绝对值不等式的常见形式及解法.doc

合集下载

绝对值不等式的证明及应用

绝对值不等式的证明及应用一、绝对值有关性质回顾：①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩②ab a b =,aa b b= (0)b ≠ ③22a a =④0a ≥ ⑤a a a -≤≤⑥x a a x a ≤⇔-≤≤ x a x a a ≥⇔≥≤-或二、绝对值不等式：定理：绝对值三角不等式：a b a b a b-≤±≤+.(代数形式)a b a b a b -≤±≤+(向量形式)几何解释:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.(0b a b ab +≤+≥取等号）证明:方法一：()22+a b a b +≤, 2222+22a ab b a ab b +≤++, 22ab ab ≤,而22ab ab ≤显然成立,∴(0a b a b ab +≤+≥取等号）||||||a b a b +=====+||||||a b a b +===<==+方法二：（选修4-5证法）当ab ≥0时, ||,ab ab =||,ab ab =-当ab ＜0时综上，a b a b +≤+ 0ab ≥当时，取等号，方法三：（原人教版教材证法） ∵a a a -≤≤ ① b b b -≤≤ ②①+②：()a b a b a b -+≤+≤+，逆用性质x a ≤得：a b a b +≤+推论1：123123.......n a a a a a a a +++≤++ ，当123,,,......n a a a a 都非正或都非负时。

a b a b -≤+.证明:方法一:当0a b -<时显然成立,当0a b -≥时，两边平方,()22a b a b-≤+, 222222a ab b a ab b -+≤++, 22ab ab -≤,而22ab ab -≤显然成立,∴a b a b -≤+,(当0ab <时取等号). 方法二:直接利用定理1a ab b a b b a b b =+-≤++-=++.当()()0a b b +-≥时,取等号.即()00a b b ab +≤⇒≤,取等号. 合在一起得:a b a b a b -≤+≤+.(当0ab ≤时左边取等号,当0ab ≥时右边取等号)(当0ab ≥时左边取等号, 当0ab ≤时左边取等号)证明:只需利用已有结论把a b a b a b -≤+≤+中的b 用b -代替即得到定理3.b ac b c -≤-+-证明：a b a c c b a c c b a c b c-=-+-≤-+-=-+-，（当()()0a c c b --≥时，取等号）几何解释：设A ，B ，C 为数轴上的3个点，分别表示数a ，b ，c ，则线段.CB AC AB +≤当且仅当C 在A ，B 之间时，等号成立。

绝对值不等式的解法步骤

绝对值不等式的解法步骤一、绝对值的定义在开始讨论绝对值不等式的解法步骤之前，首先要了解绝对值的定义。

绝对值是指一个数与零之间的距离，表示为|a|，其中a为实数。

绝对值的定义如下：当a≥0时，|a|=a；当a<0时，|a|=-a。

二、绝对值不等式的基本形式绝对值不等式是指包含绝对值符号的不等式，常见的形式有以下两种：1. |x|<a，表示x与0的距离小于a；2. |x|>a，表示x与0的距离大于a。

三、解绝对值小于形式的不等式1. 当|a|<b时，有两种情况：a) a>0时，解为-b<a<b；b) a<0时，解为空集。

2. 当|a|≤b时，有两种情况：a) a>0时，解为-a≤x≤a；b) a<0时，解为x=0。

四、解绝对值大于形式的不等式1. 当|a|>b时，有两种情况：a) a>0时，解为x<-b或x>b；b) a<0时，解为解为x<-b或x>b。

2. 当|a|≥b时，有两种情况：a) a>0时，解为x≤-b或x≥b；b) a<0时，解为解为x≤-b或x≥b。

五、解绝对值不等式的注意事项在解绝对值不等式时，需要注意以下几点：1. 对于绝对值不等式中的常数a和b，要根据实际情况判断其正负性，以正确确定解的范围。

2. 在解绝对值不等式时，需要根据绝对值的定义，将不等式分解为两个简单的不等式，并分别求解。

3. 在进行不等式的运算过程中，要根据不等式的性质进行合理的变形，确保解的正确性。

4. 在解绝对值不等式时，可以通过画数轴的方式来辅助理解和确定解的范围。

六、绝对值不等式的应用绝对值不等式在实际问题中有着广泛的应用。

例如，在求解含有变量的不等式时，往往需要通过绝对值不等式的知识来确定变量的取值范围。

另外，在求解数列极限、证明不等式等数学问题中，也常常需要运用绝对值不等式的知识。

解绝对值不等式的步骤包括了绝对值的定义、绝对值不等式的基本形式、解绝对值小于形式的不等式、解绝对值大于形式的不等式以及解绝对值不等式的注意事项。

绝对值不等式公式大全

绝对值不等式公式大全下面是一些常见的绝对值不等式及其推导和解法。

1.绝对值的定义：对于任意实数x，绝对值，x，定义如下：-当x≥0时，x，=x。

-当x<0时，x，=-x。

2.单个绝对值不等式：2.1，x，＞a时，有以下不等式：-方程的解集为：x＞a或x＜-a。

-解法：将，x，＞a拆解为x＞a或x＜-a，然后根据实际问题分析确定解集。

2.2，x，＜a时，有以下不等式：-方程的解集为：-a＜x＜a。

-解法：将，x，＜a拆解为x＞-a且x＜a，然后根据实际问题分析确定解集。

3.绝对值的性质：3.1，a+b，≤，a，+，b该性质成立是因为绝对值函数具有非负性质，并且，a+b，的取值范围比，a，+，b，的取值范围要小。

3.2，a-b，≥，a，-，b该性质成立是因为绝对值的定义在于，x，≥-x，同时采用了加法的逆运算。

3.3，a-b，≥，b，-，a该性质成立是因为绝对值的定义在于，x，≥-x，同时采用了减法的逆运算。

4.绝对值不等式的加法运算法则：若，a，≤，b，则有以下结论：-，a+x，≤，b+x-，x+a，≤，x+b解法：根据2.1的解法，将，x，≤a拆解为-a≤x≤a，根据性质3.1，可得，a+x，≤，a，+，x，≤，a，+，b。

5.绝对值不等式的乘法运算法则：若0≤a≤b-，a*x，≤，b*x，其中x可以是任意实数。

解法：对于给定的，x，≤a（根据2.2的解法得到），将其乘以非负的实数k，则有，k*x，≤a*k，根据性质3.1，可得，k*x，≤a*k≤b*k。

6.绝对值不等式的复合运算法则：若，a，≤b且，c，≤d，则有以下结论：-，a+c，≤，b+d-，a-c，≤，b-d解法：根据4的解法，分别将，a+c，和，a-c，展开为，a+x，的形式，并应用3.1的性质，可以得到上述结论。

这些是常见的绝对值不等式及其推导和解法，通过这些公式和方法，我们可以更方便地求解一些数学问题。

但需要注意的是，在应用绝对值不等式时，需要根据具体问题来确定解集，并判断是否需要考虑特殊情况，提高解题的准确性和完整性。

绝对值不等式解法

典例讲解
例1解下列不等式
| 2 x 1 || x 1 | （3） | x 1 | | x 3 | 5 （2）（1） | 2 x 1 | 1
解:（2）原不等式两边平方得： (2x 1) ( x 1)
2
2
平方法
整理得： x 2 x 0
2
x 0或x 2
10 5 2 答案：（1） [ 3 , 3 ) (1, 3 ] 1 （2） ( , ) 2
（3） (,7] (2,)
不等式的解集为： (,0) (2,)
分段解不等式问题要点：段内求交，段与段求并
典例讲解
| x 1 | | x 3 | 5 | 2 x 1 || x 1 | （3）（2） | 2 x 1 | 1 （1）
( x 1) ( x 3) 5 解:（3）当 x 1 ，原不等式可化为： 3 3 x x ，此时解为： 2 2 分当 1 x 3 ，原不等式可化为： ( x 1) ( x 3) 5 段 4 5 ，此时解为：x无解法当 x 3 ，原不等式可化为： ( x 1) ( x 3) 5
典例讲解பைடு நூலகம்
例1解下列不等式
| 2 x 1 || x 1 | （3） | x 1 | | x 3 | 5 （2）（1） | 2 x 1 | 1
解:（1）原不等式可化为：公式法
2 x 1 1或2 x 1 1
x 0或x 1
不等式的解集为： (,0) (1,)
7 7 x ，此时解为：x 2 2
例1解下列不等式
综上所述，不等式的解集为
3 7 ( , ) ( , ) 2 2

绝对值不等式

绝对值不等式绝对值不等式是数学中常见的一类不等式，它与绝对值的性质和运算相关。

通过研究绝对值不等式，我们可以解决许多实际问题，同时也提升了我们的数学思维和解题能力。

一、绝对值的定义绝对值是表示一个数离原点的距离。

对于一个实数x，它的绝对值记作|x|，定义如下：当x≥0时，|x|=x；当x<0时，|x|=-x。

例如，|5|=5，|-3|=3。

二、绝对值不等式的性质1. 绝对值的非负性质：对于任意实数x，有|x|≥0。

2. 绝对值的等价性：若|x|=0，则x=0。

3. 绝对值的三角不等式：对于任意实数x和y，有|x+y|≤|x|+|y|。

三、一元绝对值不等式的求解方法当我们遇到一元绝对值不等式时，可以采用以下两种方法求解：1. 列举法：根据不等式的性质及绝对值的定义，列举出满足不等式条件的数。

例题1：|x-2|<3根据绝对值的定义，可以得到以下两个不等式：x-2<3 ==> x<5；-(x-2)<3 ==> -x+2<3 ==> 2-x<3 ==> x>-1。

综合以上两个不等式的解，得到-1<x<5。

2. 分类讨论法：将绝对值拆分成正负两种情况，分别求解。

例题2：|2x-3|>4当2x-3>0时，可以得到以下不等式：2x-3>4 ===> 2x>7 ===> x>3.5。

当2x-3<0时，可以得到以下不等式：-(2x-3)>4 ===> -2x+3>4 ===> -2x>1 ===> x<-0.5。

综合以上两个情况的解，得到x>3.5或x<-0.5。

四、二元绝对值不等式的求解方法对于二元绝对值不等式，我们需要分别对两个变量进行分类讨论，并结合不等式的特点进行求解。

例题3：|x-2|+|y+1|<5当x-2>0且y+1>0时，可以得到以下不等式：x-2+y+1<5 ==> x+y<6。

绝对值不等式公式总结

绝对值不等式公式总结绝对值不等式是数学中常见的一类不等式，它的表达形式如下：|f(x)| ≤ g(x)其中，f(x)和g(x)是定义在某个数域上的函数。

绝对值不等式的解集是满足不等式的一组数值。

绝对值不等式在实际问题中有着广泛的应用。

在解决实际问题时，我们经常会遇到一些条件限制，而绝对值不等式可以帮助我们确定这些条件下的范围。

我们来看一些基本的绝对值不等式形式。

1. |x| ≥ a这个不等式的解集是x≤-a或x≥a，其中a是一个非负实数。

例如，对于不等式|3x-4| ≥ 7，我们可以将其转化为两个不等式3x-4 ≥ 7和3x-4 ≤ -7，求解得到x ≥ 11/3或x ≤ -1。

2. |x| ≤ a这个不等式的解集是-a ≤ x ≤ a，其中a是一个非负实数。

例如，对于不等式|2x+3| ≤ 5，我们可以将其转化为两个不等式2x+3 ≤ 5和2x+3 ≥ -5，求解得到-4 ≤ x ≤ 1。

接下来，我们来看一些绝对值不等式的性质和应用。

1. 绝对值的保号性对于任意实数a，有|a| ≥ 0，且当且仅当a=0时，|a|=0。

这个性质告诉我们，绝对值的结果非负，并且只有在被取绝对值的数为0时，结果才为0。

2. 绝对值的三角不等式对于任意实数a和b，有|a+b| ≤ |a| + |b|。

这个不等式告诉我们，两个数的绝对值之和不超过它们各自绝对值的和。

3. 绝对值不等式的加减法对于任意实数a和b，有|a ± b| ≤ |a| + |b|。

这个性质告诉我们，两个数的绝对值之差不超过它们各自绝对值的和。

绝对值不等式在实际问题中的应用非常广泛。

例如，在计算机科学中，绝对值不等式可以用来限定算法的时间复杂度；在物理学中，绝对值不等式可以用来描述测量误差的范围；在经济学中，绝对值不等式可以用来确定一些经济指标的范围等等。

总结起来，绝对值不等式是数学中常见的一类不等式，它的解集可以帮助我们确定实际问题中的条件限制。

高考中常见的七种含有绝对值的不等式的解法

高考中常见的七种含有绝对值的不等式的解法类型一：形如)()(,)(R a a x f a x f ∈><型不等式解法:根据a 的符号，准确的去掉绝对值符号，再进一步求解.这也是其他类型的解题基础.1、当0>a 时，a x f a a x f <<-⇔<)()(a x f a x f >⇔>)()(或a x f -<)(2、当0=aa x f <)(，无解⇔>a x f )(使0)(≠x f 的解集3、当0<a 时，a x f <)(，无解⇔>a x f )(使)(x f y =成立的x 的解集.例1 不等式22<-x x 的解集为（）A.)2,1(-B.)1,1(-C.)1,2(-D.)2,2(-解：因为22<-x x ，所以222<-<-x x .即⎪⎩⎪⎨⎧<-->+-020222x x x x ，解得：⎩⎨⎧<<-∈21x R x ，所以 )2,1(-∈x ，故选A.类型二：形如)0()(>><<a b b x f a 型不等式解法：将原不等式转化为以下不等式进行求解：b x f a a b b x f a <<⇔>><<)()0()( 或a x f b -<<-)(需要提醒一点的是，该类型的不等式容易错解为：b x f a a b b x f a <<⇔>><<)()0()(例2 不等式311<+<x 的解集为（）A ．)2,0( B.)4,2()0,2(Y -C ．)0,4(- D.)2,0()2,4(Y --解：311311<+<⇔<+<x x 或11,3-<+<-x20<<⇔x 或24-<<-x ，故选D类型三：形如)()(x g x f <，)()(x g x f >型不等式，这类不等式如果用分类讨论的方法求解，显得比较繁琐，其简洁解法如下解法：把)(x g 看成一个大于零的常数a 进行求解，即：)()()()()(x g x f x g x g x f <<-⇔<，)()()()(x g x f x g x f >⇔>或)()(x g x f -<例3 设函数312)(++-=x x x f ，若5)(≤x f ，则x 的取值范围是解：53125)(≤++-⇔≤x x x f2122212+-≤-≤-⇔+-≤-⇔x x x x x⎩⎨⎧+-≤--≥-⇔212212x x x x 1111≤≤-⇔⎩⎨⎧≤-≥⇔x x x ，故填：[]1,1-.类型四：形如)()(x g x f <型不等式解法：可以利用两边平方，通过移项，使其转化为：“两式和”与“两式差”的积的方法进行，即：22)()()()(x g x f x g x f <⇔<0)]()()][()([0)]([)]([22<-+⇔<-⇔x g x f x g x f x g x f 例4 不等式0212<---x x 的解集为解：2120212-<-⇔<---x x x x0)2()12(2122222<---⇔-<-⇔x x x x0)]2()12)][(2()12[(<----+-⇔x x x x 11<<-⇔x 所以原不等式的解集为{}11<<-x x 类型五：形如)()(),()(x f x f x f x f ><型不等式解法：先利用绝对值的定义进行判断，再进一步求解，即：)()(x f x f <，无解0)()()(<⇔>x f x f x f例5 解关于x 的不等式a x x a x x +-->+--1111 解：0111111<+--⇔+-->+--a x x a x x a x x a x a x -<-⇔<+-⇔11011 （1）当0=a 时，原不等式等价于：1011<⇔<-x x （2）当0>a 时，原不等式等价于：111011<<-⇔<-<-x ax a （3）当0<a 时，原不等式等价于：01<-x 或ax 11->- 1<⇔x 或ax 11-> 综上所述（1）当0=a 时，原不等式的解集为：{}1<x x（2）当0>a 时，原不等式的解集为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-111x a x （3）当0<a 时，原不等式的解集为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-><a x x x 111或类型六：形如使c n x m x c n x m x ≥-+-≥---,恒成立型不等式.解法：利用和差关系式：b a b a b a +≤±≤-，结合极端性原理即可解得，即：()()()m n n x m x n x m x c n x m x c -=---=---≥⇔---≥max ；()()()m n n x m x n x m x c n x m x c -=---=---≤⇔-+-≤min ；例6 不等式a a x x 3132-≤--+对任意的实数恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(][)+∞-∞-,41,Y B.(][)+∞-∞-,52,YC.[]2,1D.(][)+∞-∞-,21,Y解：设函数()()41313)(=--+≤--+=x x x x x f所以4)(max =x f 而不等式a a x x 3132-≤--+对任意的实数x 恒成立故41432≥-≤⇒≥-a a a a 或，故选择A类型七：形如,)()(a x g x f <-()为常数a a x g x f >-)()()()()(x h x g x f <-，)()()(x h x g x f >-,)()(a x g x f <+()为常数a a x g x f >+)()()()()(x h x g x f <+，)()()(x h x g x f >+1、解法：对于解含有多个绝对值项的不等式，常采用零点分段法，根据绝对值的定义分段去掉绝对值号，最后把各种情况综合得出答案，其步骤是：找出零点，确定分段区间；分段求解，确定各段解集；综合取并，去掉所求解集，亦可集合图像进行求解.例7 解不等式112+<-x x分析：找出零点：21,0==x x 确定分段区间：21,210,0≥<≤<x x x 解：（1）当0<x 时，原不等式可化为：112+-<+-x x解得：0>x因为 0<x ，所以 x 不存在（2）当210<≤x 时，原不等式可化为： 112+<+-x x解得：0>x又因为21<≤x x ，所以21<<x x （3）当21≥x 时，原不等式可化为： 112+<-x x ，解得：2<x又21≥x ，所以221<≤x 综上所述，原不等式的解集为：{}20<<x x2、特别地，对于形如,)()(a x g x f <+()为常数a a x g x f >+)()()()()(x h x g x f <+，)()()(x h x g x f >+型不等式的解法，除了可用零点分段法外，更可转化为以下不等式，即：⇔<+)()()(x h x g x f⎪⎩⎪⎨⎧<-<+)()()()()()(x h x g x f x h x g x f )()()(x h x g x f >+⇔)()()(x h x g x f >+或)()()(x h x g x f >-例8 设函数a x x x f -+-=1)(（1）若1-=a ，解不等式3)(≥x f（2）如果,2)(,≥∈∀x f R x 求a 的范围解：（1）当时，1-=a11)(++-=x x x f由3)(≥x f 得：311)(≥++-=x x x f即：()()311≥++-x x 或 ()()311≥+--x x解得：32≥x ，即：23-≤x 或 23≥x 故不等式3)(≥x f 的解集为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤2323x x x 或（2）由2)(≥x f 得：21≥-+-a x x即：()()21≥-+-a x x 或 ()()21≥---a x x即：()212≥+-a x 或 21≥-a因为2)(,≥∈∀x f R x 恒成立，所以21≥-a 成立，解得：1-≤a 或 3≥a故a 的取值范围为：(][)+∞-∞-,31,Y绝对值不等式一直是高中教学中的一个难点，我们通过化归思想将其进行等价变换，从而避免了繁琐的讨论，减小了运算量，以上所介绍的七种类型的含有绝对值的不等式总体上囊括了近几年高考中有关的题目，当然方法可能并不为一，在解决此类问题的时候很多人也比较喜欢使用数形结合的方法来处理，这其实也体现了数学形式多样化的统一美.方法是多种多样的，只是无论多么优秀的方法最终也是用来解题的工具，如果我们仅仅是停留在最求方法的多样化而忽略了数学的本质——思想，那么就有点得不偿失了.。

含绝对值的不等式解法(总结归纳).doc

含绝对值的不等式解法(总结归纳)
含绝对值的不等式解法、一元二次不等式解法[教材分析]|x|的几何意义是实数x在数轴上对应的点离开原点O的距离，所以|x|0)的解集是{x|-a0)的解集是{x|x>a或x0)中的x替换成ax+b，就可以得到|ax+b|c(c>0)型的不等式的解法。

一元二次不等式ax2+bx+c>0(或0的解，图象在x轴下方部分对应的x值为不等式ax2+bx+c,当a=0时，不等式化为20时不等式解集是{x|-0，即x2-x-20，其中a∈R。

[分析与解答]a的不同实数取值对不等式的次数有影响，当不等式为一元二次不等式时，a的取值还会影响二次函数图象的开口方向，以及和x轴的位置关系。

因此求解中，必须对实数a的取值分类讨论。

当a=0时，不等式化为8x+1>0。

不等式的解为{x|x>-,x∈R}。

当a≠0时，由Δ=(a-8)2-4a=a2-20a+64=(a-4)(a-16)。

(1)若00，抛物线y=ax2-(a-8)x+1开口向上，方程ax2-(a-8)x+1=0两根为，。

不等式的解为{x|x}。

(2)若40的解为xβ，且β-α≤5(α≠β),求实数a的取值范围。

[参考答案]：1．解：由|ax+1|≤b,∴-b≤ax+1≤b，∴-b-1≤ax≤b-1。

当a>0时，≤x≤。

∴,不满足a>0,舍去。

当a0两边同除以a(a∴β-α=，∴a2+24a≤25,-25≤a。

含绝对值的不等式的解法

含绝对值的不等式的解法一、基本解法与思想解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。

（一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。

主要知识：1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。

2、a x >与a x <型的不等式的解法。

当0>a 时，不等式>x 的解集是{}a x a x x -<>或,不等式a x <的解集是{}a x a x <<-;当0<a 时，不等式a x >的解集是{}R x x ∈不等式a x <的解集是∅;3．c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。

把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。

当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{}c b ax c b ax x -<+>+或,不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-;当0<c 时，不等式c b ax >+的解集是{}R x x ∈不等式c bx a <+的解集是∅;例1 解不等式32<-x（二）、定义法:即利用(0),0(0),(0).a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩去掉绝对值再解。

例2。

解不等式22x x x x >++。

（三）、平方法:解()()f x g x >型不等式。

例3、解不等式123x x ->-。

二、分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。

例4 解不等式125x x -++<。

(“零点分段法”)三、几何法：即转化为几何知识求解。

绝对值不等式的解法

绝对值不等式的解法什么是绝对值不等式？绝对值不等式是数学中一类常见的不等式类型，它涉及到绝对值函数(|x|)。

绝对值函数定义了一个实数的非负值，即对于实数x，|x|的值总是与x的符号无关，而只与x的大小有关。

绝对值不等式的一般形式为：|f(x)| ≤ a 或|f(x)| ≥ a，其中f(x)是一个函数，a是一个正实数。

绝对值不等式的求解方法当遇到绝对值不等式时，我们需要找到使得不等式成立的x 的范围，也就是求解不等式的解集。

下面将介绍几种常见的绝对值不等式的解法。

1. 图形法图形法是解决绝对值不等式的直观方法。

我们可以通过绘制函数y = f(x)的图像来分析绝对值不等式。

对于不等式|f(x)| ≤ a，我们可以绘制函数y = f(x)的图像，并考察函数值在y轴上的绝对值是否小于等于a。

如果在x的某个范围内，函数图像位于y轴上的绝对值小于等于a，则该范围内的x属于解集。

对于不等式|f(x)| ≥ a，同样可以绘制函数y = f(x)的图像。

但在该情况下，我们需要考察函数图像位于y轴上的绝对值是否大于等于a。

如果在x的某个范围内，函数图像位于y轴上的绝对值大于等于a，则该范围内的x属于解集。

2. 分情况讨论法绝对值不等式的另一种解法是通过分情况讨论来找到解集的范围。

对于不等式|f(x)| ≤ a，我们可以将绝对值函数分为两种情况进行讨论： - 当f(x) ≥ 0 时，原不等式可以简化为f(x) ≤ a。

- 当 f(x) < 0 时，原不等式可以简化为 -f(x) ≤ a，进一步化简为f(x) ≥ -a。

上述两种情况分别给出了绝对值不等式的解集范围。

我们需要根据具体函数f(x)和给定的a值来确定最终的解集。

对于不等式|f(x)| ≥ a，同样可以采用类似的分情况讨论法：- 当f(x) ≥ 0 时，原不等式可以简化为f(x) ≥ a。

- 当 f(x) < 0 时，原不等式可以简化为 -f(x) ≥ a，进一步化简为f(x) ≤ -a。

1.1.3绝对值不等式的解法

类型 3 引伸：
型如 | f(x)|<a, |f(x)|>a的不等式中 “a”用代数式替换，如何解？
例4:解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
分析：对6-x 符号讨论，当6-x≦0时,显然无解；当6-x>0时,转化为-(6-x)<5x-6<(6-x) 解：由绝对值的意义，原不等式转化为： 6-x≤0 6-x>0 -(6-x)<5x-6<(6-x)
3.不等式 x 4 x 3 a 有解的条件是( B )
1 ( A)0 a 10
( B )a 1
1 (C ) a 10
( D)a 1
4.| x-1 | > 2( x-3)
X<5 X<-1 或 x>1
5.| 2x+1 |> | x+2 |
学习小结: 解绝对值不等式的基本思路是去绝对值符号转化为一般不等式来处理。主要方法有： ⑴同解变形法:运用解法公式直接转化； ⑵定义法:分类讨论去绝对值符号； ①含一个绝对值符号直接分类；②含两个或两
3 x 解：由于y 2 是增函数，f(x) 2 2等价于 x 1 x 1 , 2
(1)当x 1时， x 1 x 1 2，上式恒成立
2当 1 x 1 时， x 1 x 1 2 x,
3 3 上式化为2x .即 x 1 2 4 3当 x 1 时， x 1 x 1 2 ，上式无解
绝对值不等式的解法
1:形如|x|<a和|x|>a (a>0)的含绝对值的不等式的解集

解绝对值不等式的几种常用方法以及变形

解绝对值不等式的几种常用方法以及变形解绝对值不等式的几种常用方法以及变形前提：a 0;形式:f(x)|〉a ; f(x)|<a ; f(x) Ka, f(x)兰 a 等价转化为f(x)〉a= f (x) >a 或f (x) < -a ; f (x) <a= —a < f (x) < af(x)兰 a f (x)启 a 或f (x)兰一a ; f (x)兰 a = —a 兰 f (x)兰a例 1.⑴ |2x — 3|v 5解：—5v 2x — 3v 5,得—1v x v 4等式2 (2) |x 2— 3x —1|> 3 解：x 2 — 3x — 1v — 3 或 x 2— 3x —1>3等式即：x 2 — 3x + 2v 0 或 x 2— 3x — 4>0•••不等式的解为1 v x v 2或x v — 1或x >4 等式解之得：一2v x v 1或x v — 2或x >53•不等式的解为x v — 2或一2v x v -或x >53反思：（1）转化的目的在于去掉绝对值。

（2）规范解答，可以避免少犯错误.形如 I f(x)|v g(x) , | f(x) |>g(x), f(x)| |g(x)型不等式转化为一元一次不转化为一元二次不解: I v — 1 x + 22x —3 > 1 x + 2 绝对值不等式转化为分式不(1)1 f(x) I vg(x)u - g(x)vf(x)vg(x)f(x)>g(x) (2)| f(x) I >g(x)=f(x)v-g(x)或(3) | f(x) | > I g(x) | = f 2(x)>g 2(x);(4) | f(x) | < | g(x) | = f 2(x)v g 2(x)例 2. (1) | x +1|>2 - x ;解：(1)原不等式等价于x +1>2- x 或x +1< — (2- x ) ---------- 利用绝对值概念转化为整式不等式解得x > 1或无解，所以原不等式的解集是{x | x > 1 }2 2(2)| x 2 - 2x - 6|<3x解：原不等式等价于—3 x < x 2 - 2 x - 6<3 xx 2「2x 「6 空-3x — 丨 x 2 x 「6 0 — i (x 3)(x 「2) 0 — I x ：： -3或x 2即 2 = 2x -2x-6：：3x x -5x-6：：0 (x T)(x-6) ：： 0 -1：：：x ：：6即:2< x <6所以原不等式的解集是{ x |2< x <6}(3)解不等式x -1 > 2x -3 。

绝对值不等式公式有哪些该如何解

绝对值不等式公式有哪些该如何解
绝对值不等式是数学中一个重要的知识点，同时也是考试中时常出现的考点。

下面是由编辑为大家整理的“绝对值不等式公式有哪些该如何解”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。

绝对值不等式公式
||a|−|b||≤|a±b|≤|a|+|b|;
|ab|=|a||b|，|a/b|=|a|/|b|(b≠0);
|a|<|b| 可推出|b|>|a|;
3、∥a|−Ib∥≤la+b|≤la|+lb|当且仅当ab≤0时左边等号成立，ab≥0时右边等号成立;
4、|a−b|≤|a|+|−b|=|a|+|−1|∗|b|=|a|+|b|
怎样解绝对值不等式
解绝对值不等式的基本方法是去掉绝对值符号
1、平方，比如，|x|=3，可化为x^2=9，绝对值符号没有了;
2、讨论，即x≥0时，|x|=x;x<0时，|x|=-x，绝对值符号也没有了，令绝对值中的式子等于0，分出x的段，然后根据每段讨论得出的x值，取交集，综上所述即可。

含绝对值的不等式及其解法

含绝对值的不等式及其解法一．知识要点：1.绝对值不等式的类型及解法（1）b x f a R b a b x f a <<⇔∈<<+)(,()(或a x f b -<<-)(（2）)()()()()()(x g x f x g x f x g x f -<>⇔>或（3）)()()()()(x g x f x g x g x f <<-⇔<（4）[][]0)()()()()()()()(22<-⋅+⇔<⇔<x g x f x g x f x g x f x g x f（5）含多个绝对值符号的不等式——采用零点分段法来求解。

2．绝对值的几何意义：（1）x ——表示数轴上的动点x 到原点的距离.（2）b x a x -+-——表示数轴上的动点x 到两定点a 与b 的距离之和,且b x a x -+-b a -≥（3）b x a x ---——表示数轴上的动点x 到两定点a 与b 的距离之差,且≤--b a b x a x ---≤b a -3．绝对值的性质（1）b a ab ⋅=，（2）)0(≠=b b a b a ，（3）b a b a b a +≤+≤-当且仅当o ab ≥时右“=”成立，0≤ab 左“=”成立。

（4）b a b a b a +≤-≤-当且仅当0≤ab 时右“=”成立， o ab ≥左“=”成立。

练习题：1. 不等式243<-x 的整数解的个数为( )A . 0B . 1C . 2D .大于22. 若两实数y x ,满足0<xy ,那么总有( ) A y x y x -<+ B y x y x ->+ C y x y x -<-D x y y x -<+3. 已知0,<+>b a b a ,那么( )A . b a >B . b a 11>C . b a <D . ba 11< 4. 不等式13-<-x x 的解是( )A . 52<<xB . 36≥xC . 2>xD . 32≤<x5. 已知,b c a <-且,0≠abc 则( )A . c b a +<B . b c a ->C . c b a +<D . c b a ->6. 不等式652>-x x 的解集为( ). A 1{-<x x 或}6>x B . }32{<<x x C . ∅ D . 1{-<x x 或32<<x 或}6>x7. 若1lg lg ≤-b a ,那么( )A . b a 100≤<B . a b 100≤<C . b a 100≤<或a b 100≤<D .b a b 1010≤≤ 8. 函数22--=x x y 的定义域是( )A . ]2,2[-B . ),2[]2,(+∞--∞C . ),1[]1,(+∞--∞D . ),2[+∞9. 使不等式a x x <-+-34有解的条件是( )A . 1>aB . 1101<<aC . 101<aD . 1010<<a 10. )(13)(R x x x f ∈+=,当b x <-1有),,(4)(+∈<-R b a a x f 则b a ,满足( ) A . 3a b ≤ B . 3b a ≤ C . 3a b > D . 3b a ≥ 11. 不等式b a b a +≤+取等号的条件是 , b a b a +≤-取等号的条件 .12. 不等式x x ->+512的解集是13. 如果不等式21<x 和31>x 同时成立,则x 的取值范围是 14. 不等式xx x x ->-11的解是 13.函数xx x y -+=0)21(的定义域是 14.不等式331≤-<x 的解集是 15.解下列不等式:(1)xx 1<(2)321>++-x x16.解不等式:x x +<-1log 2log 4141。

绝对值不等式的常见形式及解法

绝对值不等式旳常见形式及解法
绝对值不等式解法旳基本思路是：去掉绝对值符号，把它转化为一般旳不等式求解，转化旳措施一般有：（1)绝对值定义法；(2)平措施；（3）零点区域法。

常见旳形式有如下几种。

１. 形如不等式:
运用绝对值旳定义得不等式旳解集为：。

在数轴上旳表达如图１。

2. 形如不等式:
它旳解集为:。

在数轴上旳表达如图2。

3. 形如不等式
它旳解法是：先化为不等式组:,再运用不等式旳性质来得解集。

４. 形如
它旳解法是：先化为不等式组:，再运用不等式旳性质求出原不等式旳解集。

例如:解不等式：
(1)
(2）
（3)
解:(１）由绝对值旳定义得:或解得
(2)两边同步平方得：
（３)令
得。

因此和3把实数分为三个区间，
即:；。

在这三个区间内来讨论原不等式旳解集。

以上所举例子,阐明在运用上述措施求绝对值不等式旳解集时,如能根据已知条件灵活地运用绝对值不等式旳常见形式，不仅可以简化运算、简便地求出它旳解集,并且有助于培养学生思维灵活性。

由于题是活旳，用既得措施去解决具体旳问题，还得有灵活多变旳大脑,让学生自己去体会数学措施旳有效和巧妙，这样才干行万里船、走万里路时，轻松如意。

(初二）。

解绝对值不等式的方法总结

解绝对值不等式的方法总结绝对值不等式是数学中一类重要的问题，它涉及到不等式的解法和绝对值函数的性质。

下面是解绝对值不等式的方法总结：一、定义法绝对值的定义是：|a|=a(a>0)，|a|=-a(a<0)，|a|=0(a=0)。

利用这个定义，我们可以将绝对值不等式转化为普通不等式，然后求解。

例如，解不等式|x-3|>4，我们可以转化为解不等式x-3>4或x-3<=-4，即x>7或x<=1。

二、实数性质法利用实数的性质，我们知道对于任意实数a和b，有|a+b|<=|a|+|b|。

这个性质可以用来解一些含有绝对值的三角不等式。

例如，解不等式|x+y|<=|x|+|y|，我们可以令x=a, y=b，得到|a+b|<=|a|+|b|，即-|a+b|<=|a|-|b|<=|a+b|，从而得到-1<=cosθ<=1，其中θ为a和b的夹角。

三、平方法对于形如|ax+b|>c的不等式，我们可以利用平方法将其转化为普通不等式。

具体地，我们先将ax+b的绝对值平方，得到a^2x^2+2abx+b^2>c^2，然后解这个普通不等式。

例如，解不等式|x+3|>4，我们先将x+3的绝对值平方，得到x^2+6x+9>16，即x^2+6x-7>0。

然后解这个不等式得到x<1或x>7。

四、零点分段法对于形如|f(x)|>g(x)的不等式，我们可以先令f(x)=0，找到可能使不等式成立的x的取值范围，然后在这些范围内分别讨论g(x)的符号情况，从而得到不等式的解集。

例如，解不等式|x^2-3x+2|>x+1，我们先令x^2-3x+2=0，得到x=1或x=2。

在区间(-∞,1)内，f(x)=-x^2+3x-2<0，所以在这个区间内不等式不成立。

在区间[1,2)内，f(x)=-x^2+3x-2>0且g(x)=x+1<0，所以在这个区间内不等式成立。

绝对值不等式的解法

绝对值不等式的解法作者：陈红辉来源：《理科考试研究·高中》2012年第09期解含有绝对值的不等式的关键是想方设法去掉绝对值，常见的解法有以下几种： 1.利用绝对值的定义|a|=a （a≥0），—a （a例1解不等式1解原不等式等价于：？2x—1≥0，1或？2x—11由？得1由？得—2≤x取并集，原不等式的解集为{x|—2≤x2.利用绝对值的性质（即公式法）当a>0时，或x当a=0时，不等式|x|>a的解集为（—∞，0）∪（0，+∞）；|x|当aa的解集为R；|x|例2解不等式|x2—3x—1|解原不等式等价于x2—3x—1x2—3x—1>—3，即x2—3x—4x2—3x+2>0.②由①得—1由②得x>2或x取交集，原不等式的解集为{x|—13.利用平方法|x|例3解不等式|3x+2|>|2x+3|.解将原不等式两边平方为9x2+12x+4>4x2+12x+9，即x2>1.所以原不等式的解集为{x|x>1或x 4.利用分段讨论法（即零点分段法）例4解不等式|x+2|+|x|>4.解当x—（x+2）—x>4，所以x当—2≤x≤0时，不等式化为x+2—x>4，所以x∈，当x>0时，x+2+x>4，所以x>1.综上所述，不等式的解集为{x|x1}.5.利用绝对值的几何意义例5解不等式|x—3|+|x+2|>5.解如图1所示，不等式|x—3|+|x+2|>5表示数轴上距A（3）、B（—2）两点的距离之和大于5的点.所以原不等式的解集为{x|x3}.6.利用不等式组法（即等价转化法）例6已知关于x的不等式|x+2|+|x—1|解令y=|x+2|+|x—1|，则由上知y≥3，将原可不等式变为不等式组y≥3，y因原不等式有解，如图2，易得a>3.例7已知关于x的不等式|x—4|—|x—3|≤a的解集为R，求a的取值范围.解令y=|x—4|—|x—3|，由上知—1≤y≤1，故可将原不等式等价变为不等式组—1≤y≤1，y≤a.因原不等式恒成立，如图3，易得a≥1.7.利用数形结合法例8解不等式|x+1|解画出y1=|x+1|和y2=|2x—3|的图象，如图4所示，求出它们的交点的横坐标分别是x=23和x=4.。