14年高考数学限时训练 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 [含答案解析]

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2014高考数学全程特训1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

2014高考数学全程特训：第一章集合与常用逻辑用语第3课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1. “x>0”是“x≠0”的________条件．答案：充分而不必要解析：对于“x>0”x ≠0”；反之不一定成立，因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件．2. 已知命题p ： n ∈N ，2n ＞1000，则綈p 为__________．答案：n ∈N ，2n ≤10003. 命题“x ∈R ，使得xsinx －1≤0”的否定是____________．答案：x ∈R ，使得xsin x －1>0解析：直接改写，原命题的否定为“x ∈R ，使得xsin x －1>0”．4. 已知a 、b 、c 是非零实数，则“a、b 、c 成等比数列”是“b＝ac ”的________(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分又不必要”)条件．答案：必要不充分解析：若非零实数a 、b 、c 成等比数列，则b 2＝ac ，即b ＝±ac ，∴ 非零实数a 、b 、c成等比数列是b ＝ac 的必要不充分条件．5. 已知命题p ：若实数x 、y 满足x 2＋y 2＝0，则x 、y 全为零．命题q ：若a>b ，则1a <1b.给出下列四个复合命题：①p 且q ；②p 或q ；③非p ；④非q.其中真命题是________．(填序号)答案：②④解析：命题p 为真命题．若a ＝2>b ＝－1，而1a ＝12>1b＝－1，命题q 为假命题．由真值表可知， p 或q 、非q 为真命题．6. 已知a 、b 、c 、d 为实数，且c>d.则“a>b”是“a－c>b －d”的________条件．答案：必要而不充分解析：显然充分性不成立．又若a －c>b －d 和c>d 都成立，则同向不等式相加得a>b ，即由“a－c>b －d” “a >b”．7. “a ≥18”是“对x 是正实数，2x ＋a x≥c ”的充要条件，则实数c ＝________．答案：1解析：若c<0，则a≥0，不符合题意；若c>0，a x≥c －2x ，根据x 是正数，有a≥cx－2x 2，∵ y ＝cx －2x 2在x 是正数时，值域是y≤－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫c 42＋c×c 4＝c 28，则a≥c 28，于是c 28＝18c ＝1. 8. 存在实数x ，使得x 2－4bx ＋3b<0成立，则b 的取值范围是________．答案：(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞ 解析：由题意知只需满足相应方程x 2－4bx ＋3b ＝0的判别式Δ>0，则4b 2－3b>0，解得b<0或b>34. 9. 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1) 全等三角形一定相似；(2) 末位数字是零的自然数能被5整除．解：(1) 逆命题：两个三角形相似，则它们全等，为假命题；否命题：两个三角形不全等，则它们不相似，为假命题；逆否命题：两个三角形不相似，则它们不全等，为真命题．(2) 逆命题：能被5整除的自然数末位数字是零，为假命题；否命题：末位数字不是零的自然数不能被5整除，为假命题；逆否命题：不能被5整除的自然数末位数字不是零，为真命题.10. 设条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解：条件p 为：12≤x ≤1，条件q 为：a≤x≤a＋1. p 对应的集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x>1或x<12， q 对应的集合B ＝{x|x>a ＋1或x<a}．∵p 是q 的必要不充分条件，∴ BA ，∴ a ＋1>1且a≤12或a ＋1≥1且a<12. ∴ 0≤a≤12.故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. 11. 已知集合A ＝{x|x 2－3x ＋2≤0}，集合B 为函数y ＝x 2－2x ＋a 的值域，集合C ＝{x|x2－ax －4≤0}，命题p ：A∩B≠；命题q ：AC.(1) 若命题p 为假命题，求实数a 的取值范围；(2) 若命题p∧q 为真命题，求实数a 的取值范围．解：(1) A ＝[1，2]，B ＝[a －1，＋∞)，若p 为假命题，则A∩B＝，故a －1>2，即a>3.故a 的取值范围为(3，＋∞)．(2) 若命题p ∧q 为真命题，则p 和q 都为真命题．命题p 为真，则a≤3.命题q 为真，即转化为当x∈[1，2]时，f(x)＝x 2－ax －4≤0恒成立．(解法1)由⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝1－a －4≤0，f （2）＝4－2a －4≤0，解得a≥0. (解法2)当x∈[1，2]时，a ≥x －4x 恒成立，而x －4x 在[1，2]上单调递增，故a≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4x max＝0.综上，a 的取值范围为[0，3]．。

2014届高三数学一轮复习简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词提分训练题

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、选择题1．已知命题p ：函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －log 13x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13内存在零点，命题q ：存在负数x 使得⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >⎝ ⎛⎭⎪⎫13x .给出下列四个命题：①p 或q ；②p 且q ；③p 的否定；④q 的否定．其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析命题p 为假命题，命题q 也为假命题．利用真值表判断．答案 B2.已知命题p ：存在n ∈N,2n >1 000，则非p 为( )A ．任意n ∈N,2n ≤1 000B ．任意n ∈N ,2n>1 000 C ．存在n ∈N,2n ≤1 000 D ．存在n ∈N,2n <1 000 解析：特称命题的否定是全称命题，即p ：存在x ∈M ，p (x )，则非p ：任意x ∈M ，非p (x )．答案：A3． ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是( )．A ．0＜a ≤1B ．a ＜1C ．a ≤1D ．0＜a ≤1或a ＜0解析 (筛选法)当a ＝0时，原方程有一个负的实根，可以排除A 、D ；当a ＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B ，故选C.答案 C4．已知p ：x 2－2x －3≥0，q ：x ∈Z.若p 且q ，非q 同时为假命题，则满足条件的x 的集合为( )A ．{x |x ≤－1或x ≥3，x ∉Z}B ．{x |－1≤x ≤3，x ∈Z}C ．{x |x ＜－1或x >3，x ∉Z}D ．{x |－1＜x ＜3，x ∈Z}解析 p ：x ≥3或x ≤－1，q ：x ∈Z ，则由p 且q ，非q 同时为假命题知， p 假q 真，所以x 满足－1<x <3且x ∈Z ，故满足条件的集合为{x |－1<x <3，x ∈Z}．答案 D5．已知下列命题：①命题“存在x ∈R ，x 2＋1>3x ”的否定是“任意x ∈R ，x 2＋1<3x ”；②已知p 、q 为两个命题，若“p 或q ”为假命题，则“非p 且非q 为真命题”；③“a >2”是“a >5”的充分不必要条件；④“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆否命题为真命题．其中所有真命题的序号是( )A ．①②③B ．②④C ．②D ．④ 解析：命题“存在x ∈R ，x 2＋1>3x ”的否定是“任意x ∈R ，x 2＋1≤3x ”，故①错；“p 或q ”为假命题说明p 和q 都假，则非p 且非q 为真命题，故②对；a >5⇒a >2，但a >2⇒/ a >5，故“a >2”是“a >5”的必要不充分条件，故③错； “若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错．答案：C6．下列命题错误的是( )．A ．命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实数根”的逆否命题为：“若方程 x 2＋x －m ＝0无实数根，则m ≤0”B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件C ．若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题D ．对于命题p ：存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0，则非p ：任意x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0 解析依次判断各选项，易知只有C 是错误的，因为用逻辑联结词“且”联结的两个命题中，只要一个为假整个命题为假．答案 C7．已知p ：存在x ∈R ，mx 2＋2≤0.q ：任意x ∈R ，x 2－2mx ＋1＞0，若p 或q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )．A ．[1，＋∞)B ．(－∞，－1]C ．(－∞，－2]D ．[－1,1] 解析 (直接法)∵p 或q 为假命题，∴p 和q 都是假命题．由p ：存在x ∈R ，mx 2＋2≤0为假，得任意x ∈R ，mx 2＋2＞0，∴m ≥0.①由q ：任意x ∈R ，x 2－2mx ＋1＞0为假，得存在x ∈R ，x 2－2mx ＋1≤0，∴Δ＝(－2m )2－4≥0⇒m 2≥1⇒m ≤－1或m ≥1.②由①和②得m ≥1.答案 A【点评】本题采用直接法，就是通过题设条件解出所求的结果，多数选择题和填空题都要用该方法，是解题中最常用的一种方法.二、填空题8．用含有逻辑联结词的命题表示命题“xy ＝0”的否定是________．解析方法1：记命题p 1：x ＝0，p 2：y ＝0，则命题xy ＝0即命题p 1∨p 2，其否定是(非p 1)且(非p 2)，非p 1：x ≠0，非p 2：y ≠0，故命题xy ＝0的否定是“x ≠0且y ≠0”．方法2：xy ＝0的否定即xy ≠0，即“x ≠0且y ≠0”．答案 x ≠0且y ≠09．已知命题p ：f (x )＝1－2m x在区间(0，＋∞)上是减函数；命题q ：不等式 (x －1)2>m 的解集为R.若命题“p 或q ”为真，命题“p 且q ”为假，则实数m 的取值范围是________．解析由f (x )＝1－2m x 在区间(0，＋∞)上是减函数，得1－2m >0，即m <12，由不等式(x －1)2>m 的解集为R ，得m <0.要保证命题“p ∨q ”为真，命题“p 且q ”为假，则需要两个命题中只有一个正确，而另一个不正确，故0≤m <12. 答案 0≤m <1210．令p (x )：ax 2＋2x ＋a ＞0，若对任意x ∈R ，p (x )是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵对任意x ∈R ，p (x )是真命题．∴对任意x ∈R ，ax 2＋2x ＋a ＞0恒成立，当a ＝0时，不等式为2x ＞0不恒成立，当a ≠0时，若不等式恒成立，则{ a ＞0，Δ＝4－4a 2＜0，∴a ＞1. 答案 a ＞111．命题“对任意x >1，x 2>1”的否定是________．解析：这是一个全称命题，其否定是“存在x 0>1，使得x 20≤1”．答案：存在x 0>1，使得x 20≤112．已知命题“任意x ∈R ，x 2－5x ＋152a ＞0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析由“任意x ∈R ，x 2－5x ＋152a ＞0”的否定为假命题，可知命题“任意x ∈R ，x 2－5x ＋152a ＞0”必为真命题，即不等式x 2－5x ＋152a ＞0对任意实数x 恒成立．设f (x )＝x 2－5x ＋152a ，则其图像恒在x 轴的上方．故Δ＝25－4×152a ＜0，解得a ＞56，即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞ 三、解答题13．设命题p ：函数f (x )＝x 3－ax －1在区间[－1,1]上单调递减；命题q ：函数y ＝ln(x 2＋ax ＋1)的值域是R.如果命题p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求a 的取值范围．解析 p 为真命题⇔f ′ (x )＝3x 2－a ≤0在[－1,1]上恒成立⇔a ≥3x 2在[－1,1]上恒成立⇔a ≥3.q 为真命题⇔Δ＝a 2－4≥0恒成立⇔a ≤－2或a ≥2.由题意p 和q 有且只有一个是真命题．p 真q 假⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3，－2<a <2⇔a ∈∅；p 假q 真⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a <3，a ≤－2或a ≥2⇔a ≤－2或2≤a <3. 综上所述：a ∈(－∞，－2]∪[2,3)．14．写出下列命题的否定，并判断真假：(1)存在一个三角形是正三角形； (2)至少存在一个实数x 0使x 20－2x 0－3＝0成立；(3)正数的对数不全是正数．解析 (1)任意的三角形都不是正三角形，假命题；(2)对任意实数x 都有x 2－2x －3≠0，假命题；(3)正数的对数都是正数，假命题．15．已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实根，命题q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数m 的取值范围．解析由已知得：p ，q 中有且仅有一个为真，一个为假．命题p 为真⇔⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，x 1＋x 2＝－m <0，⇒m >2.x 1x 2＝1>0命题q 为真⇔Δ<0⇒1<m <3.(1)若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤2，1<m <3⇒1<m ≤2；(2)若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ m >2，m ≤1或m ≥3⇒m ≥3.综上所述：m ∈(1,2]∪[3，＋∞)．16．已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x ＞1c恒成立．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题．求c 的取值范围．解析由命题p 知：0＜c ＜1.由命题q 知：2≤x ＋1x ≤52要使此式恒成立，则2＞1c ，即c ＞12. 又由p 或q 为真，p 且q 为假知，p 、q 必有一真一假，当p 为真，q 为假时，c 的取值范围为0＜c ≤12. 当p 为假，q 为真时，c ≥1.综上，c 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪ 0＜c ≤12或c ≥1.。

简单的逻辑联结词-全称量词与存在量词

解 p为真命题时：m∈[-1,1] m2 8 [2 2,3]. ∵对m∈[-1,1],不等式a2-5a-3≥ m2 8 恒成立,
可得a2-5a-3≥3, ∴a≥6或a≤-1. 命题q:不等式x2+ax+2<0有解，∴Δ=a2-8>0.
a 2 2或a 2 2.
从而命题q为假命题时， 2 2 a 2 2,
∴p真q假时，a的取值范围为 2 2 a 1.
练习: (1)x0 [1,1], x02 x0 1 a 0成立，求a的取值范围.
(2)x [1,1], x02 x0 1 a 0成立，
求a的取值范围.
解 : (1)x0 [1,1], a x02 x0 1成立，
a ( x02 x0 1)max .
题型分类深度剖析
题型一用“或”、“且”、“非” 联结简单命题并判断其真假
【例1】写出由下列各组命题构成的“p∨q”、
“p∧q”、“ p”形式的复合命题，并判断真假.
（1）p:1是质数；q：1是方程x2+2x-3=0的根；（2）p:平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的
对角线互相垂直；（3）p：0∈ ；q：{x|x2-3x-5<0} R；（4）p：5≤5；q：27不是质数.
x0 [1,1], x02 x0 a 3 (2)x [1,1],
1的 a x02
值域：[ 3 ,3] x0 14恒成
立
，
a ( x02 x0 1)min .
y由(1)知：a 3 4
例5：已知c 0，设P：函数y c x在R上单调递减，Q : 不等式x x 2c 1的解集为R，若P和Q有且只有一个正确，求c的取值范围
（C）
A. a∈R,f(x)在(0，+∞)上是增函数

1.3简单的逻辑连接词,全称量词与存在量词

解:(1)p 或 q:1 是素数或是方程 x +2x-3=0 的根.真命题. 2 p 且 q:1 既是素数又是方程 x +2x-3=0 的根.假命题. �� 不是素数.真命题. p:1 (2)p 或 q:平行四边形的对角线相等或互相垂直.假命题. p 且 q:平行四边形的对角线相等且互相垂直.假命题. �� p:有些平行四边形的对角线不相等.真命题. (3)p 或 q:方程 x2+x-1=0 的两实根符号相同或绝对值相等.假命题. p 且 q:方程 x2+x-1=0 的两实根符号相同且绝对值相等.假命题. �� p:方程 x2+x-1=0 的两实根符号不相同.真命题.
解析:命题 p:存在 x∈R,使 tan x=1 是真命题,命题 q:x -3x+2<0 的解集是{x|1<x<2}也是真命题,∴ ①命题“p 且 q”是真命题;②命题“p 且(�� q)”是假命题;③命题“(�� p)或 q”是真命题;④命题“(�� p)或(�� q)”是假命题,故应选 D.
1 2 2
5 2
2
解析:由 sin x= >1,可得命题 p 为假;由 x +x+1= �� +
2
5
2
+ ≥ ,可得
4 4
3
3
命题 q 为真,则命题“p 且 q”是假命题;命题“p 且(�� q)”是假命题;命题“(�� p)且 q”是真命题;命题“(�� p)或(�� q)”是真命题.
1.命题 p:x2+y2<0;q:x2+y2≥0.下列命题为假命题的是( B ). A.p 或 q C.q B.p 且 q D.�� p

高考数学一轮复习专题训练—简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

第3节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考纲要求 1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.知识梳理1.简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词.(2)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断p q p∧q p∨q 綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示.(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示.3.全称命题和特称命题名称全称命题特称命题结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x0，使p(x0)成立简记∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)否定∃x0∈M，綈p(x0)∀x∈M，綈p(x)1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与綈p→真假相反.2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.3.“p∨q”的否定是“(綈p)∧(綈q)”，“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”.4.逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)命题“5>6或5>2”是假命题.()(2)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是假命题.()(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.()(4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)错误.命题p∨q中，p，q有一真则真.(2)错误.p∧q是真命题，则p，q都是真命题.(3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.2.已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为()A.1B.2C.3D.4答案 B解析p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题.3.命题：“∃x0∈R，x20－ax0＋1<0”的否定为________.答案∀x∈R，x2－ax＋1≥04.(2020·唐山模拟)已知命题p：f(x)＝x3－ax的图象关于原点对称；命题q：g(x)＝x cos x的图象关于y轴对称.则下列命题为真命题的是()A.綈pB.qC.p∧qD.p∧(綈q)答案 D解析根据题意，对于f(x)＝x3－ax，有f(－x)＝(－x)3－a(－x)＝－(x3－ax)＝－f(x)，为奇函数，其图象关于原点对称，p为真命题；对于g(x)＝x cos x，有g(－x)＝(－x)cos(－x)＝－x cos x，为奇函数，其图象关于原点对称，q为假命题，则綈p为假命题，q为假命题，p∧q 为假命题，p∧(綈q)为真命题.5.(2021·郑州质检)已知命题p：∀x>0，3x>1；命题q：若a<b，则a2<b2，下列命题为真命题的是()A.p∧qB.p∧(綈q)C.(綈p)∧qD.(綈p)∧(綈q)答案 B解析p：∀x>0，3x>1为真命题，则綈p为假命题，取a＝－2，b＝－1，则a2>b2，所以q为假，綈q为真命题，因此p ∧(綈q )为真命题.6.(2021·合肥调研)能说明命题“∀x ∈R 且x ≠0，x ＋1x ≥2”是假命题的x 的值可以是________(写出一个即可). 答案－1(任意负数) 解析当x >0时，x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时取等号，当x <0时，x ＋1x ≤－2，当且仅当x ＝－1时取等号， ∴x 的取值为负数即可，例如x ＝－1.考点一含有逻辑联结词的命题1.(2020·西安检测)已知命题p ：若a >|b |，则a 2>b 2；命题q ：m ，n 是直线，α为平面，若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n .下列命题为真命题的是( ) A.p ∧q B.p ∧(綈q ) C.(綈p )∧q D.(綈p )∧(綈q )答案 B解析若a >|b |，则a 2>b 2，∴p 真，对于命题q ：由m ∥α，n ⊂α，则m 与n 异面或平行，∴q 假，则綈q 为真，因此p ∧(綈q )为真命题.2.(2021·成都调研)已知命题p ：函数y ＝2sin x ＋sin x ，x ∈(0，π)的最小值为22；命题q ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0.下列命题为真命题的是( ) A.(綈p )∧q B.p ∨q C.p ∧(綈q )D.(綈p )∧(綈q )答案 D解析命题p：函数y＝2sin x＋sin x，x∈(0，π)，由基本不等式成立的条件可知，y>22sin x·sin x＝22，等号取不到，所以命题p是假命题.命题q：取a＝c＝(1，0)，b＝(0，1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，所以命题q是假命题.所以綈p为真，綈q为真.因此，只有(綈p)∧(綈q)为真命题.3.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A.(綈p)∨(綈q)B.p∧(綈q)C.(綈p)∧(綈q)D.p∨q答案 A解析命题p是“甲降落在指定范围”，则綈p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则綈q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”.所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(綈p)∨(綈q).4.(2020·全国Ⅱ卷)设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是________.①p1∧p4；②p1∧p2；③綈p2∨p3；④綈p3∨綈p4.答案 ①③④解析 p 1是真命题，两两相交不过同一点的三条直线必定有三个交点，且这三个交点不在同一条直线上，由平面的基本性质“经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面”，可知p 1为真命题；p 2是假命题，因为空间三点在一条直线上时，有无数个平面过这三个点；p 3是假命题，因为空间两条直线不相交时，它们可能平行，也可能异面；p 4是真命题，因为一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于平面内的所有直线.由以上结论知綈p 2，綈p 3，綈p 4依次为真命题、真命题、假命题，从而①③④中命题为真命题，②中命题为假命题. 感悟升华 1.“p ∨q ”，“p ∧q ”，“綈p ”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形式；(2)判断其中命题p ，q 的真假；(3)确定“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”形式命题的真假.2.p ∧q 形式是“一假必假，全真才真”，p ∨q 形式是“一真必真，全假才假”，綈p 与p 的真假性相反.考点二全称量词与存在量词【例1】 (1)(2021·江南十校联考)已知f (x )＝sin x －tan x ，命题p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x 0)<0，则( )A.p 是假命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )≥0 B.p 是假命题，綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x 0)≥0 C.p 是真命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )≥0 D.p 是真命题，綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x 0)≥0 (2)已知命题p ：∀x ∈N *，⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫13x，命题q ：∃x ∈R ，2x ＋21－x ＝22，则下列命题中是真命题的是( ) A.p ∧qB.(綈p )∧qC.p ∧(綈q )D.(綈p )∧(綈q )答案 (1)C (2)A解析 (1)当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，sin x <1，tan x >1. 此时sin x －tan x <0，故命题p 为真命题.由于命题p 为特称命题，所以命题p 的否定为全称命题，则綈p 为：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )≥0. (2)由y ＝⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝⎝⎛⎭⎫13x的图象的位置关系，知∀x ∈N *，⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫13x成立，p 为真命题. 又2x ＋21－x ≥22x ·21－x ＝22，当且仅当2x ＝21－x ，即x ＝12时，上式取等号，则q 为真命题.因此p ∧q 为真命题.感悟升华 1.全称命题与特称命题的否定与一般命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.2.判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可.【训练1】 (1)已知集合A 是奇函数集，B 是偶函数集.若命题p ：∀f (x )∈A ，|f (x )|∈B ，则綈p 为( )A.∀f (x )∈A ，|f (x )|∉BB.∀f (x )∉A ，|f (x )|∉BC.∃f (x )∈A ，|f (x )|∉BD.∃f (x )∉A ，|f (x )|∉B(2)(2020·兰州诊断)已知命题p ：“∃x 0∈R ，1x 0＋1>0”的否定是“∀x ∈R ，1x ＋1<0或x ＋1＝0”；命题q ：“x <2 021”的一个充分不必要条件是“x <2 020”，则下列命题为真命题的是( ) A.p ∧q B.綈q C.p ∧(綈q ) D.(綈p )∧q答案 (1)C (2)A解析 (1)全称命题的否定为特称命题需：改写量词，否定结论. ∴綈p ：∃f (x )∈A ，|f (x )|∉B .(2)命题p ：“∃x 0∈R ，1x 0＋1>0”的否定是“∀x ∈R ，1x ＋1<0或x ＋1＝0”，故命题p 是真命题.命题q ：“x <2 021”的一个充分不必要条件是“x <2 020”，为真命题. 故p ∧q 为真命题，其余为假命题. 考点三由命题的真假求参数【例2】 (1)已知命题p ：∀x ∈R ，2x <3x ，命题q ：∃x ∈R ，x 2＝2－x ，若命题(綈p )∧q 为真命题，则x 的值为( ) A.1 B.－1 C.2D.－2(2)(经典母题)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－m ，若对∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________. 答案 (1)D (2)⎣⎡⎭⎫14，＋∞ 解析 (1)因为綈p ：∃x ∈R ，2x ≥3x ，要使(綈p )∧q 为真，所以綈p 与q 同时为真. 由2x≥3x，得⎝⎛⎭⎫23x≥1，所以x ≤0.①由x 2＝2－x ，得x ＝1或x ＝－2.② 由①②知x ＝－2.(2)当x ∈[0，3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1，2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.【迁移】本例(2)中，若将“∃x 2∈[1，2]”改为“∀x 2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是______________________________________. 答案 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞解析当x ∈[1，2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，对∀x 1∈[0，3]，∀x 2∈[1，2]使得f (x 1)≥g (x 2)等价于f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12.感悟升华 1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤： (1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围； (2)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围. 2.全称命题可转化为恒成立问题.3.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.【训练2】 (2021·豫北名校联考)已知p ：函数f (x )＝x 2－(2a ＋4)x ＋6在(1，＋∞)上是增函数，q ：∀x ∈R ，x 2＋ax ＋2a －3>0，若p ∧(綈q )是真命题，则实数a 的取值范围为________. 答案 (－∞，－1]解析依题意，p 为真命题，綈q 为真命题. 若p 为真命题，则2a ＋42≤1，解得a ≤－1.①若綈q 为真命题，则∃x 0∈R ，x 20＋ax 0＋2a －3≤0成立. ∴a 2－4(2a －3)≥0，解之得a ≥6或a ≤2.②结合①②，知a ≤－1，即实数a 的取值范围是(－∞，－1].A级基础巩固一、选择题1.命题p：“∀x>1，x2－1>0”，则綈p为()A.∀x>1，x2－1≤0B.∀x≤1，x2－1≤0C.∃x0>1，x20－1≤0D.∃x0≤1，x20－1≤0答案 C解析命题p：“∀x>1，x2－1>0”，则綈p：∃x0>1，x20－1≤0.2.(2020·贵阳检测)给出两个命题：p：“事件A与事件B对立”的充要条件是“事件A与事件B 互斥”；q：偶函数的图象一定关于y轴对称，则下列命题是假命题的是()A.p∨qB.p∧qC.(綈p)∨qD.(綈p)∧q答案 B解析由于“事件A与事件B对立”是“事件A与事件B互斥”的充分不必要条件，故命题p 是假命题.又q为真命题，因此p∨q，(綈p)∨q，(綈p)∧q均为真命题，p∧q为假命题.3.命题“∃x0∈R，1<f(x0)≤2”的否定形式是()A.∀x∈R，1<f(x)≤2B.∃x0∈R，1<f(x0)≤2C.∃x0∈R，f(x0)≤1或f(x0)>2D.∀x∈R，f(x)≤1或f(x)>2答案 D解析特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为：∀x ∈R ，f (x )≤1或f (x )>2. 4.已知命题“∃x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值范围为( )A.(－∞，0)B.[0，4]C.[4，＋∞)D.(0，4)答案 D解析因为命题“∃x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，所以其否定为“∀x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14>0”是真命题.则Δ＝(a －2)2－4×4×14＝a 2－4a <0，解得0<a <4.5.命题p ：函数y ＝log 2(x －2)的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝13x ＋1的值域为(0，1).下列命题是真命题的为( ) A.p ∧q B.p ∨q C.p ∧(綈q ) D.綈q 答案 B解析由于y ＝log 2(x －2)的单调递增区间是(2，＋∞)，所以命题p 是假命题.由3x >0，得3x ＋1>1，所以0<13x ＋1<1，所以函数y ＝13x ＋1的值域为(0，1)，故命题q 为真命题，綈q 为真命题.所以p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，p ∧(綈q )为假命题，綈q 为假命题.6.已知函数f (x )＝a 2x －2a ＋1.若命题“∀x ∈(0，1)，f (x )≠0”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫12，1 B.(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞)答案 D解析 ∵函数f (x )＝a 2x －2a ＋1，命题“∀x ∈(0，1)，f (x )≠0”是假命题，∴原命题的否定：“∃x 0∈(0，1)，使f (x 0)＝0”是真命题， ∴f (1)f (0)<0，即(a 2－2a ＋1)(－2a ＋1)<0， ∴(a －1)2(2a －1)>0，解得a >12，且a ≠1，∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞).7.已知命题p ：∀x >0，e x >x ＋1，命题q ：∃x ∈(0，＋∞)，ln x ≥x ，则下列命题正确的是( ) A.p ∧q B.(綈p )∧q C.p ∧(綈q ) D.(綈p )∧(綈q )答案 C解析令f (x )＝e x －x －1，则f ′(x )＝e x －1，当x >0时， f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )>f (0)＝0，即e x >x ＋1，则命题p 真；令g (x )＝ln x －x ，x >0，则g ′(x )＝1x －1＝1－x x ，当x ∈(0，1)时，g ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0，即当x ＝1时，g (x )取得极大值，也是最大值，所以g (x )max ＝g (1)＝－1<0，∴g (x )<0在(0，＋∞)上恒成立，则命题q 假，因此綈q 为真，故p ∧(綈q )为真.8.已知命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x ”；命题q ：“∃x 0∈R ，使得x 20＋4x 0＋a ＝0”.若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围为( )A.[e ，4]B.(－∞，e]C.[e ，4)D.[4，＋∞)答案 A解析若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题.由∀x ∈[0，1]，a ≥e x ，得a ≥e ；由∃x 0∈R ，使x 20＋4x 0＋a ＝0，得Δ＝16－4a ≥0，则a ≤4，因此e ≤a ≤4. 二、填空题9.命题“∀x ∈R ，f (x )·g (x )≠0”的否定是____________. 答案 ∃x 0∈R ，f (x 0)·g (x 0)＝0解析命题“∀x ∈R ，f (x )·g (x )≠0”的否定是“∃x 0∈R ，f (x 0)·g (x 0)＝0”.10.若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π3，m ≤tan x ＋2”为真命题，则实数m 的最大值为________. 答案 1解析由x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π3，得1≤tan x ＋2≤2＋ 3. ∵“∀x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π3，m ≤tan x ＋2”为真命题，则m ≤1. ∴实数m 的最大值为1.11.下列四个命题：p 1：任意x ∈R ，2x >0；p 2：存在x ∈R ，x 2＋x ＋1≤0；p 3：任意x ∈R ， sin x <2x ；p 4：存在x ∈R ，cos x >x 2＋x ＋1.其中是真命题的为________. 答案 p 1，p 4解析 ∀x ∈R ，2x >0恒成立，∴p 1是真命题. 又x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>0，∴p 2是假命题.由sin ⎝⎛⎭⎫－32π＝1>2－32π，∴p 3是假命题. 取x ＝－12时，cos ⎝⎛⎭⎫－12>cos ⎝⎛⎭⎫－π6＝32，但x 2＋x ＋1＝34<32，∴p 4为真.综上，p 1，p 4为真命题，p 2，p 3是假命题.12.(2021·安徽六校联考)若命题“∃x 0∈R ，使得k >x 20＋1成立”是假命题，则实数k 的取值范围是________. 答案 (－∞，1]解析 “∃x 0∈R ，使得k >x 20＋1成立”是假命题等价于“∀x ∈R ，都有k ≤x 2＋1恒成立”是真命题.因为x 2＋1≥1，即x 2＋1的最小值为1，要使k ≤x 2＋1恒成立，只需k ≤(x 2＋1)min ，即k ≤1.B 级能力提升13.命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A.∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2 B.∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2 C.∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2 D.∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 20 答案 D解析改变量词，否定结论.∴该命题的否定应为：∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 20.14.(2019·全国Ⅲ卷)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D .命题p ：∃(x ，y )∈D ，2x ＋y ≥9；命题q ：∀(x ，y )∈D ，2x ＋y ≤12.下面给出了四个命题 ①p ∨q ；②綈p ∨q ；③p ∧綈q ；④綈p ∧綈q . 这四个命题中，所有真命题的编号是( ) A.①③ B.①② C.②③ D.③④答案 A解析由不等式组画出平面区域D ，如图阴影部分所示，在图中画出直线2x ＋y ＝9，可知p 为真命题，綈p 为假命题，作出直线2x ＋y ＝12，2x ＋y ≤12表示直线及其下方区域，易知命题q 为假命题；命题綈q 为真命题；∴p ∨q 为真，綈p ∨q 为假，p ∧綈q 为真，綈p ∧綈q 为假. 故真命题的编号为①③.15.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x <0，m －x 2，x ≥0，给出下列两个命题：命题p ：∃m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0有解；命题q ：若m ＝19，则f [f (－1)]＝0，那么，下列命题为真命题的是____________(填序号).①p ∧q ；②(綈p )∧q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∧(綈q ). 答案 ②解析因为3x >0，当m <0时，m －x 2<0，所以命题p 为假命题，命题綈p 为真命题；当m ＝19时，因为f (－1)＝3－1＝13，所以f [f (－1)]＝f ⎝⎛⎭⎫13＝19－f ⎝⎛⎭⎫132＝0，所以命题q 为真命题，命题綈q 为假命题；逐项检验可知，只有(綈p )∧q 为真命题.16.已知命题p ：∃x 0∈R ，(m ＋1)(x 20＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立.若p ∧q为假命题，则实数m的取值范围为________.答案(－∞，－2]∪(－1，＋∞)解析由命题p：∃x0∈R，(m＋1)(x20＋1)≤0可得m≤－1；由命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，得Δ＝m2－4<0，可得－2<m<2，若p∧q为真命题，则－2<m≤－1，因为p∧q为假命题，所以m≤－2或m>－1.。

2014届高考数学一轮复习简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

③∵p 和 q 中有且仅有一个正确， a≤1 a>1 1 1 ∴ 或1 ，∴a≥8 或 <a≤1. 2 a≤ 或a≥8 < a <8 2 2
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探究提高
含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的 ( 一个或两个)命题的真假，求出此时参数成立的条件，再求出含逻辑联结词的命题成立的条件．
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答题模板
借助逻辑联结词求解参数范围问题
(14 分)已知 c>0，且 c≠1，设 p：函数 y＝cx 在 R 上单 1 2 调递减；q：函数 f(x)＝x －2cx＋1 在2，＋∞上为增函数，若“p 且 q”为假，“p 或 q”为真，求实数 c 的取值范围．
(1)p、q 真时，分别求出相应的 a 的范围；(2)用补集的思想，求出綈 p、綈 q 分别对应的 a 的范围；(3)根据“p 且 q”为假、“p 或 q”为真，确定 p、q 的真假．
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方法与技巧
1．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是存在性命题，对照否定结构去写，并注意与否命题区别；对于命题否定的真假，可以直接判定，也可以先判定原命题，再判定其否定．判断命题的真假要注意：全称命题为真需证明，为假举反例即可；存在性命题为真需举一个例子，为假则要证明全称命题为真． 2．要把握命题的形成、相互转化，会根据复合命题，或命题的否定来判断简单命题的真假． 3．全称命题与存在性命题可以互相转化，即从反面处理，再求其补集．
∃ ”表示．
(4)全称命题与存在性命题 ① 含有全称量词的命题叫全称命题． ② 含有存在量词的命题叫存在性命题．
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要点梳理
忆一忆知识要点
☞同一个含量词的命题,可能有不同的表述方法

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词.答案 doc

§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p 且q 、p 或q 、非p 的真假判断2.全称量词和存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示． 3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定知识拓展1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p ∨q ：p ，q 中有一个为真，则p ∨q 为真，即有真为真． (2)p ∧q ：p ，q 中有一个为假，则p ∧q 为假，即有假即假． (3)綈p ：与p 的真假相反，即一真一假，真假相反．2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．3．命题的否定和否命题的区别：命题“若p ，则q ”的否定是“若p ，则綈q ”，否命题是“若綈p ，则綈q ”．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题“3≥2”是真命题．( √ ) (2)命题p 和綈p 不可能都是真命题．( √ ) (3)若命题p ，q 中至少有一个是真命题，则p ∨q 是真命题．( √ ) (4)“全等三角形的面积相等”是特称命题．( × )(5)命题綈(p ∧q )是假命题，则命题p ，q 中至少有一个是真命题．( × ) 题组二教材改编2．[P18B 组]已知p ：2是偶数，q ：2是质数，则命题綈p ，綈q ，p ∨q ，p ∧q 中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 p 和q 显然都是真命题，所以綈p ，綈q 都是假命题，p ∨q ，p ∧q 都是真命题． 3．[P28T6(4)]命题“正方形都是矩形”的否定是_______________________________．答案存在一个正方形，这个正方形不是矩形题组三易错自纠4．已知命题p ，q ，“綈p 为真”是“p ∧q 为假”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析由綈p 为真知，p 为假，可得p ∧q 为假；反之，若p ∧q 为假，则可能是p 真q 假，从而綈p 为假，故“綈p 为真”是“p ∧q 为假”的充分不必要条件，故选A. 5．下列命题中，为真命题的是( )A ．∀x ∈R ，－x 2－1<0B ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1C ．∀x ∈R ，x 2－x ＋14>0 D ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2<0 答案 A6．若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．答案 1 解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上是增函数，∴y max ＝tan π4＝1.依题意知，m ≥y max ，即m ≥1. ∴m 的最小值为1.题型一含有逻辑联结词的命题的真假判断1．设命题p ：函数y ＝log 2(x 2－2x )的单调增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝13x＋1的值域为(0,1)，则下列命题是真命题的为( )A ．p ∧qB ．p ∨qC ．p ∧(綈q )D ．綈q 答案 B 解析函数y ＝log 2(x 2－2x )的单调增区间是(2，＋∞)，所以命题p 为假命题．由3x >0，得0<13x ＋1<1，所以函数y ＝13x ＋1的值域为(0,1)，故命题q 为真命题．所以p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，p ∧(綈q )为假命题，綈q 为假命题．故选B.2．(2017·山东)已知命题p ：∀x ＞0，ln(x ＋1)＞0；命题q ：若a ＞b ，则a 2＞b 2.下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(綈q )C ．(綈p )∧qD ．(綈p )∧(綈q ) 答案 B解析 ∵x ＞0，∴x ＋1＞1，∴ln(x ＋1)＞ln 1＝0. ∴命题p 为真命题，∴綈p 为假命题．∵a ＞b ，取a ＝1，b ＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，此时a 2＜b 2，∴命题q 为假命题，∴綈q 为真命题． ∴p ∧q 为假命题，p ∧(綈q )为真命题，(綈p )∧q 为假命题，(綈p )∧(綈q )为假命题．故选B.3．已知命题p ：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q ：在空间中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .对以上两个命题，有以下命题： ①p ∧q 为真；②p ∨q 为假；③p ∨q 为真；④(綈p )∨(綈q )为假．其中，正确的是________．(填序号)答案 ②解析命题p 是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q 也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．思维升华 “p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”等形式命题真假的判断步骤(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p 、q 的真假；(3)确定“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”等形式命题的真假．题型二含有一个量词的命题命题点1 全称命题、特称命题的真假典例 (2017·韶关南雄二模)下列命题中的假命题是( )A ．∀x ∈R,2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x 0∈R ，lg x 0<1D ．∃x 0∈R ，tan x 0＝2 答案 B解当x ∈N *时，x －1∈N ，可得(x －1)2≥0，当且仅当x ＝1时取等号，故B 不正确；易知A ，C ，D 正确，故选B. 命题点2 含一个量词的命题的否定典例 (1)命题“∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x ＞0”的否定是( )A ．∃x 0∈R ，⎝⎛⎭⎫130x ＜0 B ．∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x ≤0 C ．∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x ＜0 D ．∃x 0∈R ，⎝⎛⎭⎫130x ≤0答案 D解析全称命题的否定是特称命题，“>”的否定是“≤”．(2)(2017·河北五个一名校联考)命题“∃x 0∈R,1＜f (x 0)≤2”的否定形式是( )A ．∀x ∈R,1＜f (x )≤2B ．∃x 0∈R,1＜f (x 0)≤2C ．∃x 0∈R ，f (x 0)≤1或f (x 0)＞2D ．∀x ∈R ，f (x )≤1或f (x )＞2 答案 D 解析特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“∀x ∈R ，f (x )≤1或f (x )＞2”．思维升华 (1)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立． (2)对全(特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词； ②对原命题的结论进行否定．跟踪训练 (1)下列命题中的真命题是( )A ．∃x 0∈R ，使得sin x 0＋cos x 0＝32 B ．∀x ∈(0，＋∞)，e x >x ＋1C ．∃x 0∈(－∞，0)，2x 0<3x 0D ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos x 答案 B解析 ∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2<32，故A 错误；设f (x )＝e x －x －1，则f ′(x )＝e x －1， ∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数，又f (0)＝0， ∴∀x ∈(0，＋∞)，f (x )>0，即e x >x ＋1，故B 正确；当x <0时，y ＝2x 的图象在y ＝3x 的图象上方，故C 错误；∵当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时，sin x <cos x ，故D 错误．故选B. (2)(2017·福州质检)已知命题p ：“∃x 0∈R ，－x 0－1≤0”，则綈p 为( )A ．∃x 0∈R ，－x 0－1≥0B ．∃x 0∈R ，－x 0－1>0C ．∀x ∈R ，e x －x －1>0D ．∀x ∈R ，e x －x －1≥0答案 C 解析根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p 为“∀x ∈R ，e x －x －1>0”，故选C. 题型三含参命题中参数的取值范围典例 (1)已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p ∧q 是真命题，则实数a 的取值范围是________________．答案 [－12，－4]∪[4，＋∞) 解析若命题p 是真命题，则Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；若命题q 是真命题，则－a4≤3，即a ≥－12.∵p ∧q 是真命题，∴p ，q 均为真，∴a 的取值范围是[－12，－4]∪[4，＋∞)．(2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________．答案 ⎣⎡⎭⎫14，＋∞解析当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.引申探究本例(2)中，若将“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是______答案 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12.思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．跟踪训练 (1)已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,3) C ．(－3，＋∞) D ．(－3,1) 答案 B解析原命题的否定为∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12＞0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a －1)2－4×2×12＜0，则－2＜a －1＜2，即－1＜a ＜3.(2)已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D D ．[－2,2] 答案 A 解析依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2. 常用逻辑用语考点分析有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系．一、命题的真假判断0e x 0e x 0e x典例1 (1)(2017·佛山模拟)已知a ，b 都是实数，那么“a ＞b ”是“ln a ＞ln b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析由ln a ＞ln b ⇒a ＞b ＞0⇒a ＞b ，故必要性成立．当a ＝1，b ＝0时，满足a ＞b ，但ln b 无意义，所以ln a ＞ln b 不成立，故充分性不成立．答案 B(2)(2018届全国名校大联考)已知命题p ：∀x ∈R,3x <5x ；命题q ：∃x 0∈R ，x 30＝1－x 20，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(綈p )∧q C ．p ∧(綈q ) D ．(綈p )∧(綈q ) 答案 B解析若x ＝0，则30＝50＝1，∴p 是假命题，∵方程x 3＝1－x 2有解，∴q 是真命题，∴(綈p )∧q 是真命题．二、充要条件的判断：典例2 (1)(2017·广东广雅中学、江西南昌二中联考)已知命题甲是“⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x 2＋xx －1≥0”，命题乙是“{x |log 3(2x ＋1)≤0}”，则下列说法正确的是( )A ．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件B ．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件解析 x 2＋xx －1≥0等价于x (x ＋1)(x －1)≥0且x ≠1，解得－1≤x ≤0或x >1.由log 3(2x ＋1)≤0，得0<2x ＋1≤1，得－12<x ≤0.∴甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件．故选B.(2)(2017·湖北七市联考)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)．设p ：0＜r ＜3，q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2的圆心(1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－3×0＋3|2＝2.当r ∈(0,1)时，直线与圆相离，圆C 上没有到直线的距离为1的点；当r ＝1时，直线与圆相离，圆C 上只有1个点到直线的距离为1；当r ∈(1,2)时，直线与圆相离，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ＝2时，直线与圆相切，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ∈(2,3)时，直线与圆相交，圆C 上有2个点到直线的距离为1.综上，当r ∈(0,3)时，圆C 上至多有2个点到直线的距离为1，又由圆C 上至多有2个点到直线的距离为1，可得0＜r ＜3，故p 是q 的充要条件，故选C. 三、求参数的取值范围典例3 (1)已知命题p ：∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a ＝0，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．解析命题“p ∧q ”是真命题，p 和q 均是真命题．当p 是真命题时，a ≥(e x )max ＝e ；当q 为真命题时，Δ＝16－4a ≥0，a ≤4，所以a ∈[e,4]．(2)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，3，∃x 2∈[2,3]使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤12，3，∴f (x )≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时，f (x )min ＝4，当x ∈[2,3]时，g (x )min ＝22＋a ＝4＋a ，依题意知f (x )min ≥g (x )min ，即4≥a ＋4，∴a ≤0. 答案 (－∞，0]课时达标第3讲一、选择题1．(2016·浙江卷)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( )A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2D 解析由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式为“∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2”．故选D.2．(2019·北京朝阳期中)已知命题p ：∀x ∈R,2x ＞0；命题q ：在曲线y ＝cos x 上存在斜率为2的切线，则下列判断正确的是( )A ．p 是假命题B ．q 是真命题C ．p ∧(綈q )是真命题D ．(綈p )∧q 是真命题解析易知命题p 是真命题，对于命题q ，y ′＝－sin x ，设切点坐标为(x 0，cos x 0)，则切线斜率k ＝－sin x 0≠2，即不存在x 0∈R ，使得－sin x 0＝2，所以命题q 为假命题，所以綈q 为真命题，所以p ∧(綈q )是真命题，故C 项正确．3．(2019·忻州二中期末)已知命题p ：x ＞2是x 2＞4的充要条件，命题q ：若a c 2＞b c2，则a ＞b ，那么( )A ．“p 或q ”为真B ．“p 且q ”为真C ．p 真q 假D ．p ，q 均为假 A 解析由已知得命题p 是假命题，命题q 是真命题，根据真值表可知A 项正确． 4．已知命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2＞0.下列结论正确的是( )A ．命题p ∧q 是真命题B ．命题p ∧(綈q )是假命题C ．命题(綈p )∨q 是真命题D ．命题(綈p )∧(綈q )是假命题D 解析取x 0＝π4，有tan π4＝1，故命题p 是真命题；当x ＝0时，x 2＝0，故命题q 是假命题．再根据复合命题的真值表，知D 项正确．5．命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,4]B ．[0,4]C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)D 解析命题p 的否定是綈p ：∃x ∈R ，ax 2＋ax ＋1<0成立，即不等式ax 2＋ax ＋1<0有解．当a ＝0时，1<0，不等式无解；当a ＞0时，要使不等式有解，则a 2－4a >0，解得a >4；当a ＜0时，不等式显然有解．综上，a 的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．故选D.6．(2019·太原模拟)已知命题p ：∃x 0∈R ，e x 0－mx 0＝0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)B ．[0,2]C ．RD ．∅B 解析若p ∨(綈q )为假命题，则p 假q 真．命题p 为假命题时，有0≤m ＜e ；命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2.所以当p ∨(綈q )为假命题时，m 的取值范围是[0,2]．二、填空题7．已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，若“∃x 0∈(a ，b )，f (x 0)＋f (－x 0)≠0”是假命题，则f (a ＋b )＝________.解析若“∃x 0∈(a ，b )，f (x 0)＋f (－x 0)≠0”是假命题，则“∀x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )＝0”是真命题，即f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数，则a ＋b ＝0，即f (a ＋b )＝0.答案 08．命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析由题可知“∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题，所以可得Δ＝(－3a )2－4×2×9≤0，解得－22≤a ≤2 2. 答案 [－22，22]9．(2019·黄冈中学期中)下列结论：①若命题p ：∃x ∈R ，sin x ＝－1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1＞0；则命题p ∧(綈q )是假命题； ②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab ＝－3；③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题是“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p ∧(綈q )为假命题，故①正确；②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；③正确，所以正确结论的序号为①③. 答案 ①③ 三、解答题10．(2019·岳阳一中月考)已知命题p ：(x ＋1)(x －5)≤0，命题q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．(1)若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；(2)若m ＝5，p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数x 的取值范围．解析 (1)设使命题p 成立的集合为A ，命题q 成立的集合为B ，则A ＝{x |－1≤x ≤5}，B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，所以A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1＋m ≥5，1－m ≤－1，解得m ≥4.故实数m 的取值范围为[4，＋∞)．(2)根据条件可知p ，q 一真一假．当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤5，x >6或x <－4，无解．当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧x >5或x <－1，－4≤x ≤6，解得－4≤x <－1或5<x ≤6.故实数x 的取值范围为[－4，－1)∪(5,6]．11．(2019·忻州二中期中)已知命题p ：存在a ＞0，使函数f (x )＝ax 2－4x 在(－∞，2]上单调递减；命题q ：存在a ∈R ，使∀x ∈R,16x 2－16(a －1)x ＋1≠0.若命题p ∧q 为真命题，求实数a 的取值范围．解析若p 为真，则对称轴x ＝－－42a ＝2a 在区间(－∞，2]的右侧，即2a ≥2，所以0＜a ≤1.若q 为真，则方程16x 2－16(a －1)x ＋1＝0无实数根．所以Δ＝[－16(a －1)]2－4×16＜0，所以12＜a ＜32.因为命题p ∧q 为真命题，所以命题p ，q 都为真，所以⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ≤1，12＜a ＜32，所以12＜a ≤1.故实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤12，1. 12．已知命题p ：∃x ∈[0,2]，log 2(x ＋2)＜2m ；命题q ：关于x 的方程3x 2－2x ＋m 2＝0有两个相异实数根．(1)若(綈p )∧q 为真命题，求实数m 的取值范围；(2)若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数m 的取值范围．解析令f (x )＝log 2(x ＋2)，则f (x )在(－2，＋∞)上是增函数，故当x ∈[0,2]时，f (x )最小值为f (0)＝1，故若p 为真，则2m ＞1，m ＞12；对于q ：Δ＝4－12m 2＞0，即m 2＜13时，方程3x 2－2x ＋m 2＝0有两相异实数根，所以－33＜m ＜33. (1)若(綈p )∧q 为真，则实数m 满足⎩⎨⎧m ≤12，－33＜m ＜33，故－33＜m ≤12，即实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－33，12. (2)若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则p ，q 一真一假，若p 真q 假，则实数m 满足⎩⎨⎧m ＞12，m ≤－33或m ≥33，即m ≥33；若p 假q 真，则实数m 满足⎩⎨⎧m ≤12，－33＜m ＜33，即－33＜m ≤12.综上所述，实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－33，12∪⎣⎡⎭⎫33，＋∞.13．[选做题]命题p ：f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时的最大值不超过2，命题q ：正数x ，y 满足x ＋2y ＝8，且a ≤2x ＋1y恒成立，若p ∨(綈q )为假命题，求实数a 的取值范围．解析当a ≤0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ≤2，解得－1≤a ≤0；当0<a <1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1≤2，解得0<a <1；当a ≥1时，f (x )max ＝f (1)＝a ≤2，解得1≤a ≤2. 所以使命题p 为真的a 的取值范围是[－1,2]．由x ＋2y ＝8得x 8＋y4＝1，又x ，y 都是正数，所以2x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ⎝⎛⎭⎫x 8＋y 4＝12＋⎝⎛⎭⎫x 8y ＋y 2x ≥12＋2x 8y ·y2x＝1，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x 8y ＝y 2x ，x ＋2y ＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2时，等号成立，故⎝⎛⎭⎫2x ＋1y min ＝1.因为a ≤2x ＋1y 恒成立，所以a ≤1，所以使命题q 为真的a 的取值范围是(－∞，1]．因为p ∨(綈q )为假命题，所以p 假q 真，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <－1或a >2，a ≤1，则a <－1，故实数a 的取值范围是(－∞，－1)．。

1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词含答案 (1)

高考一轮复习数学学案1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词（二）主编：孙灿审稿：王俊楠考点：全称量词与存在量词全称命题与特称命题含有一个量词的命题的否定【考点讲解】1.全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”、“一切”、“每一个”、“所有的”等.(2)常见的存在量词有：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“某个”、“有的”等.(3)全称量词用符号“____”表示；存在量词用符号“______”表示.(4)全称命题与特称命题①__________________的命题叫全称命题.②__________________的命题叫特称命题.2.命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题.(2)“p 或q ”的否定为：“非p 且非q ”；“p 且q ”的否定为：“非p 或非q ”.【重难点突破】1．命题“∃x ∈R ，x 2－2x ＋1<0”的否定是( )A ．∃x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0B ．∃x ∈R ，x 2－2x ＋1>0C ．∀x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0D ．∀x ∈R ，x 2－2x ＋1<0答案 C解析因要否定的命题是特称命题，而特称命题的否定为全称命题．对x 2－2x ＋1<0的否定为x 2－2x ＋1≥0，故选C.2 判断下列命题的真假．(1)∀x ∈R ，都有x 2－x ＋1>12. (2)∃α，β使cos(α－β)＝cos α－cos β.(3)∀x ，y ∈N ，都有x －y ∈N .(4)∃x 0，y 0∈Z ，使得2x 0＋y 0＝3.解题导引判定一个全(特)称命题的真假的方法：(1)全称命题是真命题，必须确定对集合中的每一个元素都成立，若是假命题，举反例即可．(2)特称命题是真命题，只要在限定集合中，至少找到一个元素使得命题成立．解 (1)真命题，因为x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34>12. (2)真命题，如α＝π4，β＝π2，符合题意．(3)假命题，例如x ＝1，y ＝5，但x －y ＝－4 N .(4)真命题，例如x 0＝0，y 0＝3符合题意．3.(2011·日照月考)下列四个命题中，其中为真命题的是( )A ．∀x ∈R ，x 2＋3<0B ．∀x ∈N ，x 2≥1C ．∃x ∈Z ，使x 5<1D ．∃x ∈Q ，x 2＝3答案 C解析由于∀x ∈R 都有x 2≥0，因而有x 2＋3≥3，所以命题“∀x ∈R ，x 2＋3<0”为假命题；由于0∈N ，当x ＝0时，x 2≥1不成立，所以命题“∀x ∈N ，x 2≥1”为假命题；由于－1∈Z ，当x ＝－1时，x 5<1，所以命题“∃x ∈Z ，使x 5<1”为真命题；由于使x 2＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以命题“∃x ∈Q ，x 2＝3”为假命题．【高考链接】1．(2010·湖南)下列命题中的假命题是( )A ．∀x ∈R,2x －1>0B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0C ．∃x ∈R ，lg x <1D ．∃x ∈R ，tan x ＝2答案 B解析对于B 选项x ＝1时，(x －1)2＝0.2．(2009·辽宁)下列4个命题：p 1：∃x ∈(0，＋∞)，(12)x <(13)x ； p 2：∃x ∈(0,1)，log 12x >log 13x ； p 3：∀x ∈(0，＋∞)，(12)x >log 12x ； p 4：∀x ∈(0，13)，(12)x <log 13x . 其中的真命题是( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4答案 D解析取x ＝12，则log 12x ＝1，log 13x ＝log 32<1， p 2正确．当x ∈(0，13)时，(12)x <1，而log 13x >1，p 4正确【模拟演练】1．(2010·安徽)命题“对∀x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是______________．答案∃x∈R，|x－2|＋|x－4|≤32．(2010·安徽)命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是______________________．答案对任意x∈R，都有x2＋2x＋5≠03.已知r(x):sin x+cos x>m,s(x):x2+mx+1>0.如果对∀x∈R,r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题,求实数m的取值范围.【解析】∵sin x+cos x= sin(x+ )≥- ,∴当r(x)是真命题时,m<- .又∵对∀x∈R,s(x)为真命题,即x2+mx+1>0恒成立,有Δ=m2-4<0,∴-2<m<2.∴当r(x)为真,s(x)为假时,m<- .同时m≤-2或m≥2,即m≤-2,当r(x)为假,s(x)为真时,m≥- 且-2<m<2,即- ≤m<2.综上可得,实数m的取值范围是m≤-2或- ≤m<2.。

高中数学考点3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(含2014高考试题)

考点3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、选择题1。

（2014·湖北高考文科·Ｔ3）命题“x ∀∈R ，2x x ≠”的否定是A ．x ∀∉R ,2x x ≠B ．x ∀∈R ,2x x =C ．x ∃∉R ，2x x ≠D ．x ∃∈R ，2x x =【解题提示】考查全称命题的否定【解析】选D. 全称命题的否定是特称命题，所以命题“x ∀∈R ，2x x ≠”的否定是“x ∃∈R ，2x x =” 2.(2014·湖南高考文科·Ｔ1)设命题2:,10p x R x ∀∈+>,则p ⌝为（ )200.,10A x R x ∃∈+> 200.,10B x R x ∃∈+≤200.,10C x R x ∃∈+< 200.,10D x R x ∀∈+≤【解题提示】根据“全称命题的否定是存在命题,存在命题的否定是全称命题，即：若命题()x q D x p ,:∈∀，则()00,:x q D x p ⌝∈∃⌝；若命题()00,:x q D x p ∈∃，则()x q D x p ⌝∈∀⌝,:”【解析】选B 。

01,:200≤+∈∃⌝x R x p 。

3。

（2014·湖南高考理科·Ｔ5）已知命题22:,;:,.p x y x y q x y x y >-<->>若则命题若则在命题①p q ∧②p q ∨③()p q ∧⌝④()p q ⌝∨中，真命题是( ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【解题提示】先判断p,q 的真假，再利用“或、且、非”的真假判断求解。

【解析】选C.由不等式的性质,得p 真；q 假。

由“或、且、非"的真假判断得到①假，②真,③真，④假.4。

（2014·福建高考文科·Ｔ5)．命题“[)30,.0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是（ ) ()()[)[)3333000000.,0.0.,0.0.0,.0.0,.0A x x x B x x x C x x x D x x x ∀∈-∞+<∀∈-∞+≥∃∈+∞+<∃∈+∞+≥ 【解题指南】全称命题的否定为特称命题，【解析】C ．命题“[)0,x ∀∈+∞，30x x +≥"的否定是“[)00,x ∃∈+∞，30x x +<”．故选C ．5。

3、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(含答案)

3.简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.简单的逻辑联结词(1)““(2)概念用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作06p.(3)命题p∧q，p∨q，p的真假判断p2．全称量词和存在量词3．全称命题和特称命题03∃x0∈M，p(x0)04∀x∈M，p(x)5．熟记一组口诀“或”命题一真即真，“且”命题一假即假，“非”命题真假相反．如举例说明1中p∧q为假⇔p假或q假.6．全(特)称命题真假的判断方法全称命题(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x)不成立即可．特称命题要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．7．对全(特)称命题进行否定的方法(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；(2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可．提醒：对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．8．根据复合命题的真假求参数的取值范围的步骤(1)求出当命题p，q为真命题时所含参数的取值范围；(2)根据复合命题的真假判断命题p，q的真假；(3)根据命题p，q的真假情况，利用集合的交集、并集和补集的运算，求解参数的取值范围．9．根据全称命题、特称命题的真假求参数的取值范围(1)巧用三个转化①全称命题可转化为恒成立问题②特称命题可转化为存在性问题．③全(特)称命题假可转化为特(全)称命题真．(2)准确计算通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．练习一1．(1)命题“3≤3”是假命题．( )(2)命题p与p不可能同真，也不可能同假．( )(3)p，q中有一个假，则p∧q为假．( )(4)“长方形的对角线相等”是特称命题．( )答案(1)×(2)√(3)√(4)×2．命题p：∃x0∈R，x20－x0＋1≤0的否定是( )A．∃x0∈R，x20－x0＋1>0B．∀x∈R，x2－x＋1≤0C．∀x∈R，x2－x＋1>0D．∃x0∈R，x20－x0＋1<0答案 C3.下列命题中的假命题是( )A．∃x0∈R，lg x0＝1 B．∃x0∈R，sin x0＝0C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R,2x>0答案 C4.已知命题p：对任意的x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A．p∧q B．(p)∧(q)C．(p)∧q D．p∧(q)答案 D5.命题“∃x0∈R,1＜f(x0)≤2”的否定是________．答案∀x∈R，f(x)≤1或f(x)＞26．已知命题p，q，“p为真”是“p∧q为假”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A7．命题p：函数y＝log2(x－2)的单调增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝13x＋1的值域为(0,1)．下列命题是真命题的为( )A．p∧q B．p∨qC．p∧(q) D．q答案 B8．设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中的真命题是( ) A．p∨q B．p∧qC．(p)∧(q) D．p∨(q)答案 A9．已知命题p：∃x0∈R，使sin x0＝52；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋1＞0.给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(q)”是假命题；③命题“(p)∨q”是真命题；④命题“(p)∨(q)”是假命题，其中正确的是________．(把所有正确结论的序号都填上)答案②③10．已知命题p：∀x∈R，x＋1x≥2；命题q：∃x0∈(0，＋∞)，x20>x30，则下列命题中为真命题的是( )A．(p)∧q B．p∧(q)C．(p)∧(q) D．p∧q答案 A11．(1)已知定义在R上的函数f(x)周期为T(常数)，则命题“∀x∈R，f(x)＝f(x＋T)”的否定是____________；(2)命题“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”的否定是____________________．答案(1)∃x0∈R，f(x0)≠f(x0＋T)(2)角平分线上有的点到这个角两边的距离不相等练习二1．设命题p：∃n∈N，n2>2n，则p为( )A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n答案 C2．已知直线l ：y ＝k (x －1)，圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)，现给出下列四个命题：p 1：∀k ∈R ，l 与C 相交；p 2：∃k ∈R ，l 与C 相切； p 3：∀r >0，l 与C 相交；p 4：∃r >0，l 与C 相切．其中真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 2，p 4答案 A3.已知a ∈R ，命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0.若命题p ∧q 为真命题，则实数a 的取值范围是________．答案 a ≤－2或a ＝14．已知f (x )＝ln (x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞5.条件探究将本例中“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞解析当x 2∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，6.若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，m ≤tan x ＋1”为真命题，则实数m 的最大值为________．答案 0练习三1．已知命题p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，则p 为( ) A ．∃x 0∈R ，sin x 0≥1 B ．∀x ∈R ，sin x ≥1 C ．∃x 0∈R ，sin x 0＞1 D ．∀x ∈R ，sin x ＞1答案 C2．已知命题p ：∃x 0∈R ，log 2(3x 0＋1)≤0，则( ) A ．p 是假命题；p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 B ．p 是假命题；p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0 C ．p 是真命题；p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 D ．p 是真命题；p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0答案 B3．若定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则下列命题中一定为真命题的是( )A ．∀x ∈R ，f (－x )≠f (x )B ．∀x ∈R ，f (－x )＝－f (x )C ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)D ．∃x 0∈R ，f (－x 0)＝－f (x 0) 答案 C4．命题p ：若sin x >sin y ，则x >y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .下列命题为假命题的是( )A ．p 或qB ．p 且qC ．qD ．p答案 B5．已知命题p ：∃x 0∈N ，x 30＜x 20；命题q ：∀a ∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f (x )＝log a (x －1)的图象过点(2,0)，则( )A ．p 假q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 假D ．p 真q 真答案 A6．已知命题p ：若复数z 满足(z －i)(－i)＝5，则z ＝6i ；命题q ：复数1＋i 1＋2i的虚部为－15i ，则下面为真命题的是( )A ．(p )∧(q ) B ．(p )∧qC ．p ∧(q )D ．p ∧q答案 C7．若命题“∀x ∈R ，使得x 2＋(a －1)x ＋1≥0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．[－1,3]C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)答案 C8．命题p的否定是“对所有正数x，x>x＋1”，则命题p可写为__________________．答案存在正数x0，x0≤x0＋19．已知命题p：∃x0∈Q，x20＝2，命题q：函数y＝2cos x是偶函数，则下列命题：①p∨q；②p∧q；③(p)∧(q)；④p∨(q)．其中为假命题的序号为________．答案②③④10．已知命题p：关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实根；命题q：a>0.若“(p∨q)”是假命题，“p∧q”是假命题，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，－2]∪(0,2)练习四1．给出以下命题：①存在x0∈R，sin2x2＋cos2x2＝12；②对任意实数x1，x2若x1＜x2，则tan x1＜tan x2；③命题“∃x0∈R，1x－1＜0”的否定是“∀x∈R，1x－1≥0”；④∀x∈R，sin x＜2x.其中真命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3答案 A2．已知命题p：“a＞b”是“2a＞2b”的充要条件；命题q：∃x∈R，|x＋1|≤x，则( )A．(p)∨q为真命题B．p∧(q)为假命题C．p∧q为真命题D．p∨q为真命题答案 D3．已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0；q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0.若“p ∨q ”为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2]答案 A4．已知x ，y ∈R ，下列条件能作为“x >2且y >2”的必要不充分条件的个数为( )①∀t ∈[0,4)，均有x ＋y ≥t 恒成立； ②∀t ∈[0,4)，均有x －y ≤t 恒成立； ③∃t ∈[4，＋∞)，有x ＋y ≥t 成立； ④∀t ∈[4，＋∞)，均有x －y ≤t 恒成立． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 C5．给出下列四个命题： ①∃x 0<0，e －x 0<1； ②∀x >2，x 2>2x ；③∀α，β∈R ，sin(α－β)＝sin α－sin β； ④若q 是p 成立的必要不充分条件，则q 是p 成立的充分不必要条件．其中真命题的序号是________．答案 ④6．已知p ：∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12，2x <m (x 2＋1)，q ：函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1存在零点，若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，1。

2014高考数学 1-3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词领航规范训练文新人教A版

2014高考数学 1-3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词领航规范训练文新人教A 版【A 级】基础训练1．(2013·合肥二检)已知命题p ：所有的素数都是奇数，则命题綈p 是( )A ．所有的素数都不是奇数B ．有些素数是奇数C ．存在一个素数不是奇数D ．存在一个素数是奇数解析：“所有”改为“存在”，“都是”改为“不是”．答案：C2．(2013·潍坊市仿真)下列命题中，真命题的个数有( )①∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；②∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0；③函数y ＝2－x是单调递减函数．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：①x 2－x ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≥0对；②x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1≥1错；③y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是减函数，对．答案：C3．设α、β为两个不同的平面，m 、n 为两条不同的直线，且m ⊂α，n ⊂β，有两个命题，p ：若m ∥n ，则α∥β；q ：若m ⊥β，则α⊥β.那么( )A ．“p 或q ”是假命题B ．“p 且q ”是真命题C ．“非p 或q ”是假命题D ．“非p 且q ”是真命题解析：依题意得，命题p 是假命题，命题q 为真命题，所以“非p 且q ”是真命题．答案：D4．若命题p ：关于x 的不等式ax ＋b ＞0的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＞－b a ，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )＜0的解集是{x |a ＜x ＜b }，则在命题“p ∧q ”、“p ∨q ”、“綈p ”、“綈q ”中，是真命题的有________．解析：依题意可知命题p 和q 都是假命题，所以“p ∧q ”为假、“p ∨q ”为假、“綈p ”为真、“綈q ”为真．答案：綈p 、綈q5．(2013·江南十校联考)若命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：因为“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9＜0”为假命题，则“∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a 2－4×2×9≤0，故－22≤a ≤2 2. 答案：－22≤a ≤2 26．下列四个命题：①∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0；②∀x ∈Q ，12x 2＋x －13是有理数；③∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β； ④∃x ，y ∈Z ，使3x －2y ＝10. 所有真命题的序号是________．解析：①②显然正确；③中，若α＝π2，β＝0，则sin(α＋β)＝1，sin α＋sin β＝1＋0＝1，等式成立，∴③正确；④中，x ＝4，y ＝1时，3x －2y ＝10成立，∴④正确．故填①②③④. 答案：①②③④7．已知命题p ：存在一个实数x ，使ax 2＋ax ＋1＜0.当a ∈A 时，非p 为真命题，求集合A .解：非p 为真，即“∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0”为真．若a ＝0，则1≥0成立，即a ＝0时非p 为真；若a ≠0，则非p 为真⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0Δ＝a 2－4a ≤0⇔0＜a ≤4.综上知，所求集合A ＝{a |0≤a ≤4}．8．已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x ＞1c恒成立．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求c 的取值范围．解：由命题p 为真知，0＜c ＜1，由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤52，要使此式恒成立，需1c ＜2，即c ＞12，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则p 、q 中必有一真一假，当p 真q 假时，c 的取值范围0＜c ≤12；当p 假q 真时，c 的取值范围是c ≥1. 综上可知，c 的取值范围是⎩⎨⎧c ⎪⎪⎪⎭⎬⎫0＜c ≤12或c ≥1.【B 级】能力提升1．(2013·山东高考原创卷)命题p ：“已知0＜x ＜π2，若x cos x ＜1，则x cos 2x ＜1”的否定为( )A ．已知x ≤0或x ≥π2，若x cos x ＜1，则x cos 2x ≥1B ．已知x ≤0或x ≥π2，若x cos x ≥1，则x cos 2x ≥1C ．已知0＜x ＜π2，若x cos x ＜1，则x cos 2x ≥1D ．已知0＜x ＜π2，若x cos x ≥1，则x cos 2x ≥1解析：在命题p 中，“已知0＜x ＜π2”为大前提，在命题的否定中不能改变，命题“若A ，则B ”的否定是“若A ，则綈B ”，故命题p 的否定为：已知0＜x ＜π2，若x cos x＜B ， 1，则x cos 2x ≥1，故选C. 答案：C2．(2013·山东高考信息卷)已知命题p ：“x ＞3”是“x 2＞9”的充要条件，命题q ：“a c2＞bc 2”是“a ＞b ”的充要条件，则( ) A ．“p 或q ”为真B ．“p 且q ”为真C ．p 真q 假D ．p ，q 均为假解析：由x ＞3能够得出x 2＞9，反之不成立，故命题p 是假命题，由ac 2＞b c2能够推出a ＞b ，反之不成立，故命题q 也是假命题．因此选D. 答案：D3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0－x 2＋2ax ＋1，x ＞0(a ∈R)，则下列结论正确的是( )A ．∃a ∈R ，f (x )有最大值f (a )B ．∃a ∈R ，f (x )有最小值f (0)C ．∀a ∈R ，f (x )有唯一零点D ．∀a ∈R ，f (x )有极大值和极小值解析：当x ＜0时，x 越小，f (x )越大，函数f (x )无最大值；当x ＞0时，x →＋∞时，f (x )→－∞，函数f (x )无最小值．结合函数图象可知，选项C 中的命题为真命题；结合函数性质和图象可知，当a ≤0时，函数f (x )既无极大值也无极小值，选C.答案：C4．已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由p 是真命题知a ≥e，由q 是真命题知a ≤4. ∴a ∈[e,4]．答案：[e,4]5．(2013·安徽百校联考)若命题“存在实数x ，使x 2＋ax ＋1＜0”的否定是假命题，则实数a 的取值范围为________．解析：由于命题的否定是假命题，所以原命题为真命题，结合图象知Δ＝a 2－4＞0，解得a ＞2或a ＜－2. 答案：a ＜－2或a ＞26．(2013·江苏省南通市高三模拟)已知f (x )＝x 2，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若对∀x 1∈[－1,3]，∃x 2∈[0,2]，f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________．解析：据题意可知：f (x )min ≥g (x )min ，x 1∈[－1,3]，x 2∈[0,2]．可得0≥⎝ ⎛⎭⎪⎫122－m ，解得m ≥14.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞7．(创新题)已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0，若命题“p 或q ”是假命题，求a 的取值范围．解：由2x 2＋ax －a 2＝0得(2x －a ) (x ＋a )＝0， ∴x ＝a2或x ＝－a ， ∴当命题p 为真命题时|a2|≤1或|－a |≤1，∴|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2. ∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2. ∴命题“p 或q ”为真命题时，|a |≤2.∴命题“p 或q ”为假命题，∴p 为假命题且q 为假命题， ∴a ＞2或a ＜－2.即a 的取值范围为{a |a ＞2或a ＜－2}．。

高中掌握简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词知识点+例题+练习

教学过程3．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x∈M，非p(x)∃x∈M，p(x)∀x∈M，非p(x)辨析感悟1．逻辑联结词的理解与应用(1)命题p∧q为假命题的充要条件是命题p，q至少有一个假命题．()(2)命题p∨q为假命题的充要条件是命题p，q至少有一个假命题．() 2．对命题的否定形式的理解(3) “有些偶数能被3整除”的否定是“所有的偶数都不能被3整除”．()(4) 命题p：∃n0∈N,2n0＞1 000，则非p：∃n∈N,2n≤1 000.()(5) 设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集，若命题p：∀x∈A,2x∈B，则非p：∃x∉A,2x∉B.()(6)已知命题p：若x＋y＞0，则x，y中至少有一个大于0，则非p：若x＋y≤0，则x，y中至多有一个大于0.()[感悟·提升]1．一个区别逻辑联结词“或”与日常生活中的“或”是有区别的，前者包括“或此、或彼、或兼”三种情形，后者仅表示“或此、或彼”两种情形．有的含有“且”“或”“非”联结词的命题，从字面上看不一定有“且”“或”“非”等字样，这就需要我们掌握一些词语、符号或式子与逻辑联结词“且”“或”“非”的关系．如“并且”、“綉”的含义为“且”；“或者”、“≤”的含义为“或”；“不是”、“”的含义为“非”．2．两个防范一是混淆命题的否定与否命题的概念导致失误，非p指的是命题的否定，只需否定结论．如(5)、(6)；二是否定时，有关的否定词否定不当，如(6)．考点一含有逻辑联结词命题的真假判断【例1】设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为π2；命题q：函教学效果分析教学过程p2：∃x0∈(0,1)，12log x0＞13log x0；p3：∀x∈(0，＋∞)，12x⎛⎫⎪⎝⎭＞12log x；p4：∀x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，13，12x⎛⎫⎪⎝⎭＜13log x.其中真命题是________．规律方法对于存在性命题的判断，只要能找到符合要求的元素使命题成立，即可判断该命题成立，对于全称命题的判断，必须对任意元素证明这个命题为真，而只要找到一个特殊元素使命题为假，即可判断该命题不成立.【训练3】(2013·开封二模)下列命题中的真命题是________(填序号)．①∃x∈R，使得sin x＋cos x＝32；②∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1；③∃x∈(－∞，0)，2x<3x；④∀x∈(0，π)，sin x>cos x.1．逻辑联结词与集合的关系“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．2．正确区别命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真．答题模板1——借助逻辑联结词求解参数范围问题教学效果分析。

1.3简单的逻辑联结词、全称量词和存在量词

【解析】选A．“非p或非q”是假命题，可得“非p”与“非q” 均为假命题，即p,q均为真命题，故结论①③正确．
4．已知命题p： x∈R,sin x≤1，则(
(A) p: x∈R,sin x≥1 (C) p: x∈R,sin x>1
)
(B) p: x∈R,sin x≥1 (D) p: x∈R,sin x>1
b 2
项C中的命题为假；根据不等式的性质，a>1，b>1⇒ab>1，但反之不成立，故选项D中的命题为真．
(2)选D．由于x2+x+1= (x 1 ) 2 3 0 对任意实数x恒成立，故选
2 4
项A中的命题为真命题；令y=ex,y=-x+1，结合两个函数的图象可知这两个函数的图象存在公共点，故“ x∈R,ex+x=1”为真命题；f′(x)=3x2+a，只要a≥0，f′(x)≥0即在(-≦,+≦) 上恒成立，函数f(x)=x3+ax即在(-≦,+≦)上单调递增，故选项C中的命题为真命题；由于Δ=a2-4a，当Δ<0，即0<a<4时，函数f(x)=x2+ax+a不存在零点，故“ a∈R,f(x)=x2+ax+a存在零点”是假命题．
x 2 (2)“ a∈R，函数 f x a 是R上的奇函数”的否定是 2x a
_________．【思路点拨】(1)已知命题是一个含全称量词的命题，其否定是一个含存在量词的命题． (2)已知命题是一个含存在量词的命题，其否定是含全称量词的命题，注意“奇函数”的否定为“不是奇函数”．
p是对p的否定，故有 p: x∈R,sin x>1. 【解析】选C．

(完整版)简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

03 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词知识梳理1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p ∧q 、p ∨q 、非p 的真假判断2.(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“∀”表示；含有全称量词的命题叫做全称命题．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“∃”表示；含有存在量词的命题叫做特称命题．(3)含有一个量词的命题的否定要点整合1．若p ∧q 为真，则p ，q 同为真；若p ∧q 为假，则p ，q 至少有一个为假；若p ∨q 为假，则p ，q 同为假；若p ∨q 为真，则p ，q 至少有一个为真．2．“p ∧q ”的否定是“(非p )∨(非q )”；“p ∨q ”的否定是“(非p )∧(非q )”．题型一. 含有一个逻辑联结词命题的真假性例1. 已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(非p )∧(非q )C ．(非p )∧qD ．p ∧(非q )解析：根据指数函数的图象可知p 为真命题．由于“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，所以q 为假命题，所以非q 为真命题．逐项检验可知只有p ∧(非q )为真命题．故选D.[答案] D判断含有一个逻辑联结词命题的真假性的步骤第一步：先判断命题p 与q 的真假性，从而得出非p 与非q 的真假性．第二步：根据“p ∧q ”与“p ∨q ”的真值表进行真假性的判断．变式1．设命题p ：3≥2，q ：函数f (x )＝x ＋1x (x ∈R )的最小值为2，则下列命题为假命题的是( )A ．p ∨qB ．p ∨(非q )C ．(非p )∨qD ．p ∧(非q )解析：选C.命题p ：3≥2是真命题，命题q 是假命题，∴(非p )∨q 为假命题，故选C.变式2．已知命题p ：∀x ∈R ，2x <3x ，命题q ：∃x ∈R ，x 2＝2－x ，若命题(非p )∧q 为真命题，则x 的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选D.∵非p ：∃x ∈R ，2x ≥3x ，要使(非p )∧q 为真，∴非p 与q 同时为真．由2x ≥3x 得⎝⎛⎭⎫23x ≥1， ∴x ≤0，由x 2＝2－x 得x 2＋x －2＝0，∴x ＝1或x ＝－2，又x ≤0，∴x ＝－2.变式3．设p ：y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是减函数；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴有两个不同的交点，若p ∨(非q )为假，则a 的范围为__________．解析：∵p ∨(非q )为假，∴p 假q 真．p 为假时，a >1，q 为真时，(2a －3)2－4>0，即a <12或a >52，∴a 的范围为(1，＋∞)∩⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－∞，12∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞ ＝⎝⎛⎭⎫52，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫52，＋∞题型二. 含有一个量词的命题的否定例2. 命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( )A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1C ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1D ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1解析：由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为全称命题，则所求命题的否定为∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1，故选A.[答案] A(1)特称命题与全称命题否定的判断方法：“∃”“∀”相调换，否定结论得命题．对没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；(2)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可．变式1．命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0的否定为( )A ．非p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2>0B ．非p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0C ．非p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0D ．非p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2＜0解析：选C.根据特称命题的否定形式知非p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，故选C.变式2．设命题p ：任意两个等腰三角形都相似，q ：∃x 0∈R ，x 0＋|x 0|＋2＝0，则下列结论正确的是 ( )A ．p ∨q 为真命题B ．(非p )∧q 为真命题C ．p ∨(非q )为真命题D ．(非p )∧(非q )为假命题解析：选C.∵p 假，非p 真；q 假，非q 真，∴p ∨q 为假，(非p )∧q 为假，p ∨(非q )为真，(非p )∧(非q )为真，故选C.题型三. 全称命题与特称命题真假性的应用例3. 已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2，2]解析：依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎨⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2. [答案] A根据全称与特称命题的真假性求参数范围的步骤第一步：对两个简单命题进行真假性判断．第二步：根据p ∧q 为真，则p 真q 真，p ∧q 为假，则p与q 至少有一个为假，p ∨q 为真，则p 与q 至少有一个为真，p ∨q 为假，则p 假q 假．第三步：根据p 、q 的真假性列出关于参数的关系式，从而求出参数的范围．变式1．若命题“存在实数x 0，使x 20＋ax 0＋1＜0”的否定是真命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－2] B ．[－2，2]C ．(－2，2)D ．[2，＋∞)解析：选B.因为该命题的否定为：“∀x ∈R ，x 2＋ax ＋1≥0”是真命题，则Δ＝a 2－4×1×1≤0，解得－2≤a ≤2.故实数a 的取值范围是[－2，2]．变式2．(名师原创)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，sin x ≤m ”是真命题，则实数m 的范围为( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，1]C.⎝⎛⎦⎤－∞，12 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：选A.∵∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，12≤sin x ≤1. ∴“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，sin x ≤m ”为真命题时，m ≥1，故选A.【真题演练】1.【浙江理数】命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x >”的否定形式是（）A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x <B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x <C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x <D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x <【答案】D【解析】∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ．2.【高考新课标1，理3】设命题p ：2,2n n N n ∃∈>，则p ⌝为( )（A ）2,2n n N n ∀∈> （B ）2,2n n N n ∃∈≤（C ）2,2n n N n ∀∈≤ （D ）2,=2n n N n ∃∈【答案】C【解析】p ⌝:2,2nn N n ∀∈≤，故选C.3.【高考浙江，理4】命题“**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是（） A. **,()n N f n N ∀∈∈且()f n n > B. **,()n N f n N ∀∈∈或()f n n >C. **00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n >D. **00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n >【答案】D.【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可知选D.4.【陕西卷】原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假【答案】B5.【重庆卷】已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0，q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．非p ∧非qC ．非p ∧qD ．p ∧非q【答案】D【解析】根据指数函数的图像可知p 为真命题．由于“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，所以q 为假命题，所以非q 为真命题，所以p ∧非q 为真命题．6.【湖北卷】在一次跳伞中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(⌝p)∨(⌝q)B ．p ∨(⌝q)C ．(⌝p)∧(⌝q)D ．p ∨q【答案】A“至少一位学员没降落在指定区域”即“甲没降落在指定区域或乙没降落在指定区域”，可知选A.。

高三数学总复习简单的逻辑联结词、全称量词与存在性量词

简单的逻辑联结词、全称量词与存在性量词【知识网络】【考点梳理】一、复合命题的真假ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真。

二、全称命题与特称命题1、全称量词：类似“所有”这样的量词，并用符号“∀”表示。

2、全称命题：含有全称量词的命题。

其结构一般为：,()x M p x ∀∈3、存在量词：类似“有一个”或“有些”或“至少有一个”这样的量词，并用符号“∃”表示。

4、特称命题：含有存在量词的命题。

其结构一般为：,()x M p x ∃∈ 三、全称命题与特称命题的否定1、命题的否定和命题的否命题的区别命题p 的否定，即p ⌝，指对命题p 的结论的否定。

命题p 的否命题，指的是对命题p 的条件和结论的同时否定。

2、全称命题的否定全称命题p ：,()x M p x ∀∈ 全称命题p 的否定（p ⌝）：,()x M p x ∃∈⌝ 特称命题:p ,()x M p x ∃∈ 特称命题的否定:p ⌝,()x M p x ∀∈⌝所以全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。

四、常见结论的否定形式原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n 个至多有（1n -）个简易逻辑逻辑联结词简单命题与复合命题全称量词、存在量词或、且、非小于不小于至多有n个至少有（1n+）个对所有x，成立存在某x，不成立p或q p⌝且q⌝对任何x，不成立存在某x，成立p且q p⌝或q⌝【典型例题】类型一：判定复合命题的真假【高清课堂：逻辑例2】例1.分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．(1)若q＜1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；(2)若ab＝0，则a＝0或b＝0；(3)若实数x、y满足x2＋y2＝0，则x、y全为零．解析：(1)逆命题：若关于x的方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q＜1，为假命题．否命题：若q≥1，则关于x的方程x2＋2x＋q＝0无实根，假命题．逆否命题：若关于x的方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q≥1，真命题．(2)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0，真命题．否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，真命题．逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，真命题．(3)逆命题：若x、y全为零，则x2＋y2＝0，真命题．否命题：若实数x、y满足x2＋y2≠0，则x、y不全为零，真命题．逆否命题：若实数x、y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题．【变式1】已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【答案】B ．【解析】命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0，则命题p为真命题，则￢p为假命题；取a=-1，b=-2，a＞b，但a2＜b2，则命题q是假命题，则￢q是真命题．∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题．故选B．【变式2】满足“p或q”为真，“非p”为真的是（填序号）（1）p：在ABC中，若cos2A＝cos2B，则A＝B；q: ＝sinx在第一象限是增函数（2）p：；q: 不等式的解集为（3）p:圆的面积被直线平分；q：椭圆的一条准线方程是.【答案】(2)；【解析】由已知条件，知命题p假、命题q真. 选项(1)中，命题p真而命题q假，排除；选项(2)中命题p假、命题q真；选项(3)中，命题p和命题q都为真，排除；故填(2)．2.已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A解析：直线a 与直线b 相交,则,αβ一定相交,若,αβ相交,则a ,b 可能相交，也可能平行、异面,故选A.点评：1. 判断复合命题的真假的步骤：①确定复合命题的构成形式；②判断其中简单命题p 和q 的真假；③根据规定（或真假表）判断复合命题的真假.2. 条件“x N ∈或0x <”是“或”的关系，否定时要注意. 举一反三：【变式1】（2016 四川高考）设p ：实数x ，y 满足(x –1)2+(y –1)2≤2，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的（A ）必要不充分条件（B ）充分不必要条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A ；解析：画出可行域（如图所示），可知命题q 中不等式组表示的平面区域ABC ∆在命题p 中不等式表示的圆盘内，故选 A.类型二：全称命题与特称命题真假的判断例3. 判断下列命题的真假，写出它们的否定并判断真假.（1）:p 2,20x R x ∀∈+>；（2）:p 200,10x R x ∃∈+=；（3）:p 2,320x R x x ∀∈-+=；（4）:p 200,4x Q x ∃∈=.解析：(1)由于x R ∀∈都有20x ≥，故2220x +≥>，p 为真命题；p ⌝：200,20x R x ∃∈+≤，p ⌝为假命题(2) 因为不存在一个实数x ，使210x +=成立，p 为假命题；p ⌝：2,10x R x ∀∈+≠，p ⌝为真命题.(3)因为只有2x =或1x =满足方程，p 为假命题；p ⌝：2000,320x R x x ∃∈-+≠，p ⌝为真命题.(4) 由于使24x =成立的数有2±，且它们是有理数，p 为真命题；p ⌝：2,4x Q x ∀∈≠，p ⌝为假命题.点评：1. 要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，验证()p x 成立；要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个0x x =，使0()p x 不成立即可；2.要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M 中，至少能找到一个0x x =，使0()p x 成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题.举一反三：【高清课堂：逻辑思考题2】【变式1】分别写出下列各命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．(1)若a>b 且c>d ，则a ＋c>b ＋d(2)若a<0，则方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根．【答案】(1)逆命题：若a ＋c>b ＋d ，则a>b 且c>d(假命题) 否命题：若a ≤b 或c ≤d ，则a ＋c ≤b ＋d(假命题) 逆否命题：若a ＋c ≤b ＋d ，则a ≤b 或c ≤d(真命题)(2)逆命题：若方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根，则a<0否命题：若a ≥0，则方程ax 2＋2x ＋1＝0无负实数根逆否命题：若方程ax 2＋2x ＋1＝0无负实数根，则a ≥0因为若a<0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0为两根之积为1a <0，所以方程有一个负根，所以原命题为真命题，所以其逆否命题也为真命题．逆命题为假命题．事实上，方程ax 2＋2x ＋1＝0，有两个负数根时1a >0此时a>0，所以逆命题不成立．因此否命题也是假命题. 类型三：在证明题中的应用例 4.若,,a b c 均为实数，且222a x y π=-+，223b y z π=-+，226c z x π=-+．求证：,,a b c 中至少有一个大于0．解析：假设,,a b c 都不大于0，即0,0,0a b c ≤≤≤，则0a b c ++≤ 而222222222(1)(1)(1)3236a b c x y y z z x x y z ππππ++=-++-++-+=-+-+-+-∵222(1)(1)(1)0x y z -+-+-≥，30π->．∴0a b c ++>，这与0a b c ++≤相矛盾．因此,,a b c 中至少有一个大于0．点评： 1.利用反证法证明时，首先正确地作出反设（否定结论）.从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾，从而假设不正确，原命题成立，反证法一般适宜结论本身以否定形式出现，或以“至多…”、“至少…”形式出现，或关于唯一性、存在性问题，或者结论的反面是比原命题更具体更容易研究的命题.2.反证法时对结论进行的否定要正确，注意区别命题的否定与否命题．举一反三：【变式】求证:关于x 的方程20ax bx c ++=有一根为1的充分必要条件是0a b c ++=. 证明：(1）必要性，即证“1x =是方程20ax bx c ++=的根⇒0a b c ++=”.∵1x =是方程的根，将1x =代入方程，得2110a b c ⋅+⋅+=,即0a b c ++=成立. (2）充分性，即证“0a b c ++=⇒1x =是方程20ax bx c ++=的根”. 把1x =代入方程的左边，得211a b c a b c ⋅+⋅+=++∵0a b c ++=, ∴2110a b c ⋅+⋅+= ，∴1x =是方程的根成立. 综合(1)(2)知命题成立.。

2014·新课标高考总复习·数学1-3基本逻辑联结词、全称量词与存在量词

答案：对所有的x∈R，都有x2＋2x＋5≠0
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2014 ·新课标高考总复习 ·数学（B ·理）
抓主干双基知能优化
研考向要点知识探究悟真题透析解题策略提素能高效题组训练
考向一含有逻辑联结词命题的真假判断
[例 1] (2012 年高考山东卷)设命题 p：函数 y＝sin 2x 的最小正周期 π π 为2；命题 q：函数 y＝cos x 的图象关于直线 x＝2对称．则下列判断正确的是( )
(2)对于 A，若函数 f(x)＝(m－1)· 2－4m＋3 是幂函数，则有 m－1 xm ＝1，即 m＝2.当 m＝2 时，f(x)＝x－1 是幂函数，因此选项 A 中的命题是真命题．对于 B，注意到当 a>0 时，关于 t 的二次方程 t2＋t－a＝0 的判别式 Δ＝1＋4a>0，即该方程始终有两个不相等的实根，且两实根的积－ a<0，即该方程始终有一正一负两个实根，因此此时函数 f(x)＝ln2x＋ln x π π －a 有零点，所以选项 B 中的命题是真命题．对于 C，当 α＝，β＝－ 2 4 2 2 时，有 cos(α＋β)＝，cos α＋cos β＝，cos(α＋β)＝cos α＋cos β，因 2 2
D．(綈p)∧(綈q)
解析：∵p真，q假，∴(綈p)∨(綈q)为真．答案：C 4．(2013年银川模拟)若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，
则实数a的取值范围是________．
a<0，解析： a＝0 时，当不等式显然成立， a≠0 时，当由题意知 Δ≤0，
解得，－8≤a<0，故 a∈[－8,0]．
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2014 ·新课标高考总复习 ·数学（B ·理）