相似三角形经典题型

(1）以上各种判定均适用.

(２)如果一个直角三角形得斜边与一条直角边与另一个直角三角形得斜边与一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.

(３)直角三角形被斜边上得高分成得两个直角三角形与原三角形相似.

注:

射影定理:在直角三角形中，斜边上得高就是两直角边在斜边上射影得比例中项。每一条直角边就是这条直角边在斜边上得射影与斜边得比例中项。

如图,Rt △A ＢＣ中，∠ＢAC ＝９0°,AD 就是斜边B Ｃ上得高，

则ＡD 2＝BD ·DC,AB 2＝ＢD ·BC ,AC 2＝ＣD ·BC 。

知识点8 相似三角形常见得图形

1、下面我们来瞧一瞧相似三角形得几种基本图形:

（1）如图:称为“平行线型”得相似三角形(有“Ａ型”与“Ｘ型”图)

(2) 如图：其中∠1=∠2，则△A ＤE ∽△ABC 称为“斜交型”得相似三角形。（有“反A 共角型”、 “反A 共角共边型”、 “蝶型”) （3） 如图:称为“垂直型”(有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型(也称“射影定理型”)”“三垂直型”) （4）如图：∠1=∠2,∠B ＝∠D ，则△A ＤＥ∽△A ＢC ，称为“旋转型”得相似三角形。 2、几种基本图形得具体应用：

(1)若DE ∥BC(A 型与Ｘ型)则△ADE ∽△ABC

(２)射影定理 若CD 为R ｔ△AB Ｃ斜边上得高(双直角图形)

则Ｒt △ＡＢC ∽Rt △ACD ∽Ｒt △ＣBD 且ＡC 2＝ＡD ·AB ，ＣD 2=AD ·ＢD ，B Ｃ2=BD ·ＡB;

(３)满足1、ＡC 2=A Ｄ·A Ｂ,２、∠ACD=∠B,3、∠ACB=∠AD Ｃ,都可判定△A ＤC ∽△ACB ．

（4)当或ＡD ·ＡＢ=A Ｃ·AE 时，△A ＤＥ∽△ＡCB.

知识点9:全等与相似得比较:

三角形全等

三角形相似

两角夹一边对应相等(ASA)

两角一对边对应相等(AAS)

两边及夹角对应相等(SAS)

三边对应相等(SSS)

相似判定得预备定理 两角对应相等 两边对应成比例,且夹角相等 三边对应成比例

A

B C D E 1

2

A A B

B C

C D D

E E 12412E C A B

D

E A B C (D )E A D C B (1)E A B C D (3)D

B C A E (2)C D E

A

B

(3）位似图形得对应边互相平行或共线、

位似图形得性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心得距离之比等于相似比、

注：位似图形具有相似图形得所有性质、

画位似图形得一般步骤：

(1) 确定位似中心(位似中心可以就是平面中任意一点)

(2) 分别连接原图形中得关键点与位似中心,并延长(或截取)、

（3）根据已知得位似比,确定所画位似图形中关键点得位置、

（4) 顺次连结上述得到得关键点,即可得到一个放大或缩小得图形、①②③④⑤

注:①位似中心可以就是平面内任意一点,该点可在图形内,或在图形外,

或在图形上（图形边上或顶点上)。

②外位似:位似中心在连接两个对应点得线段之外,称为“外位似”（即同向位似图形)

③内位似:位似中心在连接两个对应点得线段上,称为“内位似”(即反向位似图形）

(5) 在平面直角坐标系中，如果位似变换就是以原点O为位似中心，相似比为k（k>0),原图形上点得坐标为(x,ｙ）,那么同向位似图形对应点得坐标为(ｋx,ky）, 反向位似图形对应点得坐标为(-kｘ，-ky),

经典例题透析

类型一、相似三角形得概念ﻫ１.判断对错: ﻫ（１）两个直角三角形一定相似吗?为什么?

(2)两个等腰三角形一定相似吗?为什么？ﻫ(3）两个等腰直角三角形一定相似吗?为什么？ﻫ(4)两个等边三角形一定相似吗?为什么?

(5)两个全等三角形一定相似吗？为什么?ﻫ思路点拨:要说明两个三角形相似,要同时满足对应角相等,对应边成比例、要说明不相似，则只要否定其中得一个条件、

解:（1）不一定相似、反例

ﻫ

直角三角形只确定一个直角,其她得两对角可能相等，也可能不相等、所以直角三角形不一定相似、ﻫ（２）不一定相似、反例

等腰三角形中只有两边相等,而底边不固定、因此两个等腰三角形中有两边对应成比例,两底边得比不一定等于对应腰得比,所以等腰三角形不一定相似、ﻫ

(３)一定相似、

在直角三角形ABＣ与直角三角形A′B′C′中ﻫ

设ＡB=a，A′B′=b,则BC=a,B′Ｃ′=b,AC＝ａ，A′C′=ｂﻫ∴ﻫ∴AＢC∽A′B′Ｃ′ﻫ

(4）一定相似、

因为等边三角形各边都相等，各角都等于６0度,所以两个等边三角形对应角相等,对应边成比例,因此两个等边三角形一定相似、ﻫﻫ(5）一定相似、ﻫ全等三角形对应角相等,对应边相等，所以对应边比为１，所以全等三角形一定相似,且相似比为1、

举一反三

(１)图中△ABC 与△ADE 就是否相似？为什么?

(2)求古塔得高度.

解:(１)△ABC ∽△ADE.

∵BC ⊥ＡE,ＤＥ⊥AE

∴∠ＡＣB=∠AED ＝90°

∵∠A=∠A

∴△A ＢC ∽△ＡD Ｅﻫ (２)由(1)得△ＡＢＣ∽△ADE

∴ﻫ ∵ＡC=2ｍ，ＡE=2+18=20m,BC ＝1、6m ﻫ ∴

∴DE=16m

答:古塔得高度为16ｍ、ﻫﻫ 【变式２】已知：如图,阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1、5m 宽得亮区ＤE 、亮区一边到窗下得墙脚距离C Ｅ=1、2ｍ,窗口高AB ＝1、8m,求窗口底边离地面得高ＢC ？

ﻫ 思路点拨:光线ＡD ／／B Ｅ,作E Ｆ⊥DC 交A Ｄ于Ｆ、则,利用边得比例关系求出BC 、ﻫ 解:作ＥF ⊥D Ｃ交AD 于F 、因为AD ∥B Ｅ,所以又因为,

所以,所以、ﻫ 因为ＡB ∥ＥF, AD ∥B Ｅ,所以四边形ABEF 就是平行四边形,所以EF=AB ＝1、8ｍ、ﻫ 所以m 、

类型五、相似三角形得周长与面积

８.已知：如图,在△A ＢＣ与△ＣＡＤ中,DA ∥BC,ＣD 与AB 相交于E 点,且ＡE ︰EB=1︰2,EF ∥BC 交ＡC 于F 点,△ADE 得面积为1，求△BCE 与△AEF 得面积. ﻫ

思路点拨:利用△ADE ∽△ＢCE ，以及其她有关得已知条件，可以求出△BCE 得面积.△AB Ｃ得边AB 上得高也就是△BCE 得高，根据AB ︰BE=3︰2，可求出△ABC 得面积.最后利用△AEF ∽△ＡBC,可求出△AE Ｆ得面积.ﻫ 解：∵ DA ∥BC,ﻫ ∴ △ADE ∽△BC Ｅ.ﻫ ∴ S △A ＤE ︰Ｓ△BCE ＝ＡE 2︰B Ｅ2．ﻫ ∵ AE ︰ＢＥ=1︰２,ﻫ ∴ Ｓ△AD Ｅ︰S △ＢCE ＝１︰4．

∵ S △ＡＤE ＝1,ﻫ ∴ Ｓ△BCE =4．ﻫ ∵ S △ABC ︰Ｓ△BCE =AB ︰B Ｅ＝3︰2,

∴ S △ABC ＝6.ﻫ ∵ E Ｆ∥BC,

∴ △ＡEF ∽△A ＢC.ﻫ ∵ A Ｅ︰ＡB=1︰3，

∴ S △AEF ︰S △ＡBC =AE ２︰AB 2=1︰9．ﻫ ∴ S △ＡEF ＝＝．ﻫ 总结升华：注意,同底(或等底)三角形得面积比等于这底上得高得比；同高(或等高)三角形得面积比等于对应底边得比.当两个三角形相似时,它们得面积比等于对应线段比得平方，即相似比得平方.ﻫﻫ 举一反三ﻫ 【变式1】有同一三角形地块得甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200与１∶500，求:甲地图与乙地图得相似比与面积比、

解:设原地块为△ＡBC,地块在甲图上为△A 1B １Ｃ1，在乙图上为△A 2B ２C 2、ﻫ ∴ △ABC ∽△Ａ1B 1C 1∽△Ａ2B ２C ２ﻫ 且，，