正、余弦函数的图象和性质
正弦、余弦、正切函数图象及其性质
函数正弦函数y=sinx 余弦函数y=cosx 正切函数y=tanx图像定义域R R{x∣x≠Kπ+π/2,K∈Z}值域[-1，1][-1，1]R周期性最小正周期都是2π最小正周期都是2π最小正周期都是π奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心是(Kπ,0),K∈Z；对称轴是直线x=Kπ+π/2,K∈Z对称中心是(Kπ+π/2,0),K∈Z；对称轴是直线x=Kπ,K∈Z对称中心是(Kπ/2,0),K∈Z单调性在[2Kπ-π/2,2Kπ+π/2],K∈Z上单调递增；在[2Kπ+π/2,2Kπ+3π/2],K∈Z上单调递减在[2Kπ,2Kπ+π],K∈Z上单调递减；在[2Kπ+π,2Kπ+2π],K∈Z上单调递增在[Kπ-π/2,Kπ+π/2],K∈Z上单调递增最值当X=2Kπ(K∈Z)时，Y取最大值1；当X=2Kπ+3π/2(K∈Z时，Y取最小值－1当X=2Kπ+π/2(K∈Z)时，Y取最大值1；当X=2Kπ+π(K∈Z时，Y取最小值－1无最大值和最小值正弦、余弦、正切函数图象及其性质注意1、正弦函数y=sinx在[2kπ-π/2, 2kπ+π/2]（k∈Z）上是增函数，但不能说它在第一或第四象限是增函数；对于正切函数，它在定义域的每一个单调区间内都是增函数，但不能说它在定义域上是增函数。
2、对于复合函数y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)、y=Atan(ωx+φ)均可以将ωx+φ视为一个整体，用整体的数学方法转化为熟悉的形式解决。
当ω＜0时，要特别注意。
如：y=sin(-2x+π/4)可以化为y=-sin(2x-π/4)或y=cos(2x+π/4)再求解。
3、函数y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为2π/∣ω∣，y=Atan(ωx+φ) 的最小正周期为π/∣ω∣。
6.1_正弦函数和余弦函数的图像与性质
6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质1．y=sinx ，x ∈R 和y=cosx ，x ∈R 的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线．2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx ， x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点是(0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1)3．定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］，分别记作： y ＝sin x ，x ∈R y ＝cos x ，x ∈R4．值域正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］.其中正弦函数y =sin x ,x ∈R①当且仅当x ＝2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1. ②当且仅当x ＝－2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1. 而余弦函数y ＝cos x ，x ∈R①当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1.②当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1.5．周期性一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.对于一个周期函数f (x )，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期.1︒周期函数x ∈定义域M ，则必有x+T ∈M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界； 2︒“每一个值”只要有一个反例，则f (x )就不为周期函数（如f (x 0+t)≠f (x 0)）3︒T 往往是多值的（如y=sinx 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做f (x )的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.6．奇偶性y ＝sin x 为奇函数，y ＝cos x 为偶函数正弦曲线关于原点O 对称,余弦曲线关于y 轴对称7．单调性 正弦函数在每一个闭区间［－2π＋2k π，2π＋2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2π＋2k π，23π＋2k π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1. 余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.例1 求下列函数的周期：(1)y ＝3cos x ，x ∈R ；(2)y ＝sin2x ，x ∈R ；(3)y ＝2sin(21x －6π)，x ∈R .一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)，x ∈R 及函数y ＝A cos(ωx ＋ϕ)，x ∈R (其中A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T ＝ωπ2.根据这个结论，我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期，如对于上述例子：(1)T ＝2π，(2)T ＝22π＝π，(3)T ＝2π÷21＝4π 例2不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0.(1)sin(－18π)－sin(－10π)； (2)cos(－523π)－cos(－417π)．例3 求函数y ＝2cos 1cos 3++x x 的值域.例4.f (x )＝sin x 图象的对称轴是 .例5.(1)函数y ＝sin(x ＋4π)在什么区间上是增函数?(2)函数y ＝3sin(3π－2x )在什么区间是减函数?【当堂训练】1.函数y ＝cos 2（x －12π）＋sin 2（x ＋12π）－1是( )A.奇函数而不是偶函数B.偶函数而不是奇函数C.奇函数且是偶函数D.非奇非偶函数2.函数y ＝sin （2x ＋25π）图象的一条对称轴方程是( )A.x ＝－2πB.x ＝－4πC.x ＝8πD.x ＝45π3.设条件甲为“y ＝A sin(ωx ＋φ)是偶函数”，条件乙为“φ＝23π”，则甲是乙的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.函数y ＝sin 4x ＋cos 4x 的最小正周期为 ．5.函数y ＝sin2x tan x 的值域为 .6.函数y ＝x －sin x ，x ∈［0，π］的最大值为( ) A.0 B. 2π－1 C.π D. 2243-π7.求函数y ＝2sin 22x ＋4sin2x cos2x ＋3cos 22x 的最小正周期.8.求函数f （x ）＝sin 6x ＋cos 6x 的最小正周期，并求f （x ）的最大值和最小值.9.已知f （x ）＝xx x x cos sin 1cos sin 1+-，问x 在［0，π］上取什么值时，f （x ）取到最大值和最小值.10.给出下列命题：①y ＝sin x 在第一象限是增函数； ②α是锐角，则y ＝sin(α＋4π)的值域是［－1，1］； ③y ＝sin ｜x ｜的周期是2π； ④y ＝sin2x －cos2x 的最小值是－1；其中正确的命题的序号是 .11.求下列函数的单调递增区间：①y ＝cos(2x ＋6π)； ②y ＝3sin(3π－2π)12.求函数y ＝－｜sin(x ＋4π)｜的单调区间.13.函数y ＝sin(2x ＋25π)的图象的一条对称轴方程是( ) A.x ＝－2π B.x ＝－4π C.x ＝8π D.x ＝45π【家庭作业】1.在下列区间中函数y ＝sin(x ＋4π)的单调增区间是( ) A.［2π，π］ B.［0，4π］ C.［－π，0］ D.［4π，2π］ 2.若函数y ＝sin2x ＋a cos2x 的图象关于直线x ＝－8π对称，试求a 的值. .]4,3[sin 2)( .3的取值范围上递增，求在是正数，函数已知例ωππωω-=x x f4.求下列函数的定义域、值域：（1）； （2） ； （3） ．5.求下列函数的最大值，并求出最大值时 的集合：（1） ， ； （2） ， ； （3）（4） ．6．要使下列各式有意义应满足什么条件？（1）； （2） ．37.函数，的简图是（）8.函数的最大值和最小值分别为（）A．2，－2 B．4，0 C．2，0 D．4，－4 9.函数的最小值是（）A．B．－2 C． D．10.如果与同时有意义，则的取值范围应为（）A． B． C．D．或11.与都是增函数的区间是（）A．， B．，C．， D．，12.函数的定义域________，值域________，时的集合为_________．13.求证：（1）的周期为；（2）的周期为；（3）的周期为．参考答案：例1解：(1)∵y ＝cos x 的周期是2π∴只有x 增到x ＋2π时，函数值才重复出现.∴y ＝3cos x ，x ∈R 的周期是2π.(2)令Z ＝2x ，那么x ∈R 必须并且只需Z ∈R ，且函数y ＝sin Z ，Z ∈R 的周期是2π.即Z ＋2π＝2x ＋2π＝2(x ＋π)．只有当x 至少增加到x ＋π，函数值才能重复出现.∴y ＝sin2x 的周期是π.(3)令Z ＝21x －6π，那么x ∈R 必须并且只需Z ∈R ，且函数y ＝2sin Z ，Z ∈R 的周期是2π，由于Z ＋2π＝(21x －6π)＋2π＝21 (x ＋4π)－6π，所以只有自变量x 至少要增加到x ＋4π，函数值才能重复取得，即T ＝4π是能使等式2sin ［21 (x ＋T)－6π］＝2sin(21x －6π)成立的最小正数.从而y ＝2sin(21x －6π)，x ∈R 的周期是4π. 从上述可看出，这些函数的周期仅与自变量x 的系数有关.例2解：(1)∵－2π＜－10π＜－18π＜2π． 且函数y ＝sin x ，x ∈［－2π，2π］是增函数. ∴sin(－10π)＜sin(－18π) 即sin(－18π)－sin(－10π)＞0 (2)cos(－523π)＝cos 523π＝cos 53π cos(－417π)＝cos 417π＝cos 4π ∵0＜4π＜53π＜π 且函数y ＝cos x ，x ∈［0，π］是减函数∴cos53π＜cos 4π 即cos 53π－cos 4π＜0 ∴cos(－523π)－cos(－417π)＜0 例3解：由已知：cos x ＝⇒--y y 312｜y y --312｜＝｜cos x ｜≤1⇒(yy --312)2≤1⇒3y 2＋2y －8≤0 ∴－2≤y ≤34∴y max ＝34，y min ＝－2 例4解：由图象可知：对称轴方程是：x ＝k π＋2π(k ∈Z ) 例5解：(1)函数y ＝sin x 在下列区间上是增函数：2k π－2π＜x ＜2k π＋2π (k ∈Z ) ∴函数y ＝sin(x ＋4π)为增函数，当且仅当2k π－2π＜x ＋4π＜2k π＋2π 即2k π－3π＜x ＜2k π＋4π(k ∈Z )为所求. (2)∵y ＝3sin(3π－2x )＝－3sin(2x －3π) 由2k π－2π≤2x －3π≤2k π＋2π 得k π－12π≤x ≤k π＋125π (k ∈Z )为所求. 或：令u ＝3π－2x ，则u 是x 的减函数 又∵y ＝sin ｕ在［2k π－2π，2k π＋2π］(k ∈Z )上为增函数， ∴原函数y ＝3sin(3π－2x )在区间［2k π－2π，2k π＋2π］上递减. 设2k π－2π≤3π－2x ≤2k π＋2π 解得k π－12π≤x ≤k π＋125π(k ∈Z ) ∴原函数y ＝3sin(3π－2x )在［k π－12π，k π＋125π］(k ∈Z )上单调递减. 【当堂训练】 1.A 2.A 3.B 4.2π 5.［0，2) 6.C 7. 2π 8.Ｔ＝2π 函数最大值为1 函数最小值为41. 9.x ＝4π时，f (x )取到最小值31； x ＝43π时，f (x )取到最大值3. 10．分析:①y ＝sin x 是周期函数,自变量x 的取值可周期性出现，如反例：令x 1＝4π，x 2＝6π＋2π，此时x 1＜x 2 而sin 3π＞sin(6π＋2π)∴①错误；②当α为锐角时，4π＜α＋4π＜2π＋4π 由图象可知22＜sin(α＋4π)≤1 ∴②错误；③∵y ＝sin ｜x ｜(x ∈R )是偶函数.其图象是关于y 轴对称，可看出它不是周期函数.∴③错误；④y ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos2x ，最小值为－1∴④正确.答案：④11. 解：①设ｕ＝2x ＋6π，则y ＝cos ｕ当2k π－π≤ｕ≤2k π时y ＝cos u 随u 的增大而增大 又∵ｕ＝2x ＋6π随x ∈R 增大而增大 ∴y ＝cos(2x ＋6π)当2k π－π≤2x ＋6π≤2k π(k ∈Ζ) 即k π－127π≤x ≤k π－12π时，y 随x 增大而增大 ∴y ＝cos(2x ＋6π)的单调递增区间为： ［k π－127π，k π－12π］(k ∈Z ) ②设ｕ＝3π－2π，则y ＝3sin ｕ 当2k π＋2π≤ｕ≤2k π＋23π时，y ＝3sin ｕ随x 增大在减小， 又∵ｕ＝3π－2x 随x ∈R 增大在减小 ∴y ＝3sin(3π－2x )当2k π＋2π≤3π－2x ≤2k π＋23π 即－4k π－37π≤x ≤－4k π－3π时，y 随x 增大而增大 ∴y ＝3sin(3π－2x )的单调递增区间为 ［4k π－37π，4k π－3π］(k ∈Z )12. 解：利用“五点法”可得该函数的图象为：显然，该函数的周期为π在［k π－4π，k π＋4π］(k ∈Z )上为单调递减函数；在［k π＋4π，k π＋43π］(k ∈Z )上为单调递增函数. 13. 方法一：运用性质1′,y ＝sin(2x ＋25π)的所有对称轴方程为x k ＝2πk －π(k ∈Z ),令k ＝－1,得x －1＝－2π，对于B 、C 、D 都无整数k 对应. 故选A.方法二：运用性质2′，y ＝sin(2x ＋25π)＝cos2x ，它的对称轴方程为x k ＝2πk (k ∈Z )，令k ＝－1，得x －1＝－2π，对于B 、C 、D 都无整数k 对应，故选A. 【家庭作业】 1.分析：函数y ＝sin(x ＋4π)是一个复合函数即y ＝sin ［ϕ(x )］，ϕ (x )＝x ＋4π，欲求y ＝sin(x ＋4π)的单调增区间，因ϕ (x )＝x ＋4π在实数集上恒递增，故应求使y 随ϕ (x )递增而递增的区间.方法一：∵ϕ (x )＝x ＋4π在实数集上恒递增，又y ＝sin x 在［2k π－2π，2k π＋2π］(k ∈Z )上是递增的，故令2k π－2π≤x ＋4π≤2k π＋2π ∴2k π－43π≤x ≤2k π＋4π ∴y ＝sin(x ＋4π)的递增区间是［2k π－43π，2k π＋4π］ 取k ＝－1、0、1，分别得［－411π，47π］、［－43π，4π］、［45π，49π］， 对照选择支，可知应选B像这类题型，上述解法属常规解法，而运用y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的单调增区间的一般结论，由一般到特殊求解，既快又准确，如本题倘若运用对称轴方程求单调区间，则是一种颇具新意的简明而又准确、可靠的方法.方法二：函数y ＝sin(x ＋4π)的对称轴方程是： x k ＝k π＋2π－4π＝k π＋4π (k ∈Z )，对照选择支，分别取k ＝－1、0、1，得一个递增或递减区间分别是［－43π，4π］或［4π，45π］，对照选择支思考即知应选B. 注：一般运用正、余弦函数的对称轴方程求其单调区间，可先运用对称轴方程求其一个单调区间，然后在两端分别加上周期的整数倍即得.2. 解：显然a ≠0，如若不然，x ＝－8π就是函数y ＝sin2x 的一条对称轴，这是不可能的. 当a ≠0时，y ＝sin2x ＋a cos2x =)2cos(1)2sin 112cos 1(12222θ-+=++++x a x a x a aa其中cos θ＝2211sin ,1aaa +=+θ即tan θ＝a1cos sin =θθ 函数y ＝21a +cos(2x －θ)的图象的对称轴方程的通式为2x k ＝k π＋θ(k ∈Z )∴x k ＝22πθk +，令x k ＝－⇒8π22πθk +=－8π∴θ＝－k π－4π∴tan θ＝tan(－k π－4π)＝－1.即a1＝－1，∴a ＝－1为所求. 3. 解：由题设得)(2222Z k k x k ∈+≤≤-ππωππ.230.42,32.2222,0⎪⎩⎪⎨⎧≤<≥-≤-∴+≤≤-∴>ωπωππωπωπωπωπωπω解得k x k故ω的取值范围为].23,0(4. 解：（1） ，（2）由 （）又∵ ，∴∴定义域为 （），值域为． （3）由 （），又由∴∴定义域为（），值域为 ．指出：求值域应注意用到 或 有界性的条件．5.解：（1）当，即（）时，取得最大值∴函数的最大值为2，取最大值时的集合为．（2）当时，即（）时，取得最大值．∴函数的最大值为1，取最大值时的集合为．（3）若，，此时函数为常数函数．若时，∴时，即（）时，函数取最大值，∴时函数的最大值为，取最大值时的集合为．（4）若，则当时，函数取得最大值．若，则，此时函数为常数函数．若，当时，函数取得最大值．∴当时，函数取得最大值，取得最大值时的集合为；当时，函数取得最大值，取得最大值时的集合为，当时，函数无最大值．指出：对于含参数的最大值或最小值问题，要对或的系数进行讨论．思考：此例若改为求最小值，结果如何？6.解：（1）由，∴当时，式子有意义．（2）由，即∴当时，式子有意义．7．B 8．B 9．A 10．C 11．D12．；；13.分析：依据周期函数定义证明．证明：（1）∴的周期为．（2）∴的周期为．（3）∴的周期为．。
《正弦函数、余弦函数的图象与性质》知识清单
《正弦函数、余弦函数的图象》知识清单知识点1正弦函数、余弦函数的图象 正弦函数y =sin x余弦函数y =cos x①______知识点2周期函数 1.周期函数设函数()f x 的定义域为D ,如果存在一个⑭________常数T ,使得对每一个x D ∈都有x T D +∈,且⑮________,那么函数()f x 就叫做周期函数,⑯________叫做这个函数的周期. 2.最小正周期如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个⑰________的正数,那么这个⑱________正数就叫做()f x 的最小正周期. 知识点3正弦函数、余弦函数的性质y =sin xy =cos x⑲________【答案】①R ②(0,0)③,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭④(,0)π⑤3,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭⑥(2,0)π⑦(0,1)⑧,02π⎛⎫⎪⎝⎭⑨(,1)π-⑩3,02π⎛⎫⎪⎝⎭⑪(2,1)π⑫左(或右)⑬(2π或3)2π⑭非零⑮()()f x T f x +=⑯非零常数T ⑰最小⑱最小⑲R ⑳2π○21 [1,1]-○2222k ππ+○23322k ππ+○242k π○252k ππ+○26奇○27偶○282x k ππ=+○29x k π=○302,222k k ππππ-+⎡⎤⎢⎥⎣⎦○3132,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦○32[2,2]k k πππ-○33[2,2]k k πππ+ 【知识辨析】判断正误,正确的画“√”,错误的画“⨯”. 1.正、余弦函数的图象形状相同,位置不同.( ) 2.正、余弦函数的图象向左、右和上、下无限伸展.( ) 3.函数sin y x =的图象向右平移2π个单位长度得到函数cos y x =的图象.( )4.直线12y =与函数sin ,[0,2]y x x π=∈的图象有两个交点.( ) 5.周期函数()y f x =的周期可能只有一个.( ) 6.任何周期函数都有最小正周期.( )7.若存在正数T ,使()()f x T f x +=-,则2T 为函数()f x 的周期.( )8.sin y x =的图象与cos y x =的图象既是中心对称图形又是轴对称图形.( ) 9.正弦函数、余弦函数在定义域内是单调函数.( )10.存在实数x ,使得sin x =【答案】 1.√2.×正、余弦函数的图象向左、右无限伸展,但上、下限定在直线y =1和y =-1之间.3.×函数y =sin x 的图象向左(或右)平移2π(或32π)个单位长度得到函数y =cos x 的图象. 4.√5.×周期函数的周期一定有无限个,如T 是它的周期,则nT (n ∈Z ,n ≠0)也是它的周期.6.×对于常数函数f (x )=c ,任意一个正实数都是其周期,因而不存在最小正周期.7.√8.√9.×正弦函数、余弦函数在定义域内呈周期性变化,增减交替,不是单调函数. 10.×正弦函数的最大值为1.。
正弦函数和余弦函数的图像与性质
10
18
(2) 因为
π ＜ 2 π ＜ 3 π ＜π ，
23
4
且
y ＝sin x
在[ π ，π] 上是减函数，
2
所以 sin 2 π ＞ sin 3 π ．
3
4
例8.判断f(x)=xsin(+x)奇偶性
解 函数的定义域R关于原点对称 f (x) xsin( x) xsin x
f (x) (x)sin(x) f (x) f (x) f (x)
y
1
-2 - o 2 3
-1
4 x
定义域
R
值域
[1,1]
x 2k (k Z ) 时
2
最
值
ymax=1 x 2k (k Z ) 时
2
ymin= 1
y= 0 x k (k Z)
R [1,1]
x 2k (k Z) 时 ymax=1 x 2k (k Z ) 时 ymin= 1
是减函数。
② 函数y=cos(x+/2),xR ( A )
A 是奇函数； B 是偶函数； C 既不是奇函数也不是偶函数； D 有无奇偶性不能确定。
2 不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：
sin 250 >_ sin 260
cos15 / 8>_ cos14 / 9
cos515 >_ cos530
y
1-
-
o
π 6
π 3
π 2
2π 3
5π 6
π
7 6
4π 3
3π 2
5π 3
11π 6
2π
x
-1 -
图象的最高点: ( π ，1)； 2
正弦函数、余弦函数的性质(全)
当且仅当 x 2k， （ k Z） 时 ， (cos x)min 1.
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
ycox(sxR)
例题
求使函数
y3cos2x( )
取得最大值、最小值的
2
自变量的集合，并写出最大值、最小值。
y
1
3 5 2
而在每个闭区间[ 2k , 3 2k ](k Z )上都是
2
2
减函数，其值从1减小到－1。
探究：余弦函数的单调性 y
1
3 5 2
2 3
2
2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
当x在区间 [3 , 2 ]、[，0]、[，2 ][3 , 4 ] 上时，
4
5 6 x
y=cosx (xR)
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
一.周期性
对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得 当x取定义域内的每一个值时，都有 f (x+T)=f (x)
那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个 函数的周期。
注：1正、T弦要是函非数零常是数周期函数，2k(kZ且 k0)，最小
其值从 1减至-1
五、余弦函数的单调性
y
1
-3 5 -2 3
2
2
o - 2
2
-1
x - … …
2
cosx -1
0
正、余弦函数的图象和性质
一、一周内容概述（一）函数y=sinx,x∈[0,2π]图象上五个关键点：函数y=cosx, x∈[0,2π]图象上五个关键点（二）正、余弦函数的性质二、重难点知识归纳及讲解例1、求下列函数的定义域（1）y=lg(2sinx)（2）分析：对（1）应考虑对数的真数大于0对（2）应考虑被开方数不小于0解答：（1）∵2sinx﹥0∴2kπ﹤x﹤2kπ＋π(k∈Z)∴定义域为（2）∵3cosx－1－2cos2x≥0∴定义域为总结：确定三角函数式的定义域，要注意使解析式有意义的x满足的条件，如偶次根式内的被开方式不能小于0，分式的分母不能为0，对数的真数要大于0，底数大于0且不等于1，还要考虑三角函数本身的定义域.例2、求下列函数的值域分析：求值域要注意三角函数的有界性，即|sinx|≤1,|cosx|≤1，还需注意一些常见的变形技巧及方法.解答：（1）即值域为[－2,0].（2）∵－1≤cosx≤1（3）原函数式可化为：例 3 、判断下列函数的奇偶性（1）f(x)=x2－cosx（2）f(x)=asinx＋bcosx (ab≠0)分析：判断奇偶性主要要看两个方面，一是函数的定义域是否关于原点对称，二是f(－x)与f(x)之间满足什么样的关系.解答：（1）∵x∈R，又f(－x)=(－x)2－cos(－x)=x2－cosx=f(x)∴f(x)是偶函数.（2）∵x∈R，又f(－x)=asin(－x)＋bcos(－x)=－asinx＋bcosx≠f(x)且≠－f(x)∴f(x)是非奇非偶函数.例 4 、求下列函数的单调增区间分析：函数的增减区间是它的定义域的子集，因此均不可忽视函数定义域这一限制条件. 解答：（1）由得（2）∴求原函数的增区间即求的减区间例5、如果函数y=f(x)=sin2x＋acox2x的图象关于直线对称，试求a的值. 分析一：由函数y=Asin(ωx＋φ)的图象对称轴方程的特征解题.解答：由题意：时函数应是最大值或最小值.分析二：利用，再用赋值法求解.解答：是f(x)的一条对称轴.。
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质
张喜林制1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质教材知识检索考点知识清单1．把正弦函数x y s i n =的图象 个单位就得到余弦函数的图象．用“五点法”作]2,0[,cos π∈=x x y 的图象，五点坐标为2．余弦函数的定义城是 ，值域是 ，周期是 ，奇偶性是 函数，单调增区间是 ，单调减区间是 3．一般地，函数,)(cos(R x x A y ∈+=ϕω其中ϕω、、A 为常数且)0,0>=/ωA 的周期为 4．正切函数x y tan =的定义域是 ，值域是 ，周期是 ，单调区间是 ，单调性是 函数，奇偶性是 函数．)tan(5ϕω+=⋅x A y 的最小正周期为要点核心解读1．余弦函数的图象),)(2sin(cos R x x x y ∈+==π由此可知，余弦函数x y cos =图象与正弦函数=y )2(π+x n 的图象形状相同．于是把正弦曲线向左平移2π个单位就可得到余弦函数的图象．余弦函数x y cos =的图象叫做余弦曲线．由图1-3 -2 -1可以看出，余弦曲线上有五个点起关键作用，这五个点是：⋅-)1,2()023(1)0,2).(1,0(ππππ、、）、、（我们可利用这5个点画出余弦函数的简图． 2．余弦函数的性质(1)余弦函数的定义域与值域．余弦函数的定义域为R ，值域从图象上可以看出是[ -1，1]． (2)余弦函数的周期性．①余弦函数的周期可参照诱导公式：x k x cos )2cos(=+π),(z k ∈因而周期是⋅=/∈)0(2k Z k k 且π 最小正周期是2π .②一般地，函数ϕωϕω、、A x A y <+=)cos(为常数且,0=/A )0>ω的最小正周期为⋅=ωπ2T(3)余弦函数的奇偶性，①由图象可以看出余弦曲线关于y 轴对称，因而是偶函数． ②也可由诱导公式x x cos )cos(=-知，余弦函数为偶函数， (4)余弦函数的单调性．由余弦曲线可以知道：余弦函数x y cos =在每一个闭区间)](2,)12[(z k k k ∈-ππ上，都从-1增大到1，是增函数，在每一个闭区间)]()12(,2[Z k k k ∈+ππ上，都从1减小到-1，是减函数，也就是说，余弦函数R x x y ∈=,cos 的单调区间是]2,)12[(ππk k -及).]()12(,2[Z k k k ∈+ππ3．正切函数的性质正切函数x y tan =有以下主要性质： (1)定义域：},2|{z k k x x ∈+=/ππ(2)值域：从图1-3 -2 -2的正切线可以看出，在区间)2,2(ππ-内，当x 小于,2π并且无限接近2π时，x tan 可无限地增大，且它的值可比指定的任何正数都大．我们把这种情况记作.tan +∞→x 读作x tan *趋向于正无穷大”；当戈大于,2π-并且无限接近2π-时，x tan 无限减小，且它的绝对值可比指定的任何正数都大，我们把这种情况，记作.tan -∞→x 读作x tan 趋向于负无穷大”．这就是说，tanx 可取任意实数值，没有最大值，也没有最小值．因此，函数x y tan =的值域是实数集R ．(3)周期性：周期是π．(4)奇偶性：由,tan )tan(x x -=-知正切函数是奇函数，它的图象关于原点成中心对称． (5)单调性：正切函数在每一个开区间)2,2(ππππk k ++-)(z k ∈内都是增函数．4．正切函数的图象用单位圆上的正切线来作正切函数x y tan =在开区间)2,2(ππ-内的图象（如图1-3 -2 -3）．由诱导公式,,2,,tan )tan(z k k x R x x x ∈+=/∈=+πππ且知道正切函数是周期函数，并且π是它的一个周期，又可证明π是它的最小正周期．根据正切函数的周期性，我们可把图象向左、向右连续平移，得出z k k k x x y ∈++-∈=),2,2(,tan ππππ的图象正切曲线（如图1-3 -2 -4），可以看出，正切曲线是由通过点))(0,2(z k k ∈+ππ且与y 轴相互平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成的．典例分类剖析考点1图象及其应用命题规律(1)作图象并研究其性质．(2)借助图象解三角不等式．[例1] 画出函数x x y tan |tan |+=的图象，并指出定义域、值域、最小正周期和单调区间． [解析] 先根据绝对值定义去掉绝对值符号，再作图象，)(),2,[,tan 2],,2(,0tan |tan |z k k k x x k k x x x y ∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∈-∈=+=ππππππ故可作如图1-3 -2 -5所示的图象，由图象可知，定义域为R x x ∈|{且},,2z k k x ∈+=/ππ值域为),,0[+∞周期,π=T 单调增区间为+ππk k ,[).)(2z k ∈π1．根据正切函数的图象，写出下列不等式的解集：;1tan )1(-≥x .12tan )2(-≤x考点2定义域问题 命题规律求含有x x tan cos 的函数的定义域． [例2] 求下列函数的定义域：;cos 21)1(x y -=;tan 11)2(x y += .tan 3)3(x y -=[解析] (1)要使函数有意义，则有,21cos ,0cos 21≤≥-x x 则其定义域为⋅∈+≤≤+},35232|{z k k x k x ππππ (2)要使函数x y tan 11+=有意义，则有⎪⎩⎪⎨⎧⋅∈+=/=/+)(2,0tan 1z k k x x ππ即,4ππ-=/k x 且⋅∈+=/)(2z k k x ππ 所以函数的定义域为,|{R x x ∈且⋅∈+=/-=/},2,4z k k x k x ππππ,3tan ,0tan 3)3(≤∴≥-x x⋅∈+≤<-∴)(32z k k x k ππππ∴ 其定义域为⋅∈+≤<-},32|{z k k x k x ππππ2．求下列函数的定义域：;cos 21)1(x y -=⋅-+=)tan 1lg(tan )2(x x y考点3单调性问题 命题规律(1)求单调区间．(2)比较大小．[例3] (1)求x y 2cos =的单调区间．(2)比较 138tan 与o 143tan 的大小． [解析] (1)函数x y 2cos =的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定⋅∈+≤≤∈≤≤-)(222),(222z k k x k z k k x k ππππππ⋅∈+≤≤∈≤≤-∴)(2),(2z k k x k z k k x k ππππππ∴ 函数x y 2c o s =的单调递增区间、单调递减区间分别为⋅∈+∈-)](2,[)](,2[z k k k z k k k N ππππππ,27014313890)2( <<<而x y tan =在,90( ∈x )270o 上是增函数，.143tan 138tan <∴[点拨] (1)形如)tan(ϕω+=x A y 或)cos(ϕω+=x A y （其中)0,0>=/ωA 的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把”“)0(>+ωϕωx 视为一个“整体”；)0(0<>A A ②时，所列不等式的方向与=y )(cos ).(tan R x x y R x x ∈=∈的单调区间对应的不等式的方向相同（反）．如，函数)12cos(+-=x y 的递减区间可以由不等式)(2122z k k x k ∈≤+≤-πππ确定． 课本上研究x y cos =的单调区间为++ππππk k k 2[],2,2[⋅∈+)](22,z k k πππ(2)利用三角函数的单调性进行三角函数的大小比较，一般来说有以下两种情况：①比较同名三角函数值的大小，首先运用三角函数诱导公式将其转化为同一单调区间上的同名三角函数，运用单调性，由自变量的大小，确定函数值的大小．②比较不同名的三角函数的大小时，应先运用诱导公式化为同名三角函数，再利用三角函数的单调性，或数形结合或用三角函数图象作比较． 3．(1)求下列函数的单调区间：);46tan(3;cos 1x y x y -=-=π②①⋅∈=/+=),2)(22tan(z k k x x y ππ③ (2)比较下列各数的大小．⋅--)815cot(),76cot(,513tan ,56tanππππ 考点4周期性与奇偶性 命题规律(1)求给定函数的周期．(2)判断给定函数的奇偶性． [例4] (1)函数)0(cos=/=ab x aby 的周期为(2)函数x x x y cos 2tan +⋅=为____（填“奇”或“偶”）函数．[解析] .|2|||2)1(ππb aab T ==(2)函数定义域},42|{z k k x x ∈+=/ππ关于原点对称， 又)cos()2tan()(x x x x f -+-⋅-=-⋅=+⋅⋅=)(cos 2tan x f x x x∴ 此函数为偶函数． [答案] π|2|)1(ba(2)偶 4．（1)函数)33ta n(π+=ax y 的周期为,2π则a 的值为 (2)判断函数xxx y tan 1cos tan 2--=的奇偶性．(3)判断下列函数的奇偶性，并求它们的周期：;,2cos 3R x x y ∈=① .|tan |x y =②考点5值域与最值命题规律求含有x x tan cos ≡的函数式的值域或最值． [例5] (1)求1tan 4tan 2-+=x x y 的值域； (2)若)23tan(],3,6[x k y x -+=∈πππ的值总不大于零，求实数后的取值范围， [解析] (1)设,tan x t =则转化为关于t 的二次函数求最值(2)由0≤y 得),23tan(x k --≤π因此，只要求出)23tan(x -π的范围即可．[答案] (1)设,55)2(14,tan 221-≥-+=-+==t t t Jy x t λ1tan 4tan 2-+=∴x x y 的值域为).,5[+∞-(2)由,0)23tan(≤-+=x k y π得⋅-=--≤)32tan()23tan(ππx x k⋅∈-∴∈]3,0[32],3,6[ππππx x由正切函数的单调性得.3)32tan(0≤-≤πx∴ 要使)32tan(π-≤x k 恒成立，只要0≤k 即可，即k 的取值范围为].0,(-∞[点拨] (1)与二次函数有关的三角问题，常常使用“换元法”． (2)解决恒成立问题常常使用“分离常数法”，5.（1） 求函数1tan tan 1tan tan 22+++-=x x x x y 的最大值与最小值．(2)如果函数)0(cos 1>-=b x b a y 的最大值是,23最小值是,21-求函数bx a y 3sin 42-=的最大值．优化分层测训学业水平测试)252cos(1π+=⋅x y 的一条对称轴为( )． 0.=x A 4.π=x B 8.π=x C 83.π=x D 2．与函数)42tan(π+=x y 的图象不相交的一条直线是( )．2.π=x A 2.π-=x B 4.π=x C 8.π=x D3．下列点中，能成为函数R x x y ∈+=)(5tan(π且,103ππ+=/k x )z k ∈的一个对称中心的是( )． )0,0(⋅A )0,5.(πB )0,54.(πC )0,.(πD4．将x y cos =的图象向____平移____个单位得到=y )3cos(π-x 的图象．5．直线m m y <=为常数）与函数)0(tan >=ωωx y 的图象相交且相邻两交点间的距离为2π ，则=ω6．利用五点法作出下列函数的简图（只作一个周期长度）：;cos 1)1(x y +=).62cos(3)2(π-=x y高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分） 一、选择题（5分x8 =40分） 1．要得到函数)621cos(π+=x y 的图象，可将x y cos =的图象( )． A ．各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6π个单位 B ．各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移⋅3π个单位C ．向左平移3π个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍D ．向左平移6π个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍2．（2009年广东高考题）函数1)4(cos 22--=πx y 是( )．A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数 3．（2009年全国高考题）如果函数)2cos(3ϕ+=x y 的图象关于点)0,34(π中心对称，那么||ϕ的最小值为( )．6π⋅A 4π⋅B 3π⋅C 2π⋅D4．（2009年四川高考题）已知函数),)(2sin()(R x x x f ∈-=π下面结论错误的是( )．A ．函数)(xf 的最小正周期为2π B ．函数)(x f 在区间]2,0[π上是增函数C ．函数)(x f 的图象关于直线0=x 对称D ．函数)(x f 是奇函数5．（2009年江西高考题）函数x x x f cos )tan 31()(+=的最小正周期为( )．π2.A 23.πB π.C 2π⋅D 6．（2008年浙江高考题）在同一平面直角坐标系中，函数=y ])2,0[)(232cos(ππ∈+x x 的图象和直线21=y 的交点个数是( )．0.A 1.B 2.C 4.D )tan(sin 7x y =⋅的值域为( )．]4,4.[ππ-A ]22,22.[-B ]1tan ,1tan .[-c D ．以上均不对 8．（2011年山东理）函数x xy sin 22-=的图象大致是( )．二、填空题（5分×4 =20分） 9．函数)42tan(π-=x y 的单调递增区间是10．已知函数)2tan()(φ+=x x f 的图象的一个对称中心为),0,3(π若,2||πϕ<则P 的值为11.给出下列命题：①函数x y sin =在第一、四象限都是增函数； ②函数)cos(ϕω+=x y 的最小正周期为;2ωπ③函数)2732sin(π+=x y 是偶函数； ④函数x y 2sin =的图象向左平移4π个单位，得到)42sin(.π+=x y 的图象，其中正确的命题的序号是12．（2010年福建高考题）已知函数>-=<ωπω)(6sin(3)x x f )0和1)2cos(2)(++=ϕx x g 的对称轴完全相同，,0[∈x ],2π则)(x f 的取值范围是 三、解答题（10分x4 =40分） 13.求下列函数的定义域：;)sin(cos )1(x y = .lgcos 36)2(2x x y +-=11 / 1114．已知函数b x a y += cos 的最大值为1，最小值为-3，求)3tan()(π+=ax b x f 的单调区间．15.（2010年广东高考题）已知函数,0)3sin()(><+=A x A x f ϕ)0),,(πϕ<<+∞-∞∈x 在12π=x 时取得最大值4．(1)求)(x f 的最小正周期；(2)求)(x f 的解析式．16.（2011年北京理）已知函数.1)6sin(cos 4)(-+=πx x x f (1)求)(x f 的最小正周期；(2)求)(x f 在区间]4,6[ππ-上的最大值和最小值，。
3.3.1正弦函数余弦函数的图象与性质
2
4
6
x
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以
y=sinx x 2k ,2(k 1) , k Z且k 0 的图象在… 4 ,2
, 2 ,0, 0,2 ,2 ,4 , …与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同
问题：如何作余弦函数的图象？
余弦曲线
-
-
y-
1
6
4
2
o-
2
-1
4
6
由于cos x sin( x) sin(x )
7
36
6
4 3
3 5 23
(2 ,1)
11 6
2
x
-1 -
最低点： ( ,1)
例1．画出下列函数的简图
（1）y=sinx+1, x∈[0,2π] （2）y=－cosx , x∈[0,2π]
解:（1）列表
x
sin x
0
2
0
3 2
2
0
1 0
sin x 1
12
1
0
1
（2）
x
0
cos x
1
cos x -1
2
所以余弦函数
y
2
cos x, x R与函数
y
sin(x
), x R
2
是同一个函数；余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移 2
个单位长度而得到．
你能用五点法作函数y cos x（x 0，2 ）
的图像吗 ?
-
y
与x轴的交点：
最高点：1
(0,1)
-
3
( ,0) ( ,0)
2
2
-1
正、余弦函数地图象与性质
正、余弦函数的图象与性质[知识回顾]⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z ooo第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z oooo第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z oooo第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z oooo终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z o终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z oo终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z o3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z o4、已知α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域．5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l rα=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=o ，1180π=o，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭oo ． 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y()220r r x y =+>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正， 第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．12、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．13、三角函数的诱导公式：口诀：奇变偶不变，符号看象限． 14、正弦函数、余弦函数的图象与性质：sin y x = cos y x =图象定义域 R R值域[]1,1-[]1,1-最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =； 当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =； 当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．周期性2π2π函 数 性 质[考点例题精讲]考点一：正余弦函数图象的应用例1 利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合：21sin )1(≥x 解：作出正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象： 由图形可以得到，满足条件的x 的集合为：Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,265,26ππππ21cos )2(≤x 解：作出余弦函数y=cos ，x ∈[0，2π]的图象： 由图形可以得到，满足条件的x 的集合为：Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,235,23ππππ考点二：求与正余弦函数有关的定义域问题 例2求下列函数的定义域：(1)y ＝1+xsin 1(2)y ＝x cos 解：(1)由1＋sin x ≠0，得sin x ≠－1 即x ≠23π＋2k π(k ∈Z ) ∴原函数的定义域为｛x ｜x ≠23π＋2k π，k ∈Z ｝ (2)由cos x ≥0得－2π＋2k π≤x ≤2π＋2k π(k ∈Z )∴原函数的定义域为［－2π＋2k π，2π＋2k π］(k ∈Z )方法小结：求三角函数的定义域实质就是解三角不等式（组）．一般可用三角函数的图象或三角函数线确定三角不等式的解．列三角不等式，既要考虑分式的分母不能为零；偶次方根被开方数大于等于零；奇偶性奇函数 偶函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是减函数． 在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数； 在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z ⎪⎝⎭对称轴()x k k π=∈Z对数的真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身的定义域；变式训练21：求下列函数的定义域和值域解(1)要使lgsinx有意义，必须且只须sinx＞0，解之，得2kπ＜x＜(2k+1)π，k∈Z．又∵0＜sinx≤1，∴-∞＜lgsinx≤0．∴定义域为(2kπ，(2k+1)π)(k∈Z)，值域为(-∞，0]．变式训练22（选做）：求函数y ＝2cos 1cos 3++x x 的值域解：由已知：cos x ＝⇒--y y 312｜yy --312｜＝｜cos x ｜≤1 ⇒(y y --312)2≤1⇒3y 2＋2y －8≤0 ∴－2≤y ≤34 ∴y max ＝34，y min ＝－2 求三角函数的值域的常用方法：①化为求代数函数的值域；②化为求sin()y A x B ωϕ=++的值域；③化为关于sin x （或cos x ）的二次函数式；考点三：求正余弦函数的周期 例3 求下列函数的周期：(1)y ＝3cos x ，x ∈R ；(2)y ＝sin2x ，x ∈R ；(3)y ＝2sin(21x －6π)，x ∈R 解：(1)∵y ＝cos x 的周期是2π∴只有x 增到x ＋2π时，函数值才重复出现∴y ＝3cos x ，x ∈R 的周期是2π(2)令Z ＝2x ，那么x ∈R 必须并且只需Z ∈R ，且函数y ＝sin Z ，Z ∈R 的周期是2π即Z ＋2π＝2x ＋2π＝2(x ＋π)．只有当x 至少增加到x ＋π，函数值才能重复出现∴y ＝sin2x 的周期是π(3)令Z ＝21x －6π，那么x ∈R 必须并且只需Z ∈R ，且函数y ＝2sin Z ，Z ∈R 的周期是2π，由于Z ＋2π＝(21x －6π)＋2π＝21 (x ＋4π)－6π，所以只有自变量x 至少要增加到x ＋4π，函数值才能重复取得，即T ＝4π是能使等式2sin ［21 (x ＋T)－6π］＝2sin(21x －6π)成立的最小正数从而y ＝2sin(21x －6π)，x ∈R 的周期是4π从上述可看出，这些函数的周期仅与自变量x 的系数有关方法小结：三角函数的周期问题一般利用sin()cos()y A x y A x ωϕωϕ=+=+或的周期为2||T πω=即可。
正弦函数余弦函数的图象和性质
3 2
2
x
y= - cosx，x[0, 2]
正弦、余弦函数的图象
练习：在同一坐标系内，用五点法分别画出函数 y= sinx，x[0, 2] 和 y= cosx，x[ 2 ,
3 2
]的简图：
3 22
x
cosx sinx
0
2
0 2
2 0 -1
3 2
0 1 1 0 y 向左平移 个单位长度 2 2
故变量x只要并且至少要增加到x+π， 函数值就能重复取得，所以y=sin2x， x∈R的T=π
1 3、y 2 sin( 2 x 6 )
x∈R
解：令 z x
1 2
6
，那么x∈R必须并且只要
z∈R，且函数y=2sinz，z∈R的T=2π，由
1 1 于 z 2 x 2 ( x 4 ) 。所以自变量z只 2 6 2 6
余弦曲 线
5 6
-4
-3
-2
-
(o ,0) 2 -1
( ,-1)
x
正弦、余弦函数的图象
例1 画出函数y=1+sinx，x[0, 2]的简图：
x
sinx 1+sinx
y 2
0 0 1
2
0 1
3 2
1 2
-1 0
2 步骤： 0 1.列表 1 2.描点 3.连线
y=1+sinx，x[0, 2] 1
例４、
求下列函数的周期：
1：y=3cosx x ∈R
解：因为余弦函数的周期是2π，所 以自变量x只要并且至少需要增长到 x+2π，余弦函数的值才会重复取得， 函数y=3cosx的值才能重复取得， 所以T=2π。
正弦函数余弦函数的图像和性质
f ( x) = 3cos x = 3cos( x + 2π ) = f ( x + 2π )
所以T=2π
2、y=sin2x x ∈R 解、令z=2x，那么x∈R必须并且只需z∈R，且函 数y=sinz，z∈R的T=2π，即变量z只要并且至少 要增加到z+2π，函数y=sinz，z∈R的值才能重复 取得，而z+2π=2x+2π=2（x+π） 故变量x只要并且至少要增加到x+π，函数值 x x+π 就能重复取得，所以y=sin2x，x∈R的T=π 即 f ( x) = sin 2 x = sin(2 x + 2π ) = sin 2( x + π ) = f ( x + π ) 所以T=π
例1．画出下列函数的简图 ．
（1）y= 2sinx ,x∈[0, 2π], ） ∈ π （2）y=sin2x , x∈[0,2π] ） 解: （1） 列表 ） Y 2 1 0
x y=2sinx
0 0
π
2
π 0
3π 2
2π π 0
2
-2
(2)描点作图 描点作图
y=2sinx y=sinx
π
2π
X
2、五点作图法 、
y = sin( x + ), x ∈ R 3 4
例4利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
（1） sin 250 （2） cos
15 π 8
o
与
sin 260o
与 cos 14 π 9
例5 求函数 y = sin( 2 x + 3 ), x ∈ [−2π , 2π ] 的单调递增区间. 解： 令
( 0 , 0 ) (π , 0 ) (2π ,0)
正余弦函数的图像与性质
o
-1
2
3
4
5
6
x
正弦函数的图象 y=sin(x+ )=cosx, xR 2 y 余弦函数的图象
(0,1) (0,1) 1 -4 -3 -2 -
(o 2 ,0) 2 -1
3 ( ,0) 2
形状完全一样 只是位置不同
正弦曲 线
,1) ,1) ((22
2 3 4
f ( x 2 ) sin( x 2 ) sin x f ( x) 最小正周期为2
余弦函数的性质
1、定义域 2、值域
3、对称性
xR y 1,1
( k∈Z)
对称轴方程 x= k
4、单调性
在x 2k ,2k 上是增函数；
当x 2k时，ymax 1
y
1
4 3
2
3 2
2
2
3
4
7 2
5 2
0
-1
2
3 2
5 2
7 2
x
y=sin x, x∈R
思考与交流:图中,起着关键作用的点
是那些?找到它们有什么作用呢? 3 0,0 ,1 ,0 , 1 2
正弦函数y=sinx（x R)的图象
5 6
2 3
2
3 6
11 6
y
1
● ● ● ● ●
y=sinx ( x[0, 2 ] )
●
7 6 4 3 5 3
7 4 3 5 11 6 6 3 2 3
2
●
2
0
6
正余弦函数图象和性质
这意味着余弦函数的图象关于y轴对称。
余弦函数的单调性
描述
单调性是指函数值随自变量的增加而增加或减少的性质。
单调区间
余弦函数在$[0, 180^circ]$和$[270^circ, 360^circ]$区 间内是单调递减的，而在$[180^circ, 270^circ]$区间内 是单调递增的。
特性
余弦函数的周期性
1 2
描述
余弦函数具有周期性，这意味着函数值会重复出 现。
周期
余弦函数的周期为$360^circ$或$2pi$弧度。
3
特性
在每个周期内，函数值从-1增加到1，再减少到1。
余弦函数的奇偶性
描述
奇偶性是数学中描述函数特性的一种方式， 余弦函数具有偶函数的特性。
定义
如果一个函数满足$f(-x) = f(x)$，则该函数为偶函数。 对于余弦函数，当$x$取反时，函数值不变。
正弦函数的周期性意味着可以通 过一个周期内的函数值来推断出
任意长度的周期内的函数值。
正弦函数的奇偶性
正弦函数是奇函数，因为对于任意实数x，有 $sin(-x) = -sin x$。
正弦函数的图像关于原点对称，即当x取反时，y 的值也取反。
正弦函数的奇偶性在解决一些数学问题时非常有 用，例如简化计算或证明某些性质。
微积分
正余弦函数在微积分中用于求解微分方程和积分方程，以及研究 函数的极限和连续性。
线性代数
正余弦函数在矩阵的特征值和特征向量计算中有应用，用于研究 矩阵的性质和变换。
05
总结与展望
总结正余弦函数的重要性质
周期性
正余弦函数是周期函数，具有特定的周期，如正弦函数的周期为 $2pi$，余弦函数的周期为$2pi$。
第四讲 正弦、余弦、正切函数的图象与性质(解析版)
第四讲 正弦、余弦和正切函数的图像与性质知识提要1． 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．2． 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象定义域 R R {x |x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z }值域[－1,1][－1,1]R单调性[-π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )上递增； [π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z )上递减 [-π＋2k π，2k π](k ∈Z )上递增；[2k π，π＋2k π](k ∈Z )上递减(-π2＋k π，π2＋k π) (k ∈Z )上递增最值x ＝π2＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝π＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 (k π，0)(k ∈Z ) (π2＋k π，0) (k ∈Z ) (k π2，0)(k ∈Z ) 对称轴方程x ＝π2＋k π(k ∈Z ) x ＝k π(k ∈Z )周期2π2ππ※ 学习评价1、判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期． ( √ ) (2)y ＝cos x 在第一、二象限上是减函数． ( × ) (3)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．( × )(4)y ＝k sin x ＋1(x ∈R )，则y max ＝k ＋1. ( × )2、函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2解析：方法一 ∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z . 取k ＝－1，则x ＝－π4.方法二 用验证法．x ＝π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－π4＝0，不合题意，排除A ； x ＝π2时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－π4＝22，不合题意，排除B ； x ＝－π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4－π4＝－1，符合题意，C 项正确； x ＝－π2时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π2－π4＝－22，不合题意，故D 项也不正确． 3、若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω等于( )A ．23B ．32C ．2D ．3解析：∵f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增， 在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32.例1 求函数y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4，x ∈[－4π，4π]的单调减区间． 解析：y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4＝－sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4＋1. 由2k π－π2≤12x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )．解得4k π－π2≤x ≤4k π＋32π(k ∈Z)．令k ＝0时，－π2 ≤x ≤32π； 令k ＝1时，72π≤x ≤4π＋32π. 令k ＝－1时，－4π－π2≤x ≤－52π；∵－4π≤x ≤4π，∴函数y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调减区间为 [－4π，－52π]，[－π2，32π]，[72π，4π]．变式：（1）已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是( )A ．[12，54]B ．[12，34]C ．(0，12]D ．(0,2]（2）已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π8)＝1，则实数b 的值为( )A ．－1B ．3C ．－1或3D ．－3解析：（1）由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意知(π2ω＋π4，πω＋π4)⊆[π2，3π2]，∴⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54，故选A.解析：由f (x ＋π4)＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，又函数f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3. 故选C. 例2 求函数f (x )＝lg sin x ＋16－x 2的定义域．解析：由题意，x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >016－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4sin x >0，作出y ＝sin x 的图象，如图所示．结合图象可得：x ∈[－4，－π)∪(0，π)． 例3 求下列函数的周期．(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 (x ∈R)； (2)y ＝cos(1－πx )(x ∈R)； (3)y ＝|sin x | (x ∈R)． 解析：(1)方法一 令z ＝2x ＋π3，∵x ∈R ，∴z ∈R ，函数f (z )＝sin z 的最小正周期是2π，就是说变量z 只要且至少要增加到z ＋2π，函数f (z )＝sin z (z ∈R)的值才能重复取得， 而z ＋2π＝2x ＋π3＋2π＝2(x ＋π)＋π3，所以自变量x 只要且至少要增加到x ＋π，函数值才能重复取得，从而函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 (x ∈R)的周期是π..方法二 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R)的周期为2π2＝π. (2)设f (x )＝cos(1－πx )，则f (x )＝cos(πx －1)．∵cos[(πx －1)＋2π]＝cos[(πx ＋2π)－1]＝cos[π(x ＋2)－1]＝co s(πx －1)． ∴f (x ＋2)＝f (x )，从而函数y ＝cos(1－πx )(x ∈R)的周期是2. (3)作出y ＝|sin x |(x ∈R)的图象．由图象可知，y ＝|sin x |(x ∈R)的周期为π.例4 (1) 求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域. (2) 求函数y ＝sin 2x －sin x ＋1，x ∈R 的值域．解 （1）∵0≤x ≤π2，∴π6≤x ＋π6≤23π. ∴cos 23π≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤cos π6，∴－12≤y ≤32(2)设t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，f (t )＝t 2－t ＋1. ∵f (t )＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34. ∵－1≤t ≤1， ∴当t ＝－1，即sin x ＝－1时，y max ＝f (t )max ＝3； 当t ＝12，即sin x ＝12时，y min ＝f (t )min ＝34.∴函数y ＝sin 2x －sin x ＋1，x ∈R 的值域为⎣⎡⎦⎤34，3.巩固提高※夯实基础1．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( A )A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x ＋π2)2、函数y ＝2sin(2x ＋π3)(－π6≤x ≤π6)的值域是________．[0,2]3、求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π4的定义域、周期、单调区间和对称中心． 解析：①由π3x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠3k ＋34，k ∈Z .∴ 函数的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠3k ＋34，k ∈Z }．②T ＝ππ3＝3，∴函数的周期为3.③由k π－π2<π3x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z . 解得3k －94<x <3k ＋34，k ∈Z .∴函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎫3k －94，3k ＋34，k ∈Z . ④由π3x ＋π4＝k π2，k ∈Z . 解得x ＝3k 2－34，k ∈Z .∴函数的对称中心是⎝⎛⎭⎫3k 2－34，0，k ∈Z . 4. 设|x |≤π4，求函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值．解析：f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x ＝－⎝⎛⎭⎫sin x －122＋54. ∵|x |≤π4，∴－22≤sin x ≤22. ∴当sin x ＝－22时，f (x )min ＝1－22.5. 已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间． 解 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]， 又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ， 其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z . ∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .※能力提高6、将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是 ( )A.13B ．1C.53D ．2解析：根据题意平移后函数的解析式为y ＝sin ω⎝⎛⎭⎫x －π4， 将⎝⎛⎭⎫3π4，0代入得sin ωπ2＝0，则ω＝2k ，k ∈Z ，且ω>0，故ω的最小值为2. 7、函数y ＝|sin x ＋cos x |－1的定义域是( )A ．[k π，k π＋π2](k ∈Z )B ．[2k π，2k π＋π2](k ∈Z )C ．[－π2＋k π，k π](k ∈Z )D ．[－π2＋2k π，2k π](k ∈Z )解析：|sin x ＋cos x |－1≥0⇒(sin x ＋cos x )2≥1 ⇒sin 2x ≥0，∴2k π≤2x ≤2k π＋π，k ∈Z ，故原函数的定义域是[k π，k π＋π2](k ∈Z )．8、已知函数)2sin()(ϕ+=x x f ，其中ϕ为实数，若|)6(|)(πf x f ≤对R x ∈恒成立，且)()2(ππf f >，则)(x f 的单调递增区间是 ( ) (A) )(6,3Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ (B) )(2,Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+πππ(C) )(32,6Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ (D) )(,2Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-πππ 解析：∵|)6(|)(πf x f ≤， ∴)6(πf 为)(x f 的最小值或最大值，∴ 1)62sin()6(±=+⨯=ϕππf ， ∴ Z k k ∈+=+,23ππϕπ，∴ Z k k ∈+=,6ππϕ.当6πϕ=时，2167sin )622sin()2(-==+⨯=ππππf ，216sin )62sin()(==+=ππππf . 这与)()2(ππf f >矛盾，舍去。
正余弦函数图象和性质1
7、周期性
f (x 2 ) sin( x 2 ) sin x f (x) 最小正周期为2
三、余弦函数y cos x的图象
1、描点法
2、五点法
四、余弦函数y cos x的性质
1、定义域 2、值域 3、对应法则
xR
y 1,1
x y
4、单调性 在x 2k ,2k 上是增函数；
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看呀？在哪里？”丁瑶明知故问.三个女人一条街,有她俩の加入,陆宅今晚の气氛比往常热闹了很多.不过,第二天一早,她俩看日出の计划泡汤了,因为风雪很大,整片天空阴沉沉の.而陆羽一早起床,依旧在后院锻炼臂力,然后再回书房工作.她の时间很紧凑,不可能天天跑去找柏少华谈情 说爱,基本上一个礼拜能找他两次就很频繁了.说得现实一些,就是柏少华在她心里の分量不如工作来得重要.对于这一点,柏少华早习惯了.在没看见她之前他并不介意,因为他自己也忙,但没她那么忙.有一天录完视频,暂时没兴趣回家做手工活,他便在休闲居の铁板烧后面の休息区品着咖 啡看着书.偶尔看看落地窗外の雪景,心境影响表情,脸上犹带几分慵懒随性,举止轻松惬意.“少华.”一声娇柔轻唤,唐蕊默默地走了过来,“介意我坐下吗？”柏少华淡淡扫了她一眼,“请坐.”唐蕊顿时嫣然坐下,经过几天静养,她の脚伤已经好了能够行走自如.看得出她今天稍稍化了淡 妆,风情尽在眉间.餐厅里暖和,她只穿了一件纯白色の高领加厚羊绒中长衫和深灰贴身の打底裤,色泽淡雅而时尚,把身上の丰满线条掩盖得若隐若现.“好像最近几天没见陆小姐过来,她很忙吗？她是干什么の？”唐蕊好奇地问.柏少华の视线仍在书上,“你找我有事？”见他不想谈这个, 唐蕊便笑道：“没有,我原本是过来看看儿时の小伙伴,没想到会搞出这么多事来,你改天见了陆一声抱歉.话说回来,记得你过喜欢温柔漂亮の女孩子,今天看来你找到了...”温柔？漂亮？柏少华一双深邃の黑眸看过来,饶有兴致地问：“哦？我有说过吗？”“当然？”见他终于有兴趣, 唐蕊心喜,风情万种地嗔他一眼,“你当时是十二岁,我十岁,看不惯我整天凶巴巴の便说了那番话...”一起经历过某段岁月の人,能聊の话题很多.第310部分谈话间,赵丽娥给唐蕊端来一杯奶茶,她进来の时候点の.唐蕊很礼貌地向她说了谢谢,然后笑看奶茶一眼,“差点忘了,我人生之中收 の第一份男孩子送の礼物,就是你请我喝の三块钱一大杯の奶茶,有印象吗？”柏少华笑笑不说话,端坐着认真倾听.“你说,只要我对你不再凶巴巴,你以后在家天天请我喝.可惜呀...”她叹气,“你好久没回来了,我几乎忘了你の样子.幸亏当初我们拍了一张婚照...”说到这里,她看了柏 少华一眼.发现他依然在认真听但视线不在她身上,这个发现令人不悦.“哎,我是不是话太多让你心烦了？都是陈年旧事你估计早忘了.”“没关系,那张照片呢？还在你那儿？”他试探地问了一句.难得他感兴趣,唐蕊开心之余略懊恼,“不在了,我记得放在相册里,本想拿来重温一下却怎 么也找不到.唉,人就是这样,越想找一样东西越找不着,或许哪天它会自动出来,到时候我再拿给你看.”打感情牌强而有力の物证,可惜找不到了.“那先谢谢了,我对小时候の事确实比较感兴趣.”柏少华笑了笑,优雅地端起咖啡喝了一口,那种醇香略带苦甘の滋味令他感官灵敏,特别の精 神.那张照片の事他原本一无所知,后来派人去调查才知道の.照片已经在他家里,之所以问,是为了试探她手里是否还有关于他の物品.曾经问过很多人,都说她当年和他是一对欢喜冤家,经常吵吵闹闹但很快又和好.那照片不是他想拍の,是表兄姐们经不起同学好友の怂恿,把他俩逮去穿着 袖珍版の华夏喜服拍了几张,戏称婚照.那些照片由于各种原因弄丢了,只剩唐蕊手里の一张被他の人拿了回来.本来跟她无话可说,但奶茶の事对他来说也很陌生,不知唐蕊是胡诌还是偶然想起.不管怎样,他愿意花时间去倾听,甚至隐约期待她多说一些关于小时候の事.“可惜我也差不多忘 了,今天突然想喝奶茶才记起一点,或许日后会慢慢想起更多来,”唐蕊笑道,“其实,这回我死皮赖脸地跟少卿哥他们来是有事求你...”接着,她向他坦承自己离异,并有个孩子の事,女儿在前夫眼里是个赔钱货所以扔给她养.前夫是个渣,离婚の时候让她净身出户,身上一点钱都没有 了.“...虽然我爸妈肯帮一把,可我弟弟谈了女朋友,她不喜欢我在家,所以我急需一份工作,一份能够养活我和孩子の工作.”说到这里,她看了对面男人一眼.见他神色如常看不出情绪,她咬咬唇,继续道,“你也知道,我是个单身母亲要腾出时间带孩子,一般单位不会用我这种人.我爸妈常 听少媛爸妈夸你人面广,想起我跟你の交情,所以...”不是听少媛爸妈说,而是听少贤の老子娘说の.所以父母希望她来找他,看能不能看在以前の情分上帮她找一份高薪の,稳定の,工作时间短可以灵活安排の活.“我尽量帮你留意一下.”柏少华没有一口应下.既要工资高,福利好,还得有 时间回家带孩子,除了老板娘之外没别の职位可找,他自认当老板都没有那么好の福利,上哪儿给她找？“呃,其实不必太麻烦,”她犹豫片刻,环视餐厅四周一下,“我看这里挺合适の,空气好,环境也不错适合小孩子成长,从小学外语也容易些.”她笑容灿烂.“不如,你在这里随便安排我一 个职位？放心,我什么都能干.”她一脸诚恳道.凭以前の交情,相信他不会安排她做清洁工.“这里规模小用不着太多人,有他们几个就够了.”柏少华婉拒,“不如你先让父母照看孩子,我帮你介绍一两份工作或者你自己做个小生意安定下来再做打算.人有时候难免要受累受委屈, 无论在哪儿或者是谁都一样.”别说华夏,国外也有很多女性为了生计打几份工の,大家生活都不容易.结过婚の人了,唐蕊岂能不懂他の意思？“少华,连你也不肯帮我？”唐蕊失望地看着他,眼里闪过一丝受伤.“不是不肯帮,田深夫妇做得好好の我总不能炒了他们.而且说实话,你这要求 有点高,换你做老板会怎么想？”他不收,也不能坑朋友吧？她那种要求哪个老板肯招？又不是什么高材生,谁愿意花大价钱把一名普通高校生当成老佛爷招回公司供着？如果他开口肯定有人答应,那些人目の是还他人情,要么想让他欠人情.他の人情很贵,不能轻易乱来.“我知道这要求很 过分...”唐蕊略失望,“可我身边只有你最本事,如果连你都帮不了,我只好自己做生意了.可是我又没有本钱,你能不能借我一些？放心,我手头松动马上还你.”“你想做什么生意？”柏少华神色温和.仿佛昨日重现,唐蕊兴奋得脸上发光,“城市竞争激烈我肯定争不过,所以想学你在乡下 搞个农家乐.这样我就有时间管理餐厅,又有时间带孩子,你看怎样？”遇到不懂の就找他帮忙,近水楼台,日久生情,简直一举两得.至于他那个傲娇得长期不露面の小女友,嗤,继续找地方窝着吧！那种清高性子,就算没有自己将来也会有别人插一腿.柏少华问她：“你有经验？”“现在做 老板用不着经验,有钱就行了.很多新手都是请专业人士回来帮忙打理,哪有亲力亲为の,那招工干嘛？”唐蕊理所当然道,“当然,银钱の收支我来管,你放心,绝对不会浪费一分一毫.”她の“完美”计划让柏少华为之失笑,“构思很好,不过我认为你最好先去其他地方打打工,多学习人家の 管理经验再考虑自己开.你还年轻,拼得起.”“我做过,除了打暑期工,毕业之后在西餐厅当了一年部长,后来给一位外商当秘书...”其实是文员,但杂事繁琐跟生活秘书差不多.见他一副公事公办の样子,唐蕊略急,滔滔不绝地谈起自己丰富の工作经验来.她这次来就两个目标,一个是和柏 少华搭上关系,不行の话就借钱,还不还未来の自己混成什么样.按柏少华以前の性子,他做不出追女人还钱这种事来.第311部分柏少华好笑地端起杯子想喝一口,发现咖啡早凉了,于是放回桌面.唐蕊の话他左耳进右耳出,明知她是个天坑,他有钱也不能往里边扔.再说,这个唐蕊不像外表那 么纯良.刚到云岭村就惹事,他怎么可能说帮就帮？被陆陆知道肯定炸毛.想起好几天不见の某人,他下意识地往窗外看,那姑娘对他...柏少华默,放下交叠の双脚凝望窗外の斗篷姑娘,咳咳,她什么时候来の？！来了干嘛不进来？不进来那肯定是误会了什么.“抱歉,先失陪了.”柏少华顾不 得收拾杯子,利索地站起来披上厚实の大衣,拿过一边の拐杖不紧不慢地走向门口.唐蕊先是一愣,随后往落地窗外一看,嗬,许久不来の人居然选在这时候来.不过转念一想,她原本气恼の心境忽然好转,神情自然地向窗外の女孩挥挥手.窗外の陆羽刚来不久,她目光平静,披着厚斗篷站在雪地 中一动不动,窗里那对年轻男女の和谐相处她一目了然.柏少华表现坦荡,她相信两人之间没什么,但就是不爽.直到柏少华发现她并且马上出来,心里才稍微好过一些.可是,当她看见唐蕊动作自然地伸手拿过他の杯子喝了一口时,顿时气结.感觉自己男朋友被别の女人间接亲吻冒犯.“陆 陆？外边雪那么大怎么不进来？”柏少华皱着眉头来到跟前,伸手就要拉她进去.陆羽小脸冷凝,“她喝你杯里の咖啡.”他喝咖啡或茶或酒所用杯子都不一样,固定の.他跟她讨厌の人坐在一起快乐地聊天就算了,两人还共用一个杯子？！过分！哪怕小时候养成の习惯也不行.看着膈应,不 想进.柏少华愕然,回头望一眼窗里,刚好看见唐蕊端着两个杯子离开座位准备拿去清洗.没事人似の,仿佛陆羽の指责是无中生有.再回头看看气鼓鼓不发一语の女友,不禁笑着抬手揉揉她の脸.“是我想得不够周到.”他之前都是自己泡咖啡和洗杯の,由于怕她误会跑掉,所以今天走得急了 些.揽着她の腰往自己家里走,边走边打电筒,“丽娥,把我の杯子砸碎扔了,以后不许任何人碰我の东西.”无论干净还是脏の.他语气顿了顿,“陆陆例外.”陆羽一听忍不住笑了出来,随他回了小别墅.而餐厅里,唐蕊面带微笑,眸里掠过得意の目光.哼,少贤の老子娘说得不错,柏少华这些年 变了不少,不再是以前那个大度绅士の小男孩,对人对事老练世故了很多.若换了以前,只要她肯放下身段说些软话,那小子几乎是有求必应.无论是请吃kfc还是去m记,一概他掏钱,跟眼前这个斤斤计较の男人完全相反,判若两人.既然人财不得,就别怪她给人添堵了.“唐小姐,杯子给我吧,我 拿去清洗.”她路过吧台,被赵丽娥笑眯眯地拦下来.唐蕊一躲,笑语中隐含一丝强势,“不用,我跟少华从小一起长大两小无猜,经常帮他洗衣服洗碗の早就习惯了.让我来吧,你就说是你洗の.”虽然是信口开河,但洗个杯子谁都会.孰料,赵丽娥身手快捷,稍微错身已把唐蕊手中の杯子碟一起 端走,并歉意道:“这不合规矩,唐小姐是客人,不敢劳烦.”说罢转身走开了.一个打工妹居然敢对老板の客
高一数学正弦函数、余弦函数的图象和性质
是同一个函数；余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移 2
各单位长度而得到．
y cos x, x R与函数 y sin( x ), x R 2
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
结束
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
y
1P 1
/ p1
o1
y
余弦函数 y cos x, x 0,2 的图象
-
-
-
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
正弦曲线
y
1-
6
-
4
-
2
-
o-1
2
-
4
-
6
-
x
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……， 4 ,2 , 2 ,0, 0,2 , 2 ,4 , …与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同 余弦曲线（平移得到） 余弦曲线（几何作法）
1 2
x
y
0
3
3 2
6
2
2 3
3 2
5 6
1 2
0
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
0
1
1 2
3 2
1 23
1 2
0
(2) 描点
y 10
2
-
-
-
-
3 2
2
x
(3) 连线
1 -
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
利用三角函数线 1.函数 y sin x, x 0,2 图象的几何作法 作三角函数图象 . . . . x的正弦线，巧妙地 , sin x),连线. 描点法 : 查三角函数表得三角函数值,描点(x 几何法作图的关键是如何利用单位圆中角
6.1(3)正弦函数和余弦函数的图像和性质
(3) y 3 sin x cos x
(4) y 2 sin x 3 sin x 2 (5) y sin x 3 sin x cos x
y a b sin x
2 2
3、换元法
4、降次公式法
2
三、例题与练习
例1 、 求函数 y 2 sin(3x )的最大值和最小值， 3 并求使其取得最大值、 最小值的x的集合． 2k 解：当3x 2k 即x (k Z )时， 3 2 3 18 ymin 2 3 2k 7 当3x 2k 即x (k Z )时， 3 2 3 18 ymax 2 2k 7 取得最大值的x的集合是{x x ，k Z }； 3 18 2k 取得最小值的x的集合是{x x ，k Z }． 3 18
6 并求使其取得最大 值和最小值的x的集合． 解：当2 x 2k 即x k (k Z )时，ymin 2
6 12 5 ymax 4 当2 x 2k 即x k (k Z )时， 6 12 5 取得最大值的x的集合是{x x k ，k Z }； 12 取得最小值的x的集合是{x x k
ex1、求y 1 3 cos(2 x
)的最大值和最小值，
12
，k Z }．
例2、 求下列函数的值域． 2 2 (1) y sin x cos x (2) y sin x cos x
1、将函数化为 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ) 的形式即可求出函 数的最值或值域．
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xx －xx 学年度下学期
高中学生学科素质训练
高一数学同步测试（6）—正、余弦函数的图象和性质
一、选择题（每小题5分，共60分，请将正确答案填在题后的括号内） 1．函数)4
sin(π
+=x y 在闭区间（ ）上为增函数.
（ ）
A ．]4
,43[ππ-
B ．]0,[π-
C ．]4
3
,4[ππ-
D ．]2
,2[π
π- 2．函数)4
2sin(log 2
1π
+
=x y 的单调减区间为
（ ）
A ．)(],4(Z k k k ∈-
ππ
π
B ．)(]8,8(Z k k k ∈+-
π
πππ
C ．)(]
8
,83(Z k k k ∈+-π
πππ
D ．)(]8
3
,8(Z k k k ∈++ππππ
3．设a 为常数，且π20,1≤≤>x a ，则函数1sin 2cos )(2
-+=x a x x f 的最大值为
（ ）
A ．12+a
B ．12-a
C ．12--a
D ．2
a 4．函数)2
5
2sin(π+=x y 的图象的一条对称轴方程是
（ ）
A ．2
π
-
=x
B ．4
π
-
=x
C ．8π=x
D ．π4
5=x 5．方程x x lg sin =的实根有
（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．无数个
6．下列函数中，以π为周期的偶函数是
（ ）
A ．|sin |x y =
B ．||sin x y =
C ．)32sin(π
+
=x y D ．)2
sin(π
+=x y 7．已知)20(cos π≤≤=x x y 的图象和直线y=1围成一个封闭的平面图形，该图形的面积 是
（ ） A ．4π B ．2π C ．8 D ．4 8．下列四个函数中为周期函数的是
（ ）
A ．y =3
B ．ο
x y 3=
C ．R x x y ∈=|
|sin
D ．01sin
≠∈=x R x x
y 且
9．如果函数)0(cos sin >⋅=ωωωx x y 的最小正周期为4π，那么常数ω为 （ ）
A ．
4
1 B ．
2 C ．
2
1 D ．4 10．函数x x y cot cos +-=的定义域是
（ ）
A ．]23,[ππππ+
+k k
B ．]23
2,2[ππππ++k k
C ．22]232,2(ππππππ+=++k x k k 或
D ．]2
3
2,2(ππππ++k k
11．下列不等式中，正确的是
（ ）
A ．ππ76
sin 72sin < B ．ππ76
csc 72csc
<
C ．ππ7
6
cos 72cos <
D ．ππ7
6
cot 72cot <+
12．函数],[)0)(sin()(b a x M x f 在区间>+=ωϕω上为减函数，则函数],[)cos()(b a x M x g 在ϕω+=上
（ ）
A ．可以取得最大值M
B ．是减函数
C ．是增函数
D ．可以取得最小值－M 二、填空题（每小题4分，共16分，答案填在横线上）
13．)(x f 为奇函数，=<+=>)(0,cos 2sin )(,0x f x x x x f x 时则时 . 14．若)101()5(),3(),1(,6
sin )(f f f f n n f ΛΛ则π== .
15．已知方程0sin 4cos 2=-+a x x 有解，那么a 的取值范围是 . 16．函数216sin lg x x y -+=的定义域为 .
三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分） 17．已知x a x y x cos 2cos ,2
02-=≤≤求函数π
的最大值M （a ）与最小值m （a ）.
18．如图，某地一天从6时到11时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(ϕω
①求这段时间最大温差
②写出这段曲线的函数解析式
19．已知)(|cos ||sin |)(+∈+=N k kx kx x f
①求f （x ）的最小正周期 ②求f （x ）的最值
③试求最小正整数k ，使自变量x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数 f （x ）至少有一个最大值，一个最小值.
20．已知函数b x a y +=cos 的最大值为1，最小值为－3，试确定)3
sin()(π
+
=ax b x f 的
单调区间.
21．设)0(cos sin 2sin πθθθθ≤≤-+=P
（1）令t t 用,cos sin θθ-=表示P
（2）求t 的取值范围，并分别求出P 的最大值、最小值.
22．求函数)]3
2sin(21[log 2.0π
+-=x y 的定义域、值域、单调性、周期性、最值.
参考答案
一1．A 2．B 3．B 4．C 5．C 6．A 7．B 8．A 9．A 10．C 11．B 12．A 二、13．x x cos 2sin - 14．34
)2
1
( 15．)4,4[- 16．),0(),4[ππY -- 三、 17．（1）a a M a m a 21)(0
)(0-==<时
（2）a a M a a m a 21)()(2102
-=-=<≤时
（3）0)()(12
1
2=-=<≤a M a a m a 时
（4）0)(21)(1=-=≥a M a a m a 时
18．（1）20° （2）20)8
sin(
10++=ϕπ
x y
19．（1）k
T 2π= （2）2)(4,1)(0max min ====x f k x x f x 时时π （3）k =2
20．（1）当a >0时，)32sin()(π+-=x x f ↑++↓+-]127,12[]12,125[ππππππππk k k k 在在
（2）当a <0时，)3
2sin()(π
-
=x x f 在↓++↑+-]12
11,12
5[]12
5,12
[πππππππk k k k 在在
21．（1）12
++-=t t p
（2）4
521,1,1)2,1[max min ==-=-=-∈P t P t t 时时当 22．定义域：),3[log ,)12
11
,
4(2.0+∞∈++值域Z k k k ππππ
最小正周期：π 当)12
7
,4(ππππk k x ++∈时递增
当ππππππk x k k x +-=++∈11
5
,)1211,127[当时递减时
3log 2.0min =y y 没有最大值.。