第二章 群及其性质

第二章 群及其性质群论属于代数学的范畴，它所研究的是群这样一个代数系统。

所谓代数系统，就是一个具有满足一定法则的代数运算的集合。

一个群只有一种代数运算，我们把这种代数运算称为群的乘法，简称群乘。

群的定义：假设G 是由一些不同元素组成的集合，即G {} ,21,g g =。

在G 中各元素间定义了一种群乘规则 ( 连续操作，乘法、加法运算)， 如果G 对这种群乘规则满足以下条件：（1）满足封闭性。

G 中任意两个元素的乘积仍然属于G ，即 若G g g j i ∈∀,，则G g g g k j i ∈=。

（2）结合律成立。

G g g g k j i ∈∀,,，都有=k j i g g g )()(k j i g g g 。

（3）存在单位元E G ∈。

对Gg i ∈∀，都有ii i g E g Eg ==，所以E 又称为恒等操作。

（4）存在逆元。

对每个Gg i ∈, 存在一个唯一的逆元素Gg i ∈-1, 使i i g g 1-Eg g i i ==-1成立。

这时称集合G 对于所定义的群乘来说构成一个群。

这四个条件常被称为群公理。

单位元素的逆元是自身（E-1=E ）。

证明：因为1111)(g g =--，121)(-g g E g g ==--1112。

所以 E )()(21121g g g g -=211112g g g g --=。

群元的个数，称为群的阶（一般用符号g 来表示）。

若群G 的元素个数有限，则群G 称为有限群；若群G 的元素个数无限，则群G 称为无限群。

群的元素不但可以是数，而且可以是平移、转动、反射、置换、反演等物理操作。

最简单的操作是恒等操作，这种操作是指对事物什么也没有做。

我们需要恒等操作是为了满足群的数学条件。

群乘运算与元素有关。

如果群元是数，群乘就是通常的乘法或加法；如果群元是物理操作，群乘就是操作，先操作右边元素，再进行左边操作（与算符相似）。

群的乘法一般不具有可交换性，即对G g g ∈∀21,，一般说来21g g 12g g ≠。

如果对G g g ∈∀21,，有21g g 12g g =，则称G 是可交换群或阿贝耳（Abel ）群。

循环群必定是Abel 群。

将有限群中所有元素的乘积列为一个表, 称为乘法表。

在乘法表中，行操作是第一操作，列操作是第二操作。

例1）由 {1,－1}组成的集合, 在数的乘法下, 构成一个二阶有限群, 单位元素为1.单位元的逆元总是单位元，－1的逆元是其本身。

例2）由 {－1,0,1}组成的集合, 定义数的加法为群的乘法运算, 则构成一个三阶有限群, 单位元素为0。

1的逆元是－1，－1的逆元是1。

例3）空间反演群：三维实空间中的恒等变换 E (r r E=)和反演变换 I(r r I-=)。

如果定义群的乘法为从右向左依次施行变换, 则E 和I 构成一个二阶有限群, 称为空间反演群。

例4）n 阶循环群n C ：由一个元素 a 的幂构成的有限群. 由一个群元连乘，可得循环群的全部群元。

设E a n =, 则构成一个群, 称为n 阶循环群. 空间反演群是一个2阶循环群.例5）平面正三角形旋转对称群3D ： 保持平面正三角形空间位置不变的所有转动变换： E : 不转 R 1 : 绕 z 轴转2π/3 R 2 : 绕 z 轴转4π/3 R 3 : 绕 1 轴转π R 4 : 绕 2 轴转π R 5 : 绕 3 轴转π定义群的乘法为从右向左依次施行变换, 构成一个群.例6）h D 3群是正三角形的对称群，旋转对称操作再加平面反射操作h σ。

由于该新元素的增加，产生一些其它的新元素（由群的定义）。

例如1R h σ，2R h σ……5R h σ，从几何上可以看出，3R h σ正好是关于过3R 轴的垂直面的反射，3R hσ、5R hσ类似。

十二个元素的集合},,,,,,,,,,,{5432154321σσσσσσh R R R R R E ，构成一个群h D 3群。

例7）正方形的真覆盖旋转群4D4D ()},,,,23,,2,{7654321R R R R R R R E ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=πππ。

},,,,{12-=n n a a a E C 123ABO图1图2.2例8）定轴旋转群2ℜ：绕某个轴的所有旋转构成一个连续群。

如线性分子CO ，绕其连心线转过任意角度，空间位置保持不变。

其对称操作可记作：()ϕz R 其中ϕ是旋转角 }20{πϕ<≤。

定轴旋转群2ℜ=()}20,{πϕϕ<≤z R 。

2ℜ又称二维转动群。

该群依赖于实参数ϕ，所以是连续群。

又因为ϕ可取无穷多个，所以该群又是无限群。

其群乘结构为 ()()12ϕϕR R ()12ϕϕ+=R ，即群元相乘对应参数相加。

例9）定点旋转群3ℜ：绕过一个固定点的任意轴的所有旋转也构成一个连续群。

任意球对称的系统，将它绕通过对称中心的任意轴()βα,k转过任意角度γ，空间位置保持不变。

对于这样的旋转，要用三个参数来标志。

脚方便的参数就是确定旋转轴的两个极角及该轴的旋转角。

定点旋转群3ℜ的群元可记作()()πγπβπαγβα≤≤≤≤≤≤0,20,0,,k R3ℜ=()}0,20,0,,,{πγπβπαγβα≤≤≤≤≤≤R ，这是用欧拉角()γβα,,表示的。

参数的选择不是唯一的，也可用()r ,,ϕθ表示。

例10）置换群n S ：n 个全同粒子所有置换操作的集合构成一个群。

描述由n 个全同粒子组成体系的对称性时，首先把n 个全同粒子编上号码（1，2，3，……n ）。

然后通过置换（包括对换和轮换）重新排列全同粒子。

全同粒子的置换操作可记作图2.2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n m n m m m p 3211321 （2.1）上式表示把编上号码的n 个全同粒子重新排列成（m 1，m 2，m 3，……m n ）的顺序。

置换群n S },,{!21n p p p =。

该群共有!n 个群元，这是因为第一个粒子有n 种排列方法可选取，第二个粒子有)1(-n 种排列方法可选取，以此类推第i 个粒子有)]1([--i n 种排列方法可选取，则第n 个粒子只有一种排列方法。

所以n 个全同粒子有!n 个群元，所以该群的阶!n g =。

对于置换操作的表示，第一行的数未必要排成自然顺序，虽然通常都排成自然顺序。

只要上下行的对应关系不变，就代表同一个操作，即同一个群元。

例如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛133221⎪⎪⎭⎫⎝⎛=322113 置换操作只与每列的对应关系有关，与第一行的顺序无关。

置换1p 的逆元可直接写成⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n m m m m pn 32132111。

作为例子给出三个全同粒子的置换群3S },,,,,{54321p p p p p E =，群元包括单位元（E ）、三个对换操作（1p ，2p ，3p ）和两个轮换操作（4p ，5p ）。

E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=332211，1p ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=133221，2p ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2312313p ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=331221，4p ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=233211，5p ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=132231。

两个置换的积定义为相继变换所得到的置换。

应先进行右边操作，然后再对新结果进行左边操作。

例如有3p 4p ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=331221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛233211=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛233211=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛133221=1p 。

上式中首先把左边操作的上行按右边操作的下行排列（左边操作重新排列时，上下行的对应关系不能变），然后右边操作的上行和重新排列后的左边操作的下行构成最后结果。

置换群的乘法可以写成一般公式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n q m q m q m q m 332211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n m n m m m 321321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n q n q q q 321321上式是按两个置换乘积的定义作出的。

利用这个方法，很容易算得乘法表，如表2.4。

固有转动：三维空间的纯粹转动称为固有转动。

由固有转动变换的集合构成的群称为固有点群。

非固有转动：转动后，再做空间反演就称为非固有转动。

由非固有转动变换的集合构成的群称为非固有点群（简称点群）。

上述两类转动都保持坐标原点不变。

反射：一般用h σ表示，是平面反射操作。

()()z y x z y x h ,,,,=σ，是对xy 平面的反射。

z 表示z 坐标取负。

反演：一般用I 表示，是对于原点的反射操作。

()()z y x z y x I ,,,,=。

习题1．根据群的定义判断下列集合是否构成群并阐述理由。

1）在乘法下，一切奇数{1，3，5，……}的集合。

2）在加法下，一切偶数{2，4，6，……}的集合。

3）在加法下，一切实数的集合。

表2.4 3S 的乘法表4）在乘法下，一切正实数（x ＞0）的集合。

5）在加法下，一切整数的集合。

6）在加法下，一切正整数的集合。

2．集合},,1,1{i i --在普通乘法下，是否构成群？若构成群写出乘法表。

3．写出循环群3C },,{21R R E =、平面正三角形的旋转对称群3D 、正方形的真覆盖旋转群4D 的群乘表。

4D =},,,,,,,{7654321R R R R R R R E2.3群的重排定理（群的一个简单性质）如果a g 是群G 的任一个固定元，b g 取遍G 的所有元，那么，乘积=c g a g bg 也取遍G 的所有元，且每一个乘积只出现一次。

证明：先证G 中的任意元素c g 可以写成=c g a g b g 的形式。

因为由群的定义1-a g G ∈，取b g =1-ag c g ，则自然有=c g a g b g 。

再证a g b g 当b 不同时，给出G 中不同的元素。

用反证法，设b b '≠，而a gb g =a g b g '，两边左乘1-a g 得b g =b g '，这是不可能的。

因为群中不存在重复的元素，这就完成了证明。

重排定理是关于群的乘法的重要定理。

它指出每一个群元，在乘法表的每一行或每一列必须出现，且仅出现一次。

乘法表的每一行或每一列都是群元素的重新排列，不可能有两行或两列元素是相同排列的。

重排定理的例子见表2.1，2.2，2.3，2.4。

2.4同构及同态 由于群的定义非常抽象，有时会出现，两个群的元素虽然是按完全不同的方式定义的，但在代数上可把它们看作是同一个群。

同构：若群表2.2 3C 的乘法表G {} ,,21g g =和群H {} ,,21h h =的群元及群乘都一一对应，即G 的元素a g 和H 的元素a h 之间一一对应，使当a g b g c g =时，有a h b h c h =，则两群G 和H 称作是同构的。

记作：G ≈H 。

两个同构的群，在适当调整群元素的顺序后，就有相同的群乘法表。