3.2.4 切比雪夫多项式零点插值

−
Ln (x)
≤
M n+1 max (x (n + 1)! −1<x<1
−
x0 )L(x
−
xn )
= M n+1 max Tn+1 (x) = M n+1
(n + 1)! −1<x<1 2n
(n + 1)!⋅2n
例： P64 例 4
注意：如果插值区间是[a, b]，而不是[-1, 1]，总可以作变换
《数值计算》
主讲: 施明辉 厦门大学
定理 6 在-1≤x ≤1 上，在首项系数为 1 的一切 n 次多项式 Hn (x)中
T~n
(x)
=
1 2 n −1
Tn
(x)
与零的偏差最小，且其偏差为 1 2 n−1
即，对于任何 p(x) ∈ H n (x) ，有
1 2 n −1
=
max
−1< x<1
T~n
(x)
−1< x<1
x0 )LL(x −
xn )
=
1 2n
取得极小，亦即只要插值节点 xk 取成 n + 1 次切比雪夫多项式的零点
xk
= cos(2k
+ 1) π 2(n + 1)
(k = 0, 1, 2, L, n)
则插值公式的余项在全区间[-1, 1]上的最大绝对值为极小，此时，有余项公式：
f
(x)
设在[-1, 1]上给定 n + 1 个互异的节点 x0, x1, …, xn，函数 f (x)在[-1, 1]上具有 n + 1 阶连 续导数 f (n+1) (x)，对 f (x)作多项式插值时，由拉格朗日插值的余项表示式
∏ R(x) =
f (x) − Ln (x) =
f (n+1) (ξ ) (n + 1)!
能使
max (x
−1< x<1
−
x0
)( x
−
x1 )L(x
−
xn
)
尽可能小？
n
∏ 由于 (x − x j ) 是一个最高次项系数为 1 的 n + 1 次多项式，由 Tn(x)的极性讨论知， j=0
当Biblioteka Baiduxj 满足 时，
(x
−
x0 )(x
−
x1 )
LL ( x
−
xn
)
=
1 2n
Tn+1 (x)
max (x −
x= a+b+b−at 22
把函数变换成
f (x) = f ⎜⎛ a + b + b − a t ⎟⎞ = g(t)
⎝2
2⎠
其中 -1≤t ≤1，即可将定义在区间[a,b]上的函数 f (x)化为新变量 t 的定义在区间[-1, 1]上
的函数 g (t)。
例： P65 例 5
−
0
≤ max p(x) − 0 −1< x<1
从这个定理知，所有首项系数为 1 的 n 次多项式在区间[-1, 1]上的最大值满足
max
−1< x<1
p(x)
≥
1 2 n−1
该定理称为切比雪夫多项式的极性，这种极性也是切比雪夫多项式的一种重要性质。
作为应用，介绍一下多项式插值余项的极小化。
3.2.4 切比雪夫多项式零点插值
n
(x − xj )
j=0
其中ξ ∈ (a,b) ，若得到
则有
M n+1
=
max
−1< x<1
f
(n+1) (x)
，
∏ R( x)
≤
M n+1 (n + 1)!
n
(x − xj )
j=0
n
∏ 显然，余项的大小，取决于因子 x − x j 的大小。 j=0
《数值计算》
主讲: 施明辉 厦门大学
现在我们提出一个问题：怎样选取节点 xj ( j = 0, 1, 2, …, n)