§2-3 LTI系统的单位冲激响应

所以
1 n 1 n 1 n1 1 n1 h(n) [3( ) 2( ) ]u (n) [3( ) 2( ) ]u (n 1) 2 3 2 3
1 n 1 n 1 n1 1 n1 h(n) [3( ) 2( ) ]u (n) [3( ) 2( ) ]u (n 1) 2 3 2 3 3 1 n1 4 1 n1 (n) [ ( ) ( ) ]u (n 1) 2 2 3 3
(t )dt 1
⑶ 由t=0+时刻的初始条件，确定待定系数。
h(0 ) 1 A
所以
h(t ) e 2t u (t )
对于低阶方程的另一种解法是，将含待定系数的h(t) 代入方程，然后使方程两边相等以确定待定系数。
2/解：此时方程应为 h(t ) 2h(t ) (t ) (t ) ⑴ 求特征根，确定齐次通解。 2 0 2 hh (t ) Ae2t u (t )
所以有
y(n) y1 (n) y2 (n) y2 (n) y1 (n 1)
(n) (n 1)
零状态系统
h(n) h(n 1)
考虑到系统的线性与时不变性 系统的单位样值响应
h(n) h1 (n) h2 (n) h1 (n) h1 (n 1)
由前例可知
1 n 1 n h1 (n) [3( ) 2( ) ]u (n) 2 3
h(t ) B1(t ) B0(t ) 于是在t=0时刻 h(t ) B1(t ) B0 u
h(t ) B1u
由此得到，h(t)中特解等于0；将以上三式代入以下方程
h(t ) 3h(t ) 2h(t ) (t ) 3(t )
B1(t ) B0(t ) 3B1(t ) (t ) 3(t ) B1(t ) ( B0 3B1 )(t ) (t ) 3(t )
h(t ) hh (t ) hp (t )
但是，单位冲激信号δ(t)仅在t=0时刻不等于0，当t>0 时δ(t)=0，因此系统在t>0时的响应是零输入响应的形式。 因此，在时域求解的情况下，hp(t)与t=0+时条件的确定 成了h(t)求解的关键。
例如、设系统方程如下，试求系统的单位冲激响应h(t)。
所以
h(t ) (2e t e 2t )u (t )
二、离散时间系统的单位样值响应
(n)
零状态系统
h(n)
单位样值响应h(n)是系统在零状态时，由单位样值信 号作用之下产生的响应。因此，它是一个零状态响应。
同样，单位样值信号δ(n)仅在n=0时刻等于1，其它时 刻δ(n)=0，因此系统在n>0时的响应是零输入响应。
⑶ 确定齐次解中的待定系数，求出系统的单位冲激响 应。 hh (0 ) B0 1 A 所以
h(t ) hp (t ) hh (t )
(t ) e 2t u (t )
一般的，对于如下形式的微分方程
ak y ( k ) (t ) bk x ( k ) (t )
k 0 k 0 N M
当N>M，单位冲激响应中只有自由响应；当N≤M，则还 有受迫响应分量：冲激和冲激的各阶导数。
例如 设系统方程如下，试求系统的单位冲激响应h(t)。
y(t ) 3 y(t ) 2 y(t ) x(t ) 3x(t )
解：此时方程应为 h(t ) 3h(t ) 2h(t ) (t ) 3(t )
解、此时以上方程可以写成
5 1 h(n) h(n 1) h(n 2) (n) (n 1) 6 6
解法一：先用迭代法，求得h(0)=1，h(1)= -1/6 ，再 设在n≥0以后 1 n 1 n h(n) A1 ( ) A2 ( ) 2 3 因此
h(0) A1 A2 1
当n=1
当n=2

5 1 5 h(1) 0 h(0) h(1) 6 6 6 5 1 19 h(2) 0 h(1) h(0) 6 6 36
同样，在大多数情况下不易得到封闭的解。
解法二： 由因果性与零状态条件，通过迭代求得一组初始 条件，进而求n>0时的零输入响应。 设在n>0以后 1 n 1 n h(n) A1 ( ) A2 ( ) 2 3 由以上 5 19 h(1) h(2) 6 36
所以
1 1 1 h(1) A1 A2 2 3 6
A1 3
A2 4
1 n 1 n h(n) [3( ) 4( ) ]u (n) 2 3 1 n 1 n (n) [3( ) 4( ) ]u (n 1) 2 3
解法二： 将以上方程看成是以下两方程的和 5 1 y1 (n) y1 (n 1) y1 (n 2) x(n) 6 6 5 1 y2 (n) y2 (n 1) y2 (n 2) x(n 1) 6 6
所以
1 1 5 h(1) A1 A2 2 3 6
A1 3 A2 2
1 1 19 h(2) A1 A2 4 9 36
求得
考虑到 所以
h(0) 1
1 n 1 n h(n) (n) [3( ) 2( ) ]u (n 1) 2 3
方法二中的初始条件是由h(-2)=h(-1)=0和δ(0)=1 解法三： 迭代得来的。二阶系统，确定系数有两个条件足 够，我们可以用n=-1和0时的条件，进而求n≥0时 的零输入响应。
§2.3 LTI系统的单位冲激响应
先看前例电路如下，当t=0时开关由1至2，系统输出为
2 1
C
L
电流，试确定电流i(t)及其导数在
R
20V 10V
e(t )
i(t )
t=0时刻前后的值。
即是要求t=0-与0+时刻电流及其导 数的值。
由观察可知，t=0-时刻电路应处于稳定状态，于是
i (0 ) 0
⑵ 确定特解，并确定t=0+时刻的初始条件。 比较以上方程两边可设：在t=0时刻
h(t ) B1(t ) B0(t ) 于是在t=0时刻 h(t ) B1(t ) B0 u 将这两式代入以上方程
B1(t ) B0(t ) 2 B1(t ) (t ) (t ) B1(t ) ( B0 2 B1 )(t ) (t ) (t )
所以
B1 1
B0 3B1 3
B0 0
h(0 ) B1 1
由此得到t=0+时刻的条件：
h(0 ) B0 0
⑶ 确定齐次解中的待定系数，求出系统的单位冲激响 应。 h(0 ) 1 A1 A2 A1 2 A2 1 h(0 ) 0 A1 2 A2
⑴ y(t ) 2 y(t ) x(t ) ⑵ y(t ) 2 y(t ) x(t ) x(t )
1/解：此时方程应为 h(t ) 2h(t ) (t )
⑴ 求特征根，确定齐次通解。 2 0 2
hh (t ) Ae2t u (t ) ⑵ 确定特解，并确定t=0+时刻的初始条件。
d 2i (t ) R di(t ) 1 10 i(t ) (t ) 2 dt L dt LC L
即系统方程的右边出现冲激信号，t=0时刻的条件会发生 跳变。
一、单位冲激响应
(t )
零状态系统
h(t )
单位冲激响应h(t)是系统在零状态时，由单位冲激作用 之下产生的输出响应。因此，它是一个零状态响应。
所以
1 n 1 n h(n) [3( ) 2( ) ]u (n) 2 3 1 n 1 n (n) [3( ) 2( ) ]u (n 1) 2 3
例如：已知系统差分方程，求系统的单位样值响应h(n)。
5 1 y (n) y (n 1) y (n 2) x(n) x(n 1) 6 6
5 1 h(n) h(n 1) h(n 2) (n) 6 6
解法一（迭代法）：将方程写成如下形式 5 1 h(n) (n) h(n 1) h(n 2) 6 6 考虑到系统是因果的和零状态的，当n=0 5 1 h(0) 1 h(1) h(2) 1 6 6
即有
B1 1
B0 2 B1 1
B0 1
于是在t=0时刻，系统的特解 h p (t ) (t )
B0Δu=- Δu表示在t=0时刻系统由于冲激作用引起的跳变， 跳变值B0= -1 。它是在单位冲激信号的作用下，系统在 t=0+时刻建立起来的状态。利用此状态可以确定齐次响应 中的待定系数。
L di(t ) 0 dt t 0
i(0 ) 0
当t=0+时刻，由于电感电流不会突变，于是
i (0 ) 0


di(t ) L 10 dt t 0
i(0 )
10 L
可见，在当t=0时刻的前后，电路中状态发生了跳变。 由前所讲已知，当-∞＜t＜∞时系统方程为
⑴ 求特征根，确定齐次通解。 1 1 2 3 2 0 所以t>0时 或表示为：
2 2
h(t ) A1e t A2e 2t h(t ) ( A1e t A2e 2t )u (t )
⑵ 确定特解，并确定t=0+时刻的初始条件。
比较以上方程两边可设：在t=0时刻
因为是差分方程的时域求解，除了有类似于以上单位 冲激响应求解的方法外，还可以用迭代法求解响应。 下面还是通过举例，说明单位样值相应的求解。
例如：已知系统差分方程，求系统的单位样值响应h(n)。
5 1 y (n) y (n 1) y (n 2) x(n) 6 6
解、此时以上方程可以写成
1 n 1 n (n) [3( ) 4( ) ]u (n 1) 2 3
比较以上方程两边可见，h(t ) 中应有强度为1的冲激， 而 h(t ) 中没有冲激存在，否则 h(t ) 中将有冲激的导数出 现。因此，h(t ) 中没有特解出现。
所以
h(t ) hh (t ) Ae 2t u (t )
因为
h (0 )
0
h(t )dt
0

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设在n≥0以后
将
1 n 1 n h(n) A1 ( ) A2 ( ) 2 3
h(0) 1
h(1) 0
作为条件 1 1 1 1 h(1) A1 ( ) A2 ( ) 2 A1 3 A2 0 2 3
h(0) A1 A2 1 A1 3 A2 2