上海市奉贤中学2019-2020学年高二第一学期期中考试试题 数学【含解析】

上海市奉贤中学2019-2020学年高二第一学期期中考试试题数学一.填空题1.直线l 过点A （1,2），且法向量为（1，-3），则直线l 的一般式方程为____________ 【答案】x -3y +5=0 【解析】 【分析】先由直线的法向量为（1，-3），求出直线的斜率为13，再结合直线点斜式方程的求法，求出直线方程，然后整理为一般式即可.【详解】解：由直线的法向量为（1，-3），则直线的斜率为13， 又直线过点A （1,2），由直线点斜式方程可得12(1)3y x -=-， 整理得350x y -+=， 故答案为：350x y -+=.【点睛】本题考查了直线的法向量及直线的点斜式方程，重点考查了直线一般方程的求法，属基础题. 2.向量(3,4)a =在向量(1,1)b =- 方向上的投影为________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据向量在向量方向上的投影公式计算即可.【详解】依题意得·1,2a b b =-=，因此向量a 在向量b 方向上的投影为·22a b b=-. 【点睛】本题主要考查了向量在向量方向上的投影及其计算，属于中档题. 3.320x y ++=与直线10x +=的夹角为________ 【答案】6π【解析】 【分析】分别求两直线的倾斜角，即可得出夹角.【详解】因为直线320x y ++=的斜率为3k =-，所以其倾斜角为23π， 又直线10x +=的倾斜角为2π， 所以两直线夹角为：2326πππ-=. 故答案为：6π 【点睛】本题主要考查求两直线的夹角，熟记斜率的定义，会求倾斜角即可，属于基础题型.4.设变量x 、y 满足约束条件01030y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则23z x y =+的最大值为________【答案】8 【解析】 【分析】先由约束条件作出可行域，化目标函数23z x y =+为233z y x =-+，根据直线233zy x =-+在y 轴上的截距3z越大，z 就越大；结合图像，即可得出结果. 【详解】由约束条件01030y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩作出可行域如下：因为23z x y =+化为233z y x =-+， 因此直线233zy x =-+在y 轴上的截距3z 越大，z 就越大；由图像可得：直线233zy x =-+过点A 时，截距最大； 由1030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩解得12x y =⎧⎨=⎩，即(1,2)A ，所以max 268=+=z . 故答案为：8【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，由约束条件作出可行域，分析目标函数的几何意义，结合图像即可求解，属于常考题型.5.行列式351236724---中，元素6-的代数余子式的值为____________. 【答案】29 【解析】 【分析】由已知得元素6-是第2行第3列元素，根据行列式的元素的代数余子式的定义可求得6-的代数余子式. 【详解】由题意得元素6-的代数余子式是第2行第3列元素的代数余子式()()2335(1)(1)32572972+-⎡⎤-=-⨯⨯--⨯-=⎣⎦-,故填：29.【点睛】本题考查行列式的代数余子式的概念和求值，余子式的值与元素无关，只与元素的位置有关，属于基础题.6.关于x 、y 的二元线性方程组2532x my nx y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为103011⎛⎫ ⎪⎝⎭，则mn=________ 【答案】35【解析】 【分析】 先由题意，得到31x y =⎧⎨=⎩即是原方程组的解，代入原方程组，求出,m n ，即可得出结果.【详解】因为关于x 、y 的二元线性方程组2532x my nx y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为103011⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以31x y =⎧⎨=⎩即是原方程组的解，代入原方程组，可得：65332m n +=⎧⎨-=⎩， 解得：153m n =-⎧⎪⎨=⎪⎩，因此35=-m n .故答案为：35【点睛】本题主要考查由二元一次方程组的增广矩阵求参数的问题，熟记二元一次方程组的矩阵表示即可，属于常考题型.7.已知(3,2)a =-，(1,4)b =-，向量a 与向量a λb +垂直，则实数λ的值为________ 【答案】1311- 【解析】 【分析】先由题意求出(3,24)+=--+a λb λλ，再由向量垂直，得到()0a a b λ⋅+=，根据向量数量积的坐标表示，即可得出结果.【详解】因为(3,2)a =-，(1,4)b =-，所以(3,24)+=--+a λb λλ， 又向量a 与向量a λb +垂直，所以()0a a b λ⋅+=，即3(3)2(24)0---++=λλ， 即11130+=λ，解得：1311λ=-. 故答案为：1311-【点睛】本题主要考查根据向量垂直求参数的问题，熟记向量数量积的坐标表示即可，属于常考题型. 8.已知||1a =，1b ||=，||3a b +=，则||a b -=________ 【答案】1 【解析】【分析】先由题意求出a b ⋅，根据向量模的计算公式，即可得出结果. 【详解】因||1a =，1b ||=，||3a b +=，所以()22223+=++⋅=a ba b a b ，因此12a b ⋅=， 所以()2||1121-=-=+-⋅=a b a b a b .故答案为：1【点睛】本题主要考查求向量的模，熟记向量模的计算公式即可，属于常考题型.9.已知定点(0,5)A -，P 是圆22(2)(3)2x y -++=上的动点，则当||PA 取到最小值时，P 点的坐标为________ 【答案】(1,4)- 【解析】 【分析】先由题意，得到点(0,5)A -在圆22(2)(3)2x y -++=外，记圆22(2)(3)2x y -++=的圆心为(2,3)M -，半径为2r =根据点与圆位置关系，得到min =-PA PM r ，推出P 为AM 的中点，进而可求出结果.【详解】因为22(02)(53)82-+-+=>，所以点(0,5)A -在圆22(2)(3)2x y -++=外， 记圆22(2)(3)2x y -++=的圆心为(2,3)M -，半径为2r =则22min(02)(53)22=-=-+-+=PA PM r此时,,A P M 三点共线， 由12=PA PM 可得：P 为AM 的中点， 因此P 的坐标为：0253,22+--⎛⎫⎪⎝⎭，即(1,4)-P . 故答案为：(1,4)-【点睛】本题主要考查点与圆位置关系的应用，熟记点与圆位置关系，以及中点坐标公式即可，属于常考题型.10.如图，已知ABC ∆是边长为1等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连结DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅的值为________【答案】18【解析】 【分析】先由题意，得到3324DF DE AC ==，推出1324=+=+AF AD DF AB AC ，再由BC AC AB =-，根据向量的数量积运算，结合题中条件，直接计算，即可得出结果. 【详解】因为2DE EF =，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，所以3324DF DE AC ==， 因此1324=+=+AF AD DF AB AC ，又BC AC AB =-，ABC ∆是边长为1的等边三角形，所以()221313124244⎛⎫⋅=+⋅-=-+-⋅ ⎪⎝⎭AF BC AB AC AC AB AB AC AC AB1311311cos602442488︒=-+-⋅=-+-=AC AB .故答案为：18【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，熟记向量数量积的运算法则，以及平面向量基本定理即可，属于常考题型.11.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:0++=l x y a 与点(2,0)A ，若直线l 上存在点M 满足2=MA MO ，（O 为坐标原点），则实数a 的取值范围是________【答案】24224233⎡-+⎢⎣⎦【解析】 【分析】先设(,)--M x x a ，根据(2,0)A ，2=MA MO ，得到226(64)340x a x a +++-=，再由题意，得到()22(64)24340∆=+--≥a a ，求解，即可得出结果.【详解】由题意设(,)--M x x a ， 因为点(2,0)A ，2=MA MO ，所以2222(2)()2()-+--=+--x x a x x a ， 整理得：226(64)340x a x a +++-=① 因为直线l 上存在点M 满足2=MA MO ，所以方程①有解，因此()22(64)24340∆=+--≥a a ，解得242242-+≤≤a . 故答案为：242242,33⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查两点间距离公式的应用，熟记公式即可，属于常考题型.12.如图，已知半圆221x y +=（0y ≥），点(1,0)A -，点(0,1)D ，点C 在半圆上，点B 在x 轴上，且ABC∆是以AB 为底边的等腰三角形，若直线AC 与直线BD 平行，则点B 的横坐标为________.【答案】12【解析】 【分析】先设(,0)B a ，由题意易得：10a -<<；再由题意，得到1==-AC BD k k a，得到直线AC 的方程为：1(1)=-+y x a ；再由ABC ∆是以AB 为底边的等腰三角形，根据直线AC 方程，得到11,22-+⎛⎫- ⎪⎝⎭a a C a ，代入221x y +=，求解，即可得出结果.【详解】因为点B 在x 轴上，设(,0)B a ，由题意易得：10a -<<， 因点(0,1)D ，所以1=-BD k a，又直线AC 与直线BD 平行，所以1=-AC k a ，由点(1,0)A -，可得直线AC 的方程为：1(1)=-+y x a；因为ABC ∆是以AB 为底边的等腰三角形，所以C 点横坐标为：12a -，代入1(1)=-+y x a ，可得，111122-+⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭a a y a a ，即11,22-+⎛⎫- ⎪⎝⎭a a C a ， 又因为点C 在半圆221x y +=（0y ≥）上，所以2211212-+-⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a a a ，即2222(1)4(1)-=-+a a a a ， 即222(1)321-=--a a a a ，即()()22(1)311-=+-a a a a ，即()()321310----=a a a a ，即()()()32212210⎡⎤---+--=⎣⎦a a a a a a ，即()()()211210-+--=a a a a ，解得：1a =±或12a =因为10a -<<，所以12a = 即点B 的横坐标为12故答案为：12【点睛】本题主要考查点与圆位置关系的应用，熟记点与圆位置关系，以及直线平行的判定条件即可，属于常考题型. 二、填空题13.若a 与b c -都是非零向量，则“a b a c ⋅=⋅”是“()a b c ⊥-”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的概念，以及向量数量积运算，即可得出结果.【详解】因为a 与b c -都是非零向量，若a b a c ⋅=⋅，则0⋅-⋅=a b a c ，即()0⋅-=a b c ，所以()a b c ⊥-；因此“a b a c ⋅=⋅”是“()a b c ⊥-”的充分条件；若()a b c ⊥-，则0⋅-⋅=a b a c ，所以a b a c ⋅=⋅；因此“a b a c ⋅=⋅”是“()a b c ⊥-”的必要条件； 综上，“a b a c ⋅=⋅”是“()a b c ⊥-”的充要条件.故选：C【点睛】本题主要考查命题充要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念，以及数量积的运算法则即可，属于常考题型.14.已知直线方程为13510231x y =-，则下列各点不在这条直线上的是（ ）A. (2,3)-B. (4,7)C. (3,5)D. 1(,4)2【答案】B 【解析】 【分析】先由题意得到直线方程为：25190-+=x y ，根据选项，逐项代入验证，即可得出结果.【详解】因为135152910332519231=-++--=-+-x y x y y x x y ，所以，由13510231x y =-得，25190-+=x y ；当2x =-，3y =时，25190-+=x y ，故点(2,3)-在直线25190-+=x y 上； 当4x =，7y =时，251980-+=-≠x y ，故点(4,7)不在直线25190-+=x y 上； 当3x =，5y =时，25190-+=x y ，故点(3,5)在直线25190-+=x y 上； 当12x =，4y =时，25190-+=x y ，故点1(,4)2在直线25190-+=x y 上. 故选：B【点睛】本题主要考查点与直线位置关系，只需由点的坐标代入直线方程验证即可，本题需熟记直线的矩阵形式，属于常考题型. 15.动点P 满足1(1)(1)(12)3OP OA OB OC λλλ⎡⎤=-+-++⎣⎦（R λ∈），动点P 一定会过ΔABC 的（ ） A. 内心 B. 垂心C. 重心D. 外心【答案】C 【解析】 【分析】取AB 中点D ，做出简图，由2OA OB OD +=化简得2(1)1233OP OD OC λλ-+=+，根据2(1)12133λλ-++=得P 、C 、D 三点共线，所以点P 一定会通过ABC △重心. 【详解】取AB 中点D ，做出示意图如下图所示： 由图可知2OA OB OD +=，故12(1)12(1)(1)(12)333OP OA OB OC OD OC λλλλλ-+⎡⎤=-+-++=+⎣⎦， 因为2(1)12133λλ-++=，所以P 、C 、D 三点共线，即点P 在AB 的中线CD 所在直线上， 所以点P 一定会过ABC △的重心。