3.2.4 切比雪夫多项式零点插值
切比雪夫多项式的应用
4 3.5 3 2.5 2
←f(x)
1.5 1 0.5
→L3(x)
0 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
对于连续函数 g ( x) = x 20 , e x , sin(5πx), e − x sin(2πx) ，分别绘出 n = 10,13,20,21 次拉格朗日 插值多项式 Ln ( x) 的图像和原函数的图像如图 1-4 所示
>> k=0:1:10; >> X=cos((2*k+1)*pi/22); >> %求出 10 次切比雪夫多项式的零点 syms x >> F=inline('x.^20'); >> %要插值的原函数 f(x)=x.^20 >> t=linspace(-1,1,100000); >> yt=F(t); y=F(X); yi=interp1(X,y,t,'language'); plot(t,yt,'r--',t,yi,'k-')
k=0:1:20; X=cos((2*k+1)*pi/42); syms x >> F=inline('sin(5*pi*x)'); %要插值的原函数 f(x)=sin(5*pi*x) t=linspace(-1,1,100000); yt=F(t); y=F(X); yi=interp1(X,y,t,'language'); plot(t,yt,'r--',t,yi,'k-')
Rn ( x ) =
1 f ( n +1) (ξ x )ω n ( x) (n + 1)!
计算方法最佳一致逼近多项式切比雪夫多项式
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
2020年4月11日星期六
内容
1. 函数逼近的基本概念 2. 切比雪夫多项式 3. 最佳一致逼近多项式 4. 切比雪夫多项式在函数逼近中的应用 5. 利用切比雪夫多项式的0点构造最佳逼近多
项式的例子
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
y
y=L (x)
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
一致逼近的几何意义
x Home
切比雪夫多项式
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
切比雪夫(Chebyshev)多项式
• 切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用 • 。切比雪夫多项式的0点可以用于构造具有最佳
一致逼近性质的插值多项式。
切比雪夫多项式的(简单)定义：
三、切比雪夫多项式在函数逼近中的应用
希望构造最高次幂xn 系数为1 的多项式：
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
…
三、切比雪夫多项式在函数逼近中的应用
证明比较复杂，省略。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
这个定理的 结论非常重要
怎样才能使得拉格朗日插值多项式成为最佳逼近 ？
…
偏差估计
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
吾将上下而求索
（5）切比雪夫多项式的极值点 …
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
…
1
T2(x )
T1(x
)
-1
1
T3(x ) 路漫漫其修远兮,
吾将上下而求索
T4(x )
-1
T3(x)有3个0值点，4个极值点
总结： Tn(x)具有很好的性质。
y
x
Tn(x)是n阶多项式，具有n个0点，n+1个极值点；有 界[-1, 1]； T1(x), T3(x),…只含x的奇次项，是奇函数
切比雪夫多项式-详细-Chebyshev polynomials
切比雪夫多项式是与棣美弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列。
通常，第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示，第二类切比雪夫多项式用Un表示。
切比雪夫多项式Tn 或Un 代表n 阶多项式。
切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。
这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。
相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。
在微分方程的研究中，数学家提出切比雪夫微分方程和相应地，第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解。
这些方程是斯图姆-刘维尔微分方程的特殊情形.定义：第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定也可以用母函数表示第二类切比雪夫多项式由以下递推关系给出此时母函数为从三角函数定义：第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定其中n = 0, 1, 2, 3, .... . 是关于的n次多项式，这个事实可以这么看：是:的实部（参见棣美弗公式），而从左边二项展开式可以看出实部中出现含的项中，都是偶数次的，从而可以表示成的幂。
用显式来表示尽管能经常碰到上面的表达式但如果借助于复函数cos(z), cosh(z)以及他们的反函数，则有类似，第二类切比雪夫多项式满足以佩尔方程定义：切比雪夫多项式可被定义为佩尔方程在多项式环R[x] 上的解(e.g., 见Demeyer (2007), p.70). 因此它们的表达式可通过解佩尔方程而得出:归递公式两类切比雪夫多项式可由以下双重递归关系式中直接得出:T0(x) = 1 U − 1(x) = 1 Tn + 1(x) = xTn(x) − (1 − x2)Un − 1(x) Un(x) = xUn − 1(x) + Tn(x) 证明的方式是在下列三角关系式中用x 代替xTn(x) − (1 − x2)Un(x)正交性Tn 和Un 都是区间[−1,1] 上的正交多项式系.第一类切比雪夫多项式带权即:可先令x= cos(θ) 利用Tn (cos(θ))=cos(nθ)便可证明.类似地，第二类切比雪夫多项式带权即:其正交化后形成的随机变量是Wigner 半圆分布).基本性质对每个非负整数n，Tn(x) 和Un(x) 都为n次多项式。
切比雪夫多项式及其在物理学中的应用
切比雪夫多项式及其在物理学中的应用切比雪夫多项式是数学中的一种特殊类型的多项式，它以俄罗斯数学家彼得·切比雪夫的名字命名。
切比雪夫多项式在数学和物理学中都有广泛的应用，特别是在信号处理、逼近理论和波动现象的研究中。
切比雪夫多项式是通过切比雪夫方程定义的。
切比雪夫方程是一个二阶常微分方程，形式为(1-x^2)y''-xy'+n^2y=0，其中n是一个实数。
它的解就是切比雪夫多项式，通常记作Tn(x)。
切比雪夫多项式具有许多独特的性质。
首先，切比雪夫多项式是正交的，即在区间[-1,1]上的任意两个不同的切比雪夫多项式的积分为0。
这个性质在信号处理和逼近理论中非常有用，可以用来表示信号和函数的展开系数，实现信号的压缩和重构。
其次，切比雪夫多项式是最佳逼近多项式。
这意味着在给定的函数空间中，切比雪夫多项式是与被逼近函数的误差最小的多项式。
这个性质在逼近理论中被广泛应用，例如在数据拟合、函数逼近和图像处理中。
切比雪夫多项式还有一些重要的性质。
例如，它们是对称的，即Tn(x)=Tn(-x)，这使得它们在对称性问题的研究中非常有用。
此外，切比雪夫多项式在微分方程的解和特殊函数的表示中也有应用。
在物理学中，切比雪夫多项式的应用非常广泛。
首先，切比雪夫多项式可以用来描述波动现象。
例如，在光学中，切比雪夫多项式可以用来描述光的干涉和衍射现象。
在声学中，切比雪夫多项式可以用来描述声波的传播和共振现象。
其次，切比雪夫多项式还可以用来解决物理学中的特殊问题。
例如，在量子力学中，切比雪夫多项式可以用来描述量子力学中的谐振子问题。
在统计物理学中，切比雪夫多项式可以用来描述理想气体的分布函数。
此外，切比雪夫多项式还与傅里叶级数有着密切的关系。
通过将切比雪夫多项式展开成傅里叶级数，可以得到切比雪夫多项式的频谱分布，从而更好地理解切比雪夫多项式在信号处理和逼近理论中的应用。
总之，切比雪夫多项式是一种重要的数学工具，在数学和物理学中都有广泛的应用。
切比雪夫多项式零点证明
切比雪夫多项式零点证明切比雪夫多项式（Chebyshev polynomial）是一类在数学中具有重要应用的特殊多项式。
在实分析和数值计算中，切比雪夫多项式的零点分布具有独特的性质，可以用于插值、逼近和优化等领域。
本文将详细介绍切比雪夫多项式的零点证明。
首先，我们来定义切比雪夫多项式。
切比雪夫多项式可以用递归的方式定义，如下：T0(x) = 1T1(x) = xTn(x) = 2xTn-1(x) - Tn-2(x) (n ≥ 2)切比雪夫多项式的零点通常被称为切比雪夫节点。
切比雪夫多项式的第n个零点可以表示为：xk = cos(π(k + 0.5)/n) (0 ≤ k < n)为了证明这一结论，我们可以通过数学归纳法来进行证明。
首先，我们可以验证n=1和n=2的情况，这是基本情况。
当n=1时，切比雪夫多项式为T1(x) = x，其零点为x0 = 0，与结论一致。
当n=2时，切比雪夫多项式为T2(x) = 2x^2 - 1，其零点为x0 = -1/√2 和x1 = 1/√2，也与结论一致。
接下来，我们假设对于任意的n≥2，切比雪夫多项式的零点公式成立。
我们要证明对于n+1的情况，也能得到相应的结论。
假设切比雪夫多项式Tn(x)的零点为x0, x1, ..., xn-1。
我们定义新的多项式Un(x) = Tn(x) - λ，其中λ为待确定的常数。
根据切比雪夫多项式的递推关系，我们有：Un+1(x) = 2xUn(x) - Un-1(x)假设Un(x)有m个零点，我们用y0, y1, ..., ym-1来表示。
因为Un(x) = Tn(x) - λ，所以Un(x)的零点与Tn(x)的零点相同。
我们还可以得到：Un+1(yi) = 2yiUn(yi) - Un-1(yi) = 0现在，我们来确定λ的值，使得Un+1(x)的零点为切比雪夫多项式Tn+1(x)的零点。
我们假设Un(x)的零点在[-1,1]之间，因为切比雪夫多项式的定义域为[-1,1]。
切比雪夫多项式的三角函数表示
切比雪夫多项式的三角函数表示切比雪夫多项式是一类重要的数学函数，它可以通过三角函数来表示。
在本文中，我们将介绍切比雪夫多项式的定义、性质以及如何使用三角函数来表示它。
让我们来了解一下切比雪夫多项式的定义。
切比雪夫多项式是由切比雪夫多项式方程所定义的一组多项式。
切比雪夫多项式方程可以表示为T_n(x) = cos(n\arccos(x))，其中n是多项式的阶数，x是自变量。
切比雪夫多项式是一个在区间[-1, 1]上定义的函数，它具有一些特殊的性质。
切比雪夫多项式具有递推关系，即T_n(x) = 2xT_{n-1}(x) - T_{n-2}(x)，其中T_0(x) = 1，T_1(x) = x。
这个递推关系可以用来计算高阶切比雪夫多项式。
切比雪夫多项式的性质非常丰富。
首先，切比雪夫多项式是一个奇函数，即T_n(-x) = -T_n(x)。
其次，切比雪夫多项式在区间[-1, 1]上具有n个不同的实根，这些实根被称为切比雪夫节点，可以用来进行数值计算和插值。
现在让我们来看一下如何使用三角函数来表示切比雪夫多项式。
我们知道，三角函数是一个周期函数，可以用来表示周期性的现象。
而切比雪夫多项式是一个在区间[-1, 1]上定义的函数，因此可以通过三角函数来表示。
具体来说，我们可以使用余弦函数来表示切比雪夫多项式。
根据切比雪夫多项式的定义，可以将cos(n\arccos(x))展开为cos(n\theta)，其中\theta = \arccos(x)。
然后，利用三角函数的和差化积公式，可以将cos(n\theta)表示为余弦函数的线性组合。
例如，切比雪夫多项式T_2(x) = 2x^2 - 1可以表示为cos(2\arccos(x)) = 2\cos^2(\arccos(x)) - 1。
进一步化简，可以得到T_2(x) = 2\cos^2(\arccos(x)) - 1 = 2x^2 - 1。
这就是切比雪夫多项式T_2(x)的三角函数表示形式。
数值分析切比雪夫多项式
(2k 1)
xk cos( 22 )
( k = 0, 1, 2, ···, 10)
11/18
令, P11(x) = (x – x0)(x – x1)···(x – x10) Q11(x) = (x – t0)(x – t1)···(x – t10)
则有
max
1 x1
|
P11( x)
|
max
1 x1
a22= - 1/3 a21=0
所以,
2(x)
x2
1 3
5/18
切比雪夫多项式:
T0(x)=1, T1(x)= cos = x, T2(x)=cos2 ······
1.递推公式:Tn(x)=cos(n),·········
由 cos(n+1)=2 cos cos(n) – cos(n-1) 得
Tn+1(x) = 2 x Tn(x) – Tn-1(x) (n ≥ 1) 所以, T0(x)=1, T1(x)=x, T2(x)=2x2 – 1 , ···········
88 135
17/18
最佳平方逼近:
P( x) 7 88 ( x 5) 9 135 8
f (x) x
P( x) 7 88 ( x 5) 9 135 8
18/18
0 cos m cos nd 0
所以,切比雪夫多项式在[– 1 , 1]上带权
( x) 1 正交
1 x2
9/18
3.切比雪夫多项式零点
T1=cos=x
n阶Chebyshev多项式: Tn=cos(n),
或, Tn( x ) = cos(n arccos x )
取 narccos x (2k 1) (k=0,1,···,n-1 )
高中数学竞赛切比雪夫(Chebyshev)多项式知识整理
方法一：余弦倍角公式是由余弦的幂整系数线性组合来表示倍角的余弦．这样就产生余弦的n 倍角能否用余弦的幂次的整系数线性组合表示等问题．通过研究，发现cos n α都是关于2cos α的首项系数为1的、次数等于α的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式，还进一步得到cos n α的一些性质．应用此性质，可以得到一些求和公式及解决许多数学问题．进一步研究，发现此多项式可以转化为切比雪夫多项式．在初等数学中，三角函数是一个十分有用的工具，余弦cos n α是众所周知的偶函数，它的倍角公式如：2cos 22cos 1αα=- ，(1)3cos34cos 3cos ααα=-． (2)它们都是由余弦cos α的幂整系数线性组合来表倍角的余弦．这样就自然产生了余弦的n 倍角能否用余弦cos α的幂次的整系数线性组合表示问题，稍作计算可以得42cos 48cos 8cos 1ααα=-+ ，(3)53cos516cos 20cos 5cos αααα=-+ ．(4)观察公式(1—4)，可以发现．如果公式两端同乘以2，则公式右边都是关于2cos α的首系数为1的、次数等于公式左边α的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式．由此猜测2cos n α也具有这一性质，下面用数学归纳法加以证明．猜想2,02cos (1)(2cos )m n m n m m n a αα-==-∑，(;n N m N +∈∈) (5)(5)式可改写为：n/312112cos (2cos )(1)(2cos )ent nmm n m n m m n n C mααα----==+-∑，(9) (9)式称为n 倍角余弦公式．12424cos 2(cos )(cos )(cos )n n n n n n n αααααα-----=-++…，其中i α为正整数．因为余弦cos α在[]0,απ∈上单调，对应值为1降到1-，即cos α[]1,1∈-，[]0,απ∈ ．因此存在反函数，若令cos x α=，则arccos x α=，[]1,1x ∈-，[]0,απ∈．因此，在余弦n 倍角公式中令arccos x α=，[]0,απ∈，[]1,1x ∈-，则倍角公式为[][][]24124cos(arccos )2cos(arccos )cos(arccos )cos(arccos )nn n n n n n x x x x αα-----=-++…124242n n n n n n x x x αα-----=-++…．于是cos(arccos )n x 首项系数为12n -的多项式，各项系数是整数，符号依次变化，x 的幂依次递减2次，若递减到最后，幂次为负，则该项取零．若记cos(arccos )n x =()n T x ，则()n T x 满足，12()2()()n n n T x xT x T x --=-，()n T x 称为切比雪夫多项式．从递推关系可以得到：0()1T x =，1()T x x =，22()21T x x =-，33()43T x x x =-，424()88+1T x x x =-， 535()1620+5T x x x x =-，6426()3248+181T x x x x =--．第一类切比雪夫多项式有许多良好的性质，例如：1．(cos )cos(),,n T n R n N θθθ=∈∈．(分析：令cos x θ=，arccos x θ=)2．()(1)()n n n T x T x -=-，,x C n N ∈∈．这表明()n T x 当n 为奇(偶)数时是奇(偶)函数． 3．()1,,1n T x x R x ≤∈≤．4．21(0)0m T +=，2(0)(1),m m T m N =-∈． 5．函数列{}()n T x 的生成函数为21(),,112nn n xtT x t t R t xt t≥-=∈≤-+∑． （分析：生成函数又叫母函数，在数学中，某个序列的母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息．使用母函数解决问题的方法称为母函数方法．母函数的思想就是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造．母函数是解决组合计数问题的有效工具之一，其思想方法是把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂的相加对应起来．）6．函数列{}()n T x 满足2阶递推关系21()2()()n n n T x xT x T x ++=-，,x C n N ∈∈．（分析：由三角恒等式cos(1)cos(1)2cos cos n n n θθθθ++-=）最小偏差切比雪夫在1857年提出这样一个问题：在最高项系数为1的n 次多项式()()()01n x x x x x ω=--…()1()n n n x x x P x --=-中，寻求在区间[]1,1-上与零的偏差最小的多项式．换句话说，就是寻求[]1,1n x C ∈-在1n H -中的最佳一致逼近多项式1()n P x *-，这里{}1111()min()n n n nn n P H x P x xP x --*--∞∞∈-=-．定理 在区间[]1,1-上所有最高项系数为1的多项式中，111()())2(n n n n n x x P x x T ω**--=-=， 与零的偏差最小，其偏差为112n -．()n U x 称为第n 个第二类切比雪夫多项式，前7个第二类切比雪夫多项式为：230123()1,()2,()41,()84U x U x x U x x U x x x ===-=-，424()16121U x x x =-+，535()32326U x x x x =-+，6426()6480241U x x x x =-+-．第二类切比雪夫多项式也有许多良好的性质，例如：1．()(1)(),,n n n U x U x x C n N -=-∈∈．即当以为奇(偶)数时是奇(偶)函数． 2．21(0)0m U +=，2(0)(1)m m U =-，(1)1n U n =+,(1)(1)(1)n n U n -=-+，m N ∈． 3．函数列{}()n U x 的生成函数为(),1nn n U x t t R t ≥=∈≤∑． 4．()1,,1n U x n x R x ≤+∈≤． 5．函数列{}()n U x 满足2阶递推关系21()2()(),,n n n U x xU x U x x C n N ++=-∈∈．两类切比雪夫多项式的关系定理1设()n T x 和()n U x 分别为第一类和第二类切比雪夫多项式，0n ≥为整数，则0()()nn i n i i U x T x x -==∑.证明 由两类切比雪夫多项式的定义得21),12(n n nT xt t x x t t ∞=-=-+∑ 而2211112121xt xt t xt t xt-=⨯-+-+-, 则(((())))n nnnnnn i n n n i i n n n t tUx T x x T x t x t∞∞∞∞-=======∑∑∑∑∑.比较式在子两边n t 项的系数，即有0(())nn i i n i U x T x x -==∑.4切比雪夫多项式的应用4.1切比雪夫多项式插值切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用．这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值．相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近． 切比雪夫多项式插值法：定理：设01,,x x …,n x 为区间[],a b 上1n +个互不相同的点，[]1(),n f x C a b +∈，则对任何[],x a b ∈,存在[]01,,,x n x x x ξ∈，使得拉格朗日插值余()()()n R x f x L x =-，满足()()()(1)1(1)!n n x n R x f x n ξω+=+.其中[]{}{}[]010101,,,,min ,,,,,max ,,,,,n n n x x x x x x x x x x x x a b =⊂⎡⎤⎣⎦，()()()()()010nn n j j x x x x x x x x x ω==---=-∏.插值多项式的余项极小化：要使拉格朗日插值多项式()n L x 尽量逼近()f x ，就要使余项()n R x 尽量小．在 ()n R x 中，()f x 是固定的，而 x ξ又是未知数，所以要减小()n R x ，只有恰当选择节点集，使得在插值区间内余项的最大值为极小值．为了应用切比雪夫多项式，首先应将插值区间[],a b ,通过简单变换归一化到区间[−1,1],做变换()12k k z b a x b a =-++⎡⎤⎣⎦ 所以插值节点应取为()121cos 222k k z b a b a n π+⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦.其中0,1,2,,1k n =-，所以下面我们只需要讨论区间[−1,1]上的函数的切比雪夫插值法：当取定第一类切比雪夫点21cos,0,1,2,,22k k x k n n π+==+后，()()()()()010nn n j j x x x x x x x x x ω==---=-∏()12n n T x -+=.令()1111max n n x M fx ++-≤≤=，则有()()11max 1max(1)!2(1)!n n n n x R x M M n n ++=≤++∏，故切比雪夫插值法可以使得余项的最大值极小化，得到较佳逼近多项式.。
《数值计算方法》课程教学大纲
《数值计算方法》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程教学目标数值计算方法是大规模科学模拟计算领域的一门重要的基础课，具有很强的应用性。
通过对本课程的学习及上机实习，使学生掌握掌握数值计算的基本概念、基本方法及其原理，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力。
具体能力目标如下：具有应用计算机进行科学与工程计算的能力；具有算法设计和理论分析能力；熟练掌握并使用数学软件，处理海量数据，进行大型数值计算的能力。
三、教学学时分配《数值计算方法》课程理论教学学时分配表《数值计算方法》课程实验内容设置与教学要求一览表四、教学内容和教学要求第一章数值分析与科学计算引论（4学时）（一）教学要求1.了解误差的来源以及舍入误差、截断误差的定义；2.理解并掌握绝对误差、相对误差、误差限和有效数字的定义和相互关系；3.了解函数计算的误差估计，误差传播、积累带来的危害和提高计算稳定性的一般规律。
（二）教学重点与难点教学重点：误差理论的基本概念教学难点：误差限和有效数字的相互关系，误差在近似值运算中的传播（三）教学内容第一节数值分析的对象、作用与特点1．数学科学与数值分析2．计算数学与科学计算3. 计算方法与计算机4. 数值问题与算法第二节数值计算的误差1．误差的来源与分类2．误差与有效数字3. 数值运算的误差估计第三节误差定性分析与避免误差危害1．算法的数值稳定2．病态问题与条件数3. 避免误差危害第四节数值计算中算法设计的技术1．多项式求值的秦九韶算法2．迭代法与开方求值本章习题要点：要求学生完成作业10-15题。
其中概念题15%，证明题5%，计算题60%，上机题20%第二章插值法（12学时）（一）教学要求1.掌握插值多项式存在唯一性条件；2.熟练掌握Lagrange插值多项式及其余项表达式，掌握基函数及其性质；3.能熟练使用均差表和差分表构造Newton插值公式；4.能理解高次插值的不稳定性并熟练掌握各种分段插值中插值点和分段的对应关系；5.熟练掌握三次样条插值的条件并能构造第一和第二边界条件下的三次样条插值。
matlab切比雪夫函数配置点
一、简介Matlab是一种强大的数学软件，可以用它进行各种数学计算和工程分析。
其中，切比雪夫函数是一种常用的数学函数，常用于信号处理、滤波和逼近理论中。
在Matlab中配置切比雪夫函数配置点，可以帮助我们进行更准确的数学计算和工程分析。
本文将介绍如何在Matlab 中配置切比雪夫函数配置点的方法和步骤。
二、切比雪夫函数的定义1. 切比雪夫函数是一类以俄罗斯数学家切比雪夫命名的函数，在数值分析中常用于多项式逼近和最优逼近理论。
2. 切比雪夫多项式是一组正交多项式，满足特定的正交性质，可以用于逼近任意函数。
3. 切比雪夫函数的配置点是在切比雪夫多项式的基础上，选取一定数量的点，用这些点来逼近目标函数。
三、在Matlab中配置切比雪夫函数配置点的步骤1. 打开Matlab软件，进入命令窗口。
2. 输入以下命令来配置切比雪夫函数配置点：```matlabn = 10; 设置配置点的数量x = cos(pi*(0:n)/n); 计算切比雪夫配置点```3. 这段代码的含义是，首先设置配置点的数量为10个，然后利用cos函数和切比雪夫多项式的关系，计算出切比雪夫函数的配置点。
4. 运行以上代码，即可得到切比雪夫函数的配置点。
四、切比雪夫函数配置点的应用1. 在信号处理中，可以利用切比雪夫函数配置点进行信号的滤波和去噪。
2. 在数值分析中，可以利用切比雪夫函数配置点进行函数的逼近和插值。
3. 在工程分析中，可以利用切比雪夫函数配置点进行复杂数据的处理和分析。
4. 切比雪夫函数配置点在各个领域都有着重要的应用价值。
五、总结本文介绍了在Matlab中配置切比雪夫函数配置点的方法和步骤，以及切比雪夫函数配置点的定义和应用。
通过配置切比雪夫函数配置点，可以帮助我们进行更准确的数学计算和工程分析。
切比雪夫函数配置点在信号处理、数值分析和工程分析等领域有着重要的应用价值，可以帮助我们解决实际问题，提高工作效率和准确性。
希望本文对大家有所帮助，谢谢阅读！六、 Matlab中切比雪夫函数配置点的优势1. 灵活性高：Matlab提供了丰富的函数和工具箱，能够灵活地配置切比雪夫函数的配置点，满足不同问题的需求。
切比雪夫插值节点
Chebyshev多项式(page59) n阶切比雪夫多项式: Tn(x)=cos(n arccosx)
当n 0时，T0 ( x) 1; 当n 1时，T1 ( x) cos(arccos x) x; 当n 2时，T2 ( x) cos(2arccos x)
1
0 .5
0
-0 . 5 -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
6/18
5
1 f ( x) 例1. 函数 x ∈ [-5, 5] 2 1 x 取等距插值结点: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 f (11) ( n ) f ( x ) L10 ( x ) 11 ( x )
11 !
11(x)=(x+5)(x+4)(x+3)(x+2)(x+1)x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)
y arccos x
cos(2 y) 2cos 2 y 1 2 x 2 1;
n阶切比雪夫多项式: Tn(x)=cos(n arccosx)
性质1：Tn+1 ( x) 2 xTn ( x) Tn 1 ( x); 性质2： deg(Tn ( x)) n, 且首项系数是2 ; 性质3：Tn ( x)在[-1,1]上的最大绝对值是1. 性质4：Tn ( x)的n个零点全部位于[-1,1]，且 i xi cos( ), i 1,3,..., 2n 1. 2n
11(x)
4/18
在[-5, 1) xk 5 cos( ) ( k=10, 9, 8, · · · , 1, 0 ) 22
切比雪夫多项式 [Chebyshev polynomial]
![切比雪夫多项式 [Chebyshev polynomial]](https://img.taocdn.com/s3/m/bfe7bedf76eeaeaad1f33023.png)
类似地， Un 的n个根分别是：
参看
◾ 切比雪夫节点 ◾ 切比雪夫滤波器
参考
◾ M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Chapter 22. New York: Dover, 1972.
定义
第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定
也可以用母函数表示 第二类切比雪夫多项式由以下递推关系给出
此时母函数为
从三角函数定义
第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定
其中 n = 0, 1, 2, 3, .... .
是关于
的 n次多项式，这个事实可以这么看：
是:
的实部（参见棣莫弗公式），而
从左边二项展开式可以看出实部中出现含 的项中， 都是偶数次的，从而可以表
其正交化后形成的随机变量是 Wigner 半圆分布).
基本性质
对每个非负整数 ，和 Nhomakorabea都为 次多项式。 并且当 为偶（奇）数时，它们
是关于 的偶（奇）函数， 在写成关于 的多项式时只有偶（奇）次项。
时， 的最高次项系数为
，
时系数为 。
最小零偏差
对
，在所有最高次项系数为1的 次多项式中 ，
对零的偏差最
小，即它是使得 在
在微分方程的研究中，切比雪夫提出切比雪夫微分方程
和
切比雪夫微分矩阵
切比雪夫微分矩阵引言切比雪夫微分矩阵（Chebyshev differentiation matrix）是一种常用于数值计算和数值分析中的工具。
它是基于切比雪夫多项式的一种差分近似方法，用于近似函数的导数。
切比雪夫微分矩阵具有高精度和稳定性的特点，在数值计算领域有着广泛的应用。
切比雪夫多项式切比雪夫多项式是一类特殊的正交多项式，其定义如下：T n(x)=cos(ncos−1(x)), −1≤x≤1切比雪夫多项式具有许多重要的性质，其中之一是其零点的特殊分布。
切比雪夫多项式的n个不同零点可以表示为：x k=cos((2k−1)π2n), k=1,2,…,n切比雪夫插值切比雪夫插值是一种基于切比雪夫多项式的插值方法。
给定一个函数f(x)，我们希望通过切比雪夫插值找到一个n次多项式p(x)，使得p(x)在给定的区间上与f(x)尽可能接近。
切比雪夫插值的关键在于选择适当的插值节点。
根据切比雪夫多项式的零点分布，我们可以选择在区间[-1, 1]上的切比雪夫节点进行插值。
这些节点的选择可以确保最小化插值误差，并且在等距离节点中具有更好的数值稳定性。
切比雪夫微分矩阵的构造切比雪夫微分矩阵是一个n×n的矩阵，用于在切比雪夫插值中近似函数的导数。
其构造方法如下：1.首先，我们选择n个切比雪夫插值节点x i，其中i=0,1,…,n−1。
2.然后，我们计算切比雪夫插值多项式在这些节点上的导数值p′(x i)。
3.最后，我们将这些导数值按照节点顺序排列，得到切比雪夫微分矩阵D。
切比雪夫微分矩阵的元素可以表示为：D ij={2c i∑1x j−x knk=1,k≠j,if i≠j−c i2,if i=j其中，c i是一个常数，定义为：c i={2,if i=0 or i=n−1 1,otherwise切比雪夫微分矩阵的性质切比雪夫微分矩阵具有许多重要的性质，使得它在数值计算中得到广泛应用。
对称性切比雪夫微分矩阵是对称的，即D ij=D ji。
切比雪夫多项式公式各项系数
切比雪夫多项式公式各项系数Chebyshev polynomials, named after the Russian mathematician Pafnuty Chebyshev, are a sequence of orthogonal polynomials that are defined over the interval [-1, 1]. These polynomials are widely used in numerical analysis, approximation theory, and other fields due to their excellent approximation properties. The formula for the coefficients of the Chebyshev polynomials involves a recursive relationship that generates the coefficients for each degree of the polynomial.切比雪夫多项式是以俄罗斯数学家帕夫努季·切比雪夫的名字命名的一系列正交多项式，定义在区间[-1, 1]上。
由于其出色的逼近性质，这些多项式在数值分析、逼近理论及其他领域得到广泛应用。
切比雪夫多项式各项系数的公式涉及一个递推关系，通过这个递推关系可以生成每个多项式次数的系数。
Specifically, the coefficients of the Chebyshev polynomial of the first kind, denoted by \(T_n(x)\), are given by the formula:\(T_n(x) = \cos(n \arccos(x))\)when \(n\) is a non-negative integer. This formula expresses the Chebyshev polynomial as a cosine function of a multiple of the arccosine of \(x\). Although this formula is not directly in terms of coefficients, it provides a way to compute the polynomial's values efficiently.具体来说，第一类切比雪夫多项式，记作\(T_n(x)\)，的系数由以下公式给出：\(T_n(x) = \cos(n \arccos(x))\)其中\(n\)是非负整数。
3.2.4 切比雪夫多项式零点插值
设在[-1, 1]上给定 n + 1 个互异的节点 x0, x1, …, xn，函数 f (x)在[-1, 1]上具有 n + 1 阶连 续导数 f (n+1) (x)，对 f (x)作多项式插值时，由拉格朗日插值的余项表示式
∏ R(x) =
f (x) − Ln (x) =
f (n+1) (ξ ) (n + 1)!
−1< x<1
x0 )LL(x −
xn )
=
1 2n
取得极小，亦即只要插值节点 xk 取成 n + 1 次切比雪夫多项式的零点
xk
= cos(2k
+ 1) π 2(n + 1)
(k = 0, 1, 2, L, n)
则插值公式的余项在全区间[-1, 1]上的最大绝对值为极小，此时，有余项公式：
f
(x)
《数值计算》
主讲: 施明辉 厦门大学
定理 6 在-1≤x ≤1 上，在首项系数为 1 的一切 n 次多项式 Hn (x)中
T~n
(x)
=
1 2 n −1
Tn
(x)
与零的偏差最小，且其偏差为 1 2 n−1
即，对于任何 p(x) ∈ H n (x) ，有
1 2 n −1
=
max
−1< x<1
T~n
(x)
x= a+b+b−at 22
把函数变换成
f (x) = f ⎜⎛ a + b + b − a t ⎟⎞ = g(t)
⎝2
2⎠
其中 -1≤t ≤1，即可将定义在区间[a,b]上的函数 f (x)化为新变量 t 的定义在区间[-1, 1]上
切比雪夫多项式n个零点
切比雪夫多项式n个零点切比雪夫多项式是数学中的一类多项式，它的零点有着特殊的分布规律。
切比雪夫多项式的定义如下：对于正整数 n，切比雪夫多项式 Tn(x) 定义为：Tn(x) = cos(n * arccos(x))首先，我们来了解一下切比雪夫多项式的零点分布情况。
切比雪夫多项式的 n 个零点，它们位于区间 [-1, 1] 上，并且在该区间上均匀分布。
也就是说，这些零点会在该区间上等距离地排列。
这个特点带给我们很多有意义的启示和指导。
首先，我们可以利用切比雪夫多项式的零点来进行数值计算。
由于这些零点等距离分布，我们可以将区间 [-1, 1] 等分成 n 个小区间，并以切比雪夫多项式的零点为节点进行插值计算。
这样的计算方式具有较高的精度，并且可以减少计算量。
因此，在数值计算中，我们可以考虑使用切比雪夫多项式零点来提高计算效率。
另外，切比雪夫多项式的零点的分布特点也给我们提供了一种优化算法的思路。
例如，在线性代数中，我们经常需要寻找多项式的根。
利用切比雪夫多项式的零点分布规律，我们可以通过将多项式转化为切比雪夫多项式的形式，然后利用这些等距离零点进行迭代逼近，从而更快速地找到多项式的根。
此外，切比雪夫多项式的零点还在信号处理、图像处理等领域发挥了重要作用。
例如，在数字滤波器的设计中，通过将滤波器变换为切比雪夫多项式形式，并利用零点的特殊分布规律，可以得到更优秀的滤波器设计方案。
总结起来，切比雪夫多项式的零点具有等距离分布的特点，为数值计算、优化算法和信号处理等方面提供了重要的指导意义。
我们可以利用这些分布规律来提高计算精度和效率，在实际应用中发挥更好的效果。
切比雪夫多项式的研究和应用将为我们的科学研究和工程实践带来更多的便利和创新。
切比雪夫插值点坐标变换
切比雪夫插值点坐标变换导语切比雪夫插值是一种在数值分析中常用的插值技术。
它在给定一组离散数据点的情况下，通过构造逼近曲线来估计其他位置的函数值。
切比雪夫插值点坐标变换则是对切比雪夫插值算法中的数据点进行坐标变换，以便更好地逼近所需的函数形状。
本文将详细探讨切比雪夫插值点坐标变换的原理、方法和应用。
原理切比雪夫插值是基于切比雪夫多项式的插值方法。
切比雪夫多项式是一组正交多项式，其定义如下：T n(x)=cos(n⋅arccos(x))其中，T n(x)是一个n次多项式。
在切比雪夫插值中，我们使用这些正交多项式作为基函数，并通过线性组合的方式来逼近目标函数。
为了实现这一目标，我们需要选择适当的插值点。
由于切比雪夫多项式在[−1,1]区间上取得最大值和最小值，因此我们可以选择在该区间上均匀分布的插值点来进行插值。
这些插值点称为切比雪夫节点，其定义如下：x k=cos((2k−1)π2n), k=1,2,...,n其中，n是插值点的数量。
方法切比雪夫插值点坐标变换的方法基于以下观察：通过将自变量的值从[−1,1]映射到其他区间，我们可以改变插值点的密度分布，从而更好地逼近所需的函数形状。
具体而言，假设我们希望将自变量的值从[−1,1]线性映射到[a,b]。
我们可以使用以下变换公式将切比雪夫节点映射到新的插值节点：x k′=12[(b−a)x k+(b+a)]其中，x k′是映射后的插值节点。
经过这样的变换，我们可以在[a,b]区间上获得更密集的插值点，从而提高插值的精度。
应用切比雪夫插值点坐标变换在实际应用中具有广泛的用途。
以下是一些常见的应用领域：数据拟合切比雪夫插值点坐标变换可以用于拟合离散数据点，并生成一个逼近的曲线。
通过选择适当的插值节点和坐标变换，可以使拟合曲线更好地适应数据点，并提高预测精度。
数值积分切比雪夫插值点坐标变换可以用于数值积分问题。
通过将积分区间映射到[−1,1]区间，并选择切比雪夫节点作为插值点，可以在积分近似中达到更高的精度。
契比雪夫多项式零点的一种简单应用
契比雪夫多项式零点的一种简单应用
伯努利多项式是一类多项式，它可以用来表示一个函数的零点。
伯努利多项式的零点的计算可以用到切比雪夫多项式，这是一种简单而有效的方法。
切比雪夫多项式是一种连续多项式，它可以用来表示一个函数的零点。
它可以用来求解非线性方程，解决微积分和线性代数中的问题。
切比雪夫多项式的应用是，首先把多项式分解成各个系数，然后写出各个系数之间的关系，也就是求解方程的过程。
这种方法不仅可以求得某个多项式的零点，而且可以用来解决很多复杂的多项式的零点。
例如，用切比雪夫多项式求解下面的方程：x^3-2x^2+3x-
1=0。
首先，用切比雪夫多项式把它拆分成三个系数：x^3、-
2x^2和3x，然后把它们的关系写成如下方程：x^3-2x^2+3x-
1=0。
接下来，用切比雪夫多项式求解该方程的根，也就是它的零点，即x=1。
这就是用切比雪夫多项式求解伯努利多项式零
点的一种简单应用。
切比雪夫多项式的应用范围很广，它可以用来解决微积分和线性代数中的问题，同时也可以用来求解复杂多项式的零点。
这种简单易用的方法在数学研究中发挥了重要作用，为数学家们提供了一种有效的解决问题的方法。
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n
(x − xj )
j=0
其中ξ ∈ (a,b) ，若得到
则有
M n+1
=
max
−1< x<1
f
(n+1) (x)
，
∏ R( x)
≤
M n+1 (n + 1)!
n
(x − xj )
j=0
n
∏ 显然，余项的大小，取决于因子 x − x j 的大小。 j=0
《数值计算》
主讲: 施明辉 厦门大学
现在我们提出一个问题：怎样选取节点 xj ( j = 0, 1, 2, …, n)
能使
max (x
−1< x<1
−
x0
)( x
−
x1 )L(x
−
xn
)
尽可能小？
n
∏ 由于 (x − x j ) 是一个最高次项系数为 1 的 n + 1 次多项式，由 Tn(x)的极性讨论知， j=0
当 xj 满足 时，
(x
−
x0 )(x
−
x1 )
LL ( x
−
xn
)
=
1 2n
Tn+1 (x)
max (x −
设在[-1, 1]上给定 n + 1 个互异的节点 x0, x1, …, xn，函数 f (x)在[-1, 1]上具有 n + 1 阶连 续导数 f (n+1) (x)，对 f (x)作多项式插值时，由拉格朗日插值的余项表示式
∏ R(x) =
f (x) − Ln (x) =
f (n+1) (ξ ) (n + 1)!
−
Ln (x)
≤
M n+1 max (x (n + 1)! −1<x<1
−
x0 )L(x
−
xn )
= M n+1 max Tn+1 (x) = M n+1
(n + 1)! −1<x<1 2n
(n + 1)!⋅2n
例： P64 例 4
注意：如果插值区间是[a, b]，而不是[-1, 1]，总可以作变换
−1< x<1
x0 )LL(x −
xn )
=
1 2n
取得极小，亦即只要插值节点 xk 取成 n + 1 次切比雪夫多项式的零点
xk
= cos(2k
+ 1) π 2(n + 1)
(k = 0, 1, 2, L, n)
则插值公式的余项在全区间[-1, 1]上的最大绝对值为极小，此时，有余项公式：
f
(x)
−
0
≤ max p(x) − 0 −1< x<1
从这个定理知，所有首项系数为 1 的 n 次多项式在区间[-1, 1]上的最大值满足
max
−1< x<1
p(x)
≥
1 2 n−1
该定理称为切比雪夫多项式的极性，这种极性也是切比雪夫多项式的一种重要性质。
作为应用，介绍一下多项式插值余项的极小化。
3.2.4 切比雪夫多项式零点插值
《数值计算》
主讲: 施明辉 厦门大学
定理 6 在-1≤x ≤1 上，在首项系数为 1 的一切 n 次多项式 Hn (x)中
T~n
(x)
=
1 2 n −1
Tn
(x)
Hale Waihona Puke 与零的偏差最小，且其偏差为 1 2 n−1
即，对于任何 p(x) ∈ H n (x) ，有
1 2 n −1
=
max
−1< x<1
T~n
(x)
x= a+b+b−at 22
把函数变换成
f (x) = f ⎜⎛ a + b + b − a t ⎟⎞ = g(t)
⎝2
2⎠
其中 -1≤t ≤1，即可将定义在区间[a,b]上的函数 f (x)化为新变量 t 的定义在区间[-1, 1]上
的函数 g (t)。
例： P65 例 5