矩阵及其运算上课讲义

§2.2 矩阵的运算
三、矩阵的线性运算
矩阵的加法和数乘称为矩阵的线性运算。
四、矩阵的乘法
1、定义 设A=[ail]m×k ,B=[blj]k×n ,设其乘法矩阵 AB用C=[cij]m×n 表示如下：
cij ai1b1 j ai 2b2 j aik bkj
k
ail blj
l 1
i {1,2, , m}, j {1,2, , n}
直接不可达
0 1 1 1
A
1
0
0 1
0 0
0
0
1 0 1 0
§2.1 矩阵的概念
【练习】 设小明家第一季度水、电、物业和煤气费用如下表 所示。请把该表格用矩阵等价的表示；如果用矩阵表示第 一季度每个月费用总额如何表示？如果用矩阵表示第一季 度水费、电费、物业费和煤气费总额如何表示？
一月 二月 三月
b11 b12
(bij ) 4 2
b
21
b
31
b 22
b32
b 41 b 42
其中bi1表示第i种商品的单价， bi2表示第i种商品的重量。
§2.1 矩阵的概念
【例如】四个城市间的直接单向可达航线如图2.1所示。若城 市之间的单向航线定义为：
1 第i个城市和j个 第城市直接可达
aij 0
a2 2 am2
a1n a2n amn
例如
2 3 1 2
A
3
2
0
6
2 2 4 5
2 3 2
AT
§2.2 矩阵的运算
二、矩阵的数乘 1、定义 设A=[aij]m×n ，k为数，数k与矩阵A的乘积定义为：
kA= [kaij]m×n ，或者记为Ak。 【例如】设k=5矩阵A如下所示，则5A=？
2 3 A 1 4
2、矩阵数乘的运算性质 (1) 1A=A (2) (ku)A=k(uA) (3) (k+u)A=kA+Ua (4) k(A+B)=ka+kB
7、矩阵相等
8、对称矩阵：aij= aji元素以主对角线为对称轴对应相等。 9、负矩阵（-A）
§2.1 矩阵的概念
【例如】设有矩阵相等如下，求x,y,z。
x 1 8 3 1 z 0 y 40 2 4
【例如】设矩阵A如下，求其负矩阵-A。
2 1 3
A
2
1
6
4 5 0
2 1 3 A 2 1 6
水费 20元 22元 25元
电费 150元 100元 80元
物业费 200元 200元 200元
煤气费 10元 15元 10元
§2.1 矩阵的概念
三、特殊矩阵
1、方阵
2、零矩阵（0）
3、行矩阵
4、列矩阵
a11 0 0 0
5、对[a角ij方]n阵n（对角阵00 ）
a22 0
0 a33
0
0
6、单位矩阵（I）:主0对角线0元素全0为1的a对4角4阵。
§2.1 矩阵的概念
二、矩阵的定义 1、矩阵的定义 由m×n个数排成的m行n列的矩阵表示为：
a11
[aij ]mn
a21
am1
a12 a22
am2
a1n
a2n
amn
其 i 中 { 1 ,2 , ,m }j ,{ 1 ,2 , ,n }
矩阵一般都是用大写黑体字母A,B, …等表示，为指明矩阵的 行列信息，通常带下标，如：Am×n 或[aij]m×n
矩阵及其运算
§2 矩阵及其应用
一、学习矩阵的目的 矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等
应用数学学科中。计算机科学中，三维动画制作也需 要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。 将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用 上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩 阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算 算法。
1 2 0
B
4
3
2
1 3 3
§2.2 矩阵的运算
【练习】设某厂家向3个商店分别销售了4种产品，如矩阵
(aij)3×4所示，每种商品的价钱和重量如矩阵(bij)4×2所示。试 用矩阵运算求某厂家对每个商店销售商品的总价钱和总重量
。
30 20 50 20
[aij ]34
0
7
10
0
50 40 50 50
【练习】A+(-A)=?
【考虑】矩阵的减法
§2.2 矩阵的运算
2、矩阵加法运算性质 设矩阵ABC都是m×n同类型矩阵，则： (1)A+B=B+A (2)A+(B+C)=(A+B)+C (3)A+O=A (4)A+(-A)=0 【练习】验证结合律。
2 3 3 2 0 4 A 14 ,B 3 2 ,C 56
2 4 1 A1 0 3,
2
B0, C4 3
2
§2.2 矩阵的运算
五、矩阵转置 1、定义把矩阵A=[aij]m×n的行列互换得到一个新
的矩阵，称为矩阵A的转置，记作AT。
a1 1 a1 2 a1n
Aa 2 1
a2 2
a2n
am1 am2 amn
a1 1 a2 1 am1
AT
a1 2
4 5 0
§2.2 矩阵的运算
一、矩阵的加法 1、定义
设A=[aij]m×n ,B=[aij]m×n ,以A与B对应元素之和为元素构成 的m×n 矩阵，称为矩阵A与B的和，记作A+B，公式如下
： 【例如】
AB[aijbij]mn
2 3 3 2 A1 4,B3 2
23 32 1 5 AB13 422 2
§2.2 矩阵的运算
【练习】已知矩阵A、B如下所示，求AB=？ BA=?
2 4 1 A 1 0 3,
2 B 0
2
2
2 AB 1
4 0
1 3•0 212 22 040031 2 28 6
【思考】BA=? IA=? AI=?
【例如】设已知矩阵A和B如下，求矩阵AB和BA.
2 3 1
A
5
4
2
1 6 3
30 40
[bij ]4 2
16
22
30
30
18 20
§2.2 矩阵的运算
2、矩阵乘法运算性质 (1)不满足交换律 (2)左分配律A(B+C)=AB+AC 右分配律 (B+C)A=BA+CA (3)结合律 A(BC)=(AB)C (4)数与矩阵的结合律 (kA)B=A(Kb)=k(AB) 【练习】验证矩阵乘法的结合律
§2.1 矩阵的概念
【例如】某厂家向四个商店发送四种产品的数量可用矩阵表示。
a11 a12 a13 a14
[aij ]44
a21 a31
a22 a32
a23 a33
a24 a34Βιβλιοθήκη a41 a42 a43 a44
其中aij表示向第i个商店发送第j种产品的数量。这四种产品
的单价和重量设用矩阵(bij)4×2表示。