等差、等比数列与数列求和
等差、等比数列 等差与等比数列的通项公式,求和公式
( 2n-3)/2^n+（2n-1）/2^
❶-❷得
1/2Sn=1/2+2/2^2+2/2^3+….+2/2^n-(2n-1)/2^(n+1)
1/2Sn=1/2+2(1/2^2+1/2^3+…1/2^n)-(2n-1)/2^(n+1）
Sn=3-(1/2)^(n-2)-(2n-1)/2^n
谢谢ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
=1/d(1/an-1/an+1) (d为等差公差） 例：已知数列1/（1*4），1/（4*7），1/（7*10）……..1/（3n-2）
（3n+1)求Sn. 解：由已知得 an=1/(3n-2)(3n+1)
=1/3[1/(3n-2)-1/(3n+1)] Sn=1/3[1-1/4+1/4-1/7+1/7-1/10+……1/(3n-2)-1/(3n+1)]
=n/(3n+1)
2.错位相减法
• Cn=an*bn(an为等差数列，bn为等比数列）
例：已知an=(2n-1)/2^n,求Sn.
Sn=a1+a2+a3+…..an 得
Sn=1/2+3/2^2+5/2^3+…..+(2n-3)/2^(n-1)+….（2n-1)/2^n+0 ❶
1/2Sn=0+1/2^2+3/2^3+…+ （n+1）❷
2.等比数列的通项公 式
a a q a a q n1 • ,
• nm , 其中n m,也可以n m.
n
1
n
m
等差数列、等比数列相关性质和公式以及数列的求和方法
等差、等比的公式性质以及数列的求和方法 第一节：等差数列的公式和相关性质1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：d a a n n =--1（d 为公差）（2≥n ，*n N ∈）注：下面所有涉及n ，*n N ∈省略，你懂的。
2、等差数列通项公式：1(1)n a a n d =+-，1a 为首项，d 为公差推广公式：()n m a a n m d =+-变形推广：mn a a d mn --=3、等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a4、等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+（其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5、等差数列的判定方法（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔{}n a 是等差数列．（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a（3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。
（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。
数列求和常见五法
数列求和常见五法一、公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n 项和的公式来求.①等差数列求和公式：()()11122n n n a a n n S na d +-==+ ②等比数列求和公式：()()()11111111n n n na q S a q a a q q qq ⎧=⎪=-⎨-=≠⎪--⎩ 二、倒序相加法：如果一个数列{}n a ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。
这一种求和的方法称为倒序相加法. 例１：设等差数列，公差为，求证：的前项和= 证明：．．．．．．．．．．．① 倒序得：．．．．．．．．．．．．②①＋②得：又＝＝＝．．．＝针对训练：求值：222222222222123101102938101S =++++++++ 三、错位相减法：类似于等比数列的前n 项和的公式的推导方法。
若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差·比”数列，则采用错位相减法. 若n n n a b c =∙，其中{}n b 是等差数列，{}n c 是公比为q 等比数列，令112211n n n n n S b c b c b c bc --=++++ 则n qS =122311n n n n b c b c b c b c -+++++两式相减并整理即得例2、已知 12n n a n -=∙，求数列｛a n ｝的前n 项和S n .解：01211222(1)22n n n S n n --=+++-+ ①12121222(1)22n n n S n n -=+++-+ ②②—①得01121222221n n n n n S n n -=---=-+小结：错位相减法的求解步骤：①在等式两边同时乘以等比数列{}n c 的公比q ；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n 项和的公式求和.针对训练：、求和：()23230,1n n S x x x nx x x =++++≠≠四、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。
等差数列和等比数列的通项公式和求和公式
等差数列和等比数列的通项公式和求和公式等差数列和等比数列是数学中常见的数列形式，它们都有着重要的应用和计算方法。
下面，我们来详细介绍一下等差数列和等比数列的通项公式和求和公式。
一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差都是一个常数。
它的通项公式和求和公式如下：1. 通项公式设等差数列的首项为a，公差为d，第n项为an，则等差数列的通项公式为：an = a + (n - 1)d其中，a表示首项，n表示项数，d表示公差。
2. 求和公式设等差数列的首项为a，末项为an，项数为n，则等差数列的求和公式为：Sn = (a + an)n / 2其中，Sn表示等差数列的和。
等差数列的通项公式和求和公式在许多实际问题中有着重要的应用。
例如，假设某人每天存钱，第一天存1元，之后每天比前一天多存2元，问第n天存了多少钱？这个问题可以看做是一个等差数列求和的问题。
根据等差数列的通项公式和求和公式，我们可以轻松地计算出第n天存的钱数。
二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比都是一个常数。
它的通项公式和求和公式如下：1. 通项公式设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an，则等比数列的通项公式为：an = a * r^(n - 1)其中，a表示首项，n表示项数，r表示公比。
2. 求和公式设等比数列的首项为a，末项为an，公比为r，项数为n，则等比数列的求和公式为：Sn = a * (r^n - 1) / (r - 1)其中，Sn表示等比数列的和。
等比数列的通项公式和求和公式在许多实际问题中也有着重要的应用。
例如，我们常见的利滚利问题就可以通过等比数列来解决。
通过等比数列的通项公式和求和公式，我们可以轻松地计算出利滚利问题中的本金和利息的总和。
总结起来，等差数列和等比数列是数学中常见的数列形式，并且在实际问题中有着广泛的应用。
等差数列的通项公式和求和公式可以帮助我们计算等差数列的每一项和总和，等比数列的通项公式和求和公式同样可以帮助我们计算等比数列的每一项和总和。
数列与数列的等差和等比求和公式推导
数列与数列的等差和等比求和公式推导数列是数学中重要的一个概念，它被广泛应用于各个领域。
在数列中，有两种常见的数列模式，分别是等差数列和等比数列。
在学习数列的过程中，推导等差和等比数列的求和公式是非常重要的，它们能够帮助我们快速计算各种数列的总和。
首先，我们来推导等差数列的求和公式。
假设有一个等差数列a1, a2, a3, ...，其中首项为a1，公差为d，共有n个项。
我们的目标是求出这个等差数列的和Sn。
首先我们利用等差数列的性质，将这个数列表示出来：a1, a1 + d, a1 + 2d, ... , a1 + (n-1)d我们可以发现，数列中的每一项可以表示为首项a1加上一个等差数列的通项表达式。
接下来，我们对数列进行倒序排列如下：a1 + (n-1)d, a1 + (n-2)d, ... , a1 + d, a1现在，我们将这两个数列的对应项相加，并且将它们按照相反的顺序相加，有：S = (a1 + a1 + (n-1)d) + (a1 + d + a1 + (n-2)d) + ... + (a1 + (n-1)d + a1) = (n/2)(2a1 + (n-1)d)通过这个推导，我们得到了等差数列的求和公式：Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d)接下来，让我们来推导等比数列的求和公式。
假设有一个等比数列b1, b2, b3, ...，其中首项为b1，公比为q，共有n个项。
我们的目标是求出这个等比数列的和Sn。
与推导等差数列的求和公式类似，我们先将这个等比数列表示出来：b1, b1q, b1q^2, ... , b1q^(n-1)接下来，我们利用等比数列的性质，将公比q乘以等比数列的每一项，然后将这个数列表示为首项b1乘以一个等比数列的通项表达式：b1, b1q, b1q^2, ... , b1q^(n-1)接下来，我们用公比q乘以这个等比数列，并将它们相减，有：Sn - qSn = b1 + b1q + b1q^2 + ... + b1q^(n-1) - (b1q + b1q^2 + ... +b1q^n)这个等比数列可以进行化简，有：Sn - qSn = b1(1 + q + q^2 + ... + q^(n-1)) - (b1q + b1q^2 + ... + b1q^n)= b1(1 - q^n)/(1 - q) - b1q(1 - q^n)/(1 - q)将Sn - qSn两边合并，并整理可得：Sn(1 - q) = b1(1 - q^n)最后，我们求解Sn，得到等比数列的求和公式：Sn = b1(1 - q^n)/(1 - q)通过以上推导，我们得到了等差数列和等比数列的求和公式。
等差与等比数列和数列求和的基本方法和技巧
数列求和的基本方法和技巧数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考中占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n n n 二、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例1、已知数列{a n }中，a 1＝2，点(a n －1，a n )(n >1，且n ∈N *)满足y ＝2x －1，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝________.练一练①在递增数列{a n }中，n S 表示数列{a n }的前n 项和，)(,111++∈+==N n c c a a a n n 为常数，，且321,,S a a 成等比数列。
（1）求c 的值。
（2）若n nn n b b b N n a b 242,,)31(2+⋅⋅⋅++∈-⋅=++求。
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）111)1(1+-=+=n n n n a n （2）)11(1)(1kn n k k n n a n +-=+= （3）)121121(21)12)(12(1+--=+-=n n n n a n （4）n n n n a n -+=++=111练一练①在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n n n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.②已知各项均不相同的等差数列}{n a 的前四项和14=n S ，且731,,a a a 成等比数列。
等差等比数列的通项及求和公式
等差等比数列的通项及求和公式等差数列是指数列中的相邻两项之间的差值保持恒定的数列。
等差数列的通项公式和求和公式非常重要，在数学中得到广泛的应用。
1.通项公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，则等差数列的通项公式为：aₙ=a₁+(n-1)*d其中，aₙ表示数列的第n项。
2.求和公式：设等差数列的首项为a₁，末项为aₙ，共有n项，公差为d，则等差数列的前n项和的求和公式为：Sn=(a₁+aₙ)*n/2其中，Sn表示数列的前n项和。
等比数列是指数列中的相邻两项之间的比值保持恒定的数列。
等比数列的通项公式和求和公式也具有重要的应用。
1.通项公式：设等比数列的首项为a₁，公比为q，则等比数列的通项公式为：aₙ=a₁*q^(n-1)其中，aₙ表示数列的第n项。
2.求和公式：设等比数列的首项为a₁，共有n项，公比为q，则等比数列的前n项和的求和公式为：Sn=a₁*(1-q^n)/(1-q)当q=1时，数列为等差数列，求和公式退化为等差数列的求和公式。
三、等差数列和等比数列的应用等差数列和等比数列的应用非常广泛，包括但不限于以下几个方面：1.数学应用：等差数列和等比数列的通项公式和求和公式在数学中有重要的应用，如解方程、求极限、推导函数的表达式等。
2.物理应用：在物理学中，很多现象和规律都可以用等差数列和等比数列来描述，如自由落体运动、等速直线运动等。
3.经济应用：在经济学中，很多经济指标的增长变化都可以用等差数列和等比数列来表达，如GDP增长、利润增长、市场份额等。
4.工程应用：在工程学中，等差数列和等比数列的应用也非常广泛，如计算机网络的数据传输速率、通信系统的信号强度衰减等。
总之，等差数列和等比数列的通项公式和求和公式是数学中的重要概念和工具，深入理解和熟练应用这些公式对于解决实际问题具有重要意义。
高考数学-等差数列、等比数列与数列求和(教师版)
例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.【高考命题】一般数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．(1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；(2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1；(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n（4）{}n a 为等差数列，公差为d ，则11n n a a += 【小测】1．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________.解析 设等比数列的首项为a 1，公比为q .因为8a 2＋a 5＝0，所以8a 1q ＋a 1q 4＝0. ∴q 3＋8＝0，∴q ＝－2，∴S 5S 2＝a 11－q 51－q·1－q a 11－q 2＝1－q 51－q 2＝1－－251－4＝－11.3．(2012·无锡市第一学期期末考试)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 2＋a 5＝2a m ，则m ＝________.解析 设等比数列{a n }的公比为q ，显然q ≠1.由2S 9＝S 3＋S 6得2·a 11－q 91－q＝a 11－q 31－q＋a 11－q 61－q，所以2q 9＝q 3＋q 6，即1＋q 3＝2q 6.由于a 2＋a 5＝2a m ，所以a 1q ＋a 1q 4＝2a 1q m －1，即1＋q 3＝2q m －2，所以m －2＝6，所以m ＝8.4．数列{a n }是等差数列，若a 11a 10＜－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝________.解析 由题意，可知数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，所以公差小于零，故a 11＜a 10，又因为a 11a 10＜－1，所以a 10＞0，a 11＜－a 10，由等差数列的性质有a 11＋a 10＝a 1＋a 20＜0，a 10＋a 10＝a 1＋a 19＞0，所以S n 取得最小正值时n ＝19.【考点1】等差数列与等比数列的综合【例1】 (2011·江西卷)(1)已知两个等比数列{a n }，{b n }，满足a 1＝a (a ＞0)，b 1－a 1＝1，b 2－a 2＝2，b 3－a 3＝3，若数列{a n }唯一，求a 的值；(2)是否存在两个等比数列{a n }，{b n }，使得b 1－a 1，b 2－a 2，b 3－a 3，b 4－a 4成公差不为0的等差数列？若存在，求{a n }，{b n }的通项公式；若不存在，说明理由．解 (1)设{a n }的公比为q ，则b 1＝1＋a ，b 2＝2＋aq ，b 3＝3＋aq 2，由b 1，b 2，b 3成等比数列得(2＋aq )2＝(1＋a )(3＋aq 2)，即aq 2－4aq ＋3a －1＝0.*由a ＞0得，Δ＝4a 2＋4a ＞0，故方程*有两个不同的实根． 再由{a n }唯一，知方程*必有一根为0，将q ＝0代入方程*得a ＝13.(2)假设存在两个等比数列{a n }，{b n }使b 1－a 1，b 2－a 2，b 3－a 3，b 4－a 4成公差不为0的等差数列． 设{a n }的公比为q 1，{b n }的公比为q 2，则b 2－a 2＝b 1q 2－a 1q 1，b 3－a 3＝b 1q 22－a 1q 21，b 4－a 4＝b 1q 32－a 1q 31. 由b 1－a 1，b 2－a 2，b 3－a 3，b 4－a 4成等差数列，得 ⎩⎨⎧2b 1q 2－a 1q 1＝b 1－a 1＋b 1q 22－a 1q 21，2b 1q 22－a 1q 21＝b 1q 2－a 1q 1＋b 1q 32－a 1q 31，即⎩⎨⎧b 1(q 2－1)2－a 1(q 1－1)2＝0， ①b 1q 2(q 2－1)2－a 1q 1(q 1－1)2＝0. ②①×q 2－②得a 1(q 1－q 2)(q 1－1)2＝0， 由a 1≠0得q 1＝q 2或q 1＝1.(ⅰ)当q 1＝q 2时，由①②得b 1＝a 1或q 1＝q 2＝1，这时(b 2－a 2)－(b 1－a 1)＝0，与公差不为0矛盾． (ⅱ)当q 1＝1时，由①②得b 1＝0或q 2＝1，这时(b 2－a 2)－(b 1－a 1)＝0，与公差不为0矛盾．综上所述，不存在两个等比数列{a n }，{b n }使b 1－a 1，b 2－a 2，b 3－a 3，b 4－a 4成公差不为0的等差数列．[方法总结] 对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n 项和；分析等差、等比数列项之间的关系．往往用到转化与化归的思想方法．【变式】 (2012·苏州市自主学习调查)已知数列{a n }各项均为正数，其前n 项和为S n ，点(a n ，S n )在曲线(x ＋1)2＝4y 上．(1)求数列{a n }的通项公式；第(2)问求出{b n }的通项公式，用裂项相消求和． 解 (1)∵S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12，a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)， ∴S 2n ＝(S n －S n －1)⎝⎛⎭⎫S n －12， 即2S n －1S n ＝S n －1－S n ，① 由题意S n －1·S n ≠0，①式两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1S n －1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列．∴1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴S n ＝12n －1. (2)又b n ＝S n 2n ＋1＝12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. [方法总结] 使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．【变式】 在数列{a n }中，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1，又b n ＝2a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋nn ＋1＝1＋2＋…＋n n ＋1＝n n ＋12n ＋1＝n2.∴b n ＝2a n ·a n ＋1＝2n 2·n ＋12＝8nn ＋1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.∴S n ＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝8nn ＋1. 【考点4】错位相减法求和【例4】 设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项；(2)设b n ＝na n，求数列{b n }的前n 项和S n .审题视点 (1)由已知写出前n －1项之和，两式相减．(2)b n ＝n ·3n 的特点是数列{n }与{3n }之积，可用错位相减法． 解 (1)∵a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，① ∴当n ≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，② ①－②得3n －1a n ＝13，∴a n ＝13n .在①中，令n ＝1，得a 1＝13，适合a n ＝13n ，∴a n ＝13n . (2)∵b n ＝na n，∴b n ＝n ·3n .∴S n ＝3＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n ，③ ∴3S n ＝32＋2×33＋3×34＋…＋n ·3n ＋1.④ ④－③得2S n ＝n ·3n ＋1－(3＋32＋33＋…＋3n )， 即2S n ＝n ·3n ＋1－31－3n 1－3，∴S n ＝2n －13n ＋14＋34.[方法总结] 解答本题的突破口在于将所给条件式视为数列{3n －1a n }的前n 项和，从而利用a n 与S n 的关系求出通项3n －1a n ，进而求得a n ；另外乘公比错位相减是数列求和的一种重要方法，但值得注意的是，这种方法运算过程复杂，运算量大，应加强对解题过程的训练，重视运算能力的培养． 【变式】 (2011·辽宁卷)已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎨⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)n2n －1.即2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12(舍去)． 又∵a 25＝a 10＝a 5·q 5，∴a 5＝q 5＝25＝32， ∴32＝a 1·q 4，解得a 1＝2，∴a n ＝2×2n －1＝2n ，故a n ＝2n .4．(2012·重庆卷)已知数列{a n }为等差数列，且a 1＋a 3＝8，a 2＋a 4＝12. (1)求{a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，求正整数k 的值．解 (1)设数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎨⎧a 1＋a 3＝8，a 2＋a 4＝12，得⎩⎨⎧2a 1＋2d ＝8，2a 1＋4d ＝12，解得a 1＝2，d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n . (2)由(1)得S n ＝na 1＋a n 2＝n2＋2n 2＝n (n ＋1)．因为a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，所以a 2k ＝a 1·S k ＋2，即(2k )2＝2(k ＋2)(k ＋3)， 也即k 2－5k －6＝0，解得k ＝6或k ＝－1(舍去)．7．(2012·常州一中期中)已知数列{a n }与{2a n ＋3}均为等比数列，且a 1＝1，则a 168＝________.解析 设{a n }公比为q ，a n ＝a 1q n －1＝q n －1， 则2a 1＋3,2a 2＋3,2a 3＋3也为等比数列， ∴5,2q ＋3,2q 2＋3也为等比数列， 则(2q ＋3)2＝5(2q 2＋3)，∴q ＝1， 从而a n ＝1为常数列，∴a 168＝1.10．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________.13(4n－1)． 14.(2012·盐城市二模)在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 6＝21，记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，若S 2n ＋1－S n ≤m 15对n ∈N *恒成立，则正整数m 的最小值为________． 解析 由条件得公差d ＝21－54＝4，从而a 1＝1，所以a n ＝4n －3，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ＝1＋15＋…＋14n －3.11。
数学中的数列与等差等比数列求和问题解析
数学中的数列与等差等比数列求和问题解析在数学中，数列是由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。
而等差数列和等比数列是数学中常见的两类特殊数列。
在本文中，我们将分析和解析数学中的数列以及等差等比数列求和问题。
一、数列的基本概念数列是由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。
数列中的每个数称为该数列的项。
数列常使用a，表示第n个项，例如a₁表示数列的第一个项，a₂表示数列的第二个项。
二、等差数列求和问题解析等差数列是指数列中相邻两项之间的差值都相等的数列。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，则该等差数列的通项公式可以表示为：an = a₁ + (n-1)d求等差数列的前n项和可以使用以下公式：Sn = (n/2)(a₁ + an) = (n/2)(a₁ + a₁ + (n-1)d) = (n/2)(2a₁ + (n-1)d)三、等比数列求和问题解析等比数列是指数列中相邻两项之间的比值都相等的数列。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，则该等比数列的通项公式可以表示为：an = a₁ * r^(n-1)求等比数列的前n项和可以使用以下公式（当r不等于1时）：Sn = a₁(1 - r^n) / (1 - r)当r等于1时，等比数列的前n项和为：Sn = n * a₁四、数列与求和问题的应用举例例1：已知等差数列的首项为3，公差为2，求该等差数列的前10项之和。
解：根据等差数列的求和公式，代入已知条件，可得：Sn = (10/2)(3 + 3 + (10-1)2) = 5(6 + 18) = 120所以该等差数列的前10项之和为120。
例2：已知等比数列的首项为2，公比为3，求该等比数列的前5项之和。
解：根据等比数列的求和公式，代入已知条件，可得：Sn = 2(1 - 3^5) / (1 - 3) = 2(-242) / (-2) = 242所以该等比数列的前5项之和为242。
总结：数列与等差等比数列求和是数学中的重要概念和知识点。
高考数学-等差数列、等比数列与数列求和
（4）{an}是等差数列则{Sn/n}也是等差数列，首项与 相同，公差是 的1/2
2．数列求和的常用方法
(1)公式法：直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和
①等差数列的前n项和公式：
Sn＝ ＝na1＋ d；
②等比数列的前n项和公式：
(2)等差数列{bn}的各项为正，其前和为Tn，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn.
【考点3】裂项相消法求和
【例3】在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S ＝an .
(1)求Sn的表达式；
(2)设bn＝ ，求{bn}的前n项和Tn.
[方法总结]使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
(1)若qk＝2(k∈N*)，求a1＋a3＋a5＋…＋a2k－1；
(2)若对任意的k∈N*，a2k，a2k＋1，a2k＋2成等差数列，其公差为dk，设bk＝ .
求证：{bk}是等差数列，并指出其公差；
【变式】数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1)．
(1)求{an}的通项公式；
15．已知数列{an}是首项为a1＝ ，公比q＝ 的等比数列，设bn＋2＝3log an(n∈N*)，数列{cn}满足cn＝an·bn.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)求数列{cn}的前n项和Sn.
16．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．
等差数列与等比数列的求项与求和
等差数列与等比数列的求项与求和等差数列（Arithmetic Progression，简称AP）和等比数列（Geometric Progression，简称GP）在数学中都有重要的应用。
在解决与数列相关的问题时，经常需要求出数列的第n项以及前n项的和。
本文将介绍求解等差数列和等比数列的项与和的方法。
一、等差数列的求项与求和等差数列是指数列中相邻两项之间的差值是一个常数d。
数列的通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
1. 求第n项的通用公式要求解等差数列的第n项，可以使用通用公式an = a1 + (n-1)d。
其中，a1为首项，d为公差。
通过将n值代入公式，即可得到数列的第n项的值。
2. 求前n项和的通用公式等差数列的前n项和可以使用以下通用公式来计算：Sn = (n/2)(a1 + an)。
二、等比数列的求项与求和等比数列是指数列中相邻两项之间的比值是一个常数r。
数列的通项公式可以表示为an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。
1. 求第n项的通用公式要求解等比数列的第n项，可以使用通用公式an = a1 * r^(n-1)。
其中，a1为首项，r为公比。
通过将n值代入公式，即可得到数列的第n项的值。
2. 求前n项和的通用公式等比数列的前n项和可以使用以下通用公式来计算：Sn = a1 * (1 -r^n) / (1 - r)。
三、等差数列与等比数列的应用举例1. 求等差数列的第n项与前n项和假设有一个等差数列，首项a1为2，公差d为3，我们来求该数列的第10项的值以及前10项的和。
根据等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，代入a1=2，d=3，n=10，可求得第10项的值为2 + (10-1) * 3 = 2 + 9 * 3 = 29。
根据等差数列的前n项和公式Sn = (n/2)(a1 + an)，代入a1=2，an=29，n=10，可求得前10项的和为(10/2)(2 + 29) = 5 * 31 = 155。
等差数列与等比数列的性质与求和
等差数列与等比数列的性质与求和等差数列与等比数列是数学中常见的两种数列类型。
它们在数学和实际应用中有着广泛的应用。
本文将分别介绍等差数列与等比数列的性质以及它们求和的方法。
一、等差数列的性质与求和等差数列是指数列中每一项与其前一项之差都相等的数列。
如果一个数列满足这个条件，那么这个数列就是等差数列。
等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d其中，an表示数列中的第n项，a1表示数列的首项，d表示公差，n表示项数。
等差数列的性质如下：1. 任意项与对应项之差相等。
等差数列的每一项与其前一项之差都相等，即an - an-1 = d。
2. 等差数列的前n项和为n倍首项与公差之和的一半。
等差数列的前n项和Sn可以表示为：Sn = (a1 + an) * n / 2 = (2a1 + (n-1)d) * n / 2。
二、等比数列的性质与求和等比数列是指数列中每一项与其前一项的比都相等的数列。
如果一个数列满足这个条件，那么这个数列就是等比数列。
等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)其中，an表示数列中的第n项，a1表示数列的首项，r表示公比，n 表示项数。
等比数列的性质如下：1. 任意项与对应项之比相等。
等比数列的每一项与其前一项的比都相等，即an / an-1 = r。
2. 等比数列的前n项和为首项与公比的n次幂减一的商与公比减一的商。
等比数列的前n项和Sn可以表示为：Sn = (a1 * (r^n - 1)) / (r - 1)。
三、等差数列与等比数列的应用等差数列和等比数列在数学和实际应用中都有着广泛的应用。
等差数列的应用包括：1. 数学中常见的算术运算中，如加减、乘除等。
2. 财务、经济学中的计算和推导。
3. 物理学中时间、距离等方面的推导。
等比数列的应用包括：1. 数学中常见的指数运算，如乘方、开方等。
2. 经济学、金融学中的计算和推导。
3. 生物学、物理学中比例关系的研究。
等差与等比数列和数列求和的基本方法和技巧
高考专题复习——等差与等比数列一、知识结构与要点： 等差、等比数列的性质推广定义n n n n n n a a a a d a a -=-→=-++++1121 N n ∈ 通项d n a a t n )1(1-= —等差中项 abc 成等差2ca b +=⇔ 基本概念 推广 d m n a a m n )(-+=前n 项和nd n n a n a a S n )1(212)(121-+=+=等差数列当d>0(<0) 时{}n a 为递增（减）数列 当d=0时}{n a 为常数基本性质 与首末两端等距离的项之和均相等1121......+--+==+=+i n i n n a a c a a a a N i ∈q p n m a a a a q p n m +=+⇒+=+}{n a 中共k n n n .......21成等差则nk n n a a a ......,,21也成等定义:nn n n n n a aa a q a a 1121+++-=→= N n ∈ 通项 →⋅=-11n n q a a 等比中项：abc 成等比数列ac b =⇒2基本概念 推广m n q -⋅前n 项和=n S )1(11)1()1(111≠--=--=q qqa a qq a q n a n n 等比数列与首末两端等距离的两项之积相等1121......+--⋅===i n i n n a a a a a aq p n m a a a a q p n m ⋅=⋅⇒+=+}{n a 成等比，若k n n n ,...,21 成等差 则nk n a a a ,...,21 成等比基本性质 当101>>q a 或1001<<<q a 时 {}n a 为递增数列当101><q a 或1001<<>q a 时 {}n a 为递减数列当 q<0时 {}n a 为摆动数列 当 q=1时 {}n a 为常数数列二、典型例题例1．在等差数列中20151296=+++a a a a 求20S 解法一 d n a a n )1(1-+=Θ20)192(2)14()11()8()5(11111151296=+=+++++++=+++∴d a d a d a d a d a a a a a∴101921=+d a 那么100)192(102)(20120120=+=+=d a a a S解法二：由q p n m a a a a q p n m +=+⇒+=+20)(2)(2201156151296=+=+=+++a a a a a a a a Θ点评：在等差数列中，由条件不能具体求出1a 和d ，但可以求出 1a 与d 的组合式，而所求的量往往可以用这个组合式表示，那么用“整体代值”的方法将值求出（2）利用：q p n m a a a a q p n m +=+⇒+=+将所求量化为已知量也是“整体代值”的思想，它比用1a 和 d 表示更简捷。
等差等比数列求和公式大全_等比数列怎么求和
等差等比数列求和公式大全_等比数列怎么求和等差等比数列求和公式大全等差数列公式：等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2从等差数列的定义、通项公式、前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1(类似地：p1+pn=p2+pn-1=p3+pn-2=…=pk+pn-k+1)，k∈{1,2,…,n}.等比数列公式：(1)等比数列的通项公式是：An=A1×q^(n-1)若通项公式变形为an=a1/qxq^n(n∈Nx),当q0时，则可把an看作自变量n 的函数，点(n,an)是曲线y=a1/qxq^x上的一群孤立的点。
(2) 任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}(4)等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。
(5) 等比求和：Sn=a1+a2+a3+.......+an①当q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an×q)÷(1-q)②当q=1时， Sn=n×a1(q=1)记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1等比数列的求和公式的应用1. 数学题目在一些数学题目中，需要计算等比数列的前 n 项的和。
通过使用等比数列的求和公式，可以快速计算出结果。
这类题目通常涉及金融、物理、几何等领域。
2. 财务和投资计算在财务和投资领域，等比数列的求和公式可以用来计算复利问题。
当利率保持不变，每期利息与本金的比值也保持不变时，可以将问题转化为等比数列，并使用求和公式计算出累积本金与利息的总和。
第三讲 等差等比数列
第三讲 等差等比数列及数列求和(一)、等差等比数列必备知识点：等差数列等比数列备注 通项公式 d n a a n )1(1-+= 11-⋅=n n q a a*推广d m n a a m n )(-+=m n m n q a a -⋅=*变形（m+n=p+q ）q p n m a a a a +=+q p n m a a a a ⨯=⨯两边项数相等*特别m+n=2k （偶数） k n m a a a 2=+2k n m a a a =⨯中项公式112-++=n n n a a a112-+⋅=n n n a a a求和公式d n n na a a n S n n 2)1(2)(11++=+=q q a a q q a S n n n --=--=11)1(11 *性质1 等距等差 等距等比 *性质2 等距和等差等距和等比(二)、重点题型混合型【等差等比混合--分清主次】(三)数列求和【弄清共有多少项？整理完剩余什么项？】 1、公式法【借助常用结论、公式、构造等差等比】2)1(321+=++++n n n ； 6)12)(1(3212222++=++++n n n n ； 4)1(2)1(3212223333+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++++n n n n n 2、错位相减法【每项为等差等比项之积；2式同乘公比，再1式减2式】 3、裂项相消法【通项可拆成两项差】111)1(1+-=+n n n n ； ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k t k n n t 11)(；n n n n -+=++111（四）练习题【等差数列部分】一、选择题1.在-1和8之间插入两个数a,b ，使这四个数成等差数列，则 ( )A. a=2，b=5B. a=-2，b=5C. a=2，b=-5D. a=-2，b=-52、在等差数列｛a n ｝中，已知a 1=2,a 2+a 3=13，则a 4+a 5+a 6等于 A.40 B.42 C.43 D.453、设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++= A ．120 B ．105 C ．90 D ．754.在等差数列{a n }中，若a 1+a 4+a 7=39,a 2+a 5+a 8=33,则a 3+a 6+a 9的值为 （ ） （A ）30 （B ）27 （C ）24 （D ）215．一个直角三角形的三条边成等差数列，则它的最短边与最长边的比为 （ ） （A ）4∶5 （B ）5∶13 （C ）3∶5 （D ）12∶136．已知数列{a n }的通项公式为a n =(-1)n+1(4n-3),则它的前100项之和为 （ ） （A ）200 （B ）-200 （C ）400 （D ）-400 7．若a ≠b,数列a,x 1,x 2 ,b 和数列a,y 1 ,y 2 , y 3，b 都是等差数列，则 =--1212y y x x ( )A ．32B ．43C ．1D ．348. 等差数列{a n }中，若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450 ,则前9项和S 9= ( ) A.1620 B.810 C.900 D.6759．等差数列{a n }中，a 2和a 12是方程x 2-4x-6=0的2根，则a 5+a 6+a 7+a 8+a 9= ( ) A ． 8 B ．10 C ．12 D ．14 二、填空题：10.首项为24-的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围是 ． 11、已知等差数列{}n a 中，79416,1a a a +==，则16a 的值是 ．12、△ABC 中，如果a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b =_________.13、在等差数列{a n }中，已知a 2+a 7+a 8+a 9+a 14=70,则a 8= 。
等比数列等差数列求和公式
等比数列等差数列求和公式在数学中，等比数列和等差数列是两个非常重要的概念，经常被使用于各种数学问题中。
在本文中，我们将详细介绍等比数列和等差数列，并给出它们的求和公式，帮助读者更好地理解它们的特点和应用。
一、等差数列等差数列是指一个数列中每一项与其后一项之间的差值都相等的数列。
例如：1，3，5，7，9就是一个公差为2的等差数列。
等差数列的求和公式可以用以下公式表示：Sn=n×[2a1+(n–1)d]/2其中，Sn表示等差数列的前n项和，a1表示等差数列的首项，d 表示等差数列的公差，n表示等差数列的项数。
二、等比数列等比数列是指一个数列中每一项与其前一项之间的比值都相等的数列。
例如：1，2，4，8，16就是一个公比为2的等比数列。
等比数列的求和公式可以用以下公式表示：S=a1×(1–qn)/(1–q)其中，S表示等比数列的前n项和，a1表示等比数列的首项，q表示等比数列的公比，n表示等比数列的项数。
三、应用举例1、等差数列在数列求和、算数平均数、时间、距离等领域都有广泛的应用。
例如，假设小明从6:00开始在操场边上跑步，他每分钟的跑步速度增加了2米，而他最后一次记录进入7:00时跑了3200米，并且在训练期间从未停止，求他在训练期间跑了多少米？解：随着时间的推移，小明每分钟的速度都增加了2米，这意味着他的距离满足等差数列的形式，即3200，a2，a3，…，an。
我们可以根据等差数列的和公式计算小明跑了多少米。
首先，我们需要知道小明共训练了多少分钟。
假设小明训练了n 分钟，则a1=0,q=2,d=2，因此根据等差数列的求和公式，有：3200=n×[2×0+(n–1)×2]/23200=n×(2n–2)/23200=n×(n–1)n^2–n–3200=0n≈64.8故小明共跑了64.8分钟，跑了64个完整的1分钟和最后一次跑步不到1分钟，因此跑了64×120+80=77120米。
等比等差数列求和公式是什么
1、等比数列求和公式：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)（q≠1)。
通项公式：an=a1×q^(n-1)2、等差数列求和公式：Sn=na1+n(n-1)d/2。
3、文字公式：末项=首项+(项数-1)×公差；项数＝（末项－首项）÷公差+1；首项=末项-(项数-1)×公差；和=(首项+末项)×项数÷2；末项:最后一位数；首项:第一位数等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。
这个常数叫做等差数列的公差。
前n项和公式为: Sn=a1*n+ [n* (n-1)*d]/2或Sn= [n* (al+an)]/2。
等差数列：an=a1+(n-1)d；知道首尾==> Sn = (a1+an)n/2；知道首项==> Sn = [2na1+n(n-1)d]/2；等比数列：an = a1*q^(n-1)Sn = a1(1-q^n)/1-q当-1<q<1时，Sn非零当n趋于无穷，Sn = a1/1-q等差数列求和公式有①等差数列公式an=a1+(n-1)d、②前n项和公式为:Sn=na1 +n(n-1③若公差d= 1时:Sn=(a1+an④若m+n=p+q则:存在am+an=a⑤若m+n=2p则:am+an=2ap,以上n均等差数列是常见数列的一种可以用AP表示，如果一个数列从第二项起，每-项与它的前一项的差等于同一个常数这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差公差常用字母d表示。
①若m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则am×an=ap×aq；②在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列；③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=(aq)^2；④ 若G是a、b的等比中项，则G^2=ab（G ≠ 0）；⑤在等比数列中，首项a1与公比q都不为零；注意：上述公式中an表示等比数列的第n 项。
数列求和的8种常用方法(最全)
数列求和的8种常用方法(最全)一、前言在高中数学以及各类应用数学问题中，数列求和问题是非常常见的。
解决数列求和问题不仅需要对常用数列的规律进行深刻的理解，还需要掌握多种数列求和的方法。
本文将介绍数列求和的八种常用方法，并且会结合具体的数列实例来进行讲解。
尽力做到对每一种方法的介绍都能够做到极致详细，希望对读者有所帮助。
二、数列求和的8种常用方法1. 等差数列求和公式对于一个首项为$a_1$，公差为$d$，共有$n$ 项的等差数列，其求和公式为：$$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$$其中，$S_n$ 代表前$n$ 项的和。
举例：求和数列$1，3，5，7，9$ 的和。
分析：此数列的首项为1，公差为2，总共有5项。
解答：$$S_5 = \frac{5}{2}(2\times 1 + (5-1)\times 2)=25$$因此，数列$1，3，5，7，9$ 的和为25。
2. 等比数列求和公式对于一个首项为$a_1$，公比为$q$，共有$n$ 项的等比数列，其求和公式为：$$S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$$其中，$S_n$ 代表前$n$ 项的和。
举例：求和数列$2，4，8，16，32$ 的和。
分析：此数列的首项为2，公比为2，总共有5项。
解答：$$S_5=\frac{2\times (1-2^5)}{1-2}=-62$$因此，数列$2，4，8，16，32$ 的和为-62。
3. 几何级数通项公式求和对于一般形式为$a_1r^{n-1}$ 的数列，其求和公式为：$$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$$其中，$S_n$ 代表前$n$ 项的和。
举例：求和数列$1,-\frac{1}{2},\frac{1}{4},-\frac{1}{8},\frac{1}{16}$ 的和。
分析：此数列的首项是1，公比是$-\frac{1}{2}$，总共有5项。
数列求和的方法(8种)
数列求和的方法（共8种）1.公式法：1）等差数列求和公式；2）等比数列求和公式；3）可转化为等差、等比数列的数列；4）常用公式:（1）1n k k ==∑12123(1)n n n ++++=+；（2）21n k k ==∑222216123(1)(21)n n n n ++++=++；（3）31n k k ==∑33332(1)2123[]n n n +++++=；（4）1(21)n k k =-=∑2n1)-(2n ...531=++++2.分组求和法：把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解。
3.倒序相加法：如果一个数列{a n }，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。
如：等差数列的前n 项和即是用此法推导的。
4.裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。
适用于⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n n a a c 其中{n a }是各项不为0的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。
如：1）11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭和⎧⎫（其中{}n a 等差）可裂项为：111111(n nn n a a da a ++=-⋅；2）1d =。
（根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消求和）常见裂项公式：（1）111(1)1n n n n ++=-；（2）1111()()n n k k n n k ++=-；（3）1111(1)(1)2(1)(1)(2)[]n n n n n n n -++++=-；（4）11(1)!!(1)!nn n n++=-（5）常见放缩公式：=<=.5.错位相减法：适用于差比数列（如果{}n a 等差，{}n b 等比，那么{}n n a b 叫做差比数列）即把每一项都乘以{}n b 的公比q ，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。
等差数列等比数列相关性质和公式以及数列的求和方法
等差数列等比数列相关性质和公式以及数列的求和方法数列是数学中重要的概念之一，是由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。
其中，等差数列和等比数列是最常见且最重要的两种数列。
本文将介绍等差数列和等比数列的相关性质和公式，以及数列的求和方法。
一、等差数列等差数列是指数列中的任意两个相邻的项之差都相等的数列。
常见的等差数列通常以"a"开头，公差为"d"。
以"an"表示等差数列的第n项，其通项公式为：an = a + (n - 1)d其中，a为首项，d为公差，n为项数。
等差数列的性质和公式有：1.任意连续三个项可以构成一个等差中项数列，中项数等于项数减一2.等差数列的前n项和公式为：Sn=(2a+(n-1)d)*n/2其中，Sn为前n项和。
二、等比数列等比数列是指数列中的任意两个相邻的项之比都相等的数列。
常见的等比数列通常以"a"开头，公比为"r"。
以"an"表示等比数列的第n项，其通项公式为：an = a * r^(n - 1)其中，a为首项，r为公比，n为项数。
等比数列的性质和公式有：1.任意连续三个项可以构成一个等比中项数列，中项数等于项数减一2.等比数列的前n项和公式为：Sn=a*(r^n-1)/(r-1)其中，Sn为前n项和。
数列的求和是指计算数列中一定项数的所有项的和。
常见的数列求和方法有以下几种：1.直接相加法：即将数列中的每一项相加得到和。
适用于项数较少、数值较小的数列。
2.通项法：利用数列的通项公式计算出每一项的值，再将这些值相加得到和。
适用于项数较多的数列。
3.分组求和法：将数列分成若干组，然后计算每组的和，最后将每组的和相加得到总和。
适用于数列中存在规律性的分组。
4.差分法：对等差数列求和，可以通过差分法简化计算。
差分法是指利用等差数列的性质，将数列的求和问题转化为差分的求和问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高考专题突破三 高考中的数列问题 第1课时 等差、等比数列与数列求和题型一 等差数列、等比数列的交汇例1 记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列. 解 (1)设{a n }的公比为q .由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝－6.解得q ＝－2，a 1＝－2. 故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n . (2)由(1)可得S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－23＋(－1)n2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n2n ＋3－2n ＋23＝2⎣⎡⎦⎤－23＋(－1)n2n ＋13＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列.思维升华 等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想和通项公式、前n 项和公式求解.求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程.跟踪训练1 (2019·鞍山模拟)已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 1＋1，S 3，S 4成等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若S 4，S 6，S n 成等比数列，求n 及此等比数列的公比. 解 (1)设数列{a n }的公差为d 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧2S 3＝S 1＋1＋S 4，a 22＝a 1a 5，d ≠0，整理得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2a 1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1.(2)由(1)知a n ＝2n －1，∴S n ＝n 2， ∴S 4＝16，S 6＝36， 又S 4S n ＝S 26，∴n 2＝36216＝81， ∴n ＝9，公比q ＝S 6S 4＝94.题型二 新数列问题例2 对于数列{x n }，若对任意n ∈N ＋，都 有x n ＋2－x n ＋1>x n ＋1－x n 成立，则称数列{x n }为“增差数列”.设a n ＝t (3n ＋n 2)－13n ，若数列a 4，a 5，a 6，…，a n (n ≥4，n ∈N ＋)是“增差数列”，则实数t 的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎫215，＋∞解析 数列a 4，a 5，a 6，…，a n (n ≥4，n ∈N ＋)是“增差数列”， 故得到a n ＋2＋a n >2a n ＋1(n ≥4，n ∈N ＋)， 即t [3n ＋2＋(n ＋2)2]－13n ＋2＋t (3n ＋n 2)－13n >2t [3n ＋1＋(n ＋1)2]－13n ＋1(n ≥4，n ∈N ＋)， 化简得到(2n 2－4n －1)t >2(n ≥4，n ∈N ＋)， 即t >22n 2－4n －1对于n ≥4恒成立，当n ＝4时，2n 2－4n －1有最小值15， 故实数t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫215，＋∞. 思维升华 根据新数列的定义建立条件和结论间的联系是解决此类问题的突破口，灵活对新数列的特征进行转化是解题的关键.跟踪训练2 (1)定义“等积数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积.已知数列{a n }是等积数列且a 1＝2，前21项的和为62，则这个数列的公积为________. 答案 0或8解析 当公积为0时，数列a 1＝2，a 2＝0，a 3＝60，a 4＝a 5＝…＝a 21＝0满足题意； 当公积不为0时，应该有a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 21＝2， 且a 2＝a 4＝a 6＝…＝a 20，由题意可得，a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 20＝62－2×11＝40， 则a 2＝a 4＝a 6＝…＝a 20＝4010＝4，此时数列的公积为2×4＝8. 综上可得，这个数列的公积为0或8.(2)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5,8,13，….该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”若{a n }是“斐波那契数列”，则(a 1a 3－a 22)(a 2a 4－a 23)(a 3a 5－a 24)…·(a 2 017·a 2 019－a 22 018)的值为________.答案 1解析 因为a 1a 3－a 22＝1×2－12＝1， a 2a 4－a 23＝1×3－22＝－1， a 3a 5－a 24＝2×5－32＝1， a 4a 6－a 25＝3×8－52＝－1，…，a 2 017a 2 019－a 22 018＝1， 共有2 017项，所以(a 1a 3－a 22)(a 2a 4－a 23)(a 3a 5－a 24)…(a 2 017a 2 019－a 22 018)＝1.题型三 数列的求和命题点1 分组求和与并项求和例3 (2018·呼和浩特模拟)已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2，a 3＋a 4＝32⎝⎛⎭⎫1a 3＋1a 4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a 2n ＋log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)， 则a n ＝a 1q n －1，且a n >0，由已知得⎩⎨⎧a 1＋a 1q ＝2⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 1q ，a 1q 2＋a 1q 3＝32⎝⎛⎭⎫1a 1q 2＋1a 1q 3，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 21q (q ＋1)＝2(q ＋1)，a 21q 5(q ＋1)＝32(q ＋1)，即⎩⎪⎨⎪⎧a 21q ＝2，a 21q 5＝32， 又∵a 1>0，q >0，∴a 1＝1，q ＝2，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝a 2n ＋log 2a n ＝4n －1＋n －1， ∴T n ＝(1＋4＋42＋…＋4n －1)＋(0＋1＋2＋3＋…＋n －1) ＝4n －14－1＋n (n －1)2＝4n －13＋n (n －1)2.命题点2 错位相减法求和例4 (2018·大连模拟)已知数列{a n }满足a n ≠0，a 1＝13，a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1，n ∈N ＋.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，并求出数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝2na n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由已知可得，1a n ＋1－1a n＝2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为3，公差为2的等差数列， ∴1a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1， ∴a n ＝12n ＋1.(2)由(1)知b n ＝(2n ＋1)2n ，∴T n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n －1)2n －1＋(2n ＋1)2n ， 2T n ＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n －1)2n ＋(2n ＋1)·2n ＋1， 两式相减得，－T n ＝6＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n ＋1)2n ＋1. ＝6＋8－2×2n ×21－2－(2n ＋1)2n ＋1＝－2－(2n －1)2n ＋1， ∴T n ＝2＋(2n －1)2n ＋1. 命题点3 裂项相消法求和例5 在数列{a n }中，a 1＝4，na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n .(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和S n .(1)证明 na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n 的两边同时除以n (n ＋1)， 得a n ＋1n ＋1－a nn＝2(n ∈N ＋)，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为4，公差为2的等差数列.(2)解 由(1)，得a nn ＝2n ＋2，所以a n ＝2n 2＋2n ，故1a n ＝12n 2＋2n ＝12·(n ＋1)－n n (n ＋1)＝12·⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， 所以S n ＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n2(n ＋1). 思维升华 (1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时可从要证的结论出发，这是很重要的解题信息.(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的求和方法有错位相减法、分组转化法、裂项相消法等.跟踪训练3 (1)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝12，a n ＋1＝n ＋12n a n(n ∈N ＋).①证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等比数列；②求数列{a n }的通项公式与前n 项和S n . ①证明 ∵a 1＝12，a n ＋1＝n ＋12n a n ，当n ∈N ＋时，a nn≠0，又a 11＝12，a n ＋1n ＋1∶a n n ＝12(n ∈N ＋)为常数， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以12为首项，12为公比的等比数列.②解 由⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以12为首项，12为公比的等比数列，得a n n ＝12·⎝⎛⎭⎫12n －1， ∴a n ＝n ·⎝⎛⎭⎫12n . ∴S n ＝1·12＋2·⎝⎛⎭⎫122＋3·⎝⎛⎭⎫123＋…＋n ·⎝⎛⎭⎫12n ， 12S n ＝1·⎝⎛⎭⎫122＋2·⎝⎛⎭⎫123＋…＋(n －1)⎝⎛⎭⎫12n ＋n ·⎝⎛⎭⎫12n ＋1，∴两式相减得12S n ＝12＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －n ·⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝12－⎝⎛⎭⎫12n ＋11－12－n ·⎝⎛⎭⎫12n ＋1， ∴S n ＝2－⎝⎛⎭⎫12n －1－n ·⎝⎛⎭⎫12n ＝2－(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫12n . 综上，a n ＝n ·⎝⎛⎭⎫12n ，S n ＝2－(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫12n . (2)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且(t ＋1)S n ＝a 2n ＋3a n＋2(t ∈R ). ①求数列{a n }的通项公式；②若数列{b n }满足b 1＝1，b n ＋1－b n ＝a n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12b n ＋7n 的前n 项和T n . 解 ①因为a 1＝1，且(t ＋1)S n ＝a 2n ＋3a n ＋2， 所以(t ＋1)S 1＝a 21＋3a 1＋2， 所以t ＝5.所以6S n ＝a 2n ＋3a n ＋2.(ⅰ)当n ≥2时，有6S n －1＝a 2n －1＋3a n －1＋2，(ⅱ)(ⅰ)－(ⅱ)得6a n ＝a 2n ＋3a n －a 2n －1－3a n －1，所以(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－3)＝0， 因为a n >0，所以a n －a n －1＝3， 又因为a 1＝1，所以{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝3的等差数列， 所以a n ＝3n －2(n ∈N ＋). ②因为b n ＋1－b n ＝a n ＋1，b 1＝1， 所以b n －b n －1＝a n (n ≥2，n ∈N ＋)， 所以当n ≥2时，b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1 ＝a n ＋a n －1＋…＋a 2＋b 1＝3n 2－n2.又b 1＝1也适合上式， 所以b n ＝3n 2－n2(n ∈N ＋).所以12b n ＋7n ＝13n 2－n ＋7n＝13·1n (n ＋2)＝16·⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2，所以T n ＝16·⎝⎛⎭⎫1－13＋12－14＋…＋1n －1n ＋2 ＝16·⎝⎛⎭⎫32－1n ＋1－1n ＋2， ＝3n 2＋5n 12(n ＋1)(n ＋2).1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＝7，a 5＋a 7＝26. (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝S nn (n ∈N ＋)，求证：数列{b n }为等差数列.(1)解 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1， S n ＝n (a 1＋a n )2＝n [3＋(2n ＋1)]2＝n (n ＋2).(2)证明 因为b n ＝S n n ＝n (n ＋2)n ＝n ＋2，又b n ＋1－b n ＝n ＋3－(n ＋2)＝1，所以数列{b n }是首项为3，公差为1的等差数列.2.(2018·包头模拟)在数列{a n }和{b n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2，b 1＝3，b 2＝7，等比数列{c n }满足c n ＝b n －a n .(1)求数列{a n }和{c n }的通项公式； (2)若b 6＝a m ，求m 的值.解 (1)因为a n ＋1－a n ＝2，且a 1＝1，所以数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列. 所以a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1，即a n ＝2n －1. 因为b 1＝3，b 2＝7，且a 1＝1，a 2＝3， 所以c 1＝b 1－a 1＝2，c 2＝b 2－a 2＝4. 因为数列{c n }是等比数列， 且数列{c n }的公比q ＝c 2c 1＝2，所以c n ＝c 1·q n －1＝2×2n －1＝2n ，即c n ＝2n .(2)因为b n －a n ＝2n ，a n ＝2n －1， 所以b n ＝2n ＋2n －1. 所以b 6＝26＋2×6－1＝75. 令2m －1＝75，得m ＝38.3.已知递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2和a 4的等差中项. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝12log n n a a ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ·2n ＋1>62成立的正整数n 的最小值.解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝28，a 1q ＋a 1q 3＝2(a 1q 2＋2)， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，q ＝12，∵{a n }是递增数列，∴a 1＝2，q ＝2， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2·2n －1＝2n . (2)∵b n ＝12log n n a a ＝2n ·12log 2n ＝－n ·2n ， ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝－(1×2＋2×22＋…＋n ·2n )，① 则2S n ＝－(1×22＋2×23＋…＋n ·2n ＋1)，②②－①，得S n ＝(2＋22＋…＋2n )－n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1， 则S n ＋n ·2n ＋1＝2n ＋1－2， 解2n ＋1－2>62，得n >5， ∴n 的最小值为6.4.正项等差数列{a n }满足a 1＝4，且a 2，a 4＋2,2a 7－8成等比数列，{a n }的前n 项和为S n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝1S n ＋2，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设数列{a n }的公差为d (d >0)， 由已知得a 2(2a 7－8)＝(a 4＋2)2，化简得，d 2＋4d －12＝0，解得d ＝2或d ＝－6(舍)， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋2.(2)因为S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (2n ＋6)2＝n 2＋3n ，所以b n ＝1S n ＋2＝1n 2＋3n ＋2＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2， 所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋⎝⎛⎭⎫14－15＋…＋⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋2 ＝12－1n ＋2＝n2n ＋4.5.数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，(2n －1)a n ＋1＝(2n ＋3)S n (n ＝1,2,3，…).(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n 2n －1是等比数列；(2)求数列{S n }的前n 项和T n . (1)证明 ∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2n ＋32n －1S n， ∴S n ＋1＝2(2n ＋1)2n －1S n ，∴S n ＋12n ＋1＝2·S n2n －1， 又a 1＝1，∴S 11＝1≠0，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n 2n －1是以1为首项，2为公比的等比数列.(2)解 由(1)知，S n 2n －1＝2n －1， ∴S n ＝(2n －1)·2n －1，∴T n ＝1＋3×2＋5×22＋…＋(2n －3)·2n －2＋(2n －1)·2n －1，① 2T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n .② ①－②得－T n ＝1＋2×(21＋22＋…＋2n －1)－(2n －1)·2n ＝1＋2×2－2n －1×21－2－(2n －1)·2n＝(3－2n )·2n －3， ∴T n ＝(2n －3)·2n ＋3.6.设等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ，等差数列b 1，b 2，b 3，b 4的公差为d ，且q ≠1，d ≠0.记c i ＝a i ＋b i (i ＝1,2,3,4).(1)求证：数列c 1，c 2，c 3不是等差数列；(2)设a 1＝1，q ＝2.若数列c 1，c 2，c 3是等比数列，求b 2关于d 的函数关系式及其定义域； (3)数列c 1，c 2，c 3，c 4能否为等比数列？并说明理由. (1)证明 假设数列c 1，c 2，c 3是等差数列， 则2c 2＝c 1＋c 3，即2(a 2＋b 2)＝(a 1＋b 1)＋(a 3＋b 3).因为b 1，b 2，b 3是等差数列，所以2b 2＝b 1＋b 3.从而2a 2＝a 1＋a 3.又因为a 1，a 2，a 3是等比数列，所以a 22＝a 1a 3. 所以a 1＝a 2＝a 3，这与q ≠1矛盾，从而假设不成立. 所以数列c 1，c 2，c 3不是等差数列. (2)解 因为a 1＝1，q ＝2，所以a n ＝2n －1.因为c 22＝c 1c 3，所以(2＋b 2)2＝(1＋b 2－d )(4＋b 2＋d )，即b 2＝d 2＋3d ，由c 2＝2＋b 2≠0，得d 2＋3d ＋2≠0， 所以d ≠－1且d ≠－2.又d ≠0，所以b 2＝d 2＋3d ，定义域为{} |d ∈R d ≠－1，d ≠－2，d ≠0.(3)解 设c 1，c 2，c 3，c 4成等比数列，其公比为q 1， 则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋b 1＝c 1， ①a 1q ＋b 1＋d ＝c 1q 1， ②a 1q 2＋b 1＋2d ＝c 1q 21， ③a 1q 3＋b 1＋3d ＝c 1q 31. ④将①＋③－2×②得，a 1(q －1)2＝c 1(q 1－1)2，⑤ 将②＋④－2×③得，a 1q (q －1)2＝c 1q 1(q 1－1)2，⑥ 因为a 1≠0，q ≠1，由⑤得c 1≠0，q 1≠1. 由⑤⑥得q ＝q 1，从而a 1＝c 1.代入①得b 1＝0.再代入②，得d ＝0，与d ≠0矛盾. 所以c 1，c 2，c 3，c 4不成等比数列.。