带电粒子在磁场中的临界条件

量之比q/m= 5.0×107 C/kg ，现只考虑在图纸平面中运动
的α粒子，求ab上被α粒子打中的区域的长度。
解：α 粒子带正电，沿逆时针方向做 匀速圆周运动，轨道半径R为
a
P1
N
P2 b
R mv 10cm qB
即：2R > l > R。
NP1 R2 ( l R )2 8cm
d R sin 600 1 6mEL 2B q
（2）在电场中运动时间
t1

2V a

2mV qE
2
2mL qE
在中间磁场中运动时间
t2
T 3

2m
3qB
Ld
O3
E
O
在右侧磁场中运动时间
t3

5T 6

5m
3qB
则粒子的运动周期为
t t1 t2 t3 2
2mL 7m
(2)轨迹圆的旋转：当粒子的入射速度大小确定而方 向不确定时，所有不同方向入射的粒子的轨迹圆是一样 大的，只是位置绕入射点发生了旋转，从定圆的动态旋 转(作图)中，也容易发现“临界点”．
二.处理同源带电粒子在磁场中运动的临界极值方法--缩放法
(1)直线Q边界的P 临界条件
P
QP Q
B
v
v
v
S 圆心在磁场
①速度较小时，作圆弧 运动后从原边界飞出； ②速度增加为某临界值 时，粒子作部分圆周运 动其轨迹与另一边界相 切；③速度较大时粒子 作部分圆周运动后从另 一边界飞出
量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态
（2）带电粒子在矩形边界磁场中的运动
vB
o
圆心在磁场原边界上
①速度较小时粒子作半圆 运动后从原边界飞出；② 速度在某一范围内时从侧 面边界飞出；③速度较大 时粒子作部分圆周运动从 对面边界飞出。
为L；中间区域匀强磁场方向垂直纸面向外，右侧区域匀
强磁场方向垂直纸面向里，两个磁场区域的磁感应强度
大小均为B。一个质量为m、电量为q、不计重力的带正
电的粒子从电场的左边缘的O点由静止开始运动，穿过中
间磁场区域进入右侧磁
场区域后，又回到O点，然 后重复上述运动过程。求：
Ld
O3
E
（1）中间磁场区域的宽度d；
原边界上
S
圆心在过入射点跟 边界垂直的直线上
S
圆心在过入射点跟跟速 度方向垂直的直线上
①速度较小时，作半圆 运动后从原边界飞出； ②速度增加为某临界值 时，粒子作部分圆周运 动其轨迹与另一边界相 切；③速度较大时粒子 作部分圆周运动后从另 一边界飞出
பைடு நூலகம்
①速度较小时，作圆 周运动通过射入点； ②速度增加为某临界 值时，粒子作圆周运 动其轨迹与另一边界 相切；③速度较大时 粒子作部分圆周运动 后从另一边界飞出
例3、如图，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于 纸面向里，
PQ为该磁场的右边界线，磁场中有一点O到PQ的距离为r。
现从点O以同一速率将相同的带负电粒子向纸面内各个不
同的方向射出，它们均做半径为r的匀速圆周运动，求带
电粒子打在边界PQ上的范围（粒子的重力不计）。
分析：从O点向各个方向发射的粒子在磁场中做匀速圆周
___长_____.
规律方法 1．解决此类问题关键是找准临界点，审题应抓住题
目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语作为 突破口，挖掘隐含条件，分析可能的情况，如有必要则 画出几个不同半径相应的轨迹图，从而分析出临界条 件．寻找临界点的两种有效方法：
(1)轨迹圆的缩放：当粒子的入射方向不变而速度大 小可变时，粒子做圆周运动的轨迹圆心一定在入射点所 受洛伦兹力所表示的射线上，但位置(半径 R)不确定，用 圆规作出一系列大小不同的轨迹圆，从圆的动态变化中 即可发现“临界点”．
圆心在
过入射
点跟速
d
c 度方向
垂直的
直线上
B
θv
a
b
①速度较小时粒子做部分圆周运动
后从原边界飞出；②速度在某一范
围内从上侧面边界飞；③速度较大
时粒子做部分圆周运动从右侧面边
界飞出；④速度更大时粒子做部分
圆周运动从下侧面边界飞出。
量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态（轨迹与边界相切）
例1.如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满方 向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场， 在ad边中点O方向垂直磁场射入一速度方向跟ad边 夹角θ=300 、大小为v0的带电粒子，已知粒子质量 为m、电量为q，ab边足够长，ad边长为L，粒子的 重力不计。求：⑴.粒子能从ab边上射出磁场的v0大 小范围。⑵.如果带电粒子不受上述v0大小范围的限 制，求粒子在磁场中运动的最长时间。
运动的半径r相同，O为这些轨迹圆周的公共点。
P
P
M
P
2r
2r
r
O
O
O
Q
rN
Q
Q 答案：MN ( 3 1)r
练1、如图，真空室内存在方向垂直纸面向里，大小B=0.6T
的匀强磁场，内有与磁场方向平行的板ab，在距ab距离
为l=16cm处，有一点状的放射源S向各个方向发射α粒子，
α粒子的速度都是v=3.0×106 m/s，已知 α粒子的电荷与质
电粒子具有各个方向的速度。试计算：
（1）粒子沿环状的半径方向 射入磁场，不能穿越磁场的最 大速度。 （2）所有粒子不能穿越磁 场的最大速度。
B R2
R1
O
r R2
答案：（1）1.5×107m/s，
v
（2）1.0×107m/s。
例5、如图，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场。
左侧匀强电场的场强大小为E、方向水平向右，电场宽度
带电粒子在有界 磁场中运动的临界极值问题和多解问题
一、带电粒子在有界磁场中运动的临界极值问题 1．刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动
的轨迹与边界①__相__切____.
2．当速度 v 一定时，弧长(或弦长)越长，圆周角越大，
则带电粒子在有界磁场中运动的时间②__越__长____. 3．当速率 v 变化时，圆心角大的，运动时间③
（2）带电粒子的运动周期。 O
O2
O1 B1
B2
解：（1）如图所示，带电粒子在电场中加速，由动能定理得： 带电粒子在磁场中偏转，由牛顿第二定律得：BqV m V 2
qEL

1 2
mV
2
R
由以上两式，可得 R 1 2mEL
Bq
粒子在两磁场区运动半径相同，三段圆弧的圆心组成的三角形ΔO1O2O3是等 边三角形，其边长为2R。所以中间磁场区域的宽度为：
向里的匀强磁场，磁感应强度为B，许多质量为m，带 电量为+q的粒子，以相同的速率 v 沿位于纸面内的各个 方向，由小孔O射入磁场区域，不计重力，不计粒子间 的相互影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过
的区域，其中R=mv/qB，哪个图是正确的？（A ）
A.
B.
2R
2R
O
O
B
M 2R R N
M R 2R
解析 ：
1 mv 2 qU 2
m v 2 qBv R
a
qS
d
b
O
半径 R = r0
U

qr
2 0
B
2
2m
c
l
S
B
NP2 ( 2R )2 l 2 12cm
∴P1P2=20cm
例4、如图，环状匀强磁场围成的中空区域内有自由运动的
带电粒子，但由于环状磁场的束缚，只要速度不很大，都
不会穿出磁场的外边缘。设环状磁场的内半径为R1=0.5m， 外半径为 R2=1.0m，磁场的磁感应强度 B=1.0T，若被缚 的带电粒子的荷质比为 q/m=4×107C/kg，中空区域中带
a
b
O
V0
d
c
a
●
b
600
●
O 300
θ V0
d
c
三、处理一群带电粒子在磁场中运动的临界极值思维方法 --轨迹圆的旋转
• 当粒子的入射速度大小 一定而方向不确定时， 从不同方向入射的粒子 的轨迹圆都一样大，只 是位置绕入射点发生了 旋转，从定圆的动旋转 中发现临界点
例2、如图，水平放置的平板MN上方有方向垂直于纸面
N
C.
2R D.
O
O
RM
M 2R
2R N M 2R
2R N
ON
……以速率 v 沿纸面各个方向由小孔O射入磁场
2R 2R
O
O
2R R
R 2R
A.
B.
O
2R
2R
C.
2R
R
O
2R
2R
D.
总结
带电粒子以一定速度沿任意方向 射入匀强磁场时，它们将在磁场中 做匀速圆周运动，其轨迹半径相同， 若射入初速度为 v0，则圆周运动半 径为 R＝mv0/(qB)，如图所示．同时可发现这样 的粒子源的粒子射入磁场后，粒子在磁场中做匀 速圆周运动，圆心在以入射点 P 为圆心、半径 R ＝mv0/(qB)的圆(这个圆在下面的叙述中称为“轨 迹圆心圆”)上．
qE 3qB
O1 B1
O2
B2
例、 如图，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其
上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、b、c和d，外筒 的半径为r0，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线 方向的均匀磁场B。在两极间加上电压。一质量为m、带 电量为+q的粒子初速为零，从紧靠内筒且正对狭缝a的S 点出发，经过一段时间的运动之后恰好又回到点S，则 两电极之间的电压U应是多少？ （不计重力，整个装置在真空中）