西安交通大学复变函数习题
《复变函数》(西安交大)习题解答--第1章习题
2
2
22
z ( 3 )2 ( 5 )2 34 ，z 位于第四象限，故
2
2
2
arg z arctg 5 , ••Argz arctg 5 2k••••(k 0,1,2,)
3
3
3） z 26 7i 7 13i
2i
2
•Re(z) 7 , ••Im(z) 13, •• z 7 13i,
13
a r gz a r c t2g, ••A r g z a r c t2g 2k••••(k 0,1,2,)
3
3
2） z i 3i(1 i) 3 5 i
2
22
Re(z) 3 , ••Im(z) 5 , •• z 3 5 i,
4) i 8 4i 21 i .
解：1） 1 3 2i 3 2 i 3 2i 13 13 13
Re(z) 3 , ••Im(z) 2 , z 3 2 i ,
13
13
13 13
z
( 3 )2 ( 2)2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ13
,
z 位于第四象限，故
13 13
4. 证明
1） z 2 z z ;
2) z1 z2 z1 z2 ;
3) z1 z2 z1 z2 ;
4)
z1 z2
z1 z2
•, •z 2
0;
5) z z ;
6) Re(z) 1 (z z) , Im(z) 1 (z z ) .
2
2i
复变函数西安交大习题解答第1章习题复变函数习题答案复变函数习题复变函数习题集下载复变函数复变函数与积分变换复变函数第四版答案复变函数第四版复变函数第四版pdf复变函数奇点
复变函数 第四版 (西安交通大学高等数学教研室 著) 课后习题答案 高等教育出版社
习题⼀一解答1．求下列列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐⻆角。
（1）i231+； （2）i 13i i 1−−； （3）()()2i 5i 24i 3−+； （4）i 4i i 218+−解 （1）()()()2i 31312i 32i 32i 32i 31−=−+−=+ 所以133=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+i 231Re ，1322i 31Im −=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+,()2i 31312i 31+=+，131********i 3122=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=+， k π2i 231arg i 231Arg +⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+,2,1,0,232arctan ±±=+−=k k π（2）()()()()i,25233i 321i i)(1i 1i 13i i i i i 13i i 1−=+−−−=+−+−−−=−− 所以,23i 13i i 1Re =⎭⎬⎫⎩⎨⎧−− 25i 13i i 1Im −=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−25i 23i 13i i 1+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−，2342523i 13i i 122=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=−−， k π2i 1i 3i 1arg i 1i 3i 1Arg +⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−− ,±,±,=,+−=210235arctan k k π. （3）()()()()()()()()()42i 7i 262i 2i 2i 5i 24i 32i 5i 24i 3−−=−−−+=−+ 13i 27226i 7−−=−−=所以()()272i 5i 24i 3Re −=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+，()()132i 5i 24i 3Im −=⎭⎫⎩⎨⎧−+，()()l3i 272i 5i 24i 3+−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+()()22952i5i 24i 3=−+， ()()()()k ππk π2726arctan 22i 2i 52i 43arg i 2i 52i 43Arg +−=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+ () ,2,1,0,12726arctan±±=−+=k k π.（4）()()()()i i 141i i i 4i i 4i i 10410242218+−−−=+−=+−3i 1i 4i 1−=+−=所以{}{}3i 4i i Im 1,i 4i i Re 218218−=+−=+−3i 1i 4i i 218+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−，10|i 4i i |218=+−()()()2k π3i 1arg 2k πi 4i i arg i 4i i Arg 218218+−=++−=+−=.2,1,0,k 2k πarctan3 ±±=+−2．如果等式()i 13i53y i 1x +=+−++成⽴立，试求实数x , y 为何值。
复变函数 高等教育出版社 课后习题详解 第三章
G
0
’ ( ## #C A ( ) -"
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$ 1
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小结 ! 找出实部虚部分别计算 % 8.%利用在单位圆周上#C ! 的性质 ! 及柯西积分公式说明 # A #C # 0
G
其中 0 为正向单位圆周 F ! $ #FC !% & $ 解 ! 注意到复积分 -" 在 ## # 中积分变量# 始终限制在; 上变化 ! A
.
5 6 ! C4 1 " , 7 8 1 " C6
$ 1 $ )A 1 5 6 ?4 " # 1 1B$ 1 6 6 7 8 2 1 4 5 6 C$ 4 ?5 1 A 1D 4 1 1 A 1C $ $" , 6 6 6 7 8 C$ 4 ?5 ?5 ( $ * +’ ## #C 6 8 1 $ )A 1 A -" G ?7 8 4 5 6 81 1 1 A 1D 6 A 1 CD$ $" , C$ 6 ?7 ?7
复变函数 西安交通大学 第四版 高等教育出版社 课后答案
-$ 7 & 沿下列路线计算积分? #% 8!% , #A # 自原点至 -$ $ 的直线段 & !
课后习题全解 !!!
& # 自原点沿实轴至 -! 再由 - 沿直向上至 -$ $ & 自原点沿虚轴至$ 再由$ 沿水平方向向右至 -$ # ! $ % 解 !! 所给路线的参数方程为 % 起点参数1 # # ! -$ ## " $ 1 1 # ,( (!! 由复积分计算公式 % 终点参数1 #!% ,!
复变函数试题及标准答案样本
二．判断题（每题3分，共30分） 1．n z z(在0=z解析。
【】f=z)2．)(z f 在0z 点可微，则)(z f 在0z 解析。
【 】 3．z e z f =)(是周期函数。
【 】4． 每一种幂函数在它收敛圆周上处处收敛。
【 】5． 设级数∑∞=0n n c 收敛，而||0∑∞=n n c 发散，则∑∞=0n n n z c 收敛半径为1。
【 】6． 1tan()z能在圆环域)0(||0+∞<<<<R R z 展开成洛朗级数。
【 】 7． n 为不不大于1正整数，Ln Ln n z n z =成立。
【 】 8．如果函数)(z f =ω在0z 解析，那末映射)(z f =ω在0z 具备保角性。
【 】9．如果u 是D 内调和函数,则yu i x u f∂∂-∂∂=是D 内解析函数。
【 】10．212233||||221112|2(1)1z z z z dz dz i i z z z z ππ======--⎰⎰。
【 】 三．（8分）y e v px sin =为调和函数，求p 值，并求出解析函数iv u z f +=)(。
四．（8分） 求())2)(1(--=z z zz f 在圆环域21<<z 和+∞<-<21z 内洛朗展开式。
五．（8分）计算积分dx x x x ⎰∞+∞-++54cos 22。
六．（8分）设⎰-++=Cd zz f ξξξξ173)(2，其中C 为圆周3||=z 正向，求(1)f i '+。
七．（8分）求将带形区域})Im(0|{a z z <<映射成单位圆共形映射。
复变函数与积分变换(A)参照答案与评分原则 (.7.5) 一.填空(各3分)1.3ln 2i k e +-π；2. 三级极点 ；3. 23z ；4. 0 ；5. 0 ；6. e1 ；7. 322)1(26+-s s ；8. 0；9. 0 ；10. )]2()2()2(1)2(1[21++-+++-ωπδωπδωωj j 。
复变函数试题及标准答案
二．判断题（每题3分，共30分） 1．n z z(在0=z解析。
【】f=z)2．)(z f 在0z 点可微，则)(z f 在0z 解析。
【 】 3．z e z f =)(是周期函数。
【 】4． 每一个幂函数在它的收敛圆周上处处收敛。
【 】 5． 设级数∑∞=0n n c 收敛，而||0∑∞=n n c 发散，则∑∞=0n n n z c 的收敛半径为1。
【 】6． 1tan()z能在圆环域)0(||0+∞<<<<R R z 展开成洛朗级数。
【 】 7． n 为大于1的正整数, Ln Ln n z n z =成立。
【 】 8．如果函数)(z f =ω在0z 解析，那末映射)(z f =ω在0z 具有保角性。
【 】9．如果u 是D 内的调和函数,则yu i x u f ∂∂-∂∂=是D 内的解析函数。
【 】10．212233||||221112|2(1)1z z z z dz dz i i z z z z ππ======--⎰⎰。
【 】 三．（8分）y e v px sin =为调和函数，求p 的值，并求出解析函数iv u z f +=)(。
四．（8分） 求())2)(1(--=z z zz f 在圆环域21<<z 和+∞<-<21z 内的洛朗展开式。
五．（8分）计算积分dx x x x⎰∞+∞-++54cos 22。
六．（8分）设⎰-++=Cd zz f ξξξξ173)(2，其中C 为圆周3||=z 的正向，求(1)f i '+。
七．（8分）求将带形区域})Im(0|{a z z <<映射成单位圆的共形映射。
复变函数与积分变换(A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5) 一.填空(各3分)1.3ln 2i k e +-π；2. 三级极点 ；3. 23z ；4. 0 ；5. 0 ；6. e1 ；7. 322)1(26+-s s ；8. 0；9. 0 ；10. )]2()2()2(1)2(1[21++-+++-ωπδωπδωωj j 。
《复变函数》(西安交大)习题解答--第4章习题
第四章习题3．判断下列级数的绝对收敛性与收敛性：1）∑∞=1n n n i ； 2）∑∞=2n n n i ln ； 3）∑∞=+0856n nni )(； 4）∑∞=02n n in cos ． 解 1）∑∞=1n n n i ∑∞=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=1121121n n n n i n )()(∑∞=---11121n n n )( 和∑∞=-121n n n )(都收敛，∴级数∑∞=1n nn i 收敛 但∑∞=1n nni ∑∞==11n n 发散，故级数∑∞=1n n n i 非绝对收敛． 2）∑∞=2n nni ln =∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-112121n n n i n n )ln()()ln()( ∵∑∞=-121n n n )ln()(和∑∞=+-1121n n n )ln()(都收敛，∴级数∑∞=2n nn i ln 收敛但n n i n ln ln 1=>n 1，而级数∑∞=21n n 发散，故级数∑∞=2n n ni ln 非绝对收敛． 3）∑∞=+0856n n n i )(=∑∞=+08543n n i )(=nn )(∑∞=0861， ∵nn )(∑∞=0861是公比小于1的等比级数，收敛；∴级数∑∞=+0856n nn i )(收敛且为绝对收敛． 4）∑∞=02n nin cos =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞=∑2210n n n n e e =21∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+0221n n ne e )()( 级数∑∞=021n n e )(是公比小于1的等比级数，收敛；而级数∑∞=02n ne )(是公比大于1的等比级数，发散．故原级数发散．4．下列说法是否正确?为什么?1）每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛； 2）每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点；3）每一个在0z 连续的函数一定可以在0z 的邻域内展开成泰勒级数．解 1）不正确．每一个幂级数在它的收敛圆内不仅收敛而且绝对收敛；在它的收敛圆外发散；在收敛圆周上，则可能收敛，也可能发散．例 幂级数∑∞=-11n nn z )(的收敛圆为11=-||z ，在收敛圆周11=-||z 上，当0=z 时，原级数为∑∞=-11n nn )(，收敛；当2=z 时，原级数为∑∞=11n n ，发散．2）不正确．根据幂级数的性质知：幂级数的和函数在收敛圆内是一个解析函数，因此，在收敛圆内不可能有奇点．3）不正确．例 z z f =)(在连续0z ，但不可导，故不能在0z 点展成泰勒级数．只有在0z 点解析的函数才能在0z 点的邻域内展开成泰勒级数．5．幂级数∑∞=-02n n nz C)(能否在0=z 收敛，而在3=z 发散．解 不能．由阿贝尔定理知，如果幂级数∑∞=-02n n nz C)(在0=z 收敛，则在22<-||z 内绝对收敛，而3=z 属于收敛圆22=-||z 内的点，故不可能在3=z 发散．6．求下列幂级数的收敛半径：1）∑∞=1n p n n z （p 为正整数）；2）∑∞=12n n pz n n )!(；3）∑∞=+11n n n z i )(；4）∑∞=1n nn i z e π． 解 1）pn n C 1=n n p p n n n n p n n C C R )(lim )(lim lim 111111+=+⋅==∞→∞→+∞→=12）nn nn C 2)!(= 0111112121=+⋅+=++⋅==∞→+∞→+∞→)()(lim ])![()()!(lim lim n n n n n n n C C R n n n n n n n n3）n n i C )(+=122111=+==∞→∞→||lim ||limi C R n n n 4）nin eC π=1111====+∞→+∞→+∞→n n i n n i nin n n n e ee C C R )(lim lim lim πππ11．把下列各函数展开成z 的幂级数，并指出它们的收敛半径： 1）311z+； 3）2z cos ； 5）chz 解 1）∵111<=-∑∞=||,z z z n n∴311z +=111103033<-=-=--∑∑∞=∞=||,)()()(z z z z n nn n n 3）∵∑∞=-=0221n nnn z z )!()(cos ，+∞<||z∴∑∞=-=04221n nnn z z )!()(cos ，+∞<||z5）∵chz =2zz e e -+，而∑∞==0n n zn z e !，+∞<||z ，∑∞=--=01n n n z n z e !)(，+∞<||z ， ∴chz =1+++!!4242z z ，+∞<||z 12．求下列各函数在指定点0z 处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径： 1）11+-z z ，0z =1； 2）))((21++z z z，0z =2； 3）21z ，10-=z ； 4）z341-，i z +=10； 5）z tan ，40π=z解 1）11+-z z =)()(1211-+-z z =211121-+-z z ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛---=02121n nz z ∑∞=+--=11211n nnn z )()(，21<-||z 2）))((21++z z z=1122+-+z z而 )(24222-+=+z z =421121-+z =n nn n z 421210)()(--∑∞=， ∑∞=--=-+=-+=+03213132113123111n n nn z z z z )()()(， 所以 ))((21++z z z =n n n n z 421210)()(--∑∞=-∑∞=--032131n nnn z )()( =nn n n n z )()(2312110112-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑∞=++，32<-||z 3）)('-=z z112而 ∑∞=+-=+--=011111n n z z z )()(所以 )('-=z z 112=∑∞=-+111n n z n )(=∑∞=++011n nz n ))((，11<+||z4）z 341-)]()([i i z +++--=11341)]([i z i +---=13311)]([i z ii+----=131311311n n n i z ii )]([)(+---=∑∞=13133110,)]([)(nn n n i z i +--=∑∞=+1313013101<+-)(i z5）因为),,,( 2102±±=+=k k z ππ是z tan 的奇点，而2π=z 是距40π=z 最近的奇点，故函数z tan 展成幂级数的收敛半径442πππ=-=R14=πtan，24='=πz z )(tan ，44=''=πz z )(tan ，164='''=πz z )(tan ，…所以 z tan = +-+-+-+3243842421)()()(πππz z z ，16．把下列函数在指定的圆环域内展开成洛朗级数： 1）))((2112-+z z ，21<<||z ； 2）211)(z z -，10<<||z ；110<-<||z ； 3）))((211--z z ，110<-<||z ；+∞<-<||21z ； 4）z e -11，+∞<<||z 1；5）)(i z z -21，在以i 为中心的圆环域内；6）z -11sin ，在1=z 的去心邻域内； 解 1）在21<<||z 内展开，此时有11<z 及12<z， ))((2112-+z z ⎪⎭⎫⎝⎛++--=1221512z z z ，2112121z z -⋅-=-)( +++-=2222121z z ， 2<||z222112112z zz z z ++=++2211121zz z +⋅+=)()()( -+-⋅+=42211121z z z z ---+=4322121z z z z ，1>||z 所以 ))((2112-+z z ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----= 43222121842151z z zz z z 44ππ<-z⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+++= 84211212512234z z z z z z ，21<<||z 2）在10<<||z 内展开211)(z z -2111)(z z -⋅=)('-⋅=z z 111=)('∑∞=01n nz z z 1=∑∞=-11n n nzz 1=∑∞=+⋅01n nz n )(∑∞-=+=12n n z n )(， 在110<-<||z 内展开211)(z z -=z z 1112⋅-)(∑∞=--⋅-=-+⋅-=02211111111n nz z z z )]([)()()( ∑∞-=--=21n n nz )()(3）在110<-<||z 内展开))((211--z z =)(11111---⋅-z z ∑∞=--⋅-=0111n n z z )(∑∞-=--=11n nz )(，在+∞<-<||21z 内展开，此时121<-z ))((211--z z =12121+-⋅-)(z z =12121+-⋅-)(z z =2111212-+⋅-z z )(=∑∞=--⋅-022121n n z z )()(=∑∞=+--0121n n nz )()( 4）由+∞<<||z 1⇒11<z，令=)(z f ze-11，11-==z ze zf z F )()(，据11题7）知：当1<z 时+---=!!)(32132z z z z F所以当1>||z 时，有 +---==323121111zz z z F z f !!)()( 5）函数)(i z z -21在i z =及0=z 点不解析，所以，以i 为中心的圆环域是 10<-<||i z 及+∞<-<||i z 1)(i z z -21=⋅-i z 121z在10<-<||i z 内展开所以在+∞<-<||i z 1内展开，有11<-iz iz i iz i i z z -+⋅-=+-=11111)(=⋅-iz 1nn i z i ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛--0， ∑∞=+-+-='-=021111n n n n i z i n z z )()()()( z 1i z i -+=1i i z i -+=111i i z i -+=111nn i i z i )(∑∞=--=01nn n n i z i )()(--=∑∞=+011)('-=z z 112])()(['---=∑∞=+n n n n i z i 01111111-∞=+---=∑n n n n i z i n )()()(i z z -21.)()(21111-∞=+---=∑n n n n i z in所以 )(i z z -21=∑∞=++-+-03111n n n n i z i n )()()( 6）因为1=z 是z-11sin的奇点，所以1=z 的去心邻域为 +∞<-<||10zz -11sin =11--z sin ∑∞=+-⋅+--=012111211n n n z n )()!()(。
西安交通大学复变函数习题
西安交通大学复变函数习题第一章复数与复变函数一、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3)2(π=+z arc ，65)2(π=-z arc ，那么=z （）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2123+- 3．复数)2(tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（）（A ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（）（A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+zz ，则动点),(y x 的轨迹是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转3π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（）（A ）2 （B ）i 31+（C ）i -3 （D ）i +3７．使得22z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（）（A ）i +-43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --43９．满足不等式2≤+-iz iz 的所有点z 构成的集合是（）（A ）有界区域（B ）无界区域（C ）有界闭区域（D ）无界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周（B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周（C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周（D ）中心为i 32-，半径为２的圆周11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（A ）221=+-z z （B ）433=--+z z （C ）)1(11<=--a azaz （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （）（A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．00)Im()Im(lim0z z z z x x --→（）（A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）（A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续15．设C z ∈且1=z ，则函数zz z z f 1)(2+-=的最小值为（）（A ）3- （B ）2- （C ）1- （D ）1二、填空题1．设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=，则=z2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg3．设43)arg(,5π=-=i z z ，则=z 4．复数22)3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为 5．以方程i z 1576-=的根的对应点为顶点的多边形的面积为６．不等式522<++-z z 所表示的区域是曲线的内部７．方程1)1(212=----zi iz 所表示曲线的直角坐标方程为８．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点和的线段的垂直平分线９．对于映射zi =ω，圆周1)1(22=-+y x 的像曲线为 10．=+++→)21(lim 421z z iz三、若复数z 满足03)21()21(=+++-+z i z i z z ，试求2+z 的取值范围．四、设0≥a ，在复数集C 中解方程a z z =+22.五、设复数i z ±≠，试证21z z+是实数的充要条件为1=z 或0)(=z IM .六、对于映射)1(21zz +=ω，求出圆周4=z 的像. 七、试证１.)0(0221≠≥z z z 的充要条件为2121z z z z +=+；２.)),,2,1,,,0(021n j k j k z z z j =≠≠≥的充要条件为 n n z z z z z z +++=+++ 2121.八、若0)(lim 0≠=→A z f x x ，则存在0>δ，使得当δ<-<00z z 时有A z f 21)(>. 九、设iy x z +=，试证y x z y x +≤≤+2.十、设iy x z +=，试讨论下列函数的连续性：1.??=≠+=0,00,2)(22z z y x xyz f2.??=≠+=0,00,)(223z z y x y x z f .第二章解析函数一、选择题：1．函数23)(z z f =在点0=z 处是( )（A ）解析的（B ）可导的（C ）不可导的（D ）既不解析也不可导 2．函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( )（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分条件也非必要条件3．下列命题中，正确的是( )（A ）设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy x（B ）若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导（C ）若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析（D ）若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析 4．下列函数中，为解析函数的是( )（A ）xyi y x 222-- （B ）xyi x +2（C ）)2()1(222x x y i y x +-+- （D ）33iy x +5．函数)Im()(2z z z f =在=z 处的导数( )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于1- （D ）不存在6．若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析，那么实常数=a ( )（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2-7．如果)(z f '在单位圆1<="" bdsfid="213" f="" p="" 内≡)(z="" 内处处为零，且1)0(-="f" ，那么在1（A ）0 （B ）1 （C ）1- （D ）任意常数 8．设函数)(z f 在区域D 内有定义，则下列命题中，正确的是（A ）若)(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数（B ）若))(Re(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数（C ）若)(z f与)(z f 在D 内解析，则)(z f 在D 内是一常数（D ）若)(arg z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 9．设22)(iy x z f +=，则=+')1(i f ( )（A ）2 （B ）i 2 （C ）i +1 （D ）i 22+ 10．ii 的主值为( )（A ）0 （B ）1 （C ）2πe （D ）2π-e11．z e 在复平面上( )（A ）无可导点（B ）有可导点，但不解析（C ）有可导点，且在可导点集上解析（D ）处处解析 12．设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是( )（A ）)(z f 在复平面上处处解析（B ）)(z f 以π2为周期（C ）2)(iziz e e z f --= （D ）)(z f 是无界的13．设α为任意实数，则α1( )（A ）无定义（B ）等于1（C ）是复数，其实部等于1 （D ）是复数，其模等于1 14．下列数中，为实数的是( )（A ）3)1(i - （B ）i cos （C ）i ln （D ）i e 23π-15．设α是复数，则( )（A ）αz 在复平面上处处解析（B ）αz 的模为αz（C ）αz 一般是多值函数（D ）αz 的辐角为z 的辐角的α倍二、填空题1．设i f f +='=1)0(,1)0(，则=-→zz f z 1)(lim2．设iv u z f +=)(在区域D 内是解析的，如果v u +是实常数，那么)(z f 在D 内是 3．导函数xvix u z f ??+??=')(在区域D 内解析的充要条件为 4．设2233)(y ix y x z f ++=，则=+-')2323(i f 5．若解析函数iv u z f +=)(的实部22y x u -=，那么=)(z f 6．函数)Re()Im()(z z z z f -=仅在点=z 处可导7．设z i z z f )1(51)(5+-=，则方程0)(='z f 的所有根为 8．复数ii 的模为 9．=-)}43Im{ln(i 10．方程01=--ze 的全部解为三、设),(),()(y x iv y x u z f +=为iyx z +=的解析函数，若记)2,2()2,2(),(izz z z iv i z z z z u z z w -++-+=，则0=??z w ．四、试证下列函数在z 平面上解析，并分别求出其导数 1．;sinh sin cosh cos )(y x i y x z f -=2．);sin cos ()sin cos ()(y ix y y ie y y y x e z f xx++-=五、设023=+-ze zw w ，求22,dzwd dz dw .六、设??=≠++=0,00,)()(422z z y x iy x xy z f 试证)(z f 在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导.七、已知22y x v u -=-，试确定解析函数iv u z f +=)(. 八、设s 和n 为平面向量，将s按逆时针方向旋转2π即得n .如果iv u z f +=)(为解析函数，则有s vn u n v s u ??-==??,（s ??与n分别表示沿s ,n 的方向导数）. 九、若函数)(z f 在上半平面内解析，试证函数)(z f 在下半平面内解析. 十、解方程i z i z 4cos sin =+.第三章复变函数的积分一、选择题：1．设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则=+?cdz iy x )(2( )（A ）i 6561- （B ）i 6561+- （C ）i 6561-- （D ）i 6561+ 2．设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则dz z z zc+-2)1)(1(为( ) （A ）2i π （B ）2iπ- （C ）0 （D ）(A)(B)(C)都有可能3．设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=?+=dz zzc c c 212sin ( ) （A ）i π2- （B ）0 （C ）i π2 （D ）i π4 4．设c 为正向圆周2=z ，则=-?dz z z)1(cos ( ) （A ）1sin - （B ）1sin （C ）1sin 2i π- （D ）1sin 2i π5．设c 为正向圆周21=z ，则=--?dz z z z c23)1(21cos( )（A ）)1sin 1cos 3(2-i π （B ）0 （C ）1cos 6i π （D ）1sin 2i π-6．设ξξξξd ze zf ?=-=4)(，其中4≠z ，则='）i f π(( )（A ）i π2- （B ）1- （C ）i π2 （D ）17．设)(z f 在单连通域B 内处处解析且不为零，c 为B 内任何一条简单闭曲线，则积分dz z f z f z f z f c+'+'')()()(2)( ( )（A ）于i π2 （B ）等于i π2- （C ）等于0 （D ）不能确定8．设c 是从0到i 21π的直线段，则积分=?cz dz ze （）（A ）21eπ-(B) 21eπ-- (C)i e21π+(D) i e21π-9．设c 为正向圆周0222=-+x y x ，则=-?dz z z c1)4sin(2π( ) （A ）i π22（B ）i π2 （C ）0 （D ）i π22- 10．设c 为正向圆周i a i z ≠=-,1，则=-?cdz i a zz 2)(cos ( ) （A ）ie π2 （B ）eiπ2 （C ）0 （D ）i i cos 11．设)(z f 在区域D 内解析，c 为D 内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于D ．如果)(z f 在c 上的值为2，那么对c 内任一点0z ,)(0z f ( )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于2 （D ）不能确定 12．下列命题中，不正确的是( ) （A ）积分=--ra z dz az 1的值与半径)0(>r r 的大小无关（B ）2)(22≤+?cdz iy x,其中c 为连接i -到i 的线段（C ）若在区域D 内有)()(z g z f ='，则在D 内)(z g '存在且解析（D ）若)(z f 在10<<<="r" 的积分等于零，则<="">)(z f 在0=z 处解析13．设c 为任意实常数，那么由调和函数22y x u -=确定的解析函数iv u z f +=)(是 ( )(A)c iz +2（B ） ic iz +2（C ）c z +2（D ）ic z +214．下列命题中，正确的是( )（A ）设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数，则必有21v v = （B ）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数（C ）若iv u z f +=)(在区域D 内解析，则xu为D 内的调和函数（D ）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15．设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是( )（A ）),(),(y x iu y x v + （B ）),(),(y x iu y x v -（C ）),(),(y x iv y x u - （D ）xv i x u ??-??二、填空题1．设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段，则=?cdz z 22．设c 为正向圆周14=-z ，则=-+-?c dz z z z 22)4(233．设?=-=2)2sin()(ξξξξπd zz f ,其中2≠z ，则=')3(f 4．设c 为正向圆周3=z ，则=+?cdz zzz 5．设c 为负向圆周4=z ，则=-?c zdz i z e 5)(π 6．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 7．设)(z f 在单连通域B 内连续，且对于B 内任何一条简单闭曲线c 都有0)(=?c dz z f ，那么)(z f 在B 内8．调和函数xy y x =),(?的共轭调和函数为9．若函数23),(axy x y x u +=为某一解析函数的虚部，则常数=a10．设),(y x u 的共轭调和函数为),(y x v ，那么),(y x v 的共轭调和函数为三、计算积分 1.=+-Rz dz z z z)2)(1(62,其中1,0≠>R R 且2≠R ; 2.=++22422z z z dz．四、设)(z f 在单连通域B 内解析，且满足)(1)(1B x z f ∈<-.试证１．在B 内处处有0)(≠z f ；２．对于B 内任意一条闭曲线c ，都有0)()(=''?cdz z f z f 五、设)(z f 在圆域R a z <-内解析，若)0()()(max R r r M z f ra z <<==-，则),2,1()(!)()n rr M n a fnn . 六、求积分?=1z zdz z e ，从而证明πθθπθ=?0cos )cos(sin d e . 七、设)(z f 在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数b a ,，试求极限=+∞→--R z R dz b z a z z f ))(()(lim并由此推证)()(b f a f =（刘维尔Liouville 定理）.八、设)(z f 在)1(><="" bdsfid="471" p="" r="" z="" 内解析，且2)0(,1)0(="=f f ，试计算积分</p><p>?</p><p>=+1</p><p>22</p><p>)</p><p>()1(z dz z</p><p>z f z 并由此得出</p><p>?</p><p>π</p><p>θθθ</p><p>20</p><p>2</p> <p>)(2</p><p>cos d e f i 之值.</p><p>九、设iv u z f +=)(是z 的解析函数，证明</p><p>2</p><p>222</p><p>2</p><p>22</p><p>2</p> <p>2)</p><p>)(1()</p><p>(4)</p><p>)(1ln()</p><p>)(1ln(z f z f y z f x z f +">+?++?.十、若)(22y x u u +=，试求解析函数iv u z f +=)(.第四章级数一、选择题：1．设),2,1(4)1( =++-=a n n ，则n n a ∞→li m ( ) （A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于i （D ）不存在2．下列级数中，条件收敛的级数为( )（A ）∑∞=+1)231(n ni （B ）∑∞=+1!)43(n n n i（C ）∑∞=1n nni （D ）∑∞=++-11)1(n n n i3．下列级数中，绝对收敛的级数为( )（A ）∑∞=+1)1(1n n in（B ）∑∞=+-1]2)1([n n n i n (C)∑∞=2ln n nn i （D ）∑∞=-12)1(n nn n i 4．若幂级数∑∞=0n n nz c在i z 21+=处收敛，那么该级数在2=z 处的敛散性为( )（A ）绝对收敛（B ）条件收敛（C ）发散（D ）不能确定 5．设幂级数∑∑∞=-∞=01,n n n n nn znc z c 和∑∞=++011n n n z n c 的收敛半径分别为321,,R R R ，则321,,R R R 之间的关系是( )（A ）321R R R << （B ）321R R R >> （C ）321R R R <= （D ）321R R R == 6．设10<∑∞=02n n n z q 的收敛半径=R ( )（A ）q （B ）q1（C ）0 （D ）∞+ 7．幂级数∑∞=1)2(2sinn n z n n π的收敛半径=R ( ) （A ） 1 （B ）2 （C ）2 （D ）∞+8．幂级数∑∞=++-011)1(n n n z n 在1<="" bdsfid="544" p="" 内的和函数为="" （a="" （b="" ）)1ln(z="">（D ）z +11ln(D) z-11ln 9．设函数z e z cos 的泰勒展开式为∑∞=0n n n z c ，那么幂级数∑∞=0n nn z c 的收敛半径=R ( )（A ）∞+ （B ）1 （C ）2π（D ）π 10．级数+++++22111z z z z的收敛域是( ) （A ）1<<<="">11．函数21z在1-=z 处的泰勒展开式为( ) （A ）)11()1()1(11<++-∑∞=-z z n n n n（B ）)11()1()1(111<++-∑∞=--z z n n n n（C ）)11()1(11<++-∑∞=-z z n n n （D ）)11()1(1 1<++∑∞=-z z n n n12．函数z sin ，在2π=z 处的泰勒展开式为( )（A ）)2()2()!12()1(012+∞<--+-∑∞=+ππz z n n n n（B ）)2()2()!2()1(02+∞<---∑∞=ππz z n n n n（C ）)2()2()!12()1(0121+∞<--+-∑∞=++ππz z n n n n（D ）)2()2()!2()1(021+∞<---∑∞=+ππz z n n n n13．设)(z f 在圆环域201:R z z R H <-<内的洛朗展开式为∑∞-∞=-n n nz z c)(0，c 为H 内绕0z 的任一条正向简单闭曲线，那么=-?c dz z z z f 20)()(( )(A)12-ic π （B ）12ic π （C ）22ic π （D ）)(20z f i 'π14．若?--==-+= ,2,1,4,2,1,0,)1(3n n c nn n n ，则双边幂级数∑∞-∞=n nn z c 的收敛域为( ) （A ）3141<<<="">+∞<<="" 41="" bdsfid="628" p="" （d="" ）+∞<115．设函数)4)(1(1)(++=z z z z f 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m 个，那么=m ( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 二、填空题1．若幂级数∑∞=+0)(n n ni z c在i z =处发散，那么该级数在2=z 处的收敛性为． 2．设幂级数∑∞=0n nnz c与∑∞=0)][Re(n n n z c 的收敛半径分别为1R 和2R ，那么1R 与2R 之间的关系是． 3．幂级数∑∞=+012)2(n n nz i 的收敛半径=R4．设)(z f 在区域D 内解析，0z 为内的一点，d 为0z 到D 的边界上各点的最短距离，那么当d z z <-0时，∑∞=-=)()(n nn z z cz f 成立，其中=n c ． 5．函数z arctan 在0=z 处的泰勒展开式为． 6．设幂级数∑∞=0n nnz c的收敛半径为R ，那么幂级数∑∞=-0)12(n n n nz c 的收敛半径为．7．双边幂级数∑∑∞=∞=--+--112)21()1()2(1)1(n n n nnz z 的收敛域为． 8．函数zze e 1+在+∞<<<0内的洛朗展开式为∑∞<="" bdsfid="683" cot="" p="" z="" 在原点的去心邻域r="" ．="">-∞=n n nz c，那么该洛朗级数收敛域的外半径=R ． 10．函数)(1i z z -在+∞<-三、若函数211z z --在0=z 处的泰勒展开式为∑∞=0n nn z a ，则称{}n a 为菲波那契(Fibonacci)数列，试确定n a 满足的递推关系式，并明确给出n a 的表达式．四、试证明 1．);(11+∞<≤-≤-z ez ee zzz2．);1()1(1)3(<-≤-≤-z ze e z e z五、设函数)(z f 在圆域R z <内解析，∑==nk kk n z k f S 0)(!)0(试证 1．)()(21)(111R r z d z z f iz S n rn n n <<--=+=++?ξξξξξπξ.2．)()()(2)((11R r z d z f iz z S z f r n n n <<-=-?=++ξξξξπξ）。
西交大复变函数考查课习题及答案
西安交通大学现代远程教育考试卷及答案课 程：复变函数（A ）专业班号 考试日期 年 月 日 姓 名 学号 期中期末一、单项选择题（每题2分，共20分）1、若函数()z f 在区域D 内解析，则函数()z f 在区域D 内（ ）A ．在有限个点可导B ．存在任意阶导数C ．在无穷多个点可导D ．存在有限个点不可导2、设()f z 在01z <<内解析且()0lim 1z zf z →=，那么 ()()Re ,0s f z =（ ）A ．2i πB ．2i π-C ．1D ．-13、函数()()()411++=z z z z f ，在以0=z 为中心的圆环内的洛朗展式有m 个，则m=（）A ．1B ．2C ．3D ．44、下列命题正确的是（ ）A ．i i 2<B ．零的辐角是零C ．仅存在一个数z,使得z z -=1D ．iz z i =15、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ）A ．()∑∞=+-02121n n n n z （z <1） B ．()∑∞=+-01221n n n nz （z <1）C ．()∑∞=++-012121n n n n z （z <1）D ．()∑∞=-0221n nn n z（z <1）6、在下列函数中，()0Re 0==z f s z 的是（ ）A ．()21ze zf z -= B ．()z z z z f 1sin -= C ．()z z z z f cos sin += D ．()ze zf z 111--= 7、设a i ≠，C ：i z -=1，则()=-⎰dz i a z z C 2cos （ ）A ．0B ．2i e π C ．2ie π D ．icosi8、下列函数是解析函数的为（ ）A ．xyi y x 222--B ．xyi x +2C ．)2()1(222x x y i y x +-+-D ．33iy x +9、下列命题中，不正确的是（ ）A ．如果无穷远点∞是()f z 的可去奇点，那么()()Re ,0s f z ∞=B ．若()f z 在区域D 内任一点0z 的邻域内展开成泰勒级数，则()f z 在D 内解析C ．幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数D ．函数22e i e iω-=+将带形域()0Im z π<<映射为单位圆1ω< 10、函数()()()2222f z x y x i xy y =--+-在（ ）处可导。
复变函数试题及标准答案
二．判断题（每题3分，共30分） 1．n z z z f =)(在0=z 解读。
【 】2．)(z f 在0z 点可微，则)(z f 在0z 解读。
【 】 3．z e z f =)(是周期函数。
【 】4． 每一个幂函数在它的收敛圆周上处处收敛。
【 】 5． 设级数∑∞=0n n c 收敛，而||0∑∞=n n c 发散，则∑∞=0n n n z c 的收敛半径为1。
【 】6． 1tan()z能在圆环域)0(||0+∞<<<<R R z 展开成洛朗级数。
【 】 7． n 为大于1的正整数, Ln Ln n z n z =成立。
【 】 8．如果函数)(z f =ω在0z 解读，那末映射)(z f =ω在0z 具有保角性。
【 】9．如果u 是D 内的调和函数,则yu i x u f ∂∂-∂∂=是D 内的解读函数。
【 】10．212233||||221112|2(1)1z z z z dz dz i i z z z z ππ======--⎰⎰。
【 】 三．（8分）y e v px sin =为调和函数，求p 的值，并求出解读函数iv u z f +=)(。
四．（8分） 求())2)(1(--=z z zz f 在圆环域21<<z 和+∞<-<21z 内的洛朗展开式。
五．（8分）计算积分dx x x x ⎰∞+∞-++54cos 22。
六．（8分）设⎰-++=Cd zz f ξξξξ173)(2，其中C 为圆周3||=z 的正向，求(1)f i '+。
七．（8分）求将带形区域})Im(0|{a z z <<映射成单位圆的共形映射。
复变函数与积分变换(A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5) 一.填空(各3分)1.3ln 2i k e +-π；2. 三级极点 ；3. 23z ；4. 0 ；5. 0 ；6.e1 ；7.322)1(26+-s s ；8. 0；9. 0 ；10. )]2()2()2(1)2(1[21++-+++-ωπδωπδωωj j 。
西安交通大学《复变函数》考查课试题答案
西安交通大学《复变函数》考查课试题答案一、选择题1.若22z z =，则必有( D ). A.0z =；B.Re()0z = ；C.0)Im(=z ；D.Re()Im()0z z =.2.级数111(1)n n n z n+∞+=-∑的和函数与收敛半径为( D ). A.ln(1),1z R -= ： B.ln(1),1z R += ： C.ln(1),1z z R -=；D.zln(1+z),R=1.3.1z =是函数1z ze-的( A ).A.本性奇点；B. 一级极点；C.可去奇点；D.二级极点.4.函数)(z f 在z 点可导是)(z f 在z 点解析的（ B ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既非充分亦非必要条件5.若()f z z =,则( A ). A.处处不可导；B.在原点可导；C.处处解析；D.仅在虚轴上可导.二、填空题1.设C 是0z =到1z i =+的直线段,则z ce dz =⎰____1(1)i i e --_____________.2.方程1ze -+=0的全部解是_______(2)i k k Z ππ+∈_______________；3.幂级数1in nn ez π+∞=∑的收敛半径是__________1____________；4.函数21()(1)z f z z e =-的全部奇点是_______2kik Z π∈_______________.三、证明：若iv u z f +=)(在区域D 内解析，并且2v u =，则)(z f 在D 内为常数.（8分）证： 因为 ()f z u iv =+ 在区域D 内解析，且2u v =从而yv v y u x v y vx u x v v∂∂-=∂∂-=∂∂∂∂=∂∂=∂∂2,2(50)所以 2020v v v x y v v v xy ∂∂⎧-=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪+=⎪∂∂⎩系数行列式22141012v v v-=+≠所以0v v x y∂∂==∂∂，同理 0u u x y ∂∂==∂∂1()0v vf z x i y∂∂'=+=∂∂ 即 在D 内()f z 为常数．四、已知调和函数(,)(1)u x y x y =+，求解析函数iv u z f +=)(，且满足条件0)1(=f .（8分） 解()()u v u u f z i i x x x y ∂∂∂∂'=+=+-∂∂∂∂ (1)y x i xi i y =+--=--+()x yi i i zi i =-+-=--2()()2if z z i i d z z z i c ∴=--=--+⎰由 3(1)022i f i c i c =--+=-+= 得 32c i =23()22i f z z zi i ∴=--+五、求函数231)(2++=z z z f 在20=z 处的泰勒展开式，并指出它的收敛半径.（10分） 解 ： 21111()32(1)(2)12f z z z z z z z ===-++++++而,)2(31)1(321131)2(311101n n n n z z z z --=-+=-+=+∑∞=+ 3|2|<-z4|2|,)2(41)1(421141211<---=-+=+∑+z z z z n n n所以n n n n n n n n n nn n nz z z z f )2)(4131()1()2(41)1()2(31)1()(010---=-----=∑∑∑∞=∞=+∞=级数的收敛半径为3=R六、将函数2)1(1)(z z z f -=在圆环域：011z <-<内展开成洛朗级数.（10分） 解： 因为 011(1)(1)(|1|1),11n nn z z z z +∞===---<+-∑所以 22011()(1)(1)(|1|1),(1)(1)n nn f z z z z z z +∞===---<--∑2(1)(1)(|1|1),nn n z z +∞-==---<∑七、计算下列各积分.（圆周均取正向）（每小题6分，共24分）（1）23cos3(2)z zdz z z =-⎰ ； （2）32(1)(2)zz e dz z z =-+⎰（3）2523()14z z dz z z i =+++⎰； （4）222(1)z z ze dz z =-⎰ （1） 解 ： 在||3z =内，10z =是二级极点，22z =是一级极点22cos3Re [(),0]lim[](2)z zs f z z z z →'=- 203(2)sin 3cos31lim(2)4z z z z z →---==-- 22c o s 3c o s 6R e [(),2]l i m 2z z s f z z →== 23cos3cos612()(cos61)(2)442z z idz i z z =π=π-=--⎰ （2）解： 13322222(1)(2)123zzzz z z e e e z dz dz i e i z z z z ===+==π⋅=π-+-+⎰⎰（3） 解 ： 在||5z =内，,4z i z i =±=-均为函数的一级极点225552323()1414z z z z z dz dz dz z z iz z i ===+=+++++⎰⎰⎰ 22222[]32(1)(1)z i z izz i i z z ==-=π++⋅π''++10i =π（4） 解 ：2211222()2()(1)zzz z z ze dz if z i ze z ===''=π=π-⎰22212(2)6z z z i e ze ie ==π+=π。
西安交通大学复变函数试卷及参考答案
三证明：因为 ，由连续性的概念，取 >0，存在 ，
使当 时，有：
从而 即： 即： .
四解： 的参数方程为 ， ，
五求 在圆环域 和 内的罗朗展开式。
六解：由于奇偶性， = ＝ .
七证明：由题意得，
欲证 ，只需要证明：
由于 ，故
又 =
代入前面 ，可得： =
二．选择题（每题4分，共20分）
1 是函数 的【】
A一级极点B本性奇点C可去奇点D零点
2函数 （ ； 为复常数）的解析区域是：【】
A复平面B扩充复平面
C除去原点的复平面D除去原点与负实轴的复平面
3设 为正向圆周 ，则积分 的值为【】
A4B C0D
4函数 在复平面上的所有有限奇点处留数的和：【】
A4B1C－1D2
5分式线性映射 将上半平面 映为上半平面 ， , ,则映射 可能为：【】
A ,B ,C ,D
三设函数 在 连续，且 ，求证:可以找到 的一个邻域，使函数 在此邻域的内取值不为零。
四计算积分 ，其中 是从点A(1,0)到B(-1,0)的上半个圆周。
五求 在圆环域 和 内的罗朗展开式。
六计算 , 。
七设 在 上解析，且为分式线性映射， ， 将 映为 ，证明：
故不等式得证。
又因为 ，则：
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课程复变函数答案
二.填空（每题4分，共40分）
1． 的指数形式：
2
3
4函数 解析，则则
5
6
7函数 的奇点： ，二级极点； 为一级极点（说出类型，如果是极点，则要说明阶数）
8将函数 展开为 的幂函数：
9设 的正向，求积分 1/2
《复变函数与积分变换》(西安交大-第四版)课后答案解析
网 c ⎜⎝⎛i8 − 4i21 + i⎟⎠⎞ = 1+ 3i ，| i8 − 4i21 + i |= 10 案 . ( ) ( ) Arg i8 − 4i21 + i = arg i8 − 4i21 + i + 2kπ = arg(1− 3i)+ 2kπ
9．将下列坐标变换公式写成复数的形式：
1）平移公式：
⎧ ⎨ ⎩
x y
= =
x1 y1
+ +
a1, b1;
2）旋转公式：
⎧ ⎨ ⎩
x y
= =
x1 x1
cosα sin α
− +
y1 y1
sinα , cos α .
解：设 A = a1 + ib1 ， z1 = x1 + iy1 ， z = x + iy ，则有 1） z = z1 + A ；2） z = z1(cosα + i sinα ) = z1eiα 。
故 n = 4k, k = 0, ±1, ±2,"。
16．（1）求方程 z3 + 8 = 0 的所有根 （2）求微分方程 y'''+8y = 0 的一般解。
( )1
π i
(1+
2k
)
解 （1） z = −8 3 = 2e 3 ，k=0,1,2。
即原方程有如下三个解：
1 + i 3, −2, 1 − i 3 。
−
5π 6
⎞ ⎟⎠
+
复变函数考试样题
西安交通大学考试题
课程复变函数（样题）
系别考试日期年月日
专业班号
姓名学号期中期末
一、判断题下列概念或命题是否正确[1~10](每小题2分，共20分数．
2.函数sinz，cosz都是上的无界函数．
3.区域D上的函数f(z)是解析的充要条件是f(z)在D上是可微的．
13.在割去原点及负实轴的z平面上，f(z)是多值函数z1/3的一个单值解析分
支，f(i) =i．求f(i)．
共2页第1页
14.计算|z– 1 | = 2(z2+ ez)/(z3– 2z2+z)dz．
15.设f(z) = (y2–x2) +iv(x,y)是整函数，f(0) =i，求f(z)．
16.求函数f(z) =z/sinz的奇点，并指出奇点类型．
20.下面给出的命题P是否正确？若正确，证明之；若不正确，举出反例．
命题P：设函数f(z)在区域D内连续．若对D内的任一周线C都有Cf(z)dz= 0，则f(z)在区域D内解析．
21.设f(z)在D= {z| 0 < |za| <R}内解析且有界．证明：limzaf(z)存在．
22.设f(z)是整函数且不恒为常数，且limzf(z)/z2= 0．证明：f(z)是单叶的．
17.求幂级数n0(n2+ 1)/n! ·zn的收敛半径，并在收敛圆内求和函数．
18.求|z– 1 | = 1z1/4dz．其中z1/4取11/4=i的那一支．
三、解答题[19~23，要求写出详细步骤](每小题8分，共40分)
19.求函数f(z) = 1/(2 –z)(i+z)在三个不同的圆环域上的Laurent展式．这三个圆环域分别是：0 < |z| < 1，1 < |z| < 2，以及2 < |z| < +．
西安交通大学复变函数与积分变换试卷B卷及参考答案
可把 变成角形域 ；
而 可将该角形域变成上半平面 ；
而 可将 变成单位圆盘 ；
故它们的复合映射
即为满足要求的一个映射.
四、（10分）用留数计算广义积分 .
解：有理函数 的分母次数=分子次数+4，且该函数在在实轴上无奇点，而在上半平面仅有两个奇点 ， ；故
=
五、（10分）用Laplace变换解微分方程的初值问题：
由 ，得 ，而 ，
故象曲线为 ；或
.
11、解：[ ]= ，[ ]= ，
所以
=[ ] +[ ]= +
共4页第2页
12、解：[ ]= ，由Laplace变换的微分性质,
L[ ]= ，
所以
L[ ]= ；
L[ ]= .
二、解：在圆环域 上的Laurent级数为
；
在圆环域 上的Laurent级数为
三、解：显然满足 ， ， 的分式线性映射 .
成绩
西安交通大学考试题
课程复变函数与积分变换(B卷)
系别考试日期2006年1月日
专业班号
姓名学号期中期末
一、解答下列各题（每小题5分，共60分）
1、设 是实数，函数 在复平面解析，求 .
1、解：Cauchy-Riemann方程， ， ，解出
， .
2、求 ，并指出其主值.
解：
；其中 ；
其主值为 .
3、计算 ，其中 ，方向为正向.
2、解：用Cauchy积分公式，
.
4、计算 ，其中 ，方向为正向.
解：用高阶导数公式，
5、判别级数 的收敛性.
解： ，
和 的收敛性分别与 和 的相同，由高等数学中的Leibniz判别法，后两个级数收敛，故前两个也收敛，所以
复变函数复习资料【西交】
−z − iz
= 4i ，则
8、方法一（强烈推荐！解析函数法）∵ f ′( z ) = 其中 z≠0，C 为任意复常数。 方法二： 首先利用已知条件求得
1 1 = ,∴ f ( z ) = Lnz + C ， x + iy z
∂u ∂v , ， 再利用 Cauchy-Riemann 条件， 通过 “偏 ∂x ∂x
式。
自测题 2
答案
e 。 n→+∞ n
1、本题计算的要点在于极限式的变换，因为复变幂级数与实函数的幂级数，求 收敛半径的方法是相同的。答案是 0，因为极限式化简至最后形如 lim
2、考虑 f(z)的第一个不解析点（指离复平面原点最近的一个）为 z=1，则收敛半 径就是 1.这是课本上一个很重要的结论，因为洛朗级数展开时分圆环域讨论 的思想，即由此而来。 3、这级数是收敛的。遇到这类问题，第一步一定是将实部虚部剥离，分别判定 敛散性。大家可以先写出前几项，继而得出结论： 原级数=i
m
f ′( z ) ( z − a) m g ′( z ) + m( z − a) m−1 g ( z ) , a ] = Re s[ , a] f ( z) ( z − a)m g ( z ) g ′( z ) 1 = Re s[ , a] + m Re s[ , a] g ( z) z−a =0+m=m
积分”的方法将 u、v 求出。 （很罗嗦，这里不作演示了）
9、利用参数法，本题答案为1 +
i 。 2
iθ
10、大家可以发现本题的解决依赖于第 2 题的结论！令 z = e ，则原式=
∫
2π
0
θ 2 sin i (cos θ + i sin θ )dθ （注意：积分上下限的变化、积分变量的变化、被积 2
《复变函数》(西安交大)习题解答--第5章习题
第五章习题1．下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出它的级： 1）211)(+z z ； 2）3z zsin ； 3）1123+--z z z ； 4）z z )ln(1+；5）))((z e z z π++112； 6）11-z e ； 7）)(112-z e z解 1）211)(+z z =221)()(i z i z z +-，所以0=z 为一级极点，i z ±=为二级极点．2）显然0=z 是3z zsin 的奇点，又在0=z 的去心邻域内的洛朗展开式为 3zz sin = -+-!!53122z z z ，+∞<<||z 0 所以0=z 为二级极点．3）1123+--z z z =2111))((-+z z 所以1-=z 为一级极点，2=z 为二级极点．4）显然0=z 是zz )ln(1+的孤立奇点． 又 110=+→zz z )ln(lim， 所以0=z 为可去奇点． 5）令0112=++))((ze z π，解之得),,,()( 21012±±=+=k i k z k ，因为),,,()( 21012±±=+=k i k z k 是z e z z ))((π++112的零点，所以),,,()( 21012±±=+=k i k z k 是))((z e z zπ++112的极点，又100112≠'⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=kz z z z e z ))((π，),,,( 321±±=k所以),,,()( 32112±±=+=k i k z k 为ze z z ))((π++112的一级零点，从而为))((ze z zπ++112的一级极点． 20010≠'⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=z z z z e i z ))((π，所以i z =0是ze i z z ))((π++1的一级零点，从而是 =++-z e i z i z z ))(()(π1z e z z ))((π++112的二级零点，故i z =0是))((ze z z π++112的二级极点．同理，i z -=-1也是))((z e z zπ++112的二级极点．6）1=z 是函数11-z e 的孤立奇点，又11-z e在1=z 的去心邻域内的洛朗展开式为11-z e=∑∞=-011n nz n )(!，+∞<-<||10z 所以1=z 为11-z e的本性奇点．7） 因为),,,( 2102±±==k i k z k π是)(12-ze z 的零点，所以i k z k π2=),,,( 210±±=k 是)(112-z e z 的极点，又10因为[]012≠'-=kz z ze z )(，),,,( 321±±±=k ，所以i k z k π2=),,,( 321±±±=k 是)(12-z e z 的一级零点，从而是)(112-z e z 的一级极点．2因为[]010≠'-=z z ze )(，所以00=z 是)(1-z e 的一级零点，从而是 )(12-z e z 的三级零点，故00=z 是)(112-z e z 的三级极点．6．设函数)(z ϕ与)(z ψ分别以a z =为m 级与n 级极点（或零点），那么下列三个函数 1）⋅)(z ϕ)(z ψ； 2）)()(z z ψϕ； 3）+)(z ϕ)(z ψ在a z =处各有什么性质．解 若函数)(z ϕ与)(z ψ分别以a z =为m 级与n 级极点，则)(z ϕ=)()(z a z m 11ϕ-，)(z ψ=)()(z a z n11ψ-，其中)(z 1ϕ、)(z 1ψ都在a z =的邻域内解析，且01≠)(a ϕ、01≠)(a ψ．1）⋅)(z ϕ)(z ψ=)()(z a z nm 11ϕ+-)(z 1ψ其中)()(z z 11ψϕ⋅在a z =的邻域内解析，且⋅)(a 1ϕ01≠)(a ψ,所以a z =为的)(z ϕ)(z ψ⋅的n m +级极点.2）)()(z z ψϕ=)()()(z z a z n m 111ψϕ⋅--其中)()(z z 11ψϕ在a z =的邻域内解析，且011≠)()(a a ψϕ,所以 当 m n >时, a z =为m n -级零点. m n <时, a z =为n m -级极点.m n =时, a z =为可去奇点.3）+)(z ϕ)(z ψ=)()(z a z m 11ϕ-+)()(z a z n11ψ-)(z F ∆ 若n m >,)(z F =mn m a z z a z z )()()()(--+-11ψϕ其分子在a z =的邻域内解析，且在a z =时不为零,所以a z =为m 级极点.若n m <,讨论同上知a z =为n 级极点.若n m =,)(z F =ma z z z )()()(-+11ψϕ当011≠+)()(a a ψϕ时, a z =为m 级极点.当011=+)()(a a ψϕ时,视具体情况而定,设a z =为k 级零点:若m k <,则a z =为+)(z ϕ)(z ψ的k m -级极点;若m k =,则a z =为可去奇点.8. 求下列各函数)(z f 在有限奇点处的留数:1) z z z 212-+; 2)421z e z -; 3) 32411)(++z z ; 4)z z cos ; 5)z -11cos ; 6)z z 12sin . 解 1) zz z z f 212-+=)(, 0=z 和2=z 都是)(z f 的一级极点,]),([Re 0z f s =zz z z z 212-+⋅→lim =21- ]),([Re 2z f s =z z z z z 21222-+⋅-→)(lim =232))(z f = 421z e z-,0=z 是)(z f 的孤立奇点因为02102≠-='-=z ze )(,所以0=z 是z e 21-的一级零点,从而0=z 是)(zf 的三级极点,]),([Re 0z f s =!21)(lim 4232201z e z dz d z z -⋅→=!21)(lim z e dz d z z 22201-→ =!21)(lim '--→222012zze e z z z =34- 3) )(z f =32411)(++z z =3431))((+-+z i z zi z ±=均为)(z f 的三级极点,]),([Re i z f s =!21)]()[(lim z f i z dz d i z ⋅-→322=i 83-]),([Re i z f s -=!21)]()[(lim z f i z dz d i z ⋅+-→322=i 834) )(z f =z z cos ,),,,( 2102±±=+=k k z k ππ为z cos 的一级零点(k z cos =0,但0)(cos ≠'=kz z z ),从而为zzcos 的一级极点,]),([Re k z z f s =kz z z z =')(cos =)()(211ππ+-+k k ),,,( 210±±=k5) )(z f =z-11cos,1=z 为)(z f 的孤立奇点, z -11cos= +-+--421411211)(!)(!z z , +∞<-<||10z ]),([Re 1z f s =06) )(z f =zz 12sin , 显然0=z 为)(z f 的孤立奇点,且易知在+∞<<||z 0内有洛朗展开式z z 12sin =)!!( -+-53251311zz z z =)!! -+-35131z z z ]),([Re 0z f s =!31-9. 计算下列各积分(利用留数;圆周均取正向):1) ⎰=23||sin z dz z z ; 2)⎰=-2221||)(z zdz z e ; 3) ⎰=-231||cos z m dz z z(其中m 为整数);6)⎰=--11||)()(z nn dz b z a z .(其中n 为正整数,且||||,||,||b a b a <≠≠11) 解 1) 因为10=→z z z sin lim,所以0=z 为zzsin 的可去奇点,据留数定理⎰=23||sin z dz z z=],sin [Re 02zz s i π=0 2) 1=z 为221)(-z e z的二级极点,所以由留数定理 ⎰=-2221||)(z z dz z e =],)([Re 11222-z e s i z π=i π2)])()[(lim 222111-⋅-→z e z dz d z z =i π222e ⋅=i e π243) =)(z f mz zcos -1=)!!!( -+--64211422z z z m 当2≤m 时, ]),([Re 0z f s =0当2>m 时,且m 为偶数时, ]),([Re 0z f s =0 当2>m 时,且m 为奇数时,不防设12+=n m ]),([Re 0z f s =)!1()1()!2()1(231--=--+m n m n 综上, 据留数定理,有⎰=-231||cos z mdz z z =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=>--=>≤-)(,)!()(,,为自然数且且n n m m m i n m m m m 1221212202023π 6) nn b z a z z f )()(1)(--=,不难看出a 与b 均为)(z f 的n 级极点． ① 当1||||<<b a 时，a z =,b z =两个极点均在1=z 内,]),([Re a z f s =)!1(1-n ])()(1)[(lim 11nn n n n a z b z a z a z dz d --⋅---→ =)!1(1-n ])()22()1()1(lim 121--→--+-n n a z b z n n n =1221)(])!1[()!22()1(------n n b a n n =122)(])!1[()!22()1(-----n n a b n n ]),([Re b z f s =1221)(])!1[()!22()1(------n n a b n n 由留数定理⎰=--11||)()(z nn dz b z a z =i π2{Res[f (z ), a ]+ Res[f (z ), b ]}=i π20⋅=0 ② 当1||||>>a b 时，nn b z a z z f )()(1)(--=在1=z 内解析,由Cauchy-Goursat 基本定理得⎰=--11||)()(z nn dz b z a z =0 ③ 当a b >>|1|||时，)(z f 在1=z 内只有一个n 级极点a z =,]),([Re a z f s =)!1(1-n ])()(1)[(lim 11nn n n n a z b z a z a z dz d --⋅---→=1221)(])!1[()!22()1(------n n b a n n 由留数定理⎰=--11||)()(z nn dz b z a z =⋅i π2Res[f (z ), a ] =1221)(])!1[()!22(2)1(------n n b a n in π。
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第一章 复数与复变函数一、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3)2(π=+z arc ，65)2(π=-z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+-（D ）i 2123+- 3．复数)2(tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转3π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ）（A ）2 （B ）i 31+（C ）i -3 （D ）i +3７．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ）（A ）i +-43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --43９．满足不等式2≤+-iz iz 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ）221=+-z z （B ）433=--+z z （C ）)1(11<=--a azaz （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．00)Im()Im(lim0z z z z x x --→（ ）（A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续15．设C z ∈且1=z ，则函数zz z z f 1)(2+-=的最小值为（ ）（A ）3- （B ）2- （C ）1- （D ）1二、填空题1．设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=，则=z2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg3．设43)arg(,5π=-=i z z ，则=z 4．复数22)3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为 5．以方程i z 1576-=的根的对应点为顶点的多边形的面积为 ６．不等式522<++-z z 所表示的区域是曲线 的内部７．方程1)1(212=----zi iz 所表示曲线的直角坐标方程为８．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点 和 的线段的垂直平分线９．对于映射zi =ω，圆周1)1(22=-+y x 的像曲线为 10．=+++→)21(lim 421z z iz三、若复数z 满足03)21()21(=+++-+z i z i z z ，试求2+z 的取值范围．四、设0≥a ，在复数集C 中解方程a z z =+22.五、设复数i z ±≠，试证21z z+是实数的充要条件为1=z 或0)(=z IM .六、对于映射)1(21zz +=ω，求出圆周4=z 的像. 七、试证１.)0(0221≠≥z z z 的充要条件为2121z z z z +=+； ２.)),,2,1,,,0(021n j k j k z z z j =≠≠≥的充要条件为 n n z z z z z z +++=+++ 2121.八、若0)(lim 0≠=→A z f x x ，则存在0>δ，使得当δ<-<00z z 时有A z f 21)(>. 九、设iy x z +=，试证y x z y x +≤≤+2.十、设iy x z +=，试讨论下列函数的连续性：1.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,2)(22z z y x xyz f2.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,)(223z z y x y x z f .第二章 解析函数一、选择题：1．函数23)(z z f =在点0=z 处是( )（A ）解析的 （B ）可导的（C ）不可导的 （D ）既不解析也不可导 2．函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( )（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分条件也非必要条件 3．下列命题中，正确的是( )（A ）设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy x（B ）若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导（C ）若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析 （D ）若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析 4．下列函数中，为解析函数的是( )（A ）xyi y x 222-- （B ）xyi x +2（C ）)2()1(222x x y i y x +-+- （D ）33iy x +5．函数)Im()(2z z z f =在=z 处的导数( )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于1- （D ）不存在6．若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析，那么实常 数=a ( )（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2-7．如果)(z f '在单位圆1<z 内处处为零，且1)0(-=f ，那么在1<z 内≡)(z f ( )（A ）0 （B ）1 （C ）1- （D ）任意常数 8．设函数)(z f 在区域D 内有定义，则下列命题中，正确的是（A ）若)(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 （B ）若))(Re(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 （C ）若)(z f 与)(z f 在D 内解析，则)(z f 在D 内是一常数 （D ）若)(arg z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 9．设22)(iy x z f +=，则=+')1(i f ( )（A ）2 （B ）i 2 （C ）i +1 （D ）i 22+ 10．ii 的主值为( )（A ）0 （B ）1 （C ）2πe （D ）2π-e11．z e 在复平面上( )（A ）无可导点 （B ）有可导点，但不解析 （C ）有可导点，且在可导点集上解析 （D ）处处解析 12．设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是( )（A ）)(z f 在复平面上处处解析 （B ）)(z f 以π2为周期（C ）2)(iziz e e z f --= （D ）)(z f 是无界的13．设α为任意实数，则α1( )（A ）无定义 （B ）等于1（C ）是复数，其实部等于1 （D ）是复数，其模等于1 14．下列数中，为实数的是( )（A ）3)1(i - （B ）i cos （C ）i ln （D ）i e 23π-15．设α是复数，则( )（A ）αz 在复平面上处处解析 （B ）αz 的模为αz（C ）αz 一般是多值函数 （D ）αz 的辐角为z 的辐角的α倍二、填空题1．设i f f +='=1)0(,1)0(，则=-→zz f z 1)(lim2．设iv u z f +=)(在区域D 内是解析的，如果v u +是实常数，那么)(z f 在D 内是 3．导函数xvix u z f ∂∂+∂∂=')(在区域D 内解析的充要条件为 4．设2233)(y ix y x z f ++=，则=+-')2323(i f 5．若解析函数iv u z f +=)(的实部22y x u -=，那么=)(z f 6．函数)Re()Im()(z z z z f -=仅在点=z 处可导7．设z i z z f )1(51)(5+-=，则方程0)(='z f 的所有根为 8．复数ii 的模为 9．=-)}43Im{ln(i 10．方程01=--ze 的全部解为三、设),(),()(y x iv y x u z f +=为iyx z +=的解析函数，若记)2,2()2,2(),(izz z z iv i z z z z u z z w -++-+=，则0=∂∂z w ． 四、试证下列函数在z 平面上解析，并分别求出其导数 1．;sinh sin cosh cos )(y x i y x z f -=2．);sin cos ()sin cos ()(y ix y y ie y y y x e z f xx++-=五、设023=+-ze zw w ，求22,dzwd dz dw .六、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=0,00,)()(422z z y x iy x xy z f 试证)(z f 在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导.七、已知22y x v u -=-，试确定解析函数iv u z f +=)(. 八、设s 和n 为平面向量，将s按逆时针方向旋转2π即得n .如果iv u z f +=)(为解析函数，则有s vn u n v s u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,（s ∂∂与n∂∂分别表示沿s ,n 的方向导数）. 九、若函数)(z f 在上半平面内解析，试证函数)(z f 在下半平面内解析. 十、解方程i z i z 4cos sin =+.第三章 复变函数的积分一、选择题：1．设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则=+⎰cdz iy x )(2( )（A ）i 6561- （B ）i 6561+- （C ）i 6561-- （D ）i 6561+ 2．设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则dz z z zc⎰+-2)1)(1(为( ) （A ）2i π （B ）2iπ- （C ）0 （D ）(A)(B)(C)都有可能 3．设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=⎰+=dz zzc c c 212sin ( ) （A ） i π2- （B ）0 （C ）i π2 （D ）i π4 4．设c 为正向圆周2=z ，则=-⎰dz z zc 2)1(cos ( ) （A ）1sin - （B ）1sin （C ）1sin 2i π- （D ）1sin 2i π5．设c 为正向圆周21=z ，则=--⎰dz z z z c23)1(21cos( )（A ）)1sin 1cos 3(2-i π （B ）0 （C ）1cos 6i π （D ）1sin 2i π-6．设ξξξξd ze zf ⎰=-=4)(，其中4≠z ，则='）i f π(( )（A ）i π2- （B ）1- （C ）i π2 （D ）17．设)(z f 在单连通域B 内处处解析且不为零，c 为B 内任何一条简单闭曲线，则积分dz z f z f z f z f c⎰+'+'')()()(2)( ( )（A ）于i π2 （B ）等于i π2- （C ）等于0 （D ）不能确定 8．设c 是从0到i 21π+的直线段，则积分=⎰cz dz ze （ ）（A ）21eπ-(B) 21eπ-- (C)i e21π+(D) i e21π-9．设c 为正向圆周0222=-+x y x ，则=-⎰dz z z c1)4sin(2π( ) （A ）i π22（B ）i π2 （C ）0 （D ）i π22- 10．设c 为正向圆周i a i z ≠=-,1，则=-⎰cdz i a zz 2)(cos ( ) （A ）ie π2 （B ）eiπ2 （C ）0 （D ）i i cos 11．设)(z f 在区域D 内解析，c 为D 内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于D ．如果)(z f 在c 上的值为2，那么对c 内任一点0z ,)(0z f ( )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于2 （D ）不能确定 12．下列命题中，不正确的是( ) （A ）积分⎰=--ra z dz az 1的值与半径)0(>r r 的大小无关 （B ）2)(22≤+⎰cdz iy x,其中c 为连接i -到i 的线段（C ）若在区域D 内有)()(z g z f ='，则在D 内)(z g '存在且解析 （D ）若)(z f 在10<<z 内解析，且沿任何圆周)10(:<<=r r z c 的积分等于零，则)(z f 在0=z 处解析13．设c 为任意实常数，那么由调和函数22y x u -=确定的解析函数iv u z f +=)(是 ( )(A)c iz +2（B ） ic iz +2（C ）c z +2（D ）ic z +214．下列命题中，正确的是( )（A ）设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数，则必有21v v = （B ）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数 （C ）若iv u z f +=)(在区域D 内解析，则xu∂∂为D 内的调和函数 （D ）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15．设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是( )（A ）),(),(y x iu y x v + （B ）),(),(y x iu y x v -（C ）),(),(y x iv y x u - （D ）xv i x u ∂∂-∂∂二、填空题1．设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段，则=⎰cdz z 22．设c 为正向圆周14=-z ，则=-+-⎰c dz z z z 22)4(233．设⎰=-=2)2sin()(ξξξξπd zz f ,其中2≠z ，则=')3(f 4．设c 为正向圆周3=z ，则=+⎰cdz zzz 5．设c 为负向圆周4=z ，则=-⎰c zdz i z e 5)(π 6．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 7．设)(z f 在单连通域B 内连续，且对于B 内任何一条简单闭曲线c 都有0)(=⎰cdz z f ，那么)(z f 在B 内8．调和函数xy y x =),(ϕ的共轭调和函数为9．若函数23),(axy x y x u +=为某一解析函数的虚部，则常数=a10．设),(y x u 的共轭调和函数为),(y x v ，那么),(y x v 的共轭调和函数为 三、计算积分 1.⎰=+-Rz dz z z z)2)(1(62,其中1,0≠>R R 且2≠R ; 2.⎰=++22422z z z dz． 四、设)(z f 在单连通域B 内解析，且满足)(1)(1B x z f ∈<-.试证１．在B 内处处有0)(≠z f ；２．对于B 内任意一条闭曲线c ，都有0)()(=''⎰cdz z f z f 五、设)(z f 在圆域R a z <-内解析，若)0()()(max R r r M z f ra z <<==-，则),2,1()(!)()( =≤n rr M n a fnn . 六、求积分⎰=1z zdz z e ，从而证明πθθπθ=⎰0cos )cos(sin d e . 七、设)(z f 在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数b a ,，试求极限⎰=+∞→--R z R dz b z a z z f ))(()(lim并由此推证)()(b f a f =（刘维尔Liouville 定理）.八、设)(z f 在)1(><R R z 内解析，且2)0(,1)0(='=f f ，试计算积分⎰=+122)()1(z dz zz f z 并由此得出⎰πθθθ202)(2cos d e f i 之值.九、设iv u z f +=)(是z 的解析函数，证明222222222))(1()(4))(1ln())(1ln(z f z f y z f x z f +'=∂+∂+∂+∂.十、若)(22y x u u +=，试求解析函数iv u z f +=)(.第四章 级 数一、选择题：1．设),2,1(4)1( =++-=n n nia n n ，则n n a ∞→lim ( ) （A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于i （D ）不存在2．下列级数中，条件收敛的级数为( )（A ）∑∞=+1)231(n ni （B ）∑∞=+1!)43(n n n i（C ） ∑∞=1n nni （D ）∑∞=++-11)1(n n n i3．下列级数中，绝对收敛的级数为( )（A ） ∑∞=+1)1(1n n in（B ）∑∞=+-1]2)1([n n n i n (C)∑∞=2ln n nn i （D ）∑∞=-12)1(n nn n i 4．若幂级数∑∞=0n n nz c在i z 21+=处收敛，那么该级数在2=z 处的敛散性为( )（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛（C ）发散 （D ）不能确定 5．设幂级数∑∑∞=-∞=01,n n n n nn znc z c 和∑∞=++011n n n z n c 的收敛半径分别为321,,R R R ，则321,,R R R 之间的关系是( )（A ）321R R R << （B ）321R R R >> （C ）321R R R <= （D ）321R R R == 6．设10<<q ，则幂级数∑∞=02n n n z q 的收敛半径=R ( )（A ）q （B ）q1（C ）0 （D ）∞+ 7．幂级数∑∞=1)2(2sinn n z n n π的收敛半径=R ( ) （A ） 1 （B ）2 （C ）2 （D ）∞+8．幂级数∑∞=++-011)1(n n n z n 在1<z 内的和函数为 （A ）)1ln(z + （B ）)1ln(z -（D ）z +11ln(D) z-11ln 9．设函数z e z cos 的泰勒展开式为∑∞=0n n n z c ，那么幂级数∑∞=0n nn z c 的收敛半径=R ( )（A ）∞+ （B ）1 （C ）2π（D ）π 10．级数+++++22111z z z z的收敛域是( ) （A ）1<z （B ）10<<z （C ）+∞<<z 1 （D ）不存在的11．函数21z在1-=z 处的泰勒展开式为( ) （A ）)11()1()1(11<++-∑∞=-z z n n n n（B ）)11()1()1(111<++-∑∞=--z z n n n n（C ）)11()1(11<++-∑∞=-z z n n n （D ）)11()1(11<++∑∞=-z z n n n12．函数z sin ，在2π=z 处的泰勒展开式为( )（A ）)2()2()!12()1(012+∞<--+-∑∞=+ππz z n n n n（B ）)2()2()!2()1(02+∞<---∑∞=ππz z n n n n（C ）)2()2()!12()1(0121+∞<--+-∑∞=++ππz z n n n n（D ）)2()2()!2()1(021+∞<---∑∞=+ππz z n n n n13．设)(z f 在圆环域201:R z z R H <-<内的洛朗展开式为∑∞-∞=-n n nz z c)(0，c 为H 内绕0z 的任一条正向简单闭曲线，那么=-⎰c dz z z z f 20)()(( )(A)12-ic π （B ）12ic π （C ）22ic π （D ）)(20z f i 'π14．若⎩⎨⎧--==-+= ,2,1,4,2,1,0,)1(3n n c nn n n ，则双边幂级数∑∞-∞=n nn z c 的收敛域为( ) （A ）3141<<z （B ）43<<z （C ）+∞<<z 41 （D ）+∞<<z 3115．设函数)4)(1(1)(++=z z z z f 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m 个，那么=m ( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 二、填空题1．若幂级数∑∞=+0)(n n ni z c在i z =处发散，那么该级数在2=z 处的收敛性为 ． 2．设幂级数∑∞=0n nnz c与∑∞=0)][Re(n n n z c 的收敛半径分别为1R 和2R ，那么1R 与2R 之间的关系是 ． 3．幂级数∑∞=+012)2(n n nz i 的收敛半径=R4．设)(z f 在区域D 内解析，0z 为内的一点，d 为0z 到D 的边界上各点的最短距离，那么当d z z <-0时，∑∞=-=)()(n nn z z cz f 成立，其中=n c ． 5．函数z arctan 在0=z 处的泰勒展开式为 ． 6．设幂级数∑∞=0n nnz c的收敛半径为R ，那么幂级数∑∞=-0)12(n n n nz c 的收敛半径为 ．7．双边幂级数∑∑∞=∞=--+--112)21()1()2(1)1(n n n nnz z 的收敛域为 ． 8．函数zze e 1+在+∞<<z 0内洛朗展开式为 ． 9．设函数z cot 在原点的去心邻域R z <<0内的洛朗展开式为∑∞-∞=n n nz c，那么该洛朗级数收敛域的外半径=R ． 10．函数)(1i z z -在+∞<-<i z 1内的洛朗展开式为 ．三、若函数211z z --在0=z 处的泰勒展开式为∑∞=0n nn z a ，则称{}n a 为菲波那契(Fibonacci)数列，试确定n a 满足的递推关系式，并明确给出n a 的表达式．四、试证明 1．);(11+∞<≤-≤-z ez ee zzz2．);1()1(1)3(<-≤-≤-z ze e z e z五、设函数)(z f 在圆域R z <内解析，∑==nk kk n z k f S 0)(!)0(试证 1．)()(21)(111R r z d z z f iz S n rn n n <<--=+=++⎰ξξξξξπξ.2．)()()(2)((11R r z d z f iz z S z f r n n n <<-=-⎰=++ξξξξπξ）。