待定系数法求解析式

待定系数法求函数解析式

【要点梳理】

一．已知三点求抛物线解析式

例1 二次函数的图象经过点（1，4），（－1，0）和（－2，5），求二次函数的解析式．

例2若抛物线经过A（－1，0）和B（3，0），且与y轴交于点（0，－3），求此抛物线的解析式及顶点坐标．

二．已知顶点坐标及另一点坐标求抛物线解析式例3 已知抛物线的顶点坐标是（－2，3）且过（－1，5），求抛物线的解析式．

三．已知两点及对称轴，求抛物线解析式

例4已知抛物线过A（1，0），B（0，－3）两点，且对称轴为直线x=2，求抛物线解析式．

四．已知x轴上两点坐标及另一点坐标求抛物线解析式

例5若抛物线经过A（－2，0）和B（4，0），且与y轴交点（0，－3），求此抛物线的解析式及顶点坐标．

五．求平移后新抛物线解析式

例6把抛物线2x

y-

=向左平移1个单位，然后

向上平移3个单位，求平移后新的抛物线解析式．

六．求沿坐标轴翻折后新抛物线解析式

例7 在一张纸上作出函数3

2

2+

-

=x

x

y的图

象，沿x轴把这张纸对折，描出与函数

3

2

2+

-

=x

x

y的图象关于x轴对称的抛物线，

并写出新抛物线解析式．

【课堂操练】

1．求下列条件下的二次函数解析式：

（1）过点（－1，0），（0，2）和（4，0）．

（2）顶点为（2，－3），且过点（－1，15）．

2．已知二次函数c

bx

ax

y+

+

=2的图象如图所

示，求它关于y轴对称的抛物线解析式．

3．已知二次函数c

bx

ax

y+

+

=2的图象如图所

示，求它关于x轴对称的抛物线解析式．

4．已知二次函数c

bx

x

y+

+

=2

2

1

的图象过点A

（c，－2），，求证：这

个二次函数图象的对称轴是直线x=3，题目中横线

上方部分是被墨水污染了无法辨认的文字．

（1）根据已知和结论中现有信息，你能否求出题

目中的二次函数解析式？若能，请写出解题过程；

若不能，请说明理由．

（2）请你根据已有的信息，在原题中的横线上添

加一个适当的条件，把原题补充完整．

【课后巩固】

1．将抛物线2

y x

=的图像向右平移3个单位，则

平移后的抛物线的解析式为___________．

2．二次函数3

4

2+

+

=x

x

y的图象可以由二次

函数2x

y=的图象平移而得到，下列平移正确的

是（）

A、先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单

位长度

B、先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单

位长度

C、先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单

位长度

D、先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单

位长度

3．已知2

y ax bx c

=++的图象过（－2，－6）、

（2，10）和（3，24）三点，求函数解析式．

4．已知函数2

y ax bx c

=++，当x＝1时，有最

大值－6，且经过点（2，－8），求出此抛物线的

解析式．

5．已知二次函数的图象与x轴的交点横坐标分别

为2和3，与y轴交点的纵坐标是72，求它的解

析式．

6．已知抛物线22

(2)4y m x mx n =--+的对称轴是x ＝2，且它的最高点在直线1

12

y x =

+上，求此抛物线的解析式．

7．已知抛物线2

y ax bx c =++（a ≠0）经过 （0，1）和（2，－3）两点． （1）如果抛物线开口向下，对称轴在y 轴的左侧，求a 的取值范围．

（2）若对称轴为x ＝－1，求抛物线的解析式．

8． 二次函数图象过A 、B 、C 三点，点A 的坐标为（－1，0），点B 的坐标为（4，0），点C 在y 轴正半轴上，且AB =OC ． （1）求C 的坐标；

（2）求二次函数的解析式，并求出函数最大值．

9．在平面直角坐标系中，△AOB 的位置如图所示．已知∠AOB ＝90°，AO =BO ，点A 的坐标为 (－3，1)．

(1)求点B 的坐标，

（2）求过A ，O ，B 三点的抛物线的解析式， （3）设点B 关于抛物线的对称轴的对称点为B l ，求△AB l B 的面积．

10．已知点A （－2，－c ）向右平移8个单位得到 点A '，A 与A '两点均在抛物线2y ax bx c =++上， 且这条抛物线与y 轴的交点的纵坐标为－6，求这 条抛物线的顶点坐标．

11．在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A （1，－4），且过点B （3，0）． （1）求该二次函数的解析式；

（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标．

12．一次函数y ＝x －3的图象与x 轴，y 轴分别交

于点A ，B ．一个二次函数y ＝x 2

＋bx ＋c 的图象经过点A ，B ．

（1）求点A ，B 的坐标，并画出一次函数y ＝x －3的图象；

（2）求二次函数的解析式及它的最小值．

13．在平面直角坐标系中，已知二次函数

k x a y +-=2)1(的图像与x 轴相交于点A 、B ，

顶点为C ，点D 在这个二次函数图像的对称轴上，若四边形ABCD 时一个边长为2且有一个内角为60°的菱形，求此二次函数的表达式．

14．关于x 的函数22

(4)22y x k x k =-+-+-以y 轴为对称轴，且与y 轴的交点在x 轴上方． （1）求此抛物线的解析式，并在下面的直角坐标系中画出函数的草图；

（2）设A 是y 轴右侧抛物线上的一个动点，过点A 作AB 垂直于x 轴于点B ，再过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点D ，过点D 作DC 垂直于x 轴于点C ，得到矩形ABCD ．设矩形ABCD 的周长为l ，点A 的横坐标为x ，试求l 关于x 的函数关系式； （3）当点A 在y 轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD 能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．