第十四章 非正弦周期电流电路的计算

3、时域叠加：
u1
u (1) 1
u1(2)
5
2 cos(10t 45)V
i1
i (1)
1
i (2)
1
10
2 cos(5t 45)A
u u(1) u(2)
5 2 cos(10t 45) 10 cos(5t 90)V
i i(1) i(2)
5cos10t 10 2 cos(5t 45) A
第十四章 非正弦周期电流电路的计算
§14-1 非正弦周期电流电路
1. 非正弦周期电流的产生 定义：随时间按非正弦规律周期变化的电流或电压。 分类： 1）偶函数:f(t)=f(-t) 2）奇函数:f(t)=-f(-t) 3）奇谐函数
f (t) f (t T) 2
4）偶谐函数 f (t) f (t T) 2
效值为:
I 1 T i2 (t)dt U 1 T u2 (t)dt
T0
T0
1.1、计算：
1）按定义计算；
2）按傅立叶系数计算：
i(t) I0 Imn cos(nt in ) n 1
u(t) U0 Umn cos(nt un ) n 1
I U
I02
1 2
Imn 2
n 1
U02
1
0
u
i(1) is(1) 5cos10t
-
u (1) 1
5
2 cos(10t 45) u(1)
Pi 12.5W
i
Pu 50W
2、电压源单独作用：
U• (2) 1
0
u (2) 1
0
•
• (2)
I
(2) 1
I
10 45
i(2)
i (2)
1
10
2 cos(5t 45)
u(2) us 10 cos(5t 90)
u(t)
u(t) 2
uo (t)
u(t)
u(t) 2
A0 a0 Um
an 0(n 0)
bn
4Um
n
u (t )
U
m
4U m
(sin t
1 sin 3t 3
1 5
sin 5t
)
§14-4 有效值、平均值和平均功率
1、有效值定义：
若非正弦电量 i(t)=i(tnT), u(t)=u(tnT) 则有
例2： 图示电路中，已知激励电压：
u(t) Um1 cos(103t 1） U3m cos(3 103t 3）
现欲使响应 u2 (t) Um1 cos(103t 1）求L和C2。
解： 依题意要求，应
（1）L与C2串联—短路，有
1 103 LC2
（2）L、C2与C1并联—开路，
有
1
3103
§14-5 非正弦周期电流电路的计算
一、一般步骤： 1） 将激励为非正弦周期函数展开为傅立叶级数：
f (t) A0 Anm cos(nt n )
n1
2） 将激励分解为直流分量和无穷多个不同频率的 正弦激励分量；
3） 求各激励分量单独作用时的响应分量：
(1) 直流分量作用：直流分析（C开路，L短路）求Y0;
1 2
n 1
U mn
2
I02 In2
n1
U02 Un2
n1
例： 图示电压中，T=2，求u(t)有效值。
解：
u(t)
U
m
4U m
(sin t
1 3
sin
3t
1 5
sin
5t
)
U
U02
1 2
Unm2
n1
U m2 ( 4U m )2
1 (1 2
1 32
1 52
1 ) 72
2Um
或
U
1 T u2 (t)dt
§14-2 周期函数展开为Fourier Series
1、傅立叶级数展开式：
若非正弦函数 f(t)=f(tnT),且满足狄氏
条件,则: f (t) a0 (an cosnt bn sin nt) n1
其中:
a0
1 T
T /2
f
T / 2
(t)dt
an
பைடு நூலகம்
2 T
T /2
f
T / 2
(t) cos ntdt
4）函数对称性与谐波的成份
f (t) a0 (an cosnt bn sin nt)
n1
A0 Amn cos(nt n ) n 1
讨论：
偶函数:无奇函数分量
奇函数:无偶函数分量 奇谐函数：无偶次谐波
偶谐函数：无奇次谐波
例： 图示电压中，T=2，求u(t)傅立叶级数展开式。
解：
ue (t)
（2）基波分量作用： （正弦稳态分析）求有y1; （3）二次谐波分量作用： 2 （正弦稳态分析）求有y2;
4) 时域…叠…加…：…y(…t)=…Y0 + y1 + y2 + y3 + y4 + ……
例1： 图示电路中us (t) 40 180 cost 60 cos(3t 45)
20cos(5t 18) ,f=50Hz，求i(t)和电流有效值I。
1）A0=a0 ——常量，与频率无关（直流分量、零频分量） 2）Ancos(nt+0 )——正弦量，与n有关（谐波分量） 3）谐波分类：
A0=a0
直流分量
Am1 cos(t 1) 基波分量
Am2 cos(2t 2 ) 二次谐波 2 高
Am3 cos(3t3)
三次谐波
3
次 谐
Amk cos(kt k ) k次谐波 k 波
L C1C2
即： LC2 106
C1 C2
L C1C2 1 106
C1 C2 9
L 1H
C2 1F
本章小结
1、非周期信号的有效值
2、非正弦周期电流电路的平均功率
3、非正弦周期电流电路的稳态分析
1）将非正弦周期电流电压分解成直流分量及各次谐波分量， 相当于在电路的输入端施加多个等效激励源 （多个等效电压源 或多个等效电流源并联）
2）分别计算各等效激励源单独作用时电路的响应分量
3）根据叠加定律，各个响应分量的代数和就是非正弦 周期电流电路的稳态响应
4、由于不同频率的正弦量不能用相量法相加，故求出各响 应分量后应写出瞬时表达式，在时 域中进行叠加
T0
P U0I0 U1I1 cos(u1 i1) U2I2 cos(u2 i2 )
例：求电路中u1(t)、i1(t)，并求各电源的发出功率。其中
is (t) 5cos(10t) A.
us (t) 10 cos(5t 90)V . +
解：1、电流源单独作用：
•
U (1) 1
545
i (1)
T0
1 T
T
2 0
(2U
m
)2
dt
2Um
2、平均功率定义：
1） 瞬时功率：若单口网络端口电 流和电压为：
i(t) I0 2In cos(nt in )
n1
u(t) U0 2Un cos(nt un )
n1
则瞬时功率为： p(t) u(t)i(t)
2）平均功率： P 1
T
p(t)dt
bn
2 T
T /2
f
T / 2
(t ) sin
ntdt
f (t) a0 (an cosnt bn sin nt)
n1
A0 Amn cos(nt n ) n 1
其中:
Amn an2 bn2
n
arctan
bn an
讨论： f (t) A0 Amn cos(nt n ) n 1
解：直流分量作用： i(0) 0
基波分量作用： i(1) 1.426cos(t 86) A
3次谐波作用： i(3) 6 cos(3t 45) A
5次谐波作用： i(5) 0.39 cos(5t 61) A
由叠加定理，有： i i(0) i(1) i(3) i(5)
电I•流I•((513有))) 效IRR值为Ijj((：(0U5)U•32U••Lss(L1sL(I)(53()1))2513C11IC)C(3)))2 1.I40(225.6)3622298446.5376A1