直线的交点坐标与距离公式习题(含答案)
高一数学直线的交点坐标与距离公式试题答案及解析
高一数学直线的交点坐标与距离公式试题答案及解析1. 和直线3x-4y+5=0关于x 轴对称的直线的方程为（ ） A ．3x+4y-5=0 B ．3x+4y+5="0" C ．3x+4y-5=0D ．3x+4y-5=0【答案】B 【解析】直线与轴交于点且斜率为，所以其关于轴对称的直线的斜率为且经过点，所以所求直线方程为，即，故选B2. 两直线ax+by+c 1=0与ax+by+c 2=0的距离是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】B 【解析】设点是直线上任一点，则P 到直线的距离就等于两平行线间的距离；由点到直线距离公式得故选B3. 过两直线x －和的交点，并与原点距离等于1的直线有（ ）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条【答案】C【解析】过两直线x －和的交点的直线方程为即则；；整理得：解得故选C4. 求两直线L 1：4x －3y+1=0和L 2：12x+5y+13=0夹角平分线方程 【答案】56x －7y ＋39=0【解析】解：设L 1与L 2夹角平分线上任意一点p （x ，y ），由平面几何中角平分线性质定理得：化简得：12x+16y+13=0或56x －7y+39=0 检验知2x+16y+13=0 不合题意，舍去。
∴L 1与L 2夹角平分线方程为 56x －7y ＋39=05. x 轴上任意一点（a ，0）到第一、三象限角平分线的距离为（ ） A ．2B ．C ．D ．【答案】B【解析】第一、三象限角平分线的方程为，由点到直线的距离公式，选B6.与直线2x+y+1=0的距离为的直线方程是（）A．2x+y=0B．2x+y-2=0C．2x+y=0或2x+y-2=0D．2x+y=0或2x+y+2=0【答案】D【解析】根据条件设所求直线方程为则由平行线间距离公式得:解得故选D7.和直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为（）A．3x+4y-5=0B．3x+4y+5="0"C．3x+4y-5=0D．3x+4y-5=0【答案】B【解析】略8.坐标平面内一点到两个坐标轴和直线x+y=2的距离都相等，则该点的横坐标是( )A．B．1C．D．不确定【答案】D【解析】设该点坐标为。
高考数学《两条直线的位置关系及距离公式》真题含答案
高考数学《两条直线的位置关系及距离公式》真题含答案一、选择题1．过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0答案：A解析：设所求的直线方程为x －2y ＋c ＝0，又(1，0)在直线l 上，∴1＋c ＝0，∴c ＝－1，故所求的直线方程为x －2y －1＝0.2．若直线l 1：(a －1)x ＋y －1＝0和直线l 2：3x ＋ay ＋2＝0垂直，则实数a 的值为( ) A ．12 B ．32 C ．14 D ．34答案：D解析：∵l 1与l 2垂直，∴3(a －1)＋a ＝0，得a ＝34. 3．“a ＝3”是“直线ax ＋2y ＋2a ＝0和直线3x ＋(a －1)y －a ＋7＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：由两条直线平行，∴a 3 ＝2a －1 ≠2a 7－a， 得a ＝－2或a ＝3.∴a ＝3是两条直线平行的充分不必要条件．4．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：B解析：由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k ， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k k －1，y ＝2k －1k －1． 又∵0<k <12，∴x ＝k k －1 <0，y ＝2k －1k －1>0， 故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．5．“C ＝2”是“点(1，3 )到直线x ＋3 y ＋C ＝0的距离为3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案：B解析：由点(1，3 )到直线x ＋3 y ＋C ＝0的距离为3， 得|1＋3×3＋C |12＋（3）2 ＝|4＋C |2 ＝3，得C ＝2或C ＝－10. ∴C ＝2是点(1，3 )到直线x ＋3 y ＋C ＝0的距离为3的充分不必要条件．6．过点P (2，1)且与原点O 距离最远的直线方程为( )A ．2x ＋y －5＝0B ．2x －y －3＝0C ．x ＋2y －4＝0D ．x －2y ＝0答案：A解析：过点P (2，1)且与原点O 距离最远的直线就是过点P 且与OP 垂直的直线，因为直线OP 的斜率为1－02－0 ＝12，所以所求直线的斜率为－2，即所求直线方程为y －1＝－2(x －2)，得2x ＋y －5＝0.7．若两平行直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与l 2：2x ＋ny －6＝0之间的距离是5 ，则m ＋n ＝( )A ．0B ．1C ．－2D ．－1答案：C解析：∵l 1∥l 2，∴12 ＝－2n，∴n ＝－4， ∴l 2：2x －4y －6＝0可化为x －2y －3＝0 ∴|m ＋3|12＋（－2）2 ＝|m ＋3|5 ＝5 ，又m >0，∴m ＝2， ∴m ＋n ＝2－4＝－2.8．三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0构成一个三角形，则k的取值范围是( )A ．k ∈RB ．k ∈R 且k ≠±1，k ≠0C ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠－10D ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠1答案：C解析：由l 1∥l 3，得k ＝5；由l 2∥l 3，得k ＝－5；由x －y ＝0与x ＋y －2＝0，得x ＝1，y ＝1，若(1，1)在l 3上，则k ＝－10.若l 1，l 2，l 3能构成一个三角形，则k ≠±5且k ≠－10，故选C.9．(多选)已知直线l ：3 x －y ＋1＝0，则下列结论正确的是( )A ．直线l 的倾斜角是π6B ．若直线m ：x －3 y ＋1＝0，则l ⊥mC ．点(3 ，0)到直线l 的距离是2D ．过点(23 ，2)与直线l 平行的直线方程是3 x －y －4＝0答案：CD解析：对于A ，直线l ：3 x －y ＋1＝0的斜率k ＝3 ，故直线l 的倾斜角是π3，故A 错误；对于B ，因为直线m ：x －3 y ＋1＝0的斜率k ′＝33，kk ′＝1≠－1，故直线l 与直线m 不垂直，故B 错误；对于C ，点(3 ，0)到直线l 的距离d ＝|3×3－0＋1|（3）2＋（－1）2 ＝2，故C 正确；对于D ，过点(23 ，2)与直线l 平行的直线方程是y －2＝3 (x －23 )，整理得3 x －y －4＝0，故D 正确．二、填空题10．若曲线y ＝a x (a >0且a ≠1)恒过定点A (m ，n )，则A 到直线x ＋y －3＝0的距离为________．答案：2解析：由题意得A (0，1)，由点A (0，1)到直线x ＋y －3＝0的距离为|1－3|12＋12 ＝2 . 11．[2022·全国甲卷(理)，14]若双曲线y 2－x 2m 2＝1(m >0)的渐近线与圆x 2＋y 2－4y ＋3＝0相切，则m ＝________．答案：33 解析：由题意，得双曲线的一条渐近线方程为y ＝x m，即x －my ＝0.圆的方程可化为x 2＋(y－2)2＝1，故圆心坐标为(0，2)，半径r＝1.由渐近线与圆相切，结合点到直线的距离公式，得|0－2m|m2＋1＝1，解得m＝±33.又因为m＞0，所以m＝33.12．过点A(4，a)和B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，则两点间的距离|AB|＝________．答案：2解析：由题意可知，k AB＝b－a5－4＝b－a＝1，故|AB|＝（5－4）2＋（b－a）2＝2.。
必修二第三章 3.3直线的交点坐标与距离公式专题训练
必修二第三章 3.3直线的交点坐标与距离公式专题训练学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.若点1,M a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,N b c ⎛⎫ ⎪⎝⎭都在直线:1l x y +=上,则点1,P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,1,Q b c ⎛⎫ ⎪⎝⎭和l 的关系是( ) A. P 和Q 都在l 上 B. P 和Q 都不在l 上C. P 在l 上, Q 不在l 上D. P 不在l 上, Q 在l 上 2.直线27x y -=与直线3270x y +-=的交点坐标为( )A. (3,1)-B. (1,3)-C. (3,1)--D. (3,1)3.点()2,3P 到直线()()1300ax a y a +-+=≠的距离d 最大时, d 与a 的值依次为( )A.3,-3B.5,1C.5,2D.7,14.过点()1,2P 引直线,使()2,3?A 、()4,5B -到它的距离相等,则这条直线的方程是( )A. 460x y +-=B. 460x y +-=C. 2370x y +-=或460x y +-=D. 2370x y +-=或460x y +-=5.已知点(),P a b 在第二象限内,则它到直线0x y -=的距离为( )A.)a b -B. b a -C.)b a -D.6.原点到直线250x y ++=的距离为( )A. 1B.C. 2D.7.点(),P x y 在直线40x y +-=上,则22x y +的最小值是( ) A. 8B.C.D. 168.已知点()()1,0,3,0A P -,△PAB 为等腰三角形,且AB 为三角形的底边,则顶点B 的轨迹方程为( )A. ()2234x y -+=B. ()2231?6x y -+=C. ()()223161x y x -+=≠D. ()()223160x y y -+=≠9.已知点A 在 x 轴上,点B 在y 轴上,线段AB 的中点为()3,4M ,则AB 等于( )A.10B.5C.8D.6可理解为( ) A.两点(),?a b 与()1,2的距离B.两点(),?a b 与()1,2-的距离C.两点(),?a b 与()1,2--的距离D.两点(),?a b 与()1,2-的距离二、填空题11.已知在ABC 中，()()3,2,1,5A B -，点C 在直线330x y -+=上.若ABC 的面积为10，则点C 的坐标为__________.12.已知直线l 经过点()5,10P ,且原点到它的距离为5,则l 的方程为__________.13.下列命题中,错误的是__________.①直线11:0l Ax By C ++=与22:0l Ax By C ++=的距离是12||C C -.②点到直线的距离公式不适用于点在直线上的情形.③原点到直线0?Ax By C ++=. 14.过点()3,1A -的所有直线中,与原点距离最远的直线的方程是__________.15.已知定点()0,1A ,点B 在直线0x y +=上运动,当线段AB 最短时,点B 的坐标是 .三、解答题16.求经过两条直线1:240l x y -+=和 2:20l x y +-=的交点P 且与直线3:3450l x y -+=垂直的直线l 的方程.17.已知△ABC 中, ()(()()1,1,14,4,2A B m m C <<,求 m 为何值时,△ABC 的面积S 最大.参考答案1.答案：A解析：2.答案：A解析：3.答案：B解析：d ==所以当110a-=,即 1a =时, d 取得最大值, max 5d =.故选B.4.答案：D解析：显然直线的斜率存在,设直线的方程为()21y k x -=-, 即20kx y k -+-=.由,?A B到直线的距离相等,=解得4k =-或32k =-, 故直线方程为460x y +-=或3270x y +-=.5.答案：C,因为a<0,b>0, )2b a==-. 6.答案：D解析：由题意得所求距离d ==. 7.答案：A解析：由22xy +的实际意义可知,它代表直线40x y +-=上的点到原点的距离的平方,它的最小值即为原点到该直线的距离的平方.∴()222min 8x y +==8.答案：D解析：由PA PB =得22||||PA PB =.设(),B x y ,则()()22223103x y ++=-+, 即()2231?6x y -+=,又B 不在直线AP 上,所以0y ≠.故选D.。
数学33《直线的交点坐标与距离公式》试题(新人教必修2)
3.3直线的交点坐标与距离公式第1题. 到两条直线3450x y -+=与512130x y -+=的距离相等的点()P x y ，必定满足方程〔 〕 Ａ．440x y -+= Ｂ．740x y +=Ｃ．440x y -+=或4890x y -+= Ｄ．740x y +=或3256650x y -+= 答案：Ｄ．第2题. 设点P 在直线30x y +=上，且P 到原点的距离与P 到直线320x y +-=的距离相等，那么点P 坐标是． 答案：31()55-，或31()55-，第3题. ABC △中，(32)A ，，(15)B -，，C 点在直线330x y -+=上，假设ABC △的面积为10，求出点C 坐标． 答案：解：由题得：[]223(1)(25)5AB =--+-=．1102ABC S AB h ==△∵，4h =∴〔h 为点C 到直线AB 的距离〕． 设点C 坐标为00()x y ，，AB 的方程为32(3)4y x -=--，即34170x y +-=．由0000330341745x y x y -+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，解得0012x y =-⎧⎨=⎩或00538x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩．∴C 点坐标为(10)-，或5(8)3，． 第4题. 直线l 在两坐标轴上的截距相等，且(43)P ，到直线l 的距离为32l 的方程．答案：解：由题，假设截距为0，那么设所求l 的直线方程为y kx =．243321k k -=+123142k -±=假设截距不为0，那么设所求直线方程为0x y a +-=．43322a+-=∵，1a =∴或13a =，∴所求直线为123142y x -±=，10x y +-=或130x y +-=．第5题. 用解析法证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高的长． 答案：证明：建立如下列图坐标系，(0)A a ，，(0)B b ，，(,0)C a -(00)a b >>，那么直线AB 方程为0bx ay ab +-=，直线BC 的方程为0bx ay ab -+=． 设底边AC 上任意一点为(0)P x ，，()a x a -≤≤，那么P 到AB 的距离为2222()bx ab b a x PE a b a b--==++，P 到BC 的距离为2222()bx ab b a x PF a ba b++==++，A 到BC 的距离为22222ba ab ab h a ba b+==++，222222()()2b a x b a x ab PE PF h a ba ba b-++=+==+++∵，∴原结论成立．第6题. 直线3230x y +-=和610x my ++=互相平行，那么它们之间的距离是〔 〕Ａ．4Ｂ．21313Ｃ．51326Ｄ．71326答案：Ｄ．第7题. 一直线过点(20)P ，，且点43(2Q -，到该直线距离等于4，求该直线倾斜角． 答案：解：当过P 点的直线垂直于x 轴时，Q 点到直线的距离等于4，此时直线的倾斜角为2π，当过P 点的直线不垂直于x 轴时，直线斜率存在， 设过P 点的直线为(2)y k x =-，即20kx y k --=．由24322341k k d k ---==+，解得33k =． ∴直线倾斜角为6π．综上，该直线的倾斜面角为6π或2π． 第8题. 等腰直角三角形ABC 的斜边所在的直线是320x y -+=，直角顶点是(32)C -，，那么两条直角边AC ，BC 的方程是〔 〕 Ａ．350x y -+=，270x y +-= Ｂ．240x y +-=，270x y --= Ｃ．240x y -+=，270x y +-= Ｄ．3220x y --=，220x y -+= 答案：Ｂ．第9题. 求经过两直线1l ：240x y -+=和2l ：20x y +-=的交点P ，且与直线3l ：3450x y -+=垂直的直线l 的方程．答案：解法一：解方程组24020x y x y -+=⎧⎨+-=⎩的交点P (0，2)．∵直线3l 的斜率为34，∴直线l 的斜率为43-．∴直线l 的方程为42(0)3y x -=--，即4360x y +-=．解法二：设所求直线l 的方程为24(2)0x y x y λ-+++-=． 由该直线的斜率为43-，求得λ的值11，即可以得到l 的方程为4360x y +-=． 第10题. 入射光线线在直线1l ：230x y --=上，经过x 轴反射到直线2l 上，再经过y 轴反射到直线3l 上，那么直线3l 的方程为〔 〕 Ａ．230x y -+=Ｂ．230x y -+=Ｃ．230x y +-=Ｄ．260x y -+= 答案：Ｂ．第11题. 直线420mx y +-=与250x y n -+=垂直，垂足为(1，p )，那么m n p -+=． 答案：20第12题. 试求直线1l ：20x y --=，关于直线2l ：330x y -+=对称的直线l 的方程．答案：解法一：由方程组20330x y x y --=⎧⎨-+=⎩得5292x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴直线1l 、2l 的交点为A (52-，92-)．设所求直线l 的方程为95()22y k x +=+，即22590kx y k -+-=．由题意知：1l 到2l 与2l 到l 的角相等，那么31313113k k--=+⨯+，7k =-∴． 即所求直线l 的方程为7220x y ++=． 解法二：在1l 上任取点P (1x ，1y )〔2P l ∉〕， 设点P 关于2l 的对称点为Q (x '，y ')．那么11113302231x x y y y y x x ++⎧-+=⎪⎪⎨+⎪=-+⎪⎩''''解得1143953495x y x x y y -+-⎧=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩''''又点P 在1l 上运动，1120x y --=∴．4393432055x y x y -+-++--=∴''''．即7220x y ++=''，也就是7220x y ++=． 第13题. 点(0，5)到直线20x y -=的距离是〔 〕Ａ．52532Ｄ．54 答案：B ．第14题. 直线1l 与2l 夹角平分线所在直线为y x =，如果1l 的方程是0(0)ax by c ab ++=>，那么直线2l 的方程是〔 〕Ａ．0bx ay c ++=Ｂ．0ax by c -+= Ｃ．0bx ay c +-=Ｄ．0bx ay c -+= 答案：Ａ．第15题. 假设直线5421x y m +=+与直线23x y m +=的交点在第四象限，那么m 的取值范围是〔 〕 Ａ．2m <Ｂ．32m >Ｃ．32m <-Ｄ．322m -<<答案：Ｄ．第16题. 直线l 过直线240x y -+=与350x y -+=的交点，且垂直于直线12y x =，那么直线l 的方程是． 答案：10580x y ++=．第17题. 直线l 与直线3100x y -+=，280x y +-=分别交于点M ，N ，假设MN 的中点是(01)，，求直线l 的方程．答案：解：设直线l 的方程为1y kx -=或0x =，17310031y kx x x y k =+⎧⇒=⎨-+=-⎩； 172802y kx x x y k =+⎧⇒=⎨+-=+⎩， 由770312k k +=-+，得14k =-，又直线0x =不合题意． ∴所求直线方程为440x y +-=．第18题. 〔1〕(34)A -，，(2B ，在x 轴上找一点P ，使PA PB =，并求PA 的值；〔2〕点(4)M x -，与(23)N ，间的距离为x 的值． 答案：解〔1〕设点P 为(0)x ，，那么有PA ==PB ==由PA PB =得2262547x x x x ++=-+，解得95x =-． 即所求点P 为9(0)5-，且2292109(3)(04)55PA =-++-=． 〔2〕由72MN =，又22(2)(43)72MN x =-+--=，得24450x x --=，解得19x =或25x =-，故所求x 值为9+或5-．第19题. 直线l 经过(25)P -，，且与点(32)A -，和(16)B -，的距离之比为12：，求直线l 的方程．答案：解：由题知，直线l 的斜率存在． 设斜率为k ，∵直线l 过点(25)P -，，∴直线l 方程为5(2)y k x +=-，即250kx y k ---=．记点A 到直线l 的距离为1223(2)25311k k k d k k-----==++．记点B 到直线l 的距离为222(1)62531111k k k d k k----+==++．又1212d d =∵：：，313112k k -=+∴，化简得：218170k k ++=，解得11k =-，217k =-，∴所求直线l 为：30x y ++=或17290x y +-=． 第20题. 假设点(3)P a ，到直线340x y +-=的距离为1，那么a 值为〔 〕333-Ｃ．333333- 答案：Ｄ．第21题. 设点P 在直线30x y +=上，且P 到原点的距离与P 到直线320x y +-=的距离相等，那么点P 坐标是．答案：31()55-，或31()55-，． 第22题. 直线l 在两坐标轴上的截距相等，且(43)P ，到直线l 的距离为32l 的方程．答案：解：由题，假设截距为0，那么设所求l 的直线方程为y kx =．243321k k -=+∵，123142k -±=．假设截距不为0，那么设所求直线方程为0x y a +-=，43322a+-=∵，1a =∴或13a =，∴所求直线为123142y x -±=，10x y +-=或130x y +-=．第23题. 一直线过点(20)P ，，且点43(2)3Q -，到该直线距离等于4，求该直线倾斜角． 答案：解：当过P 点的直线垂直于x 轴时，Q 点到直线的距离等于4，此时直线的倾斜角为2π， 当过P 点的直线不垂直于x 轴时，直线斜率存在，设过P 点的直线为(2)y k x =-，即20kx y k --=．由24322341k k d k ---==+，解得33k =． ∴直线倾斜角为6π．综上，该直线的倾斜角为6π或2π． 第24题. 直线180l mx y n ++=：，直线2210l x my +-=：，12l l ∥，两平行直线间距离为5，而过点()(00)A m n m n >>，，的直线l 被1l 、2l 截得的线段长为10，求直线l 的方程．答案：解：∵12l l ∥，2160m -=∴得4m =±．0m >∵，4m =∴．故1:480l x y n ++=，24820l x y +-=：． 又1l 与2l 5，222548n +=+18n =或22n =-〔舍〕．故A 点坐标为(418)，．再设l 与1l 的夹角为θ，斜率为k ，1l 斜率为12-， 2sin 2θ=∵，4θ=π∴，1()2tan 1141()2k k--==+-π，解得13k =或3k =-．∴直线l 的方程为118(4)3y x -=-或183(4)y x -=--．即3500x y -+=或3300x y +-=．第25题. 直线210mx y m -++=经过一定点，那么该定点的坐标为〔 〕 Ａ．(21)-，Ｂ．(21)，Ｃ．(12)-，Ｄ．(12)， 答案：Ａ．第26题. 假设(16)P --，，(30)Q ，，延长QP 到A ，使13AP PQ =，那么A 的坐标为〔 〕Ａ．7(8)3--，Ｂ．9(0)2，Ｃ．2(2)3-，Ｄ．2(2)3-， 答案：Ａ．。
直线的交点坐标与距离公式(有答案)
1．直线 与直线 之间的距离是
2．直角坐标系中第一象限内的点 到 轴， 轴及直线 的距离
都相等，则 值是．
3．直线 与 距离为．
4．直线 过点 ， 过点 ， // 且 与 间距离等于 ，求 与 的方程．
解设点P的坐标为(x,0)，
则根据点到直线的距离公式可得 ＝6，解得x＝8或x＝－12.所以点P的坐标为(8,0)或(－12,0)．
四、直线与直线的距离
例1、求下列两条平行直线之间的距离：
（1） 与 （2） 与
例2、求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的直线方程．
解∵与l平行的直线方程为5x－12y＋b＝0，
例2、求经过原点，且经过直线2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0的交点的直线l的方程．
例条件？
课堂练习：
1．与直线 相交的直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
2．若三条直线 和 相交于一点，则 的值为_______．
3．（1）两条直线 和 的交点，且与直线 平行的直线方程为_______________．
即 解得 ∴P′
法二设点P′(x，y)，PP′⊥l于M，∵PP′的方程为(x＋4)＋2(y－2)＝0，即x＋2y＝0，(3分)
∴解方程组 得PP′与l的交点M ，由中点坐标公式得
得 (9分)故P′ .(12分)
三、点到直线的距离
例1、求点P(3，－2)到下列直线的距离：
(1)y＝ x＋ ；(2)y＝6；(3)x＝4.
例3、已知△ABC的三个顶点是A(－1,0)，B(1,0)，C ，试判断△ABC的形状．
解因为|BC|＝ ＝ ＝1，|AB|＝2，|AC|＝ ＝ ，
所以有|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以△ABC是直角三角形．
直线的交点坐标与距离公式经典例题
直线的交点坐标与距离公式经典例题经典例题透析类型一：求交点坐标1．判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标.思路点拨：判断两直线的位置关系，实质上就是两直线方程组成的方程组是否有解.解析：(1)解方程组，得所以直线相交，交点是(2)由方程组得(1)-2(2)得3=0，矛盾.方程组无解，所以两直线无公共点，.我们不光可以判断两直线的位置关系，还可以通过交点坐标求出满足一系列条件的直线.举一反三：【变式1】已知直线满足下列两个条件：(1)过直线y=-x+1和y=2x+4的交点;(2)与直线x-3y+2=0 垂直，求直线的方程.【答案】解：由得交点(-1，2)，∵ k=-3，∴所求直线的方程为: 3x+y+1=0.【变式2】（2011江苏如皋）经过点，且与直线垂直的直线方程为.解析：与垂直的直线斜率为，所求直线的点斜式方程为：，即.类型二：求两点间的距离2．在直线2x-y=0 上求一点P ，使它到点 M(5，8) 的距离为５，并求直线PM 的方程.思路点拨：求点的坐标，需要把点的坐标设出来，利用两点间的距离公式进行计算.解析：∵点P 在直线2x-y=0 上，∴可设 P(a，2a) ，根据两点的距离公式得，即，解得..所以直线PM的方程为即4x-3y+4=0或 24x-7y-64=0.总结升华：本题的关键点是点P在直线2x-y=0 上，可设 P(a，2a)，这样使后面的计算更加简单.举一反三：【变式】已知点A(2，0)，B(0，2)，试在线段AB上求一点P，使得|OP| 最小，并求出这个最小值. 【答案】解：直线AB的方程为，点P在线段AB上，可设.当时，|OP|最小.使|OP|取最小值的点为P(1，1，)，|OP|的最小值为.类型三：求点到直线的距离3．求点P(3，-2)到下列直线的距离：思路点拨：求点到直线的距离，关键是利用好距离公式，把直线方程都化为一般式.解析：(1)把方程写成，由点到直线距离的公式得；(2)因为直线平行于轴，所以；(3)因为直线平行于轴，所以.当直线垂直于x轴或y轴时，也可以通过数形结合求点到直线的距离.举一反三：【变式】点到直线的距离( )A．1 B．3 C．5 D．4【答案】本题选A类型四：求两平行直线间的距离4．求两条平行线间的距离.思路点拨：求两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离，也可以利用距离公式.解析：方法一：若在直线上任取一点A(2，1)，则点A到直线的距离就是所求的平行线间的距离，所以.方法二：设原点到直线的距离分别为，则即为所求.所以.方法三：利用公式.总结升华：求两平行直线间的距离可以利用距离公式，也可以根据几何意义，借助几何直观背景发挥形象思维优势，常常可得到简洁优美的解法.举一反三：（2010北京海淀二模）已知直线，，则，之间的距离为A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】与之间的距离，故选B．。
直线的交点坐标与距离公式(习题)
直线的交点坐标与距离公式（习题）1.直线x+ky=0，2x+3y+8=0和x-y-1=0交于一点，则k的值是（）A．12B．12-C．2 D．-22.经过两条直线2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点，且平行于直线4x-3y-7=0的直线方程为（）A．3x+4y+17=0 B．4x-3y-6=0C．3x+4y-17=0 D．4x-3y+18=03.两直线3ax-y-2=0和(2a-1)x+5ay-1=0分别过定点A，B，则|AB|=（）AB．175C．135D．1154.若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离为4，则k的值为（）A．1 B．-3 C．513或D．1733-或5.已知点P的纵坐标为2，Q(2，-3)，M(1，1)，且|PQ|=|PM|，则点P的坐标为________．6.过点P(0，1)且和A(3，3)，B(5，-1)距离相等的直线的方程为_________________________．7. 两条平行直线3x +4y -12=0与ax +8y +11=0间的距离为______．8. （1）与直线7x +24y =5平行，且与其距离等于3的直线方程为_______________________________．（2）已知两条平行线l 1：2x +3y -6=0与l 2：4x +6y -3=0平行线的方程为_________________________．9. 已知点A (1，3)，B (3，1)，C (-1，0)，求△ABC 的面积．10. 设a ，b ，c ，d ∈R ．求证：对于任意p ，q ∈R ，11. 已知△ABC 的顶点A 的坐标为(5，1)，AB 边上的中线CM 所在直线的方程为2x -y -5=0，AC 边上的高BH 所在直线的方程为x -2y -5=0．求：（1）顶点C 的坐标；（2）直线BC 的方程．【参考答案】1. B2. B3. C4. D5. 27(2)2，6. 121y y x ==-+或7.728. （1）724700724800x y x y ++=+-=或； （2）812150x y +-=9. 510. 略11. （1）C(4，3)；（2）6590x y --=。
高中数学-直线的交点坐标与距离公式练习
高中数学-直线的交点坐标与距离公式练习一、选择题1、经过直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为( )A.x ＋y ＋1＝0B.3x ＋4y ＝0C. x ＋y ＋1＝0或3x ＋4y ＝0D. x －y ＋2＝0【解析】本题考查截距式求直线方程，注意直线是否过原点的讨论.先设出过两直线方程交 点的直线方程，求出在x 轴与y 轴上的截距，因为直线l 在两坐标轴上的截距相等考虑可能 过原点和不过原点两种情况，分别根据条件求出直线方程即可.【答案】设直线方程为3x ＋2y ＋6＋λ(2x ＋5y －7)＝0，即(3＋2λ)x ＋(2＋5λ)y ＋6－7λ＝0.令x ＝0，得y ＝7λ－62＋5λ； 令y ＝0，得x ＝7λ－63＋2λ. 由7λ－62＋5λ＝7λ－63＋2λ，得λ＝13或λ＝67. 直线方程为x ＋y ＋1＝0或3x ＋4y ＝0.故选C.2、点P (m －n ，－m )到直线 x m ＋y n ＝1的距离为( )A.m 2±n 2B.m 2－n 2C.－m 2＋n 2D.m 2＋n 2【解析】本题考查点到直线的距离公式0022Ax By C d A B ++=+，将直线化为一般式，根据公式 代入即可求出答案.【答案】将直线化为一般式，得nx ＋my －mn ＝0，由点到直线的距离公式得 .()()2222n m n m m nmd n m n m -+--==++,故选D.3、P 点在直线3x ＋y －5＝0上，且P 到直线x －y －1＝0的距离为 2，则P 点坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2)【解析】本题考查点到直线的距离公式，,53)P a a -设点坐标为（，代入距离公式即可求出答案.【答案】,53)P a a -设点坐标为（,(53)122a a ---=由题意知：d=, 12a a ==解之得或,(1,2)2,1P ∴点坐标为或（）,故选C. 4、已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )．A ．4 B.21313 C.51326 D.71326【解析】本题考查两平行直线的距离公式，1222C C d A B -=+ ，先求出直线方程，然后根据 两平行线间的距离公式求解.【答案】∵3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，∴3∶2＝6∶m ，∴m ＝4.直线6410x y ++=可以化为13202x y ++=，由两条平行直线间的距离公式可得： ()2217371322261332d --===+,故选D. 5、已知两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值等于 ( )A ．0或－12 B.12或－6 C ．－12或12 D ．0或12【解析】本题考查点到直线的距离公式，根据公式代入求解即可.【答案】依题意得|3m ＋2＋3|m 2＋1＝|－m ＋4＋3|m 2＋1，∴|3m ＋5|＝|m －7|， ∴3m ＋5＝m －7或3m ＋5＝7－m .∴m ＝－6或m ＝12,故选B. 6、若三直线l 1：2x ＋3y ＋8＝0，l 2：x －y －1＝0，l 3：x ＋ky ＋k ＋12＝0能围成三角形，则k 不等于( )．A ．32B ．－2C ．32和－1D ．32、－1和－12【解析】本题考查求直线的交点，直线平行的关系.如果三条直线不能构成三角形，则必存在平行线，或三条直线过同一点，由此求出不能构成三角形的条件.【答案】由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －1＝02x ＋3y ＋8＝0得交点P (－1，－2)，若P 在直线102x ky k +++=上，则 12k =-．此时三条直线交于一点；32k =时，直线l 1与l 3平行；1k =-时，直线l 2与3l 平行，综上知，要使三条直线能围成三角形，应有13,22k ≠- 32和－1,故选D. 二、解答题7、求直线1:23l y x =+关于直线:1l y x =+对称的直线2l 的方程.【解析】本题考查直线关于直线对称的直线，利用点关于直线对称求出所求直线上的一点，然后再求出直线的交点，利用两点式求直线方程.【答案】 方法一: 由⎩⎨⎧+=+=132x y x y 知直线l 1与l 的交点坐标为（-2，-1），∴设直线l 2的方程为y+1=k(x+2),即kx-y+2k-1=0.在直线l 上任取一点（1，2），由题设知点（1，2）到直线l 1、l 2的距离相等，由点到直线的距离公式得221122k k k +-+-=22)1(2322-++-，解得k=21(k=2舍去)， ∴直线l 2的方程为x-2y=0.方法二: 设所求直线上一点P （x,y ）,则在直线l 1上必存在一点P 1（x 0,y 0）与点P 关于直线l 对称.由题设：直线PP 1与直线l 垂直，且线段PP 1的中点P 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2,200y y x x 在直线l 上.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-=•--122110000x x y y x x y y ，变形得⎩⎨⎧+=-=1100x y y x , 代入直线l 1:y=2x+3，得x+1=2×(y-1)+3,整理得x-2y=0.所以所求直线方程为x-2y=0.。
23 直线的交点坐标与距离公式(同步练习)(含解析)2022高二数学(选择性必修第一册)
2.3直线的交点坐标与距高公式一、单选题1．三条直线2x =，10x y --=，0x ky +=相交于一点，则k 的值为（）A ．2-B ．12-C ．2D ．122．已知矩形ABCD ，P 为矩形外的一点，7,1,4,PA PB PC ===则PD =（）A ．8B ．7C ．6D ．53．已知点()1,1P ，直线:1l y kx =+，则点P 到直线l 的距离的取值范围是（）A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[)0,1D ．11[0,(,1)22⋃4．和直线20x y -+=关于x 轴对称的直线方程为（）A ．20x y -+-=B ．20x y -+-=C ．20x y ++=D ．20x y +-=二、多选题5．(多选)已知三条直线x －2y ＝1，2x ＋ky ＝3，3kx ＋4y ＝5相交于一点，则k 的值为（）A ．－163B ．－1C ．1D ．1636．下列说法正确的是（）A ．直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是2B ．点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(1,1)C ．过11(,)x y ，22(,)x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=--D ．经过点(1,2)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为30x y +-=或10x y -+=7．若动点()11A x y ，，()22B x y ，分别在直线1:3410l x y -+=与2:6850l x y -+=上移动，则AB 的中点M 到原点的距离可能为（）A ．310B ．710C ．25D ．12三、填空题8．已知直线1l 与直线2:230l x y --=，12l l //，且1l 与2l 1l 的方程为__________．9．到直线3410x y --=的距离为2的点的轨迹是______．10．点P 在曲线21y x =+上，当点P 到直线25y x =-的距离最小时，P 的坐标是______.四、解答题11．已知直线1:320l x y ++=与直线2:210l x y +-=的交点为M ，求经过点M 且满足下列条件的直线l 的方程：（1）与直线250x y ++=平行；（2）与直线3240x y +-=垂直．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC 的三个顶点(),A m n ，()2,1B ，()2,3C -.（1）求BC 边所在直线的方程；（2）BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=，且ABC 的面积等于7，求点A 的坐标.13．已知ABC 的面积为10，点()()1024A B -，，，，求动点C 的轨迹方程．14．已知ABC 的三个顶点分别为()20A -，，()20B ，，()02C ，．（1）若过()12P ，的直线y ax b =+将ABC 分割为面积相等的两部分，求b 的值；（2）一束光线从()10E ，点出发射到BC 上的D 点，经BC 反射后，再经AC 反射到x 轴上的F 点，最后再经x 轴反射，反射光线所在直线为l ，证明直线l 经过一定点，并求出此定点的坐标．参考答案1．A 【分析】先求出直线2x =，10x y --=，的交点P ，再把交点坐标代入直线0x ky +=中，求得k 的值．【详解】解：设三条直线交于一点P ，则直线2x =，10x y --=，交于点P ，联立210x x y =⎧⎨--=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，即(2,1)P ，∴直线0x ky +=过点P ，即20k +=，2k ∴=-故选:A ．2．A 【分析】建立平面直角坐标系，设出P 点坐标，利用两点间的距离公式列方程，化简求得PD .【详解】设,BC a BA b ==，建立如图所示平面直角坐标系，则()()()0,,,0,,A b C a D a b ，设(),P x y .则2221PB x y =+=，()22216PC x a y =-+=，()22249PA x y b =+-=，化简得()()2264x a y b -+-=，所以8PD ==.故选：A3．C 【分析】利用点到直线距离公式列式，再借助函数求其值域即得.【详解】点()1,1P 到直线:10l kx y -+=的距离d =当0k =时，0d =，当0k ≠时，d =，恒有2111k +>，于是得01d <<，综合得01d ≤<，所以点P 到直线l 的距离的取值范围是[0,1).故选：C 4．C 【分析】求出直线20x y -+=与x 轴的交点，并求出直线20x y -+=的斜率，由此可得出所求直线的方程.【详解】直线20x y -+=交x 轴于点()2,0-，且直线20x y -+=的斜率为1，故所求直线的方程为()2y x =-+，即20x y ++=.故选：C.5．AC 【分析】由任意两个直线方程联立方程组求出交点坐标，再由其会标代入第三个方程中可求出k 的值【详解】解：由2123x y x ky -=⎧⎨+=⎩，得6414k x ky k +⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，所以三条直线的交点为61,44k k k +⎛⎫⎪++⎝⎭，所以6134544k k k k+⋅+⋅=++，化简得2313160k k +-=，解得1k =或163k =-，故选：AC 6．AB 【分析】对于A ，由直线方程求直线在坐标轴上的截距，从而可求出直线与坐标轴围成的三角形的面积，对于B ，直接求解点(0,2)关于直线1y x =+的对称点进行判断，对于C ，当12x x =或12y y =时，不能利用两点式方程，对于D ，分截距为零和截距不为零两种情况求解即可【详解】解：对于A ，当0x =时，2y =-，当0y =时，2x =，所以直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积为12222⨯⨯=，所以A 正确，对于B ，设点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(,)m n ，则2122210n mn m +⎧=+⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，解得11m n =⎧⎨=⎩，所以点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(1,1)，所以B 正确，对于C ，当12x x =或12y y =时，不能利用两点式求直线方程，所以C 错误，对于D ，当直线的截距为零时，设直线方程为y kx =，则2k =，所以直线方程为20x y -=，当当直线的截距不为零时，设直线方程为1x ya a +=，则121a a+=，解得3a =，所以直线方程为30x y +-=，所以经过点(1,2)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为30x y +-=或20x y -=，所以D 错误，故选：AB 7．BCD 【分析】本题考查平行直线间的距离，点到直线的距离，考查计算和转化能力，由题意可知，点M 在平行直线1l 与l 之间且在到两条直线距离相等的直线上，求出点M 所在的直线方程，以及原点到该直线的距离，即点M 到原点的距离的最小值即可得解．【详解】由题意可知，直线1:3410l x y -+=即6820x y -+=与2:6850l x y -+=平行，点M 在直线1l 与2l 之间且在到两条直线距离相等的直线上，设该条直线方程为680x y c -+==72c =，∴点M 到原点的距离的最小值就是原点到直线76802x y -+=的距离，即77220d =，即AB 的中点M 到原点的距离的最小值为720，故选:BCD ．8．220x y -+=或280x y --=【分析】设所求直线的方程为20x y C -+=，利用两平行线间的距离公式求出C 的值，进而可得出直线1l 的方程.【详解】12//l l Q ，可设直线1l 方程为20x y C -+=，又1l 与2l35C +=，解得2C =或8-.直线1l 的方程为220x y -+=或280x y --=.故答案为：220x y -+=或280x y --=.9．34110x y --=或3490x y -+=【分析】由题意可设所求点的轨迹方程为340x y m -+=，利用两平行线间的距离等于2求得m 值，则点的轨迹方程可求．【详解】由题意可知，到直线3410x y --=的距离为2的点的轨迹是与直线3410x y --=平行的两条直线，且所求直线与已知直线间的距离为2，设所求点的轨迹方程为340x y m -+=，2=即110m +=，解得11m =-或9．∴到直线3410x y --=的距离为2的点的轨迹方程是34110x y --=或3490x y -+=．故答案为：34110x y --=或3490x y -+=10．(1,2)【分析】任取曲线上一点()00,x y ，利用点到直线的距离公式可得d =，求出d 取最小值时，01x =，即可得到答案；【详解】解：任取曲线上一点()00,x y ，则0021y x =+直线:25,l y x =-即250x y --=点()00,x y 到直线l 的距离为d =()20150y x =-+>在01x =时，min d ，此时02y =，故答案为：(1,2)11．（1）210x y ++=；（2）2350x y -+=【分析】（1）联立直线方程，即可得交点M 坐标，再根据直线平行，则斜率相等，即可得直线方程；（2）根据直线垂直斜率乘积为1-，即可得所求直线的斜率，结合点M 的坐标，即可求解.【详解】由320210x y x y ++=⎧⎨+-=⎩解得11x y =-⎧⎨=⎩，所以交点为()1,1M -，（1）直线250x y ++=的斜率为2-，因为所求直线与直线250x y ++=平行，可得所求直线的斜率2k =-，所以所求直线方程为()121y x -=-+，即210x y ++=；（2）因为直线3240x y +-=的斜率为32-，因为所求直线与直线324x y +-=故所求直线的斜率23k =，所以所求直线方程为()2113y x -=+，即2350x y -+=.12．（1）240x y +-=；（2）()3,4A 或()3,0-.【分析】（1）利用点斜式求得BC 边所在直线方程；（2）利用点到直线的距离公式求得A 到直线BC 的距离，根据面积7ABC S =△以及点A 在直线2360x y -+=上列方程组，解方程组求得A 点的坐标.【详解】（1）∵311222AB k -==---，采用点斜式设直线方程：11(2)2y x -=--∴240x y +-=（2）∵A 点在中线AD 上，把A 点坐标代入，2360-+=m n 点A 到直线:240BC x y +-=的距离d =∵11||722ABC S d BC =⋅⋅==△即23603 2474m n m m n n -+=⎧=⎧⇒⎨⎨+-==⎩⎩或30m n =-⎧⎨=⎩所以，点A 的坐标为()3,4A 或()30A -,13．43160x y --=或43240x y -+=．【分析】首先求得C 到直线AB 的距离为4，即动点C 到直线AB 的距离为4，C 的轨迹方程为两条平行直线，结合两条平行线间的距离公式即可求解．【详解】5AB ==，设C 到AB 的距离为h ，则151042h h ⨯⨯=⇒=.直线AB 的方程为()400121y x --=++，即4340x y -+=，设C 的轨迹为430x y c -+=，424c =⇒=或16c =-，所以所求C 的轨迹方程为43160x y --=或43240x y -+=．14．（1）2b =（2）证明见解析，()14--，．【分析】（1）结合图形分析可得直线y ax b =+的斜率大于直线PA 的斜率，由此可得直线y ax b =+只能与BC 、AB 相交，设其与BC 的交点为Q 点，与x 轴的交点为R ，根据题设条件得到比例关系，列方程求b ；（2）设()0F m ，，结合光线反射的性质求出直线ED 的斜率，由此可得直线l 的方程，进而可得定点坐标.【详解】（1）直线BC 的方程为：20x y―+=，直线y ax b =+只能与BC 、AB 相交，其与BC 的交点为Q 点，由2y ax b x y =+⎧⎨+=⎩得21Q b ay a +=+，0Q y >，直线y ax b =+与x 轴交点为0b R a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，22b a -<<，由12BR BQBA CB =12=，化简得：()2(2)41b a a a +=+，又2b a +=，231280b b ∴-+=，解得：2b =而20a b =->，2b ∴=（2）设()0F m ，，直线AC 的方程为：20x y -+=，直线BC 的方程为：20x y +-=，设()0F m ，关于直线AC 的对称点为()111F x y ，，则111120221m x y y x m +⎧-+=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得()122F m -+，，同理可得1F 关于直线BC 的对称点为()24F m -，，则2F 在直线ED 上，所以直线ED 的斜率为41m --，l ∴的斜率为41m +，l 方程为()41y x m m =-+，即()44m y x y +=-，l ∴过定点()14--，．。
直线的交点坐标与距离公式
周测5 直线的交点坐标与距离公式(时间：60分钟 满分：100分)一、单项选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋ky ＝0相交于一点，则k 等于( )A ．－2B ．－12C ．2 D.12答案 B解析 因为直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋ky ＝0相交于一点，且由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，即交点为(－1，－2)，所以－1＋(－2)k ＝0，解得k ＝－12. 2．直线l 1：x －2y －3＝0与l 2：－3x ＋6y －1＝0之间的距离为( ) A.455B.253C.4515D. 5 答案 B解析 由－3x ＋6y －1＝0，可得x －2y ＋13＝0，即l 1与l 2平行，故l 1与l 2之间的距离为⎪⎪⎪⎪－3－1312＋(－2)2＝253. 3．过点(1,3)且与原点的距离为1的直线共有( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条答案 C解析 当斜率不存在时，过点(1,3)的直线为x ＝1，原点到直线的距离为1，满足题意； 当斜率存在时，设直线的斜率为k ，则直线方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y ＋3－k ＝0，则原点到直线的距离d ＝|0－0＋3－k |k 2＋(－1)2＝1，解得k ＝43， 即直线方程为4x －3y ＋5＝0，即满足题意的直线有2条．4．(2022·六安模拟)已知点A (3,1)，在直线y ＝x 和y ＝0上分别找一点M 和N ，使△AMN 的周长最短，则最短周长为( )A ．4B ．2 5C ．2 3D ．2 2答案 B解析 设点A 关于直线y ＝x 和y ＝0的对称点分别为B (1,3)，C (3，－1)，∴|BC |＝25， ∵|AM |＋|AN |＋|MN |＝|BM |＋|CN |＋|MN |≥|BC |，∴最短周长为2 5.5．(2022·阜阳模拟)已知m ∈R ，动直线l 1：x ＋my －1＝0过定点A ，动直线l 2：mx －y －2m ＋3＝0过定点B ，若l 1与l 2交于点P (异于A ，B 两点)，则|P A |＋|PB |的最大值为( ) A. 5 B ．2 5 C.10 D ．210答案 B解析 由题意可得A (1,0)，B (2,3)，∵直线l 1与直线l 2的斜率之积等于－1，∴直线x ＋my －1＝0和直线mx －y －2m ＋3＝0垂直，则|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10≥(|P A |＋|PB |)22，当且仅当|P A |＝|PB |＝5时取等号，∴|P A |＋|PB |≤25，∴|P A |＋|PB |的最大值为2 5.6．已知实数x ，y 满足2x ＋y ＋5＝0，那么x 2＋(y ＋3)2的最小值为( ) A.855 B.655 C.455 D.255答案 D解析 x 2＋(y ＋3)2表示直线2x ＋y ＋5＝0上的动点到(0，－3)的距离，过(0，－3)向直线2x ＋y ＋5＝0作垂线，垂线段最短，此时d ＝|－3＋5|22＋12＝255. 二、多项选择题(本大题共2小题，每小题5分，共10分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)7．过点P (1,2)引直线，使M (2,3)，N (4，－5)两点到直线的距离相等，则这条直线的方程为( )A ．4x ＋y －6＝0B ．x ＋4y －6＝0C ．2x ＋3y －7＝0D ．3x ＋2y －7＝0答案 AD解析 设直线方程为Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)．∵直线过点(1,2)且点M (2,3)，N (4，－5)到它的距离相等，∴⎩⎪⎨⎪⎧ A ＋2B ＋C ＝0，①|2A ＋3B ＋C |A 2＋B 2＝|4A －5B ＋C |A 2＋B 2.②由②可得A ＝4B 或3A －B ＋C ＝0，代入①中得A ＝4B ，C ＝－6B 或2A ＝3B ，－7A ＝3C .∴所求直线方程为4Bx ＋By －6B ＝0或3Ax ＋2Ay －7A ＝0，即4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝0.8．已知直线l 1：ax －y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，a ∈R ，以下结论正确的是( )A ．无论a 为何值，l 1与l 2都互相垂直B ．当a 变化时，l 1与l 2分别经过定点(0,1)和(－1,0)C ．无论a 为何值，l 1与l 2都关于直线x ＋y ＝0对称D ．若l 1与l 2交于点M ，O 为坐标原点，则|MO |的最大值是 2答案 ABD解析 对于A ，因为直线l 1：ax －y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，又a ×1＋(－1)×a ＝0，所以无论a 为何值，l 1与l 2都互相垂直，故选项A 正确；对于B ，直线l 1：ax －y ＋1＝0，当x ＝0时，y ＝1，则直线l 1恒过定点(0,1)，直线l 2：x ＋ay ＋1＝0，当y ＝0时，x ＝－1，则直线l 2恒过定点(－1,0)，故选项B 正确； 对于C ，设P (x ，y )为直线l 1：ax －y ＋1＝0上任意一点，则点P 关于直线x ＋y ＝0的对称点为P ′(－y ，－x )，将点P ′(－y ，－x )代入直线l 2：x ＋ay ＋1＝0，可得ax ＋y －1＝0，与点P 在直线l 1上矛盾，故选项C 错误；对于D ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －y ＋1＝0，x ＋ay ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－a －1a 2＋1，y ＝－a ＋1a 2＋1，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －1a 2＋1，－a ＋1a 2＋1， 则|MO |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －1a 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋1a 2＋12＝2a 2＋1≤2， 所以|MO |的最大值是2，故选项D 正确．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)9．已知△ABC 的顶点A (－10,2)和B (6,4)，垂心为H (5,2)，则顶点C 的坐标为________． 答案 (6，－6)解析 设点C 的坐标为(x ，y )，于是由H 为垂心知⎩⎪⎨⎪⎧ 4－26－5·y －2x ＋10＝－1，x ＝6⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝－6. 10．若直线l 被直线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0截得的线段长为22，则直线l 的倾斜角θ(0°≤θ<90°)的值为________．答案 75°或15°解析 直线l 被直线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0截得的线段长为22，则两直线间的距离d ＝|3－1|12＋12＝2， 所以直线l 的倾斜角为45°＋30°＝75°或45°－30°＝15°.11．已知△ABC 中，A (3,2)，B (－1,5)，点C 在直线3x －y ＋3＝0上，若△ABC 的面积为10，则点C 的坐标为________．答案 (－1,0)或⎝⎛⎭⎫53，8解析 设点C 到直线AB 的距离为d .由题意得|AB |＝[3－(－1)]2＋(2－5)2＝5.∵S △ABC ＝12|AB |·d ＝10，∴d ＝4.设点C 的坐标为(x 0，y 0)．易得直线AB 的方程为y －2＝－34(x －3)，即3x ＋4y －17＝0， 由⎩⎨⎧ 3x 0－y 0＋3＝0，|3x 0＋4y 0－17|5＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－1，y 0＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝53，y 0＝8. ∴点C 的坐标为(－1,0)或⎝⎛⎭⎫53，8.12．已知点A (5,0)，B (0,4)，动点P ，Q 分别在直线y ＝x ＋2和y ＝x 上，且PQ 与两直线垂直，则|AQ |＋|QP |＋|PB |的最小值为________．答案 5＋ 2解析 设Q (x ，x )，则P (x －1，x ＋1)，由于PQ 与两直线垂直且|PQ |＝2，故|AQ |＋|BP |＝(x －5)2＋x 2＋(x －1)2＋(x －3)2.此式可理解为点Q (x ，x )到A (5,0)及C (1,3)的距离之和，其最小值为|AC |＝5.故所求最小值为5＋ 2.四、解答题(本大题共3小题，共40分)13．(12分)已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0.求(1)(6分)顶点C 的坐标；(2)(6分)直线BC 的方程．解 (1)设C (m ，n )，∵AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －n －5＝0，n －1m －5×12＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝3.∴C (4,3)．(2)设B (a ，b )，则⎩⎨⎧ a －2b －5＝0，2×a ＋52－1＋b 2－5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3.∴B (－1，－3)，∴k BC ＝3＋34＋1＝65， ∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0. 14．(13分)已知直线方程为(2－m )x ＋(2m ＋1)y ＋3m ＋4＝0.(1)(4分)证明：直线恒过定点；(2)(4分)m 为何值时，点Q (3,4)到直线的距离最大，最大值为多少？(3)(5分)若直线分别与x 轴，y 轴的负半轴交于A ，B 两点，求△AOB 面积的最小值及此时直线的方程．(1)证明 直线方程为(2－m )x ＋(2m ＋1)y ＋3m ＋4＝0，可化为(－x ＋2y ＋3)m ＋2x ＋y ＋4＝0，对任意m 都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋2y ＋3＝0，2x ＋y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，所以直线恒过定点(－1，－2)． (2)解 点Q (3,4)到直线的距离最大，可知点Q 与定点(－1，－2)的连线的距离就是所求最大值， 即(3＋1)2＋(4＋2)2＝213. 设定点(－1，－2)为点P ，k PQ ＝4＋23＋1＝32， 则(2－m )x ＋(2m ＋1)y ＋3m ＋4＝0的斜率为－23， 可得－23＝－2－m 2m ＋1，解得m ＝47.(3)解 由(1)可设直线方程为y ＋2＝k (x ＋1)，k <0，则A ⎝⎛⎭⎫2k －1，0，B (0，k －2)，S △AOB ＝12⎪⎪⎪⎪2k －1|k －2|＝12⎝⎛⎭⎫2k－1(k －2) ＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－k ＋－k 2≥2＋2＝4， 当且仅当k ＝－2时取等号，所以△AOB 面积的最小值为4.此时直线的方程为2x ＋y ＋4＝0.15．(15分)在△ABC 中，已知A (1,2)，B (－2,1)．(1)(7分)若点C 的坐标为(4,5)，直线l ∥AB ，直线l 交AC 边于点D ，交CB 边于点E ，且△CDE与△ABC 的面积之比为49，求直线l 的方程； (2)(8分)若C (x ，y )是一个动点，且△ABC 的面积为2，试求y 关于x 的函数关系式．解 (1)因为l ∥AB ，即DE ∥AB ，所以△CDE ∽△CAB ，又S △CDE S △CAB ＝49， 所以CD →＝2DA →，设点D 的坐标为(m ，n )，CD →＝(m －4，n －5)，DA →＝(1－m ,2－n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m －4＝2(1－m )，n －5＝2(2－n )，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2，n ＝3，所以D 点的坐标为(2,3)．直线AB 的斜率为2－11＋2＝13，因为l ∥AB ，所以直线l 的斜率为13.因此，直线l 的方程为y －3＝13(x －2)，即x －3y ＋7＝0. (2)由题意可知直线AB 的方程为y －2＝13(x －1)，即x －3y ＋5＝0，|AB |＝(1＋2)2＋(2－1)2＝10，设点C 到直线AB 的距离为d ，则S △ABC ＝12·|AB |·d ＝12×10×d ＝2，得d ＝410＝2105，由点到直线的距离公式得d ＝|x －3y ＋5|12＋(－3)2＝2105， ∴x －3y ＋5＝±4，解得y ＝13x ＋13或y ＝13x ＋3. 因此，y 关于x 的函数关系式为y ＝13x ＋13或y ＝13x ＋3.。
《直线的交点坐标与距离公式》同步练习及答案
《2.3直线的交点坐标与距离公式》同步练习一、单选题1．过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A ．B ．C ．D ． 2．与直线关于轴对称的直线方程为（ ） A ． B ． C ． D ． 3．两条平行线与间的距离为( )A ．B ．C ．D ．1 4．已知直线过点，且与直线平行，则的方程为（ ） A ． B ． C ． D ．5．已知点与直线：，则点关于直线的对称点坐标为 A ． B ． C ． D ．6．已知直线l 1：x+（m+1）y+m ＝0，l 2：mx+2y+1＝0，则“l 1∥l 2”的必要不充分条件是（ ） A ．m ＝﹣2 B ．m ＝1 C ．m ＝﹣2或m ＝1 D ．m ＝2或m ＝17．无论取何值，直线都恒过一个定点，则定点的坐标为（ ）A ．B ．C ．D ． 8．已知点到直线的距离为1，则的值为（ ） AB ．D9．已知直线l 1：2x ﹣y ﹣2=0与直线l 2：3x+y ﹣8=0的交点为P ，则点P 到直线l ：y=﹣2x 的距离为（ ）(13)P -，230x y -+＝210x y +-＝250x y +-＝250x y +-＝270x y --＝210x y -+=x 210x y ++=210x y --=210x y +-=210x y -+=1:3410l x y 2:6870l x y 123565l (1,1)6540x y -+=l 56110x y +-=5610x y -+=65110x y --=6510x y --=()1,2P l 10x y ++=P l ()3,1--()2,4()3,2--()2,2-m ()()31411210m x m y m +++--=(8,9)-(9,8)-(15,14)-(14,15)-()()1,0a a >:20+-=l x y a 211A ．BCD ． 10．已知直线过直线与直线的交点，且点到直线的距离为2，则这样的直线的条数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 二、多选题11．下列说法正确的是（ ）A ．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2B ．点关于直线的对称点为C ．过，两点的直线方程为D ．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为12．已知直线，动直线，则下列结论错误．．的是（ ）A ．不存在，使得的倾斜角为90°B ．对任意的，与都有公共点C ．对任意的，与都不．重合D ．对任意的，与都不垂直．．． 13．已知直线，则下列结论正确的是（ ） A ．直线的倾斜角是B ．若直线则C ．点到直线的距离是D ．过与直线平行的直线方程是三、填空题14．已知两条平行直线与的距离为，则____________， _________.4565-l1:10l x y -+=2:2380l x y +-=()0,4P l l 20x y --=(0,2)1y x =+(1,1)11(,)x y 22(,)xy 112121y y x x y y x x --=--(1,1)x y 20x y +-=1:10l x y --=2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈k 2l k 1l 2l k 1l 2l k 1l 2l 10l y -+=l 6π:10,m x -+=l m ⊥l 22)l 40y --=1:10l ax y ++=2:30l x y -+=d a =d =15．直线关于点对称的直线的方程为_________. 16．将一张画有直角坐标系的图纸对折，使点与重合，若此时点恰与点D 重合，则点D 的坐标是________． 17．已知为正数，且直线与直线互相垂直，则的最小值为________．四、解答题18．已知直线经过点，，直线经过，. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值.19．求经过直线和的交点，且平行于直线的直线的方程.20．在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的角平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标．21．已知直线l 1：ax －y ＋b ＝0；l 2：bx ＋y ＋a ＝0(a ∈R ，b ∈R)． (1)直线l 1，l 2能否平行？说明理由；(2)若直线l 1，l 2重合，求证：点P(a ，b)与点Q(b ，a)在同一条直线上； (3)求证：两条直线l 1，l 2的交点共线．22．已知直线及点．证明直线过某定点，并求该定点的坐标． 当点到直线的距离最大时，求直线的方程．23．三角形中，边和所在的直线方程分别为和，3450x y -+=(2,3)M -()0,2A ()4,0B ()0,4C ,m n 30nx my +-=2m n +1l (),1A m ()3,4B -2l ()1,C m ()1,1D m -+12//l l m 12l l ⊥m 1:3210l x y +-=2:5210l x y ++=3:360l x y -+=()():20++++-=l a b x a b y a b ()3,4P ()1l ()2P l l ABC AB AC 3100x y -+=20x y +-=的中点为.（1）求的坐标；（2）求角的内角平分线所在直线的方程. 答案解析一、单选题1．过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A ．B ．C ．D ． 【答案】A 【解析】根据题意，易得直线的斜率为， 由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为，又知其过点， 由点斜式得所求直线方程为． 故选：A ．2．与直线关于轴对称的直线方程为（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】设对称直线上的点为，则其关于轴的对称点在直线上， 所以即，选A.BC (3,1)M ,,A B C B (13)P -，230x y -+＝210x y +-＝250x y +-＝250x y +-＝270x y --＝230x y -+＝122-(13)-，32(1)210y x x y -=-+⇒+-＝210x y -+=x 210x y ++=210x y --=210x y +-=210x y -+=(),P x y x (),Q x y -210x y -+=()210x y --+=210x y ++=点睛：若直线，那么关于轴的对称直线的方程为，关于轴的对称直线的方程为，关于直线对称的直线的方程 .3．两条平行线与间的距离为( )A ．B ．C ．D ．1 【答案】A 【解析】直线. 故选：A4．已知直线过点，且与直线平行，则的方程为（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】设直线的方程为，又因为该直线过点，所以，即，的方程为；故选D ．5．已知点与直线：，则点关于直线的对称点坐标为 A ． B ． C ． D ． 【答案】C 【解析】设关于直线：对称的点为，则，解得()22:00l Ax By C A B ++=+≠l x 0Ax By C -+=y 0Ax By C --=y x =0Bx Ay C ++=1:3410l x y 2:6870l x y 12356527:3402l x y --=51252==l (1,1)6540x y -+=l 56110x y +-=5610x y -+=65110x y --=6510x y --=l 650x y m -+=(1,1)056=+-m 1-=m l 6510x y --=()1,2P l 10x y ++=P l ()3,1--()2,4()3,2--()2,2-()1,2P l 10x y ++=(,)Q a b 2(1)11121022b a a b -⎧⨯-=-⎪⎪-⎨++⎪++=⎪⎩，即关于直线：对称的点为.故选C. 6．已知直线l 1：x+（m+1）y+m ＝0，l 2：mx+2y+1＝0，则“l 1∥l 2”的必要不充分条件是（ ） A ．m ＝﹣2 B ．m ＝1 C ．m ＝﹣2或m ＝1 D ．m ＝2或m ＝1 【答案】C 【解析】∵直线l 1：x+（m+1）y+m ＝0，l 2：mx+2y+1＝0， 若l 1∥l 2，则m （m+1）-2＝0，解得：m ＝﹣2或m ＝1 当m ＝1时，l 1与l 2重合，故“l 1∥l 2”⇔“m＝﹣2”， 故“l 1∥l 2”的必要不充分条件是“m＝-2或m ＝1”， 故选：C ．7．无论取何值，直线都恒过一个定点，则定点的坐标为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A 【解析】由题直线，即，令， 解得，所以该直线过定点.故选：A8．已知点到直线的距离为1，则的值为（ ） AB ．D【答案】D 【解析】 由题因为,故.32a b =-⎧⎨=-⎩()1,2P l 10x y++=(3,2)--m ()()31411210m x m y m +++--=(8,9)-(9,8)-(15,14)-(14,15)-()()31411210m x m y m +++--=()341210m x y x y +-++-=3412010x y x y +-=⎧⎨+-=⎩89x y =-⎧⎨=⎩(8,9)-()()1,0a a >:20+-=l x y a 21111a =⇒=0a >1a =故选：D9．已知直线l 1：2x ﹣y ﹣2=0与直线l 2：3x+y ﹣8=0的交点为P ，则点P 到直线l ：y=﹣2x 的距离为（ ） A ．BCD ． 【答案】C 【解析】联立，得P （2，2），∴点P （2，2）到直线l ：y=﹣2x．故选：C10．已知直线过直线与直线的交点，且点到直线的距离为2，则这样的直线的条数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C 【解析】方法一 由，得，即直线过点，设,因为,所以满足条件的直线有2条.故选C.方法二 依题意，设经过直线交点的直线的方程为，即 ①.由，化简得，解得或，代入①得直4565-220380x y x y --=⎧⎨+-=⎩d ==l 1:10l x y -+=2:2380l x y +-=()0,4P l l 230{2380x y x y -+=+-=1{2x y ==l 1,2()1,2Q 2PQ ==>l 12,l l l ()()238230x y x y R λλ+-+-+=∈()()232380x y λλλ++-+-=2=25-8-360λλ=-2λ=185线的方程为或，故选C. 二、多选题11．下列说法正确的是（ ）A ．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2B ．点关于直线的对称点为C ．过，两点的直线方程为D ．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 【答案】AB 【解析】A 中直线在坐标轴上的截距分别为2，，所以围成三角形的面积是2正确，B 中在直线上，且连线的斜率为，所以B 正确，C 选项需要条件，故错误，D 选项错误，还有一条截距都为0的直线.12．已知直线，动直线，则下列结论错误．．的是（ ）A ．不存在，使得的倾斜角为90°B ．对任意的，与都有公共点C ．对任意的，与都不．重合D ．对任意的，与都不垂直．．． 【答案】AC 【解析】逐一考查所给的选项：A.存在，使得的方程为，其倾斜角为90°，故选项不正确． B 直线过定点，直线过定点，故B 是正确的． C.当时，直线的方程为，即，与都重合，选项l 2y =4320x y -+=20x y --=(0,2)1y x =+(1,1)11(,)x y 22(,)x y 112121y y x x y y x x --=--(1,1)x y 20x y +-=2-0+121(,)22+1y x =+(0,2),(1,1)1-2121,y y x x ≠≠y x =1:10l x y --=2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈k 2l k 1l 2l k 1l 2l k 1l 2l 0k =2l 0x =1:10l x y --=()0,1-()()()2:1010l k x ky k k R k x y x +++=∈⇒+++=()0,1-12x =-2l 1110222x y --=10x y --=1l 2lC 错误；D.两直线重合，则：，方程无解，故对任意的，与都不垂直，选项D 正确． 故选：AC.13．已知直线，则下列结论正确的是（ ） A ．直线的倾斜角是B ．若直线则C ．点到直线的距离是D ．过与直线平行的直线方程是【答案】CD 【解析】对于A ．直线的斜率k ＝tanθ故直线l 的倾斜角是，故A 错误；对于B ．因为直线的斜率k′1，故直线l 与直线m 不垂直，故B错误；对于C ．点到直线l 的距离d 2，故C 正确；对于D ．过与直线l 平行的直线方程是y ﹣2x ﹣，整理得：，故D正确．综上所述，正确的选项为CD ． 故选：CD ． 三、填空题14．已知两条平行直线与的距离为，则____________， _________. 【答案】-1【解析】()()1110k k ⨯++-⨯=k 1l 2l 10l y -+=l 6π:10,m x -+=l m ⊥l 22)l 40y --=10l y -+==3π10m x -+=：3=)==()=40y --=1:10l ax y ++=2:30l x y -+=d a =d =因为，所以，两直线的距离为故答案为：-1；15．直线关于点对称的直线的方程为_________. 【答案】 【解析】设所求直线上任一点坐标为，点关于点对称的点为根据坐标中点公式可得：解得：① 点在直线②将①代入②可得： 整理可得：. 故答案为：.16．将一张画有直角坐标系的图纸对折，使点与重合，若此时点恰与点D 重合，则点D 的坐标是________．【答案】 【解析】设折线方程为，，故，中点为，故. 故.12l l 1a =-d ==3450x y -+=(2,3)M -34410x y --=(,)P x y P (2,3)M -()00,x y 002232x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪-=⎪⎩0046x xy y=-⎧⎨=--⎩——()00,x y 3450x y -+=∴003450x y -+=——3(4)4(6)50x y ----+=34410x y --=34410x y --=()0,2A ()4,0B ()0,4C 286,55⎛⎫⎪⎝⎭y kx b =+12AB k =-2k =AB ()2,13b =-23y x =-设，则，解得，. 故答案为：. 17．已知为正数，且直线与直线互相垂直，则的最小值为________．【答案】9【解析】因为直线与直线互相垂直，因为n-（n-2）m=0,所以2m+n=mn ，从而有 ， 故答案为：9．四、解答题18．已知直线经过点，，直线经过，.（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值.【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）∵，若，，； （2）∵，若，，. 19．求经过直线和的交点，且平行于直线(),D m n 41242322n m n m -⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⨯-⎪⎩285m =65n =286,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,m n 30nx my +-=2m n +30nx my +-=112=+m n 92225)12)(2(2=⨯+=++=+∴mn n m m n n m n m 1l (),1A m ()3,4B -2l ()1,C m ()1,1D m -+12//l l m 12l l ⊥m 3m =92m =-212k =-12//l l ∴114123k m -=-=--∴3m =212k =-12l l ⊥∴14123k m -==--∴92m =-1:3210l x y +-=2:5210l x y ++=的直线的方程.【答案】【解析】由，求得， 故直线和的交点为，设所求的直线的方程为，再把点代入，求得，故所求的直线的方程为.20．在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的角平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标．【答案】,【解析】由方程组解得点A 的坐标为(－1,0)． 又直线AB 的斜率k AB ＝1，x 轴是∠A 的平分线，所以k AC ＝－1，则AC 边所在的直线方程为y ＝－(x ＋1)．①又已知BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，故直线BC 的斜率k BC ＝－2，所以BC 边所在的直线方程为y －2＝－2(x －1)．②解①②组成的方程组得 即顶点C 的坐标为(5，－6)．21．已知直线l 1：ax －y ＋b ＝0；l 2：bx ＋y ＋a ＝0(a ∈R ，b ∈R)．(1)直线l 1，l 2能否平行？说明理由；(2)若直线l 1，l 2重合，求证：点P(a ，b)与点Q(b ，a)在同一条直线上；(3)求证：两条直线l 1，l 2的交点共线．【答案】(1)直线l 1，l 2不能平行．3:360l x y -+=350x y -+=32105210x y x y +-=⎧⎨++=⎩12x y =-⎧⎨=⎩1:3210l x y +-=2:5210l x y ++=()1,2-30x y c -+=()1,2-5c =350x y -+=()1,0-()5,6-210,0,x y y -+=⎧⎨=⎩5,6,x y =⎧⎨=-⎩(2)见解析(3) 见解析【解析】(1)由题意，假设直线与平行，则满足且，即且，显然矛盾， 所以直线不能平行．(2)证明：若直线重合，由（1）可知必有，故点与点在同一条直线上．(3)证明：若两条直线相交，可得，解方程组，得，故直线的交点为， 由此可得直线的交点都在直线上．22．已知直线及点．证明直线过某定点，并求该定点的坐标．当点到直线的距离最大时，求直线的方程．【答案】（1）证明见解析,定点坐标为（2）【解析】直线方程可化为：由，解得且， 直线恒过定点，其坐标为．直线恒过定点当点在直线上的射影点恰好是时，即时，点到直线的距离最大的斜率 1:0l ax y b -+=2:0l bx y a ++=12210A B A B -=12210B C B C -≠()0a b --=0a b --≠12,l l 12,l l 0a b +=(,)P a b (,)Q b a 12,l l 0a b +≠00ax y b bx y a -+=⎧⎨++=⎩1x y b a=-⎧⎨=-⎩(1,)b a --1x =-()():20++++-=l a b x a b y a b ()3,4P ()1l ()2P l l ()2,3-570x y ++=() 1l ()()2110a x y b x y ++++-=21010x y x y ++=⎧⎨+-=⎩2x =-3y =∴l A ()2,3-()2l ()2,3A -∴P l A PA l ⊥P l PA 431325PA k -==+直线的斜率 由此可得点到直线的距离最大时，直线的方程为，即．23．三角形中，边和所在的直线方程分别为和，的中点为.（1）求的坐标；（2）求角的内角平分线所在直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）边和所在的直线方程分别为和，∴两直线方程联立解得，∴点，∵的中点为，设，∴，解得， 即，(2)BC 直线方程为3x+y-10=0,设角的内角平分线所在直线的上的点为P （x ，y ），根据角平分线性质，P 点到AB 、BC 的距离相等，化简可得或者，根据三角形在坐标系中位置，可得角B 内角平分线所在直线的斜率为正值，∴l 15PAk k -==-P l l ()352y x -=-+570x y ++=ABC AB AC 3100x y -+=20x y +-=BC (3,1)M ,,A B C B ()1,3,(2,4),(4,2)A B C --2y x =AB AC 3100x y -+=20x y +-=1,3x y =-=()1,3A -BC (3,1)M 1122(,),(,)B x y C x y 11221212310020+=62x y x y x x y y -+=⎧⎪+-=⎪⎨⎪⎪+=⎩1212=24=42x x y y ⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=-⎩(2,4),(4,2)B C -B =+2100x y -=20x y -=ABC故为. 20x y -=。
高二寒假讲义07 直线的交点坐标与距离公式
直线的交点坐标与距离公式（含答案）知识梳理1、两直线相交直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应.相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解.2、距离公式（1）两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为21221221)()(||y y x x P P -+-= 特别地，原点O (0，0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2. （2）点到直线的距离公式平面上任意一点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. （3）两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.知识典例题型一 交点问题例 1 直线230x y k +-=和120x ky -+=的交点在y 轴上，则k 的值为（ ） A ．-24 B ．6C ．6±D ．-6【答案】C 【分析】通过直线的交点代入两条直线方程，然后求解k 即可．【详解】解：因为两条直线230x y k +-=和120x ky -+=的交点在y 轴上， 所以设交点为(0,)b ，所以30120b k kb -=⎧⎨-+=⎩，消去b ，可得6k =±．故选：C ．巩固练习当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B 【分析】 解方程组12kx y k ky x k-=-⎧⎨-=⎩得两直线的交点坐标，由102k <<，判断交点的横坐标、纵坐标的符号，得出结论.【详解】解方程组12kx y k ky x k -=-⎧⎨-=⎩,得两直线的交点坐标为21,11k k k k -⎛⎫ ⎪--⎝⎭, 1210,0,0211k k k k k -<<∴--， 所以交点在第二象限，故选B.题型二 两点的距离例 2 已知点()2,1A --，(),3B a ，且5AB =，则a 的值为( ) A ．1 B ．5-C ．1或5-D ．1-或5【答案】C 【分析】利用两点间距离公式构造方程求得结果. 【详解】 由题意知：()()222315AB a =+++=，解得：1a =或5-本题正确结果：C巩固练习（多选）对于225x x ++，下列说法正确的是（ ） A ．可看作点(),0x 与点()1,2的距离 B ．可看作点(),0x 与点()1,2--的距离 C ．可看作点(),0x 与点()1,2-的距离 D ．可看作点(),1x -与点()1,1-的距离 【答案】BCD 【分析】化简225x x ++=()()()()2222102111x x ++±=++--，结合两点间的距离公式，即可求解.【详解】由题意，可得()222514x x x ++=++=()()()()2222102111x x ++±=++--，可看作点(),0x 与点()1,2--的距离，可看作点(),0x 与点1,2的距离，可看作点(),1x -与点()1,1-的距离，故选项A 不正确， 故答案为：BCD.题型三 点到直线的距离例 3 已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值等于( )A ．79B ．13-C ．79-或13-D ．79-或13【答案】C 【分析】直接根据点到直线的距离公式列出关于a 的方程，求出方程的解,得到a 的值. 【详解】因为A 和B 到直线l 的距离相等， 由点A 和点B 到直线的距离公式， 2234163111a a a a --+++=++，化简得3364a a +=+|，()3364a a +=±+,解得实数79a =-或13-，故选C.巩固练习（多选）已知直线l 经过点(3,4)，且点(2,2),(4,2)A B --到直线l 的距离相等，则直线l 的方程可能为（ ） A ．23180x y +-= B ．220x y --= C ．220x y ++= D ．2360x y -+=【答案】AB 【分析】由题可知直线l 的斜率存在，所以设直线l 的方程为4(3)y k x -=-，然后利用点到直线的距离公式列方程，可求出直线的斜率，从而可得直线方程 【详解】当直线l 的斜率不存在时，显然不满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为4(3)y k x -=-，即430kx y k -+-=．由已知得2211k k =++，所以2k =或23k =-， 所以直线l 的方程为220x y --=或23180x y +-=． 故选：AB题型四 平行线间的距离例 4 已知直线3230x y +-=和610x my ++=互相平行，则它们之间的距离是（ ）A ．4B ．1313C 51326D 71326【答案】D 【解析】因为3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，所以3∶2=6∶m，所以m=4.直线6x+4y+1=0可以转化为3x+2y+12=0， 由两条平行直线间的距离公式可得：d=()2213232--+=7213=713.巩固练习若直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行，则1l 与2l 间的距离为 【答案】823【分析】根据两直线平行求出a 的值，得出两条直线方程，再求直线之间的距离. 【详解】由题：直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行， 则()32a a =-，即2230a a --=，解得3a =或1a =-， 当3a =时，直线1:360l x y ++=与2:360l x y ++=重合； 当1a =-时，直线1:60l x y -+=与22:03l x y -+=平行， 两直线之间的距离为268232-=.题型五 三角形的面积求解例 5 已知直线l 过点()2,3P 且与定直线0:2l y x =在第一象限内交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，记AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，点(),0B a . （1）求实数a 的取值范围；（2）求当S 取得最小值时，直线l 的方程.【答案】（1）12a >（2）33y x =- 【分析】（1）求出直线l 与直线0:2l y x =平行时，直线l 的斜率，由斜率公式以及题设条件确定实数a 的取值范围；（2）当直线l 的斜率不存在时，求出点,A B 坐标，得出4S =；当直线l 的斜率存在时，设出方程，求出斜率的范围，联立直线l 与直线0l 的方程求出点A 坐标，由三角形面积公式结合判别式法，得出S 取得最小值时直线l 的斜率，进而得出直线l 的方程. 【详解】（1）当直线l 与直线0:2l y x =平行时，如下图所示322BP k a==-，解得12a =，此时不能形成AOB ，则12a ≠又点(),0B a 在x 轴正半轴上，且直线l 与定直线0l 在第一象限内交于点A12a ∴>（2）当直线l 的斜率不存在时，即(2,0)B ，(2,4)A ，此时12442S =⨯⨯= 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(2)3y k x =-+ 由于斜率存在，则12a >且2a ≠ 又32BP k a=-，2k ∴>或k 0< 由(2)32y k x y x =-+⎧⎨=⎩，得3264,22k k A k k --⎛⎫⎪--⎝⎭ 则22123644129222k k k k S k k k k---+=⨯⨯=-- 即2(4)(122)90S k S k ---+=由2(122)36(4)0S S ∆=---≥，整理得(3)0S S -则3S ≥，即S 的最小值为3此时2690k k -+=，解得3k =则直线l 的方程为3(2)333y x x =-+=-巩固练习已知△ABC 的两条高线所在直线方程为2x －3y ＋1＝0和x ＋y ＝0，顶点A (1,2)． 求：(1)BC 边所在的直线方程； (2)△ABC 的面积．【答案】(1) 2x ＋3y ＋7＝0;(2)452. 【分析】（1）先判断A 点不在两条高线上，再利用垂直关系可得AB 、AC 的方程，进而通过联立可得解； （2）分别求|BC |及A 点到BC 边的距离d ，利用S △ABC ＝12×d ×|BC |即可得解. 【详解】(1)∵A 点不在两条高线上，由两条直线垂直的条件可设k AB ＝－，k AC ＝1． ∴AB 、AC 边所在的直线方程为3x ＋2y －7＝0，x －y ＋1＝0． 由得B (7，－7)． 由得C (－2，－1)．∴BC 边所在的直线方程2x ＋3y ＋7＝0． (2)∵|BC |＝，A 点到BC 边的距离d ＝，∴S △ABC ＝×d ×|BC |＝××＝．巩固提升1、直线5y x =-+与直线1y x =+的交点坐标是（ ） A ．()1,2 B ．()2,3C ．()3,2D ．()2,1【答案】B 【分析】联立两直线方程，求出公共解，即可得出两直线的交点坐标. 【详解】联立两直线的方程51y x y x =-+⎧⎨=+⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩，因此，两直线的交点坐标是()2,3.故选：B.2、两平行直线12,l l 分别过点()()1,3,2,1P Q --，它们分别绕,P Q 旋转，但始终保持平行，则12,l l 之间的距离的取值范围是（ ） A ．()0,∞+ B ．[]0,5C ．(]0,5D．(【答案】C 【分析】先判断当两直线1l ，2l 与直线PQ 垂直时，两平行直线1l ，2l 间的距离最大，计算得到最大值，进而得到范围. 【详解】5PQ ==当1PQ l ⊥时，1l 与2l 的最大距离为5， 因为两直线平行，则两直线距离不为0， 故选：C.3、“C ＝5”是“点(2，1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：由题意知点(2,1)到直线340x y C ++=的距离为33=，解得5C =或25C =-，所以“5C =”是“点(2,1)到直线340x y C ++=的距离为3”的充分不必要条件，故选B. 4、两直线3x +y -3=0与6x +my +1=0平行，则它们之间的距离为（ ） A．4 BCD 【答案】D 【分析】由两直线平行，可求得m 的值，代入两平行线距离公式，即可求解.【详解】因为两直线平行，所以361m ⨯=⨯，解得m =2， 将6x +2y +1=0化为3x +y +12=0， 由两条平行线间的距离公式得d==， 故选：D .5、直线l 经过原点，且经过另两条直线2380x y ++=，10x y --=的交点，则直线l 的方程为（ ） A ．20x y += B ．20x y -=C ．20x y +=D ．20x y -=【答案】B 【分析】联立方程可解交点，进而可得直线的斜率，可得方程，化为一般式即可. 【详解】 联立方程238010x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解得：12x y =-⎧⎨=-⎩所以两直线的交点为()1,2--，所以直线的斜率为20210--=--，则直线l 的方程为：2y x =，即20x y -=. 故选：B6、若直线0kx y -=和直线2360x y +-=的交点在第一象限，则k 的取值范围为__________．【答案】,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】由0,2360,kx y x y ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩解得交点坐标为x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩根据交点位置得到0,0,>>解出即可.【详解】由0,2360,kx y x y ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又∵直线0kx y --=和直线2360x y +-=的交点在第一象限，∴60,230,k ⎧+>⎪⎪+>解得3k >．故答案为3⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭. 7、已知直线1:l 3250x y +-=与直线2:l 4110x ay +-=，且12l l ⊥，则直线1l 与直线2l 的交点坐标是______． 【答案】12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】由12l l ⊥得3420a ⨯+=，求出a ，再解方程组求交点坐标． 【详解】因为12l l ⊥，所以3420a ⨯+=，所以6a =-．联立3250,46110,x y x y +-=⎧⎨--=⎩解得2,1,2x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，故直线1l 与直线2l 的交点坐标是12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．故答案为：12,2⎛⎫-⎪⎝⎭8、点(,6)P m 到直线3420x y --=的距离不大于4，则m 的取值范围是________． 【答案】462,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据点到直线的距离公式即可列出不等式，解出即可． 【详解】4≤，解得4623m ≤≤．故答案为：462,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦．。
高中 直线的交点坐标与距离公式
直线的交点坐标与距离公式一、单选题1．点(1,4)到直线4:13l y x =+的距离为（）A ．75B ．1C ．195D ．32．若三条直线2380x y ++=，10x y --=和102x ky k +++=相交于一点，则k =（）A ．2-B ．12-C ．2D ．123．已知点P ，Q 分别在直线1:20l x y ++=与直线2:10l x y +-=上，且1PQ l ⊥，点()3,3A --，31,22B ⎛⎫⎪⎝⎭，则AP PQ QB ++的最小值为（）．A ．1302B 322C D ．4．已知两点()1,2A ，()3,6B ，动点M 在直线y x =上运动，则MA MB +的最小值为（）A ．BC ．4D ．55．已知平面四边形ABCD 满足225AB AD -=，3BC =，1AC BD ⋅=-，则CD 的长为（）A ．2BCD ．二、填空题6．在平面直角坐标xOy 中，已知()4,3A 、()5,2B 、()1,0C ，平面内的点P 满足PA PB PC ==，则点P 的坐标为_______．7．已知点()01A x ,在抛物线2y x =上,则点A 与点10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭之间的距离为______.8．过直线1:230l x y -+=与直线2:2380l x y +-=的交点，且到点()0,4P 距离为2的直线方程为__________________.三、解答题10．已知点△ABC 三顶点坐标分别是(1,0),(1,0),(0,2)A B C -，（1）求A 到BC 边的距离d ；（2）求证AB 边上任意一点P 到直线AC,BC 的距离之和等于d .11．已知m 为实数，设直线1l 的方程为21x my +=，直线2l 的方程为82mx y m +=-.（1）若1l 与2l 平行，求m 的值；（2）当1l 与2l 相交时，用m 表示交点A 的坐标，并说明点A 一定在某一条定直线上.参考答案一、单选题1．点（(1,4)）圆心到直线4:13l y x =+的距离为（）A ．75B ．1C ．195D ．3【答案】B【解析】直线l 的一般方程为4330x y -+=，所以，点到直线l 的距离为1d ==.故选：B.2．若三条直线2380x y ++=，10x y --=和102x ky k +++=相交于一点，则k =（）A ．2-B ．12-C ．2D ．12【答案】B【解析】求出直线2380x y ++=与直线10x y --=的交点坐标，再将交点坐标代入直线102x ky k +++=的方程中，可求得实数k 的值.联立238010x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩，即直线2380x y ++=与直线10x y --=交于点()1,2--A ，将点A 的坐标代入直线102x ky k +++=的方程中，得102k --=，解得12k =-.故选：B.3．已知点P ，Q 分别在直线1:20l x y ++=与直线2:10l x y +-=上，且1PQ l ⊥，点()3,3A --，31,22B ⎛⎫⎪⎝⎭，则AP PQ QB ++的最小值为（）．A ．1302B 322C D ．【答案】B【解析】设33,22A ⎛⎫'-- ⎪⎝⎭，则四边形AA QP '为平行四边形，故而AP PQ QB ++就是322A Q QB '++的最小值，又322A Q QB '++的最小值就是322A B '+.因为112,P l l l Q ⊥ ，故2PQ ==，1AA k '=，故1AA l '⊥，所以A P A Q ' ，又2AA '=，所以AA PQ '=，故四边形AA QP '为平行四边形，2AP PQ QB A Q QB '++=++，因为A Q QB A B ''+≥=，当且仅当,,A Q B '三点共线时等号成立，AP PQ QB ++322+，选B .4．已知两点()1,2A ，()3,6B ，动点M 在直线y x =上运动，则MA MB +的最小值为（）A ．BC ．4D ．5【答案】B【解析】根据题意画出图形，结合图形求出点A 关于直线y x =的对称点A '，则A B '即为MA MB +的最小值.根据题意画出图形，如图所示：设点A 关于直线y x =的对称点()2,1A '，连接A B '，则A B '即为MA MB +的最小值，且A B '.故选：B .5．已知平面四边形ABCD 满足225AB AD -=，3BC =，1AC BD ⋅=-，则CD 的长为（）A ．2BCD ．【答案】B【解析】先建系，再结合两点的距离公式、向量的数量积及模的运算，求解即可得解.解：建立如图所示的平面直角坐标系，则(0,0),(3,0)B C ,设()(),,,A x y D m n ，由225AB AD -=，则2222()()5x y x m y n +----=，所以22225xm yn m n +--=，又1AC BD ⋅=-，所以13xm yn m +=+，22222(3)692252(1)96CD m n m n m xm yn xm yn =-+=+-+=+--+-+= ，即CD =，故选：B.二、填空题6．在平面直角坐标xOy 中，已知()4,3A 、()5,2B 、()1,0C ，平面内的点P 满足PA PB PC ==，则点P 的坐标为_______．【答案】()3,1【解析】设点P 的坐标为(),x y ，根据条件PA PB PC ==建立有关x 、y 的方程组，解出这两个未知数的值，即可求得点P 的坐标.设点P 的坐标为(),x y ，由PA PB PA PC =⎧⎨=⎩可得()()()()()()()222222224352431x y x y x y x y⎧-+-=-+-⎪⎨-+-=-+⎪⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩，因此，点P 的坐标为()3,1.故答案为：()3,1.7．已知点()01A x ,在抛物线2y x =上,则点A 与点10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭之间的距离为______.【答案】54【解析】首先将0(,1)A x 代入2y x =解得(1,1)A ±，再用两点之间距离公式求距离即可.将0(,1)A x 代入2y x =解得：01x =±，即(1,1)A ±.54d ==.故答案为：548．过直线1:230l x y -+=与直线2:2380l x y +-=的交点，且到点()0,4P 距离为2的直线方程为__________________.【答案】2y =或4320x y -+=【解析】求得直线1l 与2l 的交点坐标，对所求直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点P 到所求直线的距离为2可求得所求直线的方程.由2302380x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，所以，直线1l 与2l 的交点为()1,2.当所求直线的斜率不存在时，所求直线的方程为1x =，点P 到该直线的距离为1，不合乎题意；当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为()21y k x -=-，即20kx y k --+=，由于点()0,4P 到所求直线的距离为2，可得2=，整理得2340k k -=，解得0k =或43k =.综上所述，所求直线的方程为2y =或4320x y -+=.故答案为：2y =或4320x y -+=.三、解答题9．已知点△ABC 三顶点坐标分别是(1,0),(1,0),(0,2)A B C -，（1）求A 到BC 边的距离d ；（2）求证AB 边上任意一点P 到直线AC,BC 的距离之和等于d .【答案】（1）455；（2）证明见解析.【解析】(1)先由BC 两点坐标求出过点B 和C 的直线方程，然后由点到直线的距离公式即可求得答案；(2)由AC 两点坐标求出过点A 和C 的直线方程，然后由点到直线的距离公式分别求出P 点到直线AC 和BC 的距离，再求和即可得出结果进而证明结论.（1）由题意坐标B(1,0)，C(0,2)所以由截距式可得直线BC 的方程为：12yx +=，即220x y +-=，由点到直线的距离公式可得A 到BC 边的距离d 5==；（2）设(),0,11P t t -≤≤，∵直线AC 的方程是12yx -+=，即220x y -+=-∴则P 到直线AC 的距离为()115d t ==+则P 到直线BC 的距离为()215d t ==-，∴12455d d d +==.即AB 边上任意一点P 到直线AC ，BC 的距离之和等于d .10．已知m 为实数，设直线1l 的方程为21x my +=，直线2l 的方程为82mx y m +=-.（1）若1l 与2l 平行，求m 的值；（2）当1l 与2l 相交时，用m 表示交点A 的坐标，并说明点A 一定在某一条定直线上.【答案】（1）4m =-；（2）()21,444m A m m m +⎛⎫-≠-⎪++⎝⎭，证明见解析.【解析】（1）由两直线平行的等价条件可得出关于实数m 的方程，即可解出实数m 的值；（2）将两直线方程联立可求得交点A 的坐标()21,444m m m m +⎛⎫-≠-⎪++⎝⎭，然后令24m x m +=+，14y m =-+，消去参数m 得出关于x 、y 的二元一次方程，即可证得结论.（1）1l 与2l 平行，则()216022m m m ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩，解得4m =-；（2）联立2182x my mx y m +=⎧⎨+=-⎩，解得24m x m +=+，14y m =-+，所以点21,44m A m m +⎛⎫- ⎪++⎝⎭，()4222112444m m x y m m m +-+===-=++++ ，即()2100x y y --=≠.因此，点A 在直线210x y --=上.。
2.3 直线的交点坐标与距离公式 测试题-高二数学人教A(2019)选择性必修第一册
2.3 直线的交点坐标与距离公式测试题人教A （2019）第二章 直线与圆的方程一．选择题（共8小题）1．点(2,1)到直线:220l x y -+=的距离为( )A ．25B C D ．02．两条平行线1:10l x y +-=与2:10l x y ++=之间的距离为( )A B ．1C ．2D 3．已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为(2,6)A 、(4,3)B -、(2,3)C -，则点A 到BC 边的距离为( )A ．92B C D ．4．直线(1)10ax a y a +++-=过定点( ) A ．(2,1)B ．(2,3)-C ．(2,1)-D ．(2,3)-5．当1m ≠±时，方程组12mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩的解的情况为( )A ．仅有唯一解B ．有唯一解或无穷多解C ．无解或无穷多解D ．有唯一解或无解6．已知实数a ，b 满足21a b +=，则直线30ax y b ++=必过定点，这个定点的坐标为( )A ．1(6，1)2B ．1(2，1)6C ．1(6，1)2-D ．1(2，1)6-7．已知点(0,0)O ，(1,2)A -，动点P 满足||3||PA PO =，则点P 的轨迹方程是( ) A ．22882450x y x y ++--= B ．22882450x y x y +---= C ．22882450x y x y +-+-=D ．22882450x y x y +++-=8．过点(1,2)P 引直线，使(2,3)A ，(4,5)B -两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是( )A ．240x y +-=B ．250x y +-=C ．240x y +-=或250x y +-=D ．3270x y +-=或460x y +-=二．多选题（共4小题）9．若点(,1)A a 到直线341x y -=的距离为1，则a 的值为( )A ．0B ．103C ．5D ．103-10．已知直线l 过(1,2)P ，且(2,3)A ，(4,5)B -到直线l 的距离相等，则l 的方程可能是( )A ．460x y +-=B ．460x y +-=C ．3270x y +-=D ．2370x y +-=11．到直线210x y ++=的直线方程可能为( ) A ．20x y +=B ．220x y +-=C ．20x y -=D ．220x y ++=12．下列说法正确的是( )A ．直线32()y ax a a R =-+∈必过定点(3,2)B ．直线32y x =-在y 轴上的截距为2-C 10y ++=的倾斜角为60︒D ．过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为20x y += 三．填空题（共4小题）13．若直线1:30l x y -=与2:40l x y +-=交于点A ，且(2,0)B ，则||AB = ．14．已知直线:(1)(1)(3)0l m x m y m ++-+-=，则原点到直线l 的距离的最大值等于 ． 15．已知直线1:1l y kx =+与直线2:2l y x =-+的交点位于第四象限，则实数k 的取值范围是 ．16．已知ABC ∆中，点(1,1)A ，(4,2)B ，(4,6)C -．则ABC ∆的面积为 ． 四．解答题（共6小题）17．1l 、2l 是分别经过(1,1)A 、(0,1)B -两点的两条平行直线． （1）当1l 、2l 间的距离最大时，求直线1l 的方程； （2）当1l 、2l 间的距离为1时，求2l 的方程． 18．已知直线l 经过点(2,3)P --．（1）若原点到直线l 的距离为2，求直线l 的方程；（2）若直线l 被两条相交直线220x y --=和10x y +-=所截得的线段恰被点P 平分，求直线l 的方程．19．分别求出符合下列条件的直线方程：（Ⅰ）经过点(3,1)但不过坐标原点，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的3倍；（Ⅱ）经过直线3420x y +-=与直线220x y ++=的交点P ，且与点(1,1)A ，(5,7)B -等距离．20．已知点(1,0)A -，(3,2)B 到直线:10l ax y ++=的距离相等． （1）求实数a 的值；（2）已知2a >-，试求l 上点C 的坐标，使得A ，B ，C 构成以C 为直角顶点的直角三角形．21．已知直线:(21)(2)50l m x m y m ++--=． （1）求证：直线l 必经过定点P ；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的一般方程． 22．已知直线:(2)(12)430l m x m y m ++-+-=． （Ⅰ）求证：不论m 为何实数，直线l 恒过一定点；（Ⅱ）过点(1,2)M --作一条直线1l ，使1l 夹在两坐标轴之间的线段被M 点平分，求直线1l 的方程．2.3 直线的交点坐标与距离公式参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．点(2,1)到直线:220l x y -+=的距离为( )A ．25B C D ．0解：点(2,1)到直线:220l x y -+=的距离d =故选：B ．2．两条平行线1:10l x y +-=与2:10l x y ++=之间的距离为( )A B ．1C ．2D解：两条平行线1:10l x y +-=与2:10l x y ++==故选：A ．3．已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为(2,6)A 、(4,3)B -、(2,3)C -，则点A 到BC 边的距离为( )A ．92B C D ．解：33124BC k --==-+， ∴直线BC 的方程为：3(4)y x -=-+，化为10x y ++=．∴点A 到BC=． 故选：B ．4．直线(1)10ax a y a +++-=过定点( ) A ．(2,1)B ．(2,3)-C ．(2,1)-D ．(2,3)-解：由(1)10ax a y a +++-=，得(1)10a x y y +++-=，令1010x y y ++=⎧⎨-=⎩，解得21x y =-⎧⎨=⎩，因此直线经过定点(2,1)-， 故选：C ．5．当1m ≠±时，方程组12mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩的解的情况为( )A ．仅有唯一解B ．有唯一解或无穷多解C ．无解或无穷多解D ．有唯一解或无解解：因为1m ≠±，故由方程组12mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩，解得1211m x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，所以当m 确定时，该方程组的解是唯一的． 故选：A ．6．已知实数a ，b 满足21a b +=，则直线30ax y b ++=必过定点，这个定点的坐标为( )A ．1(6，1)2B ．1(2，1)6C ．1(6，1)2-D ．1(2，1)6-解：由21a b +=，得12a b =-，代入直线30ax y b ++=， 得(12)30b x y b -++=，即3(21)0x y b x ++-+=． 联立30210x y x +=⎧⎨-+=⎩，解得1216x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．∴直线30ax y b ++=必过定点1(2，1)6-．故选：D ．7．已知点(0,0)O ，(1,2)A -，动点P 满足||3||PA PO =，则点P 的轨迹方程是( ) A ．22882450x y x y ++--= B ．22882450x y x y +---= C ．22882450x y x y +-+-= D ．22882450x y x y +++-=解：设(,)P x y ，则点(0,0)O ，(1,2)A -，动点P 满足||3||PA PO =，∴化简整理可得22882450x y x y ++--=， 故选：A ．8．过点(1,2)P 引直线，使(2,3)A ，(4,5)B -两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是( )A ．240x y +-=B ．250x y +-=C ．240x y +-=或250x y +-=D ．3270x y +-=或460x y +-=解：当要求的直线和AB 平行时，由于AB 的斜率为35424+=--， 又直线过点(1,2)P ，故要求的直线方程为24(1)y x -=--，即460x y +-=． 当要求的直线经过线段AB 的中点(3,1)-时，直线的方程为132113y x +-=+-，即3270x y +-=． 综上可得，这条直线的方程是3270x y +-=或460x y +-=， 故选：D ．二．多选题（共4小题）9．若点(,1)A a 到直线341x y -=的距离为1，则a 的值为( ) A ．0B ．103C ．5D ．103-解：点(,1)A a 到直线341x y -=的距离为1， ∴1=，解得0a =或103a =． 故选：AB ．10．已知直线l 过(1,2)P ，且(2,3)A ，(4,5)B -到直线l 的距离相等，则l 的方程可能是( )A ．460x y +-=B ．460x y +-=C ．3270x y +-=D ．2370x y +-=解：直线l 过(1,2)P ，(2,3)A ，(4,5)B -到直线l 的距离相等， ∴当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，不成立，当直线l 的斜率k 存在时，设直线l 的方程为2(1)y k x -=-，即20kx y k --+=，=解得4k =-或32k =-，∴直线l 的方程为4420x y --++=，或332022x y --++=，整理，得：460x y +-=或3270x y +-=． 故选：AC ．11．到直线210x y ++=的直线方程可能为( ) A ．20x y +=B ．220x y +-=C ．20x y -=D ．220x y ++=解：设到直线210x y ++=20x y k ++=，=，解得0k =或2k =，∴与直线210x y ++=20x y +=或220x y ++=． 故选：AD ．12．下列说法正确的是( )A ．直线32()y ax a a R =-+∈必过定点(3,2)B ．直线32y x =-在y 轴上的截距为2-C 10y ++=的倾斜角为60︒D ．过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为20x y += 解：对于A ，直线(3)2()y a x a R =-+∈必过定点(3,2)，故正确； 对于B ，直线32y x =-在y 轴上的截距为2-，故正确；对于C 10y ++=的斜率为120︒，故错误；对于D ，过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为：22[(1)]y x -=---，即20x y +=，故正确．故选：ABD ．三．填空题（共4小题）13．若直线1:30l x y -=与2:40l x y +-=交于点A ，且(2,0)B ，则||AB = ． 解：联立3040x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩，故(1,3)A ，则||AB14．已知直线:(1)(1)(3)0l m x m y m ++-+-=，则原点到直线l 的距离的最大值等于 ． 解：根据题意，设原点到直线l 的距离为d ，直线:(1)(1)(3)0l m x m y m ++-+-=，即(1)30m x y x y -+++-=， 则有1030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解可得12x y =⎧⎨=⎩，即直线l 恒过定点(1,2)，设(1,2)M ，则||d OM =即原点到直线l；15．已知直线1:1l y kx =+与直线2:2l y x =-+的交点位于第四象限，则实数k 的取值范围是 ．解：联立12y kx y x =+⎧⎨=-+⎩，得11x k =+，211k y k +=+， 直线1:1l y kx =+与直线2:2l y x =-+的交点位于第四象限， ∴1012101k k k ⎧>⎪⎪+⎨+⎪<⎪+⎩， 解得112k -<<-，∴实数k 的取值范围是1(1,)2--．故答案为：1(1,)2--．16．已知ABC ∆中，点(1,1)A ，(4,2)B ，(4,6)C -．则ABC ∆的面积为 ． 解：由两点式的直线BC 的方程为246244y x --=---，即为280x y +-=， 由点A 到直线的距离公式得BC边上的高d == BC=ABC ∴∆的面积为1102⨯=， 故答案为：10．四．解答题（共6小题）17．1l 、2l 是分别经过(1,1)A 、(0,1)B -两点的两条平行直线． （1）当1l 、2l 间的距离最大时，求直线1l 的方程； （2）当1l 、2l 间的距离为1时，求2l 的方程．解：（1）当1l 、2l 间的距离最大时，AB ⊥直线1l ，11201AB k --==-， ∴直线1l 的方程为：11(1)2y x -=--，化为：230x y +-=；（2）①当1l 、2l 分别为1x =，0x =时，满足1l 、2l 间的距离为1时，此时2l 的方程为0x =． ②当1l 、2l 的斜率存在时，设直线1l 、2l 的方程分别为：1(1)y k x -=-，1y kx =-， 化为：10kx y k -+-=，10kx y --=，1=，化为：34k =此时2l 的方程为314y x =-． 18．已知直线l 经过点(2,3)P --．（1）若原点到直线l 的距离为2，求直线l 的方程；（2）若直线l 被两条相交直线220x y --=和10x y +-=所截得的线段恰被点P 平分，求直线l 的方程．解：（1）当直线l 的斜率不存在时，显然成立，直线方程为2x =-， 当直线斜率存在时，设直线方程为3(2)y k x +=+， 由原点到直线l 的距离为22=，解得512k =， 故直线l 的方程为53(2)12y x +=+，即513126y x =-， 综上，所求直线方程为2x =-或513126y x =-． （注：若写成一般方程，则为2x =-或512260)x y --=（2）设直线l 夹在直线1l ，2l 之间的线段为(AB A 在1l 上，B 在2l 上），A 、B 的坐标分别设为1(x ，1)y 、2(x ，2)y ，因为AB 被点P 平分，所以124x x +=-，126y y +=-， 于是214x x =--，216y y =--，由于A 在1l 上，B 在2l 上，即11112211x y x y -=⎧⎨+=-⎩，解得13x =-，18y =-，即A 的坐标是(3,8)--，故直线l 的斜率是8(3)53(2)k ---==---，故直线l 的方程为：(3)5[(2)]y x --=--， 即57y x =+．19．分别求出符合下列条件的直线方程：（Ⅰ）经过点(3,1)但不过坐标原点，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的3倍； （Ⅱ）经过直线3420x y +-=与直线220x y ++=的交点P ，且与点(1,1)A ，(5,7)B -等距离．解：（Ⅰ）因为直线不过原点，所以可设所求直线方程为1(0)3x ya a a+=≠， 将(3,1)代入方程，解得2a =， 所以直线方程为360x y +-=．（Ⅱ）由3420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩，解得22x y =-⎧⎨=⎩，则点P 的坐标是(2,2)-，当直线的斜率k 存在时，设其方程是2(2)y k x -=+，即(22)0kx y k -++=，=，解得1k =-，此时直线方程为0x y +=；当直线的斜率k 不存在，即直线平行于y 轴时，方程为2x =-，此时A ，B 到2x =-的距离相等，所以直线的方程是0x y +=或2x =-．20．已知点(1,0)A -，(3,2)B 到直线:10l ax y ++=的距离相等． （1）求实数a 的值；（2）已知2a >-，试求l 上点C 的坐标，使得A ，B ，C 构成以C 为直角顶点的直角三角形．解：（1=，即|1||33|a a -=+，解得12a =-或2a =-； （2）因为2a >-，所以12a =-，所以直线:220l x y --=， 直角三角形ABC 的直角顶点C 是以AB 为直径的圆与直线l 的交点， 以AB 为直径的圆的方程为22(1)(1)5x y -+-=，联立方程22220(1)(1)5x y x y --=⎧⎨-+-=⎩，解得01x y =⎧⎨=-⎩或16535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故点C 的坐标为(0,1)-或163(,)55． 21．已知直线:(21)(2)50l m x m y m ++--=．（1）求证：直线l 必经过定点P ；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的一般方程． 解：（1）证明：直线:(21)(2)50l m x m y m ++--=， 即(25)20m x y x y +-+-=，令250x y +-=，可得20x y -=， 求得2x =，1y =，可得直线l 经过定点(2,1)．（2）直线l 在两坐标轴上的截距相等，设直线l 的方程为x y λ+=， 把定点(2,1)代入，求得3λ=，可得直线l 的方程为3x y +=． 当直线l 经过原点时，斜率为101202-=-，它的方程为11(2)2y x -=-，即20x y -=， 即直线l 的方程为30x y +-=，或20x y -=．22．已知直线:(2)(12)430l m x m y m ++-+-=． （Ⅰ）求证：不论m 为何实数，直线l 恒过一定点； （Ⅱ）过点(1,2)M --作一条直线1l ，使1l 夹在两坐标轴之间的线段被M 点平分，求直线1l 的方程．解：（Ⅰ）证明：(23)240m x y x y --+++=∴由题意得230240x y x y --=⎧⎨++=⎩∴直线l 恒过定点(1,2)M --． ⋯（4分） （Ⅱ）解：设所求直线1l 的方程为2(1)y k x +=+，直线1l 与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，则2(1,0)A k -，(0,2)B k -．⋯（8分） AB 的中点为M ， ∴22142k k ⎧-=-⎪⎨⎪-=-⎩ 解得2k =-．⋯（10分） ∴所求直线1l 的方程为240x y ++=．⋯（12分）。
直线的交点坐标与距离公式(习题及答案)
直线的交点坐标与距离公式（习题）1.直线x +ky =0，2x +3y +8=0和x -y -1=0交于一点，则k 的值是（）A ．12B ．12-C ．2D ．-22.经过两条直线2x +y -8=0和x -2y +1=0的交点，且平行于直线4x -3y -7=0的直线方程为（）A ．3x +4y +17=0B ．4x -3y -6=0C ．3x +4y -17=0D ．4x -3y +18=03.两直线3ax -y -2=0和(2a -1)x +5ay -1=0分别过定点A ，B ，则|AB |=（）A ．895B ．175C ．135D ．1154.若点(2，k )到直线5x -12y +6=0的距离为4，则k 的值为（）A ．1B ．-3C ．513或D ．1733-或5.已知点P 的纵坐标为2，Q (2，-3)，M (1，1)，且|PQ |=|PM |，则点P 的坐标为________．6.过点P(0，1)且和A(3，3)，B(5，-1)距离相等的直线的方程为_________________________．7.两条平行直线3x+4y-12=0与ax+8y+11=0间的距离为______．8.（1）与直线7x+24y=5平行，且与其距离等于3的直线方程为_______________________________．（2）已知两条平行线l1：2x+3y-6=0与l2：4x+6y-3=0，则与它们等距离的平行线的方程为_________________________．9.已知点A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC的面积．10.设a，b，c，d∈R．求证：对于任意p，q∈R，222222 -+-+-+--+-a pb qc pd q a c b d()()()()()()≥．11.已知△ABC的顶点A的坐标为(5，1)，AB边上的中线CM所在直线的方程为2x-y-5=0，AC边上的高BH所在直线的方程为x-2y-5=0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．【参考答案】1.B 2.B 3.C 4.D 5.27(2)2，6.121y y x ==-+或7.728.（1）724700724800x y x y ++=+-=或；（2）812150x y +-=9.510.略11.（1）C(4，3)；（2）6590x y --=。
3.3直线的交点坐标与距离公式(2)
答案 : 1, 4
A
A’
四.直线关于直线对称问题 例4.已知直线l1 : 2 x y 4 0, 求l1关于直线 l : 3 x 4 y 1 0 对称的直线l2方程.
答案 : 2 x 11 y 16 0
L2 A’ L M L1 A O
方法总结 : 转化为点的对称问题
(3)A’在L2上
(4)由O,A’求出直线L2
几种常用的特殊对称 : (1) A(a , b)关于x轴的对称点为A(a , b); ( 2) B(a , b)关于y轴的对称点为B( a , b ); (3)C (a , b)关于直线y x的对称点为C (b, a ); ( 4) D(a , b)关于直线y x的对称点为D( b, a ); (5) P (a , b)关于直线x m的对称点为P ( 2m a , b ); (6)Q(a , b)关于直线y n的对称点为Q (a , 2n b );
答案 : y 2 x 4; y 2 x 4;
2 19 答案 : , 5 5
练习4 : 作业本P 45, T 10 如图, 射线OA, OB分别与x轴正半轴成 45 和30 的角, 过点P (1, 0)作直线AB分别交OA, OB于点A, B ,当AB的中点C 恰好落在直线 1 y x上时, 求直线AB的方程. 2
练习3 : 作业本P 45, T11 已知ABC的一个顶点为A （3， 1），B 被y轴平分，C 被直线y x平分, 求直线BC 的方程。
答案 : y 2 x 5
A''
y
B
O
A'
xAΒιβλιοθήκη C两直线的交点坐标
(2)
第八章 第三节 直线的交点坐标与距离公式
由中点坐标公式得A(－t,2t－6)．
∵A点在直线l1：x－3y＋10＝0上， ∴(－t)－3(2t－6)＋10＝0，解得t＝4. ∴B(4,0)，A(－4,2)， 故所求直线方程为x＋4y－4＝0.
求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，
且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
[自主解答]
法一：过点 M 且与 x 轴垂直的直线是 y 轴，它
10 和两已知直线的交点分别是0， 3 和(0,8)，显然不满足中点
是点 M(0,1)的条件． 故可设所求直线方程为 y＝kx＋1，与两已知直线 l1，l2 分别 交于 A、B 两点，联立方程组
y＝kx＋1， x－3y＋10＝0， y＝kx＋1， 2x＋y－m 得 xC＝ . m－ 3
－m － 1 B′A 的直线方程为 y－2＝ (x－1)． 4 －m－1 y－2＝ x－1， 4 由 y＝x＋3 m－ 3 得 xC＝ . m＋ 5
3－5m m－3 1 2 则 ＝ ，得 3m ＋8m－3＝0，∴m＝ 或 m＝－3. 3 m － 3 m＋ 5 而当 m＝－3 时，点 B 在直线 x－y＋3＝0 上，不能成为三 角形，故这样的△ABC 只有一个． 1 1 1 5 (2)当 m＝ 时，B( ，0)，C(－ ， )． 3 3 2 2 1 1 ∴线段 BC 的方程为 3x＋y－1＝0(－ ≤x≤ )． 2 3
高考对这部分内容的考查往往与直线、圆锥曲线相结合，
考查距离的计算及对称问题，在考查这些知识的同时，又考
查了直线、圆锥曲线的相关知识点，是一种重要考向，属于 中高档题．
[考题印证] (13 分)(2010· 安徽高考)已知 椭圆 E 经过点 A(2,3)，对称轴为坐标轴， 1 焦点 F1，F2 在 x 轴上，离心率 e＝ . 2 (1)求椭圆 E 的方程； (2)求∠F1AF2 的角平分线所在直线 l 的方程； (3)在椭圆 E 上是否存在关于直线 l 对称的相异两点？若存在， 请找出；若不存在，说明理由．
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直线的交点坐标与距离公式 习题（含答案）、单选题过定点（ ）3．数学家欧拉在 1765 年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知 的顶点 ，若其欧拉线的方程为 则顶点 的坐标为（ ）A．B ．C ．D ．4． 若点 （2， k ）到直线 5x-12y+6=0的距离是 4，则 k 的值是 （ ）A． 1 B ． -3C ． 1 或D ． -3 或5． 已知直线和互相平行， 则实数m 的取值为（）A．—1或 3B ． — 1C ． —3D ． 1 或—36． 在空间直角坐标系 中，若点 ， ，点 是点关于 平面的对称点，则A．B ．C ．D ．7．已知直线与直线互相平行，则（）A．6 B ． 7C ． 8D ． 98． 已知双曲线 ：的左、右焦点分别为，，以线段1． 已知 满 足 时 ,的最大值为 , 则直线A ．B ．C ．D ．2．椭圆 上的点到直线 A ．B ．C ．的最大距离为 （ ）D ．直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 ，且 满足 离心率 满足（ ）A ．B ．C ．，则 的D ．9．已知点 在直线 上运动，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ． 5、填空题10 ．已知直线 的倾斜角为 ，直线 ： ，若 ，则实数 的值为 _______________________________ 11．经过点 M 2,1 且与直线 3x y 8 0 垂直的直线方程为 ________________________ ． 12 ．设是函数 图象上的动点，当点 到直线 的距离最小时，与圆的另一个交点分别为1)若 点坐标为 ，求直线 的方程； 2)求证：直线过定点 .点， 、 为其上下顶点，若(1) 求椭圆 的方程；13．与直线 平行，并且距离等于14． 已知直线和直线为_ __________ ；15． 直线与直线16． 已知直线，直线当_________ 时， 与 平行．17 ．已知实数 满足3 的直线方程是 ____________ ．互相垂直，则实数 的值的距离是 _________ ．，则 过定点 _______________，则18 ．点 关于直线的对称点是 ________三、解答题19 ．如图：已知 是圆与 轴的交点， 为直线 上的动点，20．已知椭圆 是其左右焦点， 为其左右顶的最大值为(2) 过 、 分别作 轴的垂线 、 ，椭圆 的一条切线 、 交于 、 二点，求证： ． 21 ．已知的三个顶点 ， ， ．Ⅰ 求 BC 边所在直线方程； Ⅱ 边上中线 AD 的方程为(1) 求点 关于直线 对称点的坐标； (2) 求反射光线所在直线的一般式方程． 23．已知直线 l 1:2x y 2 0； l 2 :mx 4y n 0．1)若l 1 l 2 ，求m 的值．2)若l 1/ /l 2 ，且他们的距离为 5，求 m, n 的值．24 ．选修:坐标系与参数方程选讲在直角坐标系中 ,曲线 : ( 为参数 ). 以 为极点 , 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 ,曲线 的极坐标方程为 ,直线 的极坐标方程为 ( ).( Ⅰ) 求曲线 的极坐标方程与直线 的直角坐标方程；(Ⅱ) 若直线 与 , 在第一象限分别交于 , 两点 , 为 上的动点 ,求面积的最大值.25 ．如图，在平面直角坐标系中，圆 ： 与 轴的正半轴交于点 ，以点 为圆心的圆 ： 与圆 交于 ， 两点 . ( 1)当时，求 的长；( 2)当 变化时，求 的最小值；( 3)过点的直线 与圆 A 切于点 ，与圆 分别交于点 ， ，若点 是 的中点，，且 ，求 m ，n 的值． 22． 光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点326 ．已知直线l 经过点P 2,5 ，且斜率为．（1）求直线l 的方程．（2）求与直线l 平行，且过点2,3 的直线方程．（3）求与直线l 垂直，且过点2,3 的直线方程．27．如图，已知三角形的顶点为A（2,4），B（0，－2），C（－2,3），求：（1）直线AB 的方程；（2） AB边上的高所在直线的方程；（3） AB的中位线所在的直线方程．1．A解析】分析：由约束条件作出可行域，得到使目标函数取得最大值的最优解，求出最优解，画出可行域， 如图所示， 数学结合可知在点处取得最大值，即： 故选 A.方法，属中档题．2．D解析】 椭圆方程为 可设椭圆上的任意一点 坐标为 到直线 的 距 离 ，的最大值为 ，故选 D.3．A【解析】【分析】 设出点 C 的坐标，由重心坐标公式求得重心， 代入欧拉线得一方程， 求出 AB 的垂直平分线， 和欧拉线方程联立求得三角形的外心， 由外心到两个顶点的距离相等得另一方程， 两方程联 立求得点 C 的坐标 【详解】设 C （ m ，n ），由重心坐标公式得，三角形ABC 的重心为整理得： m-n+4=0 ①答案第 1页，总 14 页参考答案的坐标，代入目标函数得到 ， 的关系，再代入直线由直线系方程得答案．详解，直线 过定点点睛： 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法， 考查了数学转化思想代入欧拉线方程得：AB 的中点为（1，2），AB 的中垂线方程为即x-2y+3=0 ．联立解得∴△ ABC 的外心为（-1，1）．则（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8 ② 联立①②得：m=-4 ，n=0 或m=0，n=4．当m=0 ，n=4 时B ，C重合，舍去．∴顶点C 的坐标是（-4，0）．故选A 【点睛】本题考查了直线方程，求直线方程的一般方法：①直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程．②待定系数法：先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等．4．D【解析】【分析】由题得，解方程即得k 的值.【详解】由题得，解方程即得k=-3 或.故答案为：D【点睛】（1）本题主要考查点到直线的距离公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.（2）点到直线的距离.5．B【解析】【分析】利用两直线平行的等价条件求得实数m的值.【详解】∵两条直线x+my+ 6=0 和（m﹣2）x+3y+2m=0 互相平行，解得m=﹣1，故选：B．【点睛】已知两直线的一般方程判定两直线平行或垂直时，记住以下结论，可避免讨论：已知，则，6．D【解析】【分析】由对称性先求点C 的坐标为，再根据空间中两点之间距离公式计算【详解】由对称性可知，点C 的坐标为，结合空间中两点之间距离公式可得：D.【点睛】本题考查了空间中对称点的坐标关系及两点间距离公式，属于基础题。
7．B【解析】【分析】根据它们的斜率相等，可得﹣=﹣2，解方程求a 的值．【详解】∵直线与直线互相平行，∴它们的斜率相等，∴ a=7 ，故选B.点睛】.故选∴﹣=﹣2，本题考查两直线平行的性质，两直线平行可得斜率相等．8．DM 的坐标，由，得点在双曲【解析】分析：联立圆与渐近线方程，求得线右支上，代入双曲线方程化简即可求．详解：由，得，即，由，，即，由，化简得，即故选D.点睛：本题考查双曲线的简单几何性质，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．9．C【解析】分析：的几何意义为直线上的点到原点距离的平方，由点到直线的距离公式可得结果.详解：点是直线上的任意一点，又的几何意义为直线上的点到原点距离的平方，的最小值为原点到直线距离的平方，所求最小值为，故选C. 点睛：本题考查点到直线的距离公式，意在考查转化与划归思想，是基础题. 10．.【解析】分析：根据两直线平行的等价条件可得斜率的值．详解：∵直线的倾斜角为，∴直线的斜率为.又，点睛：本题考查两直线平行的性质，即两直线的斜率存在时，则两直线平行等价于两直线的斜率相等．11．x 3y 5 0答案第4页，总14 页【解析】设所求直线为x 3y m 0 ，代入2,1 得m 5 ，故所求直线方程为x 3y 5 0，填x 3y 5 0 ．12．【解析】【分析】由点到直线的距离公式求得为何值时，距离最小．【详解】是函数图象上的动点，则点到直线的距离为，∴当时，取得最小值．故答案为：．【点睛】本题考查了点到直线的距离公式应用问题，是基础题．13．或.【解析】分析：设所求直线为3x+4y+m=0 ，直线3x+4y=5 即为3x+4y ﹣5=0，运用两平行直线的距离公式，得到m 的方程计算即可得到所求方程．详解：设所求直线为3x+4y+m=0 ，直线3x+4y=5 即为3x+4y ﹣5=0，则由平行直线的距离公式可得d= ，解得m=10 或﹣20．则有所求直线为3x+4y+10=0 ，或3x+4y ﹣20=0．故答案为：3x+4y+10=0 ，或3x+4y ﹣20=0 ．点睛：这个题目考查的是平行线间的距离公式，考查了学生计算能力，较为基础，在使用两平行线的距离公式前，先将x,y 的系数化为一样的.14．-1【解析】分析】利用直线垂直的性质求解． 【详解】 ∵直线 和直线 ∴（ a+3）×1+1×（ a-1）=0 ， 解得 a=-1 ． 故答案为： -1 ． 【点睛】 两直线位置关系的判断： 件属于常考题型 垂直： 平行： 15． 【解析】分析：把直线方程 公式，即可求解结果． 详解：由直线 ，可化为 则直线 和直线 点睛：本题主要考查了两平行线之间的距离的求解， 答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力． 16．【解析】分析：将直线 的方程变形为 坐标；根据两直线平行的等价条件可得 的值． 详解：直线 的方程变形为 ， 令 ，解得 ， 所以直线 过定点 ． 当 与 平行时，则有 ， 解得 ， 即 时， 与 平行．点睛： 直线过定点的问题实质上是恒成立的问题， 如果只从斜率角度考虑很容易出错 ；，同时还需要保证两条直线不能重合 化为 互相垂直，和 的平行和垂直的条 属于易错题题型，应熟记结论： 需要检验！ ，利用两平行线之间的距离 之间的距离 ． 其中熟记两平行线之间的距离公式是解，令 且 可得定点判断直线过定点时， 先把直线方程整理成为参数）的形式，解方程组可得定点的坐标．17．【解析】【分析】根据题意，转化为圆上两个点到定直线距离和的最大值问题。
根据两个点形成的夹角为60°，即可求得最大值。
【详解】由题意可设因为，即，因为r=1 ，设OA 与OB 形成夹角为α，所以，即即为A、B 到直线距离的和易知当AB∥ 时，A、B 到直线距离的和取得最大值此时原点O 到AB 的距离为O 到直线的距离为所以A 与B 到直线的距离和为【点睛】本题考查了点与圆、点与直线的综合问题，关键分析出两个点的位置关系，在哪个位置时取得距离的最大值，属于难题。