43多项式方法求特征值问题

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多项式特征值问题的数值方法

求解大型复杂结构特征值问题的Lanczos分布式并行算法研究IV图表清单图 1.1自由度弹簧-质点系统 (3)图 3.1单质量弹簧系统 (22)图 3.2 n自由度阻尼的弹簧-质点系统 (25)图 3.3 GJD和QJD方法的残差范数随迭代次数增加的变化 (26)图 3.4 GJD和QJD方法的残差范数随迭代次数增加的变化 (27)表 2.1 Case 1的结果和比较12表 2.2 Case 2的结果和比较 (12)表 2.3 Case 3的结果和比较 (13)表 2.4 Case 4的结果和比较 (14)表 3.1 CPUtime比较 (26)表 3.2 CPUtime比较 (28)表 3.3特征值比较 (28)承诺书本人声明所呈交的硕士学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。

除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得南京航空航天大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。

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（保密的学位论文在解密后适用本承诺书）作者签名：日期：南京航空航天大学硕士学位论文1第一章绪论1.1多项式特征值问题的来源我们考虑m 次的矩阵多项式（或λ-矩阵）110(,),m m m m P A A A A λλλ−−=+++L （1.1）其中,0:n nk A k m ×∈=£。

多项式特征值问题（PEP ）是要找到一个特征值λ和相应的非零特征向量x 满足(,)0.P A x λ=m=1的情况对应于广义特征值问题（GEP ）A xB xλ=并且如果0A I =，我们得到标准特征值问题（SEP ）.A x x λ= （1.2）另一个重要的情况是当m=2时，这时就是二次特征值问题（QEP ）[1]。

矩阵的特征值问题求解

矩阵特征值问题求解矩阵在数学和工程领域有着广泛的应用，而研究矩阵的特征值是其中一个重要的问题。

矩阵的特征值对于矩阵的性质和行为具有重要的影响，因此求解矩阵的特征值是一项非常重要的任务。

什么是特征值和特征向量在矩阵理论中，矩阵A的特征值（eigenvalue）是一个数λ，满足方程$A\\mathbf{v} = \\lambda\\mathbf{v}$的向量$\\mathbf{v}$存在且不为零。

其中，$\\mathbf{v}$被称为对应于特征值$\\lambda$的特征向量（eigenvector）。

特征值和特征向量的求解是矩阵理论和线性代数中的重要问题之一。

特征值问题的求解方法1. 特征值分解我们可以通过特征值分解的方法求解矩阵的特征值。

给定一个方阵A，我们可以将其表示为$A=Q\\Lambda Q^{-1}$的形式，其中Q是由A的特征向量所组成的矩阵，Λ是由A的特征值所组成的对角矩阵。

2. 特征多项式特征值问题的另一种求解方法是通过矩阵的特征多项式。

特征多项式是关于矩阵A的一个多项式，它的根就是矩阵A的特征值。

通过求解特征多项式的根，我们可以得到矩阵的特征值。

3. 幂法幂法是一种常用的求解特征值问题的迭代方法。

通过不断的迭代计算$A\\mathbf{v}^{(k)}$，其中$\\mathbf{v}^{(k)}$是第k次迭代得到的特征向量，我们可以逐渐逼近矩阵的特征值和特征向量。

应用和意义矩阵的特征值问题求解在计算机图形学、信号处理、物理学等领域都有着重要的应用和意义。

通过求解矩阵的特征值，我们可以分析矩阵的性质、系统的稳定性以及模式识别等问题，为我们深入理解和应用矩阵提供了重要的工具和方法。

综上所述，矩阵的特征值问题求解是一个具有重要意义和广泛应用的问题，通过不同的方法和技术，我们可以有效地求解矩阵的特征值和特征向量，为我们更好地理解和利用矩阵提供了重要的支持。

特征值多项式

特征值多项式
特征值多项式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵和特征向量的关系中起着重要的作用。

特征值多项式可以帮助我们理解和描述矩阵的性质和特点。

我们需要了解什么是特征值和特征向量。

特征值是矩阵的一个数值，而特征向量是与该特征值对应的向量。

特征值和特征向量的求解可以通过求解矩阵的特征方程得到。

特征值多项式是一个关于特征值的多项式，它的形式为：f(λ) = |A - λI|，其中A是一个n阶矩阵，λ是一个待定的数值，I是n 阶单位矩阵。

特征值多项式的根就是矩阵A的特征值。

特征值多项式在实际问题中有着广泛的应用。

例如，在物理学中，特征值多项式可以用来求解波函数的能量本征值；在工程学中，特征值多项式可以用来研究结构的稳定性和振动特性。

特征值多项式的求解可以通过行列式的方法来进行。

我们可以将特征值多项式展开为一个关于λ的多项式，并求解其根。

通过求解特征值多项式，我们可以得到矩阵的所有特征值，从而了解和描述矩阵的性质和特点。

特征值多项式在线性代数中具有重要的意义，它不仅可以帮助我们求解特征值和特征向量，还可以用来研究矩阵的性质和特点。

通过对特征值多项式的研究，我们可以更好地理解和应用线性代数的知
识。

特征值多项式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵和特征向量的关系中起着重要的作用。

通过求解特征值多项式，我们可以得到矩阵的特征值，从而了解和描述矩阵的性质和特点。

特征值多项式在实际问题中有着广泛的应用，它帮助我们理解和应用线性代数的知识。

求矩阵特征值的方法

求矩阵特征值的方法矩阵特征值是矩阵理论中的一个重要概念，它在许多领域中都有着广泛的应用，如物理学、工程学、计算机科学等。

求矩阵特征值的方法有多种，下面将介绍其中的三种常用方法。

一、特征多项式法特征多项式法是求矩阵特征值的一种常用方法。

它的基本思想是将矩阵A与一个未知数λ相乘，得到一个新的矩阵B=A-λI，其中I为单位矩阵。

然后求解矩阵B的行列式，得到一个关于λ的多项式，称为特征多项式。

矩阵A的特征值就是使特征多项式等于零的λ值。

具体步骤如下：1. 构造矩阵B=A-λI。

2. 求解矩阵B的行列式det(B)。

3. 解特征多项式det(B)=0，得到矩阵A的特征值λ。

二、幂法幂法是求矩阵特征值的一种迭代方法。

它的基本思想是从一个任意的非零向量开始，不断地将其乘以矩阵A，直到向量的方向趋于特征向量的方向，同时向量的模长趋于特征值的绝对值。

具体步骤如下：1. 选择一个任意的非零向量x0。

2. 迭代计算xn+1=Axn/||Axn||，其中||Axn||为Axn的模长。

3. 当xn+1与xn的差值小于某个预设的精度时，停止迭代，此时xn 的模长即为矩阵A的最大特征值，xn/||xn||即为对应的特征向量。

三、QR分解法QR分解法是求矩阵特征值的一种数值方法。

它的基本思想是将矩阵A 分解为QR，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵。

然后对R进行迭代，得到一个对角矩阵，对角线上的元素即为矩阵A的特征值。

具体步骤如下：1. 对矩阵A进行QR分解，得到A=QR。

2. 对R进行迭代，得到一个对角矩阵D，对角线上的元素即为矩阵A的特征值。

以上三种方法都有其优缺点，具体选择哪种方法取决于实际应用场景和计算需求。

在实际应用中，还可以结合多种方法进行求解，以提高计算精度和效率。

特征多项式求法

特征多项式求法特征多项式是线性代数中的一个重要概念，它是矩阵理论中的一个基础工具。

特征多项式用来描述矩阵的本征值，本征向量的性质，它在矩阵的求逆、优化问题、微分方程等方面都有应用。

本文将详细介绍特征多项式的定义、性质、计算方法及应用。

一、特征多项式的定义特征多项式是一个矩阵的一个n次多项式，它的系数是由矩阵A的各个阶次的特征值λ1,λ2,...λn得到的。

特征多项式一般写作：f(x) = (x-λ1) (x-λ2) …(x-λn)，其中x为实数或复数，λ1,λ2,...λn为矩阵A的n个特征值。

特征多项式表示的是矩阵与一个实数或复数之间的关系，它是由矩阵的特征向量与特征值得到的。

特征多项式是描述矩阵本征值的一个重要工具。

二、特征多项式的性质1.特征多项式的次数等于矩阵的阶数，系数为1。

2.特征多项式的根为矩阵的特征值。

3.特征多项式与矩阵的特征值的乘积等于该矩阵的行列式。

4.特征多项式与伴随矩阵的特征多项式相同。

5.特征多项式的各项系数与特征矩阵的主对角线元素关系密切。

6.对于实对称矩阵，它的特征多项式一定可以分解成实系数的一次或二次因式。

7.特征多项式是能够反映矩阵的本征值和本征向量的重要工具。

三、特征多项式的计算方法特征多项式的计算方法一般有两种，一种是通过求解矩阵的本征值得到，另一种是通过矩阵的行列式得到。

1.通过求解矩阵的本征值对于给定的n×n矩阵A，首先可以求出它的n个本征值λ1,λ2,…λn，然后将它们代入特征多项式的表达式式子，即：f(x) = (x-λ1) (x-λ2) …(x-λn)。

然后对f(x)进行整理，即可得到特征多项式的表达式。

2.通过矩阵的行列式求值假设矩阵A是一个n阶方阵，其特征多项式的表达式为f(x) = |xI_n−A|，其中I_n表示n阶单位矩阵。

因此，特征多项式也可以通过求解矩阵A的行列式来得到。

需要注意的是，这种方法只适用于较小的矩阵，对于大规模的矩阵计算难度较大。

矩阵特征值的求法

矩阵特征值的求法矩阵的特征值是在线性代数中一个非常重要的概念，它在许多领域都有广泛的应用。

特征值的求法有多种方法，其中最常用的是特征多项式的求解方法、特征向量迭代方法和QR分解方法。

下面将详细介绍这三种方法的原理和步骤。

1.特征多项式的求解方法：特征多项式是指一个与矩阵A有关的多项式，它的根就是矩阵A的特征值。

求解特征多项式的步骤如下：（1）设A是n阶方阵，特征多项式为f(λ)=，A-λI，其中λ是待求的特征值，I是单位矩阵。

（2）计算行列式，A-λI，展开成代数余子式的和：A-λI， = (a11-λ)(a22-λ)...(ann-λ) - a12...an1(a21-λ)(a33-λ)...(ann-λ) + ..（3）将上式化简为f(λ)=0的形式，得到特征多项式。

（4）求解特征多项式f(λ)=0，得到矩阵A的所有特征值。

2.特征向量迭代方法：特征向量迭代方法的基本思想是利用矩阵A的特征向量的性质来逐步逼近特征值的求解。

具体步骤如下：（1）选取一个n维向量x0作为初始向量。

（2）通过迭代计算x1 = Ax0，x2 = Ax1，...，xn = Axn-1，直到向量序列xn趋于稳定。

（3）计算极限lim┬(n→∞)⁡((xn)^T Axn)/(，xn，^2)，得到特征值的估计值。

（4）将估计值代入特征方程f(λ)=，A-λI，=0中，求解特征方程，得到矩阵A的特征值。

3.QR分解方法：QR分解方法是将矩阵A分解为QR的形式，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵。

特征值的求解步骤如下：（1）通过QR分解，将矩阵A分解为A=QR，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵。

（2）将A表示为相似对角矩阵的形式，即A=Q'ΛQ，其中Λ为对角矩阵，其对角线上的元素就是特征值。

（3）求解Λ的对角线元素，即求解特征值。

需要注意的是，这三种方法各自有适用的情况和算法复杂度。

特征多项式的求解方法适用于任意阶数的方阵，但对于高阶矩阵来说计算量比较大；特征向量迭代方法适用于大型矩阵的特征值求解，但需要选取合适的初始向量；QR分解方法适用于方阵的特征值求解，但要求矩阵能够进行QR分解。

特征值与多项式

定义
设A为n阶方阵,若存在数λ和非零的 n维列向量x,使得 Ax=λx (1) 则称数λ为矩阵 A的特征值,称 x为矩阵A对应于特征值λ的
特征向量.
设x是对应于特征值λ的特征向量,由于 A(kx)=k(Ax)=k(λx)= λ(kx) k≠0 , 所以,kx也是A的对应于特征值λ的特征向量.这说明特征向量不是被特征值唯一决定的.但是,特征值是被特征向量唯一决定的. 因此一个特征向量只属于一个特征值.
(2) 1 2
(注 : trA称为矩阵A的迹)
证 (1)由于1 , 2 , , n为A的特征值, 故 | I A | ( 1 )( 2 ) ( n ) = n (1 2 令 0, 得 | A | () 12
n
n ) n1
(1)n 12
n
n ,即 | A | 12
n
(2) 由于 a11 a12 a21 a22 | I A |
an1 an 2
a1n a2 n
Байду номын сангаас ann
的行列式的展开中, 注对角线的乘积 ( a11 )( a22 ) ( ann ) 是其中的一项,再由行列式的定义可知:展开式中的其余项至多包含n-2个主对角线上的元素,因此|I-A|中含 n与 n 1的项只能在主对角线元素乘积项中出现,故有
得基础解系
p2 (1, 4, 0)T ,p3 (1, 0, 4)T
所以k2 p2 k3 p3 (k2 , k3不全为零)是对应于
2 3 2的全部特征向量.
由例题知道,矩阵A的特征值之和1 2 3 3, 而矩 A的特征值之积12 3 4, 而矩阵A的行列式 | A | 4,当

多项式特征值的迭代解法

多项式特征值的迭代解法
多项式特征值的迭代解法是一种通过迭代计算逼近多项式的特征值的方法。

该方法的基本思想是先猜测一个特征值的近似值，然后通过迭代计算逐渐逼近真实的特征值。

具体的迭代算法如下：
1. 随机选择一个初始特征值的近似值x0。

2. 对于每一次迭代k，计算下一个近似值xk+1 = f(xk)，其中f(x)是多项式的特征方程。

可以使用多项式的特征方程展开为多项式后，对xk进行代入计算得到xk+1。

3. 如果xk+1与xk之间的差值小于一定的阈值，那么停止迭代，xk+1即为多项式的特征值的近似值；否则，返回第2步。

需要注意的是，迭代解法并不能保证得到多项式的所有特征值，只能得到其中的一个或几个。

此外，迭代解法的收敛性和速度也取决于初始特征值的选择和多项式的特征方程的性质。

迭代解法的优点是简单易实现，适用于一些特殊的多项式特征值计算问题。

但对于一般的多项式特征值计算问题，其他的方法如QR 算法、幂迭代法等可能更为有效。

求特征值的化简技巧

求特征值的化简技巧
求特征值的化简技巧：第一步：计算的特征多项式。

第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值。

第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组。

扩展资料：
特征值是线性代数中的一个重要概念，在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的应用。

如将特征值的取值扩展到复数领域，则一个广义特征值有如下形式：
Aν=λBν。

其中A和B为矩阵。

其广义特征值（第二种意义）λ 可以通过求解方程（A-λB）ν=0，得到det（A-λB）=0（其中det即行列式）构成形如A-λB 的矩阵的集合。

当B为非可逆矩阵（无法进行逆变换）时，广义特征值问题应该以其原始表述来求解。

如果A和B是实对称矩阵，则特征值为实数。

这在上面的第二种等价关系式表述中并不明显，因为A矩阵未必是对称的。

第8章特征值问题的计算方法

设 uk 和 k均收敛，由算法知 Auk1 k uk
lim
k
Auk 1

lim
k
k
lim
k
uk
Ax 1x k 1
uk 1
幂法可以计算矩阵的模最大的特征值和对应的特征向量
例1：利用幂法求下列矩阵A 的模 2 1 0
最大的特征值及相应的特征向量. A 1 3 1
u0 1x1 2 x2 n xn;i C
n
n
Aku0
j Ak x j

j

k j
x
j
j
n 2

j
(
j 1
)k )x j )
Ak u0
1k
(1x1
n j2

j
(
j 1
)k
)
x
j
)
1x1(k
)
说明：当k充分大时, 1的一个近似特征向量为
uk

Ak u0
1k
特征向量可以相差一个倍数
因为向量 uk

Ak u0
1k
中含有未知量 1，实际不能计算
但我们关心的仅是 uk 的方向，故作如下处理：
令 uk

Ak u0
k
Ak u0
其中 k为 Ak u0 的模最大分量
1k (1x1
3 4.92
u3 y3 3 (0.3659 0.8537 1)T
Step4 y4 Au3 (1.5854 3.9268
4.8537)T
4 4.8537 u4 y4 4 (0.3266 0.8090 1)T

特征值问题与本征函数的求解

特征值问题与本征函数的求解特征值问题和本征函数的求解在数学和科学领域中具有广泛的应用。

特征值问题是求解矩阵或者线性变换的特征值和对应的特征向量，而本征函数是描述线性微分方程的解。

本文将从基本概念、求解方法以及应用方面详细介绍特征值问题与本征函数的求解。

一、特征值问题的概念特征值问题涉及到矩阵的特征值和特征向量的求解。

给定一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=λx，其中λ是一个标量，那么λ被称为矩阵A的特征值，x是对应的特征向量。

特征值问题的目标就是求解出矩阵A的所有特征值和对应的特征向量。

二、特征值问题的求解方法特征值问题的求解可以通过代数方法和几何方法来实现。

1. 代数方法代数方法是通过求解矩阵的特征多项式来得到特征值。

特征多项式定义为det(A-λI)，其中det表示矩阵的行列式，λ是一个标量，I是单位矩阵。

通过求解特征多项式的根，即可得到矩阵的特征值。

然后，将特征值代入(A-λI)x=0，解方程组可以得到对应的特征向量。

2. 几何方法几何方法是通过观察矩阵的几何特性来求解特征值和特征向量。

根据特征向量的定义，特征向量在矩阵的线性变换下只发生标量倍数的变化，因此特征向量是线性变换的不变子空间。

利用这个性质，可以通过观察矩阵的不变子空间的维度和结构来得到特征值和特征向量。

三、本征函数的概念与求解本征函数是描述线性微分方程的解。

给定一个线性微分方程L[u]=λu，其中L是一个线性微分算子，u是未知函数，λ是一个标量，那么u被称为本征函数，λ是对应的本征值。

本征函数的求解在物理学、工程学等领域有着重要的应用。

本征函数的求解可以通过代数方法和变换方法来实现。

1. 代数方法代数方法是通过求解线性微分方程的特征方程来得到本征值。

特征方程定义为L[u]-λu=0，其中L[u]表示线性微分算子作用在函数u上，λ是一个标量。

通过求解特征方程的根，即可得到本征值。

然后，将本征值代入L[u]-λu=0，解微分方程可以得到对应的本征函数。

线性代数中的特征多项式的求解与应用

线性代数中的特征多项式的求解与应用在学习线性代数的过程中我们常常会遇到用特征值和特征向量来描述矩阵的变换特性的问题。

然而，更基本的问题是如何快速准确地求出矩阵的特征值和特征向量，这就需要用到特征方程和特征多项式。

本文将对特征多项式的求解与应用进行探讨。

一、特征多项式的定义特征多项式是一个关于一个n阶矩阵A的多项式f(λ)=|λE-A|，其中E是n阶单位矩阵，|·|表示矩阵的行列式。

特征多项式将一个矩阵转化为一个关于λ的多项式，代入λ即可求得其特征值。

二、特征多项式的求解为了求解特征多项式，我们可以采用逐步消元的方法，将矩阵A的行列式展开成一个关于λ的多项式。

这个方法虽然可行，但比较麻烦，特别是对于大规模的矩阵来说。

因此，我们可以采用以下的方法来快速求解特征多项式：1. 德莱弗公式德莱弗公式是求解特征多项式的一种通用方法。

对于一个n阶矩阵A来说，其特征多项式可以表示为：f(λ)=|λE-A|=∏i=1n(λ-λi)，其中λi为A的第i个特征值。

因此，我们可以通过求矩阵A的n个特征值来得到其特征多项式。

2. 特征多项式的递推公式对于一个n阶矩阵A来说，其特征多项式有一个非常重要的性质，即它可以通过递推公式来求解。

具体来说，设A是一个n阶矩阵，那么它的特征多项式f(λ)可以表示为：f(λ)=λn-b1λn-1-...-bn其中bi是A的i阶主子式的行列式。

这个式子是一个线性多项式，因此可以用递推公式来求解。

可以发现，这个方法的时间复杂度为O(n3)，效率非常高。

三、特征多项式的应用特征多项式在线性代数中有非常重要的应用。

以下是特征多项式的几个典型应用：1. 求解矩阵的特征值和特征向量对于一个n阶矩阵A来说，它的特征值和特征向量可以通过求解其特征多项式来得到。

如果一个矩阵A有n个不同的特征值，那么它就可以被对角化，即可以将其变换为一个对角矩阵D。

此时，原矩阵A的特性就可以被完全描述为一个关于特征值的问题。

特征向量计算方式

特征向量计算方式特征向量的计算方式主要有以下步骤：1.计算特征多项式：首先需要计算矩阵的特征多项式，即对于一个给定的矩阵A，需要求解方程f(λ)=0得到特征值λ。

2.求解特征值：将特征多项式方程f(λ)=0解出特征值λ。

3.判断矩阵是否可相似对角化：如果矩阵A有n个相等的特征值，则A可以通过相似变换化为对角矩阵，antaosuanrengonghegongzuo，如果存在两个或两个以上的特征值不相等，则可以通过相似变换化为一个对角矩阵和一个准对角矩阵的乘积。

4.求解特征向量：对于每一个特征值λ，求解方程组(A-λE)x=0，得到特征向量x。

5.验证特征向量：将求得的特征向量代入原方程Ax=λx中，验证是否满足方程。

需要注意的是，在实际计算中，为了提高计算效率和精度，可能会采用一些数值计算方法和技巧，例如高斯消元法、QR分解、SVD分解等。

同时，不同的编程语言和数学软件也提供了相应的函数和工具包，方便用户进行特征向量的计算。

特征向量计算方法中常用的数值计算技巧包括：1.高斯消元法：用于求解特征多项式方程的根，即特征值。

通过逐步消元的方法将系数矩阵化为上三角矩阵，从而得到特征多项式的根。

2.Q R分解：将原矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积，从而可以将特征值和特征向量问题转化为求解上三角矩阵的特征值和特征向量问题。

QR分解是一种常用的数值计算技巧，可以有效地提高计算效率和精度。

3.S VD分解：将原矩阵分解为一个左奇异矩阵、一个对角矩阵和一个右奇异矩阵的乘积。

通过SVD分解，可以将特征值和特征向量问题转化为求解对角矩阵的特征值和特征向量问题，同时也可以用于处理病态问题和噪声干扰等问题。

4.迭代法：对于一些难以直接求解的特征值和特征向量问题，可以采用迭代法进行求解。

例如，使用Jacobi迭代法或Gauss-Seidel迭代法等迭代方法来逼近特征值和特征向量。

5.数值稳定性和误差控制：在特征向量计算中，需要注意数值稳定性和误差控制。

矩阵的特征值与特征向量的求法

摘要：首先给出了求解矩阵特征值和特征向量的另外两种求法,然后运用特征值的性质讨论了矩阵合同、相似的充要条件,以及逆矩阵的求解等相关问题.关键词：矩阵的特征多项式,特征值,特征向量,对角矩阵,逆矩阵Abstract：Firstly，it is given matrix eigenvalues and eigenvectors of two other methods, then with the properties of eigenvalue the contract of matrix discussed,we deeply discuss the sufficient and necessary conditions for the similar matrix contract, and the inverse matrix of the related problem solving.Keywords:matrix characteristic polynomial, eigenvalue, eigenvector, diagonal matrices, inverse matrix淮阴师范学院毕业论文(设计)目录1 前言 (4)2 矩阵的特征值和特征向量的求法 (4)2.1 矩阵的初等变换法 (4)2.2 矩阵的行列互逆变换法 (6)3 矩阵特征值的一些性质及应用 (7)3.1 矩阵之间的关系 (7)3.1.1 矩阵的相似 (7)3.1.2 矩阵的合同 (7)3.2 逆矩阵的求解 (8)3.3 矩阵相似于对角矩阵的充要条件 (8)3.4 矩阵的求解 (9)3.5 矩阵特征值的简单应用 (10)结论 (11)参考文献 (12)致谢 (13)030 1 前言矩阵特征值是高等代数研究的中心问题之一,也是硕士研究生招生考试的热点.而且在自然科学（如物理学、控制论、弹性力学、图论等）和工程应用（如结构设计、振动系统、矩阵对策）的研究中也同样离不开矩阵特征值问题,因而对其研究具有重要的理论和应用价值.2 特征值和特征向量的求解方法求n 阶矩阵A 的特征根和特征向量,传统方法是先求出矩阵A 的特征多项式()A E f -=λλ的全部特征根,然后对每个特征根 ()n i i ,,2,1 =λ求解齐次线性方程组()0=-X A E i λ的一个基础解系,即为A 的属于特征根i λ的线性无关的特征向量.现再此基础上另外介绍两种求矩阵特征值和特征向量的方法.2.1 矩阵的初等变换法这种方法在求解矩阵特征向量的同时就得到属于特征根的特征向量.定理[]11设齐次线性方程组0m n A X ⨯=的系数矩阵A 的秩数n r <,000rE PAQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭的非奇异矩阵n n Q ⨯ 的后n r - 列便构成线性方程组的一个基础解系.在运用传统方法求解矩阵A 的特征值时,我们求()A E f -=λλ的全部特征根时是通过将矩阵()A E -λ经过一系列的初等变换化成三角矩阵，这里我们可以受此启发,将它变换成下三角矩阵()λG .由定理1知,当矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-E A E λ经过一系列的初等列变换变换成()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλQ G 时,求 ()0=λG 得的i λ就是矩阵A 的特征值,然后将i λ代入()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλQ G ,()i G λ中的0列所对应的列就是所对应i λ的特征向量()i Q λ.例1 已知矩阵211031213A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,求矩阵A 的特征值和特征向量.淮阴师范学院毕业论文(设计)05解2221120103102121324310010001001000101100110022112254433454100001010010211112E A E λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-⎛⎫ ⎪⎝⎭----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------=→ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--⎛⎫ ⎪---- ⎪ ⎪-+-----+→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭()()21001203468001011113.G Q λλλλλλλλ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-⎛⎫ ⎪- ⎪⎪---+→ ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭由()()2240λλ--=知A 的特征根122λλ==,43=λ.当122λλ==时,()()1010021202001011111G Q -⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎛⎫--=⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭,特征向量1111ξ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭. 当34λ=时,()()10012041004001011111G Q -⎛⎫⎪ ⎪⎪⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭,特征向量3111ξ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭.0 2.2 矩阵的行列互逆变换法定理[]22 对于任意的矩阵A ,矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛E A 都能经过一系列的行列互逆变换变成⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛P J T .其中()()(){}()()()r i P P P P P J J J J Ti i i i r r k k k ik r ,,2,1,,,,,,,,,,,,21212121 ====βββλλλ.因为若尔当矩阵是下三角形矩阵,在一个若尔当形矩阵中,主对角线上的元素正是特征多项式的全部根（重根按重数计算）.因此在求解矩阵A 的特征值时我们又可以通过将矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛E A 进行行列互逆变换,从而得到A 特征值i λ,以及它对应的特征向量ik i i βξ=.例2 求矩阵211031213A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的特征值与特征向量.解.111110111400021002211121102111400021002111010011400121002101010001400131111100010001312130112333223211213312122121⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+-r c r r c c r r c c r r cc E A淮阴师范学院毕业论文(设计)07所以特征值4,2321===λλλ,对应特征值43=λ的特征向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1113ξ,对应的特征值221==λλ的特征向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111ξ.3 矩阵特征值的一些性质及应用3.1 矩阵之间的关系 3.1.1 矩阵的相似性质1 如果存在n 阶可逆矩阵X ,使得n 阶矩阵A 和B 满足AX X B 1-=,即矩阵A与矩阵B 相似,i λ为矩阵A 的特征值,i ξ为i λ所对应的特征向量,则i λ也为矩阵B 的特征值,且B 对应于i λ的特征向量为i X ξ1-.注反之不成立,即矩阵有相同特征值的矩阵不一定相似.性质2 矩阵A 与B 都是n 阶矩阵,乘积矩阵BA 与AB 不一定相似,但却有相同的特征值.证明若0是AB 的特征值,则0,0≠⋅=ξξξAB 故AB 不可逆,于是A 与B 中至少有一个不可逆,从而BA 不可逆,故有非零向量ξ使0=ξBA ,即0是BA 的特征值. 设()0≠λλ是AB 的特征值,即存在()0≠ξξ使得λξξ=AB .令ξηB =,则0≠==λξξηAB A ,因此0≠η于是ληξλλξξη==⋅==B B BAB BA ,即η是属于BA 的特征向量,λ是BA 的特征值,同理可证BA 的任何特征值也是AB 的特征值.例如矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001A 和矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1201B ,BA 与AB 不相似却有相同的特征值1=λ. 例3 设n 阶矩阵B A ,,则矩阵A BA +与A AB +,B BA +与B AB +分别都有相同的特征值.证明由于()()E B A A AB A E B A BA +=++=+,,由性质2知B AB A BA ++,有相同的特征值,同理B AB B BA ++,也有相同的特征值.得证.3.1.2 矩阵的合同性质3 n 阶对称矩阵A 与B 合同,即存在n 阶可逆矩阵C ,使得AC C B T =,其充要条0件是A 与B 的正负惯性指数相同,即正特征值,零特征值和负特征值的个数分别相等.这样我们在判断矩阵是否合同的时候又多了一种途径.例4 判断矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111111111111111A 与矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000000000000004B 是否合同. 解因为矩阵A 是实对称矩阵,可以求得()()34det λλλ--=-E A ,即A 的特征值为0321===λλλ,44=λ,矩阵B 的特征值为41=λ,0432===λλλ,由性质知矩阵A 和矩阵B 合同.3.2 逆矩阵的求解性质[]34对于n 阶矩阵A ,由哈密顿―凯莱定理可以知道()0=A f ,即00111=++++--E a A a A a A a n n n n .所以()E Ea A a a A n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-⋅-1101,从而()E a A a a An n 11011++-=-- . 故已知可逆矩阵的特征多项式或全部特征值,那么很容易找到1-A .例5 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101001321b b b A ,的特征多项式是()()31-=λλf ,求1-A . 解因为()()1331233++-=-=λλλλλf ,所以E A A A 3321+-=-, 即⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=-10100130003000333303300312201200132311321331211b b b b b b b b b b b b b A . 由本例可见,任何一个可逆矩阵A 的逆矩阵必是A 的一个多项式,这样又多了一种求逆矩阵的方法.3.3 矩阵相似于对角矩阵的充要条件性质[]35 n 阶矩阵A 相似于对角矩阵的充要条件是每一个特征值0λ在A E -λ中的重数等于A 的属于0λ的线性无关的特征向量的个数. 由此可见例1和例2中的矩阵不能相似于对角矩阵.淮阴师范学院毕业论文(设计)09例6 矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000100100λλλA 能否与对角矩阵相似?为什么? 解不能.因为0λ是()030=-=-λλλA E 的三重根,且秩()2=-A E λ,于是A 的属于0λ的线性无关向量的个数为123=-,由性质8知,A 不能相似于对角矩阵.3.4矩阵的求解我们知道如果设1λ和2λ是2阶实对称矩阵A 的两个不同的特征值,1ξ和2ξ是对应于它们的特征向量,则1ξ和2ξ正交.且设()n i i ,,2,1 =λ是n 阶实对称矩阵A 的互不相同的特征值,()n i i ,,2,1 =ξ是对应于特征值的特征向量,则()n i i ,,2,1 =ξ两两正交.这样,如果对于n 阶实对称矩阵A ,我们知道它的全部特征值,又知道其中一个特征值所对应的特征向量,我们就可以根据这个应用,不仅可以求出这个矩阵其他特征值所对应的特征向量,也能求解出矩阵A .例7 设3阶对称矩阵A 的特征多项式是()()215+-λλ,且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111ξ是对应于5=λ的特征向量,求矩阵A .解由上面的性质我们知道1-=λ对应的特征向量和1ξ正交,因此设1-=λ所对应的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x ,对应于1-=λ的两个线性无关的向量可取0321=++x x x 的基础解系,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1012ξ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0113ξ,将正交向量组321,,ξξξ单位化得到正交矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0213121031212131Q ,正交矩阵Q 满足⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=Λ=100010005AQ Q T ,0所以 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λ=456546663TQ Q A .补充:同时还能求出kA () ,2,1=k 的值,()T k T T T kT k Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q A Λ=ΛΛ⨯Λ=Λ= )(.3.5 矩阵特征值的简单应用性质[]46 n 阶实对称矩阵的特征值都是实数.性质[]57 n 阶矩阵A 与其转置矩阵TA 有相同的特征值.性质8 已知n 阶矩阵A 的特征值为n λλλ,,,21 ，则n A λλλ 21⋅=. 例8 设n 阶矩阵A 有n 个特征值n ,,2,1 ,且矩阵B 与A 相似,求B E +的值. 解因为A 的特征值为n ,,2,1 ,矩阵B 与A 相似. 所以B 的特征值也为n ,,2,1 ,令()1+=λλf ,则()B f 的n 个特征值为()()()1,,32,21+===n n f f f , 因为!21n n A =⋅⋅⋅= ,所以()()()()!121+=⋅⋅⋅=+n n f f f B E .淮阴师范学院毕业论文(设计)011总结矩阵是线性代数中的一个重要部分，特征值与特征向量问题是矩阵理论的重要组成部分。

特征多项式相等特征值相等证明

特征多项式相等特征值相等证明1. 特征值和特征向量的背景知识特征值和特征向量是矩阵论中的重要概念。

对于一个n阶矩阵A，如果存在数λ和非零向量X，使得AX=λX成立，则称λ是A的特征值，X是对应于特征值λ的特征向量。

2. 特征多项式的定义对于n阶矩阵A，其特征多项式定义为p(λ)=|A-λI|，其中I是n阶单位矩阵，|A-λI|表示A的特征多项式的行列式形式。

特征多项式的根即为矩阵A的特征值。

3. 特征多项式相等特征值相等的证明矩阵A,B的特征多项式相等，意味着两者的特征值相同。

下面进行证明。

步骤一：给定矩阵A,B的特征多项式相等，即pA(λ)=pB(λ)。

证明：根据特征多项式的定义，pA(λ)=|A-λI|，pB(λ)=|B-λI|。

根据特征多项式相等的条件，可得到|A-λI|=|B-λI|。

步骤二：证明A,B的特征值相等。

证明：由于pA(λ)=|A-λI|，pB(λ)=|B-λI|，根据步骤一可得|A-λI|=|B-λI|，即A-λI与B-λI的行列式相等。

由线性代数知识可知，行列式相等意味着两个矩阵的特征值相等。

步骤三：得出结论由步骤二可知，A,B的特征值相等。

特征多项式相等，特征值也相等成立。

4. 结论通过以上证明过程，我们可以得出结论：如果两个矩阵的特征多项式相等，那么它们的特征值也相等。

这一结论在矩阵分析和线性代数领域具有重要意义，为进一步研究矩阵的特征值和特征向量提供了重要的理论基础。

5. 总结本文通过介绍特征值和特征向量的定义，特征多项式的概念，以及特征多项式相等特征值相等的证明过程，阐述了矩阵论中的重要定理。

特征多项式相等可以推断出特征值相等，这一结论为矩阵分析理论和实际应用提供了重要的指导意义。

希望本文的介绍对读者有所帮助，引发更多关于特征值和特征向量的深入思考。

特征值和特征向量在矩阵论中起着至关重要的作用，它们不仅是理论研究的重要基础，也是在实际问题中求解矩阵特征问题的重要工具。

矩阵的特征多项式怎么求

矩阵的特征多项式怎么求用特征多项式求一个矩阵的特征值，应该是每个人都应该掌握的基本功。

但是我相信很多同学发现，很多答案的分析都是列出特征多项式，直接给出因式分解，然后给出特征值。

但是从特征多项式到因式分解的过程有时候就像雾里看花，让很多人很头疼！常用的方法有“抵消法”、展开三阶多项式猜想分组分离法和待定系数法！•“抵消法”：考研范围内的矩阵求特征值，普遍是三阶矩阵，针对三阶实对称矩阵，一般是使用“抵消为0”先凑因式的方法求解，这种方法如果运气不佳，可能要尝试6次，最为致命的是，针对叠加情况，会失效，这种试错率太高，不适合考场使用，（但是如果你第一眼就看出来了，就用吧，因为确实简单！）——具体请查看李永乐老师的视频讲解！•分组分离法：需要首先猜想出来一个特征值，一般来说，有经验的同学可以尝试特征值为 \pm1，\pm2，\pm3，\pm\sqrt{2} 等等，如果恰好猜对了一个特征值，剩下的两个特征值迎刃而解；其弊端有很多，1.含参展开计算量大，2.猜想需要足够经验，如果猜不出来，浪费时间太多，3.不适用于两位数的三阶矩阵！•待定系数法:这是对二元线性方程的叉乘的类比。

众所周知，这种方法很考验数学感觉，尤其是三阶多项式。

如果你能看到，那就很简单了。

看不出来就是浪费时间，看不出来！如果，你在考试的时候，借助以上方法求不出结果，遭遇“绝境”的话，那么，就请尝试以下方法——代10猜想法！鉴于考研数学是以三阶矩阵为基础的，本文用三阶矩阵来分析10猜的例子！下面举三个例子来说明这种方法的具体用法！1. A=\left[\begin{array}{} 2&-2&0\\ -2&1&-2\\ 0&-2&0\\ \end{array}\right] ，求 A 的特征值。

2.B=\left[\begin{array}{} 1&2&-3\\ -1&4&-3\\ 1&-3&5\\ \end{array}\right] ，求 B 的特征值。

§4特征值、特征向量与特征多项式

因为爲汽，所以齐次线性方程组(2)有非零解•因此系数行列式■■■■0 -aiidet （ * —A ）口—^21-a i2‘0 ~'a 22_a n1 _a n2-a in-'a 2n a '0 - a nnX 20 （打1 n - A ）■ =356反过来，若，0 € F 满足等式(3)，则齐次线性方程组 (2)有非零解(X 1,X 2,…,X n )［因此〉*2〉2亠■亠X n 〉n 满足等式 ⑴，即'0是;丁的一个特征值.等式(3)中出现的行列式很重要.为此引入叫做矩阵A 的特征多项式.(3)表明，若A 是线性变换c 在V 的一个基下的矩阵，而 '0是匚的一个特征值，则'0是A 的特征多项式f A ( )的根，即f A ( 0)=0.假设线性变换c 在 V 的另一个基下的矩阵是B ，则容易证明A 与B 有相同的特征多项式. 也就是说，相似矩阵有相同的特征多项式 .事实上，设存在可逆矩阵T ,使B =T 4AT ，则■I n -B - T 4I n T -T "AT =T '( I n -A)T .所以由行列式的乘法定理有f B (')斗'I n _B 冃T^'I n —A)T 冃T|J 'I n -A||T|=| 'I n -A|"A (').这样，我们可以定义 V 的线性变换匚的特征多项式是c 在V 的任意一个基下的矩阵的特征多项式，并且把曲勺特征多项式记作 f ；「(’).据上，我们有定理7.4.1 设匚是数域F 上n 维向量空间 V 的一个线性变换.’0 € F 是;:的一个特征值的充分且必要条件为■ 0是二的特征多项式 f-(')1 _ a 〔1_a 12-a 1n ■ a21--a22 m _a2n - -an1-an2'-annf A （》-）=|人I n - A =fA（'）二■ - a _c=2 _(a d)x (ad _bc)二 -(TrA) +|A|.的一个根.考察矩阵A 的特征多项式f A （.），将（4）展开，得到F[]的一个多项式，它的最高次项是=出现在主对角线上元素的乘积（咒一a ii ）（咒一a 22 丁 …（咒一a nn ）（5）里.这个行列式的展开式的其余的项至多含有n-2个主对角线上的元素.因此，f A （J 是乘积（5）与一个至多是■的n-2次多项式的和.因此，f A（J 中次数大于n -2的项只出现在乘积（5）里•所以f A （x ）二x n _（a ii • a 22 n ann ）x n ‘ •…，这里没有写出的项是零或其次数至多是 n - 2的多项式.在f A （J 中，-nd 的系数乘以一1就是矩阵A 的主对角线上元素的和，即矩阵 A 的迹TrA ：TrA = a ii a 22 亠亠a nn .其次，在⑷式里，令=0 ,得f A （O ）（-1）n A .因此，特征多项式f A 「）的常数项等于 A 的行列式乘以（一1）n.我们把n 阶矩阵A 的特征多项f A （・）在复数域C 内的根叫做矩阵 A 的特征根.设’o 是矩阵A 的一个特征根，则齐次线性方程组（2）的一个非零解叫做矩阵 A 的属于特征根'o 的一个特征向量.由于F 上每一个n 阶矩阵都可以看成 F 上一个n 维向量空间 V 的某一线性变换 c 在取定的一个基下的矩阵，所以矩阵 A 的属于F 的特征根'0就是二的特征值，而A的属于'0的特征向量就是二的属于'0的特征向量在所给定基下的坐标.设’1, '2,…，’n 是矩阵A 的全部特征根.则f A （'）=（…1）（，-，2厂・（''n ）• nn 4n •• -. •- …、一2，n ）一（T ）/，n .因此TrA=A +爲 + +》n , |A|=》/-2 人.即矩阵A 的迹等于 A 的全部特征根的和，A 的行列式等于 A 的全部特征根的乘积.设;：■是数域F上n维向量空间V的一个线性变换，它在V的一个2=(，_ 5) ( ' -1)基｛冷，〉2,…，〉n ｝下的矩阵是 A .要求出二的特征值，只要求出 A 的属于F 的特征根•设F 是矩阵A 的一个特征根，这时齐次线性方程组（2）有非零解，每一个非零解都是匚的属于的一个特征向量在基｛：1 , ： …，:n ｝下的坐标.例5设R 上三维向量空间的线性变换匚在一个基｛：1〉2,〉3｝下的矩阵是■z 3 3 2、 A= 1 1 -2 , L 3 —1°」求二的特征值和相应的特征向量.解先求出矩阵A 的特征多项式丸—3 -3 -2f A （打= 一1 九一1 2 =九3—4分 +4九一16=（九一4）（疋+4）,31 入它只有一个实根 =4 .又解齐次线性方程组得其解为（k , k ,— k ）, k € R .因此，匚的属于特征值4的特征向量是kg +k a 2 -心3, k w R , k ^ °.例6 求矩阵'5 ° °、 A = °3 -2-23丿的特征值和相应的特征向量.矩阵A 的特征多项式九一5 °f A （'-）= ° 丸一3° 2所以A 的特征值是1与5.矩阵A 的属于特征值1的特征向量是齐次线性方程组-4x^°」-2X 2 +2x 3 =0 2x 2 -2x 3 =°的非零解，即（°, k , k ）, k € C , k 工°.(413 —A)矩阵A的属于特征值5的特征向量是齐次线性方程组n 式, 课程：高等代数B n 」—B n'FnJn -B n^A 二a n l n用A n , A n4^ , A, I n 依次从右边乘(8)的第一式，第二式，…，第第n+1式，得‘B 0A n =A nB 1A n^ -B 0A^a 1A nX ^B 2A^^ -B 1A^^=a 2A^^B n 4A - B n A 2 = a n 4A -B n 4^ - n ln把(9)的n+1个式子相加，左边变成零，右边就是f (A),故 f(A)=O .例7 设A是n阶可逆矩阵，则A」二g(A)，其中g(-)是一个n —1次多项式.证设A的特征多项式为| ■ I n- A p ,n■a1-n 1■ ^a n j^;:-a n,由Hamilion-Cayley 定理，有A n- a i A n丄血a.l n =0.因为A是可逆矩阵，所以a n=(_1)n |A|=0，于是上式可化为1 nd n _2(A a〔A ・「a n_1l n )A=l n ,a n这表明A 1 n / n _2A (A ■ a〔A “ a n/l n) =g(A),a n其中，g(打=一^ (A?』+a1f +…+a n J是一个n —1次多项a n式.课外作业：P363: 1、1)、3); 2、1)、2); 4; 9.。

特征值的解法

=
a
s pp
cos 2
θ
+
2
a
s pq
cos
θ
sin θ
+
aqsq
sin2
θ
a s+1 qq
=
a
s pp
sin2
θ
+
2
a
s pq
cos
θ
sin θ
+
aqsq
cos 2
θ
( ) ( ) as+1 pq
=
aqsq
−
a
s pp
cos
θ
sin
θ
+
a
s pq
cos2 θ − sin2 θ
=
a s+1 pq
给出。如果把旋转角
用代数方法求矩阵的特征值和特征向量是极其困难的，下面介绍几种
比较有效的数值方法。
二、常用方法比较
（一）幂法
1、基本原理
幂法主要用于求矩阵的按摸最大的特征值与相应的特征向量的数
值方法。它是通过迭代产生序列，由此计算特征值和特征向量。假设
A 有 n 个线性无关的特征向量 x1, x2,L, xn ，其对应特征值为 λ1, λ2,L, λn ，且
u0 = α1x1 + α2 x2 +L + αn xn
这里假设α1 ≠ 0 ，由于 u0 随机选取，α1 = 0 的可能性很小，将上式用 A 左乘得：
同理可得：
u1 = Au0 = α1λ1x1 + α2λ2 x2 +L + αnλn xn
uk = Auk−1 = α1λ1k x1 + α2λ2k x2 + L + αnλnk xn