等差、等比数列与数列求和

高考专题突破三 高考中的数列问题 第1课时 等差、等比数列与数列求和

题型一 等差数列、等比数列的交汇

例1 记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；

(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列. 解 (1)设{a n }的公比为q .

由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧

a 1(1＋q )＝2，

a 1(1＋q ＋q 2)＝－6.

解得q ＝－2，a 1＝－2. 故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n . (2)由(1)可得

S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－23＋(－1)n

2n ＋

13.

由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n

2n ＋

3－2n ＋

23

＝2⎣⎡⎦⎤－23＋(－1)n

2n ＋

13＝2S n ，

故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列.

思维升华 等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想和通项公式、前n 项和公式求解.求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程.

跟踪训练1 (2019·鞍山模拟)已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 1＋1，S 3，S 4成等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若S 4，S 6，S n 成等比数列，求n 及此等比数列的公比. 解 (1)设数列{a n }的公差为d 由题意可知⎩⎪⎨⎪

⎧

2S 3＝S 1＋1＋S 4，a 22＝a 1a 5，

d ≠0，

整理得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2a 1

，即⎩⎪⎨⎪

⎧

a 1＝1，d ＝2，

∴a n ＝2n －1.

(2)由(1)知a n ＝2n －1，∴S n ＝n 2， ∴S 4＝16，S 6＝36， 又

S 4S n ＝S 2

6，∴n 2＝

362

16

＝81， ∴n ＝9，公比q ＝S 6S 4＝9

4.

题型二 新数列问题

例2 对于数列{x n }，若对任意n ∈N ＋，都 有x n ＋2－x n ＋1>x n ＋1－x n 成立，则称数列{x n }为“增差数列”.设a n ＝t (3n ＋n 2)－1

3n ，若数列a 4，a 5，a 6，…，a n (n ≥4，n ∈N ＋)是“增差数列”，

则实数t 的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎫215，＋∞

解析 数列a 4，a 5，a 6，…，a n (n ≥4，n ∈N ＋)是“增差数列”， 故得到a n ＋2＋a n >2a n ＋1(n ≥4，n ∈N ＋)， 即t [3n ＋

2＋(n ＋2)2]－13n ＋

2＋t (3n ＋n 2)－1

3n >2t [3n ＋1＋(n ＋1)2]－1

3n ＋

1(n ≥4，n ∈N ＋)， 化简得到(2n 2－4n －1)t >2(n ≥4，n ∈N ＋)， 即t >2

2n 2－4n －1对于n ≥4恒成立，

当n ＝4时，2n 2－4n －1有最小值15， 故实数t 的取值范围是⎝⎛⎭

⎫2

15，＋∞. 思维升华 根据新数列的定义建立条件和结论间的联系是解决此类问题的突破口，灵活对新数列的特征进行转化是解题的关键.

跟踪训练2 (1)定义“等积数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积.已知数列{a n }是等积数列且a 1＝2，前21项的和为62，则这个数列的公积为________. 答案 0或8

解析 当公积为0时，数列a 1＝2，a 2＝0，a 3＝60，a 4＝a 5＝…＝a 21＝0满足题意； 当公积不为0时，应该有a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 21＝2， 且a 2＝a 4＝a 6＝…＝a 20，

由题意可得，a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 20＝62－2×11＝40， 则a 2＝a 4＝a 6＝…＝a 20＝40

10

＝4，

此时数列的公积为2×4＝8. 综上可得，这个数列的公积为0或8.

(2)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5,8,13，….该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”若{a n }是“斐波那契数列”，则(a 1a 3－

a 22)(a 2a 4－a 23)(a 3a 5－a 24)…·(a 2 017·a 2 019－a 22 018)的值为________.

答案 1

解析 因为a 1a 3－a 22＝1×2－12＝1， a 2a 4－a 23＝1×3－22＝－1， a 3a 5－a 24＝2×5－32＝1， a 4a 6－a 25＝3×8－52＝－1，

…，

a 2 017a 2 019－a 22 018＝1， 共有2 017项，所以

(a 1a 3－a 22)(a 2a 4－a 23)(a 3a 5－a 24)…(a 2 017a 2 019－a 22 018)＝1.

题型三 数列的求和

命题点1 分组求和与并项求和

例3 (2018·呼和浩特模拟)已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2⎝⎛⎭⎫1a 1

＋1a 2

，

a 3＋a 4＝32⎝⎛⎭⎫1a 3

＋1a 4

.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝a 2n ＋log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)， 则a n ＝a 1q n －

1，且a n >0，

由已知得⎩⎨

⎧

a 1

＋a 1

q ＝2⎝⎛⎭⎫

1a 1

＋1

a 1

q ，

a 1q 2

＋a 1q 3

＝32⎝⎛⎭

⎫1a 1q 2

＋1a 1q 3

，

化简得⎩⎪⎨⎪

⎧

a 21q (q ＋1)＝2(q ＋1)，a 21

q 5(q ＋1)＝32(q ＋1)，

即⎩

⎪⎨⎪⎧

a 21q ＝2，a 21q 5＝32， 又∵a 1>0，q >0，