西安交通大学复变函数习题

第一章 复数与复变函数

一、

选择题

1．当i

i z -+=

11时，50

75100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3

)2(π

=

+z arc ，6

5)2(π

=

-z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+-

（D ）i 2

123+- 3．复数)2

(tan πθπ

θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos(

sec θπθπ

θ+++i （B ）)]2

3sin()23[cos(sec θπ

θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(

sec θπθπθ+++-i （D ）)]2

sin()2[cos(sec θπ

θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小

５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ）

（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转

3

π

，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ）

（A ）2 （B ）i 31+

（C ）i -3 （D ）i +3

７．使得2

2

z z =成立的复数z 是（ ）

（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ）

（A ）i +-

43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4

3

９．满足不等式

2≤+-i

z i

z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232=

-+i z 所代表的曲线是（ ）

（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ）

22

1

=+-z z （B ）433=--+z z （C ）

)1(11<=--a az

a

z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z

12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0

0)

Im()Im(lim

0z z z z x x --→（ ）

（A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在

14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续

（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续

15．设C z ∈且1=z ，则函数z

z z z f 1

)(2+-=的最小值为（ ）

（A ）3- （B ）2- （C ）1- （D ）1

二、填空题

1．设)

2)(3()

3)(2)(1(i i i i i z ++--+=

，则=z

2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg

3．设4

3)arg(,5π

=

-=i z z ，则=z 4．复数2

2

)

3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为 5．以方程i z 1576

-=的根的对应点为顶点的多边形的面积为 ６．不等式522<++-z z 所表示的区域是曲线 的内部

７．方程

1)1(212=----z

i i

z 所表示曲线的直角坐标方程为

８．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点 和 的线段的垂直平分线

９．对于映射z

i =

ω，圆周1)1(2

2=-+y x 的像曲线为 10．=+++→)21(lim 4

2

1z z i

z

三、若复数z 满足03)21()21(=+++-+z i z i z z ，试求2+z 的取值范围．

四、设0≥a ，在复数集C 中解方程a z z =+22

.

五、设复数i z ±≠，试证

2

1z z

+是实数的充要条件为1=z 或0)(=z IM .

六、对于映射)1

(21z

z +=

ω，求出圆周4=z 的像. 七、试证１.

)0(022

1

≠≥z z z 的充要条件为2121z z z z +=+； ２.

)),,2,1,,,0(02

1

n j k j k z z z j =≠≠≥的充要条件为 n n z z z z z z +++=+++ 2121.

八、若0)(lim 0

≠=→A z f x x ，则存在0>δ，使得当δ<-<00z z 时有A z f 2

1)(>

. 九、设iy x z +=，试证

y x z y x +≤≤+2

.

十、设iy x z +=，试讨论下列函数的连续性：

1.⎪⎩

⎪

⎨⎧=≠+=0,00,2)(22z z y x xy

z f

2.⎪⎩

⎪⎨⎧=≠+=0,00

,)(223z z y x y x z f .