随机变量及其分布知识点整理

随机变量及其分布知识点整理
一、离散型随机变量的分布列
一般地,设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,,i n x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,Ｘ取每一个值(1,2,,)i x i n =⋅⋅⋅的概率()i i P X x p ==,则称以下表格
为随机变量X 的概率分布列,简称X 的分布列、
离散型随机变量的分布列具有下述两个性质:
(1)0,1,2,,i P i n =⋅⋅⋅≥ (2)121n p p p ++⋅⋅⋅+=
1、两点分布
则称Ｘ服从两点分布,并称=P(X=1)p 为成功概率、
2、超几何分布
一般地,在含有Ｍ件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则事件{}X k =发生的概率为:
(),0,1,2,3,...,k n k M N M n N
C C P X k k m C --===
{}*min ,,,,,,m M n n N M N n M N N =≤≤∈其中且。

注:超几何分布的模型就是不放回抽样
二、条件概率
一般地,设Ａ,Ｂ为两个事件,且()0P A >,称()(|)()
P AB P B A P A =为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率、 0(|)1P B A ≤≤
如果B 与C 互斥,那么[()|](|)(|)P B
C A P B A P C A =+ 三、相互独立事件
设A,Ｂ两个事件,如果事件A 就是否发生对事件B 发生的概率没有影响(即()()()P AB P A P B =),则称事
件A 与事件B 相互独立。

()()()A B P AB P A P B ⇔=即、相互独立
一般地,如果事件Ａ1,A ２,…,A n 两两相互独立,那么这n 个事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即1212(...)()()...()n n P A A A P A P A P A =.
注:(1)互斥事件:指同一次试验中的两个事件不可能同时发生;
(２)相互独立事件:指在不同试验下的两个事件互不影响、
四、n 次独立重复试验
一般地,在相同条件下,重复做的n 次试验称为ｎ次独立重复试验、
在n 次独立重复试验中,记i A 就是“第i 次试验的结果”,显然,1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ “相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其她试验的影响
注: 独立重复试验模型满足以下三方面特征
第一:每次试验就是在同样条件下进行;
第二:各次试验中的事件就是相互独立的;
第三:每次试验都只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生、
n 次独立重复试验的公式:
n A X A p n A k 一般地，在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为
()(1),0,1,2,...,.(1)k k n k k k n k n n P X k C p p C p q k n q p --==-===-其中,而称p 为成功概率、
五、二项分布
一般地,在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A 发生的概率为p ,则
()(1)0,1,2,,k k n k n P X k C p p k n -==-=⋅⋅⋅，
此时称随机变量Ｘ服从二项分布,记作~(,)X B n p ,并称ｐ为成功概率、
六、离散随机变量的均值(数学期望)
则称1122()i i n n E X x p x p x p x p =+++++
为X 的数学期望或均值,简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
则()EY aE X b =+,即()()E aX b aE X b +=+
2.一般地,如果随机变量X 服从两点分布,那么
()=10(1)E X p p p ⨯+⨯-=
即若X 服从两点分布,则()E X p =
3.若~(,)X B n p ,则()E X np =
七、离散型随机变量取值的方差与标准差 一般地,若离散型随机变量x 的概率分布列为
2221122(())(())(()).
.
n n DX x E X p x E X p x E X p X X =-+-+⋅⋅⋅+-则称为随机变量的方差的标准差 1.若X 服从两点分布,则()(1)D X p p =-
2、若~(,)X B n p ,则()(1)D X np p =- 3.2
()()D aX b a D X +=。