§2数集·确界原理

§2 数集 ·确界原理
确界原理本质上体现了实数的完备 性，是本章学习的重点与难点.
一、有界集 二、确界 三、确界的存在性定理 四、非正常确界
前页 后页 返回
记号与术语
U (a; ) { x | | x a | } : 点 a 的 邻域 U (a; ) {x | 0 | x a | } : 点 a 的 空心邻域 U (a; ) {x | 0 x a } : 点 a 的 右邻域 U(a; ) {x | 0 a x } : 点 a 的 左邻域
3. 令 a0 .a1a2 ,则 是正规小数表示. 4. sup S.
前页 后页 返回
1.S 是有上界的集合,从而 S+ 也是有上界的集合, 因此 k N , 使 x S , 若 x b0 .b1b2 , b0 至多 可取 {0,1,2, , k }, bi 至多可取 {0,1, 2, ,9},因此 Sn 至多有 (k 1)10n 个数, 从而必有最大值 xn, n 1,2,.
前页 后页 返回
下面证明 R, 使 sup S.
证明分以下四步:
1. 令Sn {b0 .b1 bn | x b0 . b1b2 S }, 则 Sn 有最 大值 xn , n 1, 2, . 2. a0 N , ai {0,1, , 9}, i 1, 2, , 使
n, xn a0 .a1an , n 1,2,.
(ii) 设
1.
若
0，则取
x0
1 1 S, 2
x0
.
若 0, 则令 1 0,由阿基米德性, n0,
使得
1 n0
. 令x0
1
1 n0
S,
则
x0
1
.
因此，sup S 1.
前页 后页 返回
再证 inf S 0. (i) x S, x 1 1 0 ;
n
(ii) 0, x0 0 S, x0 .
例2
证明数集
S
n2 1
2n3
n
N
+
有界.
证
n N+ ,
n2 1 2n3
n2 2n3
1 2n3
1 1 1, 22
因此 S 有界.
前页 后页 返回
二、确界
若数集 S 有上界, 则必有无穷多个上界, 而其 中最小的一个具有重要的作用. 最小的上界称为 上确界. 同样, 若S 有下界, 则最大的下界称为下 确界.
前页 后页 返回
(1) 若 S 不是有上界的数集, 则称 S 无上界, 即 M R, x0 S,使得 x0 M . (2) 若 S 不是有下界的数集, 则称 S 无下界, 即 L R, x0 S,使得 x0 L. (3) 若 S 不是有界的数集, 则称 S 无界集, 即 M 0, x0 S, 使得 | x0 | M .
U (; M ) { x | | x | M } : 的 M 邻域 U(;M ) {x | x M } : 的 M 邻域 U(;M ) {x | x M } : 的 M 邻域 max S : 数集 S 的最大值 min S : 数集 S的最小值
前页 后页 返回
一、有界集
定义1 设S R, S . (1) 若 M R, 使得 x S, x M , 则称 M 为 S 的一个上界, 称 S 为有上界的数集. (2) 若 L R, 使得 x S, x L,则称 L 为 S的一个下界, 称 S 为有下界的数集. (3) 若 S 既有上界又有下界, 则称 S 为有界集. 其充要条件为 : M 0, 使 x S,有 | x | M .
2. 若 xn a0 .a1 an 是 Sn 最大值, 则 x b0 .b1b2 S , b0 .b1 bn a0 .a1 an ,
前页 后页 返回
因此 b0 .b1bn1 a0 .a1an1, 从而 xn1 a0 .a1 an1 是 Sn1 中最大值. 因此 {ai | i 0,1, } 使 xn a0 .a1 an , n 1, 2, .
界,即上确界是最小的上界.
注2 显然,条件 (ii) 亦可换成:
0, x0 S, x0 .
x0
点击上图动画演示
x
前页 后页 返回
定义3 设 S R, S . 若 R 满足 : (i) x S, x ; (ii) , x0 S, x0 ; 则称 是 S 的下确界, 记为 inf S.
前页 后页 返回
例1 证明数集 S {2n | n N } 无上界, 有下界. 证 取 L = 1, 则 x 2n S, x L, 故 S 有下界.
M R, 若 M 1, 取 x0 21 M;若 M 1,
取 x0 2[M ]1 [M ] 1 M , 因此 S 无上界.
定义2 设 S R, S . 若 R满足 : (i) x S, x ; (ii) , x0 S, 使得 x0 , 则称 是 S 的上确界, 记为 sup S.
前页 后页 返回
注1 条件(i) 说明 是 S 的一个上界, 条件(ii)说明 比 小的数都不是S 的上界,从而 是最小的上
注1 由定义,下确界是最大的下界. 注2 下确界定义中的 (ii), 亦可换成
0, x0 S, x0 .
前页 后页 返回
例2
设
S
x
பைடு நூலகம்
x 1 1 , n 1, 2, n
,
求证
sup S 1，inf S 0.
证 先证 sup S=1.
(i) x S, x 1 1 1 ; n
因此 inf S 0. 虽然我们定义了上确界, 但并没有证明上确界的 存在性, 这是由于上界集是无限集, 而无限数集 不一定有最小值, 例如 (0, ) 无最小值. 以下确界原理也可作公理,不予证明.
前页 后页 返回
三、确界存在性定理
定理1.1 (确界原理) 设S R, S . 若 S 有上界, 则 S 必有上确界; 若 S 有下界, 则 S 必有下确界. 证法一 设 S 是有上界的非空集合.为叙述方便起 见,不妨设 S 含有非负数. 记 S { x | x S, x 0}. x S , x b0 .b1b2 是 x 的正规的小数表示.