高考数学经典常考题型第17专题 函数的极值

第17专题训练 函数的极值

一、基础知识: 1、函数极值的概念:

(1)极大值:一般地,设函数()f x 在点0x 及其附近有定义,如果对0x 附近的所有的点都有

()()0f x f x <,就说()0f x 是函数()f x 的一个极大值,记作()0y f x =极大值,其中0x 是

极大值点

(2)极小值:一般地,设函数()f x 在点0x 及其附近有定义,如果对0x 附近的所有的点都有

()()0f x f x >,就说()0f x 是函数()f x 的一个极小值,记作()0y f x =极小值,其中0x 是

极小值点

极大值与极小值统称为极值

2、在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值。请注意以下几点:

(1)极值是一个局部概念:由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小

(2)函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个

(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值

(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点 3、极值点的作用:

(1)极值点为单调区间的分界点 (2)极值点是函数最值点的候选点

4、费马引理:()f x 在0x x =处可导,那么0x x =为()f x 的一个极值点⇒()0'0f x = 说明:①前提条件:()f x 在0x x =处可导

②单向箭头:在可导的前提下,极值点⇒导数0=,但是导数0=不能推出0x x =为

()f x 的一个极值点,例如:3y x =在()0,0处导数值为0,但0x =不是极值点

③费马引理告诉我们,判断极值点可以通过导数来进行,但是极值点的定义与导数无关(例如:y x =在()0,0处不可导,但是0x =为函数的极小值点) 5、求极值点的步骤: (1)筛选: 令()'

0f

x =求出()'f x 的零点(此时求出的点有可能是极值点)

(2)精选:判断函数通过()'

f x 的零点时,其单调性是否发生变化,若发生变化,则该点为极值点,否

则不是极值点

(3)定性: 通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点:先增后减→极大值点,先减后增→极小值点

6、在综合题分析一个函数时,可致力于求出函数的单调区间,当求出单调区间时,极值点作为单调区间的分界点也自然体现出来,并且可根据单调性判断是极大值点还是极小指点,换言之,求极值的过程实质就是求函数单调区间的过程。

7、对于在定义域中处处可导的函数,极值点是导函数的一些零点,所以涉及到极值点个数或所在区间的问题可转化成导函数的零点问题。但要注意检验零点能否成为极值点。 8、极值点与函数奇偶性的联系:

(1)若()f x 为奇函数,则当0x x =是()f x 的极大(极小)值点时,0x x =-为()f x 的极小(极大)值点

(2)若()f x 为偶函数,则当0x x =是()f x 的极大(极小)值点时,0x x =-为()f x 的极大(极小)值点 二、典型例题: 例1:求函数()x

f x xe -=的极值.

解:()()'

1x x x f x e xe x e ---=-=-

令()'0f

x >解得:1x < ()f x ∴的单调区间为:

()f x ∴的极大值为()1f e

=

,无极小值 小专题训练有话说:(1)求极值时由于要判定是否为极值点以及极大值或极小值,所以可考虑求函数的单调区间,进而在表格中加入一列极值点,根据单调性即可进行判断

(2)在格式上有两点要求:第一推荐用表格的形式将单调区间与极值点清晰地表示出来,第二在求极值点时如果只有一个极大(或极小)值点,则需说明另一类极值点不存在 例2:求函数1)1()(3

2

+-=x x f 的极值。 解:()()2

'

2312f

x x x =-⋅,令()'0f x >解得:0x >

()f x ∴的单调区间为

:

()f x ∴的极小值为()00f =

,无极大值

小专题训练有话说:本题若使用()'

f

x =解极值点,则1x =±也满足()'0f x =,但由于函数

通过这两个点时单调性没有发生变化,故1x =±均不是极值点。对比两个方法可以体会到求极值点归根结底还是要分析函数的单调区间 例3:求函数()f x =R 上的极值

思路:利用()'

f x 求出()f x 的单调区间,进而判断极值情况

解:()'

f

x =

令()'

0f

x >解得:()()2,02,x ∈-+∞

()f x ∴的单调区间为:

()f x ∴的极小值为()()220f f -==,极大值为()0f ==小专题训练有话说:在本题中如果仅令()'0f x =,则仅能解得0x =这一个极值点,进而丢解。对于2x =-与2x =,实质上()f x 在这两点处没有导数,所以在()'0f x =中才无法体现出来,由此我们可以得到以下几点经验 (1)利用()'

0f

x =来筛选极值点的方法在有些特殊函数中会丢解,此类点往往是不存在导函

数的点。例如:24y x =-中的2,2x x =-=,是极值点却不存在导数

(2)在寻找极值点时,若能求出()f x 的单调区间,则利用单调区间求极值点是可靠的 例4:已知函数bx ax x x f 23)(2

3

+-=,在点1=x 处有极小值1-,试确定b a ,的值,并求出

)(x f 的单调区间。

思路:()'

2

362f x x ax b =-+,由极值点()1,1-条件可得:()()'11

10

f f =-⎧⎪⎨=⎪⎩,两个条件可解出,a b ,

进而求出单调区间 解:()'

2362f

x x ax b =-+

在点1=x 取得极小值72

-

()()

'11113+213

36201102

a f a

b a b f b ⎧==-⎧⎪-=-⎧⎪⎪∴⇒⇒⎨⎨⎨-+==⎩⎪⎪⎩=-⎪⎩

()()()'2321311f x x x x x =--=+-,令()'0f x >,解得1

3

x <-或1x >

()f x ∴的单调区间为: