2019年浙江省单独考试招生文化考试数学试卷

数学综合卷-答案-东博文化传媒

10},∴ ∁UB ∩A = {x|0<x<5}.
2.B 【提示】A.当x=2时,2+1= 3 , 2 =2, 2 2 2-1
化 x+1
∴<
x
,∴ A 项不成立.B.(x2 +1)2 -x4 -
x x-1
文 x2-1=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2≥0,∴ (x2 +
正弦定理 a = b ,得sinA>sinB;若sinA>sinB, sinA sinB
-2
{ } 0 时,x > b ,∴ 解集为 a
x
b x>
a
.∴ 解集不可能
9.B 【提示】 ∵k1·k2= =-1,∴l1⊥l2. 2
10.C 【提示】 ∵x2 +y2 -2x+2y-14=0 可化为
是 R.
(x-1)2 + (y+1)2 =16,∴ 圆心为 (1,-1),r=4.
2.D 【提示】|x|-1≥0⇔x≤-1或x≥1.
16.C 【提示】 ∵ 直线过二、三、四象限,则倾斜角为
3.B 【提示】利用乘法法则排除 A、C.而ac=bc 时 , 钝角,∴ π <α<π. 2
若c=0,则a≠b.
2
1
1
4.B 【提示】(-8)3 =[(-8)2]3 =643 =4.
象可以判断 ≤x≤π. 4
24.2 6 【提示】 ∵a= 3,b=3,∴c=2 3,∴e= c =2,2b=6. a
· 201 ·
1 25.
1 【提示】由韦达定理可知 a1 ·a4 = ,∴ 根

2019年普通高等学校招生全国统一考试数学(浙江卷)

绝密 ★ 启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试数学(浙江卷)选择题部分(共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2019浙江,1)已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},则(∁U A )∩B=( )A.{-1}B.{0,1}C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3}U A={-1,3},则(∁U A )∩B={-1}.2.(2019浙江,2)渐近线方程为x ±y=0的双曲线的离心率是( )A.√22B.1C.√2D.2x ±y=0,所以a=b=1.所以c=√a 2+b 2=√2,双曲线的率心率e=ca =√2.3.(2019浙江,3)若实数x ,y 满足约束条件{x -3y +4≥0,3x -y -4≤0,x +y ≥0,则z=3x+2y 的最大值是( )A.-1B.1C.10D.12(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角形区域(包含边界),由图易得当直线z=3x+2y 经过平面区域内的点(2,2)时,z=3x+2y 取得最大值z max =3×2+2×2=10.4.(2019浙江,4)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家,他提出的“幂势既同,则积不容异”称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体=Sh ,其中S 是柱体的底面积,h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位:cm),则该柱体的体积(单位:cm 3)是( )A.158B.162C.182D.324解析由三视图得该棱柱的高为6,底面五边形可以看作是由两个直角梯形组合而成,其中一个上底为4,下底为6,高为3,另一个的上底为2,下底为6,高为3,则该棱柱的体积为2+62×3+4+62×3×6=162.5.(2019浙江,5)设a>0,b>0,则“a+b ≤4”是“ab ≤4”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件a>0,b>0时,a+b ≥2√ab ,若a+b ≤4,则2√ab ≤a+b ≤4,所以ab ≤4,充分性成立;当a=1,b=4时,满足ab ≤4,但此时a+b=5>4,必要性不成立.综上所述,“a+b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件.6.(2019浙江,6)在同一直角坐标系中,函数y=1a x ,y=log a x+12(a>0,且a≠1)的图象可能是()解析当0<a<1时,函数y=a x的图象过定点(0,1)且单调递减,则函数y=1a x的图象过定点(0,1)且单调递增,函数y=log a x+12的图象过定点12,0且单调递减,D选项符合;当a>1时,函数y=a x的图象过定点(0,1)且单调递增,则函数y=1a x 的图象过定点(0,1)且单调递减,函数y=log a x+12的图象过定点12,0且单调递增,各选项均不符合.故选D.7.(2019浙江,7)设0<a<1.随机变量X的分布列是则当a在(0,1)内增大时,()A.D(X)增大B.D(X)减小C.D(X)先增大后减小D.D(X)先减小后增大解析由分布列得E(X)=1+a3,则D(X)=1+a3-02×13+1+a3-a2×13+1+a3-12×13=29a-122+16,所以当a在(0,1)内增大时,D(X)先减小后增大.8.(2019浙江,8)设三棱锥V-ABC的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱VA上的点(不含端点).记直线PB与直线AC所成的角为α,直线PB与平面ABC所成的角为β,二面角P-AC-B的平面角为γ,则()A.β<γ,α<γB.β<α,β<γC.β<α,γ<αD.α<β,γ<βG 为AC 中点,点V 在底面ABC 上的投影为点O ,则点P 在底面ABC 上的投影点D 在线段AO 上,过点D 作DE 垂直AE ,易得PE ∥VG ,过点P 作PF ∥AC 交VG 于点F ,过点D 作DH ∥AC ,交BG 于点H ,则α=∠BPF ,β=∠PBD ,γ=∠PED ,所以cos α=PFPB =EGPB =DHPB <BDPB =cos β,所以α>β,因为tan γ=PDED >PDBD=tan β,所以γ>β.故选B .9.(2019浙江,9)设a ,b ∈R ,函数f (x )={x ,x <0,13x 3-12(a +1)x 2+ax ,x ≥0.若函数y=f (x )-ax-b 恰有3个零点,则( ) A.a<-1,b<0 B.a<-1,b>0 C.a>-1,b<0D.a>-1,b>0解析当x<0时,由x=ax+b ,得x=b1-a,最多一个零点取决于x=b 1-a 与0的大小,所以关键研究当x ≥0时,方程13x 3-12(a+1)x 2+ax=ax+b 的解的个数,令b=13x 3-12(a+1)x 2=13x 2x-32(a+1)=g (x ).画出三次函数g (x )的图象如图所示,可以发现分类讨论的依据是32(a+1)与0的大小关系.①若32(a+1)<0,即a<-1时,x=0处为偶重零点反弹,x=32(a+1)为奇重零点穿过,显然在x ≥0时g (x )单调递增,故与y=b 最多只能有一个交点,不符合题意.②若32(a+1)=0,即a=-1,0处为3次零点穿过,也不符合题意.③若32(a+1)>0,即a>-1时,x=0处为偶重零点反弹,x=32(a+1)为奇重零点穿过,当b<0时g (x )与y=b 可以有两个交点,且此时要求x=b1-a <0,故-1<a<1,b<0,选C .10.(2019浙江,10)设a ,b ∈R ,数列{a n }满足a 1=a ,a n+1=a n 2+b ,n ∈N *,则( )A.当b=12时,a 10>10 B.当b=14时,a 10>10C.当b=-2时,a 10>10D.当b=-4时,a 10>10解析当b=12时,a 2=a 12+12≥12,a 3=a 22+12≥34,a 4=a 32+12≥1716≥1,当n ≥4时,a n+1=a n 2+12≥a n 2≥1,则lo g 1716a n+1>2lo g 1716a n ⇒lo g 1716a n+1>2n-1,则a n+1≥1716 2n -1(n ≥4),则a 10≥1716 26=1+11664=1+6416+64×632×1162+…>1+4+7>10,故选A .非选择题部分(共110分)二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.11.(2019浙江,11)复数z=11+i (i 为虚数单位),则|z|= .|z|=1|1+i |=√2=√22.12.(2019浙江,12)已知圆C 的圆心坐标是(0,m ),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C 相切于点A (-2,-1),则m= ,r= .k AC =-12⇒AC :y+1=-12(x+2),把(0,m )代入得m=-2,此时r=|AC|=√4+1=√5.2 √513.(2019浙江,13)在二项式(√2+x )9的展开式中,常数项是 ,系数为有理数的项的个数是 .√2+x )9的通项为T r+1=C 9r(√2)9-r x r (r=0,1,2,…,9),可得常数项为T 1=C 90(√2)9=16√2.因为系数为有理数,所以r=1,3,5,7,9,即T 2,T 4,T 6,T 8,T 10的系数为有理数,共5个.√2 514.(2019浙江,14)在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D 在线段AC 上.若∠BDC=45°,则BD= ,cos ∠ABD= .,设CD=x ,∠DBC=α,则AD=5-x ,∠ABD=π2-α,在△BDC 中,由正弦定理得3sin π4=x sinα=3√2⇒sin α=3√2.在△ABD 中,由正弦定理得5-x sin(π2-α)=4sin3π4=4√2⇒cos α=4√2.由sin 2α+cos 2α=x218+(5-x )232=1,解得x 1=-35(舍去),x 2=215⇒BD=12√25.在△ABD 中,由正弦定理得0.8sin∠ABD =4sin(π-π4)⇒sin ∠ABD=√210⇒cos ∠ABD=7√210.7√21015.(2019浙江,15)已知椭圆x 29+y 25=1的左焦点为F ,点P 在椭圆上且在x 轴的上方.若线段PF 的中点在以原点O 为圆心,|OF|为半径的圆上,则直线PF 的斜率是 .,设PF 的中点为M ,椭圆的右焦点为F 1.由题意可知|OF|=|OM|=c=2,由中位线定理可得|PF 1|=2|OM|=4,设P (x ,y )可得(x-2)2+y 2=16,与椭圆方程x 29+y 25=1联立,解得x=-32,x=212(舍),因为点P在椭圆上且在x 轴的上方,所以P-32,√152,所以k PF =√15212=√15.√1516.(2019浙江,16)已知a ∈R ,函数f (x )=ax 3-x.若存在t ∈R ,使得|f (t+2)-f (t )|≤23,则实数a 的最大值是 .解析由题意知,|f (t+2)-f (t )|=|a (6t 2+12t+8)-2|≤23有解,即-23≤a (6t 2+12t+8)-2≤23有解,所以43(6t 2+12t+8)≤a ≤83(6t 2+12t+8)有解,因为6t 2+12t+8∈[2,+∞),所以43(6t 2+12t+8)∈0,23,83(6t 2+12t+8)∈0,43,所以只需要0<a ≤43,即a max =43.17.(2019浙江,17)已知正方形ABCD 的边长为1.当每个λi (i=1,2,3,4,5,6)取遍±1时,|λ1AB⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值是 ,最大值是 .基向量处理)λ1AB⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ1-λ3+λ5-λ6)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ2-λ4+λ5+λ6)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,要使|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小,只需要|λ1-λ3+λ5-λ6|=|λ2-λ4+λ5+λ6|=0,此时只需要取λ1=1,λ2=-1,λ3=1,λ4=1,λ5=1,λ6=1,此时|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |min =0,由于λ5AC⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =±2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 或±2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,取其中的一种λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 讨论(其他三种类同),此时λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ1-λ3+2)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ2-λ4)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,要使|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大,只需要使|λ1-λ3+2|,|λ2-λ4|最大,取λ1=1,λ2=1,λ3=-1,λ4=-1,此时|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√5,综合几种情况可得|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |max =2√5.2√5三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(本题满分14分)(2019浙江,18)设函数f (x )=sin x ,x ∈R .(1)已知θ∈[0,2π),函数f (x+θ)是偶函数,求θ的值;(2)求函数y=f x+π122+f x+π42的值域.因为f (x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以,对任意实数x 都有sin(x+θ)=sin(-x+θ),即sin x cos θ+cos x sin θ=-sin x cos θ+cos x sin θ, 故2sin x cos θ=0, 所以cos θ=0.又θ∈[0,2π),因此θ=π2或3π2. (2)y=f x+π122+f x+π42=sin 2x+π12+sin 2x+π4=1-cos(2x+π6)2+1-cos(2x+π2)2=1-12√32cos 2x-32sin 2x =1-√32cos 2x+π3.因此,函数的值域是1-√32,1+√32.,同时考查运算求解能力. 19.(本题满分15分)(2019浙江,19)如图,已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1,平面A 1ACC 1⊥平面ABC ,∠ABC=90°,∠BAC=30°,A 1A=A 1C=AC ,E ,F 分别是AC ,A 1B 1的中点. (1)证明:EF ⊥BC ;(2)求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.:(1)连接A 1E ,因为A 1A=A 1C ,E 是AC 的中点, 所以A 1E ⊥AC.又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ,A 1E ⊂平面A 1ACC 1,平面A1ACC1∩平面ABC=AC,所以,A1E⊥平面ABC,则A1E⊥BC.又因为A1F∥AB,∠ABC=90°,故BC⊥A1F.所以BC⊥平面A1EF.因此EF⊥BC.(2)取BC中点G,连接EG,GF,则EGFA1是平行四边形.由于A1E⊥平面ABC,故A1E⊥EG,所以平行四边形EGFA1为矩形.由(1)得BC⊥平面EGFA1,则平面A1BC⊥平面EGFA1,所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上.连接A1G交EF于O,则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角(或其补角).不妨设AC=4,则在Rt△A1EG中,A1E=2√3,EG=√3.由于O为A1G的中点,故EO=OG=A1G2=√152,所以cos∠EOG=EO 2+OG2-EG22EO·OG=35.因此,直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是35.方法二:(1)连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中点,所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC,A1E⊂平面A1ACC1,平面A1ACC1∩平面ABC=AC,所以,A 1E ⊥平面ABC.如图,以点E 为原点,分别以射线EC ,EA 1为y ,z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系E-xyz.不妨设AC=4,则A 1(0,0,2√3),B (√3,1,0),B 1(√3,3,2√3),F √32,32,2√3,C (0,2,0).因此,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =√32,32,2√3,BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1,0). 由EF⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0得EF ⊥BC. (2)设直线EF 与平面A 1BC 所成角为θ.由(1)可得BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1,0),A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0.2,-2√3).设平面A 1BC 的法向量为n =(x ,y ,z ).由{BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,得{-√3x +y =0,y -√3z =0. 取n =(1,√3,1),故sin θ=|cos <EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n >|=|EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·n ||EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|n |=45. 因此,直线EF 与平面A 1BC 所成的角的余弦值为35.,直线与平面所成的角等基础知识,同时考查空间想象能力和运算求解能力.20.(本题满分15分)(2019浙江,20)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=4,a 4=S 3.数列{b n }满足:对每个n ∈N *,S n +b n ,S n+1+b n ,S n+2+b n 成等比数列.(1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)记c n =√an 2b n ,n ∈N *,证明:c 1+c 2+…+c n <2√n ,n ∈N *.设数列{a n }的公差为d ,由题意得a 1+2d=4,a 1+3d=3a 1+3d ,解得a 1=0,d=2.从而a n =2n-2,n ∈N *.所以S n =n 2-n ,n ∈N *.由S n +b n ,S n+1+b n ,S n+2+b n 成等比数列得(S n+1+b n )2=(S n +b n )(S n+2+b n ).解得b n =1d(S n+12-S n S n+2). 所以b n =n 2+n ,n ∈N *.(2)c n =√a n2b n =√2n -22n (n+1)=√n -1n (n+1),n ∈N *. 我们用数学归纳法证明.①当n=1时,c 1=0<2,不等式成立;②假设n=k (k ∈N *)时不等式成立,即c 1+c 2+…+c k <2√k .那么,当n=k+1时,c 1+c 2+…+c k +c k+1<2√k +√k (k+1)(k+2)<2√k +√1k+1<2√k +√k+1+√k =2√k +2(√k +1−√k )=2√k +1,即当n=k+1时不等式也成立.根据①和②,不等式c 1+c 2+…+c n <2√n 对任意n ∈N *成立.,同时考查运算求解能力和综合应用能力.21.(本题满分15分)(2019浙江,21)如图,已知点F (1,0)为抛物线y 2=2px (p>0)的焦点.过点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,点C 在抛物线上,使得△ABC 的重心G 在x 轴上,直线AC 交x 轴于点Q ,且Q 在点F 的右侧.记△AFG ,△CQG 的面积分别为S 1,S 2.(1)求p 的值及抛物线的准线方程;(2)求S1S 2的最小值及此时点G 的坐标.由题意得p 2=1,即p=2.所以,抛物线的准线方程为x=-1.(2)设A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),C (x C ,y C ),重心G (x G ,y G ).令y A =2t ,t ≠0,则x A =t 2.由于直线AB 过F ,故直线AB 方程为x=t 2-12t y+1,代入y 2=4x ,得y 2-2(t 2-1)t y-4=0, 故2ty B =-4,即y B =-2t ,所以B 1t 2,-2t . 又由于x G =13(x A +x B +x C ),y G =13(y A +y B +y C )及重心G 在x 轴上,故2t-2t +y C =0,得C 1t -t 2,21t -t ,G 2t 4-2t 2+23t 2,0.所以,直线AC 方程为y-2t=2t (x-t 2),得Q (t 2-1,0).由于Q 在焦点F 的右侧,故t 2>2.从而S 1S 2=12|FG |·|y A |12|QG |·|y C | =|2t 4-2t 2+23t 2-1|·|2t ||t 2-1-2t 4-2t 2+23t 2|·|2t -2t | =2t 4-t 2t 4-1=2-t 2-2t 4-1. 令m=t 2-2,则m>0,S 1S 2=2-m m 2+4m+3=2-1m+3m+4≥2-2√m ·3m +4=1+√32. 当m=√3时,S 1S 2取得最小值1+√32,此时G (2,0).,直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力.22.(本题满分15分)(2019浙江,22)已知实数a ≠0,设函数f (x )=a ln x+√1+x ,x>0.(1)当a=-34时,求函数f (x )的单调区间;(2)对任意x ∈1e 2,+∞均有f (x )≤√x2a ,求a 的取值范围. 注:e =2.718 28…为自然对数的底数.当a=-34时,f (x )=-34ln x+√1+x ,x>0.f'(x )=-34x +2√1+x=√1+x -√1+x+14x √1+x, 所以,函数f (x )的单调递减区间为(0,3),单调递增区间为(3,+∞).(2)由f (1)≤12a ,得0<a ≤√24. 当0<a ≤√24时,f (x )≤√x 2a 等价于√x a 2−2√1+x a -2ln x ≥0. 令t=1a ,则t ≥2√2.设g (t )=t 2√x -2t √1+x -2ln x ,t ≥2√2,则g (t )=√x t-√1+1x2-1+x √x -2ln x.①当x ∈17,+∞时,√1+1x ≤2√2,则 g (t )≥g (2√2)=8√x -4√2√1+x -2ln x.记p (x )=4√x -2√2√1+x -ln x ,x ≥17,则 p'(x )=√x √2√x+1−1x =√x √x+1-√2x √x+1x √x+1 =(x -1)[1+√x (√2x+2-1)]x √x+1(√x+1)(√x+1+√2x ). 故17,1 1- 0) p 17 单调递减所以,p (x )≥(1)=0.因此,g (t )≥g (2√2)=2p (x )≥0.②当x ∈1e 2,17时,g (t )≥g √1+1x =-2√xlnx -(x+1)2√x. 令q (x )=2√x ln x+(x+1),x ∈1e 2,17,则q'(x )=√x +1>0,故q(x)在1e2,17上单调递增,所以q(x)≤q17.由①得,q17=-2√77p17<-2√77p(1)=0.所以,q(x)<0.因此,g(t)≥g√1+1x =-q(x)2√x>0.由①②知对任意x∈1e2,+∞,t∈[2√2,+∞),g(t)≥0,即对任意x∈1e2,+∞,均有f(x)≤√x2a.综上所述,所求a的取值范围是0,√24.,导数的运算及其应用,同时考查逻辑思维能力和综合应用能力.。

2019年浙江省单独考试招生文化考试仿真模拟数学试题卷

2019年浙江省单独考试招生文化考试仿真模拟数学试题卷姓名：___________准考证号：___________本试题卷共3大题，共4页。

满分150分，考试时间120分钟考生注意:1.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。

2.答题时,请按照答题纸上“注意事项”的要求,在答题纸相应的位置上规范作答,在本试题卷上的作答一律无效。

一、单项选择题（本大题共20小题，1-10小题每小题2分，13-20小题每小题3分，共50分）(在每小题列出的四个备选答案中,只有一个是符合题目要求的.错涂、多涂或未涂均不得分)1.若全集R U =，5}-3|{＜＜x N x A ∈=,0}1|{＜-∈=x Z x B ,则 A B C U =（）A.{2，3，4}B.{1，2，3，4}C.{1，2，4}D.{0，1，2，3，4}2.函数)2lg(1--=x x y 的定义域是（）A.（2,∞+)B.[1,2)∪（2，∞+）C.[1,∞+)D.[1，2）3.下列函数在其定义域内恒为减函数的是（）A.x xy +=1 B.xy 21log = C.xy 3= D.64-2++=x x y 4.数列}{a n ，对任意*∈N x ，均满足点),(n S n M 在二次函数2x y =的图像上，则（）A.该数列公比为2B.32=SC.该数列中所有奇数项呈公差为4的等差数列D.221+=+n a n 5.在平面直角坐标系中，点（2，3）关于直线032=-+y x 的对称点是（）A.（-2，-3）B.（-1，0）C.（1，2）D.（0，-1）6.一椭圆以双曲线122=-y x 的顶点为焦点，焦点为顶点，则下列关于该椭圆的说法错误的是（）A.短轴长为2B.离心率为22 C.焦距为2 D.长轴长为短轴长的2倍7.若232cos 232sin =-αα，则αtan （）A.62 B.2196C.23 D.228.已知直线l ：0232=-+y x 的倾斜角α，直线l 与x 轴交点为A ，将其绕点A 逆时针旋转α度后得到直线1l ,则1l 的斜率为（）A.512- B.34-C.32- D.09.抛物线2x y =图像上任意一点到其焦点的最短距离为（）A.21 B.1C.41 D.3110.若方程04)2(222=-++-+m y x m y x 表示一个圆，则m 的取值范围是（）A.]4-4[， B.)4-4(， C.），（），（∞+∞44-- D.），，（∞+∞4[]4-- 11.下列不等式中，解集为)[3,1)-(+∞∞ ，的是（）A.0)3)(1(≥--x x B.{01-x 03＜≥-x C.013≥--x x D.0342＞+-x x 12.在一个角为60°的△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为c b a 、、,则“c b a ,,三边成等差”是“△ABC 为等边三角形”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件13.如图所示，在正方形ABCD 中，两条对角线交点为O ，则下列结论中错误的是（）A.AC AB AD =-B.CBCA CD =+C.=+ D.=+第13题图14.6人平均分成3组，且甲、乙必须同组，则不同的分组方案有_________种.（）A.48 B.6 C.36 D.315.给出以下四个命题，其中真命题的个数是（）①如果两条相交直线均与第三条直线垂直，则这三条直线构成了三个平面②若直线⊥A 平面α，直线B 垂直A ，则α∥B ③若已知平面α，且αα⊆⊆B A ，，则B A ,两条直线共面，反之，则异面④若平面外的一条斜线l 与平面相交，且直线1l 与l 在平面内的的射影垂直，则l l ⊥1A.0个 B.1个 C.2个D.3个16.下列各式不正确的是（）A.)cos()cos(ααπ-=+B.)2cos()3sin(απαπ+=+C .απαtan )tan(=- D.)sin()sin(βαβα--=+-AB C CD17.函数)6sin(2)(πω+=x x f 的一个单调区间为]3,32[ππ-,则ω的值为（）A.1B.±1C.-1D.±218.点Q 的坐标为)0,30(sin ！︒则点Q 所在的位置是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.坐标轴上19.某年寒假时间为25天，其中雨雪天为15天，则晴天占寒假总天数的概率为（）A.53 B.52 C.83 D.8520.在△ABC 中，2sin =Aa，B ∠:C ∠3:2=，则B ∠的度数为（）A.30°B.45°C.60°D.75°二．填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）21.若直线01=--ay x 和02)2(=++-y a ax 互相垂直，则a =__________.22.已知)0(lg )0(42{)1(＞x x x x x f ≤+=+,则=-)]3([f f ___________.23.在一等比数列}{n a 中，01＞a ，42=a ，则31a a +的取值范围是_____________.24.已知23-sin =α，]23,[ππα∈，则=α2tan _____________.25.某设备购买时价值为100万元，第一年报废了其中的一半，以后每年报废剩余价值的一半，价值低于5万元后视同报废，则__________年后该设备视同报废.26.已知海绵宝宝在盛有足量水的容器中会逐渐长大，受到外界碰撞或容器壁挤压则会破裂，一海绵宝宝呈球形，现有一圆柱形玻璃杯（不计玻璃厚度），底面直径与高相等，侧面积为π92cm ，为使海绵宝宝能“顺利成长”，则应控制其体积不超过______________.27.直线)}{(2常数∈+=b b x y 与双曲线4422=-y x 的图像有_________个交点.三．解答题（本大题8小题，共72分）解答应写出文字说明及演算步骤28.（本题满分7分）求值：πcos 32(2lg 3125lg 2213++++-C P .29.（本题满分8分）已知椭圆短轴上的一个顶点A 与两个焦点1F 、2F 构成一个等腰直角三角形，焦点在x 轴上，原点到直线1AF 的距离为1，直线01=+-y x 与椭圆相交于E 、F 两点，求OEF S ∆.30.（本题满分9分）已知函数x x x f 2cos )1(tan )(+=.（1）求函数的最大值和周期；（2）讨论函数在定义域），（π0上的单调性.31.（本题满分9分）二项式nt x )(+（其中t 为常数）展开后只有第5项的二项式系数最大，且各项系数之和256.（1）求t 的值；（2）求展开后所有偶数项的系数之和.32.（本题满分9分）在如图所示的直三棱柱111C B A ABC -中，62,42211====AC BC AB BB ，求：（1）点1A 到平面11C AB 的距离；（2）平面ABC 与平面11C AB 所成角的正切值.第32题图33.（本题满分10分）已知圆9)2(22=+-y x 与直线02=++-A y Ax (A 为常数)相切.（1）求A 的值；（2）若P 为圆上一动点，求当点P 到直线的距离最大时点P 的坐标.34.（本题满分10分）某地为迎接改革开放40周年，进行绿化建设，打算开发一块长8米、宽6米的矩形空地，为了美化，欲在如图所示的这块空地中挖一块圆形土地，记圆形土地面积为1S ，剩余部分面积为2S .若21S S ＜，则在圆内种草皮，剩余地块种郁金香；若12S S ＞，则反之.已知每平方米的草皮价格为320元，郁金香价格为318元.并且，当圆形土地半径为1米时，管理成本为3000元，半径每扩大1米，管理成本增加30元.求：(π取3)（1）所需总费用C 与圆形土地半径r 的函数关系式；（2）请问应如何设计种植，才能使总费用最低？第34题图35.（本题满分10分）在如图所示的坐标轴中，点P 、Q 均从原点出发向右移动，点P 移动的路径为(0,1,3,7,15,31…),点Q 移动的路径为(0,1,3,6,10,15,21…),括号内的数字为每经过1秒所到达的点的位置，在坐标轴中每相邻两点间的距离为一个单位长度.（1）观察这些点的特点，分别写出点P 和点Q 经过t 秒后所到达的点表示的数字；（2）若点Q 经过t 秒后所在的点表示数字为a ，求数列⎭⎫⎩⎨⎧t a 前n 项和.x第35题图1S 2S。

2019高三职高单招单考数学模拟测试1

2019浙江单招单考数学1检测时间： 120 分钟分值： 150 分命题人：一、选择题（共20大题，1-10小题每题2分，11-20小题每题3分，共50分）{}{})(,2,1log 0.13=⋂≤=<<=B A x x B x x A 则集合()(]()(]2,1D 2,1C 2,0B 1,0、、、、A ）（的中点，是中在==∆AE ,DC 2B D ,.2AD E ABCAC AB AC AB AC AB AC AB A 6131D 3161C 6131B 3161+--+、、、、）”的（”是“则“设021,.32<-+<∈x x x R xA 、充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件）上是减函数的是（下列函数在R .4xxy y xy x y A 12D 2C ln B ====-、、、、）的值为（平行，则与直线直线a y x y ax 0132012.5=--=-+3D 2C 34B 3、、、、--A）的定义域为（函数)1lg()(.6-=x x f[)()()()()()+∞+∞⋃+∞⋃+∞,1D ,11,0C ,22,1B ,2、、、、A）的短轴长是（椭圆82.722=+y x 24D 4C 22B 2、、、、A=θθsin )43-(.8，则，的终边经过点设角P54D 54C 53B 53、、、、--A ）（则且设=+∈-=-)22sin(),23,(,35)sin(.9απππααπ36D 66C 66B 36、、、、--A）的位置关系是（与，则是异面直线，直线设b c a c n m //,.10、异面或相交平行、、异面、相交D A C B）的解集是（则不等式设0)1)((,1.11>---<a x a x a⎭⎬⎫⎩⎨⎧><⎭⎬⎫⎩⎨⎧><⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x a x x a x a x x a x a x a x a x A 或、或、、、1D 1C 1B 1）方案（个学校任教，共有分配位老师分配到将34.12256D 7C 12B 81、、、、A{}）是（则满足的一个通项公式，，项为中，前已知数列241263.13n a 5D 3C 23B 42+==⋅=+=n a a a n a A n nn nn n 、、、、）（，则实数的一条渐近线为双曲线===-a x y a y x 212.14224D 3C 2B 2、、、、A）展开式中常数项是（）（612.15--x x20D 20C 15B 15、、、、--A）概率为（次恰好出现一次正面的将一枚均匀硬币抛掷2.161D 43C 41B 21、、、、A）是（则角位于第二象限点θθθθ,)cos sin ,(sin .17⋅P、第四象限、第三象限、第二象限、第一象限D C B A）则下列正确的是（函数,1)4(cos 2.182--=πx y 32D 12C 3B 1最大为、周期为最大为、周期为最大为、周期为最大为、周期为ππππA）的值为（则角中，若C B a A b C c ABC ,cos cos cos 2.19+=∆3D 65C 65B 32ππππ、、、、A ）则离心率为（且相切于点与圆的直线的左右焦点，过为双曲线,3,1-,.20122221222221MF MF M b y x l F by a x F F ==+=3D 3C 2B 2、、、、A二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）____),3-2B(),3,2(45.210的值为则，直线过点倾斜角为m m A _____))1((1,log 1,2)(.222=⎩⎨⎧≥<=f f x x x x f x ，则函数()()_____221.2322对称的圆的方程为关于直线圆x y y x ==-+-{}______,0,12.245347==-=-S a a a a n 则中，若等差数列_______043.25则该球的体积为积相等，的表面积与此圆锥侧面，若球，底面半径为圆锥的高为______2sin 12cos ,314tan .26=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-αααπ则已知_______12,1log log ,0,0.2722的最小值为则且若yx y x y x +=+>>三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤）28（本题满分7分）1ln 312321log )2019(23sin 8133++⎪⎭⎫ ⎝⎛++πA 计算：29（本题满分8分）64)(为展开中二项式系数之和已知nxm x +分）的值（求4)1n)4(160)2分值，求若常数项为m030105,2)9.(30===∆C A c ABC ，中，分分）的值（和求5)1a b )4(ABC )2分的面积求∆相切与圆过点直线：圆C l y x y x )0,2(,0342C .3122-=+-++分）的圆心和半径（求圆4C )1)5()2分的方程求l分）的正切值（）求二面角分）体积（）求四棱锥，，为梯形，，底面面中，如图，四棱锥5A CD P 24D 15AD 3BC 4AB PA 90BAD ABCD D .320---=====∠⊥-ABC P ABC PA ABC P个个可以售出元个，若按元已知这种商品进价为个元，其销售量就减少每涨价某种商品在进价基础上分满分500/50/40101)10.(33分）润最大，并求最大值（）当售价为多少时，利分）的函数关系（元与利润求当售价为424)1y x)2(60)3分，求最大利润为多少不能超过若xBA 2)0,22(61)10.(342222，交椭圆于：设直线，其中一个焦点的长轴长为已知椭圆：分满分+==+x y l F by a x 分）求椭圆的标准方程（4)1)6()2分的中点坐标和弦长求AB{}{}{}分）（项和前）求数列分）是等比数列（证明若分求且设等差数列333,2)2)4()1.16,2,.35421n n n n a n n n T n b a b b a a a a a n +==+=，。

2019年全国普通高等学校招生统一考试数学(浙江卷)试题(解析版)

2019年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷）试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带等。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。

一、单选题1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则A. B. {1，3} C. {2，4，5} D. {1，2，3，4，5}【答案】C【解析】分析:根据补集的定义可得结果.详解：因为全集，，所以根据补集的定义得,故选C.点睛：若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解．2．双曲线的焦点坐标是A. (−，0)，(，0)B. (−2，0)，(2，0)C. (0，−)，(0，)D. (0，−2)，(0，2)【答案】B【解析】分析:根据双曲线方程确定焦点位置，再根据求焦点坐标.详解：因为双曲线方程为，所以焦点坐标可设为，因为，所以焦点坐标为，选B.点睛：由双曲线方程可得焦点坐标为，顶点坐标为，渐近线方程为.3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】分析:先还原几何体为一直四棱柱，再根据柱体体积公式求结果.详解：根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上下底分别为1，2，梯形的高为2，因此几何体的体积为选C.点睛：先由几何体的三视图还原几何体的形状,再在具体几何体中求体积或表面积等.4．复数(i为虚数单位)的共轭复数是A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i【答案】B【解析】分析:先分母实数化化简复数，再根据共轭复数的定义确定结果.详解：，∴共轭复数为，选B.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为.5．函数y=sin2x的图象可能是A. B.C. D.【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．6．已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析:根据线面平行的判定定理得充分性成立，而必要性显然不成立.详解：因为，所以根据线面平行的判定定理得.由不能得出与内任一直线平行，所以是的充分不必要条件，故选A.点睛：充分、必要条件的三种判断方法：（1）定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．（2）等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．则当p在（0，1）内增大时，A. D（ξ）减小B. D（ξ）增大C. D（ξ）先减小后增大D. D（ξ）先增大后减小【答案】D【解析】分析:先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性.详解：，，，∴先增后减,因此选D.点睛：8．已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S−AB−C的平面角为θ3，则A. θ1≤θ2≤θ3B. θ3≤θ2≤θ1C. θ1≤θ3≤θ2D. θ2≤θ3≤θ1【答案】D【解析】分析:分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系.详解：设O为正方形ABCD的中心，M为AB中点，过E作BC的平行线EF，交CD于F，过O作ON垂直EF于N，连接SO，SN，OM，则SO垂直于底面ABCD，OM垂直于AB，因此从而因为，所以即，选D.点睛：线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面.9．已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是A. −1B. +1C. 2D. 2−【答案】A【解析】分析:先确定向量所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.详解：设，则由得，由得因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.点睛：以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.10．已知成等比数列，且．若，则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断.详解：令则，令得，所以当时，，当时，，因此，若公比，则，不合题意；若公比，则但，即，不合题意；因此，，选B.点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如二、填空题11．我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。

2019年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷数学(含答案)-(44188)

满分150分。

考试用时120分钟。

考生注意:请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。

请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的■ J 1 ■ «A. I■作答一律无效。

参考公式:V 4 R 53其中R 表示球的半径绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。

1.答题前，2.答题时，若事件若事件 P( AB )若事件率是互斥，则P( A B) 相互独立，则 A 在一次试验中发生的概独立重复试验中事件A 恰好发生P(A) P( B) P (A) P( B) p ,则n 次k 次的概率柱体的体积公式 V Sh 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高芒p kP (k) (1 nnP)k(k 0,1,2, , n)1(S1S1S2 S2 )h3其中S 1 , S 2分别表示台体的上、示台体的体积公式下底面积，1锥体的体积公式 V Sh3其中S 表示锥体的底面积，球的表面积公式球的体积公式 h 表示锥体的高台体的高每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题』1 1 n选择题部分(共40 分)1 .已知全集U1,0,1,2,3 ,集合A 0,1,2 , B 1,0,1 ，贝则(e u A) B =A. 1c. 1,2,3 B. 0,1D . 1,0,1,3、选择题：本大题共10小题，目要求的。

第1页共12页2A .B . 12C. 29A L AD . 2x 3y 4 03.若实数x ,y满足约束条件0，则z=3x+2y 的最大值3x y 4 是x y 0A . 1B . 1C. 10D. 124.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幕势既同，贝y积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高. 若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是A. 158C. 182A .充分不必要条件B .必要不充分条件5.若a>0 , b>0，贝厂’a+b w 4”是“ab w 4” 的6.C.充分必要条件在同一直角坐标系中，函数D .既不充分也不必要条件y=log a（x+ 1）（a>0，且a工1）的图象可能是2B. 162if 7.设0 v a v 1 ,L iJh f JIF T则随机变量. VIjHr1X的分布列是.1 jMr,Ik #jjK ™j 盘1——匾厂e第2页共12页则当a 在（0,1 ）内增大时，B. D (X )减小C. D （X ）先增大后减小D. &设三棱锥 V - ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，D （X ）先减小后增大 P 是棱VA 上的点（不含端点）.记直线AC 所成的角为a,直线A. B < Y,a < YPB 与平面ABC 所成的角为B,二面角 P - AC- B 的平面角为PB 与直线Y,则C. B < a,B.B < a, B < Y D. a < B,Y < Bx, x9.已知a, b R 数,函f ( x)1( a 21)x .若函数y f ( x) ax, x 0ax b恰有 3个零点,A . a< — 1,b<0 B. a< - 1, b>0 C. a> — 1, b<0 D .a> — 1, b>010 .设 a , b € R ，数列{ an} +b , b2满足 a1=a , an+1=anN ，则1时，a101时，a10A .当 b= 2 ?当b= — 2时,>10 >10 10B.当 b= 4。

2019年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷数学(含答案)

绝密★启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共 4 页，选择题部分 1 至 2 页；非选择题部分 3 至 4 页。

满分 150 分。

考试用时120 分钟。

考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。

2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式：若事件 A， B 互斥，则 P( A B) P(A) P( B)柱体的体积公式 V Sh若事件 A， B 相互独立，则 P( AB )P (A) P( B)其中 S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高若事件 A 在一次试验中发生的概率是p，则 n 次锥体的体积公式 V1Sh独立重复试验中事件A恰好发生k 次的概率3其中 S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高P (k)C k p k (1p) n k(k0,1,2, , n)球的表面积公式n n台体的体积公式1S1S2S2 )h S 4 R2V( S13球的体积公式其中 S1 , S2分别表示台体的上、下底面积，h表示4V R3台体的高3其中 R 表示球的半径选择题部分（共 40 分）一、选择题：本大题共10 小题，每小题 4 分，共40 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U1,0,1,2,3 ，集合 A 0,1,2，B1,0,1 ，则(e U A) B = A．1B．0,1C．1,2,3 D ．1,0,1,32．渐近线方程为x±y=0 的双曲线的离心率是2A ．2B ． 1C ．2D ． 2x 3y 4 03．若实数 x ， y 满足约束条件 3xy 4 0 ，则 z=3x+2y 的最大值是xy 0A ． 1B ． 1C ．10D ．124．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式 V 柱体 =Sh ，其中 S 是柱体的底面积， h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位： cm ），则该柱体的体积（单位： cm 3）是A ．158B ．162C ．182D ． 3245．若 a>0， b>0，则“ a+b ≤4”是“ab ≤ 4”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在同一直角坐标系中，函数y = 1x ， y=log a (x+ 1)(a>0，且 a ≠ 1)的图象可能是a27．设 0＜a ＜ 1，则随机变量X 的分布列是则当 a 在（ 0,1）内增大时，A ． D（ X）增大B．D （X）减小C．D （X）先增大后减小D． D（ X）先减小后增大8．设三棱锥 V–ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱 VA 上的点（不含端点）．记直线 PB 与直线AC 所成的角为α，直线 PB 与平面 ABC 所成的角为β，二面角 P–AC–B 的平面角为γ，则A ．β<γ，α<γB．β<α，β<γC．β<α，γ<αD．α<β，γ<βx, x09．已知a, b R，函数 f ( x)1x31( a 1)x2．若函数 y f ( x) ax b 恰有3个零点，ax, x 032则A ．a<–1， b<0B．a<–1， b>0C． a>–1， b<0D． a>–1， b>02N ，则10．设 a，b∈R，数列 { a n} 满足 a1=a， a n+1=a n +b，b1时， a101时， a10A ．当 b= 2>10B．当 b= 4>10C．当 b=–2 时， a>10D．当 b=–4 时， a >101010非选择题部分（共 110 分）二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。

2019年浙江专升本高等数学真题与答案解析(详细)

浙江省2019年高职高专毕业生进入本科学习统一考试高等数学一、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 1、设lim x→0x n =a 则说法不正确的是（）A 、对于正数2，一定存在正整数N ，使得当n >N 时，都有|x n −a |<2.B 、对于任意给定的无论多么小的正数ε，总存在整数N ，使得当n >N 时，不等于|x n −a |<ε成立.C 、对于任意给定的a 的邻域(a −ε,a +ε), 总存在整数N ，使得当n >N 时，所有的x n 都落在(a −ε,a +ε)内,而只有有限个（至多只有N 个）在这个区间外.D 、可以存在某个小的正数ε0，使得有无穷多个点ε0落在区间(a −ε0,a +ε0)外. 2、设在点x 0的某邻域内有定义，则在点x 0处可导的一个充分条件是（） A 、lim ℎ→0f (x 0+2ℎ)−f(x 0)ℎ存在 B 、lim ℎ→0−f (x 0)−f(x 0−ℎ)ℎ存在C 、limℎ→0f (x 0+ℎ)−f(x 0−ℎ)ℎ存在 D 、lim ℎ→+∞ℎ[f (x 0+1ℎ)−f (x 0)]存在3、limx→+∞1n[√1+sin πn +√1+sin 2πn +⋯+√1+sinnπn]等于（）A 、∫√sin πx dx 10B 、∫√1+sin πx dx 10 C 、∫√1+sin x dx 10 D 、π∫√1+sin x dx 10 4、下列级数或广义积分发散的是（） A 、∑(−1)n−1n+100∞n=1 B 、∑cos 2n ∞n=1 C 、∫√21D 、∫1(1+x 2)2dx +∞15、微分方程y ′′−4y ′+4y =0的通解为（） A 、y =c 1x +c 2e −2x B 、y =(c 1+c 2x)e −2x C 、y =(c 1+c 2x)e 2x D 、y =(c 1+c 2x)xe −2x二、填空题（只要在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，每小题4分，共40分）6、极限lim x→∞(1+sin 1n )n =7、设一雪堆的高度ℎ与时间t 的关系为ℎ(t )=100−t 2，则雪堆的高度在时刻t =5时的变化率等于8、当a = 时，极限lim x→01−cos xln (1+x 3)(a −e x )存在且不等于0.9、设，则d 2ydx 2=10、设g (x )=∫sin t 2dx x0，且当x →0时，g (x )与x n 是同阶无穷小，则n = 11、定积分∫√1−x 2dx 10 =12、设函数y =y (x )由方程e x+y −xy =0确定，则dydx = 13、曲线y (x )=x 3+3x 2的拐点是14、由曲线y =√x ,x =1 ,x =2及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积等于15、设y =32x ，则y (n)=三、计算题（本大题共8小题，其中16-19题每小题7分，20-23小题每小题8分，共60分） 16、求极限lim x→0ln (1+x )−xx 2.17、设y (x )=ln(2+cos πx)+x x ，求函数y (x )在x =1处的微分.18、求不定积分∫sin √x dx .19、设f (x )= ，求p (x )=∫f(t)xdt 在[0,π]上的表达式.x =sin t y =cos tcos x ,x ∈[0,π)x ,x ∈[π,π]20、一物体由静止到以速度v (t )=3t√t+1(m/s)作直线运动，其中t 表示运动的时间，求物体运动到8秒时离开出发点的距离。

2019浙江卷数学(解析版)

2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学参考公式：选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}101B =-,,，则U A B =I ð（）A. {}1-B. {}0,1C. {}1,2,3-D. {}1,0,1,3-【答案】A 【解析】【分析】本题借根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.【详解】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-I 【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误2.渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（）A. B. 1C.D. 2【答案】C 【解析】【分析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得1a b ==，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.【详解】因为双曲线的渐近线为0x y ±=，所以==1a b，则c =，双曲线的离心率ce a==【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.3.若实数,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是（）A. 1-B. 1C. 10D. 12【答案】C 【解析】【分析】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数=3+2z x y 经过平面区域的点(2,2)时，=3+2z x y 取最大值max 322210z =⨯+⨯=.【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.4.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（）A. 158B. 162C. 182D. 32【答案】B 【解析】【分析】本题首先根据三视图，还原得到几何体—棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积.常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.【详解】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为264633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭. 【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算. 5.若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0, 0a >b >时，2a b ab +≥，则当4a b +≤时，有24ab a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.6.在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且0)a ≠的图象可能是（） A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当01a <<时，函数xy a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1xy a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.7.设01a <<，则随机变量X 的分布列是：则当a 在()0,1内增大时（） A. ()D X 增大 B. ()D X 减小C. ()D X 先增大后减小D. ()D X 先减小后增大【答案】D 【解析】【分析】研究方差随a 变化增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数a 表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为a 的二次函数，二测函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查. 【详解】方法1：由分布列得1()3aE X +=，则 2222111111211()01333333926a a a D X a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大.方法2：则()222221(1)222213()()03399924a a a a D X E X E X a ⎡⎤+-+⎛⎫=-=++-==-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 故选D.【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.8.设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（）A. ,βγαγ<<B.,βαβγ<<C.,βαγα<< D. ,αβγβ<<【答案】B 【解析】【分析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.【详解】方法1：如图G 为AC 中点，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直AE ，易得//PE VG ，过P 作//PF AC 交VG 于F ，过D 作//DH AC ，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED α=∠β=∠γ=∠，则cos cos PF EG DH BDPB PB PB PBα===<=β，即αβ>，tan tan PD PDED BDγ=>=β，即y >β，综上所述，答案为B.方法2：由最小角定理βα<，记V AB C --的平面角为γ'（显然γ'=γ）由最大角定理β<γ'=γ，故选B.法2：（特殊位置）取V ABC -为正四面体，P 为VA 中点，易得cos sin ,sin sin 6633α=⇒α=β=γ=，故选B. 【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.9.已知,a b R ∈，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（） A. 1,0a b <-< B. 1,0a b <-> C. 1,0a b >-> D. 1,0a b >-<【答案】C 【解析】【分析】当0x <时，()(1)y f x ax b x ax b a x b =--=--=--最多一个零点；当0x …时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．【详解】当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1bx a=-；()y f x ax b =--最多一个零点；当0x …时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-， 2(1)y x a x '=-+，当10a +…，即1a -…时，0y '…，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；当10a +>，即1a <-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点⇔函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点，如右图：∴01b a <-且3211(1)(1)(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩，解得0b <，10a ->，31(1)6b a >-+．故选：C ．【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,a b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底..10.设,a b R ∈，数列{}n a 中，21,n n n a a a a b +==+，N n *∈ ,则（）A. 当101,102b a => B. 当101,104b a => C. 当102,10b a =-> D. 当104,10b a =->【答案】A 【解析】【分析】本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想的考查.本题从确定不动点出发，通过研究选项得解.【详解】选项B：不动点满足221142x x x⎛⎫-+=-=⎪⎝⎭时，如图，若1110,,22na a a⎛⎫=∈<⎪⎝⎭，排除如图，若a不动点12则12na=选项C：不动点满足22192024x x x⎛⎫--=--=⎪⎝⎭，不动点为ax12-，令2a=，则210na=<，排除选项D：不动点满足221174024x x x⎛⎫--=--=⎪⎝⎭，不动点17122x=±，令17122a=±，则171102na=<，排除.选项A：证明：当12b=时，2222132431113117,,12224216a a a a a a=+≥=+≥=+≥≥，处理一：可依次迭代到10a；处理二：当4n≥时，221112n n na a a+=+≥≥，则117117171161616log2log log2nn n na a a-++>⇒>则12117(4)16nna n-+⎛⎫≥≥⎪⎝⎭，则626410217164646311114710161616216a⨯⎛⎫⎛⎫≥=+=++⨯+⋯⋯>++>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a的可能取值，利用“排除法”求解.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11.复数11z i=+（i 为虚数单位），则||z =________.【答案】2【解析】【分析】本题先计算z ，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查.【详解】1|||1|2z i ===+. 【点睛】本题考查了复数模的运算，属于简单题.12.已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆相切于点(2,1)A --，则m =_____，r =______.【答案】 (1). 2m =- (2). r =【解析】【分析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC 的斜率，进一步得到其方程，将(0,)m 代入后求得m ，计算得解.【详解】可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m 代入得2m =-，此时||r AC ===【点睛】：解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.13.在二项式9)x 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.【答案】 (1). (2). 5 【解析】【分析】本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手，根据要求，考察x 的幂指数，使问题得解.【详解】9(2)x +的通项为919(2)(0,1,29)rr r r T C x r -+==L 可得常数项为0919(2)162T C ==，因系数为有理数，1,3,5,7,9r =，有246810T , T , T , T , T 共5个项【点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确.14.在V ABC 中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =____；cos ABD ∠=________.【答案】 (1). 1225 (2). 7210【解析】【分析】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.通过引入CD x =，在BDC ∆、ABD ∆中应用正弦定理，建立方程，进而得解.. 【详解】在ABD ∆中，正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而34,4AB ADB π=∠=,22AC AB BC 5=+=，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以122BD =. 72cos cos()coscos sinsin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ππ∠=∠-∠=∠+∠=【点睛】解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.15.已知椭圆22195x y+=的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是_______.【答案】15【解析】【分析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示考点圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.【详解】方法1：由题意可知||=|2OF OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，设(,)P x y可得22(2)16x y-+=，联立方程22195x y+=可解得321,22x x=-=（舍），点P在椭圆上且在x轴的上方，求得315,2P⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，所以1521512PFk==方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知|2OF|=|OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，即342p pa ex x-=⇒=-求得315,2P ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，所以1521512PF k ==.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.16.已知a R ∈，函数3()f x ax x =-，若存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____. 【答案】max 43a = 【解析】【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究()2(2)()23642f t f t a t t +-=++-入手，令2364[1,)m t t =++∈+∞，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.【详解】使得()()222(2)()2(2)(2))223642f t f t a t t t t a t t +-=•++++-=++-，使得令2364[1,)m t t =++∈+∞，则原不等式转化为存在11,|1|3m am ≥-≤，由折线函数，如图只需113a -≤，即43a ≤，即a 的最大值是43【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.17.已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值是________；最大值是_______.【答案】 (1). 0 (2). 25【解析】【分析】本题主要考查平面向量的应用，题目难度较大.从引入“基向量”入手，简化模的表现形式，利用转化与化归思想将问题逐步简化. 【详解】()()12345613562456AB BC CD DA AC BD AB AD λ+λ+λ+λ+λ+λ=λ-λ+λ-λ+λ-λ+λ+λu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v要使123456AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v的最小，只需要135562460λ-λ+λ-λ=λ-λ+λ+λ=，此时只需要取1234561,1,1,1,1,1λ=λ=-λ=λ=λ=λ= 此时123456min0AB BC CD DA AC BDλ+λ+λ+λ+λ+λ=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v等号成立当且仅当1356,,λ-λλ-λ均非负或者均非正，并且2456,,λ-λλ+λ均非负或者均非正。

2019年数学真题-答案

2019年浙江省单独考试招生文化考试数学试题卷参考答案及评分标准一㊁单项选择题(本大题共20小题,1 10小题每小题2分,11 20小题每小题3分,共50分)1.A2.A3.D4.C5.D6.C7.C8.B9.D 10.D 11.B 12.D 13.A 14.C 15.B 16.A17.A 18.C 19.B 20.B二㊁填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分)21.64 22.s i n θ 23.60x 2y 4 24.27π4 25.> 26.20 27.x 2+y 234=1或y 243+x 2=1三㊁解答题(本大题共8小题,共72分)28.(7分)解:原式=1-3+2ː2-6+5=-2.29.(8分)解:(1)由已知得øA =120ʎ,由正弦定理得23s i n 120ʎ=c s i n 30ʎ,即2332=c 12,c =2.(2)由已知得S әA B N =12S әA B C ,S әA B C =12a c s i n 30ʎ=12ˑ23ˑ2ˑ12=3,S әA B N =32.30.(9分)解:(1)由已知得圆C 的标准方程为(x +1)2+(y -1)2=2.(2)圆心到直线的距离d =|-1+1-1|12+12=22,又因为r =2,所以d <r ,直线和圆相交;设交点为A ㊁B ,则|A B |=2r 2-d 2,|A B |=2(2)2-22æèçöø÷2=6.31.(9分)解:(1)由已知得c o s α=-13,c o s β=-45,c o s (α-β)=c o s αc o s β+s i n αs i n β=415+6215=4+6215.(2)f (x )=-13c o s x -45s i n x =1315s i n (x +φ)s i n φ=-513,c o s φ=-1213().函数f (x )最大值为1315.32.(9分)解:(1)因为焦点为(3,0),所以p =6,故抛物线标准方程为y 2=12x .(2)设M (x 0,y 0),则y 20=12x 0,由已知得x 0>0,x 0+p 2=4,x 0=1,y 0=ʃ23.所以M (1,23)或M (1,-23).33.(10分)解:(1)由已知得S 底=12ˑ4ˑ4ˑs i n 60ʎ=43,取B C 中点G ,联结P G ,则斜高P G =22,S 侧=3ˑ12ˑ4ˑ22=122,所以,S 全=43+122.(2)联结A G ,A G ɘE F =H ,联结DH ,由已知得B C ʅA G ,B C ʅP G B C ʊE F }⇒E F ʅAH ,E F ʅDH ,所以øDHA 是二面角D E F A 的平面角.由已知得P G ʊDH ,故øDHA =øP G A .在әP G A 中,易知P G =22,A G =23,A P =23,由余弦定理得c o s øP G A =(22)2+(23)2-(23)22ˑ22ˑ23=66.所以,c o s øDHA =c o s øP G A =66.34.(10分)解:(1)由已知条件,构造等差数列{a n },满足a 1为第一排座位数,a n =600为最后一排座位数,且公差d =10,根据条件列出方程组:10500=n a 1+n (n -1)2ˑ10600=a 1+(n -1)10{解得a 1=400n =21{或a 1=-390n =100{(舍去).故体育场北区观众席共有21排.(2)由已知得b 1=200,又b n =b n -1+n 2(n =2,3,4,5)所以b 2=204,b 3=213,b 4=229,b 5=254,即第5排有254个座位.35.(10分)解:(1)50+5x =60,x =2,600-30ˑ2=540张,票价为60元时,实际售出540张电影票.(2)由已知得R =(50+5x )(600-30x )=-150x 2+1500x +3ˑ104.由600-30x ȡ0且x ȡ0,x ɪN ,得0ɤx ɤ20,x ɪN ,函数关系式为R =-150x 2+1500x +3ˑ104(0ɤx ɤ20,x ɪN ).(3)建立利润函数L =-150x 2+1500x +3ˑ104-600(20-x )=-150x 2+2100x +18000(0ɤx ɤ20,x ɪN ).易知当x =-b 2a =7,即票价为85元时利润最大.。

2019年4月浙江省普通高校招生学考科目考试数学试题

绝密★考试结束前2019年4月浙江省普通高校招生学考科目考试数学试题姓名：准考证号：考生注意：l.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。

2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

3.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。

一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选，多选，错选均不给分.）1.函数3y=log x-2（）的定义域为（） A.{}2x x > B.{}0x x > C.{}2x x < D.R2.直线y -26x =+的斜率为（） A.2 B.-2 C.12 D.1-23.下列点中，在不等式3260x y +->表示的平面区域内的是（）A.(0,0)B.(1,0)C.(1,1)D.(1,2)4.设{}n a 为等差数列，若232,3a a ==，则5a =（）A.4B.5C.6D.75.若α为锐角，4sin5α=，则cos α=（） A.1-5 B.15 C.3-5 D.356.椭圆2212x y +=右焦点的坐标为（） A.(1,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(2,0)7.已知函数3()-f x x =,则（）A.()f x 是偶函数，且在(-+)∞∞，上是增函数 B.()f x 是偶函数，且在(-+)∞∞，上是减函数 C.()f x 是奇函数，且在(-+)∞∞，上是增函数 D.()f x 是奇函数，且在(-+)∞∞，上是减函数 8.在四棱锥P -ABCD 中，PD 丄底面ABCD ，且PD=DB.若M 为线段PB 的中点，则直线DM 与平面ABCD 所成的角为（）A.30°B.45°C.60°D.90°9.若向量a =(x,4)与b =(2,1)垂直，则实数x 的值为（）A.2B.-2C.8D.-810.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若a = l ，A = 30°，B =45°，则b 的值为（）A.2 B.36 11.已知,m n 是空间两条直线，α是一个平面，则“,m n αα⊥⊥”是“m //n ”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件12.若双曲线2222x 1a by -=(a>0,b>0)的渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率为（）A.2B.1C.2D.2 13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A.43π B.2π C.83π D.103π 14.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=111,)(2x x x x x f ，，若()f x =4，则x 的值为（） A.2或-2 B.2或3 C.3 D.515.设}{n a 为等比数列，给出四个数列：①}2{n a ；②}{2n a ；③}2{n a ；④}{log 2n a ，其中一定为等比数列的是（）A.①②B.①③C.②③D.②④16.函数()f x =2(3)ax b -的图象如图所示，则（）A.0>a 且1>bB.0>a 且10<<bC.0<a 且1>bD.0<a 且10<<b17.已知a,b,c,d 是四个互不相等的正实数，满足a+b>c+d, 且|a-b|<|c-d|，则下列选项正确的是（）A.2222d c b a +>+B.2222d c b a -<-C.d c b a +<+D.d c b a -<-18.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，空间一动点P 满足A 1P 丄AB 1，且∠APB 1=∠ADB 1，则点P 的轨迹为（）A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）19.已知集合A={1,2}，集合B={2,3}，则A ∩B = ；A ∪B = .20.已知实数x ，y 满足x 2+4y 2=2,则xy 的最大值为 .21.已知A ，B 为圆C 上两点，若AB=2,则AC AB ⋅的值为 .22.正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足*()2n n na n S n N a =+∈.若对于任意的N n *∈，都有n a k >成立，则整数k 的最大值为 .三、解答题（本大题共3小题，共31分.）23.(本题10分) 已知函数π()2sin sin()2f x x x =+x R ∈（）.（I ）求(0)f 的值；（II ）求()f x 的最小正周期；（III ）若()(0)2y f xπϕϕ=+<<为偶函数，求ϕ的值.24.(本题10分) 如图，不垂直于坐标轴的直线l 与抛物线22(0)y px p =>有且只有一个公共点M . （I ）当M 的坐标为（2,2）时，求p 的值及直线l 的方程；（II ）若直线l 与圆x 2+y 2=1相切于点N ，求|MN|的最小值.25.(本题11分) 如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”.已知函数()f x =x|ax 2+bx+a+1≥0,且x ≥0｝.（I ）若a=-1,b=2,求()f x 的定义域；（Ⅱ）当a=1时，若()f x 为“同域函数”，求实数b 的值；（Ⅲ）若存在实数a<0且a ≠-1,使得()f x 为“同域函数”，求实数b 的取值范围.参考答案一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选，多选，错选均不给分.）19.{2}，{1，2，3} 20.2121.2 22.1三、解答题（本大题共3小题，共31分.）23.(本题10分) 解：（I ）0)0(=f ；（II ）x x x x x x f 2sin cos sin 2)2sin(sin 2)(==+=π，所以，)(x f 的最小正周期为π（III ）因为)22sin((ϕϕ+=+=x x f y 为偶函数所以，对于任意R x ∈，都有)22sin()22sin(ϕϕ+=+-x x即ϕϕϕϕ2sin 2cos 2cos 2sin 2sin 2cos 2cos 2sin x x x x +=+-即02cos 2sin =ϕx所以，02cos =ϕ，因为20πϕ<<，所以4πϕ=24.(本题10分)解：（I ）点M （2，2）在抛物线px y 22=上，故有p 422=所以1=p ，从而抛物线方程为x y 22=设直线l 的方程为2)2(+-=y m x ，代入x y 22=，得04422=-+-m my y由l 与抛物线相切可知，0)44(442=--=∆m m ，解得2=m所以，直线l 的方程为2)2(2+-=y x ，即121+=x y （II ）设直线l 的方程为)0(≠+=m t my x ，代入x y 22=，得0222=--pt pmy y 由直线l 与抛物线相切可知，08422=+=∆pt m p 所以22pm t -=① 又因为直线l 与圆122=+y x 相切，所以112=+m t即221m t +=② 将①代入②式，得24214m m p +=，所以422)1(4m m p += 设M 的坐标为),(00y x ，则pm y =0，从而2200pm t my x =+= 所以，8441)1(411412222222422020222≥++=-+++=-+=-+=-=m m m m m m p m p y x ON OM MN 因此，当2=m 时，MN 有最小值，最小值为2225.(本题11分) 解：（I ）当2,1=-=b a 时，由题意，知⎩⎨⎧≥≥+-0022x x x ，得20≤≤x所以)(x f 的定义域为]2,0[（II ）当1=a 时，)0(2)(2≥++=x bx x x f （i ）当02≤-b ，即0≥b 时，)(x f 的定义域为),0[+∞，值域为),2[+∞ 所以，0≥b 时，)(x f 不是“同域函数”（ii ）当02>-b ，即0<b 时，当且仅当082=-=∆b 时，)(x f 为“同域函数” 所以，22-=b（III ）设)(x f 的定义域为A ,)(x f 的值域为B（i ）当1-<a 时，01<+a ，此时B A ∈∉0,0，从而B A ≠，所以)(x f 不是“同域函数”（ii ）当01<<-a 时，01>+a ，设aa ab b x 2)1(420+---=，则)(x f 的定义域],0[0x A = ①当02≤-ab ，即0≤b 时，)(x f 的值域]1,0[+=a B 若)(x f 为“同域函数”，则10+=a x ，从而3)1(+-=a b又因为01<<-a ，所以，b 的取值范围为)0,1(- ②当02>-a b ，即0>b 时，)(x f 的值域]4)1(4,0[2ab a a B -+= 若)(x f 为“同域函数”，则ab a a x 4)1(420-+=，从而)1()1(42--+-=a a a b b （*）此时，由0,01><--b a 可知，（*）式不成立综上所述，b 的取值范围为)0,1(-。

2019年浙江省普通高校招生统一考试数学试卷答案

2019年浙江省普通高校招生统一考试数学解析一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。

每小题4分，满分40分。

1．A 2．C 3．C 4．B 5．A 6．D 7．D 8．B 9．C 10．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。

多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

11．2 12．2,5- 13．1625， 14．12272，15．4316．15 17．025，解析：一、选择题 1．因为{1,3}UA -=，所以(){1}UA B -=.故,正确答案是A.2．渐近线是0x y ±=的双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠，若0λ>，则双曲线的标准方程是：221x y λλ-=，则，22a b λ==，那么，222c a b λ=+=，因此，双曲线的离心率2ce a==，若0λ<，则双曲线的标准方程是：221y x λλ-=--，则，22a b λ==-，那么，222c a b λ=+=-，因此，双曲线的离心率2ce a==. 故，正确答案是C.3．首先由约束条件340,340,0,+x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩确定平面区域（如图），再确定各端点的坐标(1,1)A -，(1,1)B -，(2,2)C .显然当目标函数过点(2,2)C 时最大，最大值是10.故，正确答案是C.4．由三视图可得柱体的形状特点是直五棱柱，根据祖暅原理，只需求出柱体的底面积和柱体的高，由三视图可得，直五棱柱底面积是27cm 2，高是6cm ，因此体积是162cm 3. 故，正确答案是B. 5．由基本不等式2a b ab +≥知，4a b +≤可得4ab ≤，反之不正确.（第3题图）故，正确答案是A. 6．函数1x y a =过定点(0,1)，函数1log ()2a y x =+过定点1(,0)2，那么选项A,C 不正确.当01a <<时，函数1x y a =单调递增，函数1log ()2a y x =+单调递减.故，正确答案是D.7．由已知分布列及期望的定义可知：期望1()(1)3E X a =+，221()(1)3E X a =+ 那么，方差22()()()D X E X E X =-2211(1)(1)39a a =+-+211()926a =-+.在1(0,)2上()D X 单调递减，在1(,1)2上()D X 单调递增.故，正确答案是D.8．过点P 作PO ⊥底面ABC ，过O 作OE AB ⊥，连接,PE OB . PBO ∠是直线PB 与平面ABC 所成的角，则PBO β∠=PEO ∠是二面角P AB C --所成的平面角，由已知条件知，二面角P AC B --所成的平面角等于二面角P AB C --所成的平面角，则PEO γ∠=.在Rt POB 中，tan PO OB β=，在Rt POE 中tan POOEγ=, 在Rt OEB 中，OE OB <，那么tan tan PO POOE OBγβ=>=,即tan tan βγ<，而函数tan y x =在(0,)2π单调递增，所以βγ<.过点B 作AC 的平行线BF ，过O 作BF 的垂线，垂足为F ，连接OF .PBF ∠就是直线PB 与直线AC 所成的角，则PBF α∠=.在Rt PBF 中，cos FB PB α=，在Rt PBO 中，cos OBPBβ=，在Rt PBF 中，FB OB <，那么cos cos OB FBPB PBβα=>=，即cos cos βα>,而函数cos y x =在(0,)2π单调递减，所以βα<.因此，正确答案是B.9．研究函数()y f x ax b =--的零点，就是研究()()g x f x ax =-和()h x b =交点的个数.从分段函数的结构来分析，当0x <时，函数()(1)g x a x =-的图像与()h x b =的图像A（第8题图2）至多一个零点，所以关键是研究0x ≥时的情况.函数3211()(1)32g x x a x =-+有两个零点1230,(1)2x x a ==+. 又因为，2()(1)((1))g x x a x x x a '=-+=-+，所以函数3211()(1)32g x x a x =-+有两个极值点340,1x x a ==+，它的图形可能的情况有两种（如图1）.当10a +≤时，3211()(1)32g x x a x =-+在区间(0,)+∞上单调递增，和()h x b =至多一个交点，不合题意.当10a +>时，函数3211()(1)32g x x a x =-+在(0,1)a +单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增.因此，3211(1)(1)032a a b +-+<<，即31(1)06a b -+<<. 而此时，若012a <-<，那么，在0x <时，()(1)g x a x =-和()h x b =必有一个交点.那么，当11a -<<且31(1)06a b -+<<时，函数()y f x ax b =--恰有3个零点.因此，正确答案是C.10．本题的特点是，数列给出了递推关系，但没有给出首项的值，所以问题要求对所有的首项结论恒成立。

2019年普通高等学校招生全国统一考试数学(浙江卷)

绝密 ★ 启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试数学(浙江卷)选择题部分(共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2019浙江,1)已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},则(∁U A )∩B=( )A.{-1}B.{0,1}C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3}U A={-1,3},则(∁U A )∩B={-1}.2.(2019浙江,2)渐近线方程为x ±y=0的双曲线的离心率是( )A.√22B.1C.√2D.2x ±y=0,所以a=b=1.所以c=√a 2+b 2=√2,双曲线的率心率e=ca =√2.3.(2019浙江,3)若实数x ,y 满足约束条件{x -3y +4≥0,3x -y -4≤0,x +y ≥0,则z=3x+2y 的最大值是( )A.-1B.1C.10D.12(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角形区域(包含边界),由图易得当直线z=3x+2y 经过平面区域内的点(2,2)时,z=3x+2y 取得最大值z max =3×2+2×2=10.4.(2019浙江,4)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家,他提出的“幂势既同,则积不容异”称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体=Sh ,其中S 是柱体的底面积,h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位:cm),则该柱体的体积(单位:cm 3)是( )A.158B.162C.182D.324解析由三视图得该棱柱的高为6,底面五边形可以看作是由两个直角梯形组合而成,其中一个上底为4,下底为6,高为3,另一个的上底为2,下底为6,高为3,则该棱柱的体积为2+62×3+4+62×3×6=162.5.(2019浙江,5)设a>0,b>0,则“a+b ≤4”是“ab ≤4”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件a>0,b>0时,a+b ≥2√ab ,若a+b ≤4,则2√ab ≤a+b ≤4,所以ab ≤4,充分性成立;当a=1,b=4时,满足ab ≤4,但此时a+b=5>4,必要性不成立.综上所述,“a+b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件.6.(2019浙江,6)在同一直角坐标系中,函数y=1a x ,y=log a x+12(a>0,且a≠1)的图象可能是()解析当0<a<1时,函数y=a x的图象过定点(0,1)且单调递减,则函数y=1a x的图象过定点(0,1)且单调递增,函数y=log a x+12的图象过定点12,0且单调递减,D选项符合;当a>1时,函数y=a x的图象过定点(0,1)且单调递增,则函数y=1a x 的图象过定点(0,1)且单调递减,函数y=log a x+12的图象过定点12,0且单调递增,各选项均不符合.故选D.7.(2019浙江,7)设0<a<1.随机变量X的分布列是则当a在(0,1)内增大时,()A.D(X)增大B.D(X)减小C.D(X)先增大后减小D.D(X)先减小后增大解析由分布列得E(X)=1+a3,则D(X)=1+a3-02×13+1+a3-a2×13+1+a3-12×13=29a-122+16,所以当a在(0,1)内增大时,D(X)先减小后增大.8.(2019浙江,8)设三棱锥V-ABC的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱VA上的点(不含端点).记直线PB与直线AC所成的角为α,直线PB与平面ABC所成的角为β,二面角P-AC-B的平面角为γ,则()A.β<γ,α<γB.β<α,β<γC.β<α,γ<αD.α<β,γ<βG 为AC 中点,点V 在底面ABC 上的投影为点O ,则点P 在底面ABC 上的投影点D 在线段AO 上,过点D 作DE 垂直AE ,易得PE ∥VG ,过点P 作PF ∥AC 交VG 于点F ,过点D 作DH ∥AC ,交BG 于点H ,则α=∠BPF ,β=∠PBD ,γ=∠PED ,所以cos α=PFPB =EGPB =DHPB <BDPB =cos β,所以α>β,因为tan γ=PDED >PDBD=tan β,所以γ>β.故选B .9.(2019浙江,9)设a ,b ∈R ,函数f (x )={x ,x <0,13x 3-12(a +1)x 2+ax ,x ≥0.若函数y=f (x )-ax-b 恰有3个零点,则( ) A.a<-1,b<0 B.a<-1,b>0 C.a>-1,b<0D.a>-1,b>0解析当x<0时,由x=ax+b ,得x=b1-a,最多一个零点取决于x=b 1-a 与0的大小,所以关键研究当x ≥0时,方程13x 3-12(a+1)x 2+ax=ax+b 的解的个数,令b=13x 3-12(a+1)x 2=13x 2x-32(a+1)=g (x ).画出三次函数g (x )的图象如图所示,可以发现分类讨论的依据是32(a+1)与0的大小关系.①若32(a+1)<0,即a<-1时,x=0处为偶重零点反弹,x=32(a+1)为奇重零点穿过,显然在x ≥0时g (x )单调递增,故与y=b 最多只能有一个交点,不符合题意.②若32(a+1)=0,即a=-1,0处为3次零点穿过,也不符合题意.③若32(a+1)>0,即a>-1时,x=0处为偶重零点反弹,x=32(a+1)为奇重零点穿过,当b<0时g (x )与y=b 可以有两个交点,且此时要求x=b1-a <0,故-1<a<1,b<0,选C .10.(2019浙江,10)设a ,b ∈R ,数列{a n }满足a 1=a ,a n+1=a n 2+b ,n ∈N *,则( )A.当b=12时,a 10>10 B.当b=14时,a 10>10C.当b=-2时,a 10>10D.当b=-4时,a 10>10解析当b=12时,a 2=a 12+12≥12,a 3=a 22+12≥34,a 4=a 32+12≥1716≥1,当n ≥4时,a n+1=a n 2+12≥a n 2≥1,则lo g 1716a n+1>2lo g 1716a n ⇒lo g 1716a n+1>2n-1,则a n+1≥1716 2n -1(n ≥4),则a 10≥1716 26=1+11664=1+6416+64×632×1162+…>1+4+7>10,故选A .非选择题部分(共110分)二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.11.(2019浙江,11)复数z=11+i (i 为虚数单位),则|z|= .|z|=1|1+i |=√2=√22.12.(2019浙江,12)已知圆C 的圆心坐标是(0,m ),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C 相切于点A (-2,-1),则m= ,r= .k AC =-12⇒AC :y+1=-12(x+2),把(0,m )代入得m=-2,此时r=|AC|=√4+1=√5.2 √513.(2019浙江,13)在二项式(√2+x )9的展开式中,常数项是 ,系数为有理数的项的个数是 .√2+x )9的通项为T r+1=C 9r(√2)9-r x r (r=0,1,2,…,9),可得常数项为T 1=C 90(√2)9=16√2.因为系数为有理数,所以r=1,3,5,7,9,即T 2,T 4,T 6,T 8,T 10的系数为有理数,共5个.√2 514.(2019浙江,14)在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D 在线段AC 上.若∠BDC=45°,则BD= ,cos ∠ABD= .,设CD=x ,∠DBC=α,则AD=5-x ,∠ABD=π2-α,在△BDC 中,由正弦定理得3sin π4=x sinα=3√2⇒sin α=3√2.在△ABD 中,由正弦定理得5-x sin(π2-α)=4sin3π4=4√2⇒cos α=4√2.由sin 2α+cos 2α=x218+(5-x )232=1,解得x 1=-35(舍去),x 2=215⇒BD=12√25.在△ABD 中,由正弦定理得0.8sin∠ABD =4sin(π-π4)⇒sin ∠ABD=√210⇒cos ∠ABD=7√210.7√21015.(2019浙江,15)已知椭圆x 29+y 25=1的左焦点为F ,点P 在椭圆上且在x 轴的上方.若线段PF 的中点在以原点O 为圆心,|OF|为半径的圆上,则直线PF 的斜率是 .,设PF 的中点为M ,椭圆的右焦点为F 1.由题意可知|OF|=|OM|=c=2,由中位线定理可得|PF 1|=2|OM|=4,设P (x ,y )可得(x-2)2+y 2=16,与椭圆方程x 29+y 25=1联立,解得x=-32,x=212(舍),因为点P在椭圆上且在x 轴的上方,所以P-32,√152,所以k PF =√15212=√15.√1516.(2019浙江,16)已知a ∈R ,函数f (x )=ax 3-x.若存在t ∈R ,使得|f (t+2)-f (t )|≤23,则实数a 的最大值是 .解析由题意知,|f (t+2)-f (t )|=|a (6t 2+12t+8)-2|≤23有解,即-23≤a (6t 2+12t+8)-2≤23有解,所以43(6t 2+12t+8)≤a ≤83(6t 2+12t+8)有解,因为6t 2+12t+8∈[2,+∞),所以43(6t 2+12t+8)∈0,23,83(6t 2+12t+8)∈0,43,所以只需要0<a ≤43,即a max =43.17.(2019浙江,17)已知正方形ABCD 的边长为1.当每个λi (i=1,2,3,4,5,6)取遍±1时,|λ1AB⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值是 ,最大值是 .基向量处理)λ1AB⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ1-λ3+λ5-λ6)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ2-λ4+λ5+λ6)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,要使|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小,只需要|λ1-λ3+λ5-λ6|=|λ2-λ4+λ5+λ6|=0,此时只需要取λ1=1,λ2=-1,λ3=1,λ4=1,λ5=1,λ6=1,此时|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |min =0,由于λ5AC⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =±2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 或±2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,取其中的一种λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 讨论(其他三种类同),此时λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ1-λ3+2)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ2-λ4)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,要使|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大,只需要使|λ1-λ3+2|,|λ2-λ4|最大,取λ1=1,λ2=1,λ3=-1,λ4=-1,此时|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√5,综合几种情况可得|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |max =2√5.2√5三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(本题满分14分)(2019浙江,18)设函数f (x )=sin x ,x ∈R .(1)已知θ∈[0,2π),函数f (x+θ)是偶函数,求θ的值;(2)求函数y=f x+π122+f x+π42的值域.因为f (x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以,对任意实数x 都有sin(x+θ)=sin(-x+θ),即sin x cos θ+cos x sin θ=-sin x cos θ+cos x sin θ, 故2sin x cos θ=0, 所以cos θ=0.又θ∈[0,2π),因此θ=π2或3π2. (2)y=f x+π122+f x+π42=sin 2x+π12+sin 2x+π4=1-cos(2x+π6)2+1-cos(2x+π2)2=1-12√32cos 2x-32sin 2x =1-√32cos 2x+π3.因此,函数的值域是1-√32,1+√32.,同时考查运算求解能力. 19.(本题满分15分)(2019浙江,19)如图,已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1,平面A 1ACC 1⊥平面ABC ,∠ABC=90°,∠BAC=30°,A 1A=A 1C=AC ,E ,F 分别是AC ,A 1B 1的中点. (1)证明:EF ⊥BC ;(2)求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.:(1)连接A 1E ,因为A 1A=A 1C ,E 是AC 的中点, 所以A 1E ⊥AC.又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ,A 1E ⊂平面A 1ACC 1,平面A1ACC1∩平面ABC=AC,所以,A1E⊥平面ABC,则A1E⊥BC.又因为A1F∥AB,∠ABC=90°,故BC⊥A1F.所以BC⊥平面A1EF.因此EF⊥BC.(2)取BC中点G,连接EG,GF,则EGFA1是平行四边形.由于A1E⊥平面ABC,故A1E⊥EG,所以平行四边形EGFA1为矩形.由(1)得BC⊥平面EGFA1,则平面A1BC⊥平面EGFA1,所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上.连接A1G交EF于O,则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角(或其补角).不妨设AC=4,则在Rt△A1EG中,A1E=2√3,EG=√3.由于O为A1G的中点,故EO=OG=A1G2=√152,所以cos∠EOG=EO 2+OG2-EG22EO·OG=35.因此,直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是35.方法二:(1)连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中点,所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC,A1E⊂平面A1ACC1,平面A1ACC1∩平面ABC=AC,所以,A 1E ⊥平面ABC.如图,以点E 为原点,分别以射线EC ,EA 1为y ,z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系E-xyz.不妨设AC=4,则A 1(0,0,2√3),B (√3,1,0),B 1(√3,3,2√3),F √32,32,2√3,C (0,2,0).因此,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =√32,32,2√3,BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1,0). 由EF⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0得EF ⊥BC. (2)设直线EF 与平面A 1BC 所成角为θ.由(1)可得BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1,0),A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0.2,-2√3).设平面A 1BC 的法向量为n =(x ,y ,z ).由{BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,得{-√3x +y =0,y -√3z =0. 取n =(1,√3,1),故sin θ=|cos <EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n >|=|EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·n ||EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|n |=45. 因此,直线EF 与平面A 1BC 所成的角的余弦值为35.,直线与平面所成的角等基础知识,同时考查空间想象能力和运算求解能力.20.(本题满分15分)(2019浙江,20)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=4,a 4=S 3.数列{b n }满足:对每个n ∈N *,S n +b n ,S n+1+b n ,S n+2+b n 成等比数列.(1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)记c n =√an 2b n ,n ∈N *,证明:c 1+c 2+…+c n <2√n ,n ∈N *.设数列{a n }的公差为d ,由题意得a 1+2d=4,a 1+3d=3a 1+3d ,解得a 1=0,d=2.从而a n =2n-2,n ∈N *.所以S n =n 2-n ,n ∈N *.由S n +b n ,S n+1+b n ,S n+2+b n 成等比数列得(S n+1+b n )2=(S n +b n )(S n+2+b n ).解得b n =1d(S n+12-S n S n+2). 所以b n =n 2+n ,n ∈N *.(2)c n =√a n2b n =√2n -22n (n+1)=√n -1n (n+1),n ∈N *. 我们用数学归纳法证明.①当n=1时,c 1=0<2,不等式成立;②假设n=k (k ∈N *)时不等式成立,即c 1+c 2+…+c k <2√k .那么,当n=k+1时,c 1+c 2+…+c k +c k+1<2√k +√k (k+1)(k+2)<2√k +√1k+1<2√k +√k+1+√k =2√k +2(√k +1−√k )=2√k +1,即当n=k+1时不等式也成立.根据①和②,不等式c 1+c 2+…+c n <2√n 对任意n ∈N *成立.,同时考查运算求解能力和综合应用能力.21.(本题满分15分)(2019浙江,21)如图,已知点F (1,0)为抛物线y 2=2px (p>0)的焦点.过点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,点C 在抛物线上,使得△ABC 的重心G 在x 轴上,直线AC 交x 轴于点Q ,且Q 在点F 的右侧.记△AFG ,△CQG 的面积分别为S 1,S 2.(1)求p 的值及抛物线的准线方程;(2)求S1S 2的最小值及此时点G 的坐标.由题意得p 2=1,即p=2.所以,抛物线的准线方程为x=-1.(2)设A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),C (x C ,y C ),重心G (x G ,y G ).令y A =2t ,t ≠0,则x A =t 2.由于直线AB 过F ,故直线AB 方程为x=t 2-12t y+1,代入y 2=4x ,得y 2-2(t 2-1)t y-4=0, 故2ty B =-4,即y B =-2t ,所以B 1t 2,-2t . 又由于x G =13(x A +x B +x C ),y G =13(y A +y B +y C )及重心G 在x 轴上,故2t-2t +y C =0,得C 1t -t 2,21t -t ,G 2t 4-2t 2+23t 2,0.所以,直线AC 方程为y-2t=2t (x-t 2),得Q (t 2-1,0).由于Q 在焦点F 的右侧,故t 2>2.从而S 1S 2=12|FG |·|y A |12|QG |·|y C | =|2t 4-2t 2+23t 2-1|·|2t ||t 2-1-2t 4-2t 2+23t 2|·|2t -2t | =2t 4-t 2t 4-1=2-t 2-2t 4-1. 令m=t 2-2,则m>0,S 1S 2=2-m m 2+4m+3=2-1m+3m+4≥2-2√m ·3m +4=1+√32. 当m=√3时,S 1S 2取得最小值1+√32,此时G (2,0).,直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力.22.(本题满分15分)(2019浙江,22)已知实数a ≠0,设函数f (x )=a ln x+√1+x ,x>0.(1)当a=-34时,求函数f (x )的单调区间;(2)对任意x ∈1e 2,+∞均有f (x )≤√x2a ,求a 的取值范围. 注:e =2.718 28…为自然对数的底数.当a=-34时,f (x )=-34ln x+√1+x ,x>0.f'(x )=-34x +2√1+x=√1+x -√1+x+14x √1+x, 所以,函数f (x )的单调递减区间为(0,3),单调递增区间为(3,+∞).(2)由f (1)≤12a ,得0<a ≤√24. 当0<a ≤√24时,f (x )≤√x 2a 等价于√x a 2−2√1+x a -2ln x ≥0. 令t=1a ,则t ≥2√2.设g (t )=t 2√x -2t √1+x -2ln x ,t ≥2√2,则g (t )=√x t-√1+1x2-1+x √x -2ln x.①当x ∈17,+∞时,√1+1x ≤2√2,则 g (t )≥g (2√2)=8√x -4√2√1+x -2ln x.记p (x )=4√x -2√2√1+x -ln x ,x ≥17,则 p'(x )=√x √2√x+1−1x =√x √x+1-√2x √x+1x √x+1 =(x -1)[1+√x (√2x+2-1)]x √x+1(√x+1)(√x+1+√2x ). 故17,1 1- 0) p 17 单调递减所以,p (x )≥(1)=0.因此,g (t )≥g (2√2)=2p (x )≥0.②当x ∈1e 2,17时,g (t )≥g √1+1x =-2√xlnx -(x+1)2√x. 令q (x )=2√x ln x+(x+1),x ∈1e 2,17,则q'(x )=√x +1>0,故q(x)在1e2,17上单调递增,所以q(x)≤q17.由①得,q17=-2√77p17<-2√77p(1)=0.所以,q(x)<0.因此,g(t)≥g√1+1x =-q(x)2√x>0.由①②知对任意x∈1e2,+∞,t∈[2√2,+∞),g(t)≥0,即对任意x∈1e2,+∞,均有f(x)≤√x2a.综上所述,所求a的取值范围是0,√24.,导数的运算及其应用,同时考查逻辑思维能力和综合应用能力.。

2019年浙江省单独考试招生文化考试数学(含答案)

解：原式=1－3+2÷2－6+5
=－2．
29．(8分)
解：(1)由已知得∠A=120°，
由正弦定理得 = ，即，
C=2．
(2)由已知得S△ABN= S△ABC，
S△ABC= acsin30°=1×2 ×2× = ，
S△ABN= ．
30．(9分)
解：(1)由已知得圆C的标准方程为(x+1)2+(y－1)2=2
11．圆的一般方程为，则其圆心和半径分别为
A． B．
C． D．
12．已知100张奖券共有2张一等奖、5张二等奖、10张三等奖，现从中任取一张，中奖概率是
A． B．
C． D．
13．、、为实数，则下列各选项中正确的是
A． B．
C． D．
14．的值为
A． B．
C． D．
15．双曲线的实轴长为10，焦距为26，则双曲线的渐近线方程为
（1）求正三棱锥的全面积；（4分）
（2）线段、、的中点分别为、、，求二面角的余弦值．（6分）
34．（本题满分10分）体育场北区观众席共有10500个座位．观众席座位编排方式如图所示，由内而外依次记为第1排、第2排、……．从第2排起，每一排比它前一排多10个座位，且最后一排有600个座位．
31．（本题满分9分）已知、为第二象限角，且满足，求：
（1）；（5分）
（2）函数的最大值．（4分）
32．（本题满分9分）已知抛物线的顶点在原点，焦点坐标为．
（1）求抛物线的标准方程；（3分）
（2）若抛物线上点到焦点的距离为4，求点的坐标．（6分）
33．（本题满分10分）如图，正三棱锥的侧棱长为，底面边长为．

2019年浙江省高职单招单考温州市第一次模拟考试《数学》试卷

2019年浙江省高职单招单考温州市第一次模拟考试《数学》试题卷本试卷共三大题．全卷共 4 页．满分150 分，考试时间120 分钟．注意事项：1．所有试题均需在答题卷上作答，未在规定区域内答题，每错一个区域扣卷面总分 1 分，在试题卷和草稿纸上作答无效．2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卷上．3．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题卷上．4．在答题卷上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．一、单项选择题（本大题共20 小题，1-10 小题每题 2 分，11-20 小题每题 3 分，共50 分）1．平面直角坐标系中，x轴上的点构成的集合是（▲）A．{( x, y) | y 0} B．{( x, y) | x = 0} C．{( x, y) | xy 0} D．{ y | y 0}2．下列结论正确的是（▲）A．若a b ，则a2 > b2 B．若ac2 bc2 ，则a bC．若a b ，则1a1bD．若a b，c d ，则acbd3．“x 3”是“| x |< 2 ”的（▲）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．函数y log2 x x 1 的定义域为（▲）A．{ x | x 1}B．{ x | x 1}C．{ x | x 1}D．{ x | x 1} 5．如果函数 f (x) 在R 上单调递减，且f (2a 4) f (4 2a) ，则a的取值范围是（▲）A．,0 B．2, C．0, D．,2 6．数列{a n} 中，a1 2 ，a n 1 2a n 1(n∈N*) ，则该数列的第六项是（▲）A．33 B．64 C．65 D．1297．sin 2的值一定是（▲）A．正数B．负数C． 1 D．08．角的终边在函数y 2x(x 0) 图象上，则cos 的值是（▲）A．33B．33C．55D．559．直线3x 3y 1 0的倾斜角大小为（▲）A．30 B．60 C．120 D．150《数学》试题卷第1 页共4 页***。

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