2018届高三数学二轮复习：数列专题及其问题详解

2018届高三第二轮复习——数列

第1讲等差、等比考点

【高 考 感 悟】

从近三年高考看，高考命题热点考向可能为：

1．必记公式

(1)等差数列通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)等差数列前n 项和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）

2

＝na 1＋

n （n －1）d

2

.

(3)等比数列通项公式：a n a 1q

n －1

.

(4)等比数列前n 项和公式：

S n ＝⎩⎪⎨⎪

⎧na 1（q ＝1）a 1（1－q n ）1－q

＝a 1－a n q 1－q （q ≠1）.

(5)等差中项公式：2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)． (6)等比中项公式：a 2

n ＝a n －1·a n ＋1(n ≥2)． (7)数列{a n }的前n 项和与通项a n 之间的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪

⎧S 1（n ＝1）S n －S n －1（n ≥2）

.

2．重要性质

(1)通项公式的推广：等差数列中，a n ＝a m ＋(n －m )d ；等比数列中，a n ＝a m q

n －m

.

(2)增减性：①等差数列中，若公差大于零，则数列为递增数列；若公差小于零，则数列为递减数列． ②等比数列中，若a 1＞0且q ＞1或a 1＜0且0＜q ＜1，则数列为递增数列；若a 1＞0且0＜q ＜1或a 1

＜0且q ＞1，则数列为递减数列． 3．易错提醒

(1)忽视等比数列的条件：判断一个数列是等比数列时，忽视各项都不为零的条件． (2)漏掉等比中项：正数a ，b 的等比中项是±ab ，容易漏掉－ab .

【 真 题 体 验 】

1．(2015·新课标Ⅰ高考)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若S 8＝4S 4，则a 10＝( )

A.

172 B.19

2

C ．10

D ．12 2．(2015·新课标Ⅱ高考)已知等比数列{a n }满足a 1＝1

4

，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )

A ．2

B ．1 C.12 D.1

8

3．(2015·高考)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝__________，d ＝________．

4．(2016·全国卷1)已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足12111

==3

n n n n b b a b b nb +++=1，，，. （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）求{}n b 的前n 项和.

【考 点 突 破 】

考点一、等差（比）的基本运算

1．(2015·高考)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________．

2．(2015·高考)已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝9

2

.

(1)求{a n }的通项公式；

(2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n .

考点二、等差（比）的证明与判断

【典例1】( 2017·全国1 )记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6.

（1）求{}n a 的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列。 .

【规律感悟】 判断和证明数列是等差(比)数列的三种方法 (1)定义法：对于n ≥1的任意自然数，验证a n ＋1－a n ⎝ ⎛⎭

⎪⎫或

a n ＋1a n 为同一常数．

(2)通项公式法：

①若a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d 或a n ＝kn ＋b (n ∈N *

)，则{a n }为等差数列；

②若a n ＝a 1q n －1＝a m q n －m 或a n ＝pq kn ＋b (n ∈N *

)，则{a n }为等比数列． (3)中项公式法：

①若2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ∈N *

，n ≥2)，则{a n }为等差数列；

②若a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ∈N *

，n ≥2)，且a n ≠0，则{a n }为等比数列．

变式：(2014·全国大纲高考)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2.

(1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列；(2)求{a n }的通项公式．

考点三、等差（比）数列的性质

命题角度一 与等差(比)数列的项有关的性质

【典例2】 (1)(2015·新课标Ⅱ高考)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )

A．21 B．42 C．63 D．84

(2)(2015·模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10＝12，则a5＋a6＝( )

A.12

5

B．12 C．6 D.

6

5

命题角度二与等差(比)数列的和有关的性质

【典例3】(1)(2014·全国大纲高考)设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2＝3，S4＝15，则S

6

＝( ) A．31 B．32C．63 D．64

(2)(2015·中学二调)等差数列{a n}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则该数列前13项的和是( ) A．13 B．26 C．52 D．156

[针对训练]

1．在等差数列{a n}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________．

2．在等比数列{a n}中，a4·a8＝16，则a4·a5·a7·a8的值为________．

3．若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝______．

【巩固训练】

一、选择题

1．(2015·新课标Ⅱ高考)设S n是等差数列{a n}的前n项和．若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝( ) A．5 B．7 C．9 D．11

2．(2014·高考)等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝2，S3＝12，则a6等于( ) A．8 B．10 C．12 D．14

3．(2014·高考)对任意等比数列{a n}，下列说法一定正确的是( )

A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列

C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列

4．(2014·高考)设{a n}是首项为a1，公差为－1的等差数列，S n为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1＝( )

A．2 B．－2 C.1

2

D．－

1

2