高斯投影高斯投影正算公式

n5
1 5
dm4 dq
......
m5
1 5
dn4 dq
......
1、高斯投影正算公式 (L，B ->x，y)
Direct Solution of Gauss Projection
① 公式推导
b)求待定系数 引入高斯投影的三个条件
B. 中央子午线投影后为纵坐标轴 即l=0时y=0。代入投影方程：
高斯投影第一带（0～6°E）为UTM投影第 31带，UTM第一带（180～174°W）是高斯 投影第31带；
UTM每带投影范围限制在北纬84°至南纬 80°，两极地区采用通用极球面（ UPS ）系。
2、高斯投影的分带
Zone-dividing of Gauss Projection
③ UTM分带的方法
中
N
央
子
午 线
c 赤道
赤道
S
② 高斯投影的几何概念－等角横切椭圆柱投影
1、高斯－克吕格投影的概念
Concept of Gauss-Kruger Projection
③ 高斯投影的条件
1）正形条件；
2）中央子午线投影为一 直线；
3）中央子午线投影后长 度不变。
高斯投影平面
中
央
子
午
赤道
线
④ 通用横轴墨卡托投影－等角横割椭
2 ab
上节课内容回顾
长度比m与方向无关
☺ 正形投影的特点？ 但随点位的变化而变
☺ 什么是等量纬度？为什么引入？
dq M dB r
等量坐标可将椭球面划分 为无穷小的正方形
充分必要条件
x
x y
柯 西 － 黎
B B'
C
A
C'
AB ' AC ' BB ' CC ' y
q l x y l q
曼
微
② 分带的方法
1) 6°带划分 (n为带号 )
6°带中央子午线的经度计算公式 L0 6 n3
已知6°带中央子午线的经度反算带号
n
1 6
(L0
3
)
计算任意经度所在投影带的带号公式
nL的 整 数 商 （ 1有 余 数 时 ） 6
2、高斯投影的分带
Zone-dividing of Gauss Projection
1978年我国制定的《1:100万地形图编绘规范》 规定我国1:100万地形图投影采用边纬线和中纬 线变形绝对值相等的等角割圆锥投影，投影带 的划分与国际百万分之一地图的分幅一致。
1949年以后我国出版的一些挂图和地图集中常 使用等面积割圆柱投影。
2、高斯投影的分带
Zone-dividing of Gauss Projection
2、高斯投影的分带
Zone-dividing of Gauss Projection
④ 投影带的重迭－高斯投影
15′和30 ′ 分别相当于 1:5万和1:10 万图幅的经 幅；
UTM
2、高斯投影的分带
Zone-dividing of Gauss Projection
⑤ 投 影 带 投的 影重 迭
④ UTM
长度比0.9996的选 择可以使6°带的 中央经线与边缘经 线的长度变形的绝 对值大致相等；
两条无长度变形的 割线的位置距中央 经线以东以西各 180km，相当于经 差约± 1°40′。
2、高斯投影的分带
Zone-dividing of Gauss Projection
① 分带的原因和原则
2、高斯投影反算公式
Inverse Solution of Gauss Projection
3、高斯坐标的临带换算
Zone Conversion in the Gauss Projection
1、高斯投影正算公式 (L，B ->x，y)
Direct Solution of Gauss Projection
纬线投影为平 行直线，经线 投影为与纬线 垂直而且间隔 相等的平行直 线，两经线间 的距离与相应 的经差成正比。
x f
y c
a dx Rd
b cd rd
dx c Rd r
dx c d cos
x
c
ln
tan
45
2
y c m c r
c=R切圆柱投影
如为椭 球呢？
② 高斯投影的几何概念高－斯等投角影横平切面椭圆柱投影
q
dq M dB r
分
方
B
B'
q l AB ' AC ' x y
程
A
C
BB ' CC '
l
C'
l q x y
上节课内容回顾
x q
tan
l y
y l
l y
m
2
x l
2
r2
y l
2
1
r
2
q y
2
l y
2
高斯－克吕格投影
Gauss-Kruger Projection
①高斯投影产生的背景
高斯－克吕格投影也称等角横切椭圆柱投 影，它可看作是等角圆柱投影（墨卡托投 影，1569）的一种，它由德国科学家高斯 处理三角测量成果时首先提出，后经克吕 格完善（1919） ，我国于1952年起正式采 用高斯－克吕格投影。
四个世纪以来，世界各国都用墨卡托投影作 为海图的数学基础。当代常用于较大比例尺 分幅海图或赤道附近的航空图。
《大地测量学基础》（FOUNDATION OF GEODESY）
高斯－克吕格投影 高斯平面坐标系与大地坐标系
的关系（1）
测绘学院一系大地测量教研室
上节课内容回顾
☺ 长度比？ m d s
dS
☺ 椭球面到平面的长度比在什么方 向取极值？
子午方向和卯酉方向 MNcosB
☺ 最大角度变形？ sin a b
x(N)
赤道
yA
yA A
yB
B yB
xB
xA
O
yA136780m
yB 2724m 40
y(E)
yA(5 0 0 0 0 0 1 3 6 7 8 0 )m
20 63678m0
yB(500020702)m 44
20 22756m0
3、高斯平面直角坐标系
Gauss Plane Rectangular Coordinate
1、高斯－克吕格投影的概念
Concept of Gauss-Kruger Projection
2、高斯投影的分带
Zone-dividing of Gauss Projection
3、高斯平面直角坐标
Gauss Plane Rectangular Coordinate
1、高斯－克吕格投影的概念
Concept of Gauss-Kruger Projection
Direct Solution of Gauss Projection
① 公式推导 a)级数展开
展开条件：经差 l 不大，在0～3.5°（0.061rad）
以内，展开后的形式（ l的幂级数 ） ：
xm0m1lm2l2m3l3m4l4..... yn0n1ln2l2n3l3n4l4......
由于展开点为P0（B， 0），则式中待定系数是等量 纬度q（或大地纬度B）的函数
① 公式推导
x
投影方程
X F1 (B, L) Y F2 (B, L)
x
y
f1(q, l) f2 (q, l)
l
l 0 x X
求F1，F2，f1，f2的具体形式
y
P
P0
方法：级数展开，应用高斯投 X
x
影三个条件，待定系数法求解
o
y
展开点：底点P0（B， 0） 已知l，B，X，求x，y
1、高斯投影正算公式 (L，B ->x，y)
q l l q
d d m q 0 ld d m q 1 l2 d d m q 2 l3 d d m q 3 l4 d d m q 4 .... n 1 2 n 2 l 3 n 3 l2 4 n 4 l3 m 1 2 m 2 l 3 m 3 l2 4 m 4 l3 .... d d n q 0 ld d n q 1 l2 d d n q 2 l3 d d n q 3 l4 d d n q 4
对y
ydn 0 ld1 nl2dn 2 l3dn 3 l4dn 4 .... q dq dq dq dq dq yl n12n2l3n3l24n4l3....
1、高斯投影正算公式 (L，B ->x，y)
Direct Solution of Gauss Projection
① 公式推导
b) 求待定系数 引入高斯投影的三个条件 A. 正形条件 xy,xy
圆柱投影 Universal Transverse Mercator (UTM)
美国军事测绘局1938年提出，目前，美国、德 国等60多个国家以此投影作为国家基本地形图 的数学基础，由于各国采用的地球椭球体的不 同而存在差异，它的投影条件为：
1）正形条件；
2）中央子午线投影为一直线；
3）中央子午线投影后长度比等于0.9996。
1、高斯投影正算公式 (L，B ->x，y)
Direct Solution of Gauss Projection
① 公式推导
b) 求待定系数 对级数展开式求偏导数
对x
xdm 0 ldm 1l2dm 2 l3dm 3l4dm 4 .... q dq dq dq dq dq x l m12m2l3m3l24m4l3....
② 自然坐标与 通用坐标
高斯平面坐标系与大地坐标系的关系
Relation between Gauss Plane Coordinate System and Geodetic Coordinate System
1、高斯投影正算公式
Direct Solution of Gauss Projection
－
两带坐标重叠40km相
当于的经差22′。
3、高斯平面直角坐标系
Gauss Plane Rectangular Coordinate System
① 定义
x
纵坐标轴x：中央子午线的投
影线；
横坐标轴y：赤道的投影线；
o
y
原点o：中央子午线与赤道的
交点的投影点；
② 自然坐标与通用坐标
500km 中央子午线投影
n0 ?
m0 ?
n1
dm 0 dq
m1
dn0 dq
n0 m 1n2 12n ddm2 q1 m 3 m2 n124ddn q1 m 5...... m 0 n1n 3 13m ddmq2 2 n3 m3 m 134 ddnq2 n5......
n4
1 4
dm3 dq
m4
1 4
dn3 dq
② 分带的方法
3º带的中央子午线与6º带中央子午线及分带子午线重合
3、高斯平面直角坐标系
Gauss Plane Rectangular Coordinate
② 分带的方法
黑龙江省漠河镇以北的黑龙 江江心（53°31′10″）
新疆帕米尔高原乌兹 别里山口附近 （73°40′）
61°22′30″
黑龙江省抚远县乌苏 里江汇合处
② 分带的方法
2) 3°带划分 (n'为带号 )
3°带中央子午线的经度计算公式 L0 3 n
已知3°带中央子午线的经度反算带号 n L 0 3
计算任意经度所在投影带的带号公式 n L 1.5 1 3
③ UTM分带的方法
UTM的分带是从经度180°起向东每6°为一 带，即与国际百万分之一地形图的划分一致；
（135°02′30″）
南海南沙群岛的曾母 暗沙（3°52′）
2、高斯投影的分带
Zone-dividing of Gauss Projection
②分带的方法
N
第中
1 带央
首
子
子
午
午
线
线
赤道 0° 6° 12°
S
2、高斯投影的分带
Zone-dividing of Gauss Projection
原因：有效的控制长度变形
原则：从限制长度变形这个角度来考虑，分带
越多越好；为了减少换带计算及在换带计算 中引起的计算误差，则又要求分带不宜过多。 实际分带时，应当兼顾上述两方面的要求。
2、高斯投影的分带
Zone-dividing of Gauss Projection
实施：我国投影分带主要有六度带和三度带
xm0m1lm2l2m3l3m4l4..... yn0n1ln2l2n3l3n4l4......
得 n 0 m 1 n 2 m 3 n 4 m 5 . .0 .
1、高斯投影正算公式 (L，B ->x，y)
Direct Solution of Gauss Projection
① 公式Hale Waihona Puke Baidu导
两种分带方法。六度带可用于中小比例尺 （1:2.5万～1:50万）测图，三度带可用于大 比例尺（1:1万以上）测图。
1:500,000 1:10, 000
500m
3 2
400km
1 0 m 3'45''2'30'' 8.4km
1962年联合国波恩会议建议采用等角圆锥投影 作为1:100万地图的数学基础。
b)求待定系数 引入高斯投影的三个条件
B. 中央子午线投影后为纵坐标轴
投影方程简化为：
高斯投影在中央
xm0 m2l2 m4l4 ..... 子午线东西两侧
yn1ln3l3
n5l5
......
的投影是对称于 中央子午线的。
1、高斯投影正算公式 (L，B ->x，y)
Direct Solution of Gauss Projection