待定系数法求解析式
初二函数专题5--用待定系数法求解析式+答案
初二函数专题6--用待定系数法求解析式一、用待定系数法求解析式 1、已知函数图象如图所示，则此函数的解析式为（ ） A.2y x =- B.2(10)y x x =--<<C.12y x =-D. 1(10)2y x x =--<<2、已知一次函数的图象经过(3，2)和(1，-2)两点． 求这个一次函数的解析式．3、已知一次函数y ax b =+的图象经过点()023A -，，()143B -，，()4C c c +，． ⑴ 求c ；⑴ 求222a b c ab ac bc ++---的值．4、一条直线l 经过不同的三点A (a ,b )，B (b ,a )，C (a b -，b a -)，那么直线l 经过 象限．二、根据位置关系求解析式5、已知一次函数y kx b =+的图象与直线21y x =+平行并且过点P (-1，2)，求这个一次函数的解析式．6、如图，将直线OA 向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是 ．三、根据函数定义求解析式7、已知212y y y =+，其中1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，且当2x =和3x =时，y 的值都为l9，求y 与变量x 的函数关系式．8、已知函数y (32)(4)a x b =+--为正比例函数。
（1）求a b 、的取值范围；（2）a b 、为何值时，此函数的图象过一、三象限。
9、已知y 与1x -成正比例，且当3x =时5y =.求y 与x 之间的函数关系式．y xO3214321A四、根据增减性求解析式10、已知一次函数y kx b =+中自变量x 的取值范围为26x -<<，相应的函数值的范围是119y -<<，求此函数的解析式。
11、已知函数(2)31y a x a =---，当自变量x 的取值范围为35x ≤≤时，y 既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，则实数a 的取值范围为 ．12、已知一次函数y kx b =+，当31x -≤≤时，对应的y 值为19y ≤≤，求kb 的值.13、一次函数y mx n =+(0m ≠)，当25x -≤≤时，对应的y 值为07y ≤≤，求一次函数的解析式.14、⑴已知关于x 的一次函数()372y a x a =-+-的图象与y 轴交点在x 轴的上方，且y 随x 的增大而减小，求a 的取值范围.⑴已知一次函数y kx b =+，当31x -≤≤时，对应的y 值为19y ≤≤，求kb 的值.参考答案用待定系数法求解析式1、用待定系数法求解析式【例1】 已知函数图象如图所示，则此函数的解析式为（ ）A.2y x =-B.2(10)y x x =--<<C.12y x =-D. 1(10)2y x x =--<<【解析】 由题意，正比例函数经过点（-1，2），求出函数解析式为2y x =-，同时根据图象看出自变量的取值范围为10x -<<答案：B【例2】 已知一次函数的图象经过(3，2)和(1，-2)两点．求这个一次函数的解析式．【解析】 设这个一次函数的解析式为：y kx b =+，由题意可知322k b k b +=⎧⎨+=-⎩，解得24k b =⎧⎨=-⎩故这个一次函数的解析式为：24y x =-．【点评】这种首先设出函数解析式，然后再根据已知条件求出函数解析式的系数的方法，称为“待定系数法”．【例3】 (09四川泸州)已知一次函数y ax b =+的图象经过点()023A -，，()143B -，，()4C c c +，． ⑴ 求c ；⑴ 求222a b c ab ac bc ++---的值．【解析】 ⑴根据已知()023A -，，()143B -，，求出一次函数解析式为223y x =+-，再把C 点坐标代入得23c =+．⑴()()()222222192a b c ab ac bc a b b c a c ⎡⎤++---=-+-+-=⎣⎦∵【点评】第二小问老师应该详细分析【例4】 (江苏省初中数学竞赛试题)一条直线l 经过不同的三点A (a ,b )，B (b ,a )，C(a b -，b a -)，那么直线l 经过 象限．【解析】 设直线l 的解析式为y kx t =+，因点A 、B 在直线l 上．⑴b ka ta kb t =+⎧⎨=+⎩，⑴a b =/，解得：1k =-,故直线l 的解析式为y x =-+t ． 又点C 在直线l 上．⑴()b a a b t -=--+，得0t =．即直线l 的解析式为y x =-，可知l 经过二、四象限．2、根据位置关系求解析式【例5】 已知一次函数y kx b =+的图象与直线21y x =+平行并且过点P (-1，2)，求这个一次函数 的解析式．【解析】 根据题意可设此函数解析式为2y x b =+，过点P (-1，2)，解得4b =，解析式为24y x =+.【例6】 (08年上海市中考题)如图，将直线OA 向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是 ．【解析】 根据题意可得OA 的解析式为2y x =，向上平移一个单位以后，可得：12y x -=，即21y x =+3、根据函数定义求解析式【例7】 已知212y y y =+，其中1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，且当2x =和3x =时，y 的值都为l9，求y 与变量x 的函数关系式．【解析】 根据已知条件，设11y k x =，22k y x = (1k ，2k 均不为零)，于是，得：2221212k y y y k x x=+=+将2x =，3x =代入212y y y =+得：22122121943199k k k k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解之：122536k k =⎧⎪⎨=⎪⎩，⑴2365y x x =+【补充】已知函数y (32)(4)a x b =+--为正比例函数。
19.2.2(4)待定系数法求解析式
待定系数法求解析式班级：_________ 姓名：___________一．已知两点求解析式例1.（8分）某地出租车计费方法如图，x （km ）表示行驶里程，y （元）表示车费，请根据图象解答下列问题： （1）该地出租车的起步价是 元； （2）当x ＞2时，求y 与x 之间的函数关系式；（3）若某乘客有一次乘出租车的里程为18km ，则这位乘客需付出租车车费多少元？练习：1.根据下列条件，确定函数关系式： （1）y 与x 成正比，且当x=9时，y=16；（2）y=kx+b 的图象经过点（3，2）和点（-2，1）．2.如图，一次函数图象经过点A ，且与正比例函数y x =-的图象交于点B ，则该一次函数的表达式为（ ）A ．2y x =-+B ．2y x =+C ．2y x =-D ．2y x =-- 3.已知一次函数的图象经过点（-4，15），（6，－5）（1）求这个一次函数的解析式。
（2）求这个一次函数与x 轴、y 轴的交点坐标及图象与两轴所围成的三角形的面积。
（3）另一直线与该直线的图象相交于点（－1，m ），且与y 轴交点的纵坐标为4，求这条直线的解析式。
y OxAB1- y x =-2二．已知含参解析式例2.已知一次函数3y mx m =+-的图象经过点A(−2,−1)，求该一次函数的解析式。
练习:4.已知:函数y=(m+1)x+2m+6,若函数图象过（-1，2）,则此函数的解析式为_____________________; 三．由增减性求解析式例3.已知一次函数y=kx+b 中自变量x 的取值范围为-2≤x ≤6,相应的函数值范围是-11≤y ≤9,求此函数的解析式.练习:5.已知直线y=kx+b 经过第一、二、四象限，当自变量x 的取值范围为1≤x ≤4,相应的函数值范围是3≤y ≤6,求此函数的解析式.四．位置关系求解析式例4.（1）直线AB 与直线y=−2x+1平行,且经过点(−2,3),求直线AB 的解析式。
待定系数法求函数解析式10题
待定系数法求函数解析式10题1. 题目：已知一次函数y = kx + b的图象经过点(1,3)和( - 1, - 1)，求这个一次函数的解析式。
- 解答：- 因为一次函数y = kx + b的图象经过点(1,3)和( - 1, - 1)，所以把这两个点分别代入函数解析式中。
- 当x = 1，y = 3时，得到3=k×1 + b，也就是k + b=3；当x=-1，y = - 1时，得到-1=k×(-1)+b，也就是-k + b=-1。
- 现在有了一个方程组k + b = 3 -k + b=-1。
- 把这两个方程相加，(k + b)+(-k + b)=3+(-1)，得到2b = 2，解得b = 1。
- 把b = 1代入k + b = 3，得到k+1 = 3，解得k = 2。
- 所以这个一次函数的解析式是y = 2x+1。
2. 题目：二次函数y = ax^2+bx + c的图象经过点(0,1)，(1,2)，( - 1,4)，求这个二次函数的解析式。
- 解答：- 因为二次函数y = ax^2+bx + c的图象经过点(0,1)，(1,2)，( - 1,4)。
- 当x = 0，y = 1时，代入解析式得1=a×0^2+b×0 + c，也就是c = 1。
- 当x = 1，y = 2时，得到2=a×1^2+b×1 + c，也就是a + b + c=2；当x=-1，y = 4时，得到4=a×(-1)^2+b×(-1)+c，也就是a - b + c = 4。
- 因为c = 1，所以把c = 1代入a + b + c = 2和a - b + c = 4中，得到a + b+1 = 2 a - b+1 = 4。
- 化简这两个方程得a + b = 1 a - b = 3。
- 把这两个方程相加，(a + b)+(a - b)=1 + 3，得到2a = 4，解得a = 2。
12.2待定系数法求解析式
把点_(_4_，__5_)_ , _(5_，___2_)_ 代入所设解析式得
4 k+b＝ 5
5 k+b＝ 2
解得,
k＝_-_3___ b＝_1__7__
把k= -3，b= 17 代入y=kx+b中， y ＝-3x+17
已知一次函数的图象经过点(4,5)与（5，2）.
_y_＝__k_x_+_b________
把点__(_5_，__2_) , _(_4_，__5_)_ 代入所 设解析式得
5__k+b＝2
4__k+b＝5
1.设一次函数的一般形式 y=kx+b(k≠0) ;
2.根据已知条件列出关 于k , b 的二元一次方程 组
解得, k＝__-_3__ b＝__1_7__
真棒！
想一想 说一说 要确定正比例函数的表达式需要几个条
件? 一个
确定一次函数的表达式需要几个条件?
两个
已知正比例函数的图象经过点(2，3） 求这个正比例函数的解析式． y
解：设这个一次函数的解析式为y=kx.
把点（2，3）代入所设解析式得, 2 k=3
解之得:k=1.5
8
7
6 5
4 3
(2，3)
若两个变量x,y间的关系式可以表示成 y=kx+b(k,b为常数,k不为零）的形式, 称y
是x的 一次函数
一次函数函数的图象是经过点 （ 0，b）和点（ - b ,0）的一条 直线 。
k
我们在画函数y=3x,y=x+3 时，至少应选取几个点？
两点
为什么呢？
用待定系数法求一次函数解析式
y＝3x－30
60 元上网费用； (2)若小李 4 月份上网 20 小时，他应付________
(3)若小李 5 月份上网费用为 75 元，则他在该月份的上网时间 是__________．
35
点拨：(1)当 x≥30 时，设函数解析式为 y＝kx＋b，
30k b 60 k 3 则 ，解得 .所以 y＝3x－30. b 30 40k b 90
k=2 ∴ y=2 x +2 ∴ x=-1 时 y=度y（厘米）在一定限度内 所挂重物质量x（千克）的一次函数，现已测得 不挂重物时弹簧的长度是6厘米，挂4千克质量 的重物时，弹簧的长度是7.2厘米，求这个一次 函数的解析式。
解:设这个一次函数的解析式为:y=kx+b 根据题意,把x=0,y=6和x=4,y=7.2代入,得： b=6 k=0.3 4k+b=7.2 解得 b=6
Page 2
变式3：已知一次函数y=2x+b 的 图象过点(2,-1).求这个一次函数 的解析式．
解： ∵ y=2x+b 的图象过点（2，-1）.
∴ -1=2×2 + b
解得
b=-5
∴这个一次函数的解析式为y=2x-5
Page
3
变式4：已知一次函数y=kx+b 的图象 与y=2x平行且过点(2,-1).求这个一 次函数的解析式． ∵ y=kx+b 的图象与y=2x平行. 解：
当B点的坐标为（0,4）时，则 y=kx+4
4 ∴ 0=3k+4， ∴k= - ∴ 3 4 ∴ 0=3k+4， ∴k= 3
y= -
4 x+4 3
当B点的坐标为（0,-4）时，则 y=kx-4
待定系数法求函数解析式
19.2.2一次函数（第三课时）学习目标： 1、根据所给信息确定一次函数的表达式； 2、能由两个条件求出一次函数的表达式，一个条件求出正比例函数的表达式，并解决有关现实的问题。
一、温故互查正比例函数关系式： ＿＿＿＿＿＿＿一次函数关系式：＿＿＿＿＿＿＿＿ 2、一次函数的图像是一条直线，因此画一次函数的图像只需要一次函数上＿ 个点的坐标，因此求一次函数关系式时，只需要 个点的坐标就可以了。
二、设问导读 例1：已知一次函数的图像经过点（3，5）与（-4，-9），求这个一次函数的解析式。
分析：求一次函数y=kx+b 的解析式，关键是求出k ，b 的值，从已知条件可以列出关于k ，b 的二元一次方程组，并求出k ，b 。
解： ∵一次函数b kx y +=经过点（3，5）与（-4，-9）∴⎩⎨⎧______________________ 解得⎩⎨⎧==__________b k∴一次函数的解析式为_______________像例1这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做 。
例2：已知一次函数的图象如图所示，求出它的函数关系式注：在求函数关系式时，只需找到函数图象上 个点的坐标即可。
三、自学检测：1、已知一次函数2+=kx y ，当x = 5时，y = 4，（1）求这个一次函数。
（2）求当2-=x 时，函数y 的值。
2、已知直线b kx y +=经过点（9，0）和点（24，20），求这条直线的函数解析式。
3、点（1，1）、（2，0）、（3，－1）是否在同一条直线上？4、已知直线y=kx+b 平行于直线y=-2x-2，并且与y 轴的交点坐标为（0，3）5、 已知y 与x －3成正比例，当x ＝4时，y ＝3．(1)写出y 与x 之间的函数关系式； (2)y 与x 之间是什么函数关系； (3)求x ＝2.5时，y 的值．（吨））6、某自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准。
《待定系数法求解析式复习课》
所得y=-的5x+直5 线解析式为 _____________
2.(2013巴彦淖尔)如图，已知一条直线经过点A（0， 2）、B（1，0），将这条直线向左平移与x轴y轴分别 交于点C、点D，若DB=DC，则直线CD的函数解析 为 y=-2x-2 ．
人教版《义务教育教科书》八年级数学下册
第十九章 一次函数
待定系数法求解析式复习 课
归纳 ： 1. 待定系数法：先设出_函__数_解__析__式_，再根据条件确 定解析式中的未知的__系__数__，从而得出解析式的方 法，叫做待定系数法。
2.待定系数法求一次函数解析式步骤： （1）设：设函数解析式y=kx+b(k, b 为常数，k≠0)
（4）向右平移a个单位 _y_=_k(_x-_a)_+b_____
二、〖拔高提升〗
1.(2017通辽)如图，将八个边长为1的小正方形
摆放在平面直角坐标系中，若过原点的直线l将
图形分成面积相等的两部分，则将直线l向右平
移3个单位后所得直线l′的函数关系式
为 y 10 x - 10 93
．
三〖巩固训练〗
(2) 列：将已知点的坐标或x, y的对应值代入函数 解析式，列出方程（组）
（3）解：解方程（组）求出待定系数k,b的值。 （4）写：把k,b的值代入y=kx+b，写出一次函数的 解析式
3.一次函数图像的平移：已知一次函数y=kx+b(k、 b是常数，且k≠0) （1）向上平移a个单位___y_=_kx_+_b_+_a________ （2）向下平移a个单位 __y_=_k_x_+_b_-_a_______ （3）向左平移a个单位___y_=_k(_x_+_a_)_+_b______
用待定系数法求解析式
例3．
练习3： 已知一元二次函数f(x)的图象经过点（３，８）,
且与x轴交于两点（－１,０）,（5,０）,求函数f(x)的
已解析解知：式由一。题元意可二设次函数函的数解析f式(x为)的f (图x) 象a(x经1)(过x 点5) （0，因3为）图且象经与过（X３轴，交８）于两点（1，0） ,（3，代入0）得 ,8求 a函(3数1)(3f5()x)的解析式。
所以 a 1
因此,函数的解析式为 f (x) (x 1)(x 5)
三、小结：
已知条件
已知一次函数经过两点 A(x0,y0)，B(x1,y1)
可设函数解析式为
f (x) kx b(k 0)
已知二次函数经过不重
合的三点A(x0,y0),B(x1,y1),
C(x2,y2)
f (x) ax2 bx c(a 0)
这种通过求待定系数来确定变量之间关系（函
数解析式）的方法叫做待定系数法。
二、典例讲解与练习：
例1、已知一元二次函数f(x)在x=-1,0,1处的函 数值分别为7，-1，-3，求这个函数 f(x)的解析 式。
练习1：
已知一元二次函数f(x),且x=0,-1,1 处的函数值分别为3, 6, 2,求这个函数 f(x)的解析式。
思考：
问题1： 一元二次函数 f(x)的图象的对称轴是直线x=2, 并且图象经过点P(2,0),Q(0,4)，求函数f(x)的解 析式。
问题2： 一元二次函数 f(x)满足 f(2+x)=f(2-x) , 且函数 有最大值2，与 y 轴交于点（0，-6），求函数 f(x)的解析式。
一、复习引入
１．已学的函数及其解析式：
①正比例函数： y k x
②反比例函数： ③一 ຫໍສະໝຸດ 函 数：y k xy kxb
14待定系数法求二次函数解析式(讲+练)【7种题型】
22.1.5待定系数法求二次函数解析式 二次函数解析式常见有以下几种形式 ： (1)一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)；(2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)．题型1：一般式求二次函数解析式-一个或两个参数未知1.若抛物线y ＝x 2+bx +c 的对称轴为y 轴，且点P （2，6）在该抛物线上，则c 的值为（ ） A ．﹣2B ．0C ．2D ．4题型2：一般式求二次函数解析式-a 、b 、c 未知2.二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象过点A （﹣1，8）、B （2，﹣1），与y 轴交于点C （0，3），求二次函数的表达式．题型3：顶点式求二次函数解析式3.已知抛物线的顶点是A（2，﹣3），且交y 轴于点B（0，5），求此抛物线的解析式.【变式3-2】已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），且与y轴交于点C（0，-3）.（1）求该函数的关系式；（2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标.题型4：交点式求二次函数解析式4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）三点，求这个二次函数的解析式．题型5：综合-待定系数法与二次函数的性质5.已知：二次函数的图象经过点A(−1，0)，B(0，−3)和C(3，12)．（1）求二次函数的解析式并求出图象的顶点D的坐标；（2）设点M(x1，y1)，N(1，y2)在该抛物线上，若y1≤y2，直接写出x1的取值范围．题型6：综合-待定系数法求最短距离6.如图，已知抛物线y=1a(x−2)(x+a)（a＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题；①求出△BCE的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标．【变式6-1】如图，抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．题型7：综合-三角形面积7.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛线y＝ax2＋bx＋2过B(－2，6)，C(2，2)两点。
用待定系数法求函数解析式用
经过点P（1,2）的一次函数的解析式，则这个一次
函数解析式为 y x 1 。
2、（2007年郴州）已知正比例函数y=kx经过点 P(1，2），求这个正比例函数的解析式为 y 2x 。
3、（2010年郴州）已知双曲线 （1，2）则双曲线的解析式为
y
k x
y
的图象经过A
2 。
x
展现 自我
1、（2013年郴州）已知：如图，一次函数的图
象与y轴交于C（0，3），且与反比例函数y= 2 的图象在第一象限内交于A，B两点，其中 x
A（1，a），求这个一次函数的解析式．1
这个一次函数的解析式y=-x+3
．
2、（2012年郴州）已知反比例函数的图象与 直线y=2x相交于A（1，a），求这个反比例 函数的解析式． 这个反比例函数的解析式为y= 2
（1）求抛物线的表达式； （2）、（3）待续
y 2 x2 11 x 4 33
方法点拔 看图找点 见形想式 建模求解
畅谈所得
感悟提升
通过本节课的复习你对用待 定系数法求函数解析式又有什么 新的认识？
轻松 应对
任选以下三个条件中的一个，求二次函数
y=ax2＋bx＋c的解析式； ① 0）已知直线上两个点的坐标
反比例函数
yy kk(k 0) xx
二次函数一般式 y=ax2+bx+c
已知双曲线上一个点的坐标 已知抛物线上三个点的坐标
二次函数顶点式 y＝a(x-h)2+k 已知抛物线顶点坐标（h, k）
二次函数交点式
y=a(x-x1)(x-x2)
已知抛物线与x 轴的两个交 点(x1,0)、 (x2,0),
待定系数法求解析式
一、一般式 y ax2 bx c(a )
已知二次函数 y ax2 bx c 图象过某三点
（一般有一点在y轴上），通常选用一般式，将三 点坐标代入即可解出a，b，c的值，从而求出该 函数表达式。
故所求的抛物线解析式为
y -（2 x 1）2 - 3
即：y=－2x2-4x－5
已知抛物线的顶点为(1，-3)，且与y轴交于点 (0，1)，求这个二次函数的解析式
分析:根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数 关系式为y＝a(x－1)2－3，再根据抛物线与y 轴的交点可求出a的值；
综合运用
有一个抛物线形的立交桥拱，这个 桥拱的最大高度为16m，跨度为40m． 现把它的图形放在坐标系里(如图所示)， 求抛物线的解析式．
设抛物线为y=a(x-20)2＋16
解
法 根据题意可知 二： ∵ 点(0，0)在抛物线上，
∴ 所求抛物线解析式为
反思总结
求二次函数关系式常见方法：
1.已知图象上三点或三对的对应值，通常设抛
物线一般式
y=ax2+bx+c (a≠0)
2.已知图像的顶点坐标（h, k），或对称轴和 最值，通常设抛物线解析式为
代入得y=__a_（__x_-_1_）__2+__k__
例2：已知抛物线的顶点为（－1，－3），与y轴 交点为（0，－5）求抛物线的解析式？
解：∵抛物线的顶点坐标为（-1，-3） ∴设所求的二次函数为 y=a(x＋1)2-3（a≠0）
用待定系数法求二次函数解析式
用待定系数法求二次函数解析式待定系数法是求解多项式解析式的有效途径，用来直接求出二次函数解析式的标准型可以以形如$ax^2+bx+c=0$来表示，其中$a,b,c$均为常数。
一、概述1.1 什么是待定系数法待定系数法是指针对未知数多项式的解析方程，通过形如$a_1x^2+a_2x+a_3=0$的解析方程的参数$a_1,a_2,a_3$的确定，来求解形如$ax^2+bx+c=0$的解析式。
1.2 待定系数法的步骤（1）将解析方程形如$ax^2+bx+c=0$的形式确定，将$a,b,c$的系数根据题目替换成未知数，形如$a_1x^2+a_2x+a_3=0$（2）据此，将问题转化为求令$Δ=b_1a_2-2a_1a_3=0$时$a_1,a_2,a_3$的值，其中$b_1$为给定数∵（3）如果$Δ ≠ 0$，有$a_1=Δ/b_1, a_2=2a_1a_3/b_1, a_3=Δ/b_1$（4）将$a_1,a_2,a_3$的值代回原式，可求出$a,b,c$的值（5）最终，得出答案。
二、例题例题1：已知$2x^2+bx+2=0$，求b的值解：由待定系数法可求解出$a_1=2,a_2=b,a_3=2$∴$b_1=2,Δ=2×b−2×2=b-4$∴令$Δ=b-4=0$，解得$b=4$∴$b=4$例题2：已知$2x^2-3x+c=0$，求c的值解：由待定系数法可求解出$a_1=2,a_2=-3,a_3=c$∴$b_1=2,Δ=2×(-3)−2×c=6-2c$∴令$Δ=6-2c=0$，解得$c=3$∴$c=3$三、探究（1）待定系数法的数据限制待定系数法用来求解的多项式解析方程为二次以下的情况，不能用来求解多次多项式方程。
（2）待定系数法的应用范围待定系数法普遍用于求解数学、物理、化学、经济学等学科中，会出现二次式解析方程的问题，它可以用来快速求解解析式，可以极大的节省计算的时间。
用待定系数法求二次函数解析式的几种方法
用待定系数法求二次函数解析式的几种方法待定系数法是一种可以用来求二次函数解析式的有效方法。
基本原理是，通过把二次函数拆分为两个一次函数的乘积，然后根据给定的条件将未知的系数代入到两个一次函数之中，从而计算出二次函数的解析式。
首先，我们可以用待定系数法计算二次函数的标准形式的解析式。
一般来说，二次函数的标准形式是ax^2+bx+c=0，根据定理，二次函数的根为： x = [-b (b^2-4ac)] / 2a.二次函数分解为两个一次函数相乘：ax^2 + bx + c = a(x+p)(x+q),p + q = -b, pq = c.结合给定的条件，将未知的系数代入到两个一次函数之中，即可求得p、q的值。
最后，根据互相关联的关系，计算出q p的值，就可以得到二次函数的标准形式的解析式。
其次，我们可以用待定系数法求解二次函数的非标准形式的解析式。
一般来说，非标准形式的二次函数是一般形式ax^2 + bx + c = 0类似于标准形式，我们可以将二次函数分解为两个一次函数相乘：ax^2 + bx + c = a(x + p/a )(x + q/a)。
对于任意给定的一般形式的二次方程，我们可以先将它降幂变为标准形式，然后再计算p、q的值。
最后，根据互相关联的关系，计算出 q p的值，就可以得到二次函数的非标准形式的解析式。
再次，我们还可以用待定系数法解决一些特殊情况下的二次函数。
比如说，二次函数在x=0处有极值点时，ax^2+bx+c= 0.种情况下，我们可以将二次函数分解为两个一次函数:ax^2 + bx + c = a(x + p)(x + q) + ap, q = 0。
根据给定的条件，将未知的系数代入到两个一次函数之中，即可求得p、q的值。
最后，根据互相关联的关系，计算出q p的值，就可以得到二次函数的特殊情况下的解析式。
总之，待定系数法是一种可以用来求二次函数解析式的有效方法。
它可以用来求解二次函数的标准形式和非标准形式，以及一些特殊情况下的二次函数的解析式。
待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解
待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解设定二次函数的解析式为$f(x)=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$和$c$为待定系数。
一、已知函数的根情况一：已知函数的两个根$x_1$和$x_2$，则有以下条件：$$f(x_1)=0$$$$f(x_2)=0$$代入二次函数解析式，可得：$$a{x_1}^2+b{x_1}+c=0$$$$a{x_2}^2+b{x_2}+c=0$$将上述方程组化简，得：$$a{x_1}^2+b{x_1}=-c$$$$a{x_2}^2+b{x_2}=-c$$注意到$x_1$和$x_2$为已知值，$a$、$b$和$c$为待定系数，上述方程可以看作是一个关于$a$、$b$和$c$的线性方程组。
通过解这个方程组，即可求出$a$、$b$和$c$。
情况二：已知函数的一个根$x_1$和函数经过的一个点$(x_3,y_3)$，则有以下条件：$$f(x_1)=0$$$$f(x_3)=y_3$$代入二次函数解析式，可得：$$a{x_1}^2+b{x_1}+c=0$$$$a{x_3}^2+b{x_3}+c=y_3$$将上述方程组化简，得：$$a{x_1}^2+b{x_1}=-c$$$$a{x_3}^2+b{x_3}=y_3-c$$同样地，将上述方程看作是一个关于$a$、$b$和$c$的线性方程组，求解即可得到$a$、$b$和$c$的值。
二、已知函数的值当已知二次函数经过的两个点$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$时，同样可以通过设定$a$、$b$和$c$为待定系数，列出方程组来求解。
将已知点代入二次函数解析式，可得：$$a{x_1}^2+b{x_1}+c=y_1$$$$a{x_2}^2+b{x_2}+c=y_2$$进一步化简，得：$$a{x_1}^2+b{x_1}=y_1-c$$$$a{x_2}^2+b{x_2}=y_2-c$$同样地，上述方程可看作是一个关于$a$、$b$和$c$的线性方程组，通过求解该方程组，即可求出$a$、$b$和$c$的值。
第3课时待定系数法求一次函数的解析式
2、已知一次函数的图像经过点（1,1）和（2,3），
求这个一次函数的解析式。
y
解：设一次函数的解析式为 y=kx+b ， 3
一次函数y=kx+b经过点（1,1）和（2,3） 2
k+b=1 2k+b=3 解得 k= 2
k+b=1 2k+b=3
1
-1 0 1 2 3 x
-1
b= -1
一次函数的解析式为 y=2x-1
1
的面积为 1 2 | -3 | 3 2
-1 0 1 2 3 x
-1
-2
-3
待定系数法
1、通过这节课的学习。你知道利用什么方法确
定正比例函数或一次函数的解析式吗？
2、你还记得利用待定系数法确定函数解析式的
一般步骤吗？
一设二列三解 四写
的点，你能求出它的解析式吗？
不同的取法吗？
从数到形
函数解析式 y = kx＋b
选取
满足条件的两定点 （x1,y1）与(x2,y2)
画出
一次函数的 图象:直线
1、求图中直线的函数解析式。
分析：（1）观察函数图像的特点，经过哪些点？
（ 0，0 ）和( 4，2 ) （2）是什么函数呢？
正比例函数
（3）确定函数解析式也就是求什么值呢？
解得 k= 2式为 y=2x-1
写
归纳：用待定系数法求一次函数解析式的步骤
1、设出一次函数解析式_y_＝__k_x_＋__b； 2、列，根据已知条件列出关于 k、b 的二元一次方程组 3、解方程组，求出__k_、__b_的值； 4、写，将 k、b 的值代入 y＝kx＋b，得到所求函数解析式．
从数到形
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
待定系数法求函数解析式
【要点梳理】
一．已知三点求抛物线解析式
例1 二次函数的图象经过点（1，4），（－1，0）和（－2，5），求二次函数的解析式．
例2若抛物线经过A（－1，0）和B（3，0），且与y轴交于点（0，－3），求此抛物线的解析式及顶点坐标．
二．已知顶点坐标及另一点坐标求抛物线解析式例3 已知抛物线的顶点坐标是（－2，3）且过（－1，5），求抛物线的解析式．
三．已知两点及对称轴，求抛物线解析式
例4已知抛物线过A（1，0），B（0，－3）两点，且对称轴为直线x=2，求抛物线解析式．
四．已知x轴上两点坐标及另一点坐标求抛物线解析式
例5若抛物线经过A（－2，0）和B（4，0），且与y轴交点（0，－3），求此抛物线的解析式及顶点坐标．
五．求平移后新抛物线解析式
例6把抛物线2x
y-
=向左平移1个单位，然后
向上平移3个单位，求平移后新的抛物线解析式．
六．求沿坐标轴翻折后新抛物线解析式
例7 在一张纸上作出函数3
2
2+
-
=x
x
y的图
象，沿x轴把这张纸对折，描出与函数
3
2
2+
-
=x
x
y的图象关于x轴对称的抛物线，
并写出新抛物线解析式．
【课堂操练】
1．求下列条件下的二次函数解析式：
（1）过点（－1，0），（0，2）和（4，0）．
（2）顶点为（2，－3），且过点（－1，15）．
2．已知二次函数c
bx
ax
y+
+
=2的图象如图所
示，求它关于y轴对称的抛物线解析式．
3．已知二次函数c
bx
ax
y+
+
=2的图象如图所
示，求它关于x轴对称的抛物线解析式．
4．已知二次函数c
bx
x
y+
+
=2
2
1
的图象过点A
（c，－2），，求证：这
个二次函数图象的对称轴是直线x=3，题目中横线
上方部分是被墨水污染了无法辨认的文字．
（1）根据已知和结论中现有信息，你能否求出题
目中的二次函数解析式？若能，请写出解题过程；
若不能，请说明理由．
（2）请你根据已有的信息，在原题中的横线上添
加一个适当的条件，把原题补充完整．
【课后巩固】
1．将抛物线2
y x
=的图像向右平移3个单位，则
平移后的抛物线的解析式为___________．
2．二次函数3
4
2+
+
=x
x
y的图象可以由二次
函数2x
y=的图象平移而得到，下列平移正确的
是（）
A、先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单
位长度
B、先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单
位长度
C、先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单
位长度
D、先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单
位长度
3．已知2
y ax bx c
=++的图象过（－2，－6）、
（2，10）和（3，24）三点，求函数解析式．
4．已知函数2
y ax bx c
=++，当x＝1时，有最
大值－6，且经过点（2，－8），求出此抛物线的
解析式．
5．已知二次函数的图象与x轴的交点横坐标分别
为2和3，与y轴交点的纵坐标是72，求它的解
析式．
6．已知抛物线22
(2)4y m x mx n =--+的对称轴是x ＝2，且它的最高点在直线1
12
y x =
+上，求此抛物线的解析式．
7．已知抛物线2
y ax bx c =++（a ≠0）经过 （0，1）和（2，－3）两点． （1）如果抛物线开口向下，对称轴在y 轴的左侧，求a 的取值范围．
（2）若对称轴为x ＝－1，求抛物线的解析式．
8． 二次函数图象过A 、B 、C 三点，点A 的坐标为（－1，0），点B 的坐标为（4，0），点C 在y 轴正半轴上，且AB =OC ． （1）求C 的坐标；
（2）求二次函数的解析式，并求出函数最大值．
9．在平面直角坐标系中，△AOB 的位置如图所示．已知∠AOB ＝90°，AO =BO ，点A 的坐标为 (－3，1)．
(1)求点B 的坐标，
（2）求过A ，O ，B 三点的抛物线的解析式， （3）设点B 关于抛物线的对称轴的对称点为B l ，求△AB l B 的面积．
10．已知点A （－2，－c ）向右平移8个单位得到 点A '，A 与A '两点均在抛物线2y ax bx c =++上， 且这条抛物线与y 轴的交点的纵坐标为－6，求这 条抛物线的顶点坐标．
11．在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A （1，－4），且过点B （3，0）． （1）求该二次函数的解析式；
（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标．
12．一次函数y ＝x －3的图象与x 轴，y 轴分别交
于点A ，B ．一个二次函数y ＝x 2
＋bx ＋c 的图象经过点A ，B ．
（1）求点A ，B 的坐标，并画出一次函数y ＝x －3的图象；
（2）求二次函数的解析式及它的最小值．
13．在平面直角坐标系中，已知二次函数
k x a y +-=2)1(的图像与x 轴相交于点A 、B ，
顶点为C ，点D 在这个二次函数图像的对称轴上，若四边形ABCD 时一个边长为2且有一个内角为60°的菱形，求此二次函数的表达式．
14．关于x 的函数22
(4)22y x k x k =-+-+-以y 轴为对称轴，且与y 轴的交点在x 轴上方． （1）求此抛物线的解析式，并在下面的直角坐标系中画出函数的草图；
（2）设A 是y 轴右侧抛物线上的一个动点，过点A 作AB 垂直于x 轴于点B ，再过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点D ，过点D 作DC 垂直于x 轴于点C ，得到矩形ABCD ．设矩形ABCD 的周长为l ，点A 的横坐标为x ，试求l 关于x 的函数关系式； （3）当点A 在y 轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD 能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．。