解三角形复习学案

一.正弦定理: 1. 正弦定理：

2. 变形：① a:b:c sin A:sin B:sinC

②角化边 a 2Rsi nA b 2Rs in B c 2Rsi nC

4.判断三角形解的个数：

△ ABC 中，已知锐角 A,边b ,则 ① a bsi nA 时，无解;

② a bsi nA 或a b 时，有一个解； ③

bsi nA a b 时，有两个解。

注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。 .三角形面积

注：由面积公式求角时注意解的个数 三.余弦定理 1.余弦定理：a 2 2

考点一 利用正、余弦定理解三角形

<33> (2014 •高考安徽卷)设厶ABC 的内角A, B, C 所对边的长分别是a , b , c ，且b = 3, c = 1, A = 2B.

(1)求a 的值；

n

⑵求sin A +才的值.

考点二 禾U 用正、余弦定理判定三角形的形状 ______

在厶ABC 中，a , b , c 分别为内角A , B , C 的对边，且2asin A = (2b + c)sin

(1)求A 的大小；

解三角形

③边化角 si nA 2R sin B 2R sin C c 2R

练习：△ ABC 中，① acosA bcosB ，则△ ABC 是 三角

形。

D

C

1 S ABC

2

S

ABC

1

absin C

2

bcsinA

acsin B

2 2

-(a b c )r ,其中r 是三角形内切圆半径 2

(其中R 是三角形外接圆的半径)

b2

2

c

注：后面的变形常与韦达定理结合使用。

⑵若sin B+ sin C= 1,试判断△ ABC的形状. (b c) 2bc(1 cosA) (a c)22ac(1 cosB)

(a b)22ab(1 cosC)

1 _______

2 ________ 2 __________2

△ ABC 中，D 是 BC 的中点，贝V AD _ J AB AC 2BC

2

4. 三角形的形状 ① 若a 2 b 2

c 2时,角C 是 _____ 角 2 2 2

② 若a b

c 时,角C 是 ______ 角 ③ 若a 2 b 2

c 2时,角C 是

角

5.应用

用余弦定理求角时只有一个解 四.应用题

1. 步骤：①由已知条件作出图形，②在图上标出已知量和要求的量;

③将实际问题转化为数学问题；

④作答

2. 注意方位角；俯角；仰角；张角；张角等

［高频考点］

考点三_与三角形面积有关的问题 __________________

（2014 •高考浙江卷）在厶ABC 中，内角A , B, C 所对的边分别为a , b , c.已知a z b , c ={3, cos^A — cos B

=：3sin Acos A — .'3sin Bcos B.

⑴求角C 的大小；

4

（2）若 sin A =，求△ ABC 的面积.

5

基础达标

n

1. （2014 •高考江西卷）在厶ABC 中，内角A, B, C 所对的边分别是a , b , c.若c 2二（a — b ）2+ 6, C=p ，则△

练习：锐角三角形的三边为1,2, x ,求x 的取值范围

钝角三角形的三边为 1,2, x ,求x 的取值范围

B + (2 c + b)s in C.

如：方位角是指北方向顺时针转到目标方向线的角。

ABC

的面积是（）

A. 3 D. 3 3

2. （2015 •安庆模拟）在厶ABC 中, A：B= 1 : 2, sin C= 1,则 a : b : c 等于（）

A. 1 : 2 : 3 B . 3 : 2 : 1 C . 1 : 3 : 2 D . 2 : 3 : 1

3. （2015 •石家庄质检）在厶ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c, sin A、sin B、sin C成等比数列，

且c = 2a,则cos B的值为（） 3 4 5 6

3（2013 •高考陕西卷）设厶ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若bcos C+ ccos B= asin宀则厶ABC 的形状为（）

A.锐角三角形 B .直角三角形C .钝角三角形 D .不确定

4（2015 •福建厦门检测）已知△ ABC中，设三个内角A, B, C所对的边长分别为a, b, c，且a= 1, b= .3, A

=30°,贝U c= __________ .

5（2014 •高考广东卷）在厶ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a, b ,c,已知bcos C+ ccos B= 2b,则* .

6（2013 •高考浙江卷）在锐角△ ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且2asin B= , 3b.

（1）求角A的大小；

⑵若a = 6, b+ c= 8,求厶ABC的面积.

8. （必修5P ii8练习⑶ 改编）在四边形ABCD中, Z DAB与Z DCB互补，A吐1, CD= DA= 2,对角线BD^ /7.

⑴求BC

⑵求四边形ABCD勺面积.

能力提升

9. 在△ ABC中，a、b、c分别为Z A、Z B、Z C的对边，已知a, b, c成等比数列，且a2- c2= ac- bc,则Z A= ________ △ ABC的形状为 _______ .

10. （选做题）（必修5%B组T3改编）是否存在满足以下条件的三角形,

①三边长是三个连续偶数；

②最大角是最小角的2倍.

若存在，求出该三角形的内切圆半径；若不存在，说明理由.

3. 三角形中线：