知识点45 尺规作图2017(解答题)
中考数学三轮冲刺-真题集训：知识点45 尺规作图(pdf版,含答案)
(2)在图 2 中以 BC 为边作一个 45°的圆周角.
【解题过程】解：（1）如图所示
∴DE 即为所求. （2）如图所示
∴∠MBC 即为所求.
8．（2019·陇南）已知：在△ABC 中，AB＝AC．
（1）求作：△ABC 的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若△ABC 的外接圆的圆心 O 到 BC 边的距离为 4，BC＝6，则 S⊙O＝
∠POC = 15° ，考虑到点 C 有可能在 ∠AOP 内也有可能在 ∠BOP 内，所以当点 C 在 ∠AOP 内时
∠BOC = ∠BOP + ∠POC = 45° ，当点 C 在 ∠BOP 内时 ∠BOC = ∠BOP − ∠POC = 15° ．
三、解答题 1．（2019 山东省德州市，22，12）如图，∠BPD＝120°，点 A、C 分别在射线 PB、PD 上，∠PAC＝
分别以 M，N 为圆心，以大于 1 MN 的长度为半径作弧，两弧在 ∠AOB 内交于点 P，以 OP 为边作 2
∠POC = 15° ，则 ∠BOC 的度数为（ ）．
A．15°
B． 45°
C．15° 或 30°
D．15° 或 45°
【答案】D
【解析】由题目可以得出 OP 为 ∠AOB 的平分线，所以 ∠AOP = ∠BOP = 1 ∠AOB = 30° ，又因为 2
【解题过程】（1）画法不唯一，如图 1 或如图 2 等； （2）画法不唯一，如图 3 或如图 4 等.
A E
BF
DA GF CB
DA GM
E C BN
QD
A
PMCBNQ DP C图1
图2
图3
图4
尺规作图篇(解析版)--中考数学必考考点总结+题型专训
专题13尺规作图知识回顾1.尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．2.基本要求它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同．①直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度．②圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度3.基本作图有：（1）作一条线段等于已知线段．（2）作一个角等于已知角．（3）作已知线段的垂直平分线．具体步骤：①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。
如图①②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。
如图②（4）作已知角的角平分线．具体步骤：①以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M、N。
如图①。
②分别以点M与点N为圆心，大于MN长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P。
如图②。
即为角的平分线。
③连接OP，OP4.复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作。
5.设计作图：应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图。
专题练习1．尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，已知线段m，n．求作△ABC，使∠A＝90°，AB＝m，BC＝n．【分析】先在直线l上取点A，过A点作AD⊥l，再在直线l上截取AB＝m，然后以B点为圆心，n为半径画弧交AD于C，则△ABC满足条件．【解答】解：如图，△ABC为所作．2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．（1）作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：AD＝AE．【分析】（1）按照角平分线的作图步骤作图即可．（2）证明△ACE≌△ABD，即可得出AD＝AE．【解答】（1）解：如图所示．（2）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD是∠ABC的角平分线，CE是∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∠A＝∠A，∴△ACE≌△ABD（ASA），∴AD＝AE．3．如图，已知线段AC和线段a．（1）用直尺和圆规按下列要求作图．（请保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法）①作线段AC的垂直平分线l，交线段AC于点O；②以线段AC为对角线，作矩形ABCD，使得AB＝a，并且点B在线段AC的上方．（2）当AC＝4，a＝21ABCD的面积．【分析】（1）①按照线段垂直平分线的作图步骤作图即可．②以点O为圆心，OA的长为半径画弧，再以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，两弧在线段AC上方交于点B，同理，以点O为圆心，OC的长为半径画弧，再以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，两弧在线段AC下方交于点D，连接AD，CD，AB，BC，即可得矩形ABCD．（2）利用勾股定理求出BC，再利用矩形的面积公式求解即可．【解答】解：（1）①如图，直线l即为所求．②如图，矩形ABCD即为所求．（2）∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°，∵a＝2，∴AB＝CD＝2，∴BC＝AD＝＝＝，∴矩形ABCD的面积为AB•BC＝2×＝．4．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝BC，AD⊥DC于点D．（1）用尺规作∠ABC的角平分线，交CD于点E；（不写作法，保留作图痕迹）（2）连接AE．求证：四边形ABCE是菱形．【分析】（1）根据角平分线的作图步骤作图即可．（2）由角平分线的定义和平行四边形的判定定理，可得四边形ABCE为平行四边形，再结合AB＝BC，可证得四边形ABCE为菱形．【解答】（1）解：如图所示．（2）证明：∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠ABE＝∠CBE，∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠BEC，∴∠CBE＝∠BEC，∴BC＝EC，∵AB＝BC，∴AB＝EC，∴四边形ABCE为平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形ABCE为菱形．5．如图，在4×4的方格纸中，点A，B在格点上．请按要求画出格点线段（线段的端点在格点上），并写出结论．（1）在图1中画一条线段垂直AB．（2）在图2中画一条线段平分AB．【分析】（1）利用数形结合的思想作出图形即可；（2【解答】解：（1）如图1中，线段EF即为所求（答案不唯一）；（2）如图2中，线段EF即为所求（答案不唯一）．6．“水城河畔，樱花绽放，凉都宫中，书画成风”的风景，引来市民和游客争相“打卡”留念．已知水城河与南环路之间的某路段平行宽度为200米，为避免交通拥堵，请在水城河与南环路之间设计一条停车带，使得每个停车位到水城河与到凉都宫点F的距离相等．（1）利用尺规作出凉都宫到水城河的距离（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在图中格点处标出三个符合条件的停车位P1，P2，P3；（3）建立平面直角坐标系，设M（0，2），N（2，0），停车位P（x，y），请写出y与x之间的关系式，在图中画出停车带，并判断点P（4，﹣4）是否在停车带上．【分析】（1）利用过直线外一点作垂线的方法作图即可；（2）根据停车位到水城河与到凉都宫点F的距离相等，可得点P1，P2，P3；（3）根据停车位P（x，y）到点F（0，﹣1）和直线y＝1的距离相等，得1﹣y＝，从而解决问题．【解答】解：（1）如图，线段FA的长即为所求；（2）如图，点P1，P2，P3即为所求；（3）∵停车位P（x，y）到点F（0，﹣1）和直线y＝1的距离相等，∴1﹣y＝，化简得y＝﹣，当x＝4时，y＝﹣4，∴点P（4，﹣4）在停车带上．7．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．（1）网格中△ABC的形状是；（2）在图①中确定一点D，连结DB、DC，使△DBC与△ABC全等；（3）在图②中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE∽△CBA；（4）在图③中△ABC的边AB上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使△PBQ∽△ABC，且相似比为1：2．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明即可；（2（3）根据相似三角形的判定作出图形即可；（4）作出AB，BC的中点P，Q即可．【解答】解：（1）∵AC＝＝，AB＝＝2，BC＝5，∴AC2+AB2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴△ABC是直角三角形；故答案为：直角三角形；（2）如图①中，点D，点D′，点D″即为所求；（3）如图②中，点E即为所求；（4）如图③，点P，点Q即为所求．8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．（1）请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．【分析】（1）过点A作AD⊥AO即可；（2）连接OB，OC．证明∠＝75°，利用三角形内角和定理求出∠CAB，推出∠BOC＝120°，求出CH可得结论．【解答】解：（1）如图，切线AD即为所求；（2）过点O作OH⊥BC于H，连接OB，OC．∵AD是切线，∴OA⊥AD，∴∠OAD ＝90°，∵∠DAB ＝75°，∴∠OAB ＝15°，∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA ＝15°，∴∠BOA ＝150°，∴∠BCA ＝∠AOB ＝75°，∵∠ABC ＝45°，∴∠BAC ＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝120°，∵OB ＝OC ＝2，∴∠BCO ＝∠CBO ＝30°，∵OH ⊥BC ，∴CH ＝BH ＝OC •cos30°＝，∴BC ＝2．9．如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，分别以点A ，D 为圆心，大于21AD 的长为半径作弧，两弧交于点M ，N ，作直线MN AB ，AD ，AC 于点E ，O ，F ，连接DE ，DF ．（1）由作图可知，直线MN 是线段AD 的．（2）求证：四边形AEDF 是菱形．【分析】（1）根据作法得到MN 是线段AD 的垂直平分线；（2）根据垂直平分线的性质则AF ＝DF ，AE ＝DE ，进而得出DF ∥AB ，同理DE ∥AF ，于是可判断四边形AEDF 是平行四边形，加上FA ＝FD ，则可判断四边形AEDF 为菱形．【解答】（1）解：根据作法可知：MN 是线段AD 的垂直平分线；故答案为：垂直平分线；（2）证明：∵MN 是AD 的垂直平分线，∴AF＝DF，AE＝DE，∴∠FAD＝∠FDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠FDA＝∠BAD，∴DF∥AB，同理DE∥AF，∴四边形AEDF是平行四边形，∵FA＝FD，∴四边形AEDF为菱形．10．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，BC＝5．（1）作BC的垂直平分线，分别交AB、BC于点D、H；（2）在（1）的条件下，连接CD，求△BCD的周长．【分析】（1）利用基本作图，作BC的垂直平分线即可；（2）根据线段垂直平分线的性质得到DC＝DB，则利用等角的余角相等得到∠A＝∠DCA，则DC＝DA，然后利用等线段代换得到△BCD的周长＝AB+BC．【解答】解：（1）如图，DH为所作；（2）∵DH垂直平分BC，∴DC＝DB，∴∠B＝∠DCB，∵∠B+∠A＝90°，∠DCB+∠DCA＝90°，∴∠A＝∠DCA，∴DC＝DA，∴△BCD的周长＝DC+DB+BC＝DA+DB+BC＝AB+BC＝8+5＝13．11．已知：△ABC．（1）尺规作图：用直尺和圆规作出△ABC内切圆的圆心O．（只保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）如果△ABC的周长为14cm，内切圆的半径为1.3cm，求△ABC的面积．【分析】（1）作∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，点O即为所求；（2）△ABC的面积＝（a+b+c）•r计算即可．【解答】解：（1）如图，点O即为所求；（2）由题意，△ABC的面积＝×14×1.3＝9.1（cm2）．12．已知四边形ABCD为矩形，点E是边AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（1）在图1中作出矩形ABCD的对称轴m，使m∥AB；（2）在图2中作出矩形ABCD的对称轴n，使n∥AD．【分析】（1）如图1中，连接，BD交于点O，作直线OE即可；（2）如图2中，同法作出点O，连接BE交AC于点T，连接DT，延长TD交AB于点R，作直线OR即可．【解答】解：（1）如图1中，直线m即为所求；（2）如图2中，直线n即为所求；13．如图，在10×10的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中△ABC为格点三角形．请按要求作图，不需证明．（1）在图1中，作出与△ABC全等的所有格点三角形，要求所作格点三角形与△ABC有一条公共边，且不与△ABC重叠；（2）在图2中，作出以BC为对角线的所有格点菱形．【分析】（1）根据全等三角形的判定画出图形即可；（2）根据菱形的定义画出图形即可．【解答】解：（1）如图1中，△ABD1，△ABD2，△ACD3，△ACD4，△CBD5即为所求；（2）如图2中，菱形ABDC，菱形BECF即为所求．14．【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？【初步尝试】如图1，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心O作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；【问题联想】如图2，已知线段MN，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以MN为斜边的等腰直角三角形MNP；【问题再解】如图3，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）【分析】【初步尝试】如图1，作∠AOB的角平分线OP即可；【问题联想】如图2，作线段MN的垂直平分线RT，垂足为R，在射线RT上截取RP＝RM，连接MP，NP，三角形MNP即为所求；【问题再解】方法一：构造等腰直角三角形OBE，作BC⊥OE，以O为圆心，OC为半径画弧交OB于点D，交OA于点F，弧DF即为所求．方法二：作OB的中垂线交OB于点C，然后以C为圆心，CB 长为半径画弧交OB中垂线于点D，再以O为圆心，OD长为半径画弧分别交OA、OB于点E、F．则弧EF即为所求．【解答】解：【初步尝试】如图1，直线OP即为所求；【问题联想】如图2，三角形MNP即为所求；【问题再解】如图3中，即为所求．15．如图，在6×6的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图形．（1）如图1，作一条线段，使它是AB向右平移一格后的图形；（2）如图2，作一个轴对称图形，使AB和AC是它的两条边；（3）如图3，作一个与△ABC相似的三角形，相似比不等于1．【分析】（1）把点B、A向右作平移1个单位得到CD；（2）作A点关于BC的对称点D即可；（3）延长CB到D使CD＝2CB，延长CA到E点使CE＝2CA，则△EDC满足条件．【解答】解：（1）如图1，CD为所作；（2）如图2，（3）如图3，△EDC为所作．。
中考数学总复习精讲精练：4.4 尺规作图(含答案) 第四节 尺规作图
中考命题规律怀化七年中考真题及模拟尺规作图(3次)1．(2015怀化中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝1，AB ＝2. (1)求作⊙O ，使它过点A 、B 、C ；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)所作的圆中，求出劣弧BC ︵的长l .解：(1)如图所示：；(2)连接OC ，∵AC ＝1，AB ＝2，∴∠B ＝30°，∠A ＝60°，∴∠BOC ＝120°，∴l ＝120°π·1180°＝2π3.2．(2014怀化中考)两个城镇A ，B 与两条公路ME ，MF 位置如图所示，其中ME 是东西方向的公路．现电信部门需在C 处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A ，B 的距离必须相等，到两条公路ME ，MF 的距离也必须相等，且在∠FME 的内部．(1)那么点C 应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C ；(不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹)(2)设AB 的垂直平分线交ME 于点N ，且MN ＝2(3＋1)km ，在M 处测得点C 位于点M 的北偏东60°方向，在N 处测得点C 位于点N 的北偏西45°方向，求点C 到公路ME 的距离．解：(1)作图如图所示：；(2)作CD ⊥MN 于点D ，，由题意得：∠CMN ＝30°，∠CND ＝45°，∠在Rt ∠CMD 中，CD MD ＝tan ∠CMN ，∠MD ＝CD 33＝3CD ；∠在Rt ∠CND 中，CDDN ＝tan ∠CNM ，∠ND＝CD1＝CD ；∠MN ＝2(3＋1)km ，∠MN ＝MD ＋DN ＝CD ＋3CD ＝2(3＋1)km ，解得CD ＝2 km .∠点C 到公路ME 的距离为2 km .中考考点清单尺规作图尺规作图为怀化近2年的必考点，题型多为解答题，设问方式主要为图形的作法、作图痕迹及图形中的求值． 六种尺规作图，，中考重难点突破尺规作图【例】(2016辰溪模拟)已知∠O外一点P，过点P作出∠O的一条切线(只有圆规和三角板这两种工具)．以下是甲、乙两同学的作业：甲：1.连接OP，作OP的垂直平分线l，交OP于点A；2．以点A为圆心，OA为半径画弧，交∠O于点M；3．作直线PM，则直线PM即为所求(如图∠)．乙：1.让直角三角形板的一条直角边始终经过点P；2．调整直角三角板的位置，让它的另一条直角边过圆心O，直角顶点落在∠O上，记这时直角顶点的位置为点M；3．作直线PM，则直线PM即为所求(如图∠)．对于两人的作业，下列说法正确的是()A．甲对，乙不对B．甲不对，乙对C．两人都对D．两人都不对【解析】甲同学如解图∠连接OM，MA，∠作OP的垂直平分线l交OP于点A，∠OA＝AP，∠以点A为圆心，OA为半径画弧，交∠O于点M，∠OA＝MA＝AP，∠∠O＝∠AMO，∠AMP＝∠MP A，∠∠OMA＋∠AMP＝∠O＋∠MP A ＝90°，∠OM∠MP，∠MP是∠O的切线．乙同学如解图∠，∠直角三角板的一条直角边始终经过点P，它的另一条直角边过圆心O，直角顶点落在∠O 上，∠∠OMP＝90°，∠MP是∠O的切线．故两位同学的作法都正确．【学生解答】C1．(2015怀化中考说明)已知线段a，b，c，求作∠ABC，使AB＝c，BC＝a，AC＝b，则下列作图步骤中，有错误的是(C)A．第一步：作出已知线段AB＝cB．第二步：以A为圆心，b为半径画弧C．第三步：以B为圆心，b为半径画弧D．第四步：两弧交点即为C点，连接A，B，C2．(2016怀化二模)如图，在Rt∠ABC中，∠ACB＝90°.(1)先作∠ABC的平分线交AC边于点O，再以点O为圆心，OC为半径作∠O；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)(2)请你判断(1)中AB与∠O的位置关系，并证明你的结论．解：(1)作图如图所示：；(2)AB与∠O相切，证明如下：过点O作OD∠AB，D为垂足，∠BO平分∠ABC，OC∠BC，OD∠AB，∠OD＝OC＝r，∠AB与∠O相切．3．(2016怀化学业考试指导)如图所示，在Rt∠ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°.(1)尺规作图：作线段AB的垂直平分线l；(保留作图痕迹，不写作法)(2)在已知的图形中，若l分别交AB，AC及BC的延长线于点D，E，F，连接BE，求证：EF＝2DE.解：(1)作图如图所示：；(2)连接BE，∠DE垂直平分AB，∠AE＝BE，∠∠EBA＝∠A＝30°，∠∠EBC＝∠ABC－∠EBA＝30°，即BE平分∠ABC，∠DE∠AB，EC∠BC，∠CE＝DE，在Rt∠ECF中，∠EFC＝30°，∠ECF＝90°，∠EF＝2CE，∠EF＝2DE.。
八年级尺规作图依据题总结--例题+解析
八年级尺规作图依据题总结1．（2018春•东城区期末）阅读下面材料在数学课上，老师提出如下问题：已知：已知：Rt ABCABC∠=︒．求作：矩形ABCD．∆，90小敏的作法如下：①以A为圆心，BC长为半径作弧，以C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点D；②连接DA、DC；所以四边形ABCD为所求矩形．老师说：“小敏的作法正确．”请回答：小敏的作法正确的理由是【答案】有一个角是直角的平行四边形是矩形．2．（2017春•东城区期末）在一节数学课上，老师布置了一个任务：已知，如图1，在Rt ABC∆中，90B∠=︒，用尺规作图作矩形ABCD．同学们开动脑筋，想出了很多办法，其中小亮作了图2，他向同学们分享了作法：①分别以点A，C为圆心，大于12AC长为半径画弧，两弧分别交于点E，F，连接EF交AC于点O；②作射线BO，在BO上取点D，使OD OB=；③连接AD，CD．则四边形ABCD就是所求作的矩形．老师说：“小亮的作法正确．”小亮的作图依据是．【答案】到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形。
3．（2017•威海模拟）在数学课上，老师提出如下问题：如图1，将锐角三角形纸片()经过两次折叠，得到边AB，BC，CA上的点D，ABC BC ACE，F．使得四边形DECF恰好为菱形．小明的折叠方法如下：如图2，（1）AC边向BC边折叠，使AC边落在BC边上，得到折痕交AB于D；（2）C点向AB边折叠，使C点与D点重合，得到折痕交BC边于E，交AC 边于F．老师说：“小明的作法正确．”请回答：小明这样折叠的依据是．【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
4．（2019春•昌平区期末）已知：线段AB，BC．求作：平行四边形ABCD．以下是甲、乙两同学的作业．甲：①以点C为圆心，AB长为半径作弧；②以点A为圆心，BC长为半径作弧；③两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD．四边形ABCD即为所求平行四边形．（如图1)乙：①连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；②连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD MB，连接AD，CD．四边形ABCD即为所求平行四边形．（如图2)老师说甲、乙同学的作图都正确，你更喜欢的作法，他的作图依据是：．【答案】甲或乙，两组对边分别相等的四边形是平行四边形或对角线互相平分的四边形是平行四边形．5．（2018春•昌平区期末）在数学课上，老师提出如下问题：如何使用尺规完成“过直线l 外一点A作已知直线l的平行线”．小云的作法如下：（1）在直线l上任取一点B，以点B为圆心，AB长为半径作弧，交直线l于点C；（2）分别以A，C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧相交于点D；（3）作直线AD．所以直线AD即为所求．老师说：“小云的作法正确”．请回答：小云的作图依据是．【答案】①四边相等的四边形是菱形；②菱形的对边平行；6．（2020春•安新县期末）尺规作图：作一个角的平分线．小涵是这样做的：已知：MAN∠，如图1所示．求作：射线AD，使它平分MAN∠．作法：（1）如图2，以A为圆心，任意长为半径作弧，交AM于点B，交AN于点C；（2）分别以B、C为圆心，AB的长为半径作弧，两弧交于点D；（3）作射线AD．所以射线AD就是所求作的射线．小涵是个喜欢动脑筋的孩子，他继续对图形进行探究：连接BD、CD和BC，发现BC与AD 的位置关系是，依据是．【答案】AD与BC互相垂直平分，菱形的对角线互相垂直平分．7．（2016春•昌平区期末）已知：线段AC，如图1．求作：以线段AC为对角线的一个菱形ABCD．作法：（1）作线段AC的垂直平分线MN交AC点于O；（2）以点O为圆心，任意长为半径画弧，交直线MN于点B，D；（3）顺次连结点A，B，C，D．则四边形ABCD即为所求作的菱形．请回答：上面尺规作图2作出菱形ABCD的依据是．【答案】对角线垂直的平行四边形是菱形．8．（2018春•房山区期末）如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．小米的作法是：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．则小米的依据是．【答案】对角线互相垂直的平行四边形是菱形9．（2019春•南昌期末）已知：线段a．（如图1)求作：菱形ABCD，使得AB a∠=︒．A=且60以下是小丁同学的作法：①作线段AB a=；②分别以点A，B为圆心，线段a的长为半径作弧，两弧交于点D；③再分别以点D，B为圆心，线段a的长为半径作弧，两弧交于点C；④连接AD，DC，BC．则四边形ABCD即为所求作的菱形．（如图2)老师说小丁同学的作图正确．则小丁同学的作图依据是：．【答案】三边都相等的三角形是等边三角形；等边三角形的每个内角都是60︒；四边都相等的四边形是菱形．10．（2017春•石景山区期末）已知：线段AB，BC，90∠=︒．ABC求作：矩形ABCD．以下是甲、乙两同学的作业：老师说甲、乙同学的作图都正确．则甲的作图依据是：；乙的作图依据是：．【答案】甲：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；乙：对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．11．（2020春•通州区期中）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线；已知：如图1，直线l与直线l外一点P．求作：过点P与直线平行的直线．聪聪的作法如下：（1）在直线上任取两点A，B，连接AP，BP；（2）以点B为圆心、AP长为半径作弧；以点P为圆心，AB长为半径作弧，如图所示，两弧交于点M；（3）作过点P，M的直线；（4）直线PM即为所求．老师说：“聪聪的作法正确．请回答：聪聪的作图依据是．【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形或平行四边形的性质．12．（2020春•西城区校级期中）已知图1：线段AB，BC，90∠=︒．ABC求作：矩形ABCD．以下是小林同学的作业：根据小林的作图过程，填写下面推理的依据：证明：CD AB=．=AD BC∴四边形ABCD为平行四边形()．又：90∠=︒ABC∴平行四边形ABCD为矩形()．【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．13．（2018春•门头沟区期末）下面是“利用直角三角形作矩形”尺规作图的过程．已知：如图1，在Rt ABC∆中，90ABC∠=︒．求作：矩形ABCD．小明的作法如下：做法：如图2，（1）分别以点A、C为圆心，大于12AC同样长为半径作弧，两弧交于点E、F；（2）作直线EF，直线EF交AC于点O；（3）作射线BO，在BO上截取OD，使得OD OB=；（4）连接AD，CD．∴四边形ABCD就是所求作的矩形．老师说，“小明的作法正确．”请回答，小明作图的依据是：．【答案】到线段两段点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；对角线互相平分的四边形为平行四边形；有一个内角为90︒的平行四边形为矩形．14．（2018春•平谷区期末）在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线．已知：如图1，直线l及其外一点A．求作：l的垂线，使它经过点A．小云的作法如下：（1）在直线l上任取一点B，连接AB；（2）以A为圆心，AB长为半径作弧，交直线l于点D；（3）分别以B、D为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点C；（4）作直线AC．直线AC即为所求（如图2)．小云作图的依据是．【答案】四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对角线互相垂直．15．（2018•朝阳区二模）下面是“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．已知：ABC∆．求作：ABC∆的边BC上的高AD．作法：如图2，（1）分别以点B和点C为圆心，BA，CA为半径作弧，两弧相交于点E；（2）作直线AE交BC边于点D．所以线段AD就是所求作的高．请回答：该尺规作图的依据是．【答案】到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；三角形的高的定义；两点确定一条直线．16．（2018•平谷区一模）下面是“作已知角的角平分线”的尺规作图过程．已知：如图1，MON∠．求作：射线OP，使它平分MON∠．作法：如图2，（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OM于点A，交ON于点B；（2）连结AB；（3）分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点P；（4）作射线OP．所以，射线OP即为所求作的射线．请回答：该尺规作图的依据是．【答案】线段垂直平分线的判定；等腰三角形的三线合一．17．（2017秋•平谷区期末）阅读下面材料：数学活动课上，老师出了一道作图问题：“如图，已知直线l和直线l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ l于点Q．”小艾的作法如下：（1）在直线l上任取点A，以A为圆心，AP长为半径画弧．（2）在直线l上任取点B，以B为圆心，BP长为半径画弧．（3）两弧分别交于点P和点M（4）连接PM，与直线l交于点Q，直线PQ即为所求．老师表扬了小艾的作法是对的．请回答：小艾这样作图的依据是．【答案】到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线。
尺规作图的路径与原理
尺规作图的路径与原理尺规作图的路径与原理闽江学院附属中学杜强⼀、知识回顾1.什么是尺规作图?尺规作图是指⽤⽆刻度的直尺和圆规作图起源起源于古希腊,最初由伊诺⽪迪斯提出,并逐渐形成公约,最后总结在欧⼏⾥得的《⼏何原本》之中。
直尺没有刻度,⽆限长,且只能使⽤直尺的固定⼀侧画直线、射线或线段,不可以⽤于度量长度。
描述：画直线、射线或线段。
例如:画射线OA圆规两脚可以开⾄⽆限宽,量取两点之间的距离,⽤于画圆弧,描述：以某点为圆⼼,某长为半径作弧,与直线(射线、线段或弧)交于某点。
例如:以点C为圆⼼,适当长为半径作弧,交AB于点D和E2.课标要求⑴能⽤尺规完成基本作图①.作⼀条线段等于已知线段;②.作⼀个⾓等于已知⾓;③.作⼀个⾓的平分线;④.作⼀条线段的垂直平分线;⑤.过⼀点作已知直线的垂线。
⑵会利⽤基本作图作三⾓形①已知三边、两边及其夹⾓、两⾓及夹边作三⾓形;②已知底边上的⾼线作等腰三⾓形;③已知⼀直⾓边和斜边作直⾓三⾓形。
⑶会利⽤基本作图完成①过不在同⼀直线上的三点作圆;②作三⾓形的外接圆、内切圆；③作圆的内接正⽅形和正六边形。
⑷尺规作图要求在尺规作图中,了解作图的道理,保留作图痕迹,不要求写出作法。
3.基本作图五个基本作图名称：①作⼀条线段等于已知线段;②作⼀个⾓等于已知⾓;③作⼀个⾓的平分线;④作⼀条线段的垂直平分线;⑤过⼀点作已知直线的垂线。
五个基本作图要求：在尺规作图中，了解作图的道理,熟悉作图的过程，保留作图痕迹，不要求写出作法。
五个基本作图的作法：①作⼀条线段等于已知线段（七年级上册第四章P126）已知线段a. 求作线段AB,使AB=a作法：(1)画射线AC(2)在射线AC上截取AB=a(以点A为圆⼼,线段a长为半径画弧,交射线AC于点B),则线段AB即为所求②作⼀个⾓等于已知⾓（⼋年级上册第⼗⼆章P36）已知∠AOB. 求作∠AOB',使∠AOB′=∠AOB.作法：(1)以点O为圆⼼,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C,D(2)画⼀条射线O’A’,以点O'为圆⼼,OC长为半径画弧,交O'A'于点C'(3)以点C'为圆⼼,CD长为半径画弧,与第2步中所画的弧相交于点D'(4)过点D'画射线O'B’,则∠A'O'B'=∠AOB原理：△OCD≌△O'C'D'（sss）③作⼀个⾓的平分线(⼋年级上册第⼗⼆章P48)已知∠AOB. 求作∠AOB的平分线作法:(1)以点O为圆⼼,适当长为半径画弧,交OA于点M,交OB于点N；MN的长为半径画弧,两弧在∠AOB的内(2)分别以点M,N为圆⼼,⼤于1 2部相交于点C；(3)画射线OC,则射线OC即为原理：△OMC≌△O NC（sss）④作⼀条线段的垂直平分线(⼋年级上册第⼗三章P63)已知线段AB. 求作线段AB垂直平分线作法:AB的长为径作弧,两弧相交于C,D (1)分别以点A和点B为圆⼼,⼤于12两点(2)作直线CD,则直线CD即为所求原理：四边形ACBD是菱形注：它也是作直线的垂线和确定线段中点的重要依据⑤过⼀点作已知直线的垂线（⼋年级上册第⼗三章P62）I.已知直线AB和直线AB外⼀点C, 求作AB的垂线,使它经过点C(1)任意取⼀点K,使点K和点C在AB的两旁;(2)以点C为圆⼼,CK长为半径作弧,交AB于点D和EDE的长为半径作弧,两弧相交于点(3)分别以点D和点E为圆⼼,⼤于12F;(4)作直线CF,则直线CF即为所求直线原理：线段DE的垂直平分线∠.已知直线AB和直线AB上⼀点C, 求作AB的垂线,使它经过点C.作法:(1)以点C为圆⼼,适当长为半径作弧,交AB于点D和EDE的长为半径在直线AB的同侧(2)分别以点D和点E为圆⼼,⼤于1 2作弧,两弧相交于点F;(3)作直线CF,则直线CF即为所求直线原理：等腰△DEF三线合⼀⼆、实践提升1.⽜⼑⼩试【练习】如图,已知线段a.求作等边∠ABC,使其边长为a2举⼀反三【变式I】求作⼀个⾓,使它等于60°∴∠ABC为所求作的⾓【变式∠】求作⼀个⾓,使它等于30°(五种作法如下)【变式∠】已知线段AB,以线段AB为斜边,求作R∠ABC,使∠BAC=30°可以类⽐30°⾓的作法:【变式∠】求作⼀个⾓,使它等于45°【变式V】求作⼀个⾓,使它等于75【变式∠】求作⼀个⾓,使它等于120°4.归纳提升三、中考前沿1.真题赏析【2017福州质检·19题】(本题满分8分)如图,在Rt∠ABC中,∠C=90°,BC=1,AC=2以点B为圆⼼,BC长为半径画弧交AB于点D;以点A为圆⼼AD长为半径画弧,交AC于点E,保留的值作图痕迹,并求AEAC注：根据⽂字语⾔，完成尺规作图，再解答【2017福州中考·19题】(本题满分8分)如图,△ABC中,∠ABC=90°,AD⊥BC,垂⾜为D.求作∠ABC的平分线,分别交AD,AC于P,Q两点;并证明AP=AQ.(要求:尺规作图,保留痕迹,不写作法)【2018福州质检·19题】(本题满分8分)如图,在Rt∠ABC中,∠C=90°,∠B=54°,AD是∠ABC的⾓平分线.求作AB 的垂直平分线MN交AD于点E,连接BE;并证明DE=DB. (要求:尺规作图,保留痕迹,不写作法)【2018福建中考·20题】(本题满分8分)求证:相似三⾓形对应边上的中线之⽐等于相似⽐要求:①根据给出的∠ABC及线段A'B’,∠A'（∠A'=∠A),以线段A'B’为⼀边,在给出的图形上⽤尺规作出∠A'B'C',使得∠A'B'C'∠∠ABC,不写作法,保留作图痕迹；②在已有的图形上画出⼀组对应中线,并据此写出已知、求证和证明过程【2019·福州质检20题】(本题满分8分)如图,在Rt∠ABC中,∠ACB=90°,BD平分∠ABC.求作∠O,使得点O在边AB上,且∠O经过B,D两点;并证明∠O与AC相切.(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)【2019福建中考·20题】(本题满分8分)已知∠ABC和点A',如图(1)以点A'为⼀个顶点作∠A'B'C',使得∠A'B'C'∠∠ABC,且∠A'B'C'的⾯积等于∠ABC⾯积的4倍;(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)(2)设D,E,F分别是∠ABC三边AB,BC,CA的中点,D’,E',F'分别是你所作的∠A'B'C'三边A'B’,B'C',C'A',的中点,求证:∠DEF∠∠D'E'F'2.总结升华了解：了解中考要求,知晓标准理解理解作图原理,熟悉作法掌握掌握基本作图,解决问题。
2017八年级数学复习资料：尺规作图
XX八年级数学复习资料：尺规作图◆识记巩固尺规作图的定义：_____________2基本作图包括：_______，_______，________，________，_______3三角形三边的垂直平分线的交点叫三角形的外心，三角形三内角平分线的交点叫三角形的内心，外心到三角形的_______的距离相等，内心到三角形_______的距离相等识记巩固参考答案:限定只能使用圆规和没有刻度的直尺作图2作线段作角作线段的垂直平分线过一点作已知直线的垂线作角平分线3顶点三边◆考点聚焦掌握基本作图，尺规作图的要求与步骤2利用基本作图工具画三角形、四边形、圆以及简单几何体的三视图，对简单的作图能叙述作法3运用基本作图、结合相关的数学知识等进行简单的图案设计4运用基本作图解决实际问题◆备考兵法熟练掌握基本作图2在画几何体的三视图时，要注意其要求，即“长对正”“高平齐”“宽相等”3认真分析题意，善于把实际问题转化为基本作图用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′′B′=∠AB的依据是（）A．（SAS）B．（SSS）．（ASA）D．（AAS）如图，下面是利用尺规作∠AB的角平分线的作法，在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（）作法：①以为圆心，适当长为半径画弧，分别交A，B于点D，E；②分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AB内交于一点；③画射线，射线就是∠AB的角平分线．A．ASAB．SAS．SSSD．AAS如图，已知在Rt△AB中，∠AB=90°，点D是B边的中点，分别以B、为圆心，大于线段B长度一半的长为半径画弧，两弧在直线B上方的交点为P，直线PD交A于点E，连接BE，则下列结论：①ED⊥B；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED=AB中，一定正确的是（）A．①②③B．①②④．①③④D．②③④如图，分别以线段A的两个端点A，为圆心，大于A的长为半径画弧，两弧相交于B，D两点，连接BD，AB，B，D，DA，以下结论：①BD垂直平分A；②A平分∠BAD；③A=BD；④四边形ABD是中心对称图形．其中正确的有（）A．①②③B．①③④．①②④D．②③④观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（）A．PQ为∠APB的平分线B．PA=PB．点A、B到PQ的距离不相等D．∠APQ=∠BPQ。
知识点45 尺规作图2017(解答题)
三、解答题1.（2017四川自贡,22,8分）（本小题满分8分）两个城镇A、B与一条公路CD，一条河流CE的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A、B的距离必须相等，到CD和CE的距离也必须相等，且在∠DCE的内部，请画出该山庄的位置P.(不要求写作法，保留作图痕迹.)思路分析：点P到A,B的距离相等，则点P在线段AB的垂直平分线上；点A到CD和CE的距离，且在∠DCE的内部，则点P在∠DCE的平分线上，故点P是线段AB的垂直平分线与∠DCE的平分线的交点.解：如图所示，点P即为所求.2.（2017江苏无锡，24，6分）如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：（1）作△ABC的外心O；（2）设D是AB边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI，使点F、点H分别在边BC和AC上.思路分析：（1）三角形各边中垂线的交点即△ABC的外心O.（2）由（1）知点O到顶点A的距离是它到对边中点的一半，作OA的中垂线交AB于点D，以O为圆心，O D为半径作圆交AB，BC，CA于E，F，G，H，I，连接EF，GH，正六边形DEFGHI即为所求.解：（1）如图，点O为△ABC的外心.（2）如图，正六边形DEFGHI ，即为所求.3. 21．（2017甘肃酒泉，21，6分）如图，已知ABC △，请用圆规和直尺作出ABC △的一条中位线EF (不写作法，保留作图痕迹).思路分析：分别是作出AB 、AC 两边的垂直平分线，即确定AB 、AC 两边的中点，连接两个中点，即可得到一条中位线。
解：如图，∴线段EF 即为所求作．4. 22. (2017甘肃兰州，22， 6分）在数学课上，同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：第21题图BC参考以上材料作图的方法，解决以下问题：（1）以上材料作图的依据是： （2）已知：直线l 和外一点P 求作：☉P ，使它与直线l 相切。
尺规作图
2017年08月06日sun****chun的初中数学组卷一．选择题（共2小题）1．已知两角及夹边作三角形，所用的基本作图方法是（）A．作已知角的平分线B．作已知线段的垂直平分线C．过一点作已知直线的高D．作一个角等于已知角和作一条线段等于已知线段2．已知三边作三角形，所用到的知识是（）A．作一个角等于已知角B．在射线上截取一线段等于已知线段C．平分一个已知角D．作一条直线的垂线二．解答题（共13小题）3．作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）已知：（如图）线段a和∠α，求作：△ABC，使AB=AC=a，∠A=∠α．4．如图，已知线段a，b和∠O．（1）用直尺和圆规在∠O的一边上作线段OA=a，在另一边上作线段OB=b，并作直线AB（2）根据（1）中作出的图形，解答下列问题：①用大写字母表示所有的线段：②以点A为端点的射线共有条．5．作图题：已知：线段a、c和∠β（如图），利用直尺和圆规作△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠β．（不写作法，保留作图痕迹）．6．已知线段a，h，用直尺和圆规做等腰三角形ABC，底边BC=a，BC边上的高为h（要求尺规作图，不写作法和证明）7．尺规作图：已知线段a，作一个等腰△ABC，使底边长为a，底边上的高为．（要求：写出已知求作，保留作图痕迹，在所作图中标出必要的字母，不写作法和结论）8．已知△ABC，求作△DEF，使△DEF≌△ABC（尺规作图，保留作图痕迹）．作法：（1）画线段EF=BC；（2）分别以E、F为圆心，线段AB，AC为半径画弧，两弧交于点D；（3）连接线段DE、DF．∴△DEF就是所求作的三角形．9．已知∠α及线段b，作一个三角形，使得它的两内角分别为α和，且两角的夹边为b．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作和结论，保留作图痕迹，不写作法）已知：求作：结论：10．作图：请你在下图中用尺规作图法作出一个以线段AB为一边的等边三角形．（要求：写出已知、求作，保留作图痕迹，下结论，不写作法）已知：求作：11．利用尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：已知：如图，∠1，∠2和线段a．求作：△ABC，使AB=a，∠CAB=∠1+∠2，∠ABC=∠2．12．如图所示，已知：∠α、线段a，求作等腰三角形△ABC，使底边BC=a，顶角∠A=∠α．（要求写出作法，并保留作图痕迹）13．作图题：已知线段a，h，用直尺和圆规做等腰△ABC，使得底边BC=a，BC 边上的中线长为h．（要求尺规作图，保留痕迹，不写作法和证明）14．已知∠α和线段b，求作一个等腰三角形，使其底角∠A=α，腰长AB=b．（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）15．动手画一画．按下列所给条件画△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c．2017年08月06日sun****chun的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．（2015秋•成武县月考）已知两角及夹边作三角形，所用的基本作图方法是（）A．作已知角的平分线B．作已知线段的垂直平分线C．过一点作已知直线的高D．作一个角等于已知角和作一条线段等于已知线段【分析】根据题意可得作图过程中需要作一条线段等于已知线段，然后再作两个角等于已知角．【解答】解：两角及夹边作三角形，所用的基本作图方法是作一个角等于已知角和作一条线段等于已知线段．故选：D．【点评】此题主要考查了基本作图，关键是掌握基本作图有：（1）作一条线段等于已知线段．（2）作一个角等于已知角．（3）作已知线段的垂直平分线．（4）作已知角的角平分线．（5）过一点作已知直线的垂线．2．已知三边作三角形，所用到的知识是（）A．作一个角等于已知角B．在射线上截取一线段等于已知线段C．平分一个已知角D．作一条直线的垂线【分析】根据三边做三角形用到的基本作图是：作一条线段等于已知线段．【解答】解：根据三边做三角形用到的基本作图是：在射线上截取一线段等于已知线段，故选B．【点评】本题主要考查了基本作图，关键是掌握做一条线段等于已知线段的作图方法．二．解答题（共13小题）3．（2016春•太原期末）作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）已知：（如图）线段a和∠α，求作：△ABC，使AB=AC=a，∠A=∠α．【分析】可做∠A=∠α，然后在∠A的两边上分别截取AC=AB=a，连接BC即可．【解答】解：【点评】本题考查作图﹣基本作图，用到的知识点为：边角边可判定两三角形全等；注意先画一个角等于已知角．4．（2014秋•太原期末）如图，已知线段a，b和∠O．（1）用直尺和圆规在∠O的一边上作线段OA=a，在另一边上作线段OB=b，并作直线AB（2）根据（1）中作出的图形，解答下列问题：①用大写字母表示所有的线段：OA，OB，AB②以点A为端点的射线共有2条．【分析】（1）以点O为圆心，分别以线段a，b为半径画圆，使OA=a，OB=b，作过AB的直线即可；（2）①根据线段的表示方法表示出所有的线段；②根据射线的定义写出所有的射线．【解答】解：（1）如图所示；（2）①由图可知，线段有OA，OB，AB．故答案为：OA，OB，AB；②以点A为端点的射线有射线有2条．故答案为：2．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知作一条线段等于已知线段的作法是解答此题的关键．5．（2013春•银川期末）作图题：已知：线段a、c和∠β（如图），利用直尺和圆规作△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠β．（不写作法，保留作图痕迹）．【分析】先作∠MBN=∠β，再在∠MBN的两边上分别截取BC=a，AB=c，连接AC 即可．【解答】解：【点评】此题考查根据SAS作一个三角形，难度中等．6．（2013春•湖州校级月考）已知线段a，h，用直尺和圆规做等腰三角形ABC，底边BC=a，BC边上的高为h（要求尺规作图，不写作法和证明）【分析】作一底边等于a，作底边的垂直平分线，从a上取高为h的线段，顺次连接三点，就是所画的三角形．【解答】解：所作图形如下所示：【点评】用到的知识点为：等腰三角形底边上的中线和高互相重合．7．（2012•渝北区一模）尺规作图：已知线段a，作一个等腰△ABC，使底边长为a，底边上的高为．（要求：写出已知求作，保留作图痕迹，在所作图中标出必要的字母，不写作法和结论）【分析】作一线段BC，使BC=a，然后作BC的垂直平分线，垂足为D，再以点D 为圆心，以a为半径画弧，与a的垂直平分线相交于点A，然后连接AB、AC 即可得解．【解答】已知：线段a求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，AD⊥BC，且AD=a．【点评】本题考查了作一条线段等于已知线段，线段垂直平分线的作法，理清作等腰三角形的思路是解题的关键．8．（2012春•鹿城区校级期中）已知△ABC，求作△DEF，使△DEF≌△ABC（尺规作图，保留作图痕迹）．作法：（1）画线段EF=BC；（2）分别以E、F为圆心，线段AB，AC为半径画弧，两弧交于点D；（3）连接线段DE、DF．∴△DEF就是所求作的三角形．【分析】分别作出三边等于已知三角形的三边即可．【解答】解：【点评】用到的知识点为：三边对应相等的两三角形全等．9．（2011春•重庆月考）已知∠α及线段b，作一个三角形，使得它的两内角分别为α和，且两角的夹边为b．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作和结论，保留作图痕迹，不写作法）已知：求作：结论：【分析】可按照角边角的顺序来画，作∠MBN=α，在射线BN上截取BC=b，作∠DCB=α，交BM于点A即可．【解答】解：已知：∠α，线段b；求作：△ABC，使得∠B=α，∠C=α，BC=b．结论：如图，△ABC为所求．【点评】考查利用角边角的知识作三角形；会作一个角等于已知角，及角的平分线是解决本题的突破点．10．（2009秋•渝中区校级期末）作图：请你在下图中用尺规作图法作出一个以线段AB为一边的等边三角形．（要求：写出已知、求作，保留作图痕迹，下结论，不写作法）已知：求作：【分析】以AB长为半径，分别以点A和点B为圆心作圆，两圆的交点设为C，C 到A，B的距离都为AB的长度．三角形ABC即为等边三角形．【解答】解：根据分析作图得：已知：线段AB．求作：等边三角形，边长为AB．结论：如图，三角形ABC为等边三角形，边长为AB．【点评】在作图的过程中利用圆的性质，圆上的点到圆点的距离相等都为半径．点C既在圆A上也在圆B上，而圆A和圆B的半径都为AB，所以AC=BC=AB．11．（2010春•佛山期末）利用尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：已知：如图，∠1，∠2和线段a．求作：△ABC，使AB=a，∠CAB=∠1+∠2，∠ABC=∠2．【分析】画线段AB=a，在线段AB的同侧画∠MAB=∠1+∠2，∠ABN=∠2，BN，AM交于点C．【解答】解：【点评】利用角边角画三角形时，应先画出边；注意在边的同侧画剩余两个角．12．（2010春•佛山期末）如图所示，已知：∠α、线段a，求作等腰三角形△ABC，使底边BC=a，顶角∠A=∠α．（要求写出作法，并保留作图痕迹）【分析】先作底边BC=a，再作两底角∠MBC=∠NCB=．BM、CN交于点A．△ABC就是所要求作的三角形．【解答】解：作法：①作线段BC=a．②分别以B、C为顶点作∠MBC=∠NCB=，BM、CN交于点A．△ABC就是所要求作的三角形．如图：【点评】此题主要考查作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角，以及等腰三角形的性质．13．（2009秋•西湖区校级期中）作图题：已知线段a，h，用直尺和圆规做等腰△ABC，使得底边BC=a，BC边上的中线长为h．（要求尺规作图，保留痕迹，不写作法和证明）【分析】作BC=a；作BC的垂直平分线MN交BC于点0，在射线OM上截取OA=h，连接AB，AC，△ABC就是所求的三角形．【解答】解：．【点评】已知等腰三角形的底边与中线，通常是作出底边及底边的垂直平分线，在垂直平分线上截取中线长度；用到的知识点为：等腰三角形底边上的高与中线重合．14．（2008秋•江干区期末）已知∠α和线段b，求作一个等腰三角形，使其底角∠A=α，腰长AB=b．（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）【分析】按照题目要求，严格按照作图步骤进行，先作出∠BAC=∠α，再在BA 上取AB=b，过b点作∠ABC=180°﹣2∠A，交CA于C，即完成题目要求．【解答】解：如下图所示【点评】本题主要考查了学生对角和线段组成图形的画法．15．（2008春•利川市期末）动手画一画．按下列所给条件画△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c．【分析】首先画一条线段AB等于c，分别以A，B为顶点利用作一个角等于已知角的方法作∠A=α，∠B=β即可．【解答】解：如图所示：【点评】此题主要考查了作一个角等于已知角的作图方法，关键是熟练掌握基本作图的作法．。
中考数学作图——尺规作图
作图专题一、尺规作图1.在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图．其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧．由此可知，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的．2.基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差.二、熟练掌握尺规作图题的规范语言1.用直尺作图的几何语言：①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；②连结两点××；或连结××；③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×；2.用圆规作图的几何语言：①在××上截取××＝××；②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）；③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×；④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、×.三．有关线的尺规作图1.作一条线段等于已知线段作法：作射线AP；在射线AP 上截取AB=a .则线段AB 就是所求作的图形.2.作一个角等于已知角作法：①作射线OB.②以点O 为圆心，以任意长为半径作弧，交OA 于E，交OB 于D.③以点C 为圆心，以OD 长为半径作弧，交OF 于N.④以点N 为圆心，以DE 长为半径作弧，交前弧于M.⑤经过点M 作射线OE，∠ECF 就是所求的角.3.作已知线段的垂直平分线.作法：①以点M 为圆心，以大于MN 一半的长为半径画弧；②以点N 为圆心，以同样的长为半径画弧，两弧的交点分别记为P、Q，连结PQ，则PQ 是线段AB 的垂直平分线．4.作已知角的平分线作法：①在OA 和OB 上，分别截取OD、OE，使OD=OE.②分别以D、E 为圆心，大于DE 的长为半径作弧，在∠AOB 内，两弧交于点C.③作射线OC.④OC 就是所求的射线.5.经过一点作已知直线的垂线（1）经过已知直线上的一点已知:直线AB 和AB 上一点C，求作:AB 的垂线,使它经过点C.作法：①以点C 为圆心，任一线段的长为半径画弧，交直线l 于点A、B；②以点A 、B 为圆心,以大于CB 长为半径在直线一侧画弧，两弧交于点D；③经过点C、D 作直线CD．直线CD 即为所求．（2）经过已知直线外一点作这条直线的垂线已知:直线l 和l 外一点C求作直线l 的垂线,使它经过点C.作法:①任取一点M，使点M 和点C 在直线l 的两侧；②以C 点为圆心，以CM 长为半径画弧，交于A、B 两点；③分别以A、B 两点为圆心，以大于1AB长为半径画弧，两弧相交于D 点;2④过C、D 两点作直线CD.直线CD 就是所求作的垂线.四．有关三角形的尺规作图1. 三角形的尺规作图（1）已知三边作三角形已知三条线段a、b、c，用尺规作出△ABC，使BC＝a，AC＝b、AB＝c.作法：①作线段BC＝a；②以点C 为圆心，以b 为半径画弧，再以B 为圆心，以c 为半径画弧，两弧相交于点A；③连接AC 和AB，则△ABC 即为所求作的三角形，如图所示．（2）已知两边及其夹角作三角形已知∠α和线段m，n.求作△ABC，使∠B＝∠α，BA＝n，BC＝m.作法：①作∠MBN＝α；②在射线BN，BM 上分别截取BC＝m，BA＝n；③连接AC，则△ABC 就是所求作的三角形．（3）已知两角及其夹边作三角形已知∠α，∠β，线段c.求作△ABC，使得∠ABC＝∠α，∠ACB＝∠β，BC＝c.作法：①作线段BC＝c；②在BC 的同旁，作∠DBC＝∠α，作∠ECB＝∠β，DB 与EC 交于点A.则△ABC 所求作的三角形．五、典型例题归纳1.作线段，作角（1）作平行例：如图（1），已知直线AB及直线AB外一点C，过点C作CD∥AB（写出作法，画出图形）．分析根据两直线平行的性质，同位角相等或内错角相等，故作一个角∠ECD=∠EFB即可．作法如图（2）．图（1）图（2）（1）过点C作直线EF，交AB于点F；（2）以点F为圆心，以任意长为半径作弧，交FB于点P，交EF于点Q；（3）以点C为圆心，以FP为半径作弧，交CE于M点；（4）以点M为圆心，以PQ为半径作弧，交前弧于点D；（5）过点D作直线CD，CD就是所求的直线．说明作图题都应给出证明，但按照教科书的要求，一般不用写出，但要知道作图的原由．（2）作几等分点例：正在修建的中山北路有一形状如下图所示的三角形空地需要绿化．拟从点A出发，将△ABC分成面积相等的三个三角形，以便种上三种不同的花草，请你帮助规划出图案（保留作图痕迹，不写作法）．分析这是尺规作图在生活中的具体应用．要把△ABC分成面积相等的三个三角形，且都是从A点出发，说明这三个三角形的高是相等的，因而只需这三个三角形的底边也相等，所以只要作出BC边的三等分点即可．作法如下图，找三等分点的依据是平行线等分线段定理．（3）作全等例：如下图，△ABC 中，a =5cm ，b =3cm ，c =3.5cm ，∠B =︒36，∠C =︒44，请你从中选择适当的数据，画出与△ABC 全等的三角形（把你能画的三角形全部画出来，不写画法但要在所画的三角形中标出用到的数据）．分析 本题实质上是利用原题中的5个数据，列出所有与△ABC 全等的各种情况，依据是SSS 、SAS 、AAS 、ASA ．2.垂直平分线（1）过线段中点（2）过点作垂直例：如下图，已知钝角△ABC ，∠B 是钝角．求作：（1）BC 边上的高；（2）BC 边上的中线（写出作法，画出图形）． 分析 （1）作BC 边上的高，就是过已知点A 作BC 边所在直线的垂线；（2）作BC 边上的中线，要先确定出BC 边的中点，即作出BC 边的垂直平分线．作法 如下图（1）①在直线CB 外取一点P ，使A 、P 在直线CB 的两旁；②以点A 为圆心，AP 为半径画弧，交直线CB 于G 、H 两点； ③分别以G 、H 为圆心，以大于21GH 的长为半径画弧，两弧交于E 点； ④作射线AE ，交直线CB 于D 点，则线段AD 就是所要求作的△ABC 中BC 边上的高． （2）①分别以B 、C 为圆心，以大于21BC 的长为半径画弧，两弧分别交于M 、N 两点； ②作直线MN ，交BC 于点F ；③连结AF ，则线段AF 就是所要求作的△ABC 中边BC 上的中线．说明 在已知三角形中求作一边上的高线、中线、角平分线时，首先要把握好高线、中线、角平分钱是三条线段；其次，高线、中线的一个端点必须是三角形中这边所对的顶点，而关键是找出另一个端点．（3）作一点到另外两点距离相等例：如图（1）所示，在图中作出点C ，使得C 是∠MON 平分线上的点，且AC =OC ．图（1） 图（2）分析 由题意知，点C 不仅要在∠MON 的平分线上，且点C 到O 、A 两点的距离要相等，所以点C 应是∠MON 的平分线与线段OA 的垂直平分线的交点． 作法 如图（2）所示 （1）作∠MON 的平分线OP ；（2）作线段OA 的垂直平分线EF ，交OP 于点C ，则点C 就是所要求作的点． 说明①根据题意弄清要求作的点的特征是到各直线距离相等，还是到各端点距离相等． ②两条直线交于一点． （4）作三角形的外接圆3.角平分线（1）作角的平分线例：已知∠AOB ，求作∠AOB 的平分线OC ．图（1） 图（2）作法 如图（2）（1）以点O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA 、OB 于D 、E 两点； （2）分别以D 、E 为圆心，以大于21DE 的长为半径作弧，两弧交于C 点； （3）作射线OC ，则OC 为∠AOB 的平分线．（2）作一个点到角两边的距离相等例：如图，已知△ABC ，在AB 边上找一点P ，使点P 到AC 、BC 两边的距离相等．（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）解：作∠ACB 的平分线CD 交AB 于P ，点P 即为所求．（3）作三角形的内切圆4.圆（1）圆内接正三角形（2）圆内接正方形（3）圆内接正六边形（4）圆内接正八边形5.位似问题如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A (2，7)，B (6，8)，C (8，2)，请你分别完成下面的作图并标出所有顶点的坐标。
2017年秋人教版八年级数学上册第11章专题突破：尺规作图讲义
1. 基本作图： ①作一条线段等于已知线段；
②作一个角等于已知角； ③作已知角的角平分线． 书写作法时注意：________________，________________． 2. 应用作图： ①______________________，设计作图方案； ②调用__________________完成图形．
（3）______________________________．
8. 作已知角的四等分线． 已知：如图，∠AOB． 求作：射线 OP，OQ，OM，使∠AOP=∠POQ=∠QOM=∠MOB（即 OP， OQ，OM 四等分∠AOB）．
A
O
B
9. 为打造“宜居城市”，某市拟在新竣工的扇形广场的内部修建一个音乐喷 泉，要求音乐喷泉 M 在广场的两个入口 P，Q 的连线上（P，Q 的位置如图 所示），且到广场两边 AB，AC 的距离相等．请在题目给的原图上利用尺规 作图作出音乐喷泉 M 的位置（不写作法，保留作图痕迹）．
∴____________________（
）
∴____________________
4. 作一个已知角的倍角．
5. 过直线外一点作已知直线的平行线． 已知：如图，A 是直线 MN 外一点． 求作：直线 AB，使 AB∥MN．
A
M
N
6. 已知两边及夹角作三角形． 已知：如图，线段 m，n，∠α． 求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n． m n
b
3. 作一个角等于已知角． 已知：如图，∠ABC． 求作：∠DEF，使∠DEF=∠ABC．
A
B
C
作法：（1）作射线 EF； （2）以________为圆心，_______为半径作弧，交 BA
尺规作图(作图原理)(人教版)(含答案).docx
学生做题前请先回答以下问题问题1:尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图，其中"尺〃指 __________________ ,作用是作线；“规〃指____ ,作用是________ 和______ .问题2：《尺规作图》一讲，我们讲了三种基本作图：①_____________________________ :②_____________________________ :③_____________________________ •问题3：尺规作图的题目，在书写作法时要注意：①_______________ :② _______________ .尺规作图（作图原理）（人教版）一、单选题（共9道，每道11分）1.尺规作图是指（）A•用直尺规范作图B.用刻度尺和圆规作图C.用没有刻度的直尺和圆规作图D.用量角器和无刻度的直尺作图答案：C解题思路：尺规作图是指只用没有刻度的直尺和圆规作图.““尺"指没有刻度的直尺，““规"指圆规. 故选C.试题难度：三颗星知识点：尺规作图的定义2.下列作图语句中，不准确的是（）A.过点A, B作直线ABB.以0为圆心作弧C.在射线AM ±截取AB=aD.延长线段AB到D,使DB=AB答案：B 解题思路:尺规作图是指只用没有刻度的直尺和圆规作图，几何作图重在操作的准确性和几何用语的规范性. 需注意两点:①由于是没有刻度的直尺，所以只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度；②用圆规作弧的时候必须点明圆心和半径.B选项只有圆心，无法作图.故选B.试题难度：三颗星知识点：几何语言的规范使用3.如图，点C在ZAOB的0B边上，用尺规作出了CN〃OA,作图痕迹中，弧EF是（A.以点C为圆心，0D长为半径所作的弧B.以点C为圆心，DM长为半径所作的弧C.以点E为圆心, 0D长为半径所作的弧D.以点E为圆心, DM长为半径所作的弧答案:A解题思路：作一个角等于已知角时,应该以c为圆心,OD长为半径作弧・故选A.试题难度：三颗星知识点：尺规作图4.如图所示，过点P作直线a的平行线b的作法的依据是（）A.两直线平行，同位角相等B.同位角相等，两直线平行C.两直线平行，内错角相等D.内错角相等，两直线平行答案：D解题思路：如图所示，根据图中直线G方被。
2017全国中考数学真题 尺规作图(选择题+填空题+解答题)解析版
2017全国中考数学真题知识点45尺规作图（选择题+填空题+解答题）解析版一、选择题1.（2017浙江衢州,7，3分）下列四种基本尺规作图分别表示①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点作已知直线的垂线．则对应选项中作法错误．．的是（）①②③④A．①B．②C．③D．④答案：C，解析：①利用有三条边对应相等的两个三角形全等及全等三角形对应角相等可作一个角等于已知角；②利用有三条边对应相等的两个三角形全等及全等三角形对应角相等可作一个角的平分线；③根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上及两点确定一条直线可作已知线段的垂直平分线，但是这里只确定了一个点，不能确定直线，③错误；④根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上及两点确定一条直线可过直线外一点作已知直线的垂线．2. 8．（2017浙江义乌，8，4分）在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了下图，该图中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF＝∠AFC，∠FAE＝∠FEA，若∠ACB＝21°，则∠ECD的度数是AA．7°B．21°C．23°D．24°答案：C，解析：设∠E＝x°，则∠FAE＝∠FEA＝x°，∠ACF＝∠AFC＝∠FAE＋∠FEA＝2x°．∵四边形ABCD 是矩形，∴AB∥DC，∴∠DCE＝∠E＝x°．∵∠BCD＝90°，∴∠ACB＋∠ACF＋∠ECD＝90°，即21°＋2x°＋x°＝90°，∴x＝23，∴∠ECD＝23°．3. 8．（2017湖北宜昌，3分）如图，在△AEF中，尺规作图如下：分别以点E，点F为圆心，大于12EF的长为半径作弧，两弧相交于G、H两点，作直线GH，交EF于点O,连接AO，则下列结论正确的是（）A．AO平分∠EAF B．AO垂直平分EFC．GH垂直平分EF D．GH平分AF答案：C，解析：根据尺规作图方法和痕迹可知GH是线段EF的垂直平分线，故选C．4.（2017湖北随州，6，3分）如图，用尺规作图作∠AOC＝∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径，那么第二步的作图痕迹②的作法是（）画弧①，分别交OA、OB于点E、FC．以点E为圆心，OE长为半径画弧D．以点E为圆心，EF长为半径画弧答案：D，解析：作一个角等于已知角，依据是用“SSS”说明三角形全等，显然图中已满足“OE＝OE，OF ＝OG”，只要添加“EF＝EG”，故作图痕迹②的圆心是点E，半径是EF长．G5.8．(2017浙江绍兴，4分)在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了下图，该图中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF=∠AFC，∠FAE=∠FEA．若∠ACB =21°，则∠ECD的度数是A．7°B．21°C．23°D．24°【答案】C．【解析】CxECDBECDxxxAEFACFACBBABCDxACFAFCACFxAFCFEAFAExAEF故选又，是矩形，四边形设,23,//,2390221,9090,2,,2,,︒==∠∴︒=∴︒=++︒∴︒=∠+∠+∠∴︒=∠∴=∠∴∠=∠=∠∴∠=∠=∠6.（2017湖北襄阳，9，3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，.以点C为圆心，CB 长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于12BD的长为半径作弧，两弧相交于点E；作射线CE交AB于点F.则AF的长为（）A．5 B．6 C．7 D．8答案：B，解析：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A=30°，BC=4，∴AC==tan3BCA∠43.由作图可知，CF⊥AB，∴AF=AC·cos30°=43×23=6.7.（2017山东东营，7，3分）如图，在□ABC D中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝8，AB＝5，则AE的长为（）A．5 B．6 C．8 D．12【答案】B【解析】连接EF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠FAE=∠EAB，∴∠EAB =∠AEB，∴AB=EB，由作图可得，AB=AF，∴EB=AF，又∵AD∥BC，∴四边形ABEF是平行四边形，再由AB=AF，可得□AB EF是菱形。
中考尺规作图大全-(含练习答案)
a③②①P B尺规作图（含练习与答案）-word【知识回顾】1、尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。
最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。
一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。
2、五种基本作图：1、作一条线段等于已知线段；2、作一个角等于已知角；3、作已知线段的垂直平分线；4、作已知角的角平分线；5、过一点作已知直线的垂线；（1）题目一：作一条线段等于已知线段。
已知：如图，线段a .求作：线段AB，使AB = a .作法：（1）作射线AP；（2）在射线AP上截取AB=a .则线段AB就是所求作的图形。
（2）题目二：作已知线段的垂直平分线。
已知：如图，线段MN.求作：点O，使MO=NO（即O是MN的中点）.作法：（１）分别以M、N为圆心，大于MN21的相同线段为半径画弧，两弧相交于P，Q；（２）连接PQ交MN于O．则点PQ就是所求作的ＭＮ的垂直平分线。
（3）题目三：作已知角的角平分线。
已知：如图，∠AOB，求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。
作法：（1）以O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA，OB于M，N；（2）分别以M、Ｎ为圆心，大于MN21的线段长为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ；（3）作射线OP。
则射线OP就是∠AOB的角平分线。
（4）题目四：作一个角等于已知角。
已知：如图，∠AOB。
求作：∠A’O’B’，使A’O’B’=∠AOB作法：（1）作射线O’A’；（2）以O为圆心，任意长度为半径画弧，交OA于M，交OB于N；（3）以O’为圆心，以OM的长为半径画弧，交O’A’于M’；（4）以M’为圆心，以MN的长为半径画弧，交前弧于N’；cabBA Pmn （5）连接O ’N ’并延长到B ’。
则∠A ’O ’B ’就是所求作的角。
（5）题目五：经过直线上一点做已知直线的垂线。
已知：如图，P 是直线AB 上一点。
求作：直线CD ，是CD 经过点P ，且CD ⊥AB 。
专题17 三角形中的尺规作图问题(解析版)
专题17 三角形中的尺规作图问题知识对接考点一、尺规作图问题1．尺规作图要保留画图痕迹，画图时画出的所有点和线不可随意擦去．2．尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。
最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。
一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。
2、五种基本作图：1、作一条线段等于已知线段；2、作一个角等于已知角；3、作已知线段的垂直平分线；4、作已知角的角平分线；5、过一点作已知直线的垂线；专项训练一、单选题1．（2021·河北）根据尺规作图的痕迹，可以判定点O为ABC的内心的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据三角形的内心定义和基本尺规作图进行判断即可.【详解】解：由于三角形的内心是三角形角平分线的交点，由基本作图知选项C 中尺规作图作的是1∠､ACBABC∠的平分线，所以点O为ABC的内心，故选：C．【点睛】本题考查基本作图、三角形内心定义，熟练掌握基本尺规作图是解答的关键．2．（2021·河北九年级）如图，已知钝角ABC，依下列步骤尺规作图，并保留了作图痕迹．步骤1：以C为圆心，CA长为半径画弧①；步骤2：以B为圆心，BA长为半径画弧①，交弧①于点D；步骤3：连接AD，交BC的延长线于点H．则下列说法不正确的是（）A．AH是ABC中BC边上的高B．AH DH=C．AC平分BAD∠D．作图依据是：①两点确定一条直线；①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上【答案】C【分析】根据线段的垂直平分线的判定解决问题即可．【详解】解：如图，连接CD，BD，3由作图步骤可知，AC DC =，AB DB =， 由①两点确定一条直线，①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上， 可知BH 为AD 的垂直平分线，即AD BH ⊥，AH DH =， 故选C ． 【点睛】本题考查作图－基本作图，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是判定图示所做为垂直平分线．3．（2021·吉林长春市·东北师大附中）如图，在Rt①ABC 中，①ACB ＝90°．根据尺规作图痕迹，下列结论一定正确的是（ ）A ．BC ＝ECB ．BE ＝EC C ．BC ＝BED ．AE ＝EC【答案】C 【分析】证明①BEC =①BCE ，可得结论． 【详解】解：由作图可知，CD ①AB ，CE 平分①ACD ， ①①ACE ＝①DCE ， ①①ACB ＝①CDB ＝90°，①①A +①B ＝90°，①B +①DCB ＝90°， ①①A ＝①DCB ，①①BEC ＝①A +①ACE ，①BCE ＝①ECD +①DCB ， ①①BEC ＝①BCE ， ①BC ＝BE ， 故选：C ． 【点睛】本题考查作图-基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 4．（2021·广西）如图，在①ABC 中，AB =AC ，AE =2，BE =1，观察尺规作图的痕迹，则EC 的长度是（ ）A．2B．3C D【答案】D【分析】根据作图判断出CE①AB，利用勾股定理即可求解．【详解】解：由作图知，CE①AB，①AB=AC，AE=2，BE=1，①AB=AC= AE+BE=3，由勾股定理得：EC故选：D．【点睛】本题考查了作图-复杂作图，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．（2021·河北唐山·九年级）用尺规作图作直线l的一条垂线，下面是甲，乙两个同学做图描述：甲：如图1，在直线l上任取一点C，以C为圆心任意长为半径画弧，与直线l相交于点A、B两点，再分别以A、B为圆心以大于12AB长为半径画弧，两弧相交于点D，做直线CD即为所求乙：如图2在直线l上任取两点M，N作线段MN的垂直平分线下面说法正确的是（）A．甲对，乙不对B．乙对甲不对C．甲乙都对D．甲乙都不对5【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质及垂直平分线的作图方法即可判断． 【详解】甲图先尺规作图得到AC =BC ，再得到AD =BD ，根据等腰三角形的三线合一可知CD ①AB ，故正确；乙图为垂直平分线的作图方法，故正确； 故选C ． 【点睛】此题主要考查尺规作图，解题的关键是熟知垂直平分线的作图方法．6．（2021·广东九年级）按以下步骤进行尺规作图：（1）以点О为圆心，任意长为半径作弧，交AOB ∠的两边OA 、OB 于D 、E 两点；（2）分别以点D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧交于点C ；（3）作射线OC ，并连接CD 、CE ．下列结论不正确的是（ ）A ．OC 垂直平分DEB ．CE OE =C ．DCO ECO ∠=∠D ．12∠=∠【答案】B 【分析】利用全等三角形的性质以及线段的垂直平分线的判定解决问题即可． 【详解】解：由作图可知，在①OCD 和①OCE 中， OD OEDC EC OC OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ①①OCD ①①OCE （SSS ）， ①①DCO =①ECO ，①1=①2， ①OD =OE ，CD =CE ， ①OC 垂直平分线段DE ， 故A ，C ，D 正确，故选：B．【点睛】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．7．（2021·浙江九年级）如图，已知ABC，AB BC<，用尺规作图的方法在BC上取一点P，+=，则下列选项正确的是（）使得PA PB BCA．B．C．D．【答案】B【分析】因为BC=PB+PC，根据已知P A+PB=BC，所以P A=PC，根据线段中垂线的性质可知：P在AC的中垂线上，可以作判断．【详解】解：作AC的中垂线，交BC于点P，则P A=PC，①BC=PB+PC，①P A+PB=BC，故选：B．【点睛】本题是作图-复杂作图，考查了线段中垂线的作法，明确线段垂直平分线的性质是关键．8．（2021·广东九年级）尺规作图作角的平分线，作法步骤如下：①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；CD长为半径画弧，两弧交于点P；①分别以C、D为圆心，大于12①过点P作射线OP，射线OP即为所求．则上述作法的依据是（）7A ．SSSB ．SASC ．AASD ．ASA【答案】A 【分析】根据SSS 证明三角形全等，利用全等三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：连接PC ，PD ．．由作图可知，OC ＝OD ，PC ＝PD ， 在①OPC 和①OPD 中， OC OD OP OP PC PD =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ①①OPC ①①OPD （SSS ）， ①①POC ＝①POD ， 故选：A ． 【点睛】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．9．（2021·扬州市梅岭中学）如图，根据图中尺规作图痕迹，计算1∠的度数是（ ）A ．22︒B ．32︒C ．34︒D ．68︒【答案】A 【分析】根据作图痕迹可知CD 是AB 的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质，即可求解． 【详解】解：由尺规作图痕迹，可知：CD 是AB 的垂直平分线，①AC=BC，①①1=①ABC=90°-68°=22°，故选A．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质和尺规作图，掌握垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，是解题的关键．10．（2021·河北石家庄·九年级）观察下列尺规作图的痕迹：>的是（）其中，能够说明AB ACA．①①B．①①C．①①D．①①【答案】C【分析】根据中垂线、角平分线、画等长线段以及作角平分线等知识点解答即可．【详解】解：如图①为作BC的中垂线，即BD=DC, 由在①ABC中,AD+DC＞AC,即AD+DB＞AC，可>；判AB AC>;如图①为作①ABC的角平分线，无法判定AB AC>;如图①为以AC为半径画弧交AB于D，即AB AC>;如图①为作①ACB的平分线，无法判定AB AC综上，①①正确．故选C．9【点睛】本题考查了基本作图和三角形的三边关系，掌握基本作图方法是解答本题的关键． 二、填空题11．（2021·云南）如图，四边形ABCD 是平行四边形，1058'4D ∠=︒．观察图中尺规作图的痕迹，则AEB ∠=_____．【答案】376'︒ 【分析】根据平行四边形的性质可得出①BAD ，①AEB =①DAE ，根据作图可得DAE =∠12DAB ∠从而得出结论． 【详解】解：①四边形ABCD 是平行四边形 ①AD //BC ，AB //CD①①AEB =①DAE ，180BAD D ∠+∠=︒ ①1058'4D ∠=︒①①BAD =180°-105'48︒=7412'︒ 由作图可知，AE 是①BAD 的平分线， ①①AEB=DAE =∠12DAB ∠=376'︒ 故答案为：376'︒ 【点睛】此题主要考查了平行线的性质、角平分的定义与作法以及平行四边形的性质，解答此题的关键是熟练掌握平行四边形的性质．12．（2021·广东东莞·九年级）尺规作图要求： a 、过直线外一点作这条直线的垂线；b、作线段的垂直平分线；c、过直线上一点作这条直线的垂线；d、作角的平分线．其中与a、b、c、d四个作图要求依次对应的图形是______．（填序号）【答案】①①①①【分析】根据基本作图进行判断．【详解】解：a，过直线外一点作这条直线的垂线，如图①；b，作线段的垂直平分线，如图①；c、过直线上一点作这条直线的垂线，如图①；d、作角的平分线．如图①．故答案为：①①①①．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．13．（2021·昭通市昭阳区第一中学九年级）如图，已知AB①CD，①BFC＝127°4'，观察图中尺规作图的痕迹，可知①BCD的度数为_____．【答案】26°28'【分析】根据尺规作图的痕迹可知：BC平分①DCF，结合AB①CD，可得①BCD=①B=①FCB，进而即可求解．【详解】由图中尺规作图的痕迹可知：BC平分①DCF，①①BCD=①FCB，①AB①CD，①①BCD=①B，①①FCB=①B，①①BFC＝127°4'，①①BCD=①B=(180°-127°4')÷2=26°28'，故答案是：26°28'．【点睛】本题主要考查尺规作角平分线以及平行线的性质，根据尺规作图的痕迹，得到BC平分①DCF，是解题的关键．14．（2021·北京西城·九年级二模）如下是小华设计的“作AOB∠的角平分线”的尺规作图过程，请帮助小华完成尺规作图并填空（保留作图痕迹）．步骤作法推断第一步在OB上任取一点C，以点C为圆心，OC为半径作半圆，分别交射线,OA OB于点P，点Q，连接PQOPQ∠=①︒，理由是①第二步过点C作PQ的垂线，交PQ于点D，交PQ于点E PE EQ=，PE=①第三步作射线OE射线OE平分AOB∠射线OE为所求作．【答案】见解析；①90；①直径所对的圆周角是直角；①EQ【分析】根据直径所对的圆周角是直角，和同弧所对的圆周角相等即可得出结论【详解】解：补全的图形如图1所示．11①①OQ是直径①①OPQ=90°故答案为：90；①故答案为：直径所对的圆周角是直角；①①CE①PQ①由垂径定理得：PE EQ．故答案为：EQ【点睛】本题考查圆周角定理的推论，垂径定理，熟练掌握圆周角定理及推论是关键15．（2020·河南周口市·九年级）在①ABC中，尺规作图的痕迹如图所示，已知①ADB＝50°，①A＝110°，则①ABC的度数为_____．【答案】45°【分析】由作图可知：EF垂直平分线段BC，先求出①C，再利用三角形内角和定理解决问题即可．【详解】解：由作图可知：EF垂直平分线段BC，①DB＝DC，①①DBC＝①C，①①ADB＝①DBC+①C＝50°，①①C＝25°，①①ABC＝180°﹣①A﹣①C＝180°﹣110°﹣25°＝45°，故答案为：45°．13【点睛】本题考查作图-复杂作图，三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 三、解答题16．（2021·重庆实验外国语学校九年级）如图，平行四边形ABCD 中90ADB ∠=︒． （1）求作：AB 的垂直平分线MN ，交AB 于点M ．交BD 延长线于点N （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，直线MN 交AD 于E ，连接BE ，当22.5A ∠=︒时，求证：NE CD =．【答案】（1）图见解析（2）见解析 【分析】（1）利用基本作图，作AB 的垂直平分线即可；（2）先根据平行四边形的性质得到①A ＝①C ＝22.5°，再利用线段垂直平分线的性质得到EA ＝EB ，MN ①AB ，则①EBA ＝①A ＝22.5°，接着判断①DEB 为等腰直角三角形得到DE ＝DB ，然后证明①NDE ①①ABD ，从而得到结论． 【详解】（1）解：如图，MN 为所作；（2）证明：如图，①四边形ABCD 为平行四边形， ①①A ＝①C ＝22.5°， ①MN 垂直平分AB ， ①EA ＝EB ，MN ①AB ， ①①EBA ＝①A ＝22.5°， ①①DEB ＝①A ＋①EBA ＝45°， ①①ADB ＝90°，①①DEB 为等腰直角三角形，①DEDN ＝90°， ①DE ＝DB ，①①N ＋①NED ＝90°，①A ＋①MEA ＝90°， 而①NED ＝①AEM ， ①①N ＝①A ，在①NDE 和①ABD 中，N A NDE ADB DE DB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①①NDE ①①ADB （AAS ）， ①NE ＝AB ． 【点睛】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图（作已知线段的垂直平分线）．也考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质．17．（2021·湖南师大附中博才实验中学九年级）下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．已知：①AOB ，求作：一个角，使它等于①AOB ．作法：如图15①作射线O A '' ；①以O 为圆心，任意长为半径作孤，交OA 于C ，交OB 于D ； ①以O '为圆心，OC 为半径作弧C E '' ，交OA ' 于C ' ； ①以C ' 为圆心，CD 为半径作弧，交弧C E '' 于D ； ①过点D 作射线O B '' ，则A O B '''∠ 就是所求作的角 请完成下列问题：（1）该作图的依据是 （填序号）①ASA ；①SAS ；①AAS ；①SSS （2）请证明A O B '''∠ ＝①AOB 【答案】（1）①；（2）见解析 【分析】（1）根据作图过程可得：作一个角等于已知角的方法依据是SSS ，即可求解；（2）由作法得已知：OC ＝O C '' ，OD ＝O D '' ，CD ＝C D '' ，从而OCD O C D '''≅，即可求证． 【详解】解：（1）根据作图过程可得：作一个角等于已知角的方法依据是①； （2）证明：由作法得已知：OC ＝O C '' ，OD ＝O D '' ，CD ＝C D '' ， 在①OCD 和O C D ''' 中，＝＝＝''⎧⎪''⎨⎪''⎩OC O C OD O D CD C D ，①()OCD O C D SSS '''≅ ， ①A O B ＝AOB '''∠∠ ． 【点睛】本题主要考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的方法．18．（2021·重庆字水中学九年级）如图，AC 是平行四边形ABCD 的对角线，满足AC AB ⊥． （1）尺规作图：按要求完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹，并标明字母，写出结论： ①作线段AC 的垂直平分线l ，分别交AD 、BC 于点E 、F ；①连接CE ； （2）在（1）的条件下，已知10AB =，13CE =，求tan DCE ∠的值．【答案】（1）作图见详解，直线l 及连接CE 后的图形即为所求；（2）12tan 5DCE =． 【分析】（1）根据题目要求作出图形即可；（2）根据平行四边形的性质可求得：CD ①AC ，再根据平行线的判定可确定：l //CD ，得出：DCE GEC ∠=∠，然后利用中垂线及中位线定理得出：12GE CD =，在Rt EGC 中，利用勾股定理确定GC ，根据正切函数的定义即可解出答案． 【详解】解：（1）如图所示，直线l 以及连接CE 后如图即为所求； （2）如图所示：直线l 与AC 相交于点G ，①四边形ABCD 是平行四边形， ①10CD AB ==，AB //CD ， ①AC ①AB ， ①CD ①AC ，①直线l 垂直平分AC ， ①l //CD ，①DCE GEC ∠=∠，①G为AC的中点，①152GE CD==，在Rt EGC中，222213512 GC EC EG=--=，①12 tan5GCGECEG∠==，①12 tan5DCE∠=．【点睛】题目主要考查了中垂线的基本作法，平行四边形的性质、中位线定理、勾股定理及三角函数中正切函数的定义，熟练掌握相关定理及定义是解答此题的关键．19．（2021·重庆字水中学九年级）如图，已知平行四边形ABCD中，DE平分①ADC交BC于点E．（1）作①ABC的平分线BF交AD于点F．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并标明字母，写出结论）．（2）在（1）的条件下，求证：AF=CE．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用基本作图，作①ABC的平分线；（2）先根据平行四边形的性质得到AB=CD，①A=①C，①ABC=①ADC，再利用角平分线的定义得到①ABF=①CDE，然后证明①ABF①①CDE，从而得到AF=CE．【详解】解：（1）如图，BF为所作；17（2）证明：①四边形ABCD 为平行四边形， ①AB =CD ，①A =①C ，①ABC =①ADC ， ①BF 平分①ABC ，DE 平分①ADC ①①ABF =12①ABC ，①CDE =12①ADC ， ①①ABF =①CDE ， 在①ABF 和①CDE 中，ABF CDE AB CD A C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ①①ABF ①①CDE （ASA ）， ①AF =CE ． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线）．也考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质．20．（2021·福建厦门一中九年级）如图，在正方形ABCD 内有等边BCE 、等边ADF ，AF 交BE 于点G ，DF 交CE 于点H ．（1）请用尺规作图的方法作出ADF （保留作图痕迹，不写作法）， （2）四边形EGFH 是什么特殊四边形？请证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2）菱形，证明见解析 【分析】（1）分别以A ，D 为圆心，AD 为半径画弧，在正方形ABCD 内交于点F ，连接AF 和DF 即可；（2）利用正方形的性质和等边三角形的性质求出①GAB =①GBA =30°，从而推出GE =GF ，BE ①DF ，同理：EH ①GF ，即可证明四边形EGFH 是菱形． 【详解】解：（1）如图，即为所作图形；19（2）①四边形ABCD 是正方形， ①①BAD =①ABC =90°，①①ADF 和①BCE 为等边三角形，AD =BC ， ①①EBC =①F AD =60°， ①①GAB =①GBA =30°，①AG =BG ，①AGE =①GAB +①GBA =60°=①AFD ， ①GE =GF ，BE ①DF ， 同理：EH ①GF ， ①四边形EGFH 是菱形． 【点睛】本题考查了尺规作图，正方形的性质，等边三角形的性质，菱形的判定，解决问题的关键是正确作出图形，熟练掌握菱形的判定方法．21．（2021·湖北）如图，在ABD △中，90ADB ∠=︒，30A ∠=︒，10AB =，点E 是边AB 的中点．分别以点B ，D 为圆心，以BE 的长为半径画弧，两弧交于点C ；连接CB ，CD ．（1）根据以上尺规作图的过程，证明：四边形BCDE 是菱形； （2）求菱形BCDE 的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2253【分析】（1）证明BC ＝BE ＝CD ＝DE 即可． （2）证明①BDE 是等边三角形，可得结论． 【详解】（1）证明：①①ADB ＝90°，点E 是边AB 的中点， ①DE ＝BE ＝AE ， ①BC ＝DC ＝BE ，①BE＝BC＝CD＝DE，①四边形BCDE是菱形．（2）解：①①ADB＝90°，①A＝30°，①①DBE＝60°，①EB＝ED，①①BDE是等边三角形，①菱形BCDE的面积＝2S①BDE＝252【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，教育的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22．（2021·九龙坡·重庆市育才中学九年级）在①ABC中，点D、E分别为边AB、AC上的点．（1）尺规作图：过点E作AB的平行线交BC于点F（要求，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的前提下，若点D、E分别为AB、AC的中点，探究①ADE与①EFC的数量关系，并证明．【答案】（1）见解析；（2）①ADE＝①EFC，证明见解析【分析】（1）如图在DE的下方作①DEF＝①ADE，EF交BC于点F，射线EF即为所求．（2）利用三角形中位线定理、平行线的性质证明即可．【详解】（1）解：如图，射线EF即为所求．（2）结论：①ADE＝①EFC．证明：①点D、E分别为AB、AC的中点，①DE①CB，①①ADE＝①B，①AB①EF，①①EFC＝①B，①①ADE＝①EFC．【点睛】本题考查尺规作图-作与已知角相等的角、平行线的判定与性质、三角形的的中位线性质，熟练掌握平行线的判定与性质以及三角形的中位线的性质是解答的关键．23．（2021·江苏扬州市·九年级二模）如图，①ABC中，AB＝CB．（1）作点B关于AC的对称点D；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）所作的图中，连接AD，CD，连接BD，交AC于点O．①猜想四边形ABCD的形状，并说明理由；①取BC的中点E，连接OE、AE，若OE＝5，BO＝8，求线段AE的长．【答案】（1）见解答；（2）①四边形ABCD为菱形．理由见解析；97【分析】（1）过B点作AC的垂线，垂足为O，然后截取OD=BO得到D点；（2）利用对称的性质得到AB=AD，CB=CD，则AB=BC=CD=AD，所以四边形ABCD为菱形；①过E点作EF①AC于F，如图，利用菱形的性质得到OA=OC，再根据斜边上的中线性质得到BE=CE=OE=5，接着利用勾股定理计算出OC=6，利用三角形中位线性质得到EF=4，然后利用勾股定理计算出AE的长．【详解】解：（1）如图，点D为所作；（2）①四边形ABCD为菱形．理由如下：①点B与点D关于AC的对称，21①AC垂直平分BD，①AB=AD，CB=CD，①AB=CB，①AB=BC=CD=AD，①四边形ABCD为菱形；①过E点作EF①AC于F，如图，①四边形ABCD为菱形，①BD①AC，OA=OC，①O为BC的中点，①BE=CE=OE=5，在Rt①OBC中，OC，①OA=6，①EF①OC，OB①OC，①EF为①OBC的中位线，①OF=CF=12OC=3，EF=12OB=4，在Rt①AEF中，AE【点睛】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了菱形的判定与性质．。
北师大版尺规作图
尺规作图知识点一、尺规作图1．尺规作图的定义在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图．2．五种基本作图（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作一个角的平分线；学-科网（4）作一条线段的垂直平分线；（5）过一点作已知直线的垂线．3．根据基本作图作三角形（1）已知三角形的三边，求作三角形；（2）已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；（3）已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；（4）已知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形；（5）已知直角三角形一直角边和斜边，求作直角三角形．4．与圆有关的尺规作图（1）过不在同一直线上的三点作圆（即三角形的外接圆）；（2）作三角形的内切圆．5．有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考常见类型．6．作图题的一般步骤（1）已知；（2）求作；（3）分析；（4）作法；（5）证明；（6）讨论．其中步骤（3）（4）（5）（6）一般不作要求，但作图中一定要保留作图痕迹.二、尺规作图的方法1．尺规作图的关键（1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；（2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题．2．根据已知条件作等腰三角形或直角三角形求作三角形的关键是确定三角形的三个顶点，作图依据是三角形全等的判定，常借助基本作图来完成，如作直角三角形就先作一个直角．重点考向考向一基本作图1．最基本、最常用的尺规作图，通常称为基本作图．2．基本作图有五种：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作一个角的平分线；（4）作一条线段的垂直平分线；（5）过一点作已知直线的垂线．典型例题典例1已知：线段AB和AB外一点C求作：AB的垂线，使它经过点C（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）.典例2如图，已知/MAN,点B在射线AM上.（1）尺规作图：①在AN上取一点C,使BC=BA；②作/MBC的平分线B。
，（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，求证：BD//AN.考向二复杂作图利用五种基本作图作较复杂图形．典型例题典例2如图，在同一平面内四个点A, B, C, D.(1)利用尺规，按下面的要求作图.要求：不写画法，保留作图痕迹，不必写结论.①作射线AC；②连接AB，BC，BD，线段BD与射线AC相交于点O；③在线段AC上作一条线段CF使CF=AC - BD.(2)观察(1)题得到的图形，我们发现线段AB+BC >AC,得出这个结论的依据是____________q4 .C考点训练1．根据已知条件作符合条件的三角形,在作图过程中主要依据是A.用尺规作一条线段等于已知线段B.用尺规作一个角等于已知角C.用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角D.不能确定2．下列作图属于尺规作图的是A.画线段MN=3 cmB.用量角器画出N AOB的平分线。
尺规作图
3．（2015年19题）（6分）如图，已知锐角△ABC． （1）过点A作BC边的垂线MN，交BC于点D （用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，若BC=5，AD=4，tan∠BAD= ，求DC的长．
4．（2016年19题）（6分）如图，已知△ABC中，D为AB的中点
中考数学专题复习
尺规作图
一、尺规作图
1．定义 只用没有刻度的直尺和圆规作图叫做尺规 作图． 2．步骤 ①根据给出的条件和求作的图形，写出已 知和求作部分； ②分析作图的方法和过程； ③用直尺和圆规进行作图； ④写出作法步骤，即作法．
பைடு நூலகம் 二、五种基本尺规作图
2013---2017广东省中考题型及分值统计
（1）请用尺规作图法作边AC的中点E，并连结DE （保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，若DE=4，求BC的长．
5．（2017年20题）（7分）如图，在△ABC中，∠A＞∠B． （1）作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E （用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，连接AE，若∠B=50°，求∠AEC的度数．
年份 试题类型 知识点 分值
2013
2014 2015 2016 2017
解答题 19
解答题 19 解答题19 解答题19 解答题 20
作一线段等于已知线段
作角平分线 作垂线 作线段中点 作垂直平分线
5分
6分 6分 6分 7分
尺规作图为广东中考近几年的必考点，题型多为解答题，设问方式主要为作 图痕迹所代表的作图步骤与几何的计算和证明等的结合，考查点有作线段的垂直 平分线、作垂线、作角的平分线等，主要结合三角形、四边形等的有关知识．
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三、解答题1.（2017四川自贡,22,8分）（本小题满分8分）两个城镇A、B与一条公路CD，一条河流CE的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A、B的距离必须相等，到CD和CE的距离也必须相等，且在∠DCE的内部，请画出该山庄的位置P.(不要求写作法，保留作图痕迹.)C DEAB思路分析：点P到A,B的距离相等，则点P在线段AB的垂直平分线上；点A到CD和CE的距离，且在∠DCE 的内部，则点P在∠DCE的平分线上，故点P是线段AB的垂直平分线与∠DCE的平分线的交点.解：如图所示，点P即为所求.2.（2017江苏无锡，24，6分）如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：（1）作△ABC的外心O；（2）设D是AB边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI，使点F、点H分别在边BC和AC上.AB CD思路分析：（1）三角形各边中垂线的交点即△ABC的外心O.（2）由（1）知点O到顶点A的距离是它到对边中点的一半，作OA的中垂线交AB于点D，以O为圆心，O D为半径作圆交AB，BC，CA于E，F，G，H，I，连接EF，GH，正六边形DEFGHI即为所求.解：（1）如图，点O为△ABC的外心.OABC（2）如图，正六边形DEFGHI ，即为所求.IH F E OD A BCG3. 21．（2017甘肃酒泉，21，6分）如图，已知ABC △，请用圆规和直尺作出ABC △的一条中位线EF (不写作法，保留作图痕迹).思路分析：分别是作出AB 、AC 两边的垂直平分线，即确定AB 、AC 两边的中点，连接两个中点，即可得到一条中位线。
解：如图，∴线段EF 即为所求作．4. 22. (2017甘肃兰州，22， 6分）在数学课上，同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”第21题图ABC的尺规作图过程：参考以上材料作图的方法，解决以下问题：（1）以上材料作图的依据是：（2）已知：直线l和外一点P求作：☉P，使它与直线l相切。
（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）【答案】：（1）到线段两端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。
（2）如图☉P为所求【解析】：（2）在尺规作图做垂直平分线的基础上，以P为圆心，PC为半径画圆，其中C点为垂足。
5.（2017江苏泰州，20，8分）如图，ABC△中，ACB ABC>∠∠.(1)用直尺和圆规在ACB∠的内部作射线CM，使ACM ABC=∠∠(不要求写作法，保留作图痕迹)；（第22题图）(2)若(1)中的射线CM交AB于点D，9AB=，6AC=，求AD的长.分析：（1）考查基本作图“作一个角等于已知角”；（2）易证△ADC∽△ACB，根据相似三角形对应边成比例即可求解.解：（1）作图如下；（2）解：∵ACM ABC=∠∠，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，∴AD ACAC AB=，又9AB=，6AC=，∴669AD=，解得AD＝4.6. 18．(2017天津，3分)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．CAB（Ⅰ）AB的长等于________；（Ⅱ）在△ABC的内部有一点P，满足S△PAB:S△PBC:S△PCA=1:2，请在如图所示的网格中，用无刻度．．．的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）________.答案：(Ⅰ)17；（Ⅱ）解析：(Ⅰ)根据勾股定理可得AB=22+=；4117（Ⅱ）如图，AC与网络线相交，得点D、E，取格点F，连结FB并延长，与网格线相交，得点M、N，连结DN、EM，DN与EM相交于点P，点P即为所求.7.（2017江苏南京，22，8分）“直角”在初中几何学习中无处不在．如图，已知∠AOB，请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断∠AOB是否为直角（仅限用直尺和圆规）．小丽的方法如图，在OA，OB上分别取点C，D，以C为圆心，CD长为半径画弧，交OB的反向延长线于点E，若OE＝OD，则∠AOB＝90°．思路分析∶方法一是根据勾股定理作图，方法二是根据直径所对的圆周角为直角画图．解∶方法1∶如图①在OA，OB上分别截取OC＝4，OD＝3，若CD＝5，则∠AOB＝90°．方法2∶如图②，在OA，OB上分别取点C，D，以CD为直径画圆．若点O在圆上，则∠AOB＝90°．（2017甘肃庆阳，21，8分）如图，已知ABC△，请用圆规和直尺作出ABC△的一条中位线EF(不写作法，保留作图痕迹).思路分析：分别是作出AB、AC两边的垂直平分线，即确定AB、AC两边的中点，连接两个中点，即可得到一条中位线。
解：如图，∴线段EF即为所求作．9.（2017山东淄博，23，9分）如图，将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，顶点B恰好与CD边上的动点P重合（点P不与点C，D重合），折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，连接MB，MP，BP，BP与MN相交于点F．（1）求证：△BFN∽△BCP；（2）①在图2中，作出经过M，D，P三点的⊙O（要求保留作图痕迹，不写作法）；第21题图AB C②设AB ＝4，随着点P 在CD 上的运动，若①中的⊙O 恰好与BM ，BC 同时相切，求此时DP 的长．【答案】思路分析：（1）利用两角分别相等的三角形相似证明.（2）利用MP 是直径作图. （3）利用勾股定理列方程求解.解：（1）由折叠，得点B 、P 关于MN 对称．∴MN ⊥BP ．∴∠BFN ＝90°．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C ＝90°． ∴∠BFN ＝∠C ．又∵∠FBN ＝∠PBC ，∴△BFN ∽△BCP ．（2）①连接MP ，作MP 的垂直平分线交MP 于点O ，以点O 为圆心，OM 为半径作⊙O ，则⊙O 即为所求作的圆．图略. ②如图，∵BM 切⊙O 于点M ，∴OM ⊥BM ． ∴∠AMB +∠DMP =90°.∵∠ABM +∠AMB =90°, ∴∠ABM =∠DMP . 由折叠知MB =MP ，又∠A =∠D =90°. ∴△ABM ≌△DMP ． ∴MD ＝AB ＝4．过点M 作MH ⊥BC ，垂足为点H ，则MH ＝4． 设BC 与⊙O 相切于点G ，连接OG ． ∴OG 是梯形MHCP 的中位线． 设DP ＝x ，则CP ＝4－x ． ∴OG ＝12(4+4－x )＝4－12x ． ∴MP ＝8x -．C DFAB N PMOGH C D FA B NPM （图1）C D FA B NPM （图2）CDA B （图3）（第23题图）在△DPM 中，由勾股定理得2(8)x -＝224x +． 解得x ＝3，即DP ＝3．10. （2017陕西，17，5分）（本小题满分5分）如图，在钝角△ABC 中，过钝角顶点B 作BD ⊥BC 交AC 于点D ．请用尺规作图在BC 边上求作一点P ，使得点P 到AC 的距离等于BP 的长．（保留作图痕迹，不写作法）D B CA思路分析：要满足条件：在BC 边上求作一点P ，使得点P 到AC 的距离等于BP 的长，则DP 为∠BDC 的角平分线．解：如图所示，点P 即为所求．11. 9．（2017江苏省南通市，9，3分） 已知∠AOB ，作图： 步骤1：在OB 上任取一点M ，以点M 为圆心，MO 长为半径画半圆，分别交OA ，OB 于点P ，Q ． 步骤2：过点M 作PQ 的垂线交»PQ于点C ．步骤3：画射线OC ．则下列判断：①»»PCCQ =；②MC ∥OA ；③OP ＝PQ ；④OC 平分∠AOB ．其中正确的个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4C DFAN PMOG答案第17题图PD B CA答案：C 解析：步骤1提供的信息是OQ为⊙M的直径，点P是⊙M上的一点；步骤2提供的信息是MC ⊥PQ，交»PQ于点C；步骤3提供的信息是画射线OC．∵OQ为⊙M的直径，∴∠OPQ＝90°，∵MC⊥PQ，∴“①»»PC CQ”正确，“②MC∥OA”正确；∴∠POC＝∠OCM，∵MO＝MC，∴∠MOC＝∠MCO．∴“④OC平分∠AOB”正确；而“③OP＝PQ”不一定成立．【试题难度】★★★【关键词】作图，圆的基本性质12.（2017黑龙江绥化，22，5分）（本小题满分5分）如图，A、B、C为某公园的三个景点，景点为A和景点B 之间有一条笔直的小路，现要在小路上建一个凉亭P，使景点B,景点C到凉亭P的距离之和等于景点B到景点A 的距离，请用直尺和圆规在所给的图中作出点P（不写作法和证明，只保留作图痕迹）思路分析：凉亭P要在AB上，且要保证PB+PC=AB，所以必须要求PA=PC，因此点P必须是在A、C两点连线段的中垂线与AB的交点，故作图时，连接AC，作AC的中垂线，与AB的交点，即是点P的位置.解：说明：连接AC，作AC的中垂线，与AB的相交，则交点就是所求作的点.作图如下。
．13. 20．（2017广东广州）（本小题满分10分）如图12，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝23. （1）利用尺规作线段AC的垂直平分线DE，垂足为E，交AB于点D；（保留作图痕迹，不写作法）O M Q BPCA（2）若△ADE的周长为a，先化简T＝（a＋1）2－a（a－1），再求T的值．思路分析：（1）按照线段垂直平分线的尺规作图方法作图；（2）通过解直角三角形求出△ADE的周长为a，再化简、代入求值.解：（1）如图所示：（2）∵DE是线段AC的垂直平分线，∴∠AED＝90°，AE＝12AC＝12×23＝3.在RtADE中，∠A＝30°，AE＝3，∴DE＝AE·tanA＝3×33＝1，AD＝2DE＝2.∴a＝AD+DE+AE＝2+1+3＝3＋3.T=（a＋1）2－a（a－1）＝a2＋2a＋1－a2＋a＝3a＋1＝3（3+3）+1＝33+10.14. 18．（2017内蒙古赤峰，18，6分）已知平行四边形ABCD．DBAC（1）尺规作图：作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC延长线于点F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，求证：CE＝CF．思路分析：（1）作AF平分∠BAD；（2）欲证CE＝CF，需证∠3＝∠4，由平行四边形对边平行可得∠1＝∠3，∠2＝∠4，又∠1＝∠2，结论可得.解：（1）如图，射线AF即为所求；4321F E D B AC（2）∵平行四边形ABCD ，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ．∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．∵AF 平分∠BAD ，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4．∴CE ＝CF ．15. 20. （2017广西贵港，20，5分）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）： 已知线段a 和∠AOB ，点M 在OB 上（如图所示）．（1）在OA 边上作点P ，使OP=2a ；（2）作∠AOB 的平分线；（3）过点M 作OB 的垂线．思路分析：（1）在OA 上截取OP=2a ；（2）根据角平分线的作法作∠AOB 的平分线；（3）作平角∠OMB 的角平分线.解：（1）点P 为所作；（2）OC 为所作；（3）MD 为所作.。