2020_2021学年高中数学第2章平面向量阶段综合提升第3课平面向量阶段训练含解析新人教A版必修4
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阶段强化训练(三)
一、选择题
1．如图所示，若向量AB →＝a ，AC →＝b ，CD →＝c ，则向量BD →
可以表示为( )
A ．a ＋b －c
B ．a －b ＋c
C ．b －a ＋c
D ．b ＋a －c
C [B
D →＝AD →－AB →＝AC →＋CD →－AB →
＝b ＋c －a ＝b －a ＋c .] 2．若a ＝(1,2)，b ＝(－3,0)，(2a ＋b )⊥(a －m b )，则m ＝( ) A ．－73
B.73 C ．2
D ．－2
B [因为a ＝(1,2)，b ＝(－3,0)，
所以2a ＋b ＝(－1,4)，a －m b ＝(1＋3m,2)， 由2a ＋b 与a －m b 垂直， 得－1－3m ＋8＝0，解得m ＝7
3
.]
3．已知平面向量a ，b 夹角为π3，且|a |＝1，|b |＝1
2，则|a －2b |＝( )
A ．1 B. 3 C ．2
D.32
A [根据条件：a ·b ＝1×12×12＝1
4
，
∴(a －2b )2＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝1－4×14＋4×1
4＝1，
∴|a －2b |＝1.]
4．已知向量a 与b 不共线，AB →＝a ＋m b ，AC →＝n a ＋b (m ，n ∈R )，则AB →与AC →
共线的条件是( )
A ．m ＋n ＝0
B ．m －n ＝0
C ．mn ＋1＝0
D ．mn －1＝0
D [由AB →＝a ＋m b ，AC →
＝n a ＋b ，(m ，n ∈R )共线得a ＋m b ＝λ(n a ＋b )，即mn －1＝0.故选D.]
5．若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c ＝( ) A ．－12a ＋32b
B.12a －3
2b C.32a －12
b D ．－32a ＋12
b
B [设c ＝x a ＋y b ，则 (－1,2)＝x (1,1)＋y (1，－1) ＝(x ＋y ，x －y )，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝－1，
x －y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝12
，y ＝－32，
∴c ＝12a －32b .]
二、填空题
6．如图所示，在边长为3的正方形ABCD 中，AC 与BD 交于F ，AE ＝13
AD ，则EF →·BD
→
＝
________.
－3 [建立平面直角坐标系如图所示，
则A (0,0)，B (3,0)，C (3,3)，D (0,3)，E (0,1)，F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，32，则
EF →·BD →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，12·(－3,3)＝32×(－3)＋12×3＝－3.]
7．已知a ＝(1，－2)，b ＝(4,2)，设2a 与a －b 的夹角为θ，则cos θ＝________. 5
5
[2a ＝2(1，－2)＝(2，－4)， a －b ＝(1，－2)－(4,2)＝(－3，－4)，
cos θ＝2a ·a －b |2a ||a －b |＝－6＋1620×5
＝5
5.]
8．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，且a 与b 不共线，若用m ，n 表示p ，则p ＝________.
－7
4m ＋13
8n [设p ＝x m ＋y n ，则p ＝x (2a －3b )＋y (4a －2b )＝(2x ＋4y )a ＋(－3x －
2y )b ＝3a ＋2b ，
又∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋4y ＝3，－3x －2y ＝2，
解得
⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝－74
，
y ＝138，
故p ＝－74m ＋13
8n .]
三、解答题
9．如图，▱ABCD 的两条对角线交于M .且AC →＝a ，BD →
＝b .
(1)用a ，b 表示AB →与AD →
；
(2)对于平面上任一点O ，若OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝kOM →
，求k 的值． [解] (1)在▱ABCD 中，
AB →＋AD →＝AC →
＝a .① AD →
－AB →
＝BD →
＝b .②
①＋②得2AD →
＝a ＋b ， ①－②得2AB →
＝a －b ， 所以AD →
＝12(a ＋b )＝12a ＋1
2
b ，
AB →
＝12(a －b )＝12a －1
2b .
(2)因为OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝kOM →，
所以kOM →＝OM →＋MA →＋OM →＋MB →＋OM →＋MC →＋OM →＋MD →＝4OM →＋(MA →＋MC →
)＋(MB →＋MD →)．
由于平行四边形的对角线互相平分，所以MA →＋MC →＝0，MB →＋MD →＝0，所以kOM →
＝4OM →
，所以k ＝4.
10．平面内有向量OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，OP →
＝(2,1)，点X 为直线OP 上的一个动点． (1)当XA →·XB →取最小值时，求OX →
的坐标；