7.1.2+弧度制+学案-苏教版高中数学必修第一册(wd无答案)
苏教版高中数学必修第一册7.1.2弧度制【授课课件】
类型 3 扇形的弧长及面积问题 【例 3】 已知扇形的周长为 8 cm． (1)若该扇形的圆心角为 2 rad，求该扇形的面积；
[解] 设扇形的半径为 r，弧长为 l，扇形面积为 S． 由题意得：2r＋l＝8，l＝2r， 解得 r＝2，l＝4，S＝12lr＝4．
7.1.2 弧度制
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必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
7.1.2 弧度制
知识点3
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必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
扇形的弧长公式及面积公式
(1)弧度制下的弧长公式：
如图，l是圆心角α所对的弧长，r是半径，则圆心角α的弧度数 l
的绝对值是|α|＝ r ，弧长l＝ |α|r ．特别地，当r＝1时，弧长l＝—
π rad＝_1_8_0_°__
1°＝1π80rad≈0.017 45 rad
1 rad＝
118800 ππ
度≈57.30°
7.1.2 弧度制
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必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
角度
0° 1° 30° 45° 60°
(3)引入弧度制的意义 角的概念推广以后，在弧度制下，角的集合与弧度数的集合之间 建立起一一对应关系，即角的集合与实数集 R 之间建立起一一对应 关系：每一个角都对应唯一的一个实数；反过来，每一个实数也都对 应唯一的一个角．
7.1.2 弧度制
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高一数学必修4—1.1.2弧度制教案(一) 苏教版
§1.1.2 弧度制（一）学习目标：1.理解1弧度的角、弧度制的定义.2.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算.3.熟记特殊角的弧度数学习重点：理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算.学习难点：弧度的概念及其与角度的关系.学习过程：一、自学质疑：（A）问题1 我们已经学习了“角的概念的推广”，请简述“角”的概念，并说明什么是“正角”、“负角”、“零角”.（A）问题2 度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。
初中几何中研究过角的度量，当时是用度做单位来度量角，1°的角是如何定义的？初中我们是如何计算弧长的，其公式是怎么样的？（B）问题3 请研究30°、60°的圆心角，当半径r为1，2，3时，分别计算对应的弧长，再计算弧长与半径的比。
你可以得到什么结论？（B）问题 4 弧度的定义____________________________________________它的单位是rad 读作______，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做______．如下图，用弧度制表示其圆心角大小依次为______、_______、______、______、二、数学运用：1 把'3067化成弧度 2 把rad π53化成度3 用弧度制表示：1 终边在x 轴上的角的集合2 终边在y 轴上的角的集合3 终边在坐标轴上的角的集合三、巩固练习： 1．完成下表，并熟记.A.πππk 222+-和（ｋ∈Ｚ） B.－3π和322πC.－97π和911πD. 9122320ππ和3． (用弧度制表示)第一象限角的集合为 ，第一或第三象限角的集合为 . 4． 7弧度的角在第 象限，与7弧度角终边相同的最小正角为 . 5．圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长，则其圆心角的弧度数为 .6．已知集合Ａ＝｛α｜2ｋπ≤α≤π＋2ｋπ，ｋ∈Ｚ｝，B ＝｛α｜－4≤α≤4｝，求A ∩B .7．现在时针和分针都指向12点，试用弧度制表示15分钟后，时针和分针的夹角.。
高一数学弧度制学案 苏教版
高一数学弧度制学案教学目标： 1.理解弧度制的意义；2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；3.记住公式||l rα=（l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆半径）。
4．扇形面积公式及其应用，求扇形面积的最值。
教学重、难点：1.弧度与角度之间的换算。
2.弧长公式、扇形面积公式的应用。
教学过程：一．复习：初中时所学的角度制，是怎么规定1o 角的？二．新课讲解：1．弧度角的定义：规定：练习：圆的半径为r ，圆弧长为2r 、3r 、2r 的弧所对的圆心角分别为多少？说明：一个角的弧度由该角的大小来确定，与求比值时所取的圆的半径大小无关。
思考：什么π弧度角？一个周角的弧度是多少？一个平角、直角的弧度分别又是多少？2．弧度的推广及角的弧度数的计算：规定：说明：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad 经常省略，即只写一实数表示角的度量。
3．角度与弧度的换算3602π=o rad 180π=orad 1801π=︒rad 0.01745≈rad 1rad =︒)180(π5718'≈o例题分析：例1 把'3067︒化成弧度．例2 把35πrad 化成度。
例3 用弧度制分别表示轴线角、象限角的集合。
（1）终边落在x 轴的非正、非负半轴，y 轴的非正、非负半轴的角的集合。
（2）第一、二、三、四象限角的弧度表示。
例4 将下列各角化为2(02,)k k Z πααπ+≤<∈的形式，并判断其所在象限。
（1）193π； （2）315-o ； （3）1485-o ．4．在角度制下，弧长公式及扇形面积公式如何表示？圆的半径为r ，圆心角为n o 所对弧长为：扇形面积为 ：5．弧长公式：在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式又如何表示？6．扇形面积公式：扇形面积公式为： oOA B说明：①弧度制下的公式要显得简洁的多了；②以上公式中的α必须为弧度单位．例5 （1）已知扇形OAB 的圆心角α为120o ，半径6r =，求弧长AB 及扇形面积。
7.1.2 高中必修三数学教案《弧度制及其与角度制的换算》
高中必修三数学教案《弧度制及其与角度制的换算》教材分析《弧度制及其与角度制的换算》是普通高中课程标准实验教科书人教版B 版必修三第七章第一单元第二节的内容。
本节课起着承上启下的作用——学生已经学习过的角的度量单位“度”，并且上节课学习了任意角的概念，学生已经掌握一些基本单位的转换方法，并能体会不同的单位制解决问题带来的方便；本节课还将为后续学习任意角的三角函数等知识做铺垫。
通过本节课的学习，我们很容易找出与角对应的实数，并且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单的形式。
另外，弧度制为学生今后学习三角函数带来很大的方便，同时，通过本节课的学习，学生可以认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是是相互联系、辩证统一的。
学情分析1、认知基础对于在任意角的基础上进行单位转化，学生有一定的基础。
2、认知障碍充分理解本节课的意义，用实数表示角的大小。
教学目标1、理解任意角、弧度制的概念，能正确进行弧度与角度的互化。
2、会判断三角函数值的符号。
3、理解任意三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。
教学重点理解并掌握弧度制的定义，熟练地进行角度制与弧度制的互化。
教学难点理解弧度制的定义，运用弧度制。
教学方法讲授法、演示法、讨论法、练习法。
教学过程一、直接导入在日常生活以及学科中，一个量可用不同的标准来度量，从而也就有了不同的单位以及单位之间的换算。
例如，长度既可以用米、厘米来度量，也可以用尺、寸来度量；面积可以用平方米来度量，也可以用亩来度量。
类似地，角除了使用角度来度量外，还可以使用本小节我们要学习的弧度来度量。
二、学习新知1、弧度制使用角度来度量角时，是把圆周等分成360份，其中每一份所对应的圆心角为1度，这种用度作单位来度量角的制度称为角度制。
角度制还规定1度等于60分，1分等于60秒，即1°= 60’，1’ = 60’’使用角度来度量角，其关键是“等分”。
考虑到面积、体积等都可以通过线的长度来刻画，那么，能否用“测量长度”来代替“等分”，从而引进另外一种度量角的制度呢？如图7-1-7是一种折叠扇。
苏教版必修第一册7.1角与弧度(第2课时)课件
S=
(2)
l
证明: (1) | a | , ∴ l |a|R,
R
又a > 0, ∴ l a R.
(3)S=
1
(2) ∵1 弧度是周角的 ,
2p
∴1
R
l
(变态三解形)
1
弧度的扇形面积是圆面积的 2p .
pR 2 1
则 a 弧度的扇形面积为 S a
aR 2 .
度
弧
度
0
0
30 45 60 90
p
p
p
p
6
4
3
2
请记住这些特殊角的弧度数.
120
2p
3
135 150 180 270 360
3p
4
5p
6
p
3p
2
2p
数学应用
练. 用弧度数表示下列角的集合:
(1) 终边与90角的终边重合;
(2) 终边与直线 y x 重合.
p
解: (1) 90 ,
lr
2p
1
那么圆心角 a 是周角的 ,
2p
1
即a 2p 360 ≈5718. 1
rad.
我们把弧长等于半径的圆心角叫做 1 弧度的角.
用 rad 表示, 读作弧度.
情景引入
问题2. 1 周角有多少弧度? 1 弧度有多少度?
1 周角=2p 弧度.
1 弧度≈5718.
3602p rad,
解: 由a 得 a
r
120
1
1
2
又由 S lr 得 S 144 120 8640 (mm ).
7-1-2弧度制 课件-高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册
情境导入
度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量也可以用千克、磅等不同
的单位制.不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也能用不同的单位制
呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢.
我们知道，角可以用度为单位进行度量，1度的角等于周角的
.这种用度作为单
练习
题型三：扇形的弧长与面积公式
例6.已知扇形的周长为10，面积为42 ，求扇形圆心角的弧度数.
解：设扇形圆心角的弧度数为(0 < < 2)，弧长为 ，半径为 ，据题意
+ 2 = 10，
1
有：
解得1 = 1，2 = 4.
= 4.
2
当1 = 1时， = 8，此时， = 8 ，舍去.
当 =r时， =1rad
当 =2r时， =2rad
当 =3r时， =3rad
所以|| = .
新知探索
根据上述规定，在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为 ，那么
|| = .
其中，的正负由角的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为
负.当角的终边旋转一周后继续旋转，就可以得到弧度数大于2或小于−2的角.
= (
)° ≈ . °
练习
例1.把下列角度与弧度进行互化.
12
(1)110°；(2)-32°；(3)−
；(4) ；(5)
5
7
解：(1)110° = 110 ×
(2)−32° = −32 ×
(3)−
(4)
7
12
5
7
=−
【新教材】高中数学苏教版必修第一册同步课件：7.1.2 弧度制
角度与弧度的互化
例1将下列角度数化为弧度数.
(1)11°15';
(2)252°.
π
π
解 (1)11°15'=11.25°=11.25×180 = 16.
π
7π
(2)252°=252×
= .
180
5
要点笔记“180°=π弧度”是进行“弧度数”与“角度数”换算的关键,在此基础
π
180
上可得 1°=
rad,1 rad=( )°.
180
π
变式训练1将下列弧度数化为角度数.
2π
(1) 5 ;
4π
(2)- .
3
2π
2π 180°
解 (1) 5 rad= 5 × π =72°.
4π
4π 180°
(2)- 3 rad=- 3 × π =-240°.
例2将下列各角化为2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的情势,并判断其是第几象限角.
(方法 2)设再一次重合时,分针转过的弧度数为 α,则 α=12(α-2π)(再一次重合时,
24π
时针比分针少转了一周,且分针的旋转速度是时针的 12 倍),解得 α=
.
11
24π
故到分针与时针再一次重合时,分针转过的弧度数是 11 .
反思感悟 两种方法得出的结果相同,其解答过程都是正确的,只1
π
+
2 360
1
π
−
2 360
解析 设两个角的弧度数分别为 x,y.
π
因为 1°=
rad,
180
1
π
+ = 1,
= 2 + 360 ,
20-21版：7.1.2 弧度制及其与角度制的换算（步步高）
反思 感悟
扇形的弧长和面积的求解策略 (1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝12 lR＝12 αR2(其中l是扇形的 弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π). (2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问 题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公 式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.
180
弧度化角度 2π rad＝_3_6_0_°_ π rad＝_1_8_0_°_ 1 rad＝ 1π80°≈57.30° 弧度数× 1π80°＝角度数
知识点三 弧度制下的弧长与扇形面积公式
设扇形的半径为r，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝ αr .
(2)扇形面积公式：S＝
跟踪训练2 (1)已知α＝15°，β＝ π，r＝1，θ＝105°，φ＝7π，则α，β，r，θ，
10
12
φ的大小关系为_α_<__β_<_r<__θ_＝__φ_.
解析 ∵β＝1π0×1π80°＝18°，r＝1×1π80°＝1π80°， φ＝71π2×1π80°＝105°，∴α&l如图所示，则终边在阴影部分内的角的集合为(用弧度制表示) __α_－__6π_＋__2_k_π_≤__α_≤__π3_＋__2_k_π_，__k_∈__Z_____.
B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D.用弧度表示的角都是正角
解析 对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”， 故A正确； 对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误； 对于C，不在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是不相等的，故C错误； 对于D，用弧度表示的角也可以不是正角，故D错误.
-苏教版(2019)必修第一册 7-1-2弧度制 课件(29张)
数学建构
8、扇形面积和周长公式
(1)面积公式： S 1 l r 1 r2
22
(2)周长公式：C l 2r
(其中l是扇形弧长，r是扇形半径)
数学应用 类型四 扇形的弧长及面积公式的应用
例 4、(1)若扇形的中心角为 120o，半径为 3，则此扇形的 面积为( )
5π
3π
2 3π
(A)π
数学应用 类型一 角度与弧度的互化
例1、将下列角度与弧度进行互化。
(1)210o (5) 3
5
(2)－75o (6)
12
(3)252o (7) 4
3
(4)11o15 (8)3.5
题后反思
将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之
后，牢记π rad＝180o即可求解．把弧度转化为角度时，
2、注意角度制与弧度制不能混用。
数学练习
(1)把－1480o 写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α≤2π；
(2)在[0o，15 o]内找出与25π角终边相同的角。
数学探究
问题5：在角度制下，扇形面积公式如何表示？
S n R2
360
问题6：在弧度制下，扇形面积公式如何表示？
S 1l r 1 r2
9、角集合与实数集之间关系
角的概念推广以后，用弧度来度量角，实际上角的集 合与实数集R之间之间建立一一对应的关系：
角的集合
实数集R
正角 零角
正实数 零
对应角的 弧度数
负角
负实数
课堂检测
1、课本第164~165页练习第1、2、3、4、6、8题。
2、下列角的终边相同的是___②____
① k 与 2k ，k∈Z
课堂新坐标高中数学苏教版必修学案：弧度制含解析
1.1.2弧度制1．了解弧度制．2．会进行弧度与角度的互化．(重点、难点)3．掌握弧度制下扇形的弧长公式和面积公式．(难点、易错点)[基础·初探]教材整理1弧度制的概念阅读教材P7的有关内容，完成下列问题．1．角度制：规定周角的1360为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．2．弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1_rad，用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大．()(2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等．()(3)长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度．()【答案】(1)×(2)×(3)×教材整理2角度制与弧度制的换算阅读教材P8的全部内容，完成下列问题．1．角度制与弧度制的换算2.3.正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.(1)3π5＝________；(2)－π6＝________； (3)－120°＝________rad ；(4)210°＝________rad. 【解析】 (1)3π5＝35×180°＝108°； (2)－π6＝－16×180°＝－30°； (3)－120°＝－120×π180＝－23π； (4)210°＝210×π180＝7π6.【答案】 (1)108° (2)－30° (3)－2π3 (4)7π6 教材整理3 扇形的弧长公式及面积公式 阅读教材P 9的全部内容，完成下列问题． 1．弧度制下的弧长公式：如图1-1-7，l 是圆心角α所对的弧长，r 是半径，则圆心角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr ，弧长l ＝|α|r .特别地，当r ＝1时，弧长l ＝|α|.图1-1-72．扇形面积公式：在弧度制中，若|α|≤2π，则半径为r ，圆心角为α的扇形的面积为S ＝|α|2π·πr 2＝12lr .若扇形的圆心角为π6，半径r ＝1，则该扇形的弧长为________，面积为________．【解析】 ∵α＝π6，r ＝1， ∴弧长l ＝α·r ＝π6×1＝π6，面积S ＝12lr ＝12×π6×1＝π12. 【答案】 π6 π12[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)－450°；(2)π10；(3)－4π3；(4)112°30′.【精彩点拨】利用“180°＝π”实现角度与弧度的互化．【自主解答】(1)－450°＝－450×π180rad＝－5π2rad；(2)π10rad＝π10×180°π＝18°；(3)－4π3rad＝－4π3×180°π＝－240°；(4)112°30′＝112.5°＝112.5×π180rad＝5π8rad.角度制与弧度制换算的要点：一抓抓住“正对正，负对负，零对0”这个要点二记记住常见角对应的弧度数三应用应用1°＝π180rad，1 rad＝⎝⎛⎭⎪⎫180π两个基本关系[再练一题]1．把下列角度化成弧度或弧度化成角度：(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－2π9.【解】(1)72°＝72×π180rad＝2π5rad；(2)－300°＝－300×π180rad＝－5π3rad；(3)2 rad＝2×180°π＝360°π≈114.60°；(4)－2π9 rad ＝－2π9×180°π＝－40°.阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图1-1-8所示). 【导学号：06460003】图1-1-8【精彩点拨】 先写出边界角的集合，再借助图形写区间角的集合． 【自主解答】 用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪－π6＋2k π<α<512π＋2k π，k ∈Z ， (2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ －3π4＋2k π<α<3π4＋2k π，k ∈Z ，(3)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ π6＋k π<α<π2＋k π，k ∈Z .表示角的集合，单位制要统一，不能既含有角度又含有弧度，如在“α＋2k π(k ∈Z )”中，α必须是用弧度制表示的角，在“α＋k ·360°，(k ∈Z )”中，α必须是用角度制表示的角.[再练一题]2．如图1-1-9，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)．① ②图1-1-9【解】 (1)如题图①，以OA 为终边的角为π6＋2k π(k ∈Z )；以OB 为终边的角为－2π3＋2k π(k ∈Z )，所以阴影部分内的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪－2π3＋2k π＜α＜π6＋2k π，k ∈Z. (2)如题图②，以OA 为终边的角为π3＋2k π(k ∈Z )；以OB 为终边的角为2π3＋2k π(k ∈Z )．不妨设右边阴影部分所表示的集合为M 1，左边阴影部分所表示的集合为M 2， 则M 1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ 2k π＜α＜π3＋2k π，k ∈Z ，M 2＝α⎪⎪⎪ 2π3＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z .所以阴影部分内的角的集合为M 1∪M 2＝α⎪⎪⎪2k π＜α＜π3＋2k π或2π3＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z .[探究共研型]探究1 【提示】 公式l ＝|α|r 中，“α”必须为弧度制角．探究2 在扇形的弧长l ，半径r ，圆心角α，面积S 中，已知其中几个量可求其余量？举例说明．【提示】 已知任意两个量可求其余两个量，如已知α，r ，可利用l ＝|α|r ，求l ，进而求S ＝12lr ；又如已知S ，α，可利用S ＝12|α|r 2，求r ，进而求l ＝|α|r .一个扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？【精彩点拨】设出扇形的圆心角、半径、弧长→用半径表示圆心角→求扇形面积→转化为二次函数求最值【自主解答】设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，则l＝αr，依题意l＋2r＝20，即αr＋2r＝20，∴α＝20－2rr.由l＝20－2r>0及r>0得0<r<10，∴S扇形＝12αr2＝12·20－2rr·r2＝(10－r)r＝－(r－5)2＋25(0<r<10)．∴当r＝5时，扇形面积最大为S＝25.此时l＝10，α＝2，故当扇形半径r＝5，圆心角为2 rad时，扇形面积最大．灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题.[再练一题]3．已知扇形OAB的圆心角为120°，半径为6，求扇形的弧长和面积．【解】∵α＝120×π180＝2π3.又r＝6，∴弧长l＝αr＝2π3×6＝4π.面积S＝12lr＝12×4π×6＝12π.[构建·体系]1．将下列各角的弧度(角度)化为角度(弧度)：(1)2π15＝________；(2)－6π5＝________；(3)920°＝________；(4)－72°＝________.【解析】(1)2π15＝215×180°＝24°.(2)－6π5＝－65×180°＝－216°.(3)920°＝920×π180＝469π rad.(4)－72°＝－72×π180＝－2π5rad.【答案】(1)24°(2)－216°(3)469π rad(4)－2π5rad2．(2016·北京高一检测)半径长为2的圆中，扇形的圆心角为2弧度，则扇形的面积为________．【解析】S＝12lr＝12r2·α＝12×4×2＝4.【答案】 43．圆的半径变为原来的3倍，而所对的弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________倍．【解析】设圆最初半径为r1，圆心角为α1，弧长为l，圆变化后的半径为r2，圆心角为α2，则α1＝l r 1，α2＝l r 2.又r 2＝3r 1， ∴α2α1＝r 1r 2＝r 13r 1＝13.【答案】 134．用弧度制表示终边落在x 轴上方的角的集合为________． 【解析】 若角α的终边落在x 轴的上方， 则2k π＜α＜2k π＋π，k ∈Z . 【答案】{}α| 2k π＜α＜2k π＋π，k ∈Z5．设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－π3.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限； (2)将β1，β2用角度制表示出来，并在[－720°，0°)范围内找出与它们终边相同的所有角．【导学号：06460004】【解】 (1)∵180°＝π rad ， ∴α1＝－570°＝－570×π180＝－19π6 ＝－2×2π＋5π6，α2＝750°＝750×π180＝25π6＝2×2π＋π6.∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限． (2)β1＝3π5＝3π5×180°π＝108°，设θ＝108°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤θ＜0°， 即－720°≤108°＋k ·360°＜0°， 得k ＝－2，或k ＝－1.故在[－720°，0°)范围内，与β1终边相同的角是－612°和－252°. β2＝－π3＝－60°，设γ＝－60°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤－60°＋k ·360°＜0°，得k ＝－1，或k＝0.故在[－720°，0°)范围内，与β2终边相同的角是－420°.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(二)弧度制(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．下列命题中，是假命题的序号为________．①“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位；②1°的角是周角的1360，1 rad的角是周角的12π；③1 rad的角比1°的角要大；④用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．【解析】①②③正确，④错误，角的大小与圆的半径无关．【答案】④2．下列各式正确的是________．①－270°＝－3π2；②405°＝9π4；③335°＝23π12；④705°＝47π12.【解析】 －270°＝－270×π180＝－3π2； 405°＝405×π180＝9π4； 335°＝335×π180＝67π36；705°＝705×π180＝47π12.故①②④正确． 【答案】 ①②④3．下列表示中不正确的是________．①终边在x 轴上的角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z }；②终边在y轴上的角的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝π2＋k π，k ∈Z ； ③终边在坐标轴上的角的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ α＝k π2，k ∈Z ； ④终边在直线y ＝x 上的角的集合是α⎪⎪⎪α＝π4＋2k π，k ∈Z .【解析】 ④错误，终边在直线y ＝x 上的角的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋k π，k ∈Z. 【答案】 ④4．(2016·南通高一检测)如图1-1-10所示，图中公路弯道处AB 的弧长l ＝________(精确到1 m)．图1-1-10【解析】 根据弧长公式，l ＝αr ＝π3×45≈47(m)． 【答案】 47 m5．(2016·泰州高一检测)已知扇形的周长是6 cm ，面积为2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________．【解析】 设圆心角为α，半径为r ，弧长为l ， 则⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝6，12lr ＝2，解得r ＝1，l ＝4或r ＝2，l ＝2，∴α＝lr ＝1或4. 【答案】 1或46．已知角α的终边与π3的终边相同，在[0,2π)内终边与α3角的终边相同的角为________. 【导学号：06460005】【解析】 由题意得α＝2k π＋π3(k ∈Z )， 故α3＝2k π3＋π9(k ∈Z )，又∵0≤α3<2π，所以当k ＝0,1,2时， 有α3＝π9，79π，139π满足题意． 【答案】 π9，79π，139π7．(2016·扬州高一检测)如图1-1-11，已知圆的半径为5，圆内阴影部分的面积是________．图1-1-11【解析】 ∵40°＝40×π180＝2π9，30°＝30×π180＝π6， ∴S ＝12r 2·2π9＋12r 2·π6＝175π36. 【答案】175π368．(2016·镇江高一检测)圆弧长度等于圆弧所在圆的内接正三角形的边长，则圆弧所对圆心角的弧度数为________．【解析】 设圆的半径为R ，则圆的内接正三角形的边长为3R ，弧长等于3R 的圆心角的弧度数为α＝3RR ＝ 3. 【答案】 3二、解答题 9．已知α＝2 000°.(1)把α写成2k π＋β(k ∈Z ，β∈[0,2π))的形式． (2)θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π)．求θ. 【解】 (1)α＝2 000°＝5×360°＋200°＝10π＋109π. (2)θ与α的终边相同，故θ＝2k π＋109π，k ∈Z ， 又θ∈(4π，6π)，所以k ＝2时，θ＝4π＋109π＝469π.10．如图1-1-12所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．图1-1-12【解】 (1)将阴影部分看成是由OA 逆时针转到OB 所形成．故满足条件的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪3π4＋2k π＜α＜4π3＋2k π，k ∈Z. (2)若将终边为OA 的一个角改写为－π6，此时阴影部分可以看成是OA 逆时针旋转到OB 所形成，故满足条件的角的集合为α⎪⎪⎪－π6＋2k π＜α≤5π12＋2k π，k∈Z .(3)将图中x 轴下方的阴影部分看成是由x 轴上方的阴影部分旋转π rad 而得到，所以满足条件的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k π≤α≤π2＋k π，k ∈Z. (4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转π rad 后可得到第四象限的阴影部分，所以满足条件的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2π3＋k π＜α＜5π6＋k π，k ∈Z . [能力提升]1．(2016·泰州高一检测)已知某中学上午第一节课的上课时间是8点，那么，当第一节课铃声响起时，时钟的时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是________．【解析】 8点时，时钟的时针正好指向8，分针正好指向12，由于时钟的每两个数字之间的圆心角是30°，即π6，故此时时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是π6×4＝2π3.【答案】 2π32．若角α的终边与π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________.【解析】 与α终边相同的角的集合为α⎪⎪⎪α＝2k π＋π3，k ∈Z .∵α∈(－4π，4π)，∴－4π＜2k π＋π3＜4π，化简得：－136＜k ＜116，∵k ∈Z ，∴k ＝－2，－1,0,1， ∴α＝－113π，－53π，π3，73π. 【答案】 －113π，－53π，π3，73π3．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝________.【解析】 如图所示，∴A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π]．【答案】 [－4，－π]∪[0，π]4．用30 cm 长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？【解】 设扇形的圆心角为α，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则有l ＋2r ＝30，∴l ＝30－2r ，从而S ＝12·l ·r ＝12(30－2r )·r ＝－r 2＋15r ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫r －1522＋2254.又∵r ＞0，且l ＝30－2r ＞0，∴0＜r ＜15，∴当半径r ＝152 cm 时，l ＝30－2×152＝15(cm)，扇形面积的最大值是2254 cm 2，这时α＝lr ＝2 rad ，∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为152 cm 时，面积最大，最大面积为2254 cm 2.。
高中数学第1章三角函数1.1.2弧度制学案(无答案)苏教版必修4(2021学年)
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1.1．2 弧度制１.A 把下列各角的弧度制和角度制互化：15︒;6730'︒;35radπ;58radπ2.A 已知扇形的圆心角为72︒,半径等于20cm,求扇形的面积。
３.Ａ请回答关于任意角α的下列问题:（１)若角α的终边位于y轴的负半轴，则α=＿_＿__＿_＿_____;（2）若角α是第二象限角,则α满足＿＿_______＿___ 。
4.A 若角5π6β=,锐角α与β的终边关于y轴对称,则α=___＿__＿＿_______＿;若任意角α、β的终边关于y轴对称,则α、β的关系是__＿______＿_＿＿_＿_。
5.Ａ已知角α的终边落在图示阴影部分区域,写出角α组成的集合．(1) ___；（2) ___．６．B 已知集合(){}2π21π,A k k k Z αα=≤≤+∈， {}44B x α=-≤≤,则A B 的范围（ ）A.∅Ｂ.{}4παα-≤≤ C.{}0παα≤≤D ．{}4π,0πααα-≤≤-≤≤或7.Ｂ 已知扇形的周长为10cm ,面积为24cm ,求扇形的圆心角的弧度数。
８.Ｂ 已知下列各个角:111π7α=-,2511π6α=，39α=，4855α=-︒;（1）其中是第三象限的角是____＿＿_＿_;(2)将它们化为另一种度量制下的数量分别是多少？9．B 已知扇形ＡOB 的周长是6cm,该扇形的中心角是１弧度,求该扇形的面积。
2022-2023学年高一数学 苏教版必修第一册7-1-2 弧度制同步教案(2)
知识点分析本节课将学习弧度制的概念及与角度制的转换，掌握弧度制下三角函数值的计算方法。
二、教学目标1.了解弧度制的概念及与角度制的转换；2.掌握弧度制下三角函数值的计算方法；3.熟练运用弧度制解决实际问题。
三、教学重难点1.弧度制的概念及与角度制的转换；2.弧度制下三角函数值的计算方法。
四、教学过程Step 1 引入（5分钟）1.提问：角的度量单位有哪些？它们之间有什么关系？2.引出本节课的主题：弧度制的概念及与角度制的转换。
Step 2 讲授（30分钟）1.弧度制的概念：以半径长为单位度量角的大小。
2.弧度制与角度制的转换：①弧度制角度数= (π/180)×角度制角度数；②角度制角度数= (180/π)×弧度制角度数。
3.弧度制下三角函数值的计算：sinA=对边/斜边=sina；cosA=邻边/斜边=cosa；tanA=对边/邻边=tana。
Step 3 练习（20分钟）1.将60° 转换为弧度制。
2.已知角 A 的弧度数为π/4，求其正弦、余弦、正切的值。
3.一条绳子的两端分别在地面上距离为 10m 的两点上，绳子被拉成一个角为45° 的三角形，求此时绳子的长度。
Step 4 总结归纳（5分钟）1.总结弧度制的概念及与角度制的转换方法；2.总结弧度制下三角函数值的计算方法。
五、板书设计高中数学7.1.2 弧度制1.概念：以半径长为单位度量角的大小。
2.弧度制与角度制的转换：①弧度制角度数= (π/180)×角度制角度数；②角度制角度数= (180/π)×弧度制角度数。
3.弧度制下三角函数：sinA=对边/斜边=sina；cosA=邻边/斜边=cosa；tanA=对边/邻边=tana。
六、教学反思本节课主要介绍了弧度制的概念及与角度制的转化方法，以及弧度制下三角函数值的计算。
在教学过程中，应注意引导学生掌握弧度制与角度制之间的转换，理解弧度制的优越性，并加强弧度制下三角函数的计算方法的讲解。
苏教版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第7章 三角函数 角与弧度-7.1.1 任意角
名称
定义
图示
正角
一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角
_
负角
一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角
_
零角
一条射线没有作任何旋转形成的角
_
知识点2. 象限角
以角的顶点为坐标原点，角的始边为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.名师点睛1.如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角.2.每一个象限都有正角和负角.3.无法比较象限角的大小.
跟踪训练1如图，射线先绕端点逆时针方向旋转到处，再按顺时针方向旋转至处，则______.
[解析]，.
ห้องสมุดไป่ตู้题型二】终边相同的角
例2写出与角终边相同的角的集合，并求在到的范围内与角终边相同的角.
解与角终边相同的角的集合为,}.当时，即,解得.又，所以或.当时，;当时，.综上所述，与角终边相同且在到的范围内的角为角和角.
跟踪训练2（1）(2023南京月考)与角的终边相同的角的集合是()
B
A.,}B.,}C.,}D.,}
[解析]因为，所以角与角的终边相同，所以与角的终边相同的角的集合为,}.故选B.
（2）下列角的终边与角的终边在同一直线上的是()
D
A.B.C.D.
[解析]与角的终边在同一直线上的角可表示为，，当时，.故选D.
规律方法1.由所在象限，确定所在象限的方法：（1）由的范围，求出的范围;（2）通过分类讨论把角写成的形式，然后判断所在象限.
2.由所在象限，确定所在象限，也可用如下方法判断：（1）画出区域：如图,将坐标系每个象限二等分，得到8个区域;（2）标号：自轴正向逆时针方向把每个区域依次标上一、二、三、四（如图所示）;
苏教版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第7章 三角函数 角与弧度-7.1.2 弧度制
忆和应用更易操作，如果已知角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，
这样可避免计算过程或结果出错.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】角度与弧度的互化
例1 将下列角度数化为弧度数,弧度数化为角度数.
（1）11∘ 15′;
135∘
3π
___
4
π
12
<
π
10
<1<
7π
,
12
所以 < < < = .
180∘
5π
6
π
___
7π
,试比较,,,,的大小.
12
解 = 15∘ = 15 × π180 = π12, = 105∘ = 105 × π180 = 7π12 = ,
因为
150∘
______
【题型二】用弧度制表示角的集合
() ABD
π 13π
2π
17π
A. B. C.− D.−
3
3
3
3
[解析]与− 终边相同的角的集合为{|
= + , ∈ },
当 = ， = ，−时，可得正确.故选.
角度2 用弧度制表示区域角
例3用弧度表示顶点在原点，始边重合于轴的正半轴，终边落在阴影部分内的角的
集合（不包括边界，如图）.
（1）
（2）
π
6
解（1）以为终边的角为 + 2π( ∈ )，以为终边的角为−
所以阴影部分（不包括边界）内的角的集合为{|
2π
−
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2022-2023学年高中数学 苏教版必修第一册7-1-1 任意角教学教案(2)
高中数学7.1.1 任意角教学教案教案名称：高中数学7.1.1 任意角教学教案教学目标：1. 理解任意角的概念，掌握角度和弧度的相互转换方法。
2. 掌握三角函数在任意角下的定义和基本性质。
3. 能够应用所学知识解决相关问题。
教学重点：1. 任意角的定义及其表示方法。
2. 角度和弧度之间的相互转换方法。
3. 三角函数在任意角下的定义和基本性质。
教学难点：1. 理解弧度制和角度制之间的关系，熟练进行相互转换。
2. 掌握三角函数在任意角下的定义及其基本性质，能够应用所学知识解决实际问题。
教学过程：Step 1：引入概念（10分钟）通过引导学生观察、思考和讨论，介绍什么是任意角。
让学生了解在平面直角坐标系中，不同位置上的线段与坐标轴形成的夹角都可以称为任意角，并通过实例演示，让学生理解并掌握如何用数值或符号表示一个任意角。
Step 2：弧度制（15分钟）详细讲解弧度制的定义及其基本性质。
讲解如何根据圆的性质确定弧度大小，并通过具体例子演示，让学生掌握弧度制与角度制之间的转换方法。
特别是要强调在实际问题中，我们需要掌握弧长、弧度和角度之间的关系，并通过实例演示，让学生理解并掌握如何进行相互转换。
Step 3：三角函数定义（20分钟）详细讲解三角函数在任意角下的定义及其基本性质。
通过引导学生观察和思考，介绍正弦、余弦、正切等三角函数的概念及其图像特点，并通过具体例子演示，让学生掌握三角函数在任意角下的计算方法。
同时，教师可以提供一些实例，让学生通过观察、分析和推理来确定三角函数值的正负和大小。
Step 4：应用分析（20分钟）提供一些实际问题案例，让学生应用所学知识进行分析和解决。
例如，在一个航空导航问题中求出飞机飞行方向与地面之间的夹角等参数。
教师可以给予指导和提示，引导学生利用所学知识进行推理和分析。
通过实例演示，让学生掌握如何运用所学知识解决实际问题，并能够独立应用于其他情境。
Step 5：练习与巩固（10分钟）提供一些涉及任意角的练习题目，让学生独立或小组合作完成。
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7.1.2+弧度制+学案-苏教版高中数学必修第一册
一、填空题
(★★) 1. 下列命题正确的是____________(填序号).
①－30°是第一象限角；
②750°是第四象限角；
③终边相同的角一定相等；
④－950°12′是第二象限的角.
(★★) 2. 角所在象限是____________.
(★) 3. 与405°角终边相同的角的集合是____________.
(★★) 4. 在－180°到360°范围内，与2000°角终边相同的角为____________.
二、解答题
(★) 5. 将下列角度与弧度进行互化.
（1）20°；（2）－15°；（3）（4）－.
(★★) 6. 把下列各角化成2 kπ＋α(0≤ α<2 π，k∈ Z)的形式，并指出是第几象限角. （1）－1500°；
（2）；
（3）－4.
(★★) 7. 把－1480°写成α＋2 kπ( k∈ Z)的形式，其中0≤ α≤2 π；
(★★) 8. 在[0°，720°]内找出与角终边相同的角.
(★★) 9. 一扇形的面积为1，周长为4，求圆心弧度数．
(★★) 10. 已知扇形 AOB的圆心角α为，半径长 R为6，求：
（1）弧 AB的长；
（2）扇形所含弓形的面积.
三、单选题
(★★) 11. 若扇形的中心角为，半径为，则此扇形的面积为（）A．B．C．D．
(★★) 12. 如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为（）A．2C．
B．D．(★★) 13. 下列命题中，正确的是( )
A．1弧度是1度的圆心角所对的弧
B．1弧度是长度为半径长的弧
C．1弧度是1度的弧与1度的角之和
D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角
(★) 14. 把化为角度是( )
A．270°B．280°C．288°D．318°(★) 15. 若θ＝－5，则角θ的终边在（）
A．第四象限B．第三象限
C．第二象限D．第一象限
(★★) 16. 已知半径为1的扇形面积为，则扇形的圆心角为（）A．B．C．D．。