矩阵的运算与初等变换
线性代数 2-5 矩阵的初等变换和初等矩阵
"" 因为初等矩阵可逆，所以充分性显然。.
设 Ann 可逆， 则存在初等矩阵P1 , Pm , 使 I Pm P1 A
所以 A1 Pm P1 Pm P1I
0
0
2
1
0
1
1(2)(1) 1 12(3) 0
0
0 1 0
1 0 1
2
1 1
2
1 1 0
0
1
0 1
2
1(3)(1) 0
0
0 1 0
0 0 1
5
2 1 1
2
1 1 0
1 2 0 1
.2
0L L L 1
i
Eij
M1
M
M
O
M
M
1M
1L L L 0
j
1
O
1
将单位矩阵的第i，j行（列）对换而得到；.
三、初等矩阵与初等变换的关系 例１ 计算下列初等矩阵与矩阵
A (aij )3n , C (cij )32 , B (bij )33 的乘积：
B ( AT A 2 AT )1
1 0 0 1 1 0 0
0
1
2
0
3
2
.
0 2 3 0 2 1
注意
1 用初等行变换法求逆,只能对(A I)进行行变换
矩阵的初等变换和初等矩阵
23xxx111
x2 3x2 6x2
2x3 x3 9x3
x4 x4 7 x4
4 2 9
增广矩阵的比较
B
2 1 4 3
1 1
6 6
1 2
2 9
1 1 2 7
42 94
B2
1 2 2 3
1 1 3 6
2 1
1 9
1 1 1 7
24 92
显然 把B的第3行乘以(1/2)即得B2
即 方程③两端乘以(1/2) B的第3行乘以(1/2)
E1ij(k)Eij(-k)
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四、初等矩阵与初等变换的关系
设A是一个mn矩阵 对A施行一次初等行变换 相当于在 A的左边乘以相应的m阶初等矩阵 对A施行一次初等列变换 相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵
3 0 1
例如
设
A 10
1 1
4 4 9
①②
①②
x1 x2 2x3 x4 4
423xxx111
x2 6x2 6x2
x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
2 4 9
增广矩阵的比较
B
21 43
1 1
6 6
1 2
2 9
1 1 2 7
42 94
1 1 2 1 4
B1
2 4 3
1 6
6
1 2 9
1 2
7
2 94
[i,j]
以数k乘第i行加到第j行上 记作 [i(k)j]
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三、初等矩阵
例如，对于3阶单位矩阵E
线性代数作业
普通高等教育“十一五”国家级规划教材大学数学系列线性代数标准化作业(A、B)吉林大学数学中心2012.9学院 班级 姓名 学号第 一 章 作 业（矩阵的运算与初等变换）1、计算题（1）()31,2,321⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（2）()211,2,13⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（3）()111213112312222321323333,,a a a x x x x a a a x a a a x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（4）12101031010101210021002300030003⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦.2、计算下列方阵的幂：（1）已知α=（1，2，3），β=（1，-1，2），A=αTβ，求A4;（2）已知024003000A=，求A n;3、通过初等行变换把下列矩阵化为行最简形矩阵：（1）3102 1121 1344;（2）21837 23075 32580 10320⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦.4、用初等变换把下列矩阵化为标准形矩阵：（1）32131 21313 70518---⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；（2）11343 33541 22320 33421--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦.5、利用初等矩阵计算：（1）1111100111100010111010011222011---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦；（2）已知AX =B ，其中111213111213122122232122232231323331323332A=B=,a a a a a a a a a a ,a a a a a a a a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦求X .6、设121132A=,B=,a b⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦若矩阵A与B可交换，求a、b的值.7、设A、B均为n阶对称矩阵，证明AB+BA是n阶对称矩阵.学院 班级 姓名 学号第 二 章 作 业（方阵的行列式）1、填空题（1）排列52341的逆序数是________,它是________排列； （2）排列54321的逆序数是________,它是________排列；（3）1~9这九数的排列1274i 56j 9为偶排列，则i_______， j _______； （4）4阶行列式中含有因子a 11a 23的项为________________； （5）一个n 阶行列式D 中的各行元素之和为零，则D =__________. 2、计算行列式21211132110xx x x xx展开式中x 4与x 3的系数.3、计算下列各行列式的值：（1）2116415012051422D--=----；（2）1111222111122211112221111222D=；（3）222b c c a a bD a b c a b c +++=；（4）3333333333333333a a D b b+-=+-；（5）102201202013D=.4、设4阶行列式的第2列元素依次为2、m 、k 、1，第2列元素的余子式依次为1、-1、1、-1，第4列元素的代数余子式依次为3、1、4、5，且行列式的值为2，求m 、k 的值.5、设3阶矩阵1122,2,3A=B=αβγγγγ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 其中α， β， γ1， γ2均为3维行向量，且|A |=18，|B |=2，求|A -B |.学院班级姓名学号第三章作业（可逆矩阵）1、填空题（1）设A＝100220345，A*为A的伴随矩阵，则(A*)1-=；（2）设A为4阶数量矩阵，且|A|=16，则A＝，1A＝，A*＝；（3）设A＝5200210000120011，则│A│＝，A1-＝；（4）设实矩阵A33⨯＝≠)(ija0，且011≠a，ijijAa=（ijA为ija的代数余子式），则│A│＝；（5）设A为2阶方阵，B为3阶方阵，且│A│＝1B＝21，则1(2)--O BA O＝.2、选择题（1）设同阶方阵A、B、C、E满足关系式ABC=E，则必有（）.（A）ACB=E；（B）CBA=E；（C）BAC=E；（D）BCA=E.（2）若A，B为同阶方阵，且满足AB＝0，则有（）.（A）A＝O或B＝O；（B）|A|＝0或|B|＝0；（C）(A＋B)2＝A2＋B2；（D）A与B均可逆.（3）若对任意方阵B，C，由AB=AC（A，B，C为同阶方阵）能推出B=C，则A满足（）.（A）A≠O；（B）A＝O；（C）|A|≠0；（D）|AB|≠0.（4）已知A为n阶非零方阵，若有n阶方阵B使AB＝BA＝A，则（）.（A）B为单位矩阵；（B）B为零方阵；（C）B1-＝A；（D）不一定.（5）若A，B，(B1-+A1-)为同阶可逆方阵，则(B1-+A1-)1-＝（）.（A）B1-+A1-；（B）B＋A；（C）(B+A)1-；（D）B(B+A)1-A.3、求下列矩阵的逆矩阵：（1）求1234113413440101A的逆矩阵；（2）求600000000012000023010000011000011100A的逆矩阵.4、已知210121012A，1223B，123421C =，求解下列矩阵方程：（1）AX=X+C; (2) AXB=C.5、设A为n阶可逆矩阵，将A的第i行和第j行对换后得矩阵B，试证：（1）B可逆；（2）求AB-1.6、设11221021512031311041A=⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦，求矩阵A的秩.7、设矩阵10002300,04500067A=⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦且满足B=(E+A)-1(E-A)，求(E+B)-1.8、设A为nm⨯矩阵，B为mn⨯矩阵，且m＞n，试证|AB|＝0.学院班级姓名学号第四章作业（线性方程组与向量组的线性相关性）1、填空题（1）设β=（3，- 4），α1=（1，2），α2=（-1，3），则β表成α1，α2的线性组合为；（2）设向量组α1=（1，1，0），α2=（1，3，-1），α3=（5，3，t）线性相关，则t= ；（3）设向量组α1=（1，1，0），α2=（1，3，-1），α3=（5，3，t）的秩为3，则参数t应满足的条件是；（4）n元线性方程组Ax=0有非零解时，它的每一个基础解系所含解向量的个数均为；（5）设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且R(A)=n-1，则方程组Ax=0的通解为.（6）设线性方程组123123123220,20,20x x xx x xx x xλ-+=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩的系数矩阵为A，且存在3阶非零矩阵B使得AB=O，则λ=.2、选择题（1）设β，α1，α2线性相关，β，α2，α3线性无关，则正确的结论是（）.（A ）α1，α2，α3线性相关； （B ）α1，α2，α3线性无关； （C ）α1可由β，α2，α3线性表示； （D ）β可由α1，α2线性表示. （2）设α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ）. （A ）α1，α2，α3 - α1； （B ）α1，α1+α2，α1+α3； （C ）α1+α2，α2+α3，α3+α1； （D ）α1-α2，α2-α3，α3-α1.（3）设n 元线性方程组Ax =0，且R(A )=n -3，且α1，α2，α3为线性方程组Ax =0的三个线性无关的解向量，则方程组Ax =0的基础解系为（ ）.（A ）α1+α2，α2+α3，α3+α1； （B ）α2 -α1，α3 -α2，α1 -α3；（C ）2α2 -α1，12α3 -α2，α1 -α3； （D ）α1+α2+α3，α3--α2，-α1-2α3.（4）设α1，α2是n 元线性方程组Ax =0的两个不同的解向量，且R （A ）=n -1，k 为任意常数，则方程组Ax =0的通解为（ ）.（A ）k α1； （B ）k α2； （C ）k (α1-α2)； （D ）k (α1+α2). （5）设向量组α1，α2是方程组Ax =0的基础解系，β1，β2是方程组Ax =b的两个解向量，k 1，k 2是任意常数，则方程组Ax =b 的通解为（ ）.（A ）1211222k k -++x=ββαα;（B ）1211212();2k k ++-+x=ββααα（C ）1211212();2k k ++-+x=ββαββ （D ）1211212().2k k -+++x=ββααα （6）设非齐次线性方程组Ax =b 所对应的齐次线性方程组为Ax =0，则下面结论中正确的是（ ）.（A ）若Ax =0有唯一解，则Ax =b 必有唯一解； （B ）若Ax =0有唯一解，则Ax =b 必无解；（C ）若Ax =0有无穷多个解，则Ax =b 也有无穷多个解； （D ）若Ax =b 有无穷多个解，则Ax =0也有无穷多个解.3、设α1，α2，α3是4元非齐次线性方程组Ax =b 的三个解向量，且R （A ）=3，其中T T 123(1,9,4,9),(2,0,0,4),ααα=+=求Ax =b 的通解.4、求解齐次线性方程组124512345123451234530,20,42650,2424160.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪-+-+=⎪⎨-+-+=⎪⎪+-+-=⎩5、求解非齐次线性方程组123451234512345123453,233414,343211,48431.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++-+=-⎪⎪-+++=⎩6、设向量组12341111101121,,,,,2324335185a b a ααααβ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦试问（1）当a 、b 为何值时，β能由α1，α2，α3，α4唯一线性表示？（2）当a 、b 为何值时，β不能由α1，α2，α3，α4线性表示？（3）当a 、b 为何值时，β能由α1，α2，α3，α4线性表示，但表示法不唯一，并写出表示式.7、已知4阶方阵A =（α1，α2，α3，α4），其中α1，α2，α3，α4均为4维的列向量，且α2，α3，α4线性无关，α1 = 2α2 - α3， 如果β = α1 + α2 + α4，求线性方程组Ax =β的通解.8、求向量组123452313712024,,,,3283023743ααααα--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的秩，并求出它的一个极大无关组.9、设非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系为ξ1，ξ2，…，ξn-r，且η*为Ax=b的一个特解，试证ξ1，ξ2，…，ξn-r，η*线性无关.学院班级姓名学号第五章作业（方阵的特征值、特征向量与相似化简）1、填空题（1）A为幂零矩阵(A k＝O，k为正整数)，则A的特征值；（2）设A是n阶方阵，|A|＝5，则方阵B＝AA*的特征值是，特征向量是；（3）设4阶方阵A相似B，且A的特征值为1111 ,,,2345，则|B-1-E|=；（4）若λ是n阶方阵A的特征方程的单根，则R(A－λE)＝；（5）若n阶可逆矩阵A的每行元素之和均为a，则2A-1+E的一个特征值为.2、选择题（1）设三阶方阵A有特征值0，－1，1，其对应的特征向量为P1，P2，P3，令P＝(P1，P2，P3)，则P－1AP＝（）.(A)100010000⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦；(B)100000001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；(C)000010001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；(D)000010001⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦.（2）与矩阵100010002Λ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似的矩阵是（）.110100101110(A)010;(B)021;(C)020;(D)011.002001001002 ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦（3）矩阵A 与B 相似，则（ ）.(A) |A －λE | = |B －λE | ； (B) A －λE = B －λE ；(C) A 与B 与同一对角阵相似； (D) 存在正交阵P ，使得P －1AP ＝B .（4） n 阶方阵A 与某对角矩阵相似，则（ ）.(A) R(A )= n ； (B) A 有n 个不同的特征值；(C) A 是实对称阵； (D) A 有n 个线性无关的特征向量.（5）设矩阵001010100B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似A ，则R （A -2E ）+R （A -E ）= （ ）. (A) 2； (B) 3； (C) 4； (D) 5.3、计算题（1）设α=（a 1，a 2，…，a n ）T ，（a 1≠0，n ＞1），A ＝ααT ，求A 的特征值和特征向量.（2）设3阶方阵A的特征值为1，－2，3，矩阵B＝A2－2A，求:①B的特征值；②B是否可对角化，若可以，试写出其相似对角形矩阵；③求|B|，|A－2E| .（3）在实数域上，设4阶实方阵A有两个不同的特征值，且满足条件AA T=2E，|A|＜0，求A*的两个特征值.（4）设有3阶方阵A满足A3-5A2+6A=O，且tr A=5，|A|=0，试求A的特征值，并判定A能否相似于对角矩阵，若能，求出相似的对角矩阵.（5）设A＝20002023a⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦与B＝10002000b⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似，①求a，b；②求一个可逆矩阵C，使C－1AC＝B.（6）设三阶矩阵A满足Aαi＝iαi (i＝1,2,3)，其中列向量α1＝(1,2,2)T，α2＝(2,－2,1)T，α3＝(－2,－1,2)T，试求矩阵A.（7）设矩阵22082006A a⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似于∧,求①a；②可逆矩阵P和对角矩阵∧，使P-1AP=∧.4、证明题（1）设实方阵A满足A T A=E，试证明A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1（2）设A是n阶正交矩阵，且|A|＝－1，证明－1是A的一个特征值.学院班级姓名学号第六章作业（二次型与对称矩阵）1、填空题(1) 二次型f(x1，x2，x3，x4)＝x12+3x22－x32+2x1x2+2x1x3－3x2x3的矩阵是，秩是.(2)二次型f(x1，x2，x3)＝112323135(, , )246785xx x x xx⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的矩阵为.(3) 设122331,A B⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦λλλλλλ，则存在可逆矩阵P，使得P T AP=B，其中P =.(4) 二次型f(x1，x2，x3)＝2x12+x22+x32－2tx1x2+2x1x3正定时，t应满足的条件是.(5) 设A为实对称矩阵，且|A|≠0，则把二次型f＝x T Ax化为f＝y T A－1y的线性变换是x＝y.2、选择题(1) 实二次型f＝x T Ax为正定的充分必要条件是（）.(A) R (A ) = n ； (B) A 的负惯性指数为零； (C) |A | > 0 ； (D) A 的特征值全大于零.(2)设1111400011110000,,1111000011110000A= B=⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则A 与B 的关系为（ ）. (A) 合同且相似； (B) 合同但不相似；(C) 相似但不合同； (D) 既不相似也不合同. （3）设矩阵320242025A=⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦正定，则相似的对角矩阵为（ ）.(A)1 210⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (B) 2010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (C) 147⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (D) 671⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. (4) 设A 、B 为n 阶正定矩阵，则（ ）是正定矩阵.(A) k 1A ＋k 2B ； (B) A *+B *； (C) A －1－B －1 ； (D) AB . (5) 设A =（a ij ）n ×n 为实对称矩阵，二次型211221()ni i in n i=f=a x a x a x +++∑为正定的充要条件是（ ）.（A ）|A |=0； （B ）|A |≠0； （C ）|A |＞0； （D ）|A |＜0.3、计算题(1) 已知二次型f(x1，x2，x3)＝5x12+5x22+cx32－2x1x2+6x1x3－6x2x3的秩为2，求c.(2) 设二次型f = 4x12+3x22+2x2x3+3x32.①求一个正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换；②用配方法将二次型化为标准形，并写出所用的可逆线性变换；③用合同变换法将二次型化为标准形，并写出所用的可逆线性变换.(3) 求一正交变换，将二次型f(x1，x2，x3)＝5x12+5x22+3x32－2x1x2+6x1x3－6x2x3化为标准形，并指出f(x1，x2，x3)＝1表示何种二次曲面.(4) 求二次型f(x1，x2，x3)＝x12+3x32＋2x1x2+4x1x3+2x2x3的正、负惯性指数及符号差.(5) 设n元二次型f(x1，x2，…，x n)＝(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(x n-1+a n-1x n)2+(x n+a n x1)2其中a i(i=1,2,…,n)为实数，试问当a1，a2，…，a n-1，a n满足什么条件时，二次型f(x1，x2，…，x n)为正定二次型？4、证明题（1）设f(x1，x2，…，x n)＝x T Ax 是一实二次型，λ1，λ2，…，λn是A的特征值,且λ1≤λ2 ≤…≤λn.证明对于任一实n维列向量x有λ1x T x≤x T Ax≤λn x T x.（2）设A是n阶正定矩阵，证明|A＋2E|>2n.（3）设A m×n为实矩阵，若R（A）=n，试证A T A为正定矩阵.（4）设A为m阶的正定矩阵，B为m×n实阵，试证B T AB正定的充分必要条件是R（B）=n.学院班级姓名学号第七章作业（线性空间与线性变换）1、下列集合对于给定的运算是否构成实数域R上的线性空间，如果是，找出一个基，并求维数.（1）V0={x=(0,x2,…,x n)| x2,…,x n∈R},对于通常向量的加法和数乘；（2）V1={ x=(1,x2,…,x n)| x2,…,x n∈R},对于通常向量的加法和数乘；（3）全体n阶实矩阵集合R n×n，定义加法：∀A、B∈R n×n A⊕B＝AB－BA数乘：按通常的矩阵数乘.（4）S＝0bb a⎡⎤⎢⎥⎣⎦－a，b∈R（5）V={ x=(x1,x2,…,x n)| x1+x2+…+x n=0；x1, x2,…,x n∈R},对于通常向量的加法和数乘.2、全体实反对称矩阵的集合W,对于通常矩阵的加法和数乘是否构成R n×n 的子空间？为什么？3、求线性空间R 4中由向量组123421050121,,,10122311αααα-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦所生成的子空间的维数和一个基.4、求数域F 上三阶实对称矩阵在通常的矩阵的加法和数乘下构成的线性空间的基与维数.5、设线性空间R n×n中一组基101 11E⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，21011E⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，31101E⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，41110E⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求0123A⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦在这组基下的坐标.6. 已知1，x，x2，x3是R[x]4的一组基：(1) 证明1，1＋x，(1＋x)2，(1＋x)3也是R[x]4的一组基；(2) 求由基1，x，x2，x3到基1，1＋x，(1＋x)2，(1＋x)3的过渡矩阵；(3) 求由基1，1＋x，(1＋x)2，(1＋x)3到基1，x，x2，x3的过渡矩阵；(4) 求a3x3＋a2x2＋a1x＋a0对于基1，1＋x，(1＋x)2，(1＋x)3的坐标.7、设R 3的两组基分别为1231000,1,0001εεε⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 及 '''1231110,1,1.001εεε⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦求R 3中的向量α=（a 1,a 2,a 3）T 分别在这两组基下的坐标.8、设有两组基ξ1＝(0，1，1)T , ξ2 = (1，0，1)T，ξ3 = (1，1，0)T；η1＝(1，0，0)T , η2 = (1，1，0)T，η3 = (1，1，1)T.求（1）由基ξ1，ξ2 ，ξ3到基η1，η2 ，η3的过渡矩阵C；（2）α＝η1＋3η2 ＋5η3关于基ξ1，ξ2 ，ξ3的坐标；β＝ξ1＋2ξ2 ＋3ξ3关于基η1，η2 ，η3的坐标.9、验证1231231,1,1032ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦为R 3的一个基，并求向量12590,8713ββ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦在这组基下的坐标.10. 设R 3中由基α1，α2 ，α3到基β1，β2，β3的过渡矩阵为111111111A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦－－－. (1) 若基α1 = (1，0，0) ，α2 = (1，1，0)，α3 = (1，1，1) ， 试求基β1，β2 ，β3；(2) 若基β1 = (0，1，1) ，β2 = (1，0，2)，β3 = (2，1，0)， 试求基α1，α2 ，α3.11. 在R[x]3中有三组基(1) 1，x，x2；(2) x＋1，x＋x2，x2；(3) 1，x－x2，x＋x2.α在基(1)下的坐标为(1，0，－1)T，β在基(2)下的坐标为(2，1，0)T，γ在基(3)下的坐标为(0，－1，1)T，求α＋β＋γ在基1，x，x2下的坐标，并求由基(2)到基(3)的过渡矩阵.12、已知R 3中的两个基分别为123001,,011a b c ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 及 123111,1,11y z x βββ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 且由基α1，α2 ，α3到基β1，β2 ，β3的过渡矩阵为111012020C=--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 试求a 、b 、c 、x 、y 、z .《线性代数A 》模拟试卷一、填空题（每小题3分、共计18分） （1） 设向量组123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,)t ααα线性相关，则t=⎽⎽⎽⎽⎽.（2） 设向量11135135αβ(,,),(,,)，令ΑαβT =，则A = ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽. （3） 设22211223242f x tx x x x =+++为正定二次型，则 t 的取值范围是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.（4） 设A 、B 均为n 阶方阵，且|A | = 2，|B | = - 4，则12-ΑOO Β=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽. （5）设A 为5阶方阵，且满足A 2+A =E ，则R(A +E )= .（6） 设A 为n 阶可逆矩阵，将A 的i ， j 两行对换后得矩阵B ，则|AB -1|= _______. 二、单项选择题（每小题3分，共计18分）（1）设n 阶方阵A 、B 、C 满足ABC =E ，则下面的结论正确的是（ ）. (A) ACB = E ； (B) CBA = E ； (C) BAC = E ； (D) BCA = E . （2）设向量β 能由α1，α2，α3 线性表示，但不能由α1，α2线性表示，则下面结论正确的是（ ）.（A ）α3不能由α1，α2线性表示，但能由β，α1，α2线性表示； （B ）α3不能由α1，α2线性表示，也不能由β ，α1，α2线性表示； （C ）α3能由α1，α2线性表示，但不能由β ，α1，α2线性表示； （D ）α3能由α1，α2线性表示，也能由β，α1，α2线性表示.（3）设A 为n 阶方阵，且R （A ）= n -1， α1，α2是Ax = 0的两个不同的解向量k 为任意的常数，则Ax = 0的通解为（ ）.（A ）k α1； （B ）k α2； （C ）k （α1-α2）； （D ）k （α1+α2）.（4）设有4阶方阵A 满足条件 |A +3E | = 0，T 2=AA E ，，|A |﹤0, 则（ ）为A *的一个特征值.（A ） 4； （B ）-3； （C ）43； （D ）34.（5）已知矩阵123246369A，2461234812B ，1100010101P ，2010100001P ， 则B =（ ）.（A ）AP 1P 2； （B ）P 2P 1A ； （C ）P 1P 2A ； （D ）P 1A P 2.（6）设4阶行列式的第2列元素依次为2、m 、k 、3，第2列元素的余子式依次为1、-1、1、-1，第3列元素的代数余子式依次为3、1、4、2，且行列式的值为1，则m 、k 的值为（ ）.（A ）4、2； （B ）-4、2； （C ）4、-2； （D ）-4、-2. 三、计算题（每小题6分，共计36分）1、设三阶方阵A 、B 满足关系式16,ΑΒΑΑΒΑ且32,1Β求A .2、验证1231231,1,1032ααα为R 3的一个基，并将12580,9713ββ用这个基线性表示.3、已知矩阵20000101Ax 与20000001B y 相似，求x ,y . 4、 设四元线性方程组Ax = b ,且R （A ）= 3，已知123,,ααα是其三个解向量，其中 1232200,1134ααα，求Ax = b 的通解.5、已知向量组α1，α2，α3线性无关，若α1+2α2，4α2+k α3，3α3+2α1线性相关，求k .6、设矩阵A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦11221021512031311041 求R(A )及A 的列向量组的一个极大无关组.四、（12分）已知4阶方阵A =（α1，α2，α3，α4），其中α1，α2，α3，α4均为4维的列向量，并且α2，α3，α4线性无关，而3α1= -2α2-α3，若β=α1+α2+α3+α4，求Ax =β 的通解.五、（10分）已知矩阵A 2112413x y -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦有三个线性无关的特征向量，λ=2是A 的二重特征值，求一个正交矩阵P 使P -1AP =Λ.六、（6分）设有3阶实对称矩阵A 满足A 2-2A =0，已知R (A )=2.①写出用正交变换将二次型f =x T (A +E )x 化成的标准形（不需求出所用的正交变换）；②判断二次型f =x T (A +E )x 的正定性；③令B = A +E ，试判断B 的列向量组的线性相关性.《线性代数A 》模拟试卷一、填空题（每小题3分、共计18分） （1） 设向量组123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,)t ααα线性无关，则t ⎽⎽⎽⎽.（2） 设向量11(1,3,5),(1,,)35αβ，令ΑαβT =，则A n = ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽. （3） 设22211223242f x tx x x x =+++为正定二次型，则 t 的取值范围是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.（4） 设A 、B 均为3阶方阵，且|A | = 2，|B | = - 4，则|2A *B -1|=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽. （5） 设A 为3阶方阵，且满足A 2-A =E ，则R （A -E ）= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.（6） 设3阶矩阵A 可相似于对角矩阵，且A 的每行元素之和都等于3，R (A )=1，则a 11+a 22+a 33= ________.二、单项选择题（每小题3分，共计18分）（1）设n 阶方阵A 、B 、C 满足CAB =E ，则下面的结论正确的是（ ）. (A) ACB = E ； (B) CBA = E ； (C) BAC = E ； (D) ABC = E .（2）已知β 可由α1，α2，α3线性表示，而β不能由α1，α2线性表示，则下面结论正确的是（ ）.（A ）α3 能由α1，α2，β 线性表示，也能由α1，α2线性表示； （B ）α3 能由α1，α2，β 线性表示，但不能由α1，α2线性表示； （C ）α3不能由α1，α2，β 线性表示，也不能由α1，α2线性表示； （D ）α3不能由α1，α2，β 线性表示，但能由α1，α2，线性表示.（3）已知正定矩阵 400031013Α,⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则与A 相似的对角矩阵为（ ）. （A ） 156-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（B ）244⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（C ）460⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（D ）117⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. （4） 设A 为m ×n 矩阵，Ax =0是非齐次线性方程组Ax =b 所对应的齐次线性方程组 ，则下面结论正确的是（ ）. （A ） 若Ax =0仅有零解，则Ax =b 有唯一解； （B ） 若Ax =b 有无穷多组解，则Ax =0只有零解； （C ） 若Ax =0有非零解，则Ax =b 有无穷多组解； （D ） 若Ax =b 有无穷多组解，则Ax =0有非零解. （5）已知矩阵123246369A，246123123B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1100010201P ，2010100001P。
初等变换与初等矩阵
⎡ A⎤ 出 A-1[见 P.68 例 2 的运算（有小错）]；也可把 A 和 I 做成列分块矩阵 ⎢⎢L⎥⎥ ，右
⎢⎣ I ⎥⎦ 乘初等矩阵（即进行初等列变换），最后求出 A-1（结果相同）．
作业(P.71)：1(1) ； 2(2) ； * 6(1).
和
⎢⎢⎢⎡−116
⎢2
⎢⎢⎣−
1 6
− 13 6 3
2 −1
6
4⎤
3
⎥ ⎥
−1⎥ ．
⎥
1⎥
3 ⎥⎦
即
A−1 = ⎢⎢⎢⎡−116
− 13 6 3
4⎤
3
⎥ ⎥
−1⎥ ．
⎢2 2
⎥
⎢⎢⎣−
1 6
−1 6
1⎥ 3 ⎥⎦
四.分块矩阵的初等变换（简介）
仍以上面求 A 的逆矩阵 A-1 为例，可把 A 和 I 做成行分块矩阵 [A M I ]（把
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎣
1⎥⎦ ⎢⎣ Am ⎥⎦ ⎢⎣ Am ⎥⎦
2.[ 关于矩阵的等价标准形 ] 表述①任意矩阵 Am×n 都有自己的等价标准形
⎡ Ir ⎢⎣0 q ×r
0r × p 0q×p
⎤ ⎥ ⎦
，其中
0
≤
r
≤
min(m,
n)
；表述②对任意矩阵
Am×n
都存在有限个
m
阶
的初等矩阵 P1 、P2 、… 、P s 和 n 阶的初等矩阵 Q1 、Q 2 、… 、Q t 、、、，使得
⎡2 3 1⎤ 以 A = ⎢⎢0 1 3⎥⎥ 为例[P.68 例 2]，对 A 和 I 进行同样的初等行变换：
3.4.1初等变换与矩阵乘法的关系
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0
r3 r5
1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
E5 (3,5)E5
所以 E5 (3,5)1 E5 (3,5) ．
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 记作 E5(3, 5) 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 c3 c5 0 1
r3 k
1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 k 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
r3 ? k
1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
r3 k
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 k 0 0 记作 E5(3(k)) 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 k 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
初等变换初等变换的逆变换初等矩阵因为对于n阶方阵ab如果ab可逆矩阵并且它们互为逆矩阵所以因为对于n阶方阵ab如果ab因为对于n阶方阵ab如果ab可逆矩阵并且它们互为逆矩阵所以初等变换初等变换的逆变换初等矩阵初等矩阵的逆矩阵性质2方阵a可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵p这表明可逆矩阵的标准形矩阵是单位阵
a12 a22 a32
a13 a23 a33
线性代数：矩阵的初等变换和初等矩阵
a12 3a22
a13 3a23
a11 a21
a12 a22
a13 a23
2 0 0
0 1 0
0 0 1
2a11 2a12
a12 a22
a13 a23
10
a11 a21
a12 a22
a13 a23
c1 2
2a11 2a12
a13 a23
a12 a22
3、以数k 0乘某行(列)加到另一行(列)上去
矩阵的初等变换和 初等矩阵
1
一、矩阵的初等变换初等矩阵
定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j两行,记作ri rj）； 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
（第 i 行乘 k,记作 ri k）
3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换： 把 A 的第 i 列与第 j 列对调(ci c j ).
7
2、以数 k 0 乘某行或某列
以数k 0乘单位矩阵的第i行(ri k)，得初等 矩阵E (i (k )).
1
1
E(i(k))
k
第
i
行
1
1
8
以 Em (i(k)) 左乘矩阵A，
25
三、初等变换法求逆矩阵
当A可逆时，由推论4，A P1P2 Pl，有 Pl1Pl11P11 A E, 及 Pl1Pl11P11E A1,
Pl1Pl11P11 A E
Pl1Pl11P11 A Pl1Pl11P11E E A1
即对 n 2n 矩阵 ( A E) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A1.
第一章 矩阵的运算与初等变换(第一讲)
教学时间：6学时.
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§1
1.1
矩阵与向量的概念
矩阵的概念
1. 矩阵的引出 考察线性方程组
x1 x 2 2 x 3 1 2 x1 3 x 2 x 3 2 x 2x 3x 4 2 3 1
隐去未知量和等号，分离出各未知量的系数，
1 2 1 1 3 2 2 1 3 1 2 4
线性代数
绪论
课程的性质
线性代数是数学的一个分支，是数学的基础理论课 之一。它既是学习数学的必修课，也是学习其他专业课的 必修课。
内容与任务
线性代数是研究有限维线性空间及其线性变换的基本 理论，包括矩阵及矩阵的初等变换、方阵的行列式、可逆 矩阵的逆矩阵、线性方程组与向量组的线性相关性、相似 矩阵及二次型等内容。 既有一定的理论推导、又有大量 的繁杂运算。有利于培养学生逻辑思维能力、分析问题和 动手解决问题的能力。
3. 基本向量
1 0 0 0 1 0 , e , , e , 基本列向量: e1 2 n 0 0 1 基本行向量：f1=(1,0,…,0)，f2=(0,1, …,0)， …，
1 0 1
1 1 2
2 3 1 1 1 2
2 1 3
5 2 , 1
6 3 , 3
则 f (A) = A2－ 3A + 2E
高中数学《矩阵及其初等变换》课件
0 3 1 2 01 3 0 1 2 2
注意: 在这个例子中 BA 无意义.
例2
A
a1
a2
,
B b1
b2
则
AB
a1b1
a2b1
a1b2 a2b2
,
BA
(b1a1
b2a2
)
注意: 在这个例子中,虽然 AB 与
BA 均有意义,但是AB 是 2×2 矩阵, 而BA是 1×1 矩阵.
第一章 矩阵及其初等变换
1
本章主要内容
1.1 矩阵及运算 1.2 向量与分块矩阵 1.3 初等变换与初等阵
2
1.1 矩阵的概念
1.1.1.矩阵的概念
1. 矩阵的定义
由 mn 个数排成的m行、n列的矩形数表
a11 a12
A
a21
a22
am1
am 2
称为阶数为 m n 的矩阵.
a1n
a2n
非齐次线性方程组的表示形式
a11 x1 a12 x2 (1)一般形式： a21x1 a22 x2
am1 x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
amn xn bm
(2) 矩阵形式： AX b 其中A (aij )mn , X ( x1, x2, b (b1, b2, , bm )T
a11
对角矩阵:
diag(a11,
ann
单位矩阵: E ,In 或 E n diag(1,1,
a11 a12
上三角矩阵:
a22
a1n
a2
n
ann
, ann )
,1)
a11
下三角矩阵:
a21
a22
矩阵的初等变换与初等矩阵
Er O
O O
0
00
0
的矩阵等价，称之为 A 的标准形.其中r是行阶梯形矩
阵非零行的行数.
§3 矩阵的初等变换与初等矩阵
二、初等矩阵
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的
矩阵，称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等矩阵:
1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
行阶梯形矩
阵的特点: 阶梯 线下方的元素全 为零; 每个台阶 只有一行, 台阶 数即是非零行的 行数, 阶梯线的 竖线(每段竖线 的长度为一行) 后面的第一个元 素为非零元,也 就是非零行的第 一个非零元.
例如
1 2 0 0
0
0
1
0
0 0 0 1
1 2 1 0
E(i, j)A: 对换 A的 i, j 两行； AE(i, j): 对换 A的 i, j 两列． E(i(k))A ：用非零数 k乘 A 的第 i 行； AE(i(k)) ：用非零数 k 乘 A 的第 i 列．
E(i, j(k))A ：A 的第 j 行乘以 k加到第 i 行 ;
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念与运算 §2 可逆矩阵与逆矩阵 §3 矩阵的初等变换与初等矩阵 §4 矩阵的秩与矩阵的分块
习题课
§3 矩阵的初等变换与初等矩阵
一、矩阵的初等变换 二、初等矩阵 三、用初等变换求矩阵的逆
§3 矩阵的初等变换与初等矩阵
一、矩阵的初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：
1) 用非零数k乘矩阵的某一行（列）； k ri，k ci 2) 把矩阵的某行(列)的k倍加到另一行() 互换矩阵中两行(列)的位置． ri rj，ci c j 矩阵A经初等行(列)变换变成矩阵B，一般地A≠B．
初等变换与矩阵的乘法应用
初等变换与矩阵的乘法应用矩阵是线性代数中的重要概念之一，而初等变换是矩阵运算的重要工具之一。
在数学和工程领域，初等变换与矩阵的乘法应用广泛，能够帮助我们解决各种实际问题。
本文将探讨初等变换与矩阵的乘法在数学和工程中的应用。
一、初等变换的基本概念与分类初等变换是指矩阵的行（列）允许进行的三种基本运算，包括互换两行（列），某一行（列）乘以一个非零常数，以及某一行（列）加上另一行（列）的若干倍。
这三种运算构成了初等变换的基本操作。
初等变换可以分为三类：互换两行（列）的操作，将某一行（列）乘以一个非零常数的操作，以及将某一行（列）加上另一行（列）的若干倍的操作。
这些操作在矩阵乘法中起到重要的作用，能够通过变换将矩阵化为简化行阶梯形矩阵，从而解决线性方程组、计算行列式等问题。
二、初等变换的应用举例1. 线性方程组求解通过初等变换，我们可以将线性方程组表示为增广矩阵的形式，然后利用矩阵的乘法运算进行计算。
例如，考虑如下线性方程组： 2x + 3y + 4z = 53x + 4y + 5z = 64x + 5y + 6z = 7将其写成增广矩阵的形式：[2, 3, 4, 5][3, 4, 5, 6][4, 5, 6, 7]然后利用初等变换，通过矩阵的乘法运算将其转化为简化行阶梯形矩阵，从而求得方程组的解。
2. 矩阵求逆矩阵的逆是线性代数中一个重要的概念，通过初等变换和矩阵的乘法，我们可以求得矩阵的逆。
逆矩阵的运用在计算机图形学、电路分析等领域具有重要意义。
3. 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量是矩阵理论中的重要内容，初等变换和矩阵的乘法可以帮助我们求解矩阵的特征值与特征向量，从而得到矩阵的谱分解、对角化等结果。
三、矩阵的乘法应用举例1. 线性变换线性变换是矩阵乘法在几何学中的一个应用，它可以将向量映射到其他向量空间中。
通过定义一个线性变换矩阵，可以实现对向量的旋转、平移、伸缩等操作，广泛应用于计算机图形学、机器人学等领域。
大一数学新知识点归纳矩阵
大一数学新知识点归纳矩阵大一数学新知识点归纳：矩阵矩阵，作为现代数学中的一项基本概念，广泛应用于各个科学领域。
在大一数学课程中，我们学习了矩阵的基本性质和运算法则。
在本文中，我将对大一数学课程中学习的矩阵相关知识进行归纳和总结。
一、矩阵的定义与性质1. 矩阵的定义：矩阵是一个按照矩形排列的数的集合。
它由m行n列的数排列而成，可以用大写字母加方括号表示，例如A=[a[ij]]。
2. 矩阵的元素：矩阵中的每个数称为矩阵的一个元素。
元素的位置由行号和列号决定，用a[ij]表示。
3. 矩阵的秩：矩阵的秩是指矩阵中非零行的最高行数。
4. 矩阵的行列式：矩阵的行列式是一个数，表示矩阵的某种代数性质。
当矩阵的秩等于行数时，行列式不为零。
二、矩阵的运算法则1. 矩阵的加法：矩阵的加法是指将两个矩阵对应位置的元素相加得到一个新的矩阵。
要求两个矩阵的行和列数相等。
2. 矩阵的数乘：矩阵的数乘是指将一个数与矩阵的每个元素相乘得到一个新的矩阵。
3. 矩阵的乘法：矩阵的乘法是指将一个矩阵的每一行的元素与另一个矩阵的对应列的元素相乘，再相加得到一个新的矩阵。
要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数。
三、矩阵的初等变换矩阵的初等变换是指通过一系列基本的行变换将一个矩阵转化为一个简单的形式，从而方便进行计算。
1. 行交换：可以对矩阵的两行进行互换，不改变行列式的值。
2. 行倍加：可以对矩阵的一行加上另一行的k倍，不改变行列式的值。
3. 行倍乘：可以将矩阵的一行的所有元素都乘以一个非零数k，不改变行列式的值。
四、逆矩阵与矩阵的转置1. 逆矩阵：如果一个矩阵A乘以另一个矩阵B等于单位矩阵I，那么矩阵B就是矩阵A的逆矩阵，记作A的逆，即A^-1。
2. 矩阵的转置：矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
记作A^T。
五、线性方程组与矩阵线性方程组与矩阵有着密切的联系。
通过使用矩阵的运算和初等变换，可以将线性方程组转化为矩阵的简单形式，更便于求解。
矩阵的初等变换与初等矩阵
定义3 ：如果行阶梯型矩阵满足下列两个 条件，则称其为行最简阶梯型矩阵
非零行的首非零元都是1 b 首非零元所在列的其余元素都 是零
a
例
1 0 0 r r 1 1 3 A 0 2 0 0 1 0 3 0
0 0 1 r2 1 0 0 2 2 0 0 1 0 1 3 r3 0 0 1 0 3
0 3 2 2 A与B之间用记号 或 0 0 0 0 连接。
2 3
定义2：满足下列条件的矩阵称为行阶梯型矩阵
a 矩阵的零行（元素全为零的行）在非 零行（元素不全为零的行）的下方 b 矩阵的每一个非零行的非零首元都出 现在上一行非零首元的右边 1 2 1 3 0 3 2 0 例 0 6 4 8
1 3 1 4 0 6 4 4 0 0 0 0
r( A) 2
1 1 2.B 3 1 1 1 ( )r 2 0 0 0
2
2 3 0 1 1 1 2 0 2 3 1 1 7 10 0 3
2 1 0 0 3 1 3 0
例:求矩阵的秩:
2 2 3 8 1. A 2 12 2 12 1 3 1 4
1 4 1 3 A 2 12 2 12 r1 r3 2 3 8 2
3 r2 r3 2
1 4 1 3 ( 2 ) r1 r2 0 6 4 4 ( 2 ) r1 r3 0 9 6 6
矩阵的初等变换
矩阵的初等变换是线性代数中一个重要的工具.
以下三种变换分别称为矩阵的第一、第二、第三种初 等变换：
(i ) 对换矩阵中第 , j两行(列)的位置，记作 i rij (cij )或ri rj (ci c j )
2.5矩阵的初等变换和初等矩阵
§2。
5 矩阵的初等变换和初等矩阵矩阵的初等变换源于线性方程组消元过程中的同解变换，它在将矩阵变换为简单形式、解线性方程组、求矩阵的逆阵、解矩阵方程以及研究矩阵的秩等方面起着重要的作用。
一 矩阵的初等变换和矩阵等价定义2。
10 设A 是矩阵，下面三种变换称为矩阵的初等行变换： n m ×（1） 交换A 的第行和第行的位置，记为i j j i r r ↔； A 的第i 行各元素，记为；i kr （2） 用非零常数乘以k 的第i 行各元素的倍加到第行对应元素，记为A j k i j kr r +。
（3） 将 若把定义2。
10中的行改为列，便得到三种对应的初等列变换，记号分别为；；。
j i c c ↔i kc i j kc c + 矩阵的初等行（列）变换统称为矩阵的初等变换。
例如⎯⎯→⎯⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−↔31132100101792r r ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−179200101321⎯⎯→⎯+242c c ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−177********21值得注意的是，初等变换将一个矩阵变成了另一个矩阵，在一般情况下 ，变换前后的两个矩阵并不相等，因此进行初等变换只能用来表示，而不能用等号。
另外，矩阵的初等变换可以逆向操作，即若矩阵→i r k1A B B 经过、i kr i j kc c +变换成了矩阵，那么对施以及，就可以将矩阵B A i j kc c −。
复原为矩阵A B A B 定义2。
11 如果矩阵经过有限次初等变换后化为矩阵，则称等价于矩阵，简记为B A ~。
由定义可以得到以下关于矩阵等价的一些简单性质：A A ~(1) 反身性：；(2) 对称性：则,~B A A B ~；B A ~且，则。
C B ~C A ~(3) 传递性： 定理２。
３ 任意矩阵()nm ija A ×=都与形如的矩阵等价。
矩阵称为矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛000rE ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛000r E ),min(1n m r ≤≤A 的标准形。
2.3 矩阵的初等变换与初等矩阵
~
3 0 2 0 1 0 0 2 1 1 0 0 0 9 4 0 2 3
3 0 2 0 1 0 ~ 0 2 1 1 0 0 r3 9 r2 0 0 1 9 4 6 3 0 0 18 9 12 r1 2 r3 0 2 0 8 4 6 ~ r2 r3 0 0 1 9 4 6
4 1 2 1
00 00 11 00
0 0 10 20 30 00 00 00 00
9 4 6 0 0 0 2 0 8 3 0 00
矩 阵 A 的 标 准 型
例4.2
设
1 1 2 1 A 1 1 1 0 2 0 1 1
的等价标准形.
求
A
注:
1.任一矩阵都可经过初等行变换化成行阶梯矩阵； 2.任一矩阵都可经过初等行变换化成行最简矩阵；
3.任一矩阵都可经初等变换r
Er 0, E r 都是 0
0 的特殊情况. 0
O Er 。 O O
行阶梯形矩阵
也就是指可以画一条阶梯折线，
折线的下方元素全为零；并且每个阶梯只有一行，
阶梯数即为非零行的行数，阶梯线每一竖线后面第
一个元素为非零元.
3 3 2 1 0 1 0 , B 0 0 1 2 5 如: A 0 0 0 0 0 6 0 1 1 0 0 0 8 0 0 2 5 0 0 5 2 4 0 2 1 0 4 , C 0 3 0 0
0 1 1 3 0 0 0 0 0 2 0 0 0 2 0 8 1 3 0 0
为行阶梯矩阵.
行最简形矩阵
是指行阶梯形矩阵中除每一竖线后面的第一个
矩阵的初等变换
旳初等变换来完毕,即
r3 1
B3
r2 2r3 r1 r3
1 0
0 1
0 0
r1 2r2 0 0 1
1
0 B4 0
B4
相应方程组为
x1 1 x2 0
x3 0
第二章 矩阵旳运算
13
矩阵 B3 和 B4 都称为行阶梯形矩阵. 特点：
（1）、可划出 一条阶梯线，线 旳下方全为零；
c3 c4 c4 c1 c2
1 0
0 c5 4c1 3c2 3c3 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 1 044
0 0 0
1 0 0
000033033 F
矩阵 F 称为矩阵 A的标准形.
第二章 矩阵旳运算
16
特点：F的左上角是一个单位矩阵，其余元素全 为零.
m n 矩阵 A 总可经过初等变换化为 标准形
（3）传递性 若 A B,B C,则 A C. 具有上述三条性质旳关系称为等价． 例如，两个线性方程组同解，
就称这两个线性方程组等价
第二章 矩阵旳运算
10
用矩阵旳初等行变换 解方程组（1）： 2 3 4 2
B 1 2 1 1 2 2 8 2
r1 r2 r3 2
1 2 1 1 2 3 4 2 B1 1 1 4 1
逆变换 逆变换 逆变换
ri rj;
ri
(1 k
)
或
ri
k;
ri (k )rj 或 ri krj .
第二章 矩阵旳运算
9
如果矩阵 A 经有限次初等变换变成 矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A ~ B．
等价关系旳性质： （1） 反身性 A A； （2）对称性 若 A B ,则 B A;
线性代数：矩阵的初等变换和初等矩阵
是把“r”换成“c”)．
定义 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 2 初等变换．
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛.
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
a13 a23
a12 a22
5
a11 a21
a12 a22
a13 a23
c2
c3
a11 a12
a13 a23
a12 a22
用 m 阶初等矩阵 Em (i, j) 左乘 A (aij )mn，得
a11
a12
a1n
Em
(i
,
j)
A
a j1
aj2
a jn
第
i
行
ai1
ai 2
1
0
c1
2c3
0
1
0 E(3,1(2))
0 0 1
2 0 1
1 2
10
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a21
a11 2a11
a12 a22 2a12
a23
a13 2a13
a11 a21
a12 a22
a13 a23
r2 2r1
a21
a11 2a11
a12 a22 2a12
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换： 把 A 的第 i 列与第 j 列对调(ci c j ).
7
2、以数 k 0 乘某行或某列
线性代数 第四讲 矩阵的初等变换与初等矩阵
一、矩阵的初等变换
显然，三种初等变换都是可逆的， 显然，三种初等变换都是可逆的，且其变 换是同一类型的初等变换。变换r 换是同一类型的初等变换。变换 i↔rj的逆变换 就是本身； 就是本身；变换 rj×k 的逆变换为 rj÷k ；变换 ri+krj 的逆变换为 i− k rj。 的逆变换为r 如果 A 经过有限次初等变换变为矩阵 B， ， 是等价的， 称矩阵 A与 B是等价的，记为 ↔ B 。 与 是等价的 记为A 矩阵的等价关系有如下性质： 矩阵的等价关系有如下性质： 反身性： 反身性： A ↔ A 对称性： 对称性： A ↔ B ，则B ↔ A 传递性： 传递性： A ↔ B， B ↔ C，则A ↔ C ， ，
2x1 − x2 − x3 + x4 = 2 (1) x1 + x2 − 2x3 + x4 = 4 (2) 4x1 − 6x2 + 2x3 − 2x4 = 4 (3)
2 −1 −1 1 方程组的增广矩阵B = 1 1 −2 1 4 −6 2 −2
2 4 4
一、矩阵的初等变换
1 3 0 2 0 (1) 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 1 1 2 0 −2 (2) 0 0 0 0 1 3 4 1 1 2 0 0 1 0 2 −1 (3) 0 1 4 1 0 0 0 0
√
×
√
二、阶梯形矩阵
1 1 1 1 4 ( A| b) = 2 3 1 1 9 −3 2 −8 −8 −4
→
r3 + 3× r1
r2 − r1
1 1 1 1 4 0 1 −1 −1 1 0 5 −5 −5 8
→
r3 − 5× r2
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基本列向量，则
a11
Ae j
a21
a1 j
a2 j
a1n
a2n
0
1
a1 j a2 j
am1 amj
amn
0
amj
➢ 可见当
§2 矩阵的运算
A=(aij)m×n，则EmA=AEn=A.
§2 矩阵的运算
➢ 运算规律 ➢ (1)设A=(aij)m×s， B=(bij)s×k， C=(Cij)k×n， 则A(BC)=(AB)C ；
A
B
a21
b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
➢ 注：只有同型矩阵才能相加.
§2 矩阵的运算
➢ 定义 m×n矩阵-A=(-aij)称为矩阵A=(aij)的负矩阵. 两个m×n矩阵A=(aij),B=(bij)的差记为A-B，规定 A-B=A+(-B)，即
➢ 本章主要介绍矩阵的概念、性质和运算。并把向 量视为特殊的矩阵，自然地引进向量的概念及其 线性运算。还将介绍矩阵的初等变换及分块矩阵 等相关知识，为今后的学习相关知识打下扎实的 理论基础。
§1 矩阵与向量的概念
➢ 本节教学内容 ➢ 1.矩阵的概念 ➢ 2.同型矩阵与矩阵相等的概念 ➢ 3. 几种特殊的矩阵 ➢ 4. 矩阵的应用 ➢ 5. 向量的概念
线性代数 第一章
第一章 矩阵的运算与初等变换
➢ 本章教学内容 ➢ §1 矩阵与向量的概念 ➢ §2 矩阵的运算 ➢ §3 分块矩阵及矩阵的分块运算 ➢ §4 几种特殊的矩阵 ➢ §5 矩阵的初等变换
第一章 矩阵的运算与初等变换
➢ 矩阵是代数学中最重要的基本概念之一，是代数 学研究的主要对象，也是数学许多分支研究及应 用的重要工具，它贯穿于线性代数的各个部分。 在很多领域中的一些数量关系都可以用矩阵来描 述。
1
(
3
n1
)
2
无
定
义,
(1,
2,
3)( k )无定义.
3
§2 矩阵的运算
➢ 定义 设A为方阵
f
( )
ann
a n1 n1
a1
a0 .
规定 f ( A) an An an1 An1 a1 A a0 E. 称为A的矩阵多项式。
§2 矩阵的运算
1 1 2
➢ 例6
设
f ( ) 2 3 2.
§2 矩阵的运算
➢ 例2 设矩阵
1 A 2
0 3
1 1
2 2,
2 B 1
1 1
0 1
1 1,
1 2 1 3
3 0 2 1
➢ 求3A-2B.
➢解
3A
3 6
0 3 6 9 3 6,
3 6 3 9
4 2 0 2 2B 2 2 2 2,
6 0 4 2
7 2 3 4
3A 2B 4 7 5 4.
1
2
(
3
n1
)
1,
3
1, 2
1
3n1 2 3n1
1,
3
3n
1, 2
1 3
3n1
3n1
3n2
2
2 3n1 3n1 2 3n2
3n
3n 2
3n1
§2 矩阵的运算
➢ 注意 一阶方阵与向量的乘法
1
2(3n1
)
3n1 2 3n1
3n1
1 2.
3
3n
3
(k)(1, 2, 3) (k, 2k, 3k) k(1, 2, 3)
➢ 作业：习题1.1(A) 第2题
§2 矩阵的运算
➢ 本节教学内容 ➢ 1.矩阵加、减法 ➢ 2.数乘矩阵 ➢ 3. 矩阵乘法 ➢ 4. 方阵的幂 ➢ 5. 矩阵的转置
§2 矩阵的运算
➢ 1.矩阵加、减法 ➢ 定义2.1 两个m×n矩阵A=(aij),B=(bij)的和记为 A+B，规定
a11 b11
a1
➢ ⑵ m×1矩阵 a2
a
m
也称列矩阵，或称m维列向量，ai也称为第i个分量.
§1 矩阵与向量的概念
主对角线
a11
➢ ⑶ n×n矩阵
a21
a12
a22
副对角线
a1n a2n
an1 an2 ann
也称n阶方阵(或n级方阵)，An×n表可简记为An； 其中aii称为主对角线元素； 而aij (i+j=n+1)称为副对角线元素.
§2 矩阵的运算
➢ 例1 设矩阵
x A 0
1
1
1 , B 2
y 0 ,
C
1 2
11,
➢ 且A+B=C，求x,y.
➢解
A
B
x
2
1
y
1
1,
➢ 由A+B=C，得
x 1 1,
y
1
1,
即
x y
2, 0,
§2 矩阵的运算
➢ 2.数乘矩阵
➢ 定义2.2 数与m×n矩阵A=(aij)的乘积记为A 或A，规定
a11 a21
a12
a22
a1 j a2 j
是简第称aa i(行i12,nnj)第元j列元素，
ai1 ai2 aiijj ain
am1 am2 amj amn
叫做m行n列的矩阵，或称m×n矩阵.通常用大写
字母A或Am×n表示法. 有时也记为
A (aij ) 或 A (aij ) mn
§2 矩阵的运算
➢ 例3 设矩阵
4 A 1
1 1
2 0,
1 B 0
2
1,
0 3 1
3 0
➢ 求AB. 3×3
3×2
➢解
4 1 (1) 0 2 3 AB 1 1 1 0 0 3
4 2 (1) 1 2 0 121100
0 1 3 0 1 3 0 2 3 1 1 0
§1 矩阵与向量的概念
➢ 例 主对角线元素均为1，其它元素均为0的
n阶方阵
1 0 0
0
1
0
0 0 1
称n阶单位矩阵，记为En或E.
§1 矩阵与向量的概念
➢ 4.矩阵的应用
➢ 例1 某公司对四名应聘人员进行三项素质考评
的百分制成绩可用矩阵
a11 a12 a13
A
a21 a31 a41
表示。
➢ 注：这里aii=0，即同一个村不考虑相通的道路。
§1 矩阵与向量的概念
➢ 5.向量的概念 ➢ 定义1.2 1×n矩阵称n维行向量， n×1矩阵称n 维列向量， n维行向量与n维列向量统称n维向量，
简称向量。 向量常用黑体字母,,, …或x,y,z,… 表示（或加箭头 ）。
➢ 两向量相等当且仅当维数相同且对应的分量相等. ➢ 分量全为零的向量称零向量，记为0.
➢ 注：这里 b11 b21 b31 1,
b12 b22 b32 1.
§1 矩阵与向量的概念
➢ 例3 第i村到第j村有aij条道路相通，四个村的通 路信息可用矩阵
0 a12 a13 a14
A
a a a
21 31 41
0 a 32 a42
a 23 0 a43
a24
a 34 0
9 6 1 7
§2 矩阵的运算
➢ 3.矩阵乘法 ➢ 定义2.3 矩阵A=(aij)m×s, B=(bij)s×n的乘积记为
AB，规定AB=(cij)m×n，其中
cij ai1b1 j ai2b2 j aisbsj
i=1,2, …m，j=1,2, …,n. ➢ 注：只有A的列数与B的行数相同,AB才有定义.
a11
A
a21
am1
a12 a22
am2
a1n a2n
amn
§2 矩阵的运算
➢ 运算规律 设矩阵A, B均为个m×n矩阵，,为
数，则
⑴ (A)=()A ； ⑵ (+) A=A+A ； ⑶ (A+B)=A+B ；
⑷ (-1)A=-A.
➢ 通常把矩阵的加法运算和数乘运算统称矩阵的线 性运算。
➢ (2)设A=(aij)m×s， B=(bij)s×n， 数, 则(AB)=(A)B =A(B) ；
➢ (3)设A=(aij)m×s， B=(bij)s×n， C=(Cij)s×n， 则A(B+C)=AB+AC ; ➢ (4)设A=(aij)s×n， B=(bij)m×s， C=(Cij)m×s， 则(B+C)A=BA+CA ;
§1 矩阵与向量的概念
➢ n个n维列向量
1
e1
0 ,
0
0
e2
1
,
0
0
, en
0 ,
1
称为n维基本列向量。
➢ n个n维行向量
f1 1, 0, , 0, f2 0, 1, , 0, , fn 0, 0, , 1,
称为n维基本行向量。
§1 矩阵与向量的概念
本节学习要求 熟悉矩阵、同型矩阵、矩阵相等、列矩阵、 行矩阵、方阵、单位方阵与向量的概念，懂得矩 阵的应用。
§1 矩阵与向量的概念
➢ 元素是实数的矩阵称为实矩阵 ➢ 元素是复数的矩阵称为复矩阵 ➢ 例如
1 0 3 5 是一个2×4实矩阵， 9 6 4 3
13 6 2i 2 2 2 是一个3×3复矩阵， 2 2 2
§1 矩阵与向量的概念
➢ 2.同型矩阵与矩阵相等的定义
➢ ⑴两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型