，0)，所以线段BM 的长为|BM →|＝104.17.(本小题满分14分)已知椭圆与双曲线2x 2－2y 2＝1共焦点，且过(2，0)． (1)求椭圆的标准方程；(2)求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程．解：(1)依题意得，将双曲线方程标准化为x 212－y 212＝1，则c ＝1.∵椭圆与双曲线共焦点，∴设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1，∵椭圆过(2，0)，∴2a 2＋0a 2－1＝1，即a 2＝2，∴椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)依题意，设斜率为2的弦所在直线的方程为y ＝2x ＋b ，弦的中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋b x 22＋y 2＝1得9x 2＋8bx ＋2b 2－2＝0，∴⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－8b 9，y 1＋y 2＝2b9.即⎩⎨⎧x ＝－4b 9，y ＝b9，∴y ＝－14x .令Δ＝0，64b 2－36(2b 2－2)＝0，即b ＝±3，所以斜率为2且与椭圆相切的直线方程为y ＝2x ±3，即当x ＝±43时斜率为2的直线与椭圆相切．所以平行弦的中点轨迹方程为：y ＝－14x (－43≤x ≤43)．18.(本小题满分16分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝CC 1，M 、N 分别是A 1B 、B 1C 1的中点．(1)求证：MN ⊥平面A 1BC ；(2)求直线BC 1和平面A 1BC 所成角的大小．解：(1)据题意CA 、CB 、CC 1两两垂直，以C 为原点，CA 、CB 、CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图．设AC ＝BC ＝CC 1＝a ，则B (0，a ，0)，B 1(0，a ，a )，A (a ，0，0)，C (0，0，0)，C 1(0，0，a )，A 1(a ，0，a )，M (a 2，a 2，a 2)，N (0，a2，a )． 所以BA 1→＝(a ，－a ，a )，CA 1→＝(a ，0，a )，MN →＝(－a 2，0，a 2)．所以MN →·BA 1→＝0，MN →·CA 1→＝0，即MN ⊥BA 1，MN ⊥CA 1. 又BA 1∩CA 1＝A 1， 故MN ⊥平面A 1BC .(2)因为MN ⊥平面A 1BC ， 则MN →为平面A 1BC 的法向量， 又BC 1→＝(0，－a ，a )，则cos 〈BC 1→，MN →〉＝BC 1→·MN →|BC 1→||MN →|＝a 222a ×22a＝12，所以〈BC 1，MN →〉＝60°，故直线BC 1和平面A 1BC 所成的角为30°.19.(本小题满分16分)已知动点P 到定点F (2，0)的距离与点P 到定直线l ：x ＝22的距离之比为22.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设M 、N 是直线l 上的两个点，点E 与点F 关于原点O 对称，若EM →·FN →＝0，求MN 的最小值．解：(1)设点P (x ，y )，依题意，有（x －2）2＋y 2|x －22|＝22，整理，得x 24＋y 22＝1. 所以动点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)∵点E 与点F 关于原点O 对称，∴点E 的坐标为(－2，0)． ∵M 、N 是直线l 上的两个点，∴可设M (22，y 1)，N (22，y 2)(不妨设y 1>y 2)． ∵EM →·FN →＝0，∴(32，y 1)·(2，y 2)＝0， 则6＋y 1y 2＝0，即y 2＝－6y 1.由于y 1>y 2，则y 1>0，y 2<0. ∴MN ＝y 1－y 2＝y 1＋6y 1≥2y 1·6y 1＝2 6.当且仅当y 1＝6，y 2＝－6时，等号成立，故MN 的最小值为2 6.20.(本小题满分16分)如图，抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上，过点M (0，－2)作直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且满足OA →＋OB →＝(－4，－12)．(1)求直线l 和抛物线的方程；(2)当抛物线上一动点P 从点A 到B 运动时，求△ABP 面积的最大值． 解：(1)据题意可设直线l 的方程为y ＝kx －2，抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2x 2＝－2py 得x 2＋2pkx －4p ＝0. 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4. 所以OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2) ＝(－2pk ，－2pk 2－4)．因为OA →＋OB →＝(－4，－12)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2pk ＝－4－2pk 2－4＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1k ＝2.故直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线为x 2＝－2y .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2x 2＝－2y 得，x 2＋4x －4＝0.所以AB ＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋22×（－4）2－4×（－4）＝410.设点P(t，－12t2)(－2－22<t<－2＋22)，点P到直线l的距离为d，则d＝|2t＋12t2－2|22＋（－1）2＝|（t＋2）2－8|25(－2－22<t<－2＋22)，当t＝－2时，d max＝455，此时点P(－2，－2)．故△ABP面积的最大值12·AB·d＝12×410×455＝8 2.。
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-1优化训练 抛物线
1．(2011年高考辽宁卷改编)已知F 是抛物线y 2＝x的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．解析：∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54.答案：542．抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，若其准线经过椭圆4x 2＋9y 2＝36的右焦点，则该抛物线方程为________．解析：已知椭圆方程可化为x 29＋y 24＝1，其中c ＝a 2－b 2＝5，故抛物线的准线为直线x ＝5，所以抛物线方程为y 2＝－45x .答案：y 2＝－45x3．抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标是________．解析：由抛物线定义知，抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离，而焦点为F (14，0)．故所求点坐标为(18，±24)． 答案：(18，±24)4．过定点P (0,2)作直线l ，使l 与抛物线y 2＝4x 有且只有一个公共点，这样的直线l 共有________条．解析：如图，过点P 与抛物线y 2＝4x仅有一个公共点的直线有三条：二条切线、一条与x 轴平行的直线．答案：3一、填空题1．已知顶点与原点O 重合，准线为直线x ＝－14的抛物线上有两点A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)，若y 1·y 2＝－1，则∠AOB 的大小是________．解析：由已知得抛物线方程为y 2＝x ，因此OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝y 21·y 22＋y 1y 2＝(－1)2＋(－1)＝0，故∠AOB ＝90°.答案：90°2．M 为抛物线x 2＝2py (p >0)上任意一点，F 为焦点，则以MF 为直径的圆与x 轴的位置关系是________．解析：如图所示，设C 为线段MF 的中点， 即C 为圆的圆心，过C 作CC ′⊥x 轴， 过M 作MM ′⊥x 轴，则|CC ′|＝12(|MM ′|＋|OF |)＝12⎝⎛⎭⎫y M ＋p 2＝ 12|MF |， ∴该圆与x 轴相切．答案：相切3．若抛物线x 2＝－4y 的通径为线段AB ，O 为抛物线的顶点，则下列说法正确的是________．①通径长为8，△AOB 的面积为4； ②通径长为8，△AOB 的面积为2； ③通径长为4，△AOB 的面积为4； ④通径长为4，△AOB 的面积为2.解析：由题意知|AB |＝2p ＝4，∴S △AOB ＝12×4×1＝2.答案：④4．若点P 在抛物线y 2＝x 上，点Q 在圆(x －3)2＋y 2＝4，则|PQ |的最小值为________．解析：圆心C (3,0)，半径r ＝2.设P (x ，y )，则|PC |2＝(x －3)2＋y 2＝(x －3)2＋x ＝x 2－5x ＋9＝⎝⎛⎭⎫x －522＋114≥114，∴|PQ |min ＝112－2. 答案：112－25．若点(3,1)是抛物线y 2＝2px (p >0)的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝________.解析：设弦的两个端点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝2.又∵y 1＋y 2＝2，∴p ＝2.答案：26．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是________．解析：显然x 1>0，x 2>0.又y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21＋y 22＝4(x 1＋x 2)≥8x 1x 2，当且仅当x 1＝x 2＝4时取等号，所以y 21＋y 22的最小值为32.答案：327．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程为________．解析：过A 、B 分别作准线的垂线AA ′、BD ，垂足分别为A ′、D ，则|BF |＝|BD |， 又2|BF |＝|BC |，∴在Rt △BCD 中，∠BCD ＝30°， 又|AF |＝3，∴|AA ′|＝3，∴|AC |＝6， ∴|AF |＋|FC |＝|AF |＋3|BF |＝6，∴|BF |＝1，|AB |＝2psin 2θ＝4，2p ＝4sin 260°＝3，抛物线方程为y 2＝3x .答案：y 2＝3x8．已知抛物线y 2＝8x ，以坐标原点为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB ，|OA |＝|OB |，若焦点F 是△OAB 的重心，则△OAB 的周长为________．解析：如图所示．由|OA |＝|OB |可知AB ⊥x 轴，垂足为点M ，又F 是△OAB 的重心，则|OF |＝23|OM |.∵F (2,0)，∴|OM |＝32|OF |＝3.∴M (3,0)，故设A (3，m )，代入y 2＝8x 得m 2＝24， ∴m ＝26或m ＝－2 6. ∴A (3,26)．∴|OA |＝|OB |＝33. ∴△OAB 的周长为233＋4 6.答案：233＋4 6 二、解答题9．顶点在原点，焦点在x 轴的抛物线截直线y ＝－2x －1所得的弦长|AB |＝53，求抛物线的方程．解：设抛物线的方程为y 2＝2mx (m ≠0)，点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)，⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2mxy ＝－2x －1⇒4x 2＋(4－2m )x ＋1＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m －22x 1x 2＝14，∴53＝5·(m －22)2－4×14⇒m ＝10或－6， ∴y 2＝20x 或y 2＝－12x .10．若直线l ：y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A 、B 两点，且AB 的中点为M (2，y 0)，求y 0及弦AB 的长．解：把y ＝kx －2代入y 2＝8x ，得k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵AB 中点M (2，y 0)， ∴x 1＋x 2＝4，即4k ＋8k 2＝4，解得k ＝2或k ＝－1.又Δ＝16k 2＋64k ＋64－16k 2>0， ∴k >－1，∴k ＝2，此时直线方程为y ＝2x －2， ∵M (2，y 0)在直线上，∴y 0＝2，|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝5·42－4×422＝215.11．已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A 、B 两点． (1)求证：OA ⊥OB .(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值． 解：(1)证明：如图所示，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－xy ＝k (x ＋1)消去x 后，整理得ky 2＋y －k ＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 由根与系数的关系y 1·y 2＝－1. ∵A 、B 在抛物线y 2＝－x 上，∴y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，y 21·y 22＝x 1x 2. ∵k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝1y 1y 2＝－1，∴OA ⊥OB .(2)设直线与x 轴交于N ，显然k ≠0. ∴令y ＝0，则x ＝－1，即N (－1,0)． ∴S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON|·|y1－y2|，∴S△OAB＝12·1·(y1＋y2)2－4y1y2＝12(－1k)2＋4.∵S△OAB＝10，∴10＝121k2＋4，解得k＝±16.。
2019-2020学年高二数学苏教版选修2-1练习题：(十三) 抛物线的几何性质(含答案)
课时跟踪训练(十三) 抛物线的几何性质1．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是________．2．抛物线y 2＝2x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离是________．3．过点(0,1)且与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点的直线有________条．4．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为________．5．已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则FM ∶MN ＝________.6．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，抛物线上的点M (3，m )到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值．7．已知顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线被直线x －2y －1＝0截得的弦长为15，求此抛物线方程．8．已知抛物线y 2＝2x .(1)设点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫23，0，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离|P A |；(2)在抛物线上求一点P ，使P 到直线x －y ＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．答 案1．解析：这里p ＝4，焦点(2,0)，准线x ＝－2，∴焦点到准线的距离是4.答案：42．解析：抛物线y 2＝2x 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫12，0，准线方程为x ＝－12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AF ＋BF ＝x 1＋12＋x 2＋12＝5，解得x 1＋x 2＝4，故线段AB 的中点横坐标为2.故线段AB 的中点到y 轴的距离是2.答案：23．解析：过点(0,1)，斜率不存在的直线为x ＝0，满足与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点．当斜率存在时，设直线方程为y ＝kx ＋1，再与y 2＝4x 联立整理得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0，当k ＝0时，方程是一次方程，有一个解，满足一个交点；当k ≠0时，由Δ＝0可得k 值有一个，即有一个公共点，所以满足题意的直线有3条．答案：34．解析：设抛物线方程为y 2＝2px ，则焦点坐标为(p 2，0)，将x ＝p 2代入y 2＝2px 可得y 2＝p 2，|AB |＝12，即2p ＝12，故p ＝6.点P 在准线上，到AB 的距离为p ＝6，所以△P AB 的面积为12×6×12＝36. 答案：365．解析：如图所示，，过点M 作MM ′垂直于准线y ＝－1于点M ′，则由抛物线的定义知MM ′＝FM ，所以FM MN ＝MM ′MN，由于△MM ′N ∽△FOA ，则MM ′M ′N ＝OF OA ＝12，则MM ′∶MN ＝1∶5，即FM ∶MN ＝1∶5.答案：1∶ 56．解：法一：设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，则焦点F (p 2，0)，由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ， m 2＋(3－p 2)2＝5. 解得⎩⎨⎧ p ＝4，m ＝26，或⎩⎨⎧p ＝4，m ＝－2 6.故所求的抛物线方程为y 2＝8x ，m 的值为±2 6.法二：设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，焦点F (p 2，0)，准线方程x ＝－p 2，根据抛物线定义，点M 到焦点的距离等于M 到准线方程的距离，则3＋p 2＝5，∴p ＝4. 因此抛物线方程为y 2＝8x .又点M (3，m )在抛物线上，于是m 2＝24，∴m ＝±2 6.7．解：设抛物线方程为：x 2＝ay (a ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，x －2y －1＝0. 消去y 得：2x 2－ax ＋a ＝0，∵直线与抛物线有两个交点，∴Δ＝(－a )2－4×2×a >0，即a <0或a >8.设两交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝a 2，x 1x 2＝a 2， 弦长为|AB |＝ 54(x 1－x 2)2 ＝ 54[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝14 5(a 2－8a ).∵|AB |＝15，∴14 5(a 2－8a )＝15， 即a 2－8a －48＝0，解得a ＝－4或a ＝12，∴所求抛物线方程为：x 2＝－4y 或x 2＝12y .8．解：(1)设抛物线上任一点P 的坐标为(x ，y )，则|P A |2＝⎝⎛⎭⎫x －232＋y 2＝⎝⎛⎭⎫x －232＋2x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋132＋13. ∵x ≥0，且在此区间上函数单调递增，故当x ＝0时，|P A |min ＝23，故距点A 最近的点的坐标为(0,0)． (2)法一：设点P (x 0，y 0)是y 2＝2x 上任一点，则P 到直线x －y ＋3＝0的距离为d ＝|x 0－y 0＋3|2＝⎪⎪⎪⎪y 202－y 0＋32＝|(y 0－1)2＋5|22. 当y 0＝1时，d min ＝522＝524. ∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，1.法二：设与直线x －y ＋3＝0平行的抛物线的切线为x －y ＋t ＝0，与y 2＝2x 联立，消去x ，得y 2－2y ＋2t ＝0，由Δ＝0，得t ＝12，此时y ＝1，x ＝12， ∴点P 坐标为⎝⎛⎭⎫12，1，两平行线间的距离就是点P 到直线x －y ＋3＝0的最小距离，即d min ＝524.。
苏教版数学高二-选修2-1试题 2-4-2抛物线的几何性质
2．4.2 抛物线的几何性质双基达标 限时15分钟1．顶点在原点，焦点为F(32，0)的抛物线的标准方程是________． 解析 顶点在原点，焦点为F(32，0)的抛物线的标准方程可设为y 2＝2px(p>0)，且p 2＝32， 故p ＝3.因此，所求抛物线的标准方程为y 2＝6x.答案 y 2＝6x2．抛物线x 2＝－4y 与过焦点且垂直于对称轴的直线交于A ，B 两点，则AB ＝________． 解析 由抛物线方程x 2＝－4y 得p ＝2，且焦点坐标为(0，－1)，故A ，B 两点的纵坐标都为－1，从而|AB|＝|y 1|＋|y 2|＋p ＝1＋1＋2＝4.答案 43．焦点为F(0，－1)，准线为y ＝1的抛物线的标准方程是__________．解析 焦点为F(0，－1)，准线为y ＝1的抛物线的标准方程可设为x 2＝－2py(p>0)，可 得p ＝2，因此，所求抛物线的标准方程为x 2＝－4y.答案 x 2＝－4y4．抛物线x 2＋12y ＝0的准线方程是________．解析 抛物线x 2＋12y ＝0，即x 2＝－12y ，故其准线方程是y ＝3.答案 y ＝35．抛物线x 2＝ay 的准线方程是y ＝2，则实数a 的值为____．解析 准线方程为y ＝－a 4，∴－a 4＝2，a ＝－8. 答案 －86．求合适下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，顶点到准线的距离为4；(2)顶点是双曲线16x 2－9y 2＝144的中心，准线过双曲线的左顶点，且垂直于坐标轴．解 (1)由抛物线标准方程对应的图形易知：顶点到准线的距离为p 2，故p 2＝4，p ＝8.因此， 所求抛物线的标准方程为y 2＝±16x 或x 2＝±16y.(2)双曲线方程16x 2－9y 2＝144化为标准形式为x 29－y 216＝1，中心为原点，左顶点为(－3， 0)，故抛物线顶点在原点，准线为x ＝－3.由题意可设抛物线的标准方程为y 2＝2px(p>0)，可得p 2＝3，故p ＝6.因此，所求抛物线的标准方程为y 2＝12x. 综合提高 限时30分钟7．已知抛物线x 2＝4y 上一点P 到焦点的距离为2，则点P 的坐标为________．解析 由题意知，抛物线的焦点在y 轴上，所以抛物线的准线方程为y ＝－1.设点P(x 0，y 0)为抛物线上符合条件的点，则y 0＋1＝2，即y 0＝1.又x 2＝4y ，所以x 0＝±2.故P(2，1)或P(－2，1)．答案 (2，1)或(－2，1)8．直线l 过抛物线y 2＝ax(a ＞0)的焦点，并且与x 轴垂直，若l 被抛物线截得的线段长为4，则a ＝________．解析 由通径不变即得a ＝4.答案 49．抛物线y 2＝4x 的弦AB 垂直于x 轴，若|AB|＝43，则焦点到AB 的距离为________． 解析 设AB 方程为x ＝m ，则A(m ，4m)，B(m ，－4m)．故24m ＝43，∴m ＝3，焦点F(1，0)，故d ＝3－1＝2.答案 210．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是________．解析 ∵直线l 2：x ＝－1恰为抛物线y 2＝4x 准线，∴P 到l 2的距离d 2＝|PF|(F(1，0)为抛物线焦点)，所以P 到l 1、l 2距离之和最小值为F 到l 1距离|4×1－3×0＋6|32＋42＝2. 答案 211．已知圆x 2＋y 2－9x ＝0与顶点在原点O 、焦点在x 轴上的抛物线交于A 、B 两点，△AOB 的垂心恰为抛物线的焦点，求抛物线的方程．解 依题意设所求抛物线方程为y 2＝2px(p ＞0)，焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，A(x 0，y 0)，B(x 0，－y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 02＝2px 0，x 02＋y 02－9x 0＝0.∴x 02＋(2p －9)x 0＝0. ①∵OA ⊥BF ，OA →·BF →＝0，即x 0(p 2－x 0)＋y 02＝0. 整理得，x 02－5p 2x 0＝0. ∴x 0＝52p. ②把②代入①得p ＝2.∴所求抛物线方程为y 2＝4x.12．已知直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点．(1)若AF ＝4，求点A 的坐标；(2)求线段AB 的长的最小值．解 由y 2＝4x ，得p ＝2，其准线方程为x ＝－1，焦点F(1，0)．设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．分别过A 、B 作准线的垂线，垂足为A′、B′.(1)由抛物线的定义可知，AF ＝x 1＋p 2， 从而x 1＝4－1＝3.代入y 2＝4x ，解得y 1＝±2 3.∴点A 的坐标为(3，23)或(3，－23)．(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k(x －1)．与抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1）y 2＝4x ， 消去y ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，因为直线与抛物线相交于A 、B 两点，则k≠0，并设其两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝2＋4k 2. 由抛物线的定义可知，AB ＝x 1＋x 2＋p ＝4＋4k 2>4. 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，与抛物线相交于A(1，2)，B(1，－2)， 此时AB ＝4，所以，AB≥4，即线段AB 的长的最小值为4.13．(创新拓展)顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，一条直角边OA 所在的直线方程为y ＝2x ，斜边AB 的长为53，求抛物线方程．解：如图所示，设抛物线的方程为：y 2＝2px (p>0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y 2＝2px 得：A ⎝⎛⎭⎫p 2，p .∵OA ⊥OB ，∴直线OB 的方程为y ＝－12x.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，y 2＝2px得：B(8p ，－4p)，∵AB ＝53， ∴AB ＝ ⎝⎛⎭⎫8p －p22＋（p ＋4p ）2＝5 3.∴p ＝21339. ∴所求抛物线方程为y 2＝41339x.。
苏教版数学高二- 选修2-1试题 2-4-1抛物线的标准方程
2．4.1 抛物线的标准方程双基达标 限时15分钟1．已知抛物线过点(－11，13)，则抛物线的标准方程是______________．解析 设方程为y 2＝2ax 或x 2＝2a 1y ，(a ，a 1≠0)，将(－11，13)代入即得．答案 y 2＝－16911x 或x 2＝12113y 2．以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________． 解析 由双曲线方程x 216－y 29＝1，可知其焦点在x 轴上，由a 2＝16，得a ＝4，∴该双曲 线右顶点的坐标是(4，0)，∴抛物线的焦点为F(4，0)．该抛物线的标准方程为y 2＝2px(p>0)，则由p 2＝4，得p ＝8，故所求抛物线的标准方程为y 2＝16x.答案 y 2＝16x3．焦点在直线3x －4y －12＝0上的抛物线标准方程为______________．解析 先求出焦点坐标，再由焦点坐标确定抛物线的标准方程．答案 x 2＝－12y 或y 2＝16x4．抛物线y 2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是________．解析 因为y 2＝ax ，所以p ＝|a|2，即该抛物线的焦点到其准线的距离为|a|2. 答案 |a|2 5．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在曲线x 24－y 22＝1顶点上，则抛物线方程为________．解析 由题意知抛物线的焦点为双曲线x 24－y 22＝1的顶点，即为(－2，0)或(2，0)，所以 抛物线的方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x.答案 y 2＝±8x6．求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(－3，2)；(2)焦点在直线x －2y －4＝0上．解 (1)设抛物线标准方程为y 2＝－2px 或x 2＝2p 1y(p ，p 1>0)，则将点(－3，2)代入方程得2p ＝43，或2p 1＝92，故抛物线的标准方程为y 2＝－43x ，或x 2＝92y. (2)①令x ＝0，由方程x －2y －4＝0，得y ＝－2.∴抛物线的焦点为F(0，－2)．设抛物线方程为x 2＝－2py(p>0)，则由p 2＝2，得2p ＝8. ∴所求的抛物线方程为x 2＝－8y.②令y ＝0，由x －2y －4＝0，得x ＝4.∴抛物线的焦点为F(4，0)．设抛物线方程为y 2＝2px(p>0)，由p 2＝4，得2p ＝16. ∴所求抛物线方程为y 2＝16x.综上所述的抛物线方程为x 2＝－8y 或y 2＝16x.综合提高 限时30分钟7．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标为__________． 解析 设A(x 0，y 0)，F(1，0)，OA →＝(x 0，y 0)，AF →＝(1－x 0，－y 0)，OA →·AF →＝x 0(1－x 0)－y 02＝－4.∵y 02＝4x 0，∴x 0－x 02－4x 0＋4＝0即x 02＋3x 0－4＝0，x 0＝1或x 0＝－4(舍)．∴x 0＝1，y 0＝±2.答案 (1，2)或(1，－2)8．抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，P 在抛物线上，若PF ＝5，则P 点坐标为____________．解析 |PF|＝5知x P ＋p 2＝5， 故x P ＝3，y P ＝±24＝±2 6.答案 (3，26)或(3，－26)9．与抛物线y 2＝14x 关于直线x －y ＝0对称的抛物线的焦点坐标是________．解析 y 2＝14x 关于直线x －y ＝0对称的 抛物线为x 2＝14y ，∴2p ＝14，p ＝18，∴焦点为(0，116)． 答案 (0，116) 10．已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点M(m ，－2)到焦点的距离为4，则m 等于________．解析 依题意抛物线方程可设为x 2＝－2py(p>0)，则准线方程为y ＝p 2，∴p 2＋2＝4，∴p ＝4，∴方程为x 2＝－8y ，∴m 2＝16.即m ＝±4.答案 ±411．已知抛物线y 2＝6x ，P 是抛物线上一点，设点M 的坐标为(4，0)，求|PM|的最小值，并指出此时点P 的坐标．解 设点P 的坐标为(x ，y) ，则PM ＝（x －4）2＋y 2.又y 2＝6x ，∴PM ＝（x －4）2＋6x ＝x 2－2x ＋16＝（x －1）2＋15.∵x≥0，∴当x ＝1时，PM min ＝15.此时y 2＝6.∴y ＝±6.∴PM 的最小值为15，此时点P 的坐标为(1，±6)．12．已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求PA ＋PF 的最小值，并求出取最小值时P 点的坐标．解 由定义知，抛物线上点P 到焦点F 的距离等于点P 到准线l 的距离d ，由图可知，求PA ＋PF 的问题可转化为求PA ＋d 的问题．将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝±6. ∵6>2，∴A 在抛物线内部．设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ， 由定义知PA ＋PF ＝PA ＋d ，由图可知，当PA ⊥l 时，PA ＋d 最小，最小值为72，即PA ＋PF 的最小值为72， 此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2.∴点P 坐标为(2，2)．故PA ＋PF 的最小值为72，且取最小值时P 点坐标为(2，2)． 13．(创新拓展)一辆卡车高3 m ，宽1.6 m ，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口AB 宽恰好是拱高CD 的4倍，若拱宽为a m ，求能使卡车通过的a 的最小整数值．解 以拱顶为原点，拱高所在直线为y 轴，建立直角坐标系，如图所示，设抛物线方程为x 2＝－2py(p>0)，则点B 的坐标为(a 2，－a 4)，由点B 在抛物线上，所以(a 2)2＝－2p·(－a 4)，p ＝a 2， 所以抛物线方程为x 2＝－ay.将点E(0.8，y)代入抛物线方程，得y ＝－0.64a. 所以点E 到拱底AB 的距离为a 4－|y|＝a 4－0.64a>3， 解得a>12.21或a<－0.21(舍去)．∵a 取整数，∴a 的最小值为13 m ．。
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-1优化训练 2.6.1 曲线与方程2
1.方程4x 2－y 2＝0表示的曲线是________． 解析：原方程可化为(2x ＋y )(2x －y )＝0， 即2x ＋y ＝0或2x －y ＝0. 所以表示的曲线是两条直线．答案：两条直线2.下列各组方程表示相同曲线的是________(填序号)． ①y ＝x 与y ＝x 2； ②y ＝(x )2与y ＝|x |；③(x －1)2＋(y ＋2)2＝0与(x －1)(y ＋2)＝0；④y ＝1x与xy ＝1.解析：①y 取值不同；②中x 的取值不同；③中前者x ＝1且y ＝－2，后者x ＝1或y ＝－2.答案：④3.已知曲线C ：xy ＋3x ＋ky ＋2＝0，则当k ＝________时，曲线C 经过点(2，－1)． 解析：由题意，得2×(－1)＋3×2＋k ×(－1)＋2＝0， ∴k ＝6.答案：64.若两条直线2x －y ＋k ＝0与x －y －1＝0的交点在曲线x 2＋y 2＝1上，则k ＝________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋k ＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－k ，y ＝－2－k .∵交点在x 2＋y 2＝1上，∴(－1－k )2＋(－2－k )2＝1. 解得k ＝－1或－2. 答案：－1或－25.直线l ：y ＝k (x －1)与椭圆x 23＋y 24＝1的交点个数为________．解析：∵直线l 恒过点(1，0)，而点(1，0)在椭圆的内部． ∴直线与椭圆恒有两个交点． 答案：2[A 级 基础达标]1.“点M 在曲线y 2＝8x 上”是“点M 的坐标满足方程y ＝－22x ”的 ________条件． 解析：由y 2＝8x 得y ＝±22x .答案：必要不充分2.方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，y 2－4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2.故方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是四个点(±2，±2)． 答案：四个点(±2，±2)3.曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0与x 轴的交点坐标是________．解析：在方程x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0中令y ＝0，得x 2－3x －4＝0，解得x ＝4或x ＝－1.答案：(4，0)和(－1，0)4.已知0≤α<2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值是________． 解析：将P 点坐标代入方程求解，(cos α－2)2＋sin 2α＝3，∴cos α＝12.∵0≤α<2π，∴α＝π3或5π3.答案：π3或5π35.设a 为非零实数，则曲线y ＝ax 2＋(3a －1)x －(10a ＋3)恒过定点________． 解析：原方程可转化为y ＝a (x 2＋3x －10)＋(－x －3)， 即a (x 2＋3x －10)－(x ＋y ＋3)＝0，∴由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋3＝0x 2＋3x －10＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5y ＝2，故可得该曲线恒过(2，－5)，(－5，2)．答案：(2，－5)，(－5，2)6.(1)判断点A (－4，3)、B (－32，－4)、C (5，25)是否在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上；(2)方程x 2(x 2－1)＝y 2(y 2－1)所表示的曲线是C ，若点M (m ，2)与点N ⎝⎛⎭⎫32，n 在曲线C上，求m 、n 的值．解：(1)把点A (－4，3)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25，满足方程，且A 点的横坐标满足x ≤0，则点A 在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上．把点B (－32，－4)的坐标代入x 2＋y 2＝25， ∵(－32)2＋(－4)2＝34≠25， ∴点B 不在方程所表示的曲线上．∵C 点的横坐标5不满足小于或等于0的条件， ∴点C 不在曲线x 2＋y 2＝25(x ≤0)上． (2)∵M (m ，2)、N (32，n )在曲线C 上， ∴它们的坐标都是方程的解．∴m 2(m 2－1)＝2×1，34×⎝⎛⎭⎫－14＝n 2(n 2－1)． ∴m ＝±2，n ＝±12或n ＝±32.7.求曲线y ＝|x －2|－2与x 轴所围成的三角形的面积． 解：(1)当x －2≥0时，原方程可化为y ＝x －4.(2)当x －2<0时，原方程可化为y ＝－x ，故原方程表示两条共顶点的射线，易得顶点为B (2，－2)，与x 轴交于点O (0，0)，A (4，0)，它与x 轴围成的三角形的面积为S △AOB ＝12|OA |·|y B |＝4.[B 级 能力提升]8.下列四条曲线：①x 2＋y 2＝52；②x 29＋y 24＝1；③x 2＋y 24＝1；④x 24＋y 2＝1.其中与直线x ＋y －5＝0有且仅有一个交点的曲线是________(填序号)．解析：对于①，∵d ＝|0＋0－5|1＋1＝102＝r ，∴直线与圆相切，即有且仅有一个交点，故①符合．对于②，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5＝0，x 29＋y 24＝1，消去y 得13x 2－185x ＋9＝0，∵Δ＝(－185)2－4×9×13>0，∴方程有两个不相等的实根，即直线与椭圆x 29＋y 24＝1有两个不同的交点，故②不符合．对于③，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5＝0，x 2＋y 24＝1，消去y 得5x 2－25x ＋1＝0，∵Δ＝20－4×5＝0，∴方程有两个相等的实根，即直线与椭圆x 2＋y 24＝1有且仅有一个交点，故③符合．由对称性知，④也符合．答案：①③④9.已知(4，2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得线段的中点，则l 的方程是________．解析：设直线与椭圆的交点坐标为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 2136＋y 219＝1，①x 2236＋y 229＝1.②由①－②得136(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋19(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.又∵x 1＋x 2＝4×2＝8，y 1＋y 2＝2×2＝4，∴y 2－y 1x 2－x 1＝－12，即kP 1P 2＝－12.由点斜式得l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0. 答案：x ＋2y －8＝010.已知点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上，P 也在曲线g (x ，y )＝0上，求证：P 在曲线f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0上(λ∈R )．证明：∵P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上， ∴f (x 0，y 0)＝0.又∵P (x 0，y 0)也在曲线g (x ，y )＝0上，∴g (x 0，y 0)＝0.∴对λ∈R ，有f (x 0，y 0)＋λg (x 0，y 0)＝0＋λ·0＝0， 即P (x 0，y 0)适合方程f (x ，y )＋λ·g (x ，y )＝0.∴点P 在曲线f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0(λ∈R )上．11.(创新题)对于椭圆x 2＋y 29＝1，是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰好被直线x ＋12＝0平分？若存在，求出l 的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由．解：设l 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋y 29＝1，得(k 2＋9)x 2＋2kmx ＋m 2－9＝0， ∴Δ＝4k 2m 2－4(k 2＋9)(m 2－9)>0， 即m 2－k 2－9<0.又x 1＋x 22＝－km k 2＋9＝－12，∴m ＝k 2＋92k .∴（k 2＋9）24k 2－(k 2＋9)<0. 解得k 2>3，即k >3或k <－3， ∴倾斜角满足π3<α<π2或π2<α<2π3，即满足条件的直线l 存在，其倾斜角的范围是(π3，π2)∪(π2，2π3)．。
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-1优化训练 命题及其关系2
1.下列语句：①2是无限循环小数；②x2－3x＋2＝0；③当x＝4时，2x>0；④垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？⑤一个数不是合数就是质数；⑥把门关上．其中不是命题的是________．解析：①是命题，能判断真假．②不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，我们无法判断语句的真假．③是命题，能作出真假判断的语句，是一个真命题．④不是命题，因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断．⑤是命题，是假命题，因为1既不是合数也不是质数．⑥不是命题，没有作出判断．答案：②④⑥2.(2011·高考山东卷改编)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________．解析：由于一个命题的否命题既否定题设又否定结论，因此原命题的否命题为“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”．答案：若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<33.命题“若b≠3，则b2≠9”的逆命题是________．解析：“若p则q”的逆命题是“若q则p”．答案：若b2≠9，则b≠34.命题“对于正数a，若a>1，则lg a>0”及其逆命题、否命题、逆否命题四个命题中真命题的个数为________．解析：原命题“对于正数a，若a>1，则lg a>0”是真命题；逆命题“对于正数a，若lg a>0，则a>1”是真命题；否命题“对于正数a，若a≤1，则lg a≤0”是真命题；逆否命题“对于正数a，若lg a≤0，则a≤1”是真命题．答案：45.给出下列命题：①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；②命题“如果△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；③命题“若a>b>0，则3a>3b>0”的逆否命题；④“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆命题．其中真命题的序号为________．解析：①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题为：“若b2－4ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”，根据一元二次方程根的判定知其为真命题．②命题“如果△ABC 中，AB ＝BC ＝CA ，那么△ABC 为等边三角形”的逆命题为：“如果△ABC 为等边三角形，那么AB ＝BC ＝CA ”，由等边三角形的定义可知其为真命题．③原命题“若a >b >0，则3a >3b >0”为真命题，由原命题与其逆否命题有相同的真假性可知其逆否命题为真命题．④原命题的逆命题为：“若方程mx 2－2(m ＋1)x ＋(m －3)>0的解集为R ，则m >1”，不妨取m ＝2验证，当m ＝2时，有2x 2－6x －1>0，Δ＝62－4×2×(－1)>0，其解集不为R ，故为假命题．答案：①②③[A 级 基础达标]1.下列语句：①平行四边形不是梯形；②3是无理数；③方程9x 2－1＝0的解是x ＝±13；④这是一棵大树；⑤2012年7月27日是伦敦奥运会开幕的日子．其中命题的个数是________．解析：①②③⑤都是命题，对于④，由于“大树”没有界定标准，不能判断真假，所以④不是命题．答案：42.设A 、B 为两个集合，下列四个命题：A B ⇔对任意x ∈A ，有x ∉B ；②A B ⇔A ∩B ＝∅；③A B ⇔A ⊉B ；④A B ⇔存在x ∈A ，使得x ∉B .其中真命题的序号是____．(把符合要求的命题序号都填上)解析：A ⃘B 的情况有多种A 、B 之间的关系，A 中至少有一个元素不属于B .答案：④3.命题“若a ，b 都是偶数，则a ＋b 是偶数”的逆否命题是________．解析：“若p 则q ”的逆否命题是“若非q 则非p ”．答案：若a ＋b 不是偶数，则a ，b 不都是偶数4.命题“若a >b ，则2a >2b －1”的否命题为________．解析：∵“a >b ”的否定是“a ≤b ”，“2a >2b －1”的否定是“2a ≤2b －1”，∴原命题的否命题是“若a ≤b ，则2a ≤2b －1”．答案：若a ≤b ，则2a ≤2b －15.命题“若A ＝60°，则△ABC 是等边三角形”的否命题“若A ≠60°，则△ABC 不是等边三角形”为________命题(填“真”或“假”)．解析：“若A ＝60°，则△ABC 是等边三角形”的逆命题为“若△ABC 是等边三角形，则A ＝60°”，逆命题为真命题，所以否命题为真命题．答案：真6.把下列命题写成“若p 则q ”的形式，并判断真假．(1)奇函数的图象关于原点对称；(2)当x 2－2x －3＝0时，x ＝－3或x ＝1；(3)a <0时，函数y ＝ax ＋b 的值随x 值的增大而增大．解：(1)若一个函数是奇函数，则它的图象关于原点对称，是真命题．(2)若x 2－2x －3＝0，则x ＝－3或x ＝1，是假命题．(3)若a <0，则函数y ＝ax ＋b 的值随x 值的增大而增大，是假命题．7.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；(2)若在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，b 2－4ac <0，则该函数图象与x 轴有公共点． 解：(1)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补；否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形；逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．(2)逆命题：若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有公共点，则b 2－4ac <0； 否命题：若在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，b 2－4ac ≥0，则该函数图象与x 轴无公共点； 逆否命题：若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴无公共点，则b 2－4ac ≥0.[B 级 能力提升]8.已知命题p ：x 2－x ≥6或x 2－x ≤－6，q ：x ∈Z ，且p 假q 真，则x 的值为________．解析：因为p 假q 真，所以⎩⎨⎧x 2－x <6x 2－x >－6x ∈Z⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6<0x 2－x ＋6>0x ∈Z ⇒⎩⎨⎧－2<x <3x ∈R x ∈Z .故x 的取值为－1，0，1，2.答案：－1，0，1，29.若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎨⎧a <0Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0.答案：[－3，0]10.判断下列命题的真假：(1)对任意非正数c ，若有a ≤b ＋c 成立，则a ≤b .(2)若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0.解：(1)由题意知，其逆否命题为：对任意非正数c ，若有a >b 成立，则a >b ＋c . ∵c ≤0，∴b ＋c ≤b <a ，即a >b ＋c ，逆否命题正确，所以原命题为真命题．(2)由题意知，其逆否命题为：若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1.∵x 2－3x ＋2＝0⇒x ＝1或x ＝2.易知，逆否命题错误，所以原命题为假命题．11.(创新题)已知命题p ：函数f (x )＝1－x 3，实数m 满足不等式f (m )<2，命题q ：实数m 使方程2x ＋m ＝0(x ∈R )有实根．若命题p 、q 中有且只有一个真命题，求实数m 的范围．解：f (x )＝1－x 3， 又f (m )<2，∴1－m 3<2，∴－5<m ， ∴p ：m >－5.因为方程2x ＋m ＝0(x ∈R )有实根，2x >0，∴m <0，∴q ：m <0.若命题p 、q 中有且只有一个真命题，存在两种情况：(1)当p 为真命题，q 为假命题时，⎩⎨⎧m >－5m ≥0，∴m ≥0， (2)当q 为真命题，p 为假命题时，⎩⎨⎧m ≤－5m <0， ∴m ≤－5.。
苏教版高中数学选修2-1复习抛物线(理科)检测 (2).docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作2010省句中复习抛物线（理科）检测一、填空题1．抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为_______________。
2．抛物线22x y =的焦点坐标是______________。
3．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点)3,(-m P 到焦点的距离为5，则抛物 线方程为______________。
4．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是______________。
5．动圆M 经过点()0,3A 且与直线l ：3-=x 相切，则M 的轨迹方程为 。
6．边长为1的等边△AOB ，O 为原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点且过A 、B 的抛物线方程是 。
7．在抛物线x y 82-=中，以（-1，-1）为中点的弦所在的直线的方程为 。
8．抛物线顶点在原点，对称轴是坐标轴，焦点在直线02=+-y x 上，则抛物线的方程为 。
9．过抛物线px y 22=（0>p ）焦点，且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若8=AB ， 则抛物线方程为 。
10．若点A 的坐标为（3，2），F 为抛物线x y 22=的焦点，点P 是抛物线上的一动点，则PF PA +取得最小值时点P 的坐标是______________。
11．已知圆07622=--+x y x ，与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，则=p __________。
12．抛物线y 2=2px （p>0）上一点M 与焦点F 的距离p FM 23||=，则点M 的坐标是_______。
13．抛物线x y 82=上两点M 、N 到焦点F 的距离分别是1d ，2d ，若1d +52=d ，则线 段MN 的中点P 到y 轴的距离为 。
14．抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积为_______________。
2018-2019数学苏教版选修2-1作业：第2章2.4.1 抛物线的标准方程
2018-2019数学苏教版选修2-1作业：第2章2.4.1 抛物线的标准方程答案：24.动点P 到点F (2，0)的距离与它到直线x ＋2＝0的距离相等，则点P 的轨迹方程为________．解析：由题意知，点P 的轨迹是以点F (2，0)为焦点，以直线x ＋2＝0为准线的抛物线，所以p ＝4，得出抛物线方程为y 2＝8x ，即为所求．答案：y 2＝8x5.以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________．解析：∵双曲线的方程为x 216－y 29＝1，∴右顶点为(4，0)．设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，则p 2＝4，即p ＝8，∴抛物线的标准方程为y 2＝16x .故填y 2＝16x .答案：y 2＝16x6.抛物线x 2＝4ay (a ≠0)的准线方程为________．解析：∵抛物线的焦点在y 轴上，∴准线方程为y ＝－4a 4，即y ＝－a . 答案：y ＝－a7.过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．若AF ＝3，则BF ＝________．解析：抛物线y 2＝4x 的准线为x ＝－1，焦点为F (1，0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由抛物线的定义可知AF ＝x 1＋1＝3，所以x 1＝2，所以y 1＝±22，由抛物线关于x 轴对称，假设A (2，22)．由A ，F ，B 三点共线可知直线AB 的方程为y －0＝22(x －1)，代入抛物线方程消去y得2x 2－5x ＋2＝0，求得x ＝2或12，所以x 2＝12，故BF ＝32. 答案：328.已知F 是拋物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，AF ＋BF ＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．解析：过A ，B 分别作准线l 的垂线AD ，BC ，垂足分别为D ，C ，M 是线段AB 的中点，MN 垂直准线l 于N ，由于MN 是梯形ABCD 的中位线．所以MN ＝AD ＋BC 2. 由抛物线的定义知AD ＋BC ＝AF ＋BF ＝3，所以MN ＝32，又由于准线l 的方程为x ＝－14，所以线段AB 中点到y 轴的距离为32－14＝54，故填54. 答案：549.平面上动点P 到定点F (1，0)的距离比P 到y 轴的距离大1，求动点P 的轨迹方程．解：法一：设P (x ，y )，则有（x －1）2＋y 2＝|x |＋1，两边平方并化简得y 2＝2x ＋2|x |.∴y 2＝⎩⎨⎧4x ，x ≥0，0， x <0.故点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x <0)．法二：由题意，动点P 到定点F (1，0)的距离比到y 轴的距离大1.由于F (1，0)到y 轴的距离为1，故当x <0时，直线y ＝0上的点适合条件；当x≥0时，原命题等价于点P到F(1，0)与到直线x＝－1的距离相等，故点P在以F为焦点，x＝－1为准线的抛物线上，其轨迹方程为y2＝4x.故所求动点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x<0)．10.(1)抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，又知抛物线经过点P(4，2)，求抛物线的方程；(2)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点A(m，4)到其焦点的距离为174，求p与m的值．解：(1)∵抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，∴抛物线的方程为标准方程．又∵点P(4，2)在第一象限，∴抛物线的方程设为y2＝2px，x2＝2py(p>0)．当抛物线为y2＝2px时，则有22＝2p×4，故2p＝1，y2＝x；当抛物线为x2＝2py时，则有42＝2p×2，故2p ＝8，x 2＝8y .综上，所求的抛物线的方程为y 2＝x 或x 2＝8y .(2)由抛物线方程得其准线方程y ＝－p 2，根据抛物线定义，点A (m ，4)到焦点的距离等于它到准线的距离，即4＋p 2＝174，解得p ＝12；∴抛物线方程为：x 2＝y ，将A (m ，4)代入抛物线方程，解得m ＝±2.[能力提升]1.在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点．其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．解析：直线l 的方程为y ＝3(x －1)，即x ＝33y ＋1，代入抛物线方程得y 2－433y －4＝0，解得y A ＝433＋ 163＋162＝23(y B <0，舍去)，故△OAF 的面积为12×1×23＝ 3. 答案： 32.若双曲线x 23－16y 2p 2＝1的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为________．解析：把双曲线x 23－16y 2p 2＝1化为标准形式x 23－y 2p 216＝1，故c 2＝3＋p 216，c ＝ 3＋p 216＝48＋p 24，左焦点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－48＋p 24，0，由题意知，抛物线的准线方程为x ＝－48＋p 24，又抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p 2，所以－48＋p 24＝－p 2，解得，p ＝4或p ＝－4(舍去)．故p ＝4. 答案：43.抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，6，求抛物线与双曲线的方程． 解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p ＝2c .设抛物线方程为y 2＝4cx ，∵抛物线过点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，6，∴6＝4c ·32.∴c ＝1， 故抛物线方程为y 2＝4x .又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1过点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，6， ∴94a 2－6b 2＝1.又a 2＋b 2＝c 2＝1，∴94a 2－61－a 2＝1.∴a 2＝14或a 2＝9(舍去)． ∴b 2＝34，故双曲线方程为：4x 2－4y 23＝1. 4.设抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．(1)若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；(2)若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值． 解：(1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形，BD ＝2p ，圆F 的半径FA ＝2p .由抛物线定义可知A 到l 的距离d ＝FA ＝2p .因为△ABD 的面积为42，所以12BD ·d ＝42，即12·2p ·2p ＝42，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2.所以F (0，1)，圆F 的方程为x 2＋(y －1)2＝8.(2)因为A 、B 、F 三点在同一直线m 上，所以AB 为圆F 的直径，∠ADB ＝90°.由抛物线定义知AD ＝FA ＝12AB ， 所以∠ABD ＝30°，m 的斜率为33或－33. 当m 的斜率为33时，由已知可设n ：y ＝33x ＋b ，代入x 2＝2py 得x 2－233px －2pb ＝0. 由于n 与C 只有一个公共点，故Δ＝43p 2＋8pb ＝0，解得b＝－p6.因为m的截距b1＝p2，|b1||b|＝3，所以坐标原点到m，n距离的比值为3.当m的斜率为－33时，由图形对称性可知，坐标原点到m、n距离的比值为3.综上，坐标原点到m，n距离的比值为3.。
苏教版数学高二 选修2-1测评2.4.1 抛物线的标准方程
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是________．【解析】 ∵抛物线y ＝2x 2的标准方程是x 2＝12y ，∴2p ＝12，p ＝14，p 2＝18， ∴焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，182．抛物线y 2＝10x 的焦点到准线的距离是________． 【解析】 ∵2p ＝10，p ＝5，∴焦点到准线的距离为5. 【答案】 53．以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且准线经过P (－2，－4)的抛物线方程为________．【解析】 若抛物线的准线为x ＝－2，则抛物线的方程为y 2＝8x ；若抛物线的准线为y ＝－4，则抛物线的方程为x 2＝16y .【答案】 y 2＝8x 或x 2＝16y4．已知抛物线y ＝4x 2上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的坐标是________.【导学号：09390042】【解析】 设M (x 0，y 0)，把抛物线y ＝4x 2化为标准方程，得x 2＝14y . 则其准线方程为y ＝－116，由抛物线的定义，可知y 0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＝1，得y 0＝1516，代入抛物线的方程，得x 20＝14×1516＝1564，解得x 0＝±158，则M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±158，1516.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫±158，15165．抛物线x 2＝2y 上的点M 到其焦点F 的距离MF ＝52，则点M 的坐标是________．【解析】 设点M (x ，y )，抛物线准线为y ＝－12，由抛物线定义， y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝52，y ＝2，所以x 2＝2y ＝4，x ＝±2，所以点M 的坐标为(±2,2)．【答案】 (±2,2)6．已知F 是拋物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该拋物线上的两点，AF ＋BF ＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．【解析】 如图，由抛物线的定义知，AM ＋BN ＝AF ＋BF ＝3，CD ＝32，所以中点C 的横坐标为32－14＝54，即C 到y 轴的距离为54.【答案】 547．若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程为________．【解析】 设动圆半径为r ，动圆圆心O ′(x ，y )到点(2,0)的距离为r ＋1.O ′到直线x ＝－1的距离为r ，∴O ′到(2,0)的距离与O ′到直线x ＝－2的距离相等，由抛物线的定义知动圆圆心的轨迹方程为y 2＝8x .【答案】 y 2＝8x8．在平面直角坐标系xOy 中，有一定点A (2,1)．若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．【解析】 由题意可求出线段OA 的垂直平分线交x 轴于点⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0，此点为抛物线的焦点，故准线方程为x ＝－54.【答案】 x ＝－54 二、解答题9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，抛物线上的点M (－3，m )到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和m 的值．【解】 法一：由题意可设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，则焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0， 因为点M 在抛物线上，且MF ＝5，所以有⎩⎨⎧m 2＝6p ，m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－p 22＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝4，m ＝26或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，m ＝－2 6.故所求的抛物线方程为y 2＝－8x ，m 的值为±2 6.法二：由题可设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，则焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0，准线方程为x ＝p2，根据抛物线的定义，点M 到焦点的距离等于5，也就是M 到准线的距离为5，则3＋p2＝5， ∴p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝－8x . 又点M (－3，m )在抛物线上， ∴m 2＝24，∴m ＝±2 6.10．求焦点在x 轴上，且焦点在双曲线x 24－y 22＝1上的抛物线的标准方程． 【解】 由题意可设抛物线方程为y 2＝2mx (m ≠0)， 则焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，0.∵焦点在双曲线x 24－y 22＝1上， ∴m 24×4＝1，求得m ＝±4， ∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .[能力提升]1．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是________.【导学号：09390043】【解析】 圆心到抛物线准线的距离为p ＝4，根据已知，只要FM >4即可． 根据抛物线定义，FM ＝y 0＋2，由y 0＋2>4，解得y 0>2.故y 0的取值范围是(2，＋∞)．【答案】 (2，＋∞)2．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为________．【解析】 因为抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，所以直线l的方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 4，它与y 轴的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2，则△OAF 的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 4·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2＝4，解得a ＝±8，故抛物线的方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .【答案】 y 2＝8x 或y 2＝－8x3．已知点P 是抛物线y 2＝4x 上的点，设点P 到抛物线准线的距离为d 1，到圆(x ＋3)2＋(y －3)2＝1上的一动点Q 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是________．【解析】 由抛物线的定义得P 到抛物线准线的距离为d 1＝PF ，d 1＋d 2的最小值即为抛物线的焦点F (1,0)到圆(x ＋3)2＋(y －3)2＝1上的一动点Q 的距离的最小值，最小值为F 与圆心的距离减半径，即为4，故填4.【答案】 44．如图2-4-1所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米．图2-4-1(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米？(精确到0.1米)【解】如图所示：(1)依题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，因为点C(5，－5)在抛物线上，所以p＝52.所以该抛物线的方程为x2＝－5y.(2)设车辆高h，则DB＝h＋0.5，故D(3.5，h－6.5)，代入方程x2＝－5y，解得h＝4.05，所以车辆通过隧道的限制高度为4.1米.。
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1.经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线的方程是________． 解析：据题意设所求平行直线方程为3x －2y ＋c ＝0，又直线过抛物线y 2＝2x 的焦点⎝⎛⎭⎫12，0，代入求得c ＝－32
，故直线方程为6x －4y －3＝0. 答案：6x －4y －3＝0
2.设抛物线y 2＝mx 的准线与直线x ＝1的距离为3，则抛物线的方程为________．
解析：当m >0时，准线方程为x ＝－m
4
＝－2，∴m ＝8，此时抛物线方程为y 2＝8x ；
当m <0时，准线方程为x ＝－m
4
＝4，∴m ＝－16，此时抛物线方程为y 2＝－16x .
∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－16x .
答案：y 2＝8x 或y 2＝－16x
3.已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点．若P (2，2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．
解析：设抛物线方程为y 2＝2px ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1y 22＝2px 2
⇒y 21－y 2
2＝2p (x 1－x 2)，
即
y 1－y 2
x 1－x 2
·(y 1＋y 2)＝2p ⇒2p ＝1×4⇒p ＝2. 故y 2＝4x . 答案：y 2＝4x
4.抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且倾斜角等于π
3
的直线与抛物线在x 轴上方的曲线交
于点A ，则AF 的长为________．
解析：由已知可得直线AF 的方程为y ＝3(x －1)，
联立直线与抛物线方程消元得：3x 2－10x ＋3＝0，解之得：x 1＝3，x 2＝1
3
(据题意应舍去)，
由抛物线定义可得：AF ＝x 1＋p
2
＝3＋1＝4.
答案：4
[A 级 基础达标]
1.已知抛物线y ＝ax 2的准线方程为y ＝1，则a 的值为________．
解析：∵抛物线y ＝ax 2，∴x 2＝1a y 的准线方程是y ＝－14a ，依题意得－14a ＝1，∴a ＝－1
4
.
答案：－1
4
2.抛物线y 2＝24ax (a >0)上有一点M ，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线
的方程为________．
解析：由题意知，3＋6a ＝5，∴a ＝1
3
，∴抛物线方程为y 2＝8x .
答案：y 2＝8x
3.若抛物线y 2＝2x 上的一点M 到坐标原点O 的距离为3，则M 到该抛物线焦点的距离为________．
解析：依题意，设点M (x ，y )，其中x >0，则有⎩⎨⎧
y 2＝2x
x 2
＋y 2
＝3x >0
，由此解得x ＝1，又该抛物
线的准线方程为x ＝－12，结合抛物线的定义，点M 到该抛物线的焦点的距离等于1＋12＝3
2
.
答案：32
4.直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，则梯形APQB 的面积为________．
解析：直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作
垂线，垂足分别为P ，Q ，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x y ＝x －3，消元得x 2－10x ＋9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－2
，和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9y ＝6
，∴AP ＝10，BQ ＝2，PQ ＝8，∴梯形APQB 的面积为48. 答案：48 5.
如图，圆形花坛水池中央有一喷泉，水管OP ＝1 m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m ，P 距抛物线对称轴1 m ，则为使水不落到池外，水池直径最小为________m.
解析：
如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则
P (－1，－1)，代入
抛物线方程得p ＝1
2，抛物线x 2＝－y ，代点(x ，－2)，得x ＝2，即水池半径最小为r ＝(1＋
2)m ，水池直径最小为2r ＝(2＋22)m.
答案：2＋2 2
6.已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过点F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A 、B 两
点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4，求此抛物线的标准方程．
解：由题意，抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)，
焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，直线l ：x ＝p 2
， ∴A 、B 两点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，p ，⎝⎛⎭⎫p 2，－p ， ∴AB ＝2|p |.
∵△OAB 的面积为4，
∴12·⎪⎪⎪
⎪p 2·2|p |＝4，∴p ＝±2 2. ∴抛物线的标准方程为y 2＝±42x .
7.过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A 、B 两
点(点A 在y 轴左侧)，求AF
FB 的值．
解：直线方程为y －p 2＝3
3x ，
则x ＝3⎝⎛⎭⎫y －p
2，代入抛物线x 2＝2py ， 得3y 2
－5py ＋3p 2
4＝0，
解得y 1＝3p 2，y 2＝p
6
，
根据抛物线的定义得AF FB ＝p 6＋
p 23p 2＋p 2＝1
3
.
[B 级 能力提升]
8.等腰直角三角形OAB 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 是抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△OAB 的面积为________．
解析：设等腰直角三角形OAB 的顶点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2
，由OA ＝OB ，则x 21＋y 21＝x 22＋y 22
， ∴x 21－x 2
2＋2px 1－2px 2＝0，即(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0，
∵x 1>0，x 2>0，2p >0，
∴x 1＝x 2，即A 、B 关于x 轴对称．
故直线OA 的方程为：y ＝x tan45°，即y ＝x .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px y ＝x ，解得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0或⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2p y ＝2p ，故AB
＝4p ，等腰三角形OAB 的面积为1
2
×2p ×4p ＝4p 2.
答案：4p 2
9.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2，1)．
其中能得出抛物线方程为y 2＝10x 的条件是________(要求填写合适条件的序号)． 解析：在①②两个条件中，应选择②，则由题意，可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)；对
于③，由焦半径公式r ＝1＋p
2
＝6，∴p ＝10，此时y 2＝20x ，不符合条件；
对于④，2
p ＝5，此时y 2＝5x ，不符合题意；
对于⑤，设焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0，则由题意，满足12·1－02－
p
2
＝－1.解得p ＝5，此时y 2＝10x ，所
以②⑤能使抛物线方程为y 2＝10x .
答案：②⑤
10.某河上有座抛物线形拱桥，当水面距顶5 m 时，水面宽为8 m ，一木船宽4 m 高2 m ，
载货后木船露在水面上的部分高为3
4
m ，问水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通
航？
解：
如图所示建立直角坐标系xOy ，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，过点(4，－5)，
∴16＝－2p (－5)，∴2p ＝16
5，
∴抛物线方程为x 2＝－165y ，x ＝2时，y ＝－5
4
，
∴相距为34＋5
4
＝2时不能通行．
11.(创新题)已知抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A 、B 两点．若A 、B 在抛物线准线l 上的投影分别为A ′、B ′，求∠A ′FB ′的大小．
解：由定义知AF ＝AA ′，BF ＝BB ′， ∴∠AA ′F ＝∠A ′FA ， ∠FB ′B ＝∠B ′FB .
又∵∠BB ′F ＝∠B ′FM ，(如图) ∠AA ′F ＝∠A ′FM ，
∴∠B ′FM ＝∠B ′FB ，∠A ′FM ＝∠A ′FA ， ∴∠A ′FM ＋∠B ′FM ＝∠B ′FB ＋∠A ′FA ， ∴∠A ′FM ＋∠B ′FM ＝90°， ∴∠A ′FB ′＝90°.。