2-2 标准正交基与向量的正交化

即
2
2
x y x y
因此利用内积、范数及其性质可以定义
定义x的长度为:
( x, x ) 0
x ( x, x )
范数 性质
定义x与y的距离为: d ( x , y ) x y
定义x, y的夹角θ的余弦为:
( x, y) arccos x y
CauchySchwarz不 等式知
1H H 2 [ , , , ] I n n 1 2 H n
1, i j 所以, j ( i , j ) 0, i j
H i
2.2.3 向量的正交化 Schmidt正交化过程 定理6 设 1 , 2 ,, n 欧氏(酉)空间 V 的线性无关 组,则在 V 中存在正交向量组 1 , 2 ,, n ,且
1
当( x, y) = 0时, 称x与y正交,记x⊥y.
( x, y ) 1 x y
应该注意的是 ： 在同一个线性空间中，如果定义了两个不同 的内积，得到两个不同的内积空间，则向量在这 两个内积空间的正交性不一定相同。 例1 在 P[ x]n 中，
1
定义( f ( x ), g( x ))1 1 f ( x ) g( x )dx ，形成欧氏空间V1；
2 3
2 1 3 3
都是标准正交向量组
1 [ cos , 0, i sin ]T , 2 [0,1, 0]T 3 [i sin , 0, cos ]T
2.2.2 标准正交基 定义3 设 1 , 2 ,, n 是酉(欧氏)空间的基底，且是
则称 1 , 2 ,, n是空间的标准正交基。
若 1 ,2 ,,n 是正交向量组，且它们都是单 位向量，则称其为标准正交向量组。 定理2 正交向量组是线性无关向量组 。
证明：设 1 ,2 ,,n 是正交向量组。令
k11 k22 knn
1, i j ( i , j ) 0, i j
造标准正交基； 3, 理解正交子空间及其正交补的概念；
教学内容和基本要求
4, 理解向量范数的概念；理解矩阵范数的概念，掌握算
子范数，会求常用的算子范数，并掌握矩阵范数与向量范数 的相容性； 5, 理解谱半径的概念，掌握谱半径的相关性质；
重点： 施密特正交化方法；正交子空间及其正交补；
算子范数；相容性
( 1 , 2 ) 2 2 1 ( 1 , 1 )
1 1 ,
( 1 , 3 ) ( 2 ,3 ) 3 3 1 2 ( 1 , 1 ) (2 , 2 )

( 1 , n ) ( 2 ,n ) ( n 1 , n ) n n 1 2 n 1 ( 1 , 1 ) (2 , 2 ) ( n 1 , n 1 )
（2） 不妨设 y
0 x y ( x y, x y ) ( x , x ) ( x , y ) ( y, x ) ( y, y )
取
2
2
( y, x ) ( y, y )
( x, y ) x
2
y
2
x
2
( x, y) y
* 1 , , , B , , , , , , n n n 1 2 1 2 1 2 1 0
( 1 , 3 ) ( 2 ,3 ) 3 1 2 3 ( 1 , 1 ) (2 , 2 )
, 2 , , n 1 , 2 ,, n 到标准正交基 1
的过渡矩阵，则PHP=En(PTP=En)
, 2 , , n 证明： 内积在标准正交基 1 , 2 ,, n 与 1
下的矩阵都是 E 。 又由第一节定理3知内积在不同基 下的度量矩阵是合同的。所以有
矩阵论讲义 矩阵论教程 A
哈尔滨工程大学理学院 矩阵论教学团队
Department of Mathematics, College of Sciences
课程要求
作业要求
书后要求的习题,主动自觉做,抽查和不定时收取
使用教材
《 矩阵论教程》国防工业出版社 2012
其他辅导类参考书（自选） 矩阵论网站 http://matrix.hrbeu.edu.cn/


(推论)设 1 , 2 ,, m 欧氏(酉)空间 V 的线性无关
组,则在 V 中存在标准正交向量组 1 , 2 ,, m ,且
, B 1 1 , 2 2 , , n n B m m m , n n 1 , 2m 1 , 2 , , 其中: R Cm ( Rm ) 为正线上三角阵. 1 , 2 , , n diag 1 , 2 , , n B
PHEP=En 或 (PTEP=En) 即 PHP=En (PTP=En)
注：通常称满足PHP=En的矩阵为酉矩阵。
定来自百度文库4
设 A 为一个 n 阶复矩阵，如果其满足
AH A AAH E
则称 A 是酉矩阵，一般记为 A U nn 特别地， 设 A 为一个 n 阶实矩阵，如果其满足
AT A AAT E
(2) A U
T
nn
, AB U
nn
(3)
det A 1, ( A) 1 ，其中 是A的特征值
(4) A，AT和AH的列分别构成Cn的标准正交基 证明(3)： AH A I n
det AH det A det En 1
det A det A det A 1
[1 ,2 ,, m ] [1, 2 ,, m ]R
证明
1 1 ,2 , , n 1 , 2 , , n B 2 B 1 , 2 , , n 0 n 1 i ,( i 1, 2, , n) 是V中标准正交向量组。 令 i i , R , , 1 2 n 正线上三角阵
设 是 A 的特征值,则存在 x C n ，使得 Ax x
( Ax) ( Ax) ( x) ( x) x A Ax x x
H H H H H
( A) 1
证明(4)： 设 A [1 , 2 ,, n ],由 A H A I 知:
2

( x, y) y
2
2

( y, x ) y
2
0
（ 3） x y
2
( x y, x y )
2 2 2 2
x ( x, y ) ( y, x ) y x 2 Re( x , y ) y
由Cauchy-Schwarz不等式
2 2
x y x 2 x y y ( x y )
[1 , 2 ,, m ] [1 , 2 ,, m ]B
nn nn B C ( R 其中: n n ) 为单位上三角阵.
Cnn×n 秩为n的 矩阵全体。
单位上三角阵：对角线 元素都是1的上三角阵。
证明： Schmidt正交化过程: 先把线性无关的向量组 1 , , n 化成正交向量组 1 , 2 ,, n .
则称 A 是正交矩阵，一般记为 A E n n
例3.
2 0 2 (1) 1 0 0 2 2
2 2 0 2 2
是一个正交矩阵
(2)
2 3 2 3 1 3
1 3 2 3 2 3
2 3 1 3 2 3
n j 1
ki 0
(k11 k2 2 kn n , i ) k j ( j , i ) ki ( i , i ) ki 0
例2 在 C 3 中向量组
2 1 2 3 3 3 1 2 2 3 [ , , ]T 3 3 3
1 [ , , ]T , 2 [ , , ]T
难点： 正交基及子空间的正交关系，算子范数及其与
向量范数的相容性
§2.2
标准正交基与向量的正交化
由于向量与其自身的内积满足 ( x, x ) 0 ，故可以
利用它定义向量的模（或范数），并将向量间的夹
角、正交等概念推广到一般的内积空间。 2.2.1 向量的度量性质
定义1 设V是酉(欧氏)空间，x∈V，称 x ( x, x) 为x
定理3 内积在标准正交基下的矩阵为单位阵。
证明： 1 , 2 ,, n是空间的标准正交基，内积在该组 基下的矩阵为 A (aij )nn
1, i j aij ( i , j ) 故，A=E。 0, i j
定理4 设V是酉(欧氏)空间，P是从标准正交基
第二章 内积空间与赋范线性空间
1 2
内积空间
标准正交基与向量的正交化
正交子空间 向量范数 矩阵范数
授课预计 向量范数与矩阵范数的相容性 (10学时)
3
4 5 6
教学内容和基本要求
1，熟练掌握内积的计算方法，知道度量矩阵及其基本性质， 理解内积空间的概念； 2, 理解内积空间的标准正交基，会用施密特正交化方法构
正线上三角阵：对角线元素都 * 是正数的上三角阵。
T T (1,1,0,0) , (1,0,1,0) , 例4. 把 1 2 3 ( 1,0,0,1)T 4 (1, 1, 1,1)T
变成单位正交的向量组. 解答：令 1 1 (1,1,0,0)T 正交化 ( 2 , 1 ) 1 1 2 2 1 ( , ,1,0)T ( 1 , 1 ) 2 2 1 1 1 T ( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 3 3 1 2 ( , , ,1) 3 3 3 ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 4 , 3 ) ( 4 , 1 ) ( 4 , 2 ) 4 4 1 2 3 ( 1 , 1 ) (2 , 2 ) (3 , 3 )

不难证明: 1 , 2 , m 是V中正交向量组
1 1
( 1 , 2 ) 2 1 2 ( 1 , 1 )
( 1 , n ) ( 2 ,n ) ( n 1 , n ) n 1 2 n n ( 1 , 1 ) (2 , 2 ) ( n 1 , n 1 )
是一个正交矩阵
cos (3) sin
sin 是一个正交矩阵 cos
cos (4) 0 i sin
i sin 1 0 0 cos 0
是一个酉矩阵
n 定理5 设 A, B U n，则 (1) AH A1
的长度(范数，模)。 x 1 ，则称x为单位向量。
定理1 设(x,y)是酉(欧氏)空间V的内积，则
(1)
(2)
(3)
kx k x , k C (k R)
( x, y ) x y
Cauchy-Schwarz不等式
x y x y
证明： 不妨设V为酉空间。
（1） kx ( kx , kx ) kk ( x , x ) k x （2） 不妨设 y
定义( f ( x ), g( x ))2 0 f ( x ) g( x )dx ，形成欧氏空间V2； 取元素 f ( x) x,
1
g( x) x ，则
2
则在V1中， x⊥x2； 在V2中，与x⊥x2不正交。
定义2 设V是酉(欧氏)空间, , ,, 1 2 n
是V中非零向量组，如果 1 ,2 ,,n 两两正交， 则称 1 ,2 ,,n 是正交向量组。