北京大学物理学院量子力学历年考研真题汇编
北京大学量子力学习题集1
[2] 波函数的归一化及 x2, p2 的计算
一维运动的粒子处于状态
ψ
(
x)
=
⎧ ⎨
Axe−
λ
x
,
⎩ 0,
x≥0 x<0
上，其中 λ > 0 ，A为待求的归一化常数，求(1)
粒子坐标的概率分布函数；(2)粒子坐标的平均
值 x 和粒子坐标平方的平均值 x2；(3)粒子动量 的概率分布函数；(4)粒子动量的平均值 p 和粒
则有
⎡⎢− ⎣
=2 2m
⋅
d2 dx2
+V (x)⎤⎥ψ E (x)
⎦
=
Eψ E (x)
V
(x)
=
E
+
=2 2m
ψ
1 E (x)
⋅
d2 dx2
ψ
E
( x),
−∞< x<∞
(1)
如果给定一个定态波函数ψ E (x) ，则由式(1)
可给出 V (x) − E ，欲分别求出 E和 V (x)，还需
要附加条件,例如设定 V (x) 的零点.
∑ (En − Em )2 n x m 2 n
∑ = − (Em − En ) m x n (En − Em ) n x m n
∑ =
−
⎛ ⎜⎝
−
i=
μ
⎞2 ⎟⎠
n
m pn
n pm
∑ =2
= m p n n pm
μ2
n
=2 =
m
p2
n
μ
式(2)得证.以上利用了完备公式
∑ n n =1
n
∑ (En − Em ) n x m 2 n
北大考研辅导班-北大粒子物理与原子核物理考研703普通物理真题(二)
北大考研辅导班-北大粒子物理与原子核物理考研703普通物理真题（二）2000年703普通物理(含力学、热学、电磁学、光学)真题考试科目：普通物理考试时间：2000年1月23日上午招生专业：物理系各专业研究方向：各研究方向试题：一、（18分）1、（8分）理想气体的比热商（定压热容量与定体热容量之比）记为γ，试导出准静态绝热过程的P－V方程。
2、（10分）以理想气体为工作介质，将高温热源温度记为T1，低温热源温度记为T2，试导出准静态卡诺循环的效率η。
二、（16分）设太阳固定不动，某行星P围绕太阳在一椭圆轨道运动，如图所示，其中位置1为近太阳点，位置2为远太阳点。
将太阳的质量记为M，椭圆半长轴、半短轴分别记为A、B。
利用能量守恒关系和以太阳为参考点的角动量守恒关系，导出P在位置1、2两处的运动速度大小v1、v2；已知椭圆面积为πAB，导出P的轨道运动周期T。
三、（16分）半径为R，质量为m的匀质乒乓球，可处理为厚度可略的球壳。
开始时以角速度ω0围绕它的一条水平直径轴旋转，球心无水平方向速度，今将其轻放在水平地面上，乒乓球与地面之间的滑动摩擦处处相同。
试求乒乓球达到稳定运动状态时，它的转动角速度ω；北大粒子物理与原子核物理考研计算从开始到最后达到稳定运动状态的全过程中，乒乓球动能的损失量E′。
（已知半径为R，质量为m的匀质球壳相对其直径转轴的转动惯量为）四、（16分）边长为a的正六边形分别有固定的点电荷，它们的电量或为Q，或为－Q，分布如图所示。
1.试求因点电荷间相互的静电作用而使系统具有的电势能W；2.若用外力将相邻的一对正、负电荷一起（即始终保持其间距不变）缓慢地移到无穷远处，其余固定的点电荷位置保持不变，试求外力作功量A。
五、（16分）半径为r的长直密绕空心螺线管，单位长度的绕线匝数为n，所加交变电流为I＝I0sinωt。
今在管的垂直平面上放置一个半径为2r,电阻为R的导线环，其圆心恰好在螺线管的轴线上。
几所高校量子力学硕士试题
高校量子力学研究生招生试题汇总一．复旦大学1999硕士入学量子力学试题二．天津大学1999硕士入学量子力学试题（1）三．北京大学2000年研究生入学考试试题考试科目：量子力学 考试时间：2000.1.23下午 招生专业：物理系各专业 研究方向：各研究方向 试题： 一．（20分）质量为m 的粒子，在位势V x x V '+=)()(αδ 0<a00{V V ='00><x x 00>V中运动，a. 试给出存在束缚态的条件，并给出其能量本征值和相应的本征函数；b. 给出粒子处于x >0区域中的几率。
它是大于1/2，还是小于1/2，为什么？ 二．（10分）若|α>和|β>是氢原子的定态矢（电子和质子的相互作用为库仑作用，并计及电子的自旋—轨道耦合项）a. 给出|α>和|β>态的守恒量完全集；b. 若0ˆˆ)(≠⋅αβr sr f ,则|α>和|β>态的那些量子数可能是不同的，为什么？ （注：f(r)是r 的非零函数，r s ˆ,ˆ为电子的自旋和坐标算符。
）三．（16分）三个自旋为1/2的粒子，它们的哈密顿量为)ˆˆˆˆˆˆ(ˆ1332210s s s s s s C H ⋅+⋅+⋅= 求本征值和简并度。
四．（22分）两个自旋为1/2的粒子，在),(21z z s s 表象中的表示为))((2211βαβα，其中，2iα是第i 个粒子自旋向上的几率，2iβ是第i 个粒子自旋向下的几率。
a. 求哈密顿量)(ˆ21210xy y x V H σσσσ-= 的本征值和本征函数；（V 0为一常数）b. t=0时，体系处于态121==βα，012==βα，求t 时刻发现体系在态021==βα，112==βα的几率。
（注：iy ix σσ,为第i 个粒子泡利算符的x, y 分量）五．（10分）考虑一维谐振子，其哈密顿量)21(ˆ+=+a a h H ϖ，而0],[],[==++a a a a ,1],[=+a a a. 若|0〉是归一化的基态矢（a|0）=0），则第n 个激发态为)(n n a N n +=试求归一化因子n N ； c. 若外加一微扰，aa a ga H ++='ˆ，试求第n 个激发态的能量本征值（准至g 一级）。
北京大学-量子力学习题集5
a A 6.设 V (r ) = − + 2 , (a, A > 0) ,求粒子能 r r
量本征值。
解：取守恒量完全集为 ( H , L , Lz ) ，其共 同本征函数为 χ (r ) Ylm (θ , ϕ ) ψ (r , θ , ϕ ) = R(r )Ylm (θ , ϕ ) = r χ (r ) 满足的径向方程
ψ ( x) =
1 2π
∫ ϕ ( P ')e
i − ( p '+ p ) x
dp ' = e
i − xp
ψ 0 ( x)
⎛α ⎞ 其中 ψ 0 ( x) = ⎜ π ⎟ ⎝ ⎠
2
1/ 4
e
−α 2 x 2 2
⎛ mω ⎞ α =⎜ ⎟ ，故有 ， ⎝ ⎠
2 p2 − 2 mω
1/ 2
P = ∫ψ ( x)ψ ( x)dx = e
任何位置，单位体积内测到一个粒子的概 率为1. 若沿用上面的方法来求归一化系 数，则会出现
∫
∞
−∞
Ae
2 − ikx ikx
e dx = ∫ A dx = ∞ ⋅ A
2 −∞
∞
2
要使积分为1，必须A=0，因此波函数不能 归一，只能归一为δ函数。
1 ∫−∞ 2π exp {−ik ′x} exp {ikx} dx = δ (k − k ′)
⎛a⎞ 2 2 设归一化的本征态为 ⎜ ⎟ ， a + b = 1则 b⎠ ⎝ 由本征方程
⎛ B −iA ⎞ ⎛ a ⎞ ⎛a⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = λ ⎜ ⎟ ⎝ iA − B ⎠ ⎝ b ⎠ ⎝b⎠
可以解出本征态为
Ψ± ⎡ ⎤ 1 =⎢ ⎥ 2 2 2 2 ⎢ ⎣ A + (B ∓ A + B ) ⎥ ⎦
北大物理部分真题
北大物理部分真题北京大学量子力学真题部分北京大学量子力学的部分真题。
1992年4.设粒子处于半径为a的球壁内,(1)求基态能量。
(2)求基态粒子对球壁的压强。
1994年6.假设两个质量为m=70Me/c2的夸克可以通过位势V=-a(?1.?2-b)r2束缚在一起,其中r是两个夸克之间的距离?1和?2分别为夸克1和夸克2的包利自旋矩阵,a=68.99Me/fm2,而b是一个待定的参数,(1)b 应取什么值,才能使两个夸克束缚在一起?(2)设两个夸克是不同类型的,并取b=3/2,试求基态能量和简并度,(3)设两个夸克是同一类型的,并取b=3/2,试求基态能量和简并度。
(4)当b=0时,求两个全同夸克在基态的方均根距离, hc=1.97.3MeV.fm.为自旋1和自旋2,h都是带横岗的1995年5.设L为轨道角动量。
在(L2,Lz)表象(即以Ilm>为基矢的表象)中,写出L=1的子空间中Lx的矩阵表示式,并求出它的本征值和本征态。
1998年7.在一维无限深位阱中,V(x)=0,0<xa.</x(1)求一维无限深位阱的能量本征值,及相应的本征函数。
(2)如果有两个无相互作用的自旋为1/2的全同粒子在此中,试写出此位阱系统基态和第一激发态的能量值和波函数。
1999年6.一个质量为m的粒子在一维势场V(x)=正无穷,x<0.V(x)=1/2mw平方x平方,x>0中运动,求其能级,不必作详细计算。
2000年6.考虑体系H=T+V(x),V(x)=无穷x<0,V(x)=Ax,x>0(A>0).(1)利用变分法,取试探波函数函数1=(2比b根号π）1/2e的-x平方/2b平方,求基态能量上限E1;(2)我们知道,如试探波函数为函数2==(1比b根号π）1/2(2x/b)e 的-x平方/2b平方,则基态能量上限为E2=(81/4π)根号1/3(A平方h 平方/m)根号1/3,对这两个基态的能量上限,你能接受哪一个,为什么?2001年6.质量为m的粒子在位势V=无穷,x<0,V=cx平方,x>0中运动,c>0,(1)试利用变分法估计体系基态能量;(2)它是精确解的上限还是下限?你能给出精确的基态能量吗?2007年5.H(t)=-h平方/2mx导数平方+1/2mw零平方x平方(1+1/cosh 平方兰姆达t)t趋向于负无穷时刻,该体系处在谐振子基态I0>.在t趋向于正无穷时刻态体系跃迁到激发态In>的概率记为p零趋向于n.(a)求(b)当(c)讨论2008年VI.质量为m的粒子在位势V(x)=-兰姆达扥特(x),(兰姆达>0)中运动。
2018年北京师范大学959量子力学考研试题
3.（30分）氢原子基态波函数为
(1)求动量空间波函数 ;
(2)计算基态动能的目名称：量子力学
4.（30分）考虑一个在方向为正子方向，强度为B的均匀磁场中的中性自旋1/2粒子，其初态是 的本征态，这是 为任意方向 的单位矢量， 为泡利算符在该方向的投影。
(1)求解初态；
(2)解出态随时间的演化；
(3)计算 ， 的可能测量值，相应几率和期望值的时间演化。
（提示：磁矩 ）
5.（30分）一个粒子在二维x-y平面运动，其哈密顿量为H ,Px、Py动量的x、y分量， 为常数，物理上正比于外磁场，请求解能量本征方程，给出能级和能量本征函数的形式。（提示：可以选力学量完全集为（H，Px），谐振子的能量本征函数可写为 其中 ）
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北京师范大学
2018年硕士研究生入学考试试题
部（院、系）：物理学系
科目代码：959科目名称：量子力学
参考公式：
1.泡利矩阵： ， ，
2.积分公式：
1.（30分）
(1)算符 ， 的对易满足 ,k为常数，如果 是 的本征函数，证明 是 的本征函数；
(2)若 为厄米算符，证明 的平均值必为非负实数；
(3)一个质量为m的粒子满足动量空间的薛定谔方程： ,其中 ,a为常数，求势函数 。
北京大学602量子力学考研参考书、历年真题、复试分数线
二、录取和调剂：
1、考生能否录取，以考生的总成绩名次为准。复试成绩不及格的考生不能录取。各学
院（系、所、中心）拟录取名单经批准后公布。 2、我校未录取考生，达到国家分数线并符合调剂规定的，按教育部要求进行调剂。
专注中国名校保（考）研考博辅导权威
三、2015 北京大学 602 量子力学考研参考书 数学分析（一、二、三册）方企勤等北京大学出版社 配套习题集
有人引用量子力学中的随机性支持自由意志说，但是第一，这种微观尺度上的随机性和 通常意义下的宏观的自由意志之间仍然有着难以逾越的距离；第二，这种随机性是否不可约 简(irreducible)还难以证明，因为人们在微观尺度上的观察能力仍然有限。自然界是否真
专注中国名校保（考）研考博辅导权威
有随机性还是一个悬而未决的问题。对这个鸿沟起决定作用的就是普朗克常数。统计学中的 许多随机事件的例子，严格说来实为决定性的。
在量子力学中，一个物理体系的状态由波函数表示，波函数的任意线性叠加仍然代表体 系的一种可能状态。对应于代表该量的算符对其波函数的作用；波函数的模平方代表作为其 变量的物理量出现的几率密度。 二、北京大学 602 量子力学考研复试分数线
90
90
管理学 (12)
50 50
90
90
艺术学 (13)
50 50
90
总分 360 370 345 360
345
345 320 320 350 350
备注
北大-新加坡国 立大学汉语言 文字学双硕士 班为 340。
（2）、联考： 考试科目
专业学位 应用统计 025200 金融硕士 025100 税务硕士 025300
90
50 50
90
北京大学-量子力学习题集4
比较后得
1 C1 = C0 2
1 ， C−1 = C0 2
由波函数归一得
1 C0 = 2
。
1 ψ = [Y11 + Y1−1 + 2Y10 ] 2
ˆ2 = B ˆ 2 = 1， 5. Hermite算符 与 满足 A ， ， 均无简并，求 （1）在A表象中 与 的矩阵表达式，并求 的本征函数表示式； （2）在B表象中 与 的矩阵表达式，并求 的本征函数表示式； （3）A表象到B表象的幺正变换矩阵S。
= C1Φ1 +C2Φ2
（4）
其中
C1 = (exp(−iω1t ) + exp(−iω2t )) / 2 ，
C2 = (exp( −iω1t ) − exp( −iω2t )) / 2
（5）
| C1 |2 = {1 + cos(ω1 − ω2 )t}2 ，
| C2 |2 = {1 − cos(ω1 − ω2 )t}2
其中 所以静电势能为
由
，得
所以
体系的Hamilton量为
所以
因为
考虑到这里不过是一级微扰论，而H '又只 是在核子体积内起作用。 这里a为 Bohr半径。
所以计算中可略去径向波函数中的指数， 认为 ，由此得1s态能移
2p态能移
10. 粒子在二维无限深方势阱中运动,
0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a ⎧ 0, V =⎨ ⎩ ∞, x < 0, x > a , y < 0, y > a
A = (a1 + a2 ) / 2 + ((a1 − a2 ) / 2) cos( E1 − E2 )t /
(整理)北京大学量子力学期末试题
量子力学习题（三年级用）北京大学物理学院二O O三年第一章 绪论1、计算下列情况的Broglie de -波长，指出那种情况要用量子力学处理： （1）能量为eV .0250的慢中子()克2410671-⋅=μ.n；被铀吸收； （2）能量为a MeV 的5粒子穿过原子克2410646-⋅=μ.a；（3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。
2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？3、利用Broglie de -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能量可能值。
第二章 波函数与波动力学1、设()()为常数a Ae x x a 2221-=ϕ（1）求归一化常数 （2）.?p ?,x x ==2、求ikr ikr e re r -=ϕ=ϕ1121和的几率流密度。
3、若(),Be e A kx kx -+=ϕ求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的结论？（其中k 为实数）4、一维运动的粒子处于()⎩⎨⎧<>=ϕλ-000x x Axe x x的状态，其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。
5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证0=υ⨯∇其中ρ=υ/j6、一维自由运动粒子，在0=t时，波函数为()()x ,x δ=ϕ0求：?)t ,x (=ϕ2第三章 一维定态问题1、粒子处于位场()000000〉⎩⎨⎧≥〈=V x V x V中，求：E ＞0V 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动）2、一粒子在一维势场⎪⎩⎪⎨⎧>∞≤≤<∞=0000x a x x V )x ( 中运动。
（1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于)x (n ϕ态，证明：,/a x2=().n a x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=-222261123、若在x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为如DS A S B D S A S C 22211211+=+=这即“出射”波和“入射”波之间的关系，证明：01122211211222221212211=+=+=+**S S S S S S S S这表明S 是么正矩阵4、试求在半壁无限高位垒中粒子的束缚态能级和波函数()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<∞=ax V a x x V X 0000 5、求粒子在下列位场中运动的能级()⎪⎩⎪⎨⎧>μω≤∞=021022x x x V X6、粒子以动能E 入射，受到双δ势垒作用()[])a x ()x (V V x -δ+δ=0求反射几率和透射几率，以及发生完全透射的条件。
(NEW)北京大学物理学院量子力学历年考研真题汇编
第1部分 北京大学量子力学考研真题 2000年北京大学量子力学考研真题 2001年北京大学量子力学考研真题 2003年北京大学量子力学考研真题 2004年北京大学量子力学考研真题
第2部分 其他院校量子力学考研真题 2017年华南理工大学630量子力学考 研真题 2017年南京航空航天大学618量子力
3．两个自旋ห้องสมุดไป่ตู้1/2的全同粒子在一维无限深势阱中，试求两粒子处于基 态的总自旋波函数。
∧
∧∧
∧
∧∧
4．σ±＝σx±iσy，求σ±2，（σ＋σ－）2。
∧
∧
∧
∧∧
∧∧
∧∧
5．L±＝Lx±iLy，求[Lα,L±]，[L＋,L－]，[L2,L±]。
6．在中心力场中，基态的轨道角动量为何值？并做简要解释。
三、（共65分）
学考研真题
第1部分 北京大学量子力学考研真题 2000年北京大学量子力学考研真题
2001年北京大学量子力学考研真题
2003年北京大学量子力学考研真题
2004年北京大学量子力学考研真题
一、（共45分）
1．解释态迭加原理，全同性原理和态的统计解释。
2．写出非简并微扰论的一级、二级能量修正公式。
第2部分 其他院校量子力学考研真题 2017年华南理工大学630量子力学考研真题
2017年南京航空航天大学618量子力学考研真题
4．（11分）已知
且有|x|→∞时，有V(x)→0，试求势能V(x)的具体表达式。
5．（11分）已知5个自旋为1，质量为m的全同粒子处于一个平面上的 半径为R的一个圆周，并且这5个粒子组成五边形，5个粒子绕通过圆心 的轴线转动而构成动体系。
（1）写出上述体系的哈密顿量，并讨论基守恒量有哪些？
2016年北京师范大学959量子力学考研真题
（若在t=0时出现中微子状态是|2>）
（1）计算t>0时中微子状态
（2）最短经过多长时间该中微子变成电子中微子？
5.（30分）某电子波函数角度部分为 ，其中 为球谐函数， 表示取自旋处于|+，z>（ 为正的本征态）总角动量 等于轨道角动量和自旋角动量之和，即 ，计算 的可能测值、相应几率以及期望值。
（3）若 ，求各能级简并度
提示：
3.（30分）氢原子处于轨道角动量量子数为l=2的态中，计算 的本征值及简并度，其中，l及s分别为氢原子的轨道角动量和自旋角动量。提示:
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科目代码：959科目名称：量子力学
4.（30分）中微子有两个态|1>和|2>，且正交归一，分别对应电子中微子和 中微子，其哈密顿量可以写为H=h|1><1|+g|1><2|+g|2><1|+h|2><2|，g、h分别为常数
北京师范大学
2016年硕士研究生入学考试试题
部（院、系）：物理学系
科目代码：959科目名称：量子力学
1.（30分）粒子在如下势中做一维运动
（1）写出束缚态能级E所满足的方程
（2）用图示法求出至少存在一个能级的条件
2.（30分）质量为m的粒子在势场 中做二维运动
（1）写出能级表达式
（2）计算 在基态时的平均值
北京大学南京大学量子力学考研试题题库
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参 C)haptcΓ 1 0ri胥 :ins OfQuantum Physics
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北京科技大学科物理学考研初试复试真题集量子力学与原子物理(2020届上岸)
量子力学和原子物理1.原子物理和量子力学有什么联系量子力学是研究微观粒子运动规律的物理学分支学科，它主要研究原子、分子、以及原子核和基本粒子的结构、性质的基础理论，它与相对论一起构成了现代物理学的理论基础。
原子物理学是研究原子的结构、运动规律及相互作用的物理学分支。
它主要研究：原子的电子结构；原子光谱；原子之间或与其他物质的碰撞过程和相互作用。
原子物理是经典力学与量子力学之间的过渡，为了使人们更好地接受量子力学中的微观概念。
且原子物理主要为介绍实验事实，量子力学是更升入的学习。
2.定态薛定谔方程和一般的薛定谔方程的区别？定态薛定谔方程描述了给定确定值E的态。
3.薛定谔方程的适用范围？微观低速4.费米子，玻色子的区别？玻色子在物理上遵循玻色爱因斯坦统计分布，并有玻色爱因斯坦凝聚，其自旋为整数，波函数满足交换对称。
费米子遵循费米-狄拉克统计分布，并服从泡利不相容原理，其自旋为半整数，波函数满足交换反对称。
5.玻尔假设的不完善的地方是什么（缺点）？玻尔的定态假设包括哪些内容？*角动量取整数倍的假设生硬；无法解释简单程度仅次于氢原子的氦原子；对于氢原子的也只能解释谱系的分立不能解释其强度；6.康普顿散射和汤姆孙散射有什么区别？汤姆逊散射的本质为光和物质的相互作用。
当波长较短的电磁波照射到物质上时，其电场分量会使物质内的电子产生强迫振动，振动电子将向周围辐射电磁波，这种散射现象称为汤姆逊散射（弹性散射）。
康普顿散射：高能光子+非相对论物质汤姆逊散射：低能光子+非相对论自由带电粒子而布拉格散射是以原子对入射波的总散射为单元，被同一方向排列的一组晶面上的原子散射后，在一个满足布拉格条件（2dsinθ =nλ ）的角度，发生相干散射，强度叠加增强。
（与汤比作用对象不同）7.描述微观粒子需要几个量子数？分别代表什么？（1）主量子数n=1，2,3…代表电子运动区域的大小和它总能量的主要部分，前者按轨道的描述也就是轨道的大小。
北京大学量子力学习题集2
+
p2c2
− mc2
=
mc2
⎛⎜1 + ⎝
p2 m2c2
⎞1/ 2 ⎟ ⎠
− mc2
考虑了 T
与 p 关系的相对论修正至
1阶
c2
T
≈
mc2
⎛ ⎜1
+
⎝
p2 2m2c2
−
p4 8m4c4
⎞ ⎟ ⎠
−
mc2
= p2 − p4 2m 8m3c2
而相对论修正项 − p4 可看作微扰.
8m3c2
由微扰论，基态能量的移动为
+
pz
z
)
⎤ ⎥⎦
c为归一化常数.
[17] 在无限长圆筒中运动粒子的能量 设粒子在无限长的圆筒中运动，筒半径为 a , 求粒子能量.
解 柱坐标下的Schrodinger方程
⎡ ⎢ ⎣
−
2
2m
⎛ ⎜ ⎝
∂2
∂ρ 2
+
1
ρ
⋅∂
∂ρ
⎞ ⎟
+
⎠
L2z
2mρ 2
−
2
2m
⋅
∂2 ∂z 2
⎤⎥ψ
⎦
=
Eψ
用分离变量法求解方程
可见这里 y = a′ = 4 2 / me2 = 4a0 (a0是Bohr半径) ,表 示电子基态最大概率之所在.
(V) 能量完备集为
En, px , pz
= − me4 32 2n2
+
1 2m
(
px2
+
py2 )
波函数为
ψ n, px , py
(r)
=
第一章 量子力学基础知识 (1)
第一章量子力学基础知识1.填空题(1) Ψ是描述的波函数(北京大学1993年考研试题)(2) 实物粒子波动性假设由首先提出来的，实物粒子的波是波。
(3) 德布罗意假设首先由戴维逊和革末用实验证实的。
(4) 在一维无限深势阱中，粒子的活动范围宽度增大，能引起体系的能量。
(5)Planck提出，标志着量子理论的诞生。
(中山大学1998年考研试题)(6) 一维无限深势阱中的粒子，已知处于基态，在处概率密度最大。
(7) 边长为l的立方势箱中粒子的零点能为。
(北京大学1993年考研试题)(8) 边长为l的一维势箱中粒子的零点能为。
(9) 有一质量为m的粒子在一维势箱中运动，其Schrödinger方程为。
(中山大学1998年考研试题)(10) 一维势箱的长度增加，其粒子量子效应(填增强、不变或减弱)。
2. 选择题(1)粒子处于定态意味着：( )A、粒子处于静止状态B、粒子处于势能为0的状态C、粒子处于概率最大的状态D、粒子的力学量平均值及概率密度分布都与时间无关的状态(2)波恩对波函数提出统计解释：在某一时刻t在空间某处发现粒子的概率与下面哪种形式的波函数成正比。
( )A、|Ψ|B、|Ψ |2C、|Ψ |1..5D、xy| Ψ|(3)指出下列条件，哪一个不是态函数的标准化条件？( )A、单值B、正交归一C、有限D、连续(4)微观粒子的不确定关系式，如下哪种表述正确？( )A、坐标和能量无确定值B、坐标和能量不可能同时有确定值C、若坐标准确量很小，则动量有确定值D、动量值越不正确，坐标值也越不正确(5)波长为662.6 pm 的光子和自由电子，光子的能量与自由电子的动能比为何值？( )A 、546 : 1B 、273 : 1C 、1 : 35D 、106 : 4515(6)一电子被1000 V 的电场所加速，打在靶上，若电子的动能可转化为光能，则相应的光波应落在什么区域？ ( )A 、X 光区(约10-10 m)B 、紫外区(约10-7 m)C 、可见光区(约10-6 m)D 、红外区(约10-5 m)(7)已知一维谐振子的势能表达式V = kx 2/2，则该体系的定态薛定谔方程应当为： ( )A 、ψψE kx dx d m =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-222212 B 、ψψE kx dx d m =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--222212 C 、ψψE kx m =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-22212 D 、 ψψE kx m =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∇22212 (8)由一维势箱的薛定谔方程求解结果所得的量子数n ，下面论述正确的是： ( )A 、可取任一整数B 、与势箱宽度一起决定节点数C 、能量与n 2成正比D 、对应于可能的简并态(9)立方势箱中在2246m l h E ≤的能量范围内，能级数和状态数为(中山大学1993年考研试题)： ( )A 、5,20B 、6,6C 、5, 11D 、6, 17(10)质量为2×10-31g 的粒子运动速度为3×106 m/s ，速度不确定度为10%，则其位置的不确定度至少为： ( )A 、1.11 nmB 、11.1 μmC 、111 pmD 、111 Å(11)金属钾的临阈频率为5.46×1015 s -1，把它当作光电池的阴极，下列哪种频率的光能使它产生光电效应？ ( )A 、5.0×1015 s -1B 、4.0×1015 s -1C 、5.64×1014 s -1D 、2.0×1016 s -1(12)运动速度为2.00×105m/s 的电子波长为 ( )A 、3.64 pmB 、36.4 nmC 、3.64 nmD 、34.6 pm(13)一维势箱中粒子的运动波函数φ5的节点数为 ( )A 、4B 、5C 、6D 、7(14)长度为a 的一维势箱中粒子(质量为m )从第3个能级跃迁到第4个能级所产生的吸收光谱频率为： ( )A 、28ml hB 、285ml hC 、287ml hD 、2812ml h (15)下列四种波中既不是机械波也不是电磁波的是： ( )A 、声波B 、光波C 、水波D 、实物粒子波(16)比较下列能量哪个最大？ ( )A 、1 cm -1B 、1 eVC 、1 kJ/molD 、1 a.u.(17)已知电子位置的不确定度为5×10-7m ，则电子运动速度的不确定度至少为： ( )A 、1.45×103 m s -1B 、1.45×104 m s -1C 、3.65×104 m s -1D 、3.65×105 m s -1(18)在长L=0.75 nm 的一维势箱中运动的H 原子，其de Broglie 波长的最大值是: ···( )A 、0.75 nmB 、1 nmC 、1.5 nmD 、2.0 nm3. 判断题(1)黑体辐射实验能用于经典物理学来解释。
北京大学量子力学教材_习题集
p2 V (r ) ，试用纯矩阵的方法，证明下列求和规则 5、设 H 2
2 E n E m x nm
n
2 2
（提示：求
H, X, H, X, X 然后求矩阵元 m H, X , X m ）
2
6、若矩阵 A，B，C 满足 A
（1）证明： AB BA
x0 0xa xa
x0 x0
VX 1 2 2 x 2
6、粒子以动能 E 入射，受到双 势垒作用
Vx V0 ( x ) ( x a )
求反射几率和透射几率，以及发生完全透射的条件。
7、质量为 m 的粒子处于一维谐振子势场 V1 ( x) 的基态，
ˆB ˆ 是厄密算符的条件。 （2）求出 A
5、证明：
ˆ ˆ e L ˆ 1 L ˆ, 1 L ˆ ˆ,A ˆ, L ˆ ,A ˆ, L ˆ, L ˆ ,A eL A A L 2! 3! ˆ ,B ˆ 都对易，证明 6、如果 A , B 与它们的对易子 A
ˆ B
ˆ
6、设 V
r Br 2 A / r 2 , 其中A, B 0 ，求粒子的能量本征值。
7、设粒子在半径为 a ，高为 h 的园筒中运动，在筒内位能为 0，筒壁和筒外位
9
能为无穷大，求粒子的能量本征值和本征函数。
8、碱金属原子和类碱金属原子的最外层电子在原子实电场中运动，原子实电场
近似地可用下面的电势表示：
2
, p 2 x ，并验证测不准关系。
5
第四章
量子力学中的力学量
1、
若H
1 2 2 2 px py pz V( x ,y ,z ) 2 i V , x