2-2 标准正交基与向量的正交化
向量的正交规范化
1
2 2
, ,
r 2
2
r1,r r1, r1
r 1
则 1, 2 , , r 两两正交，且与 1,2 , ,r等价.
15
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2）规范化
令
1
1
1
1,
2
1
2
2,
,
r
1
r
r ,
解 cos , 18 1
3 26 2
.
4
练习 1 1 1 1T , 1 1 1 0T , 求, .
9
三、正交向量组 1、正交
当 , 0 ，称α与β正交.
注 ① 若 0 ，则α与任何向量都正交. ② 0.
或 x1 x2 x3 0,
1 0
其基础解系为
1
0 1
,
2
11 .
19
1
1
0
令
1
11
,
2
1
0 1
,
3
2
11
.
1）正交化
1
1
令
1
四、应用举例 例1 证明：Rn 中，勾股定理 x y 2 x 2 y 2 成立
的充要条件是 x, y 正交.
解 x y 2 x y, x y x, x y, y 2 x, y x 2 y 2 2 x, y
所以 x y 2 x 2 y 2成立的充要条件是 x, y 0,
向量标准正交化
向量标准正交化在线性代数中，向量的正交化是一个非常重要的概念。
当我们处理高维空间中的向量时，经常会遇到需要将向量进行正交化的情况。
正交化可以帮助我们简化向量的运算，减少计算的复杂度，同时也有利于我们更好地理解向量之间的关系。
本文将介绍向量的标准正交化方法，帮助读者更好地理解和运用这一概念。
首先，我们来看一下什么是向量的正交化。
在数学中，两个向量如果它们的内积为0，则称这两个向量是正交的。
而如果一个向量与自身的内积等于1，则称这个向量是标准正交的。
在实际应用中，我们经常需要将一组线性无关的向量进行正交化，得到一组标准正交基。
这样做的好处在于，标准正交基可以方便我们进行向量的表示和运算，同时也有利于我们更好地理解向量空间的结构。
接下来，我们将介绍一种常用的向量标准正交化方法——施密特正交化方法。
假设我们有一组线性无关的向量{v1, v2, ..., vn}，我们希望将这组向量正交化，得到一组标准正交基{u1, u2, ..., un}。
施密特正交化的具体步骤如下：1. 初始化，令u1=v1/||v1||，其中||v1||表示向量v1的模长。
2. 递推计算：对于i=2,3,...,n，依次进行如下计算：a. 计算投影，计算向量vi在前i-1个标准正交基{u1, u2, ..., ui-1}上的投影，即pi=vi·ui-1ui-1+vi·ui-2ui-2+...+vi·u1u1。
b. 正交化，令wi=vi-pi，即wi为vi在{u1, u2, ..., ui-1}张成的子空间的正交补空间上的投影。
c. 归一化，令ui=wi/||wi||，即ui为标准正交基。
通过上述步骤，我们可以将一组线性无关的向量正交化为一组标准正交基。
这样做的好处在于，我们可以更方便地表示向量，进行向量的运算和分解，同时也有利于我们更好地理解向量空间的结构和性质。
需要注意的是，施密特正交化方法虽然能够将一组线性无关的向量正交化为一组标准正交基，但由于计算过程中涉及到向量的模长计算和除法运算，可能会引入数值误差。
2第二节 标准正交基
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因为度量矩阵是正定矩阵的，根据第五章关
于正定二次型的结果，正定矩阵合同于单位矩阵.
这说明在n维欧氏空间中存在一组基，它的度量矩
阵是单位矩阵. 由此断言
结论 在n维欧氏空间中，标准正交基是存在的. 在标准正交基下，向量的坐标可以通过内积
简单地表示出来，即
(1, )1 ( 2 , ) 2 ( n , ) n (2)
3
(1,
1,
1,
1).
返回
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第二步再单位化，便得到单位正交的向量组为
1
1 ,
2
1 , 0, 0, 2
2
1 , 6
1 ,
6
2 , 0, 6
3
1, 12
1, 12
1, 12
3 , 12
3
1 2
,
1 2
,
返回
上页 下页
对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基.
设ε1,ε2,…,εn是一组标准正交基，由定义，有
1 ,当 i j;
(i , j )
0,当i
j.
(1)
显然，(1)式完全刻画了标准正交基的性质. 换句话说
结论 一组基为标准正交基的<＝>是它的度量矩 阵为单位矩阵.
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a1, a2,…, am , β1, β2,…,βk . 成为一组正交基.
现在来看n-m=k+1的情形. 因为m<n ，所以
一定有向量β不能被a1, a2,…,am线性表出，作向量 αm+1=β-k1α1-k2α2-…-kmαm .
标准正交基
ki R 待定．
§2 标准正交基
从正交向量组的性质知
( i , m1 ) ( , i ) ki ( i , i ),
于是取
( , i ) ki , ( i , i )
i 1,2, , m .
i 1,2, , m ,
可得 ( i , m 1 ) 0 ,
( i , j ) 1 i j， 0 i j
i , j 1,2,, n
(1)
③ n 维欧氏空间V中的一组基 1 , , n 为标准正交基 当且仅当其度量矩阵 A ( i , j ) En . ④ n 维欧氏空间V中标准正交基的作用: 设 1 , , n为V的一组标准正交基，则
§2 标准正交基
例2. 在 R[ x ]4 中定义内积为
( f , g ) f ( x ) g( x )dx
1 1
求 R[ x ]4 的一组标准正交基． (由基 1, x , x 2 , x 3 出发作正交化)
2 3 1, x , x , x 解: 取 1 2 3 4
§2 标准正交基
3
3 x i y j z k , x i y j z k R 设 1 1 1 2 2 2 ① 从 ( , i ) x1 , ( , j ) y1 , ( , k ) z1 得 ( , i ) i ( , j ) j ( , k ) k
2 再单位化得标准正交向量组 1 ,2 ,,m .
i
1 | i |
i , i 1,2,, m
§2 标准正交基
例1. 把 1 (1,1,0,0), 2 (1,0,1,0),
标准正交向量
标准正交向量在数学和物理学中，正交向量是指两个向量之间的夹角为90度的向量。
在三维空间中，我们可以通过正交向量来描述物体的位置、方向和运动，因此对于正交向量的理解和运用具有重要的意义。
首先，我们来看一下正交向量的定义。
设有两个向量a和b，如果它们满足a·b=0，那么我们就称这两个向量是正交的。
其中，a·b表示向量a和向量b的点积，也称为内积。
点积的定义是，对于向量a=(a1,a2,a3)和向量b=(b1,b2,b3)，它们的点积a·b=a1b1+a2b2+a3b3。
如果a·b=0，则表示向量a和向量b垂直，即它们之间的夹角为90度，这就是正交向量的定义。
正交向量在实际中有着广泛的应用。
在几何学中，我们可以利用正交向量来求解平面和直线的交点，或者求解两条直线的夹角。
在物理学中，正交向量可以用来描述物体的受力情况，以及物体在空间中的运动轨迹。
在工程学中，正交向量也常常用于建立坐标系，描述物体的位置和方向，从而进行精确的测量和定位。
除此之外，正交向量还有着许多重要的性质和应用。
例如，正交向量的集合是线性无关的，这意味着它们可以作为一组基向量，可以用来表示任意向量空间中的向量。
这对于矩阵运算和线性代数的理论研究具有重要的意义。
此外，在信号处理和图像处理领域，正交向量也被广泛应用，例如在压缩算法和滤波器设计中起着重要的作用。
在实际问题中，我们常常需要求解一组正交向量。
一种常见的方法是利用正交化过程，将给定的向量组转化为一组正交向量。
正交化过程可以通过施密特正交化方法来实现，这是一种基于向量投影的算法，可以将任意向量组转化为一组正交向量组。
通过正交化过程，我们可以得到一组标准正交向量，它们不仅互相正交，而且彼此长度为1，这样的向量组被称为标准正交基。
总之，正交向量作为数学和物理学中的重要概念，具有广泛的应用价值。
通过对正交向量的理解和运用，我们可以更好地描述和解决实际问题，同时也可以深化对向量空间和线性代数理论的理解。
规范正交化
规范正交化正交化是数学中常用的一个概念，用于描述向量空间中向量之间的相互关系。
在实际应用中，正交化有助于简化计算、提高计算精度和减少冗余信息。
本文将介绍正交化的概念、常用的正交化方法以及其在不同领域中的应用。
一、正交化的概念正交化是指将非正交向量集合转化为正交向量集合的过程。
在向量空间中，正交向量具有特殊的相互关系，即两两之间的夹角为90度，且长度可以不同。
正交化的目标是使得向量集合中的每个向量都与其他向量正交。
二、常用的正交化方法1. 施密特正交化方法（Gram-Schmidt Orthogonalization）该方法是最常用的正交化方法之一，对于一个非正交向量集合{v1, v2, ..., vn}，依次求取正交向量集合的方法如下：a) 设v1为原始向量集合中的第一个向量，令u1 = v1；b) 对于第k（k > 1）个向量vk，计算其在前k-1个向量的张成空间中的投影，得到正交向量uk；c) 将uk标准化，得到单位正交向量ek = (1/||uk||) * uk。
2. QR分解QR分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的过程。
在QR分解中，正交矩阵Q的列向量即为原始矩阵的正交向量集合。
QR分解可以通过多种方法实现，如Gram-Schmidt算法、Givens变换、Householder变换等。
3. 奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）SVD是矩阵分解的一种方法，将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积：A = UΣV^T，其中U和V是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵。
在SVD中，U的列向量和V的行向量即为原始矩阵的正交向量集合。
三、正交化的应用正交化在许多领域中都有广泛的应用，以下是一些常见的应用示例。
1. 数据压缩正交化可以用于数据压缩的过程中，通过去除非正交向量的冗余信息，从而减小数据大小。
例如，在图像压缩中，正交化可以用于将图像的原始数据转化为正交基下的表示，从而减小图像数据的维度。
第二章 内积空间
第二章 内积空间在以前学习的线性代数中，我们知道在n R 中向量的长度、夹角和正交等性质是用内积刻划的，在本章中将内积的概念推广到一般线性空间，从而讨论一般线性空间中向量的度量性质。
定义了内积的线性空间称为内积空间，常用的内积空间有欧氏空间与酉空间。
§2.1欧氏空间与酉空间一、欧氏空间与酉空间定义1 设V 是R 上的线性空间，如果V 中每对向量,x y ，按某一对应法则都有唯一确定的实数(,)x y 与之对应且满足： ),(),(.1x y y x =),(),(.2y x y x λ=λ，λ∀∈R ),(),(),(.3z y z x z y x +=+，z V ∀∈0),(.4≥x x 等号成立当且仅当x θ=则称(,)x y 为V 的内积。
称定义了上述内积的有限维线性空间()V R 为欧几里得空间，简称欧氏空间，称21),(x x x =为x 的长度或模。
例1 在[]n P x 中定义10((),())()()f x g x f x g x dx =⎰，(),()[]n f x g x P x ∈，则[]nP x 构成一个欧氏空间。
例2 在n n ⨯R 中对,n n A B ⨯∀∈R 定义T (,)tr()A B AB =,则n n ⨯R 为欧氏空间。
证明 因为,,,n n A B C λ⨯∀∈∈R R（1） T T T T (,)tr tr[()]tr (,)A B AB AB BA B A ==== （2） T T (,)tr tr (,)A B AB AB A B λλλλ===（3） T T T (,)tr[()]tr[](,)(,)A B C A B C AC BC A C B C +=+=+=+（4） 211(,)tr()0n nTijj i A A AA a ====≥∑∑ 等号当且仅当A θ=成立 故n n ⨯R 为欧氏空间。
例3 ,n x y ∀∈R 定义T (,)x y x y =，则n R 是n 维欧氏空间。
向量空间的正交化_图文_图文
在空间 中，若一组基
满足标准正交
向量组的条件，即
则称
为标准正交基。
例如 是 中的一组标准正交基，而 中的自然基
也是标准正交基。 设
三、Schmidt正交化方法
空间中的线性无关 向量组。 （当r=n时，就是Rn空间里的一组基）
但是，这组向量组不定是（标准）正交向量组； （当r=n时，这组向量组不定是（标准）正交基） 下述方法称为Schmidt正交化方法，它是把线性无关向量组， 转变为正交向量组的方法。
长度不为1，则可取
称 为与
同向的单位向量， 从
的过程也称为
向量的单位化。
定义3
，则称向量 正交。 零向量与任何向量都正交。
例1 求与 解：设
都正交的单位向量。
与
都正交
则
对系数矩阵A作初等行变换
所以 再单位化得
为所求向量。
二 向量的正交性
设一个向量组
，若它们两两正交，
称这个向量组为正交向量组。 又若每一个向量
所得向量组是正交向量Fra bibliotek。当时，Schmidt 正交化方法就可以将一组基
化为正交基
然后单位化：
则
书例2
即为标准正交基。
四、 正交矩阵
定义 设A是n阶的实矩阵，若 A是正交矩阵。 正交矩阵的性质：若A为正交阵，则
，则称
（1） （2）
（3） 也为正交阵 （4）若A，B为正交阵，则AB也为正交阵
向量空间的正交化_图文_图文.ppt
一 向量的内积 定义1 对n 维向量空间 中的向量
定义 中内积
为
注：
当
到实数集R的函数，
上述定义中给出的内积满足： （1）交换性： （2）线性性：
标准正交化公式
标准正交化公式标准正交化是线性代数中一个重要的概念，它在向量空间的正交基和正交矩阵的计算中起着关键作用。
在实际应用中，我们常常需要将一组线性无关的向量转化为一组标准正交基，以便于进行计算和分析。
本文将介绍标准正交化的基本概念和公式，帮助读者更好地理解和运用这一重要的数学工具。
一、Gram-Schmidt正交化方法。
Gram-Schmidt正交化方法是一种常用的标准正交化方法，它可以将任意一组线性无关的向量转化为一组标准正交基。
设有向量组{v1,v2,...,vn}，其中vi≠0，1≤i≤n，要求得一组标准正交基{u1,u2,...,un}，满足Span{v1,v2,...,vi}=Span{u1,u2,...,ui}，1≤i≤n。
具体的Gram-Schmidt正交化方法如下：1. 取u1=v1/‖v1‖，其中‖v1‖表示向量v1的模长。
2. 对于i=2,3,...,n，依次计算。
u'i=vi-Σ(j=1)^(i-1)(vi·uj)uj。
ui=u'i/‖u'i‖。
其中vi·uj表示向量vi和向量uj的内积，Σ表示求和运算。
经过上述计算，我们可以得到一组标准正交基{u1,u2,...,un}，满足Span{v1,v2,...,vi}=Span{u1,u2,...,ui}，1≤i≤n。
二、标准正交化公式。
在Gram-Schmidt正交化方法的基础上，我们可以得到一组标准正交化公式，用于计算一组线性无关向量的标准正交基。
假设有n个线性无关向量{v1,v2,...,vn}，我们可以使用以下公式进行标准正交化计算：1. 计算u1=v1/‖v1‖。
2. 对于i=2,3,...,n，依次计算。
u'i=vi-Σ(j=1)^(i-1)(vi·uj)uj。
ui=u'i/‖u'i‖。
通过上述公式，我们可以将任意一组线性无关向量{v1,v2,...,vn}转化为一组标准正交基{u1,u2,...,un}，满足Span{v1,v2,...,vi}=Span{u1,u2,...,ui}，1≤i≤n。
2向量的正交规范化
2
一、内积的定义与性质 内积的定义与性质
a1 b1 1、定义 a b α = 2 , β = 2 , 称实数 设ｎ维实向量 M M an bn a1b1 + a2b2 + L + anbn 为向量α与β的内积，记作[α , β ] . 内积，
22
2、正交矩阵的充要条件 的列向量是规范正交组. ① Ａ的列向量是规范正交组. 的行向量是规范正交组. ② Ａ的行向量是规范正交组. 个列（ 注 正交矩阵Ａ的ｎ个列（行）向量构成向量空间R n 的一个规范正交基. 的一个规范正交基.
23
3、正交变换 若Ｐ为正交矩阵，则ｙ=Ｐｘ线性变换称为正交变换. 为正交矩阵， 线性变换称为正交变换. 正交变换 正交变换， 设ｙ=Ｐｘ为正交变换，则有
20
1 1 −1 1 1 1 1 1 ,ζ2 = 0 , ζ3 = 2 . 令 ζ i = β βi , ζ 1 = 3 2 2 6 i 1 −1 −1
2）规范化
21
五、正交矩阵和正交变换
等价. 两两正交， 则 β 1 , β 2 ,L , β r 两两正交，且与 α1 ,α 2 ,L ,α r 等价.
15
2）规范化 令ζ 2 =
1
β2
β2 , L , ζ r =
1
βr
βr ,
的一个规范正交向量组. 就得到Ｖ的一个规范正交向量组. 的一组基， 如果 α1 ,α 2 ,L ,α r 是Ｖ的一组基，则ζ 1 , ζ 2 ,L , ζ r 就是
16
四、应用举例 例1 证明： 证明：R 中，勾股定理 x + y = x + y
向量空间中的正交分解和选取正交基
向量空间中的正交分解和选取正交基在数学中，向量空间是一个非常基础的概念，它是一组向量和对这些向量进行加法和数乘运算所形成的集合。
对于一个向量空间，它的性质和性质的推导通常都和基向量有关系。
正交基是一种特殊的基向量，在向量空间中有着重要且应用广泛的意义。
本文将会介绍向量空间中的正交分解和选取正交基的概念与相关应用。
正交分解的概念一个向量空间中的任何向量都可以表示为一些基向量的线性组合。
即任何向量 $\mathbf{v}$ 可以表示为：$$\mathbf{v} = c_1\mathbf{v_1} + c_2\mathbf{v_2} + \cdots +c_n\mathbf{v_n}$$其中 $c_i$ 是标量，$\mathbf{v_i}$ 是基向量。
如果基向量与自身不同，则它们必须线性无关。
对于具有内积的向量空间，我们可以将这些基向量选取为正交基，即：$$\langle \mathbf{v_i},\mathbf{v_j}\rangle = \begin{cases}1&\text{if }i=j\\ 0& \text{if }i\neq j\end{cases}$$当一个向量空间有正交基时，我们可以通过计算线性系数来求解任意向量 $\mathbf{v}$ 在这组基下的坐标：$$c_i = \frac{\langle \mathbf{v},\mathbf{v_i}\rangle}{\langle\mathbf{v_i},\mathbf{v_i}\rangle}$$利用这个公式，就可以将任意向量在正交基下的表示求出来。
如果我们将上面的公式代入到向量的线性组合公式中，可以得到一个被称为正交分解的式子：$$\mathbf{v} = \sum_{i=1}^n\frac{\langle\mathbf{v},\mathbf{v_i}\rangle}{\langle\mathbf{v_i},\mathbf{v_i}\rangle}\mathbf{v_i}$$正交分解是一种分解向量的方式，它将一个向量分解为其在不同方向上的投影之和。
向量标准正交化
向量标准正交化在线性代数中，向量的正交化是一个非常重要的概念。
正交化可以将一个向量组变换成一个标准正交基，这对于解决许多实际问题非常有用。
本文将介绍向量标准正交化的方法和原理。
首先，我们来看一下什么是标准正交基。
在n维欧几里得空间中，如果存在n个两两正交的非零向量，且每个向量的模长为1，则这n个向量构成了一个标准正交基。
标准正交基在数学和物理中有着广泛的应用，它可以简化向量的表示和运算，也方便了对向量空间的理解。
接下来，我们介绍一种常用的向量标准正交化的方法——施密特正交化。
给定n维空间中的一组线性无关的向量组{v1,v2,...,vn}，我们希望构造一个标准正交基{u1,u2,...,un}，使得它们张成同一个子空间。
施密特正交化的思想就是通过逐步构造正交基的方式来实现这一目标。
具体来说，施密特正交化的过程如下：1. 取第一个向量v1，令u1=v1/||v1||，其中||v1||表示v1的模长。
2. 对于第i个向量vi，我们依次执行以下步骤：a. 计算vi在前i-1个向量u1,u2,...,ui-1张成的子空间中的投影，记为proj(vi,u1),proj(vi,u2),...,proj(vi,ui-1)。
b. 令ui=vi-proj(vi,u1)-proj(vi,u2)-...-proj(vi,ui-1)，然后令ui=ui/||ui||。
3. 重复步骤2，直到处理完所有的向量。
经过施密特正交化，我们就可以得到一组标准正交基{u1,u2,...,un}，它们与原向量组{v1,v2,...,vn}张成同一个子空间。
这样的基在许多应用中都非常有用，比如在信号处理、图像处理、数值计算等领域都有着广泛的应用。
施密特正交化的过程可以通过矩阵运算来实现，这样可以提高计算的效率。
在实际应用中，我们可以利用一些数值计算软件来进行施密特正交化，比如MATLAB、Python中的NumPy库等。
总之，向量的标准正交化是线性代数中的一个重要概念，它可以帮助我们理解向量空间的结构，简化向量的表示和运算。
怎么求标准正交基
怎么求标准正交基首先，我们需要了解标准正交基的定义。
在一个内积空间中，如果向量集合中的向量两两正交且归一化，即它们之间的内积为0且它们的模为1，那么这个向量集合就是标准正交基。
接下来，我们来介绍一种求解标准正交基的常用方法——施密特正交化方法。
假设我们有一个线性无关的向量组{v1, v2, ..., vn}，我们可以通过施密特正交化方法将它们变换成一个标准正交基。
首先，我们取向量组中的第一个向量v1，对它进行归一化处理，即得到第一个标准正交基e1。
然后，我们取向量v2，将它在e1上的投影减去，得到一个新的向量，然后对这个新的向量进行归一化处理，得到第二个标准正交基e2。
依此类推，对于向量组中的每一个向量，都可以通过这种方法得到一个标准正交基。
施密特正交化方法的关键在于对向量的投影和归一化处理，通过这种方法，我们可以将任意线性无关的向量组变换成一个标准正交基。
除了施密特正交化方法，我们还可以通过矩阵的特征值分解来求解标准正交基。
对于一个对称矩阵，我们可以通过特征值分解得到它的特征向量，然后对特征向量进行归一化处理，就可以得到一个标准正交基。
此外，还有其他一些特殊情况下的求解方法，比如利用奇异值分解、Gram-Schmidt方法等。
不同的方法适用于不同的情况，我们需要根据具体的问题来选择合适的方法。
总的来说，求解标准正交基是线性代数中的一个重要问题，通过施密特正交化方法、特征值分解等方法，我们可以比较容易地求解标准正交基。
在实际应用中，我们需要根据具体的问题来选择合适的方法，以便更加高效地求解标准正交基。
希望本文对你有所帮助，谢谢阅读！。
向量的正交标准正交基
由单位向量构成的正交基称为标准正交基.
注：
① 由正交基的每个向量单位化，可得到一组标准
正交基.
② n 维欧氏(酉)空间V中的一组基 1, , n 为标准正交基
(i , j )
1 0
i i
jj，
i, j 1,2, , n (1)
Department of Mathematics
m
(k11 k22 k mm ,i ) k j ( j ,i ) ki (i ,i ) j1
0 ki 0
即 1,2,,m 线性无关,所以,是线性无关组
Department of Mathematics
定义5：（正交与标准正交基的定义）
n 维欧氏(酉)空间中，由n 个向量构成的正交向
有 ( ,1 )1 ( , 2 ) 2 ( , n ) n n
(ii) ( , ) x1 y1 x2 y2 xn yn xi yi
i 1
这里
x11 x2 2
xn
，
n
y11 y2 2 yn n .
证明:因为
1 i j
aij ( i , j ) ij 0 i j , A {aij }nn In
酉矩阵与正交矩阵的性质：
设 A, B U nn ，那么 1, AH A1 2, AT U nn 3, AB U nn 1 4, det A 1
证明4 :
AH A In det AH det A det In 1 det A det A 1, det A 1
Department of Mathematics
2
m
m
(1,m ) (1, 1 )
1
(2,m ) (2 , 2 )
第四章1欧几里得空间的定义与基本性质2标准正交基与正交变换
3. 以这些向量为列构成正交矩阵 P (1,2 , ,n ),
有 P 1 AP diag(l1, ,l1, ,ls , ls ).
3 2 4
例： 设
A
2 4
0 2
2 3
求正交矩阵 P ，使得 P 1 AP 为对角阵。
14
性质: (1)若 A为正交矩阵，则 | A |=±1.
(2)实矩阵 A 为正交矩阵的充要条件为 A1 A . (3)实矩阵 A为正交矩阵的充要条件是：
A的行(列)向量组为两两正交的单位向量组。
例: 设 A 为三阶非零实方阵, 且 aij = Aij , 其中Aij 是 aij 的代数余子式, i , j = 1, 2, 3. 证明 : |A| = 1, 且 A 是正交矩阵.
1
得基础解系
p1
2 0
,
0
p2
2 1
.
21
先正交化：
1
b1
p1
2 0
,
0 1 4
b2
p2
[b1 , [b1 ,
p2 ] b1 ]
b1
2 1
4 5
2 0
1 5
2 5
再单位化：
1
1
1 5
2 0
,
4
2
1 35
2 5
22
当 l3 8 时，齐次线性方程组为 A 8E x 0
a
2 n
称 || α || 为向量 α 的长度（模或范数）。
特别地，当 || || 1 时，称 α 为单位向量。
由α
(≠
0)求出单位向量
||
||
标准正交基与Schmidt正交化方法
思考题
解:
1 =1;
5 2 (1, 1, 1); 3
( 1 , 3 ) ( 2 , 3 ) 3 3 1 2 ( 1 , 1 ) (2 , 2 )
25 10 = (0, 5, 0) (1, 2, 1) 3 (1, 1, 1) 6 5
10 5 5 5 5 5 = (0 , 5 , 0 ) 3 3 3 3 3 3
1 2 ) ( 1 2 ) 0.
( 3 , 4 )
1 2
1 2
(
由定理2.1, 1, 2, 3, 4 线性无关, 即为正交规范基.
9
定理
任何一个非零向量空间 V 都存在正交规范基, 且若
1, …, r 为V 的一个基, 则可通过1, …, r 构造出
一个正交规范基.
x, y x, y;
( 2)
( 3)
x y, z x, z y, z ;
(4)[ x , x ] 0, 且当x 0时有[ x , x ] 0.
3
向量的长度及性质
定义2 令
x
x, x
2 2 2 x1 x2 xn ,
14
定义:
设A是n阶实矩阵,如果A满足
A A AA E
T T
则称A是正交矩阵,简称正交阵. 定理: n阶实矩阵A是正交阵的充要条件是A的行(或列)向量组 为Rn 的一组标准正交基.
15
例 设1= (1,2,1), 2= (1,3,1), 3= (0,5,0), 试将其正交 规范化.
= 0.
16
1, 2, 3 两两正交, 但不能规范化.
原因?
1= (1,2,1) 2= (1,3,1)3 线性相关.
矩阵正交化计算过程
矩阵正交化计算过程矩阵正交化是将一个线性无关的向量组变成一个正交的向量组的过程，通俗地说，就是通过计算，将一个向量组中的每个向量都变成垂直于其他向量的向量，让它们之间没有任何关系。
具体的计算过程如下：假设存在一个向量组$\{\textbf{a}_1,\textbf{a}_2,\dots,\textbf{a}_n\}$，我们需要将它正交化。
1. 对第一个向量$\textbf{a}_1$做单位化处理，即令$\textbf{q}_1=\frac{\textbf{a}_1}{||\textbf{a}_1||}$，这里的$||\textbf{a}_1||$表示向量$\textbf{a}_1$的模长。
2. 对于第$i$个向量$\textbf{a}_i(i>1)$，做如下处理：令$$\textbf{v}_i=\textbf{a}_i-\sum\limits_{j=1}^{i-1}(\textbf{q}_j^T\textbf{a}_i)\textbf{q}_j$$这里的$\textbf{q}_j^T$表示向量$\textbf{q}_j$的转置，即将它变成一个行向量。
这一步的目的是将向量$\textbf{a}_i$在已有的标准正交基$\{\textbf{q}_1,\textbf{q}_2,\dots,\textbf{q}_{i-1}\}$上的投影去掉，使得向量$\textbf{v}_i$与这些向量都垂直（即它们的内积为0）。
3. 对向量$\textbf{v}_i$做单位化处理，即令$\textbf{q}_i=\frac{\textbf{v}_i}{||\textbf{v}_i||}$。
4. 重复步骤2和3，直到处理完所有的向量为止。
最终得到的向量组$\{\textbf{q}_1,\textbf{q}_2,\dots,\textbf{q}_n\}$就是一个正交的向量组，它们满足以下两个性质：1. 任意两个向量都正交，即它们的内积为0。
什么是标准正交向量
什么是标准正交向量标准正交向量是线性代数中的一个重要概念，它在向量空间中起着至关重要的作用。
在介绍标准正交向量之前，我们先来了解一下什么是向量以及向量的线性运算。
向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示。
在数学中，向量可以表示为n 维空间中的一个点，也可以表示为一组有序数。
向量的线性运算包括加法和数乘两种运算。
向量的加法是指两个向量相加得到一个新的向量，而数乘是指一个向量乘以一个数得到一个新的向量。
接下来，我们来介绍标准正交向量。
在n维实内积空间中，如果n个非零向量两两正交且归一化，则它们互相称为标准正交向量组。
其中，正交是指两个向量的内积为0，归一化是指向量的模长为1。
对于标准正交向量组来说，任意两个向量的内积为0，且每个向量的模长为1。
标准正交向量的性质非常重要。
首先，标准正交向量组是线性无关的，这意味着任意一个向量都不能表示成其余向量的线性组合。
其次，标准正交向量组的向量可以通过Gram-Schmidt正交化方法得到，这是一种将线性无关的向量组转化为标准正交向量组的方法。
最后，标准正交向量组在解决线性方程组、最小二乘法、信号处理等领域有着广泛的应用。
在实际应用中，标准正交向量组可以用来构建正交基，从而方便地描述向量空间中的向量。
正交基是指一个向量空间中的基，其中任意两个基向量都是正交的，并且每个基向量的模长都为1。
通过构建正交基，我们可以更加简洁地表达向量空间中的向量，并且可以方便地进行向量的正交分解和投影运算。
总之，标准正交向量在线性代数中具有重要的地位，它们的性质和应用都是非常值得深入研究和探讨的。
通过学习和理解标准正交向量，我们可以更好地理解向量空间的结构，更加高效地解决实际问题。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解和运用标准正交向量的概念。
标准正交化公式
标准正交化公式标准正交化是线性代数中一个非常重要的概念，它可以将线性空间中的一组基转化为一组正交基，从而简化向量空间的运算。
在实际应用中，标准正交化可以有效地提高计算效率，减少误差的累积，是很多领域中不可或缺的工具之一。
本文将介绍标准正交化的基本概念和相关公式，希望能够帮助读者更好地理解和应用这一重要的数学工具。
在线性代数中，我们经常需要处理一组基向量，这些基向量可能不是正交的，也不是单位向量。
为了简化计算，我们希望将这组基向量转化为一组正交的单位向量。
这就是标准正交化的基本目标。
设有线性空间中的一组基向量{v1, v2, ..., vn}，我们希期将其转化为一组正交的单位向量{u1, u2, ..., un}。
标准正交化的过程可以通过施密特正交化方法来实现。
施密特正交化的基本思想是，从第一个向量开始，依次将后面的向量减去其在前面向量上的投影，然后对结果进行标准化，得到正交的单位向量。
具体来说，设有线性空间中的一组基向量{v1, v2, ..., vn}，施密特正交化的过程如下：1. 选取第一个向量v1作为u1，即u1=v1/||v1||，其中||v1||表示向量v1的模长。
2. 对于第i个向量vi，i=2,3,...,n，依次进行如下操作：a) 将vi在前面的正交基{u1, u2, ..., ui-1}上的投影减去，得到vi' = vi (vi·u1)u1 (vi·u2)u2 ... (vi·ui-1)ui-1。
b) 对vi'进行标准化，得到单位向量ui，即ui =vi'/||vi'||，其中||vi'||表示向量vi'的模长。
经过上述过程，我们就可以得到一组正交的单位向量{u1,u2, ..., un}，它们可以作为线性空间的一组正交基。
施密特正交化方法可以用矩阵运算来表示。
设有矩阵A=[v1,v2, ..., vn]，其中vi为列向量，施密特正交化的过程可以表示为：1. 计算矩阵A的转置矩阵AT。
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ki 0
(k11 k2 2 kn n , i ) k j ( j , i ) ki ( i , i ) ki 0
例2 在 C 3 中向量组
2 1 2 3 3 3 1 2 2 3 [ , , ]T 3 3 3
1 [ , , ]T , 2 [ , , ]T
定理3 内积在标准正交基下的矩阵为单位阵。
证明： 1 , 2 ,, n是空间的标准正交基，内积在该组 基下的矩阵为 A (aij )nn
1, i j aij ( i , j ) 故，A=E。 0, i j
定理4 设V是酉(欧氏)空间，P是从标准正交基
矩阵论讲义 矩阵论教程 A
哈尔滨工程大学理学院 矩阵论教学团队
Department of Mathematics, College of Sciences
课程要求
作业要求
书后要求的习题,主动自觉做,抽查和不定时收取
使用教材
《 矩阵论教程》国防工业出版社 2012
其他辅导类参考书（自选） 矩阵论网站 /
[1 ,2 ,, m ] [1, 2 ,, m ]R
证明
1 1 ,2 , , n 1 , 2 , , n B 2 B 1 , 2 , , n 0 n 1 i ,( i 1, 2, , n) 是V中标准正交向量组。 令 i i , R , , 1 2 n 正线上三角阵
2
( x, y) y
2
2
( y, x ) y
2
0
（ 3） x y
2
( x y, x y )
2 2 2 2
x ( x, y ) ( y, x ) y x 2 Re( x , y ) y
由Cauchy-Schwarz不等式
2 2
x y x 2 x y y ( x y )
2 3
2 1 3 3
都是标准正交向量组
1 [ cos , 0, i sin ]T , 2 [0,1, 0]T 3 [i sin , 0, cos ]T
2.2.2 标准正交基 定义3 设 1 , 2 ,, n 是酉(欧氏)空间的基底，且是
则称 1 , 2 ,, n是空间的标准正交基。
不难证明: 1 , 2 , m 是V中正交向量组
1 1
( 1 , 2 ) 2 1 2 ( 1 , 1 )
( 1 , n ) ( 2 ,n ) ( n 1 , n ) n 1 2 n n ( 1 , 1 ) (2 , 2 ) ( n 1 , n 1 )
(2) A U
T
nn
, AB U
nn
(3)
Hale Waihona Puke det A 1, ( A) 1 ，其中 是A的特征值
(4) A，AT和AH的列分别构成Cn的标准正交基 证明(3)： AH A I n
det AH det A det En 1
det A det A det A 1
（2） 不妨设 y
0 x y ( x y, x y ) ( x , x ) ( x , y ) ( y, x ) ( y, y )
取
2
2
( y, x ) ( y, y )
( x, y ) x
2
y
2
x
2
( x, y) y
设 是 A 的特征值,则存在 x C n ，使得 Ax x
( Ax) ( Ax) ( x) ( x) x A Ax x x
H H H H H
( A) 1
证明(4)： 设 A [1 , 2 ,, n ],由 A H A I 知:
( 1 , 2 ) 2 2 1 ( 1 , 1 )
1 1 ,
( 1 , 3 ) ( 2 ,3 ) 3 3 1 2 ( 1 , 1 ) (2 , 2 )
( 1 , n ) ( 2 ,n ) ( n 1 , n ) n n 1 2 n 1 ( 1 , 1 ) (2 , 2 ) ( n 1 , n 1 )
造标准正交基； 3, 理解正交子空间及其正交补的概念；
教学内容和基本要求
4, 理解向量范数的概念；理解矩阵范数的概念，掌握算
子范数，会求常用的算子范数，并掌握矩阵范数与向量范数 的相容性； 5, 理解谱半径的概念，掌握谱半径的相关性质；
重点： 施密特正交化方法；正交子空间及其正交补；
算子范数；相容性
定义( f ( x ), g( x ))2 0 f ( x ) g( x )dx ，形成欧氏空间V2； 取元素 f ( x) x,
1
g( x) x ，则
2
则在V1中， x⊥x2； 在V2中，与x⊥x2不正交。
定义2 设V是酉(欧氏)空间, , ,, 1 2 n
是V中非零向量组，如果 1 ,2 ,,n 两两正交， 则称 1 ,2 ,,n 是正交向量组。
1
当( x, y) = 0时, 称x与y正交,记x⊥y.
( x, y ) 1 x y
应该注意的是 ： 在同一个线性空间中，如果定义了两个不同 的内积，得到两个不同的内积空间，则向量在这 两个内积空间的正交性不一定相同。 例1 在 P[ x]n 中，
1
定义( f ( x ), g( x ))1 1 f ( x ) g( x )dx ，形成欧氏空间V1；
第二章 内积空间与赋范线性空间
1 2
内积空间
标准正交基与向量的正交化
正交子空间 向量范数 矩阵范数
授课预计 向量范数与矩阵范数的相容性 (10学时)
3
4 5 6
教学内容和基本要求
1，熟练掌握内积的计算方法，知道度量矩阵及其基本性质， 理解内积空间的概念； 2, 理解内积空间的标准正交基，会用施密特正交化方法构
难点： 正交基及子空间的正交关系，算子范数及其与
向量范数的相容性
§2.2
标准正交基与向量的正交化
由于向量与其自身的内积满足 ( x, x ) 0 ，故可以
利用它定义向量的模（或范数），并将向量间的夹
角、正交等概念推广到一般的内积空间。 2.2.1 向量的度量性质
定义1 设V是酉(欧氏)空间，x∈V，称 x ( x, x) 为x
, 2 , , n 1 , 2 ,, n 到标准正交基 1
的过渡矩阵，则PHP=En(PTP=En)
, 2 , , n 证明： 内积在标准正交基 1 , 2 ,, n 与 1
下的矩阵都是 E 。 又由第一节定理3知内积在不同基 下的度量矩阵是合同的。所以有
是一个正交矩阵
cos (3) sin
sin 是一个正交矩阵 cos
cos (4) 0 i sin
i sin 1 0 0 cos 0
是一个酉矩阵
n 定理5 设 A, B U n，则 (1) AH A1
正线上三角阵：对角线元素都 * 是正数的上三角阵。
T T (1,1,0,0) , (1,0,1,0) , 例4. 把 1 2 3 ( 1,0,0,1)T 4 (1, 1, 1,1)T
变成单位正交的向量组. 解答：令 1 1 (1,1,0,0)T 正交化 ( 2 , 1 ) 1 1 2 2 1 ( , ,1,0)T ( 1 , 1 ) 2 2 1 1 1 T ( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 3 3 1 2 ( , , ,1) 3 3 3 ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 4 , 3 ) ( 4 , 1 ) ( 4 , 2 ) 4 4 1 2 3 ( 1 , 1 ) (2 , 2 ) (3 , 3 )
即
2
2
x y x y
因此利用内积、范数及其性质可以定义
定义x的长度为:
( x, x ) 0
x ( x, x )
范数 性质
定义x与y的距离为: d ( x , y ) x y
定义x, y的夹角θ的余弦为:
( x, y) arccos x y
CauchySchwarz不 等式知
* 1 , , , B , , , , , , n n n 1 2 1 2 1 2 1 0
( 1 , 3 ) ( 2 ,3 ) 3 1 2 3 ( 1 , 1 ) (2 , 2 )
[1 , 2 ,, m ] [1 , 2 ,, m ]B
nn nn B C ( R 其中: n n ) 为单位上三角阵.
Cnn×n 秩为n的 矩阵全体。
单位上三角阵：对角线 元素都是1的上三角阵。
证明： Schmidt正交化过程: 先把线性无关的向量组 1 , , n 化成正交向量组 1 , 2 ,, n .
PHEP=En 或 (PTEP=En) 即 PHP=En (PTP=En)
注：通常称满足PHP=En的矩阵为酉矩阵。
定义4
设 A 为一个 n 阶复矩阵，如果其满足
AH A AAH E
则称 A 是酉矩阵，一般记为 A U nn 特别地， 设 A 为一个 n 阶实矩阵，如果其满足
AT A AAT E
若 1 ,2 ,,n 是正交向量组，且它们都是单 位向量，则称其为标准正交向量组。 定理2 正交向量组是线性无关向量组 。