型随机变量数学期望的几种巧妙算法
关于离散型随机变量数学期望的几种求法
关于离散型随机变量数学期望的几种求法离散型随机变量数学期望是衡量随机变量数字大小指标之一，也是概率论与数理统计中最基本也最重要的概念。
它可以体现利用该变量值观察数据的水平。
本文将介绍离散型随机变量的求数学期望的几种方法。
首先，关于离散型随机变量的数学期望，最基本的求法是加法法则。
即将分布函数f（x）的每一个取值乘以相应样本量x取，并把所有乘积相加就可以得到离散型随机变量的数学期望。
用数学符号表示就是：E[X] = Σ xf (x)。
如果离散型随机变量X的取值和概率f (x)都很多，那上述乘加过程就不方便进行。
此时，可以利用乘法法则求数学期望。
乘法运算公式表示如下：E[X] = Σ xP(X=x)。
乘法运算的结果可以让抽样的数据简单明了，只要把每一个X的取值乘以相应的概率P(X=x)即可得到期望值，这不仅仅可以大大简化计算，而且是个较为可靠的评价指标。
而数学期望的另一种求解方法则叫做函数法则，其思想就是把μ作为一个函数，给定P(x)，当E[X]为函数f (X)，其结果可由函数f(X)与P(X)给出，函数法则可以有效降低传统加法法则求法中变量和概率的乘积，减小计算量，提高效率。
最后还有另一种求离散型随机变量数学期望的方法，它叫做采样平均法，这种法则的思想就是，根据我们了解到的离散型随机变量的取值及概率，以此为基础，根据实际的情况随机抽取一定数量的样本来分析离散型随机变量的期望，然后将抽到取值的平均值作为期望值来表示。
用数学符号表示就是：E[X] =抽样值x1+ x2 +。
+xn/n。
该方法结果较加法法则有一定的偏差，但也较准确。
总结来说，以上三种不同的方法都可以用来求离散型随机变量的数学期望，每一种方法都有其使用优劣之处。
但是，总体来说，最佳的方式是采用函数法则，当然，这也取决于需求的精确度。
高中数学中的概率统计计算期望与方差的技巧
高中数学中的概率统计计算期望与方差的技巧概率统计是高中数学中的重要内容，计算期望与方差是其中的关键技巧。
本文将介绍几种常见的计算期望与方差的技巧，以帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、离散型随机变量的期望与方差计算对于离散型随机变量X，其概率分布列为P(X=x)，而期望和方差的计算公式如下：1. 期望计算期望E(X)表示随机变量X的平均值，计算公式为：E(X) = Σ[x * P(X=x)]其中，Σ表示对所有可能取值的求和。
通过遍历所有可能取值，将取值与其对应的概率相乘，再求和，即可得到期望值。
2. 方差计算方差Var(X)表示随机变量X的离散程度，计算公式为：Var(X) = Σ[(x - E(X))^2 * P(X=x)]同样，通过遍历所有可能取值，将每个取值减去期望值，再平方，再与其对应的概率相乘，最后再求和，即可得到方差值。
这种计算方法适用于离散型随机变量的期望和方差计算，例如投掷一枚骰子的结果、抽取一副扑克牌的点数等情况。
二、连续型随机变量的期望与方差计算对于连续型随机变量X，其概率密度函数为f(x)，而期望和方差的计算公式如下：1. 期望计算期望E(X)的计算公式为：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中，∫表示对整个定义域的积分。
通过对概率密度函数乘以x后再积分，即可得到期望值。
2. 方差计算方差Var(X)的计算公式为：Var(X) = ∫[(x - E(X))^2 * f(x)]dx同样，通过对概率密度函数乘以(x - E(X))的平方后再积分，即可得到方差值。
这种计算方法适用于连续型随机变量的期望和方差计算，例如正态分布、指数分布等情况。
三、应用技巧下面将介绍一些计算期望与方差时的常用技巧：1. 期望的线性性质如果X和Y是两个随机变量，a和b为常数，则有：E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)这是期望的线性性质，利用这个性质可以简化复杂随机变量的期望计算。
数学期望的计算方法探讨
数学期望的计算方法探讨X覃光莲(华中农业大学理学院数学与信息科学系, 湖北武汉430070)摘要本文探讨了各种简化计算随机变量数学期望的方法: 利用一些特殊求和与积分公式、利用数学期望定义的不同形式、利用随机变量分布的对称性、全期望公式以及特征函数等,以期对该内容的学习和教学有所启发。
关键词数学期望全期望公式特征函数中图分类号G642 文献标识码 A随机变量的数学期望是反映随机变量取值的集中位置的一个重要数字特征, 随机变量的其它数字特征都是通过数学期望来定义的, 因此数学期望的计算问题显得非常重要。
求随机变量的数学期望从模型本身来讲, 无非是计算EX = Σ∞i = 1x i P( X = x i) 或EX =∫+ ∞- ∞x p ( x ) dx ,但涉及到随机变量分布的各具体场合,其计算又有很多变化和技巧。
下面结合具体场合, 介绍一些简化计算数学期望的不同方法。
一、利用一些特殊的求和与积分公式(一) X 是离散型随机变量时, EX = Σ∞i =1x i P( X = x i)在计算离散型随机变量的数学期望时,常常会用到一些特殊的无穷级数的求和公式,如Σ∞k = 0x kk != e x 、Σ∞k =0x k =11 - x(| x | < 1) 等,熟悉这些求和公式以及它们的各种变形往往会使计算变得简单。
例设X 服从参数为P 的几何分布,求EX , E X2 解: EX = Σ∞i =1i P( x = i) = Σ∞i = 1i P(1 - p) i - 1 = PΣ∞i =1i (1 - p) i - 1为了求级数Σ∞i = 1i (1 - p) i - 1 ,可作如下考虑:由于Σ∞k = 0x k =11 - x(| x | < 1)利用和函数的可微性对此级数逐项求导,得ddx(Σ∞k =0x k) = Σ∞k = 0ddx( x k) = Σ∞k = 1k x k - 1 ,因此Σ∞k = 1k x k - 1 =ddx( 11 - x) =1从而EX = PΣ∞i = 1i (1 - p) i - 1 = P ·1[1 - (1 - P) ]2 =1P—41 —高等理科教育数学期望的计算方法探讨X 收稿日期2004 —11 —16资助项目华中农业大学启动项目(项目编号: 52204 - 03046)资助1作者简介覃光莲(1969 - ) 女, 新疆玛纳斯人, 副教授, 主要从事概率统计的教学和科研工作1同理可得,Σ∞k =2k ( k - 1) x k - 2 =ddx( 1(1 - x ) 2 ) =2(1 - x ) 3 ,因此有:EX2 = Σ∞i = 1i2 P( X = i) = Σ∞i = 1i2 P(1 - p) i - 1 = P(1 - P) Σ∞i = 2i ( i - 1) (1 - p) i - 2 + PΣ∞i =1i (1 -p) i - 1 = P(1 - P) 3 2P3 + P 3 1P2 =2 - PP2(二) X 是连续型随机变量,X 的分布密度函数为p (x) , EX =∫+ ∞- ∞在计算连续型随机变量的数学期望时,常常会用到一些特殊的积分,如∫+ ∞- ∞e-x22 dx = 2π、Γ函数Γ( n) =∫- ∞x n - 1 e- x dx = ( n - 1) ! (其中n E 1) 等。
随机变量的期望与方差计算
随机变量的期望与方差计算随机变量是概率论中的重要概念，它描述了一个随机事件的结果。
在实际问题中，我们经常需要计算随机变量的期望和方差，以了解随机变量的平均值和离散程度。
本文将介绍如何计算随机变量的期望和方差，并通过实例进行说明。
一、随机变量的期望随机变量的期望是对随机变量取值的加权平均值，反映了随机变量的平均水平。
对于离散型随机变量，期望的计算公式为：E(X) = Σ(x * P(X=x))其中，x为随机变量的取值，P(X=x)为随机变量取值为x的概率。
例如，假设有一个骰子，投掷结果为1、2、3、4、5、6的概率均等。
我们可以计算骰子的期望：E(X) = (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) = 3.5这表示骰子的平均值为3.5。
对于连续型随机变量，期望的计算公式为：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中，f(x)为随机变量的概率密度函数。
例如，假设有一个服从正态分布的随机变量X，其概率密度函数为：f(x) = (1/√(2πσ^2)) * exp(-((x-μ)^2) / (2σ^2))其中，μ为均值，σ为标准差。
我们可以计算X的期望：E(X) = ∫(x * (1/√(2πσ^2)) * exp(-((x-μ)^2) / (2σ^2)))dx这个积分可以通过数值计算方法或数学软件进行求解。
二、随机变量的方差随机变量的方差是衡量随机变量取值离散程度的指标，它描述了随机变量取值与期望之间的差异。
方差的计算公式为：Var(X) = E((X - E(X))^2)其中，E(X)为随机变量的期望。
方差的计算可以通过以下公式简化：Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2对于离散型随机变量，方差的计算公式为：Var(X) = Σ((x - E(X))^2 * P(X=x))例如，假设有一个骰子，我们已经计算出其期望为3.5。
13个期望计算公式
13个期望计算公式期望是概率论中的一个重要概念，它描述了一个随机变量的平均值。
在现实生活中，我们经常需要计算某种随机变量的期望，以便更好地理解和预测各种现象。
本文将介绍13个常见的期望计算公式，帮助读者更好地理解和运用期望的概念。
1. 离散型随机变量的期望计算公式。
对于离散型随机变量X，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = Σx P(X=x)。
其中，x表示随机变量X可能取的值，P(X=x)表示X取值为x的概率。
2. 连续型随机变量的期望计算公式。
对于连续型随机变量X，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = ∫x f(x) dx。
其中，f(x)表示X的概率密度函数。
3. 二项分布的期望计算公式。
对于二项分布B(n,p)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = n p。
其中，n表示试验的次数，p表示每次试验成功的概率。
4. 泊松分布的期望计算公式。
对于泊松分布P(λ)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = λ。
其中，λ表示单位时间（或单位面积）内事件发生的平均次数。
5. 几何分布的期望计算公式。
对于几何分布G(p)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = 1/p。
其中，p表示每次试验成功的概率。
6. 均匀分布的期望计算公式。
对于均匀分布U(a,b)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = (a+b)/2。
其中，a和b分别表示随机变量X的取值范围的下限和上限。
7. 指数分布的期望计算公式。
对于指数分布Exp(λ)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = 1/λ。
其中，λ表示事件发生的速率。
8. 正态分布的期望计算公式。
对于正态分布N(μ,σ²)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = μ。
其中，μ表示分布的均值。
9. 超几何分布的期望计算公式。
对于超几何分布H(N,M,n)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = n (M/N)。
其中，N表示总体容量，M表示总体中具有成功属性的个体数量，n表示抽取的样本容量。
随机变量的期望、方差的计算方法
随机变量的期望、方差的计算方法随机变量的期望、方差的计算方法辛开远～杨玉华与随机变量有关的某些数值，虽然不能完整的描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面的重要特征。
这些数学特征在理论与实践上都具有重要的意义，本文介绍一维随机变量的常用数字特征:数学期望、方差。
一、数学期望X 1(设离散型随机变量的分布律为:,,pX,x,px, ， 1，2，… kkk，,，,Xxpxp 如果级数绝对收敛，则称级数的和为随机变量的数学期望，即 ,,kkkkk,1k,1,E(x),xp ,kkk1,，,X 2(设连续型随机变量的概率密度为，若积分绝对收敛，则称积分f(x)xf(x)dx,,,，,X的值为随机变量的数学期望，即 xf(x)dx,,, ，, E(x),xf(x)dx,,,3(数学期望的性质(1)，(为常数) E(C),CCX (2)，(为常数，是随机变量) E(kX),kE(X)kXY (3)，(，是两个随机变量) E(X，Y),E(X)，E(Y)XY (4)若，是相互独立的随机变量，则有 E(XY),E(X)E(Y)二、随机变量的函数的数学期望YX 设是的函数，Y,g(X)。
XX 1(当是离散型随机变量时，的分布律为,,pX,x,p ， 1，2，… k,kk，,Yg(x)p 若级数绝对收敛，则函数的数学期望为 ,kkk,1，,g(x)p E(Y),E[g(X)],,kkk,1，,XX 2(当是连续型随机变量时，的概率密度为f(x)，若积分绝对收g(x)f(x)dx,,,Y敛，则函数的数学期望为，, E(Y),E[g(X)], g(x)f(x)dx,,,三、方差2XX,,E[X,E(X)] 设是一个随机变量，若存在，则称它为的方差，记作D(X)，即2,,E[X,E(X)] D(X),X 则称为的均方差或者标准差。
D(X)X 1(若是离散型随机变量，则，,2[x,E(X)]p D(X),,kkk1,X 2(若是连续型随机变量，则，,2 D(X),[x,E(X)]f(x)dx,,,XX 方差反映了随机变量取值分散的程度，越小，的取值越集中。
求随机变量期望的四种方法
求随机变量期望的四种方法
生活娱乐中，随机变量期望是研究几何特征和变化趋势的重要指标。
下面就介绍几种求解随机变量期望的方法。
一是边际期望法。
这种方法求解随机变量期望的基本思路是，将随机变量分成不同部分，求每一部分的期望，然后将各个部分的期望进行累加，就可以求出随机变量的期望。
二是期望转移法。
这是一种利用期望“线性性质”的快速求解随机变量期望的方法，其核心思想是：将随机变量的期望设置一个中间变量，即将随机变量的期望转化为这个中间变量的期望，之后再求出这个中间变量的期望。
三是期望叠加法。
这是一种快速求解随机变量期望的方法，它利用某一随机变量与概率值的乘积所得的期望等于多个随机变量之和的期望。
四是用积分法求微分方程的解来求解随机变量的期望。
积分法的求解过程是将微分方程转化为积分方程，然后对积分方程求解，最终可以求得随机变量的期望。
以上就是求解随机变量期望的四种方法，有助于更好地研究几何特征和变化趋势。
当我们在闲暇之余，去多花点时间了解一下相关知识，或许会得到不一样的收获和满足。
求随机变量期望的四种方法
求随机变量期望的四种方法
求随机变量期望的四种方法
唐舜生
【摘要】期望是随机变量的重要的特征数字．已知期望，便掌握了这个随机变量的平均水平，也就大体上掌握了它取值的概率规律．求期望的常用方法有直接运用定义、运用期望性质、分解事件、整体考虑等．下面举例说明．
【期刊名称】高中数学教与学
【年(卷),期】2010(000)001
【总页数】2
【关键词】随机变量;期望;四种方法;常用方法;举例说明;整体考虑;特征数
期望是随机变量的重要的特征数字.已知期望,便掌握了这个随机变量的平均水平,也就大体上掌握了它取值的概率规律.求期望的常用方法有直接运用定义、运用期望性质、分解事件、整体考虑等.下面举例说明.
一、运用定义
设已知离散型随机变量ξ的分布列为
则ξ的期望为
例1某项考试按科目A和科目B依次进行,只有当科目A成绩合格时,才可继续参加科目B的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会,两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人参加这项考试,科目A每次考试成绩合格的概率均为,科目B每次考试成绩合格的概率均为 .假设各次考试成绩合格与否均互不影响.在这项考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,记他参加考试的次数为ξ,求ξ的数学期望Eξ.
解设“科目A第一次考试合格”为事件A1,“科目A补考合格”为事件。
数学期望的计算方法
数学期望的计算方法
数学期望的公式：
（1）期望的“线性”性质。
对于所有满足条件的离散型的随机变量X，Y和常量a，b，有：E(aX+bY)=aE(x)+bE(y)E(aX+bY)=aE(x)+bE(y)；
类似的，我们还有E(XY)=E(X)+E(Y)E(XY)=E(X)+E(Y)。
（2）全概率公式假设{Bn∣n=1,2,3,...Bn∣n=1,2,3,...}是一个“概率空间有限或可数无限”的分割，且集合BnBn是一个“可数集合”，则对于任意事件A有：
P(A)=∑nP(A∣Bn)P(Bn)P(A)=∑nP(A∣Bn)P(Bn)
（3）全期望公式 E(Y)=E(E(Y∣X))=∑iP(X=xi)E(Y∣X=xi)
数学期望亦称期望、期望值等。
在概率论和统计学中，一个离散型随机变量的期望值是试验中每一次可能出现的结果的概率乘以其结果的总和。
拓展资料：
在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。
它反映随机变量平均取值的大小。
需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。
期望值是该变量输出值的平均数。
期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。
大数定律规定，随着重复次数接近无穷大，数值的算术平均值几乎肯定地收敛于期望值。
期望的计算方法及其性质
期望的计算方法及其性质期望是数学中一种重要的概念，表示事物发生的平均值。
在概率论、统计学、经济学、物理学等众多领域中都有着广泛的应用。
在计算期望时，需要根据不同的情况选择合适的方法，以达到正确计算的目的。
本文将对期望的计算方法及其性质进行探讨，希望能够为读者提供一些有价值的参考。
一、期望的定义在概率论中，期望是事件发生的平均值。
设X是一个随机变量，其分布函数为F(x)，则X的期望E(X)定义如下：E(X)=∫xf(x)dx其中f(x)是X的概率密度函数。
当X是离散型随机变量时，其期望可以表示为：E(X)=∑x p(x)x其中p(x)是X取到值为x的概率。
当X是连续型随机变量时，其期望可以表示为积分的形式。
二、期望的基本性质1. 线性性设X和Y是两个随机变量，a和b是常数，则有：E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)这种关系称为期望的线性性。
当a=b=1时，此式表述了期望的可加性。
这一性质十分重要，其意义在于，期望可以将事件的发生情况抽象成一个实数，使其具有线性的演算。
例如，在经济学中，我们可以将利润或收益看做一种随机变量，通过期望的线性性质，便可以对其进行计算和统计。
2. 单调性若X≤Y，则有：E(X)≤E(Y)这是期望的单调性质。
从定义上来看，当X≤Y时，X的取值总是小于等于Y的，因此X的期望值也应该小于等于Y的期望值。
这一性质告诉我们，期望可以衡量事件发生的趋势，可以用来进行决策和分析。
3. 平移性设Z=X+c，则有：E(Z)=E(X+c)=E(X)+c这是期望的平移性质。
从定义上来看，当Z=X+c时，Z的期望值应该等于X的期望值加上c。
这一性质告诉我们，期望可以平移，可以用来分析事物发生的变化趋势。
三、常见的计算方法1. 直接求期望直接求期望是一种最简单的计算方法。
对于离散型随机变量，我们可以直接按照期望的定义进行求解。
例如，设X是一个随机变量，其概率分布如下：X 1 2 3 4P(X) 0.1 0.2 0.3 0.4则X的期望可以表示为：E(X)=∑x p(x)x=0.1×1+0.2×2+0.3×3+0.4×4=2.8对于连续型随机变量，我们可以采用积分的方式进行求解。
数学期望的六个公式
数学期望的六个公式数学期望是一个概念，用于描述概率实验或随机变量的预期值，被广泛应用于统计学，信息论，投机策略和把数字概念应用于实际问题的其他领域。
数学期望有六个公式，它们是总和期望，乘积期望，定义期望，方差公式，协方差公式和零期望公式。
首先，总和期望公式定义为任何给定的两个事件X和Y的期望相加的结果，即E(X+Y) = E（X）+ E（Y）。
这意味着，如果一个随机变量X的期望值为3，而Y的期望值为4，那么X和Y的总和期望就为7。
其次，乘积期望公式定义为任何给定的两个事件X和Y的期望相乘的结果，即E（XY）=E（X）×E（Y）。
乘积期望不仅用于双重期望，而且还用于多重期望。
同样，如果一个随机变量X的期望值为3，而Y的期望值为4，那么X和Y的乘积期望就为12。
接下来是定义期望，即定义期望公式，它定义为分布的期望的加权平均值，其中每个可能的值X在函数f（x）上有不同的权重。
这个公式可以用来求解可能的联合分布的任何期望。
下一个是方差公式，即方差公式，它定义为一个随机变量与其期望之间的偏离度量，并且可以用来衡量概率分布的扩散程度。
方差公式可以表达为Var（X）= E（X-E（X）），记作σ2。
然后是协方差公式，也称为协方差矩阵，它定义为两个随机变量之间的度量，它表示两个随机变量之间的关系。
它可以用来衡量两个变量之间正负相关性，并且可以用来检测金融数据中的关联性。
协方差公式可以表达为Cov（X，Y）= E（XY）-E（X）E（Y），记作σxy。
最后，是零期望公式，它定义为任意离散变量的期望是0，即E （X）= 0。
它常用于信号处理，表示非零值时没有偏移。
以上就是数学期望的六个基本公式。
数学期望在统计学，信息论，投机策略和其他应用概率的领域都有广泛的应用，有助于我们对概率分布的理解和分析。
概率论中的期望与方差计算技巧
概率论中的期望与方差计算技巧概率论是数学中的一个重要分支，它研究的是随机事件的规律性。
在概率论中，期望和方差是两个重要的概念，它们能够帮助我们描述和分析随机变量的特征和变异程度。
本文将介绍一些计算期望和方差的技巧，帮助读者更好地理解和应用概率论。
首先，我们来了解一下期望的概念。
在概率论中，期望是随机变量的平均值，它是对随机变量取值的加权平均。
对于离散型随机变量，期望的计算公式为：E(X) = ΣxP(X=x)其中，X表示随机变量，x表示随机变量的取值，P(X=x)表示随机变量取值为x的概率。
这个公式的意义是，将每个取值乘以其对应的概率，然后将所有结果相加，即可得到期望。
对于连续型随机变量，期望的计算公式为：E(X) = ∫xf(x)dx其中，f(x)表示随机变量的概率密度函数。
这个公式的意义是，将每个取值乘以其对应的概率密度，然后对所有结果进行积分，即可得到期望。
接下来，我们来讨论一下方差的计算技巧。
方差是用来衡量随机变量的离散程度的指标，它表示随机变量与其期望之间的差异。
方差的计算公式为：Var(X) = E[(X-E(X))^2]其中，E(X)表示随机变量的期望。
这个公式的意义是，将随机变量与其期望的差值平方，然后对所有结果进行加权平均，即可得到方差。
在实际计算中，计算期望和方差可能会遇到一些复杂的情况。
下面，我们将介绍一些常见的计算技巧，帮助读者更好地应用概率论。
首先，对于独立随机变量的期望和方差计算，可以利用期望和方差的性质进行简化。
如果X和Y是独立随机变量，那么它们的期望和方差的计算可以分别简化为：E(X+Y) = E(X) + E(Y)Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)这个性质在实际计算中非常有用，可以简化复杂问题的求解过程。
其次，对于二项分布和泊松分布的期望和方差计算，可以利用分布的特性进行简化。
对于二项分布，期望和方差的计算公式为：E(X) = npVar(X) = np(1-p)其中，n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率。
几种特殊类型随机变量的数学期望的解法归纳
中图分类号 ： ｐ ２ １ １ ． ４
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ： １ ６ ７ ４ — ０ ９ ８ Ｘ（ ２ ｏ １ ３ ） Ｏ ｌ （ ｃ ） 一 ０ ２ ４ ８ — ０ １
则它的 数学 期 望 为 ：
设 为观 察到的 一 个随 机变 量 ， 如 要完 全 描 述 它的 概 率特 征 ， 就需 要 确 定它的 整个
这 里 要 求 右 式 的 级 数 或 积 分 绝 对 收
敛 ， 即
要 的离 散分 布 ， 其 参 数 都 可 以 从 数 学 期 望 算得， 困此 数 学 期 望 是很 重要 的概 念 。 以 下 给 出离 散分布 的 数学 期 望不 存 在 的例 子。
Ｅ （ 厮
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学 术 论 坛
几种特殊类型随机变量的数学期望的解法归纳①
张超
（ 内蒙古化工职业 学院
内蒙古 呼和浩特
０ １ ０ ０ ７ ０ ）
Ｅ （ ｙ ） ＝ Ｊ ￣ ＇ ｓ ｉ ｘ ＂ Ｐ ｘ （ ｘ ） ａ ｘ ＝ Ｊ Ｄ ｓ ｉ ｍ ｎ ｛ ＝ ２
（ ９ ） 设 随 机 变 量 ， ｙ相 互 独 立 ， 且 均服
从Ｎ （ Ｏ ， １ ） 分布， 试求Ｅ （ √ ＋ ｙ ） 。
解： 因为Ｘ ～Ｎ（ Ｏ ， １ ），Ｙ～Ｎ（ Ｏ ， １ ） ， 且 ， ｙ
独立， 则（ ， ， ， ） 的联 合 密度 函数 为：
１ 一 ￡
离散型随机变量数学期望的几种巧妙算法
２０ 牟 １ 月 ０８ ０
大 学 数 学
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离 散 型 随机变 量 数学 期 望 的几 种 巧妙 算法
姜 玉 英
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刘 强 。
一
通 过定义 求解此题 可 以看 出计 算量非 常大 ， 如果通 过分解 随机 变量此 题就非 常简单 ．
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（ ． 京 印 刷学 院 基础 部 ， 京 １ ２ ０ ； ２ 首都 经 济 贸易 大 学 统 计 学 院 ， 京 １ ０ ７ ） １北 北 ０ ６ ０ ． 北 ０ ０ ０
［ 摘 要］ 利 用 定 义 求 解 离 散 型 随机 变 量 的数 学 期 望 有 时 显 得 非 常 复 杂 ， 文 给 出 了 三 种 巧 妙 计 算 离 散 本
求随机变量期望的四种方法
Pபைடு நூலகம்(ξ = 4)
=
1-
5 9
×5 9
= 20, 81
P (ξ = 6) = 1 - 5 × 1 - 5 ×1
9
9
= 16. 81
∴随机变量 ξ的分布列为
ξ
2
4
6
5
20
16
P
9
81
81
故 Eξ = 2 ×5 + 4 ×20 + 6 ×16 = 266.
9
81
81 81
点评 本题不是单独考虑一局 , 而是把
= 2.
由题意可知 η = 2 300 - 100ξ,
∴Eη = 2 300 - 100Eξ
= 2 300 - 200 = 2 100 (元 ) .
说明 本题在求 η的数学期望时 , 就是
根据运算性质利用 Eξ求得 ,简化了计算过程.
三 、将事件分解
随机变量的期望具有性质 E (ξ±η) = Eξ ±Eη(ξ,η独立 ) ,利用该性质可把所求期望分 解为几个易求的相互独立的事件的期望和 , 达到简化解题的效果.
B
3, 2 3
, Eη = np = 3 ×2 3
= 2.
二 、运用期望性质
即利用期望的性质求期望 , 所用到的性 质主要有 : Ec = c, E ( kξ+ b) = kEξ+ b. 其中 ξ为随机变量 , k, b, c为常数.
例 3 某商场为刺激消费 ,拟按以下方案 进行促销 :顾客每消费 500元便得到抽奖券一
由已知得 ξ = 2, 3, 4, 注意到各事件之间 的独立性与互斥性 ,可得
P (ξ = 2) = P (A1B 1 ) + P (A1 A2 )
数学期望的计算方法探讨
数学期望的计算方法探讨X覃光莲(华中农业大学理学院数学与信息科学系, 湖北武汉430070)摘要本文探讨了各种简化计算随机变量数学期望的方法: 利用一些特殊求和与积分公式、利用数学期望定义的不同形式、利用随机变量分布的对称性、全期望公式以及特征函数等,以期对该内容的学习和教学有所启发。
关键词数学期望全期望公式特征函数中图分类号G642 文献标识码 A随机变量的数学期望是反映随机变量取值的集中位置的一个重要数字特征, 随机变量的其它数字特征都是通过数学期望来定义的, 因此数学期望的计算问题显得非常重要。
求随机变量的数学期望从模型本身来讲, 无非是计算EX = Σ∞i = 1x i P( X = x i) 或EX =∫+ ∞- ∞x p ( x ) dx ,但涉及到随机变量分布的各具体场合,其计算又有很多变化和技巧。
下面结合具体场合, 介绍一些简化计算数学期望的不同方法。
一、利用一些特殊的求和与积分公式(一) X 是离散型随机变量时, EX = Σ∞i =1x i P( X = x i)在计算离散型随机变量的数学期望时,常常会用到一些特殊的无穷级数的求和公式,如Σ∞k = 0x kk != e x 、Σ∞k =0x k =11 - x(| x | < 1) 等,熟悉这些求和公式以及它们的各种变形往往会使计算变得简单。
例设X 服从参数为P 的几何分布,求EX , E X2 解: EX = Σ∞i =1i P( x = i) = Σ∞i = 1i P(1 - p) i - 1 = PΣ∞i =1i (1 - p) i - 1为了求级数Σ∞i = 1i (1 - p) i - 1 ,可作如下考虑:由于Σ∞k = 0x k =11 - x(| x | < 1)利用和函数的可微性对此级数逐项求导,得ddx(Σ∞k =0x k) = Σ∞k = 0ddx( x k) = Σ∞k = 1k x k - 1 ,因此Σ∞k = 1k x k - 1 =ddx( 11 - x) =1从而EX = PΣ∞i = 1i (1 - p) i - 1 = P ·1[1 - (1 - P) ]2 =1P—41 —高等理科教育数学期望的计算方法探讨X 收稿日期2004 —11 —16资助项目华中农业大学启动项目(项目编号: 52204 - 03046)资助1作者简介覃光莲(1969 - ) 女, 新疆玛纳斯人, 副教授, 主要从事概率统计的教学和科研工作1同理可得,Σ∞k =2k ( k - 1) x k - 2 =ddx( 1(1 - x ) 2 ) =2(1 - x ) 3 ,因此有:EX2 = Σ∞i = 1i2 P( X = i) = Σ∞i = 1i2 P(1 - p) i - 1 = P(1 - P) Σ∞i = 2i ( i - 1) (1 - p) i - 2 + PΣ∞i =1i (1 -p) i - 1 = P(1 - P) 3 2P3 + P 3 1P2 =2 - PP2(二) X 是连续型随机变量,X 的分布密度函数为p (x) , EX =∫+ ∞- ∞在计算连续型随机变量的数学期望时,常常会用到一些特殊的积分,如∫+ ∞- ∞e-x22 dx = 2π、Γ函数Γ( n) =∫- ∞x n - 1 e- x dx = ( n - 1) ! (其中n E 1) 等。
随机变量的期望值计算
随机变量的期望值计算随机变量的期望值是概率论中一个非常重要的概念，它代表了随机变量在一次试验中平均取得的值。
在实际问题中，计算随机变量的期望值可以帮助我们更好地理解随机现象的规律性，为决策提供依据。
本文将介绍随机变量的期望值的计算方法，包括离散型随机变量和连续型随机变量的情况。
一、离散型随机变量的期望值计算对于离散型随机变量X，其取值为有限个或可数个，记为{X1,X2, ..., Xn}，对应的概率分布为{P(X=X1), P(X=X2), ...,P(X=Xn)}。
则X的期望值E(X)的计算公式为：E(X) = X1*P(X=X1) + X2*P(X=X2) + ... + Xn*P(X=Xn)举个例子来说明，假设随机变量X的取值为{1, 2, 3, 4}，对应的概率分布为{0.1, 0.2, 0.3, 0.4}，则X的期望值计算公式为：E(X) = 1*0.1 + 2*0.2 + 3*0.3 + 4*0.4 = 2.8因此，随机变量X的期望值为2.8。
二、连续型随机变量的期望值计算对于连续型随机变量Y，其取值为一个区间[a, b]，概率密度函数为f(y)，则Y的期望值E(Y)的计算公式为：E(Y) = ∫(a到b) y*f(y) dy举个例子来说明，假设随机变量Y的取值在区间[0, 1]上，概率密度函数为f(y) = 2y，求Y的期望值。
则Y的期望值计算公式为：E(Y) = ∫(0到1) y*2y dy = 2∫(0到1) y^2 dy = 2*[y^3/3] (0到1) = 2/3因此，随机变量Y的期望值为2/3。
三、期望值的性质1. 常数性质：对于常数a和b，E(aX + b) = aE(X) + b2. 线性性质：E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)3. 非负性质：若X为非负随机变量，则E(X) >= 04. 单调性质：若X <= Y，则E(X) <= E(Y)综上所述，随机变量的期望值是对随机变量取值的一种平均值的度量，通过期望值的计算可以更好地理解随机变量的特征。
数学期望的计算方法探讨
数学期望的计算方法探讨数学期望是统计学中的重要概念，用于表示一个随机变量的平均值。
它的计算方法可以通过多种途径进行探讨。
本文将通过概率论和统计学的角度，详细探讨数学期望的计算方法。
首先，我们来看数学期望的定义。
对于一个离散型随机变量X，它的数学期望E(X)定义为：E(X)=ΣxP(X=x)，其中x是随机变量X可能取到的值，P(X=x)是X取值为x的概率。
计算数学期望可以通过以下几种方法进行探讨：1.直接计算法：对于简单的随机变量，可以通过直接计算每个可能取值的概率乘以对应取值的数值，然后将所有结果相加，得到数学期望。
这种方法适用于取值较少且规律明显的离散型随机变量。
2.均值法：对于服从正态分布的随机变量，可以使用均值法计算数学期望。
根据正态分布的性质，期望值等于均值。
因此，可以直接使用样本均值作为数学期望的估计值。
3.条件概率法：对于复杂的随机变量，可以使用条件概率法进行计算。
该方法通过条件概率的性质，将复杂的问题转化为多个简单问题的求解。
具体步骤是先计算条件概率，然后使用条件概率的定义计算数学期望。
4.矩法：矩法是一种常用的数学期望计算方法，尤其适用于连续型随机变量计算。
它通过计算随机变量的各阶矩，然后利用矩序列的性质求解数学期望。
具体步骤是先计算均值和方差，然后使用矩的性质计算数学期望。
5.生成函数法：生成函数法是一种高级的数学期望计算方法，适用于较为复杂的离散型随机变量。
它通过构建生成函数，将数学期望的计算问题转化为生成函数的求导和求值问题。
具体步骤是先构建生成函数，然后对生成函数求导和求值，得到数学期望。
以上是数学期望计算的几种常用方法，它们在不同情况下具有不同的适用性。
在实际问题中，根据具体的随机变量以及问题的性质，可以选择最合适的方法进行计算。
在选择方法时需要考虑计算的复杂性、精确性以及可行性。
总结起来，数学期望的计算方法可以通过直接计算法、均值法、条件概率法、矩法和生成函数法等途径进行探讨。
期望公式理解随机变量的期望计算公式
期望公式理解随机变量的期望计算公式随机变量是概率论与数理统计中一个重要概念，它是一个从样本空间到实数集的映射。
在概率论中，我们经常需要计算随机变量的期望值，以了解随机变量的平均取值情况。
本文将介绍随机变量的期望计算公式，并帮助读者增进对期望公式理解。
一、随机变量的期望定义随机变量的期望是对随机变量取值的加权平均值。
设X是一个离散型随机变量，其可能取值为x1,x2,x3...，概率分别为p1,p2,p3...，则X 的期望E(X)定义为：E(X) = x1 * p1 + x2 * p2 + x3 * p3 + ...二、随机变量的期望计算示例假设有一个骰子，其可能的点数为1到6，其每个点数出现的概率相同为1/6。
现在我们希望计算骰子的期望。
根据期望的定义，我们可以列出骰子的期望计算公式：E(X) = 1 * 1/6 + 2 * 1/6 + 3 * 1/6 + 4 * 1/6 + 5 * 1/6 + 6 * 1/6简化计算可得：E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) * 1/6= 21/6= 3.5因此，骰子的期望为3.5，即每次掷骰子的平均点数为3.5。
三、连续型随机变量的期望计算公式对于连续型随机变量，其期望的计算稍有不同。
设X是一个连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，则X的期望E(X)定义为：E(X) = ∫(从-∞到+∞) x*f(x)dx四、期望公式的重要性随机变量的期望在概率论与数理统计中具有重要的意义。
它可以帮助我们判断事件的平均发生情况，并用于衡量随机变量的集中程度。
在实际应用中，期望常用于计算风险、建模与预测等方面。
五、总结本文介绍了随机变量的期望计算公式，包括离散型随机变量和连续型随机变量的期望计算方法。
期望是随机变量的重要性质之一，它可以帮助我们理解随机变量的平均取值情况。
在实际应用中，期望具有重要的作用，在概率论与数理统计的研究中扮演着重要的角色。
数学期望的几种求法
k=o
k=o
n
6 =
k
=
o
k
·
k
!(
n! n-
k)
! pk (1
-
p) n- k
n
6 =
k =1
n! ( k - 1) !( n -
k) ! pk (1 -
p) n- k
6 =
n
np
k =1
(k
(n - 1)
- 1) ! !( n -
k)
! pk - 1 (1
-
p) n- k
n
6 = np Ckn--11 pk - 1 (1 - p) n- k k =1
E{η| ξ = x}φξ( x) dx =
-∞
0
x 2
dx
=
1 4
.
除了上述一些思考方法外 , 还有“待定系数
法”、“变换法”、“利用概率积分法”、“利用 r 函
数或β函数法”、“构造方程法”等 , 这里省略 , 应
用时应灵活应用.
参考文献
[1 ] 朱松涛. 概率论与数理统计 [ M]1 济南 : 山东大学 出版社 , 1997. 5.
技巧和思考方法.
6 ∫+ ∞
1 利用
i
pi
= 1或
<( x) dx
-∞
=1
求解
例 1 设 r. vξ服从二项分布 B ( k ; n , p) ,
求 E (ξ)
解 因为 p{ξ= k} = Cknpk (1 - p) n - k , k = 0 , 1 , 2 ……n ,
n
n
6 6 所以 E(ξ) = kp{ξ = k} = k ·Ckn ·pk (1 - p) n- k
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直接利用期望定义来求离散型随机变量的数学期望,有时计算比较困难.利用条件数学期望、随机变量的和式分解、对称性,分别给出了一个离散型随 机变量数学期望的几种求法.
6.期刊论文 肖文华.XIAO Wen-hua 离散型随机变量的数学期望应用举例 -重庆科技学院学报(自然科学版)
第２４卷第５期 ２００８年１０月
大 学数 学
ＣＯＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨ ＥＭＡＴＩＣＳ
Ｖ０１．２４，Ｎｏ．５ ｏｃｔ．２００８
离散型随机变量数学期望的几种巧妙算法
姜玉英１， 刘 强２
（１．北京印刷学院基础部，北京１０２６００； ２．首都经济贸易大学统计学院，北京１０００７０）
［摘 要］利用定义求解离散型随机变量的数学期望有时显得非常复杂，本文给出了ｉ种巧妙计算离散 型随机变量数学期望的方法：对称性法、随机变量分解法、公式演变法．计算过程非常简洁，达到了简化计算的 目的．
2009,11(1)
数学期望是随机变量的重要数字特征之一.通过几个实例探讨了离散型随机变量在风险决策民事纠纷、疾病普查、博彩游戏等方面的应用.
7.期刊论文 邵红 离散型随机变量数学期望的推广及其应用 -中国科教创新导刊2008,""(14)
本文基于概率中有限离散型随机变量数学期望的理论,给出证明数学不等式的概率模型法.
引证文献(1条)
1.姜玉英 古典概型的三种间接算法[期刊论文]-北京印刷学院学报 2009(4)
本文链接：/Periodical_dxsx200805035.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：4697b384-faee-4ac2-81a4-9dce00a08790
本文详尽地讨论了离散型随机变量数学期望的几种求法,并比较各种方法的差异.
10.期刊论文 陈乃辉.CHEN Nai-hui 均匀离散型随机变量条件数学期望的有限Fourier级数表示 -广西师范学院学
报(自然科学版)2008,25(1)
在随机变量 X 的分布函数为 N 阶均匀阶跃函数的情形下,获得了:(1) 随机变量函数,f(x)的 Fourier级数表示;(2) 条件数学期望 E(Y|X)的 Fourier 级数表示.
2.期刊论文 华剑 连续型随机变量的数学期望定义探析 -考试周刊2008,""(30)
本文从离散型随机变量的数学期望定义出发,利用积分工具详细地阐述了连续型随机变量的数学期望定义产生的机理,力求言简意赅,通俗易懂,帮助 初学者更快更好地理解这一概念.
3.期刊论文 陈卫东 离散型随机变量的数学期望在法律、医学和经济等问题中的应用 -大众科技2005,""(9)
数学期望是随机变量的重要的数字特征之一.文章通过民事纠纷、疾病普查和利润的例子探讨了离散型随机变量的数学期望在法律、医学和经济等问 题的应用.
4.期刊论文 陈卫东.CHEN Wei-dong 离散型随机变量的数学期望在法律、医学和经济等问题中的应用 -广东广播电
视大学学报2005,14(4)
数学期望是随机变量的重要的数字特征之一.本文通过民事纠纷、疾病普查和利润的例子探讨离散型随机变量的数学期望在法律、医学和经济等问题 的应用.
（ｎ－＇１－１）Ｅｃｅｉ＝ｂ一口，黯２篇，
所以
５而ＩＬ一一１
Ｅ拿一（ｎ－－１）Ｅｇｌ
１（６－－ａ）·
对称性法虽具有一定的局限性，但在特定的问题中会起到事半功倍的效果． 方法２分解随机变量．通过分解随机变量法也可以达到简化计算的目的，我们通过具体例子看一 下随机变量分解法的应用过程． 例２已知１００个产品中有１０个次品，求任意取出的５个产品中次品数的期望值． 解法１ 设导表示５个产品中的次品数，由题意可得ｅ的分布列为
2.朱晓峰.姜玉英 差分方程在概率问题中的应用[期刊论文]-北京印刷学院学报
3.袁荫棠 概率论与数理统计 1990
相似文献(10条)
1.期刊论文 吴媚 离散型随机变量的数学期望的求解应用 -科技资讯2008,""(11)
数学期望是概率论中很重要的数字特征之一,本文就离散型随机变量的数学期望的解法进行归纳,井对数学期望常用的技巧进行探讨.
［收稿日期］２００６—０５—２９ ［基金项目］北京印刷学院青年科研基金资助项目（Ｅｂ－０７—５５）
万方数据
１５４
大学数学
第２４卷
１０
１
２
３
４
５ｌ
’
搴～Ｉ Ｃ３。 ａ。ｃｌ。 Ｃ３。。ｃ｝。 Ｃ。２０ ｃ３。 ｃ５。ａ。 ｃ５。Ｊ，
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耻ｏ×黑＋１Ｘ辨＋２×警＋３×警＋４×警＋５×黑
下载时间：2010年8月10日
［参 考 文 献］
［１］魏宗舒，等．概率论与数理统计［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９８２． ［２］朱晓峰，姜玉英．差分方程在概率问题中的应用口］．北京印刷学院学报，１４（１）：３３—３４． ［３］袁荫棠．概率论与数理统计［Ｍ］．北京：人民大学出版社，１９９０．
万方数据
离散型随机变量数学期望的几种巧妙算法
作者： 作者单位：
刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
姜玉英， 刘强 姜玉英(北京印刷学院,基础部,北京,102600)， 刘强(首都经济贸易大学,统计学院,北京 ,100070)
大学数学 COLLEGE MATHEMATICS 2008，24(5) 1次
参考文献(3条) 1.魏宗舒 概率论与数理统计 1982
［关键词］离散型随机变量；数学期望 ［中图分类号］０２１１．１ ［文献标识码］Ｃ ［文章编号］１６７２—１４５４（２００８）０５—０１５３—０２
１引
言
对于离散型随机变量，我们通常由定义出发求出随机变量的分布列，然后再求数学期望．但是很多 情况下，从定义出发计算是非常繁琐甚至有些不能计算，而这类情况在概率论中非常普遍．因此掌握此 类问题的各种求解技巧，对于概率论的教学与学习颇有裨益．本文给出了三种巧妙计算离散型随机变量 数学期望的方法：对称性法、随机变量分解法、公式演变法．下面通过具体问题给出这三种方法的应用 过程．
２主要方法
方法ｌ应用对称性．首先看如下例子： 例１ 设在区间（ｎ，６）上随机地取挖个点，手表示相距最远的两点之间的距离，求Ｅ８ 解设６表示左端点口与所取第一个随机点之间的距离，岛表示第一个随机点与第二个随机点之 间的距离，依此类推，邑十。表示所取第竹个随机点与右端点６之间的距离．由题意可得
６＋￡＋…＋邑＋ｌ＝６一口， ｝＝已＋…＋＆． 由于对称性可知ａ，岛，…，己＋ｔ同分布，所以
Ｌ１００
Ｌ１００
ｕ１００
０１００
０１００
０１００
一土
通过定义求解此题可以看出计算量非常大，如果通过分解随机变量此题就非常简单．
解法２令８＝｛：：薹：娄羹裂姿萎孟，则亭一妾毫．又因为８～ｆ三曼１，所以Ｅ８一。．·，
ｉ＝１，２，３，４，５，所以Ｅ亭＝Ｅ（∑￡）．ｏ．５．
这一类问题在现实生活中是比较普遍的，例如假定每人生日在各个月份的几率是相同的，试求砣个 人中生日落在１月份的平均人数，等等一系列问题，利用随机变量分解法过程显得非常简洁．
8.期刊论文 王昭海.WANG Zhaohai 一类离散型随机变量的分布列与数学期望 -安康师专学报2006,18(1)
本文给出了一类离散型随机变量分布列与数学期望的另一种求法,并结合实际给予说明.
9.期刊论文 马占友.陈利 关于离散型随机变量数学期望的几种求法 -松辽学刊(自然科学版)2002,""(1)
方法３公式的演变．计算公式：设ｅ为取非负整数值的随机变量，则艮一∑Ｐｌａｉｎ｝．（证明略）
因为Ｐ｛》志）一垡二铲＝盟≠，志一１，２，…，６，由公式可得 例３投掷两次均匀的骰子，设所得点数较小值为亭，求Ｅ皇
解
磁一砉Ｐ惦≥点）一喜盟茅一砉丽ｋ＾２一１丽”９１…．
＾＝ｌ
Ｉ一１。’
在离散型随机变量数学期望的计算中，差分方程法也是一种不错的方法，详见［２－１．通过上面的讨