历年中考数学易错题汇编-二次函数练习题附答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a 为抛物线y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线2234323y x x =--+与其“衍生直线”交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ．

（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；

（2）如图，点M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，求点N 的坐标；

（3）当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）2323y=；（-2，231,0）； （2）N 点的坐标为（0，3-3），（0，23+3）；

（3）E （-1，43F （023）或E （-1，43），F （-4103） 【解析】

【分析】

（1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a 即可；（2）过A 作AD ⊥y 轴于点D ，则可知AN=AC ，结合A 点坐标，则可求出ON 的长，可求出N 点的坐标；（3）分别讨论当AC 为平行四边形的边时，当AC 为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E 、F 坐标即可

【详解】

（1）∵23432333y x x =--+a=233

-，则抛物线的“衍生直线”的解析式为

2323

y=x+

33

-；

联立两解析式求交点

2

2343

23

2323

y=x+

y x x

⎧

=--+

⎪⎪

⎨

⎪-

⎪⎩

，解得

x=-2

y=23

⎧⎪

⎨

⎪⎩

或

x=1

y=0

⎧

⎨

⎩

，

∴A（-2，23），B（1,0）；

（2）如图1，过A作AD⊥y轴于点D，

在2

2343

23

33

y x x

=--+中，令y=0可求得x= -3或x=1，

∴C（-3,0），且A（-2，23），

∴AC=22

-++213

3=

（23）（）

由翻折的性质可知AN=AC=13，

∵△AMN为该抛物线的“衍生三角形”，

∴N在y轴上，且AD=2，

在Rt△AND中，由勾股定理可得

DN=22

AN-AD=13-4=3，

∵OD=23，

∴ON=23-3或ON=23+3，

∴N点的坐标为（0，23-3），（0，23+3）；

（3）①当AC为平行四边形的边时，如图2 ，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，则有AC∥EF且AC=EF，

∴∠ ACK=∠ EFH，

在△ ACK和△ EFH中

ACK=EFH

AKC=EHF

AC=EF

∠∠

⎧

⎪

∠∠

⎨

⎪

⎩

∴△ ACK≌△ EFH，

∴FH=CK=1，HE=AK=23，

∵抛物线的对称轴为x=-1，

∴ F点的横坐标为0或-2，

∵点F在直线AB上，

∴当F点的横坐标为0时，则F（0，23），此时点E在直线AB下方，∴E到y轴的距离为EH-OF=23-23=43，即E的纵坐标为-43，∴ E（-1，-43）；

当F点的横坐标为-2时，则F与A重合，不合题意，舍去；

②当AC为平行四边形的对角线时，

∵ C（-3,0），且A（-2，23），

∴线段AC的中点坐标为（-2.5，3），

设E（-1，t），F（x，y），

则x-1=2×（-2.5），y+t=23，

∴x= -4，y=23-t，

23-t=-23

3

×（-4）+

23

3

，解得t=

43

-

3

，

∴E（-1，43

-

3），F（-4，

103

3

）；

综上可知存在满足条件的点F，此时E（-1，-43

）、（0，

23

）或E（-1，

43

-），F（-4，103

）

【点睛】

本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本题的关键，属于压轴题

2．如图，关于x 的二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x 轴交于点A （1，0）和点B 与y 轴交于点C （0，3），抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．

（1）求二次函数的表达式；

（2）在y 轴上是否存在一点P ，使△PBC 为等腰三角形？若存在．请求出点P 的坐标； （3）有一个点M 从点A 出发，以每秒1个单位的速度在AB 上向点B 运动，另一个点N 从点D 与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M 到达点B 时，点M 、N 同时停止运动，问点M 、N 运动到何处时，△MNB 面积最大，试求出最大面积．

【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；（2）点P 的坐标为：（0，2（0，3﹣2）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M 出发1秒到达D 点时，△MNB 面积最大，最大面积是1．此时点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．

【解析】

【分析】

（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c 得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；

（2）先求出点B 的坐标，再根据勾股定理求得BC 的长，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB ；②BP=BC ；③PB=PC ；分别根据这三种情况求出点P 的坐标； （3）设AM=t 则DN=2t ，由AB=2，得BM=2﹣t ，S △MNB=12

×（2﹣t ）×2t=﹣t 2+2t ，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△MNB 最大面积；此时点M 在D 点，点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．

【详解】

解：（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c ，

103b c c ++=⎧⎨=⎩

解得：b=﹣4，c=3，

∴二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；

（2）令y=0，则x 2﹣4x+3=0，

解得：x=1或x=3，

∴B （3，0），