第二章 群及其性质

第二章 群及其性质

群论属于代数学的范畴，它所研究的是群这样一个代数系统。所谓代数系统，就是一个具有满足一定法则的代数运算的集合。 一个群只有一种代数运算，我们把这种代数运算称为群的乘法，简称群乘。

群的定义：假设G 是由一些不同元素组成的集合，即G {} ,21,g g =。 在G 中各元素间定义了一种群乘规则 ( 连续操作，乘法、加法运算)， 如果G 对这种群乘规则满足以下条件：

（1）满足封闭性。G 中任意两个元素的乘积仍然属于G ，即 若G g g j i ∈∀,，则G g g g k j i ∈=。

（2）结合律成立。G g g g k j i ∈∀,,，都有=k j i g g g )()(k j i g g g 。 （3）存在单位元E G ∈。对G

g i ∈∀，都有

i

i i g E g Eg ==，所以E 又称为

恒等操作。

（4）存在逆元。对每个

G

g i ∈, 存在一个唯一的逆元素

G

g i ∈-1, 使

i i g g 1-E

g g i i ==-1成立。这时称集合G 对于所定义的群乘来说构成一个群。这四

个条件常被称为群公理。

单位元素的逆元是自身（E-1=E ）。证明：因为11

11)(g g =--，121)(-g g E g g ==--1112。所以 E )()(21121g g g g -=211

112g g g g --=。

群元的个数，称为群的阶（一般用符号g 来表示）。若群G 的元素个数有限，则群G 称为有限群；若群G 的元素个数无限，则群G 称为无限群。群的元素不但可以是数，而且可以是平移、转动、反射、置换、反演等物理操作。最简单的操作是恒等操作，这种操作是指对事物什么也没有做。我们需要恒等操作是为了满足群的数学条件。

群乘运算与元素有关。如果群元是数，群乘就是通常的乘法或加法；如果群元是物理操作，群乘就是操作，先操作右边元素，再进行左边操作（与算符相似）。群的乘法一般不具有可交换性，即对G g g ∈∀21,，一般说来21g g 12g g ≠。如果

对G g g ∈∀21,，有21g g 12g g =，则称G 是可交换群或阿贝耳（Abel ）群。循环群必定是Abel 群。将有限群中所有元素的乘积列为一个表, 称为乘法表。在乘法表中，行操作是第一操作，列操作是第二操作。

例1）由 {1,－1}组成的集合, 在数的乘法下, 构成一个二阶有限群, 单位元素为1.单位元的逆元总是单位元，－1的逆元是其本身。

例2）由 {－1,0,1}组成的集合, 定义数的加法为群的乘法运算, 则构成一个三阶有限群, 单位元素为0。1的逆元是－1，－1的逆元是1。

例3）空间反演群：三维实空间中的恒等变换 E (r r E

=)和反演变换 I

(r r I

-=)。如果定义群的乘法为从右向左依次施行变换, 则E 和I 构成一个二

阶有限群, 称为空间反演群。

例4）n 阶循环群n C ：由一个元素 a 的幂构成的有限群. 由一个群元连乘，可得循环群的全部群元。设E a n =, 则构成一个群, 称为n 阶循环群. 空间反演群是一个2阶循环群.

例5）平面正三角形旋转对称群3D ： 保持平面正三角形空间位置不变的所有转动变换： E : 不转 R 1 : 绕 z 轴转2π/3 R 2 : 绕 z 轴转4π/3 R 3 : 绕 1 轴转π R 4 : 绕 2 轴转π R 5 : 绕 3 轴转π

定义群的乘法为从右向左依次施行变换, 构成一个群.

例6）h D 3群是正三角形的对称群，旋转对称操作再加平面反射操作h σ。由于该新元素的增加，产生一些其它的新元素（由群的定义）。例如1R h σ，

2R h σ……5R h σ，从几何上可以看出，3R h σ正好是关于过3R 轴的垂直面的反射，

3

R h

σ、

5R h

σ类似。十二个元素的集合

},,,,,,,,,,,{5432154321σσσσσσh R R R R R E ，构成一个群h D 3群。

例7）正方形的真覆盖旋转群4D

4D ()},,,,23,,2,{7654321R R R R R R R E ⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=πππ。

},,,,{12-=n n a a a E C 1

2

3

A

B

O

图

1

图2.2

例8）定轴旋转群2ℜ：绕某个轴的所有旋转构成一个连续群。如线性分子CO ，绕其连心线转过任意角度，空间位置保持不变。其对称操作可记作：()ϕz R 其中ϕ是旋转角 }20{πϕ<≤。定轴旋转群2ℜ=()}20,{πϕϕ<≤z R 。2ℜ又称二维转动群。该群依赖于实参数ϕ，所以是连续群。又因为ϕ可取无穷多个，所以该群又是无限群。其群乘结构为 ()()12ϕϕR R ()12ϕϕ+=R ，即群元相乘对应参数相加。

例9）定点旋转群3ℜ：绕过一个固定点的任意轴的所有旋转也构成一个连

续群。任意球对称的系统，将它绕通过对称中心的任意轴()βα,k

转过任意角度γ，

空间位置保持不变。对于这样的旋转，要用三个参数来标志。脚方便的参数就是确定旋转轴的两个极角及该轴的旋转角。定点旋转群3ℜ的群元可记作

()()πγπβπαγβα≤≤≤≤≤≤0,20,0,,k R

3ℜ=()}0,20,0,,,{πγπβπαγβα≤≤≤≤≤≤R ，这是用欧拉角()γβα,,表示的。

参数的选择不是唯一的，也可用()r ,,ϕθ表示。

例10）置换群n S ：n 个全同粒子所有置换操作的集合构成一个群。描述由n 个全同粒子组成体系的对称性时，首先把n 个全同粒子编上号码（1，2，3，……

n ）。然后通过置换（包括对换和轮换）重新排列全同粒子。全同粒子的置换操

作可记作

图2.2