43多项式方法求特征值问题

4．3多项式方法求特征值问题

4.3.1 F-L 方法求多项式系数

我们知道，求n 阶方阵A 的特征值就是求代数方程 0||)(=-=I A λλϕ （4.3.1） 的根。)(λϕ称为A 的特征多项式。上式展开为

n n n n p p p ++++=--.....)(2211λλλλϕ （4.3.2） 其中n p p p ,...,21为多项式)(λϕ的系数。

从理论上讲，求A 的特征值可分为两步：

第一步 直接展开行列式|I A λ-|求出多项式)(λϕ；

第二步 求代数方程0)(=x ϕ的根，即特征值。

《

对于低阶矩阵，这种方法是可行的。但对于高阶矩阵，计算量则很大，这种方法是不适用的。这里我们介绍用F-L （Faddeev-Leverrier ）方法求特征方程（4.3.2）中多项式)(λϕ的系数。由于代数方程求根问题在第2章中已经介绍，所以本节中解决特征值问题的关键是确定矩阵A 的特征多项式)(λϕ，所以称这种方法为多项式方法求特征值问题。 记矩阵A=n n ij a ⨯)(的对角线元素之和为

nn a a a trA +++=...2211 （4.3.3） 利用递归的概念定义以下n 个矩阵:),....,2,1(n k B k =

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=-==----),(................),(...............),(),(,11112231121I p B A B I p B A B I p B A B I p B A B A B n n n k k k n n k k trB n p trB k p trB p trB p trB p 11312133221

1===== （4.3.4）

可以证明,(4.3.4)式中,,...,2,1,n k p k =即是所求A 的特征多项式)(λϕ的各系数。用（）式求矩阵的特征多项式系数的方法称为F-L 方法。相应特征方程为：

0).....()1(2211=-------n n n n n p p p λλλ （4.3.5） 而且可证矩阵A 的逆矩阵可表示为

)(1111I p B p A n n n ----=

(4.3.6)

? 例1 求矩阵

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=324202423A

的特征值与1

-A .

解 用F-L 方法求得 831800080008)(152

111242824211)(6

3242024233322322112111==⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-===⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-===⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡==trB p I p B A B trB p I p B A B trB p A B 所以A 的特征方程为

0)8156()1(233=----λλλ 此方程的根,即特征值为

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-=-=-==-214121418741214121)(11

,1,82231321I p B p A λλλ 从例1中的计算结果可知.33I p B =Faddeev 曾经证明: 对n 阶矩阵A,按(4.3.4)式计算出的n B 总有

#

I p B n n = (4.3.7)

4.3.2 特征向量求法

当矩阵A 的特征向量确定以后,将这些特征值逐个代入齐次线性程组(I A λ-)x=0中,由于系数矩阵I A λ-的秩小于矩阵I A λ-的阶数n,因此虽然有n 个方程n 个未知数,但实际上是解有n 个未知数的相互独立的r 个方程(r

在计算机中解这样的齐次线性程组,可用高斯-若当消去法,以便把一组n 个方程简化为等价的一组n-1个方程的方程组.然而,用高斯-若当消去法简化一个齐次线性程组时,方程之间不都是独立的,在消去过程中系数为零的情况较多.必需交换方程中未知数的次序,以避免主元素位置上为零的情况.因此,为了提高精度和避免零元素的可能性,我们总是用主元素措施把绝对值最大的系数放于主元素位置.

例如,假设矩阵A 为

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=142235224A 其特征方程为

λλλ

------142

235

224=0 展开后为 0)5)(2)(1(=---λλλ —

故特征值分别为

5,2,1321===λλλ

下面求特征向量，将1λ代入方程组0)(=-x I A λ中，得

⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=-+00420

2250223321321321x x x x x x x x x （4.3.8）

以-5为主元素,交换上式第一与第二个方程得

⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+=++-00420

2230225321321321x x x x x x x x x (4.3.9)

用高斯-若当消去法消去-5所在列中的1x ,并把主元素所在行调到最后,得

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=-+=-+0

525205451600

545160321321321x x x x x x x x x (4.3.10)

再以16/5为主元素,消去它所在列中的2x ,并把主元素所在的行调到最后,得

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=-+=++041002100000321321321x x x x x x x x x (4.3.11)

;

这就是用高斯若当消去法实现把一组三个方程简化为等价的一组两个独立方程的情形.因为这个等价的方程组包含两个独立的方程,而有三个未知数，所以只要假定其中一个值,则其它两个值就可以通过两个独立方程解出.比如,令13-=x ,则得到矩阵A 的对应于11=λ的一个特征向量为