随机过程微积分

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5．均方连续
设{X(t),tT}是随机过程,若对某t0T,有
lim E [ X ( t 0 h) X ( t 0 )]2 0
h0


称{X(t),tT}在t0均方连续，若对任意tT，{X(t),tT}均方连续，称 {X(t),tT}在T上均方连续。记为
| | X ( t h) X ( t ) | | E [ X ( t h) X ( t )]
E {[ X ( t h) X ( t )]2 } 0
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5.2.均方连续与自相关函数的关系 定理.随机过程{X(t),tT}
l i m X (t0 h) X (t0 )
h 0
5.1.均方连续与均值函数的关系
设{X(t),tT}是T上均方连续随机过程,若对某tT,记 均值函数为
X (t ) E[ X (则 t )] ，则
lim X (t h) X (t )
h0
证：由柯西-施瓦兹不等式，当h0时，
处二次可导。 0
二次可导。
7．随机过程的均方积分 定义
设随机过程{X(t),t∈T},[a,bT],f(t)是[a,b]上的普通实值 函数。对[ , ]的任 组分点 函数。对[a,b]的任一组分点 ∆:a=t0<t1<t2<…<tn=b,记：∆tj=tj-tj- 1,tj-1 ≤ uj ≤ tj, j=1,2,…,n,|∆n|=max{∆tj,1≤j≤n} 若存在与∆n及{uj}的取法无关的随机变量Y，使得
(1) X ( t ) X ( t ); (2) RX X ( s , t ) E R ( s , t ); X ( s ) X ( t ) s X RXX ( s , t ) E X ( s )X ( t ) RX ( s , t ); t 2 X ( s )X ( t ) (3) RX ( s , t ) E R ( s , t ). st X
5.3.平稳过程均方连续性与其自相关函数的关系 定理
设平稳过程{X(t),tT}的自相关函数为Rx(), 则下列条件等价： ①{X(t),tT}在T上均方连续； ②{X(t),tT}在t=0均方连续； ③ Rx()在=0连续； ④ Rx()在T上连续。
证明：①②，显然； ②③：当h0时，
(1) lim E ( X n ) E ( X )
n
( 2) lim E ( X n ) E ( X 2 )
n
2
( 3) lim E ( X nYm ) E ( XY )
n m
证明：(1)由柯西‐施瓦兹不等式
| E ( X n ) E ( X ) | 2 | E ( X n X ) | 2
2．均方极限的性质
2 若 E[ X n ] , E[Yn2 ] , 则
(1) 若 l.i.m X n X , 则E ( X 2 )
n
(2) l.i.m X n X , l.i.m X n Y , 则
n n
E[( X Y ) 2 ] 0.
dt
定义： 一个普通的二元函数 如果
f ( s, t )
称为在
s , t 广义二次可导，
s , t 0
lim
f s s, t t f s s, t f s, t t f s, t s t
存在。称此极限为
f ( s, t )
(3) l.i.m X n X , l.i.m Yn Y , 则
n n
l.i.m(X n Yn ) X Y , , 是常数.
n
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3．均方极限与期望的关系
若 l.i.m X n X , l.i.m Yn Y 则
n n
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随机分析
一、均方收敛及均方连续
1.均方收敛的定义：设有｛Xn,n=1,2,…｝和随机变
量X, 满足 E(|Xn|2)<+, E(|X|2)<+,若有
lim E[| X n X |2 ] 0
n
则称｛Xn｝均方收敛于X,记作
l i m Xn X
n
L2 或 Xn X.
Y f ( t ) X ( t Βιβλιοθήκη Baidudt
a
b
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关于均方积分的定义可推广到如下的情况： （1）f(t)是[a,b]上普通的复值函数，(7.1)式改为：
n lim E f ( u j ) X ( u j )t j Y | | 0 j 1
式中|*|为复数的模。 （2）f(t)改为h(s,t),可定义 为一新的随机过程。
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6．随机过程的均方导数
定义：设 X (t ), t T 为随机过程，对任意 t T 若存在随机变量 X , E ( X 2 ) , 使得
l .ilim .m
t 00 t
X (t t ) X (t ) X Y t
则称 X (t ), t T 在 t 处均方可导。记为 X ( t ) X , 称X为 X ( t ) 在 t 处的均方导数。若 处的均方导数 若 X (t )在每一点 在每 点 都是均方可导的，则称它在T上均方可导或均方可 微，且记它的均方导数为 X ( t ) 或 dX ( t ) , t T .
均方导数的性质
1） 若X(t)在t处均方可导，则X(t)在t处均方连续。 2） 若X(t)，Y(t)在t处均方可导，则对任意的常数a, b有
aX ( t ) bY ( t ) aX ( t ) bY ( t ). 3）若两个随机过程的均方导数相等，则它们只相差一个
随机变量。 特别的，若X是一个随机变量，则其均方导数为零。 4） 设f(t)是普通可导函数，X(t)是均方可导过程，则f(t)X(t) 也是均方可微过程，且
2
0
b
Y (t ) X(s)h(s, t )ds , {Y (t ),t T}
a
（3）积分区间[a,b]可改为[a,+∞]或[-∞,+∞]等，可定义


a
f ( t ) X ( t )dt l .i .m f ( t ) X ( t )dt
b a
b
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在
s, t 处的广义二次导数。记为
2 f ( s, t ) . s t
定理（均方可导准则） 定 均方可导准则 随机过程
X (t ), t 在 T
均方可导
t T
) RX ( s , t ) 在 ( t , t处广义二次可导。
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定理：设 X (t ), t T 的均值函数为 X ( t )，相关函 数为RX ( s , t )，在T上的均方导数为 X ( t ) ，则


f ( t ) X ( t )
f ( t ) X ( t ) f ( t ) X ( t ).
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定理 (1) (2)
对平稳过程{X(t)},有(1) {X(t)}均方可导。 {X(t)}在 t = 0 处均方可导。 在
(2),(1)
(4)
(3).
(3) RX ( ) (4) RX ( )
充要条件是其相关函数 点连续。 在tT处均方连续的
(均方连续准则)
RX ( s, t ) 在(t,t)
证明：先证明充分性。即证明
E[| X (t h) X (t ) |2 ] E[( X (t h) X (t ))( X (t h) X (t ))] RX (t h, t h) RX (t , t h) RX (t h, t ) RX (t , t ) 0
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2 n lim E f ( u j ) X ( u j ) t j Y 0 | | 0 j 1
(7 1) (7.1)
则称f(t)X(t)在[a,b]上均方可积，并称Y为f(t)X(t)在[a,b]上的均方积分， 记作：
E[( X n X ) 2 ] 0
(n )
4．均方收敛准则
2 若 E[X n ] , 则下面诸条件等价：
(1) l.i.m X n X ;
n
(2) 存在实数C, 使得 lim E(X n X m ) C ;
n m
2 (3) lim E X n X m 0 n m