对解析几何专题复习的一点思考

对解析几何专题复习的一点思考

高三数学复习的目的，一方面是回顾学习过的数学知识，进一步巩固基础知识，另一方面，随着学生学习能力的不断提高，学生不会仅仅满足于对数学知识的简单重复，而是有对所学知识进一步理解的需求，如数学知识蕴涵的思想方法、数学知识之间本质联系等等，所以高三数学复习既要“温故”，更要“知新”，既能引起学生的兴趣，启发学生的思维，又能促使学生不断提出问题，有新的发现和创造，进而培养学生问题研究的能力．

一、把握解析几何的基本思想

解析几何是数学中最基本的分支学科之一．回顾历史，解析几何的创立是数学史上伟大的创造之一，它是17世纪数学观和方法论出现重大变革的直接结果．笛卡儿、费尔马等数学家，将代数和几何中的一切好的东西，取长补短，融合为一门新的数学，即把代数方法应用于几何，从而创立了解析几何．恩格斯说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微积分也就成为必要的了”．解析几何是用代数方法研究几何图形的一门学科，要用代数方法研究几何图形，首先需要把图形问题转化成代数形式，然后才能用代数方法进行计算，在获得代数结果以后，又需要把代数结果转化为几何结论．一个解析几何问题的解决是通过“几何图形代数化与代数结果几何化”和代数计算来实现的，“几何图形代数化与代数结果几何化”是解析几何的基本思想．

2004年的上海市秋季高考数学试卷的一道填空题就直接要求学生写出解析几何的思想本质是什么，这道题目引起一些争议，但命题的意图是好的，指导思想是正确的，在解析几何的复习过程中要强化这种思想．通过具体例子可以说明用代数的方法解决几何问题的优越性，以及用几何的方法解决代数问题的优越性．

二、构建解析几何知识的体系

解析几何复习时，需要理顺解析几何的知识体系：

（1）首先要明确几何中的点与代数中的坐标的对应关系，进而要理解曲线与方程的概念．图形问题代数化是解析几何的核心，它是通过用坐标表示点和用方程表示曲线的观念来实现的．曲线与方程概念的提出在代数与几何之间架起了一座

桥梁，使两种数学形式根据需要可以“互化”，然后可以通过对方程的研究来研究曲线的性质，这是解析几何的理论基础．利用这个思想方法去理解概念、公式所反映的数学本质，如两点距离、点到直线的距离、直线的平行与垂直、两条直线的夹角、图形的对称性和曲线交点等都是解析几何中要研究的基本问题，深刻体会教材中是如何用代数形式来解决这些重要几何概念以及位置关系的，那么遇见这些几何表述时就能熟练转化为代数形式来处理．

（2）通过对直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等具体曲线的研究，不仅要理解和掌握它们的一些基本性质和结论，更重要的是体会解析几何研究曲线性质的具体方法和思想．

（3）了解坐标系的平移、旋转，曲线的参数方程，极坐标系等等知识，体会解析几何解决问题的方法不是单一的，而是多种多样的．

例题1 类似于在平面上建立直角坐标系，我们在平面上建立一个斜角坐标系，使得y 轴与x 轴的夹角为60︒．设P 为平面上任意一点，过P 分别作y 轴、x 轴的平行线，分别交x 轴、y 轴于12P P 、点，则12P P 、点分别在x 轴、y 轴上的坐标x y 、称为点P 在斜角坐标系xOy 中的坐标，记为(,)x y ．在坐标平面内，方向与x 轴和y 轴正方向相同的两个单位向量分别记为i 和j ．

（1）若11(,)A x y 及22(,)B x y ，用1122

,,x y x y 、表示A B 、两点的距离AB ；

（2）设(1,2)M -，O 为坐标原点，求过点M 且与OM 垂

直的直线l 的方程，由此猜测直线l 的一个方向向量并证

明你的结论； （3）设抛物线C 是以原点O 为焦点，且以直线1y =为准线，试确定直线10x y -+=与抛物线C 的交点个数．

三、掌握研究解析几何问题的基本方法

近几年解析几何的考题在难度、计算的复杂程度等方面都有所下降，突出对解析几何基本思想和基本方法的考查，重点要掌握解析几何的一些基本方法来解

决问题，解析几何中解题的基本方法有解析法、待定系数法、变换法、参数法等方法．课堂教学中选择例题要突出题目的普遍性，解题方法要具有代表性，即通性通法．

（1）加强解析几何基本知识、基本方法的训练，如熟悉圆锥曲线有关概念的直接应用，求轨迹方程的各种基本方法，讨论直线与曲线的交点或位置关系，与圆锥曲线有关的取值范围等问题，能通过建立函数关系，转化为求函数的值域、最值等等．

例题2 如图，点A 、B 分别是椭圆120

362

2=+y x 长

轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点. 点P 在椭

圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥．

（1）求点P 的坐标；

（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP

的距离等于||MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．

这个考题具有一定的代表性，熟悉椭圆的焦点等概念，两条直线的垂直关系，点到直线的距离，定点到曲线上的动点的距离的最值等基本要求．

（2）解析几何中有许多解题技巧和各种各样的结论，如果死记硬背一些解题技巧或结论，这对分析问题、解决问题能力的培养是很不利的，处理不当只会增加学生的心理负担，使其畏惧数学，从而厌倦数学，不能达到教学效果，学生也没有收获．一方面对这些技巧和结论可以少讲，选择例题的时候目标很明确，使利用基本方法来解比利用技巧来解更有效；另一方面可以对这些技巧或方法进行分析研究，指出它们的利弊．

例题3 已知曲线16422=+y x 上有两点P 和Q ，O 为坐标原点，又OP 、OQ 的斜率之积为4

1，问22OP OQ +是否为定值？ 例题4 问题：“已知曲线1C ：022=++x xy 与曲线2C ：0=++-a y xy x 有两个公共点，求经过这两个公共点的直线方程．”的解法如下：

解：曲线1C 方程与曲线2C 方程相加得023=+++a y x ，这就是所求的直线方程． 理由：（1）两个方程相加后得到的方程表示直线；（2）公共点的坐标满足曲线1C