(完整版)完全平方公式和平方差公式的专项复习
平方差公式与完全平方公式(复习)
专题一平方差公式与完全平方公式（复习）学习目标掌握平方差公式和完全平方公式的特征，并能运用两个公式进行化简和运算。
学习重点利用平方差公式、完全平方公式进行化简和运算学习难点利用平方差公式、完全平方公式进行因式分解。
学习过程一、知识回顾1、识记两个公式平方差公式：。
文字叙述：两个数的与这两个数的等于完全平方公式：。
文字叙述：两数和的平方等于这两个数的加上2、因式分解的定义公因式确定：（1）（2）（3）因式分解的方法：（1）提法（2）套法因式分解的步骤：把一个多项式因式分解，一般先，再。
进行多项式因式分解时，必须把每一个因式都分解到注：怎样验证因式分解的正确性？练习：请你从下列各式中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解。
24a，2)9b(yx ，1，2二、典型例题例1：计算（1）(2m-3)(2m+3)（2）（a－2b＋3c）（a＋2b+3c）．（3）20052-2006×2004例2：因式分解（1）16－4a 4 （2）42242y y x x +-（3）22341ab b a a -+- （4）222224)(b a b a -+例3：已知，8=+n m ，15=mn 求22n mn m +-的值三：达标测试（一、选择题）1、下列两个多项式相乘，不能用平方差公式的是（ ）A 、)32)(32(b a b a ++-B 、)32)(32(b a b a --+-C 、)32)(32(b a b a --+D 、)32)(32(b a b a ---2、下列运算正确的是（ ）A 、a b a b a 2)(222++=+B 、222)(b a b a -=-C 、6)2)(3(2+=++x x xD 、22))((n m n m n m +-=+-+3、下列四个多项式是完全平方式的是（ ）A 、22y xy x ++B 、222y xy x --C 、22424n mn m ++D 、2241b ab a ++ 4、若22169y mxy x ++是完全平方式，则m =（ ）A 、12B 、24C 、±12D 、±245、已知5-=+y x ，6=xy ，则22y x +的值为（ ）A 、12B 、13C 、37D 、16（二、填空题）6、分解因式： x 2+y 2-2xy=7、已知x +y =1，那么221122x xy y ++的值为_______. 8、在多项式4x 2+1中添加 ，可使它是完全平方式（填一个即可），然后将得到的三项式分解因式是（三、计算）9、)53)(53(y x y x -+ 10、4(x+1)2-(2x+5)(2x-5)11、2275.7275.82⨯-⨯ 12、121211222112+⨯-（四、分解因式）13、2)2()2(---a a a 14、2241y x +-15、6xy 2-9x 2y-y 3 16、(2a-b)2+8ab17、先化简，再求值：223(2)()()a b ab b b a b a b --÷-+- 其中112a b ==-，．。
平方差公式与完全平方公式试题(含答案)
乘法公式的复习一、复习:(a+b)(a-b)=a 2-b 2(a+b)2=a 2+2ab+b 2(a-b)2=a 2-2ab+b 2(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3(a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，x y y x x 2y 2 ② 符号变化，x y x yx2y 2 x 2y 2③ 指数变化，x 2y 2x 2y 2x 4y 4 ④ 系数变化，2ab 2ab 4a2b 2 ⑤ 换式变化，xy zmxyzmxy 2zm 2x 2y 2z m z m x 2y 2z 2zmzm m 2x 2y 2z 22zmm 2 ⑥ 增项变化，x yz xyzx y 2z 2 x y xy z 2 x 2xyxy y 2z 2x 22xyy 2z 2 ⑦ 连用公式变化，x yxy x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 4y 4 ⑧ 逆用公式变化，xy z 2x y z 2xyzxyzx y z x y z2x 2y 2z4xy4xz例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
解：∵=+2)(b a222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+ba ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +- ∴-+2)(b a=-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+ba ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3：计算19992-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。
解：19992-2000×1998 =19992-（1999+1）×（1999-1） =19992-（19992-12）=19992-19992+1 =1例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。
平方差与完全平方公式专练
平方差与完全平方公式专练一、平方差公式平方差公式是指一个差的平方可以展开为两个数的平方的差。
即对于任意实数a和b，有(a+b)(a-b)=a^2-b^2下面通过一些例题来让我们更好地理解和运用平方差公式。
例题1：计算下列各式的值：(1)(6+3)(6-3)(2)(5+2)(5-2)(3)(9+4)(9-4)解答：(1)(6+3)(6-3)=6^2-3^2=36-9=27(2)(5+2)(5-2)=5^2-2^2=25-4=21(3)(9+4)(9-4)=9^2-4^2=81-16=65例题2：已知两个数字的和为17，差为7，求这两个数字。
解答：设两个数字分别为x和y，根据题意可以得到两个方程：x+y=17x-y=7我们可以使用平方差公式对第二个方程进行变形：(x+y)(x-y)=(17)(7)可以得到：x^2-y^2=119将第一个方程代入上述方程中：17^2-y^2=119289-y^2=119y^2=289-119y^2=170y=±√170代入第一个方程中可以解得：x=17-y如果y=√170，则x=17-√170如果y=-√170，则x=17+√170所以。
通过以上例题的练习，我们可以发现平方差公式在解决方程和计算中的巧妙运用，可以简化计算过程，提高解题效率。
二、完全平方公式完全平方公式是指一个二次多项式可以写成一个二次项的平方。
即对于任意实数a和b，有a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2下面通过一些例题来让我们更好地理解和运用完全平方公式。
例题1：计算下列各式的值：(1)2^2+2(2)(3)+3^2(2)(-5)^2+2(-5)(4)+4^2(3)12^2+2(12)(5)+5^2解答：(1)2^2+2(2)(3)+3^2=(2+3)^2=5^2=25(2)(-5)^2+2(-5)(4)+4^2=(-5+4)^2=(-1)^2=1(3)12^2+2(12)(5)+5^2=(12+5)^2=17^2=289例题2：已知一个二次多项式x^2+10x+k是一个完全平方，求k的值。
七年级下册数学复习——平方差公式、完全平方公式
2.2 平方差公式、完全平方公式知识要点：✧平方差公式：22()()a b a b a b +-=- ✧完全平方公式：222222()2,()2x y x xy y x y x xy y +=++-=-+ ✧ 常用变形：x 2+y 2＝（x+y ）2－2xy ； x 2+y 2＝（x －y ）2＋2xy ；（x+y ）2 ＝（x －y ）2+4xy ； （x －y ）2＝（x+y ）2 — 4xy ； （x+y ）2 —（x －y ）2=4xy✧ 注意：x 和y 可以表示一个单项式，也可以表示一个多项式，当表示一个多项式时，就将这个多项式视为一个整体。
1. 平方差公式题型1：直接运用公式1）（a+3）(a-3) 2）(1+2c)(1-2c) 3）(-x+2)(-x-2) 4）(2x+12)(2x-12)2. 平方差公式题型2：运用公式使计算简便1）1998×2002 2）498×502 3）1.01×0.99 4）（20-19）×（19-89）3. 平方差公式题型3：两次运用平方差公式1）（a+b ）(a-b)(a 2+b 2) 2）(3a+2)(3a-2)(9a 2+4)3）(x-12)(x 2+14)(x+12) 4)))94)(64)(32(2++-a a a4. 平方差公式题型4：需要先变形再利用平方差公式1）（-2x-y ）(2x-y) 2）(32)(32)a a --- 3）(ab+1)(1-ab) 4）)43)(43(22---x x5. 平方差公式题型5：每个多项式含三项，需要打包1）（a+2b+c ）(a+2b-c) 2）(a+b-3)(a-b+3)3）（x-y+z)(x+y-z) 4）(3x-2y+1)(3x+2y-1)6. 完全平方公式变形：1）a 2+b 2=(a+b)2 =(a-b)2 2）（a-b ）2=(a+b)2 ; (a+b)2=(a-b)23）(a+b)2 +（a-b ）2= 4）(a+b)2 —（a-b ）2=7. 完全平方公式题型1：直接利用公式2)12(--t 2)2332(y x + (0.02x+0.1y)28. 完全平方公式题型2：括号中的多项式含有三项，需要打包（1）(2x+y-z)2 （2）(a+2b-2)29. 完全平方公式题型3：运用公式使计算简便（1）1022 （2）197210. 其他题型1) 若622=-n m ，且3=-n m ，则=+n m ．2) 若m - n= 8,mn=30,则m 2+n 2=___________3) 若016822=+-+-n n m ，则______________,==n m 。
平方差与完全平方专题(含标准答案)
乘法公式的复习一、复习:(a+b)(a-b)=a2-b 2 (a+b )2=a 2+2ab+b 2(a-b)2=a 2-2ab+b 2(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3(a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3概括小结公式的变式，正确灵巧运用公式：①地点变化，x y y x x 2y 2②符号变化，x yx yx 2y 2x 2y 2③指数变化，x 2y 2x 2y 2x 4y 4④系数变化，2ab2ab 4a 2 b 2⑤换式变化，xyzm x yzmxy 2 zm 2x 2y 2zmzm2 y 2 22x z zmzmm2 y 2 22x z 2zmm⑥增项变化， xyzxyzxy 2z 2 xyxy z 222 2xyxyyz22xyy 2z 2连用公式变化，xyxyx 2y 2x 2y 2x 2y 2 x 4y 4⑧逆用公式变化，xyz2xyz2xyz xyz xyz xyz2x 2y2z4xy4xz例1．已知a b 2，ab 1，求a2b2的值。
1/20解：∵(ab)2a22abb2∴a2b2=(a b)22ab∵ab2，ab1∴a2b2=22212例2．已知ab8，ab2，求(a b)2的值。
解：∵(a b)2a22ab b2(ab)2a22ab b2∴(a b)2(a b)24ab∴(a b)24ab=(a b)2∵ab8，ab2∴(ab)2824256例3：计算19992-2000×1998〖分析〗本题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好切合平方差公式。
解：19992-2000×1998=19992-（1999+1）×（1999-1）=199922222-（1999-1）=1999-1999+1=1例4：已知a+b=2，ab=1，求a2+b2和(a-b)2的值。
〖分析〗本题可用完整平方公式的变形得解。
解：a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2=2a-b)2=(a+b)2-4ab=4-4=0例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。
(完整版)实用版平方差、完全平方公式专项练习题(精品)
③（ 3－ x）（ x+3） =x 2－ 9；④（－ x+y ） ·（ x+y ） =－（ x － y）（ x+y ） =－ x2－ y 2．
A． 1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
4．若 x2－ y2=30 ，且 x － y= － 5，则 x+y 的值是（ ）
A．5 二、填空题
B．6
C．－ 6
D ．－ 5
其中 x=1.5
1．平方差公式（ a+b）（a－ b） =a2－ b2 中字母 a， b 表示（ ）
A ．只能是数
B．只能是单项式
C．只能是多项式 D．以上都可以
2．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（
）
(3) (2a b) 2
(2a b)(a b) 2(a
2b )( a
2b) ，其中 a
较小的正方形的面积，差是 _____．
三、计算题
- 2-
9．利用平方差公式计算： 20 2 ×21 1 ． 33
10．计算：（ a+2）（ a2+4）（ a4+16）（ a－2）．
二、提高题
1．计算： （ 1）（ 2+1）（ 22+1）（ 24+1） … （22n+1） +1 （ n 是正整数）；
2、已知 (a b)2 16, ab 4, 求 a2 b2 与 (a b)2 的值。 3
- 3-
练一练 1 ．已知 (a b) 5, ab 3 求 (a b)2 与 3(a2 b2) 的值。 2 ．已知 a b 6, a b 4 求 ab 与 a2 b2 的值。
3、已知 a b 4, a2 b2 4 求 a2b 2 与 (a b)2 的值。
完全平方公式和平方差公式的专项复习
问题(1)若△ABC旳三边长 都是正整数，且满足 ，请问△ABC是什么形状?
(2)若 ，求 旳值．
(3)已知 是△ABC旳三边长，满足 ，求 旳范畴．
(4)已知 ，则 ．
变式2.阐明不管 、 取什么有理数，多项式 旳值总是正数。
变式3.已知 、 满足 ，则代数式 旳值为
例5因式分解
5.若 、 为有理数，且 ，则 =。
1.（1） （2）
（3）
变式1已知多项式2x3-x2+m有一种因式(2x+1),求m旳值.
例6.既有足够旳2×2，3 ×3旳正方形和2×3旳矩形图片A、B、C（如图），先从中各选用若干个图片拼成不同旳图形，请你在下面给出旳方格纸（每个小正方形旳边长均为1）中，按下列规定画出一种拼法旳示意图（规定每两个图片之间既无缝隙，也不重叠，画图时必须保存作图痕迹）.
（1）选用A型、B型两种图片各1块，C型图片2块，拼成一种正方形；
（2）选用A型图片4块、B型图片1块，C型图片4块，拼成一种正方形；
（3）选用A型图片3块、B型图片1块，再选用若干块C型图片，拼成一种矩形.
变式1.已知3种形状旳长方形和正方形纸片（如图1）：用它们拼成一种长为（3a+2b）、宽为（a+b）旳长方形，各需多少块？并画出图形.
【真题预测重现】
多项式 加上一种单项式后，使它能成为一种整式旳完全平方，则加上旳单项式可以是____________（填上你觉得对旳旳一种即可，不必考虑所有旳也许状况）。
【乘胜追击（课堂巩固）】
1.已知 、 为有理数，设 .计算：
3.计算：
4.计算：
【典例分析＆变式练习】
例1.已知a+b=2，ab=1，求a2+b2和(a-b)2旳值
初一奥数专题讲义——完全平方公式与平方差公式
完全平方公式与平方差公式一．知识要点1．乘法公式就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。
公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
2．基本公式完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b22 23（1（24由（由5（a+b（a－a n－b n能被a－b整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n－b2n能被a+b及a－b整除。
二．例题精选例1．已知x、y满足x2+y2+54=2x+y,求代数式xyx y的值。
例2．整数x,y满足不等式x2+y2+1≤2x+2y,求x+y的值。
例3．同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整.甲商场:•第一次提价的百分率为a,第二次提价的百分率为b; 乙商场:两次提价的百分率都是2a b+(a>0,•b>0); 丙商场:第一次提价的百分率为b,第二次提价的百分率为a,•则哪个商场提价最多?说明理由. 例4．计算:(1)6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1；(2)1.345×0.345×2.69-1.3453-1.345×0.3452.例5222()例6例7例8数.12A.x 3A 45(2)19492-19502+19512-19522+……+19972-19982+19992=_________。
6．已知a+1a=5,则=4221a a a ++=_____。
7．已知两个连续奇数的平方差为•2000,•则这两个连续奇数可以是______.8．已知a 2+b 2+4a -2b+5=0,则a ba b +-=_____.9．若代数式b x x +-62可化为1)(2--a x ，则b ﹣a 的值是． 10．已知a 、b 、c 均为正整数,且满足a 2+b 2=c 2,又a 为质数.证明:(1)b 与c 两数必为一奇一偶；(2)2(a+b+1)是完全平方数. 参考答案： 一．例题精选例1．提示:由已知得(x-1)2+(y-12)2=0,得x=1,y=12,原式=13例2．原不等式可化为(x-1)2+(y-1)2≤1,且x 、y 为整数,(x-1)2≥0,(y-1)2≥0,•10x -=11x -=±10x -=解得x y =⎧⎨⎩例3例4．(2)设例5． 例6．P ＜Q ；差值法：P -例7．例8因(x 12+x 22+…+x 102)-(y 12+y 22…+y 102)=(x 12-y 12)+(x 22-y 22)+…+(x 102-y 102) =(x 1+y 1)(x 1-y 1)+(x 2+y 2)(x 2-y 2)+…+(x 10+y 10)(x 10-y 10) =9[(x 1+x 2+…+x 10)-(y 1+y 1+…+y 10)]=0二．同步练习9．121)(222-+-=--a ax x a x ，这个代数式于b x x +-62相等，因此对应的系数相等，即﹣2a ＝﹣6，解得a ＝3，b a =-12，将a ＝3代入得b ＝8，因此b ﹣a ＝5． 10．解:(1)因(c+b)(c-b)=a 2,又c+b 与c-b 同奇同偶,c+b>c-b,故a•不可能为偶质数2,a应为奇质数,c+b与c-b同奇同偶,b与c必为一奇一偶.(2)c+b=a2,c-b=1,两式相减,得2b=a2-1,于是2(a+b+1)=2a+2b+2=2a+a2-1+2=(a+1)2,为一完全平方数.。
(完整版)平方差公式与完全平方公式知识点总结
乘法公式的复习一、平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：①位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2②符号变化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2③指数变化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4④系数变化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2⑤换式变化，[xy+(z+m)][xy-(z+m)]=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z+m)(z+m)=x2y2-(z2+zm+zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2⑥增项变化，(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-xy-xy+y2-z2=x2-2xy+y2-z2⑦连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z )=-4xy +4xz完全平方公式活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。
这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：()()()()()()()12223244222222222222....a b ab a b a b ab a b a b a b a b a b a b ab +-=+-+=+++-=++--=灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。
例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3 已知a b ab -==45，，求a b 22+的值。
平方差公式和完全平方公式复习
小试牛刀
D
小试牛刀
D
小试牛刀
D
小试牛刀
25 30q 9q2
4a2 20a 25
16x4 72x2 81
x2 2xy y2 16 a4 2a2 1
(6)
x 2
5
2
x 2
5
2
10x
(7) (x+1)2(x-1)2(x2+1)2(x4+1)2 x16 2x8 1
（8） (a-2b+c)(a+2b-c) a2 4b2 4bc c2 （9） (x+5)2-(x-2)(x-3) 15x 19
平方差公式和完全平 方公式复习和拓展
平方差公式：
(a+b)(a−b)= a2−b2
两数和与这两数差的积,
等于 这两数的平方差.
公式变形:
1、（a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2、（b + a )( -b + a ) = a2 - b2
1、对应练习
1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ (1)(x+3)(x－3)=x2－3； (2)(－3a－5)(3a－5)=9a2－25.
(x 1)(x2 mx n) x3 (m 1)x2 (m n)x n 由题意得 m 1 2，1 n m 3, n 1
2 、求使 (x2+px+8)(x2-3x+q)的积中
不含 x2与x3项 p、q的值
x2 px 8x2 3x q
x4 3x3 qx2 px3 3 px2 pqx 8x2 24x 8q x4 (3 p)x3 (q 3 p 8)x2 ( pq 24)x 8q 由题意 3 p 0，q 3 p 8 0 p 3, q 1
平方差公式与完全平方公式提高训练
平方差公式与完全平方公式提高训练一、平方差公式x_1x_2=c/ax_1+x_2=-b/a其中，a、b、c为方程的系数。
平方差公式可以帮助我们在解二次方程时，通过已知的一根求出另一根。
它的推导基于第二个根是解得方程ax^2+bx+c=0的一个根，记为x_2、那么我们可以将二次方程表示为(x-x_2)(x-x_1)=0，展开：x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0。
比较系数即可得到平方差公式。
举例来说，假设有一个二次方程x^2-5x+6=0，我们可以使用平方差公式来解题。
根据平方差公式，我们可以得到：x_1x_2=6/1=6x_1+x_2=-(-5)/1=5因此，方程的两个根分别为2和3二、完全平方公式完全平方公式是指对于一个一次方程x^2+2ax+a^2=b，可以转变为(x+a)^2=b的形式。
完全平方公式可以帮助我们在解一次方程时，简化计算。
它的推导基于二次方程与一次方程的关系：对于一个二次方程ax^2+bx+c=0，如果它有两个相等的根x_1=x_2=x，那么x也是对应的一次方程bx+c=0的一个解。
举例来说，假设有一个一次方程x^2+6x+9=25，我们可以使用完全平方公式来解题。
根据完全平方公式，我们可以得到：(x+3)^2=25因此，方程的解为x=-3±√25总结：平方差公式和完全平方公式是高中数学中非常基础和重要的概念，它们在解二次方程和一次方程时非常有用。
通过掌握和熟练应用这两个公式，我们可以简化计算，提高解题效率。
因此，在数学学习中，我们要加强对这两个公式的理解和应用。
平方差公式及完全平方公式复习课
（二）知识梳理
平方差公式： ( a +b) ( a - b) = a2 - b2 完全平方公式： ( ) a +b 2 = a2 + 2ab +b2 ( ) a - b 2 = a2 - 2ab +b2
用自己的语言叙 述我们的公式。
注意
使用完全平方公式与平方差公式一样, 先把要计算的式子与公式对照,
的值.
动脑筋
（三）课中探究
变式：如果 4x2 - Mxy +9是y一2 个完全平方式，
求M的值.
（三）课中探究 4.根据图形面积列恒等式
(1)如图，用四张相同的长方形纸片拼成的图形， 请利用图中阴影部分的面积的不同表示方法写 出一 个关于 a,b的恒等式：
__(_a_+_b_)_2_-_4_a_b__=_(_a_-_b_)_2__.
其中， x = 2, y.= 1 2
（三）课中探究
2.巧用公式
计算（1）98´ 102= _9_9_9_6__
（2） 992 = _9_8_0_1_
（3） 2252 - 224? 226 __1____
注意
有负号出现的地方注意添加括号！
学一学
（三）课中探究
3.完全平方式
如果 4x2 + Mxy +9是y一2 个完全平方式， 求M
a 明确哪个是 , 哪个是 b.
（三）课中探究
1.公式应用
（1）(3x +7 y)(3x－7 y)
( ) （2） - 2a - 1 2
( ) （3） - n2 +mn 2
( （4） x - y - 3) ( x - y +3)
（三）课中探究
完整版)平方差公式与完全平方公式练习题
完整版)平方差公式与完全平方公式练习题1.计算以下多项式的积：1) $x^2-1$2) $m^2-4$3) $(2x)^2-1$4) $x^2-25y^2$2.哪些多项式可以用平方差公式相乘？1) 可以2) 可以3) 可以4) 可以5) 可以6) 可以3.计算：1) $9x^2-4$2) $4a^2-3b^2$3) $4y^2-x^2$4.简便计算：1) $9996$2) $-y^2-3y+10$5.计算：1) $4y^2-xy-2x^2$2) $25-4x^2$3) $-0.5x^4+0.25x^2$4) $12x$5) $.75$6) $9999$6.证明：两个连续奇数的积加上1一定是一个偶数的平方。
假设两个连续奇数为$(2n+1)$和$(2n+3)$，它们的积为$(2n+1)(2n+3)=4n^2+8n+3$，加上1后得到$4n^2+8n+4=(2n+2)^2$，是一个偶数的平方。
7.求证：$(m+5)^2-(m-7)^2$一定是24的倍数。
m+5)^2-(m-7)^2=(m^2+10m+25)-(m^2-14m+49)=24m-24$。
是24的倍数。
完全平方公式（一）1.应用完全平方公式计算：1) $16m^2+8mn+n^2$2) $y^2-6y+9$3) $a^2+2ab+b^2$4) $b^2-2ab+a^2$2.简便计算：1) $$2) $9801$3) $50$4) $50$3.计算：1) $16x^2-8xy+y^2$2) $9a^4-24a^3b+16a^2b^2$3) $10xy^2-y^4$4) $-9a^2-2ab-3b^2$5) $6x^2-3xy+3y^2$4.在下列多项式中，哪些是由完全平方公式得来的？1) 是2) 是3) 不是4) 是5) 是完全平方公式（二）1.运用法则：1) $a+\dfrac{b-c}{2}$2) $a-\dfrac{b-c}{2}$3) $a-\dfrac{b+c}{2}$4) $a+\dfrac{b+c}{2}$2.判断下列运算是否正确：1) 正确2) 错误3) 正确4) 错误3.计算：1) $x^2-4y^2+12x-12y+9$2) $a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$3) $6x+9$4) $2x^2+16x+19$4.计算：dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{4}$1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}$dfrac{1}{c^2}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{4}$1.求(a-b+2c)²和(a+b+c)²-(a-b-c)²的结果。
(完整版)平方差公式、完全平方公式综合练习题
乘法公式1、平方差公式一、填空题⑴ （b + a ）(b －a) = _______________， (x －2） （x + 2） = _________________；⑵ （3a + b ） (3a －b) =________________, (2x 2－3） （－2x 2－3) = ______________________；⑶ 2294)3)(______3(______________,__________)2132)(2132(b a b b a a -=-+=-+ ⑷ （x + y ） （－x + y ） = ______________， (－7m －11n ） （11n －7m ） = ____________________; ⑸ _____________________)2)(4)(2(___,__________)2)(2(2=++-=---a a a y x x y ;2、计算题)5)(5(33m n n m -+ )2.02)(22.0(x y y x -+)1)(1(---xy xy )132)(132(++--y x y x3、⑴下列可以用平方差公式计算的是( ）A 、(x －y) (x + y)B 、(x －y ） (y －x)C 、（x －y)（－y + x ）D 、（x －y ）(－x + y) ⑵下列各式中，运算结果是22169b a -的是（ ）A 、)43)(43(b a b a --+-B 、)34)(34(a b a b --+-C 、)34)(34(a b a b -+D 、)83)(23(b a b a -+⑶若2422549))(________57(y x y x -=--，括号内应填代数式（ )A 、y x 572+B 、y x 572--C 、y x 572+-D 、y x 572- ⑷22)213()213(-+a a 等于( ) A 、4192-a B 、161814-a C 、161298124+-a a D 、161298124++a a 4、计算题⑴ x (9x －5)－（3x + 1） (3x －1） ⑵ （a + b －c ） （a －b + c ）⑶)49)(23)(23(22b a b a b a ++- ⑷ (2x －1） (2x + 1）－2（x －2) (x + 2)4、解不等式1)3)(3()2(2<-+-+y y y2、完全平方公式一、填空题⑴ （x + y ）2=_________________,（x －y ）2=______________________;⑵______________________)2(_________,__________)3(22=+-=-b a b a ⑶41________)21(22+=-x x⑷ (3x + ________)2=__________+ 12x + ____________；⑸ _________________________)2(__,__________)()(222=--+-=+y x b a b a ;⑹ (x 2－2)2－（x 2 + 2)2 = _________________________;二、计算题 ⑴2)2332(y x - ⑵22)2()2(a b b a -++⑶)1)(1)(1(2--+m m m ⑷ 22)2()2(n m n m -+⑸22)23()32(+-+x x ⑹2)32(z y x +-7、已知x + y = a ， xy = b ,求(x －y) 2 ，x 2 + y 2 ,x 2－xy + y 2的值8、已知3)()1(2-=+-+y x x x ，求xy y x -+222的值一、判断题⑴222964)32(y xy x y x +-=- ( ) ⑵ (3a 2 + 2b )2 = 9a 4 + 4b 2 ( )⑶2234226.004.0)2.0(n m n m m mn m ++=-- （ )⑷ (－a + b) (a －b ） = －(a －b ） (a －b) = －a 2－2ab + b 2 （ )二、选择题⑴2)2(n m +-的运算结果是 （ )A 、2244n mn m ++B 、2244n mn m +--C 、2244n mn m +-D 、2242n mn m +-⑵运算结果为42421x x +-的是 （ )A 、22)1(x +-B 、22)1(x +C 、22)1(x --D 、2)1(x -⑶已知2264b Nab a +-是一个完全平方式,则N 等于 ( )A 、8B 、±8C 、±16D 、±32⑷如果22)()(y x M y x +=+-,那么M 等于 ( ）A 、 2xyB 、－2xyC 、4xyD 、－4xy三、计算题⑴ 22)()(y x y x +- ⑵22)35()35(y x y x ++-⑶ ))((c b a c b a +--+ ⑷ 2222)2()4()2(++-t t t5、已知(a + b ） 2 =3，(a －b) 2 =2 ,分别求a 2 + b 2， ab 的值提高拓展1、已知a+b=4，a 2－b 2=20,则a －b= .若x+y=6，x 2－y 2=24，则x －y= ；2、若（x+y ）2=9，（x －y ）2=5,则xy= 。
平方差公式与完全平方公式试题含答案
乘法公式的复习一、复习:(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2 ② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2 ③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2= x 2y 2-(z 2+2zm +m 2)=x 2y 2-z 2-2zm -m 2 ⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2 =x 2-2xy +y 2-z 2 ⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2)=x 4-y 4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz 例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+ ∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯- 例22解：∵(∴+)(b a ∵+b a 例3解：例4解：a 2+b （例5x-z 的积得来例61=（2-1）和解：（ =（ =24096 =161024因为当一个数的个位数字是6的时候，这个数的任意正整数幂的个位数字都是6，所以上式的个位数字必为6。
例7．运用公式简便计算 （1）1032 （2）1982 解：（1）1032=(100+3)2 =1002+2⨯100⨯3+32 =10000+600+9 =10609（2）1982=(200-2)2 =2002-2⨯200⨯2+22 =40000-800+4 =39204 例8．计算（1）(a +4b -3c )(a -4b -3c ) （2）(3x +y -2)(3x -y +2) 解：（1）原式=[(a -3c )+4b ][(a -3c )-4b ]=(a -3c )2-(4b )2=a 2-6ac +9c 2-16b 2 （2）原式=[3x +(y -2)][3x -(y -2)]=9x 2-( y 2-4y +4)=9x 2-y 2+4y -4 例9．解下列各式（1）已知a 2+b 2=13，ab =6，求(a +b )2，(a -b )2的值。
平方差和完全平方公式(知识解读+真题演练+课后巩固)(解析版)
第03讲平方差和完全平方公式1.掌握平方差和完全平方公式结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2.学会运用平方差和完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3.能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.4.能用平方差和完全平方公式的逆运算解决问题知识点1：平方差公式平方差公式：22()()a b a b a b+-=-语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.注意：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.知识点2：平方差公式的特征抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：①位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2②符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2=x 2-y 2③指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4④系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2⑤换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m )=x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2)=x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2=(x -y )(x -y )-z 2=x 2-xy -xy +y 2-z 2=x 2-2xy +y 2-z 2知识点3：完全平方公式完全平方公式：()2222a b a ab b+=++2222)(b ab a b a +-=-两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：()2222a b a b ab +=+-()22a b ab=-+()()224a b a b ab+=-+知识点4：拓展、补充公式2222222a b c ab ac bc=+++++（a+b+c）222112a a a±=+±（a ）2()()()x p x q x p q x pq ++=+++；2233()()a b a ab b a b ±+=± ；33223()33a b a a b ab b ±=±+±；2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++.【题型1平方差公式运算】【典例1】（2023春•渭南期中）计算（3a +2）（3a ﹣2）＝9a 2﹣4．【答案】9a 2﹣4．【解答】解：（3a +2）（3a ﹣2）＝9a 2﹣4．故答案为：9a 2﹣4．【变式1-1】（2023春•蕉城区校级月考）若a +b ＝1，a ﹣b ＝2022，则a 2﹣b 2＝2022．【答案】2022．【解答】解：∵a +b ＝1，a ﹣b ＝2022，∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2＝1×2022＝2022．故答案为：2022．【变式1-2】（2023春•双峰县期末）（4a+b）（﹣b+4a）＝16a2﹣b2．【答案】16a2﹣b2．【解答】解：原式＝（4a）2﹣b2＝16a2﹣b2．故答案为：16a2﹣b2．【变式1-3】（2023春•埇桥区期末）计算：（2x﹣3y）（3y+2x）＝4x2﹣9y2．【答案】4x2﹣9y2．【解答】解：（2x﹣3y）（3y+2x）＝（2x）2﹣（3y）2＝4x2﹣9y2．故答案为：4x2﹣9y2．【典例2】（2023春•佛冈县期中）19992﹣1998×2002．【答案】﹣3995．【解答】解：原式＝（2000﹣1）2﹣（2000﹣2）×（2000+2）＝20002﹣4000+1﹣20002+4＝﹣3995．【变式2-1】（2023•皇姑区校级开学）简便运算：20222﹣2020×2024．【答案】4．【解答】解：20222﹣2020×2024＝20222﹣（2022﹣2）×（2022+2）＝20222﹣（20222﹣4）＝20222﹣20222+4＝4．【变式2-2】（2023春•安乡县期中）计算：20222﹣2021×2023．【答案】1．【解答】解：20222﹣2021×2023．＝20222﹣（2022﹣1）×（2022+1）＝20222﹣20222+1＝1．【变式2-3】（2023春•渭滨区期末）用整式乘法公式计算：899×901+1．【答案】810000．【解答】解：899×901+1＝（900﹣1）×（900+1）+1＝9002﹣1+1＝810000．【题型2平方差公式的逆运算】【典例3】（2023春•海阳市期末）已知x+2y＝13，x2﹣4y2＝39，则多项式x﹣2y的值是3．【答案】3．【解答】解：∵x+2y＝13，x2﹣4y2＝39，∴x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝39，∴x﹣2y＝3．故答案为：3．【变式3-1】（2023春•辽阳期末）若m2﹣n2＝6，且m+n＝3，则n﹣m等于﹣2．【答案】﹣2．【解答】解：∵（m+n）（m﹣n）＝m2﹣n2，∴m﹣n＝（m2﹣n2）÷（m+n）＝6÷3＝2，∴n﹣m＝﹣2，故答案为：﹣2．【变式3-2】（2023春•广饶县期中）已知实数a，b满足a2﹣b2＝40，a﹣b＝4，则a+b的值为10．【答案】10．【解答】解：∵a2﹣b2＝40，∴（a+b）（a﹣b）＝40，∵a﹣b＝4，∴a+b＝10．故答案为：10．【变式3-3】（2023春•甘州区校级期末）若m2﹣n2＝6，m+n＝3，则＝1．【答案】1．【解答】解：∵m2﹣n2＝6，m+n＝3，∴（m﹣n）（m+n）＝6，则m﹣n的值是2，∴＝1．故答案为：1．【题型3平方差公式的几何背景】【典例4】（2023春•东昌府区校级期末）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成垄一个矩形．（1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是：B．A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）D．a2﹣b2＝（a﹣b）2（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知：a+b＝7，a2﹣b2＝28，求a﹣b的值；②计算：；【答案】（1）B；（2）a﹣b＝4；（3）．【解答】解：（1）第一个图形面积为a2﹣b2，第二个图形的面积为（a+b）（a ﹣b），∴可以验证的等式是：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：B；（2）∵a+b＝7，a2﹣b2＝28，∴（a+b）（a﹣b）＝28，即7（a﹣b）＝28，∴a﹣b＝4；（3）原式＝（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×...×（1﹣）×（1+）＝××××××...××＝×＝．【变式4-1】（2023春•高明区月考）乘法公式的探究及应用．（1）如图1到图2的操作能验证的等式是D．（请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2+ab＝a（a+b）C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4abD．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）（2）当4m2＝12+n2，2m+n＝6时，则2m﹣n＝2；（3）运用你所得到的公式，计算下列各题：①20232﹣2022×2024；②2×（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）+1．【答案】（1）D；（2）2；（3）①1；②332．【解答】解：（1）如图，图1中阴影面积为a2﹣b2，图2的阴影面积为（a+b）（a﹣b），∴图1到图2的操作能验证的等式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：D；（2）∵4m2＝12+n2，∴4m2﹣n2＝12即（2m+n）（2m﹣n）＝12，∵2m+n＝6，∴2m﹣n＝2，故答案为：2；（3）①20232﹣2022×2024＝20232﹣（2023﹣1）×（2023+1）＝20232﹣20232+1＝1；②2×（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）+1＝（3﹣1）×（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）+1＝（32﹣1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）+1＝（34﹣1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）+1＝（38﹣1）×（38+1）×（316+1）+1＝（316﹣1）×（316+1）+1＝332﹣1+1＝332．【变式4-2】（2023春•清远期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．（1）根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式：C（选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2；B．a2+ab＝a（a+b）；C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），D．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab（2）请应用（1）中的等式，解答下列问题：（1）计算：2022×2024﹣20232；（2）计算：3（22+1）（24+1）（28+1）…（264+1）+1．【答案】（1）C；（2）①﹣1，2128．＝a2﹣b2.根据图2知：S阴影＝（a+b）（a 【解答】解：（1）根据图1知：S阴影﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：C．（2）①原式＝（2023﹣1）（2023+1）﹣20232＝20232﹣12﹣20232＝﹣1．②原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（264+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（264+1）+1＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（264+1）+1＝（2128﹣1）+1＝2128．【变式4-3】（2023春•屏南县期中）乘法公式的探究及应用：如图，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形．（1）通过计算左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（2）利用上述乘法公式计算：①1002﹣98×102；②（2m+n﹣p）（2m+n+p）．【答案】（1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（2）①4；②4m2+4mn+n2﹣p2．【解答】解：（1）两个图形中阴影部分面积一致，大小正方形面积之差等于等腰梯形的面积，且等腰梯形的高为大小正方形边长差，故；故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（2）①1002﹣98×102＝1002﹣（100﹣2）（100+2）＝1002﹣（1002﹣22）＝1002﹣1002+22＝4②（2m+n﹣p）（2m+n+p）＝（2m+n）2﹣p2＝4m2+4mn+n2﹣p2．【题型4完全平方公式】【典例5】（2023春•砀山县校级期末）计算：（x+4）2﹣x2＝8x+16．【答案】8x+16．【解答】解：（x+4）2﹣x2＝x2+8x+16﹣x2＝8x+16，故答案为：8x+16．【变式5-1】（2023春•威宁县期末）已知x2+y2＝10，xy＝2，则（x﹣y）2＝6．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵x2+y2＝10，xy＝2，∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝10﹣4＝6．故答案为：6．【变式5-2】（2023春•东港市期中）若（2x﹣m）2＝4x2+nx+9，则n的值为±12．【答案】±12．【解答】解：∵（2x﹣m）2＝4x2﹣4mx+m2，∴m2＝9，∴m＝±3，∴n＝﹣4m＝±12．故答案为：±12．【变式5-3】（2023春•未央区校级月考）计算：（x+2）2+（1﹣x）（2+x）．【答案】3x+6．【解答】解：原式＝x2+4x+4+2+x﹣2x﹣x2＝3x+6．【题型5完全平方公式下得几何背景】【典例6】（2023秋•绿园区校级月考）为创建文明校园环境，高校长制作了“节约用水”“讲文明，讲卫生”等宣传标语，标语由如图①所示的板材裁剪而成，其为一个长为2m，宽为2n的长方形板材，将长方形板材沿图中虚线剪成四个形状和大小完全相同的小长方形标语，在粘贴过程中，同学们发现标语可以拼成图②所示的一个大正方形．（1）用两种不同方法表示图②中小正方形（阴影部分）面积：＝（m﹣n）2；方法一：S小正方形＝（m+n）2﹣4mn；方法二：S小正方形（2）（m+n）2，（m﹣n）2，4mn这三个代数式之间的等量关系为（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a﹣b＝5，ab＝﹣6，求：（a+b）2的值；②已知：a﹣＝1，求：的值．【答案】（1）（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn；（2）（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；（3）①1；②5．【解答】解：（1）方法1：；方法2：，故答案为：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn；（2）∵（m+n）2＝m2+2mn+n2，（m﹣n）2+4mn＝m2﹣2mn+n2+4mn＝m2+2mn+n2，∴（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn，故答案为：（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；（3）①a﹣b＝5，ab＝﹣6，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，＝52+4×（﹣6）＝25+（﹣24）＝1；②＝12+4＝1+4＝5．【变式6-1】（2023春•甘州区校级期中）图1是一个长为2x、宽为2y的长方形，沿图中虚线用剪刀剪成四个完全相同的小长方形，然后按图2所示拼成一个正方形．（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于x﹣y．（2）试用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．方法1：（x﹣y）2；方法2：（x+y）2﹣4xy．（3）根据图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：（x+y）2，（x﹣y）2，4xy．（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若x+y＝4，xy＝3，则（x﹣y）2＝4．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）图②中的阴影部分的小正方形的边长＝x﹣y；故答案为：（x﹣y）；（2）方法①（x﹣y）2；方法②（x+y）2﹣4xy；故答案为：（x﹣y）2，（x+y）2﹣4xy；（3）（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy；故答案为：（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy；（4）（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝42﹣12＝4故答案为：4．【变式6-2】（2023•永修县校级开学）如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．（1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积（直接用含m，n的代数式表示）．方法一：（m+n）2﹣4mn；方法二：（m﹣n）2．（2）根据（1）的结论，请你写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系．（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知实数a，b满足：a+b ＝6，ab＝5，求a﹣b的值．【答案】（1）（m+n）2﹣4mn，（m﹣n）2；（2）代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系可表示为：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；（3）±4．【解答】解：（1）由题意得，图②中阴影部分的面积为（m+n）2﹣4mn或（m﹣n）2，故答案为：（m+n）2﹣4mn，（m﹣n）2；（2）由（1）题可得，（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2，∴代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系可表示为：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；（3）由（2）题结果可得，（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，∴a﹣b＝±，∴当a+b＝6，ab＝5时，a﹣b＝±＝±＝＝±4．【变式6-3】（2023春•湖州期中）阅读理解：若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b．则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80．解决问题：（1）若x满足（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝2020．求（2021﹣x）（x﹣2018）的值；（2）如图，在矩形ABCD中，AB＝20，BC＝12，点E、F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x．分别以FC、CE为边在矩形ABCD外侧作正方形CFGH 和CEMN，若矩形CEPF的面积为160平方单位，求图中阴影部分的面积和．【答案】（1）﹣；（2）384．【解答】解：（1）设2021﹣x＝a，x﹣2008＝b．则a+b＝3，而（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝2020＝a2+b2，∴（2020﹣x）（x﹣2018）＝ab＝＝＝﹣；（2）由AB＝20，BC＝12，BE＝DF＝x，则CE＝12﹣x，CF＝20﹣x，∵矩形CEPF的面积为160平方单位，∴（12﹣x）（20﹣x）＝160，∴S＝CE2+FC2＝（12﹣x）2+（20﹣x）2，阴影部分设12﹣x＝m，20﹣x＝n，则mn＝160，m﹣n＝﹣8，∴S＝CE2+FC2＝（12﹣x）2+（20﹣x）2，阴影部分＝m2+n2＝（m﹣n）2+2mn＝64+320＝384，即阴影部分的面积为384．【题型6完全平方公式的逆运算】【典例7】（2023春•永丰县期中）已知：a2+b2＝3，a+b＝2．求：（1）ab的值；（2）（a﹣b）2的值；（3）a4+b4的值．【答案】（1）；（2）2；（3）．【解答】解：（1）∵a+b＝2，∴（a+b）2＝4，即a2+2ab+b2＝4，∵a2+b2＝3，∴3+2ab＝4，∴ab＝；（2）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝4﹣4×＝2；（3）a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2＝（a2+b2）2﹣2（ab）2＝32﹣2×（）2＝9﹣＝．【变式7-1】（2023春•都昌县期末）已知实数m，n满足m+n＝6，mn＝﹣3．（1）求（m+2）（n+2）的值；（2）求m2+n2的值．【答案】（1）13；（2）42．【解答】解：（1）因为m+n＝6，mn＝﹣3，所以（m+2）（n+2）＝mn+2m+2n+4＝mn+2（m+n）+4＝﹣3+2×6+4＝13．（2）m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝62﹣2×（﹣3）＝36+6＝42．【变式7-2】（2023春•周村区期末）若x+y＝2，且（x+3）（y+3）＝12．（1）求xy的值；（2）求x2+3xy+y2的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵（x+3）（y+3）＝12，∴xy+3x+3y+9＝12，则xy+3（x+y）＝3，将x+y＝2代入得xy+6＝3，则xy＝﹣3；（2）当xy＝﹣3、x+y＝2时，原式＝（x+y）2+xy＝22+（﹣3）＝4﹣3＝1．【变式7-3】（2022秋•大安市期末）已知m﹣n＝6，mn＝4．（1）求m2+n2的值．（2）求（m+2）（n﹣2）的值．【答案】（1）44；（2）﹣12．【解答】解：（1）因为m﹣n＝6，mn＝4，所以m2+n2＝（m﹣n）2+2mn＝62+2×4＝36+8＝44；（2）因为m﹣n＝6，mn＝4，所以（m+2）（n﹣2）＝mn﹣2m+2n﹣4＝mn﹣2（m﹣n）﹣4＝4﹣2×6﹣4＝﹣12．1．（2023•深圳）下列运算正确的是（）A．a3•a2＝a6B．4ab﹣ab＝4C．（a+1）2＝a2+1D．（﹣a3）2＝a6【答案】D【解答】解：A，a3•a2＝a3+2＝a5，故A选项错误，不合题意；B，4ab﹣ab＝3ab，合并同类项结果错误，故B选项错误，不合题意；C，（a+1）2＝a2+2a+1，故C选项错误，不合题意；D，（﹣a3）2＝a3×2＝a6，故D选项正确，符合题意；故选：D．2．（2022•赤峰）已知（x+2）（x﹣2）﹣2x＝1，则2x2﹣4x+3的值为（）A．13B．8C．﹣3D．5【答案】A【解答】解：（x+2）（x﹣2）﹣2x＝1，x2﹣4﹣2x＝1，x2﹣2x＝5，所以2x2﹣4x+3＝2（x2﹣2x）+3＝2×5+3＝10+3＝13，故选：A．3．（2022•百色）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．（ab）2＝a2b2【答案】A【解答】解：根据题意，大正方形的边长为a+b，面积为（a+b）2，由边长为a的正方形，2个长为a宽为b的长方形，边长为b的正方形组成，所以（a+b）2＝a2+2ab+b2．故选：A．4．（2022•兰州）计算：（x+2y）2＝（）A．x2+4xy+4y2B．x2+2xy+4y2C．x2+4xy+2y2D．x2+4y2【答案】A【解答】解：（x+2y）2＝x2+4xy+4y2．故选：A．5．（2023•凉山州）已知y2﹣my+1是完全平方式，则m的值是±2．【答案】±2．【解答】解：∵y2﹣my+1是完全平方式，y2﹣2y+1＝（y﹣1）2，y2﹣（﹣2）y+1＝（y+1）2，∴﹣m＝﹣2或﹣m＝2，∴m＝±2．故答案为：±2．6．（2023•雅安）若a+b＝2，a﹣b＝1，则a2﹣b2的值为2．【答案】2．【解答】解：∵a+b＝2，a﹣b＝1，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2×1＝2．故答案为：2．7．（2023•江西）化简：（a+1）2﹣a2＝2a+1．【答案】2a+1．【解答】解：原式＝a2+2a+1﹣a2＝2a+1，故答案为：2a+1．8．（2022•遵义）已知a+b＝4，a﹣b＝2，则a2﹣b2的值为8．【答案】8．【解答】解：∵a+b＝4，a﹣b＝2，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝4×2＝8，故答案为：8．9．（2022•乐山）已知m2+n2+10＝6m﹣2n，则m﹣n＝4．【答案】4．【解答】解：∵m2+n2+10＝6m﹣2n，∴m2﹣6m+9+n2+2n+1＝0，即（m﹣3）2+（n+1）2＝0，∴m＝3，n＝﹣1，∴m﹣n＝4，故答案为：4．10．（2022•大庆）已知代数式a2+（2t﹣1）ab+4b2是一个完全平方式，则实数t的值为或﹣．．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意可得，（2t﹣1）ab＝±（2×2）ab，即2t﹣1＝±4，解得：t＝或t＝．故答案为：或﹣．11．（2022•滨州）若m+n＝10，mn＝5，则m2+n2的值为90．【答案】90．【解答】解：∵m+n＝10，mn＝5，∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝102﹣2×5＝100﹣10＝90．故答案为：90．12．（2022•德阳）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，则xy＝4．【答案】4．【解答】解：∵（x+y）2＝x2+y2+2xy＝25，（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝9，∴两式相减得：4xy＝16，则xy＝4．故答案为：413．（2023•兰州）计算：（x+2y）（x﹣2y）﹣y（3﹣4y）．【答案】x2﹣3y．【解答】解：原式＝x2﹣4y2﹣（3y﹣4y2）＝x2﹣4y2﹣3y+4y2＝x2﹣3y．14．（2022•六盘水）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为a，b的正方形秧田A，B，其中不能使用的面积为M．（1）用含a，M的代数式表示A中能使用的面积a2﹣M；（2）若a+b＝10，a﹣b＝5，求A比B多出的使用面积．【答案】（1）a2﹣M；（2）50．【解答】解：（1）A中能使用的面积＝大正方形的面积﹣不能使用的面积，即a2﹣M，故答案为：a2﹣M；（2）A比B多出的使用面积为：（a2﹣M）﹣（b2﹣M）＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝10×5＝50，答：A比B多出的使用面积为50．1．（2023春•市南区校级期中）下列算式能用平方差公式计算的是（）A．（2a+b）（2b﹣a）B．（x+1）（﹣x﹣1）C．（3x﹣y）（﹣3x+y）D．（﹣m﹣n）（﹣m+n）【答案】D【解答】解：∵（2a+b）（2b﹣a）不符合平方差公式的特点，∴选项A不符合题意；∵（x+1）（﹣x﹣1）＝﹣（x+1）2，∴选项B不符合题意；∵（3x﹣y）（﹣3x+y）＝﹣（3x﹣y）2，∴选项C不符合题意；∵（﹣m+n）（﹣m﹣n）＝（﹣m）2﹣n2，∴选项D符合题意；故选：D．2.（2022秋•睢阳区期末）如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两个图形的面积，可以验证的等式是（）A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【答案】D【解答】解：∵图1中的阴影部分面积为：a2﹣b2，图2中阴影部分面积为：（2b+2a）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（2b+2a）（a﹣b），即a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：D．3．（2022秋•嵩县期末）已知x+y＝8，xy＝12，则x2﹣xy+y2的值为（）A．42B．28C．54D．66【答案】B【解答】解：∵x+y＝8，xy＝12，∴原式＝（x+y）2﹣3xy＝82﹣3×12＝64﹣36＝28．故选：B．4．（2022秋•海口期末）等式（﹣a﹣1）（）＝a2﹣1中，括号内应填入．A．a+1B．﹣1﹣a C．1﹣a D．a﹣1【答案】C【解答】解：结合题意，可知相同项是﹣a，相反项是1和﹣1，∴空格中应填：1﹣a．故选：C．5．（2022秋•离石区期末）若二次三项式x2+kx+4是一个完全平方式，则k的值是（）A．4B．﹣4C．±2D．±4【答案】D【解答】解：中间项为加上或减去x和2乘积的2倍，故k＝±4．故选：D．6．（2023春•攸县期末）若x2﹣y2＝3，则（x+y）2（x﹣y）2的值是（）A．3B．6C．9D．18【答案】C【解答】解：∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝3，∴原式＝32＝9，故选：C．7．（2022秋•邹城市校级期末）已知x2+2（m﹣1）x+9是一个完全平方式，则m的值为（）A．4B．4或﹣2C．±4D．﹣2【答案】B【解答】解：∵x2+2（m﹣1）x+9是一个完全平方式，∴2（m﹣1）＝±6，解得：m＝4或m＝﹣2，故选：B．8．（2022秋•渝北区校级期末）化简：（x+2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）．【答案】﹣2x2+2xy+5y2．【解答】解：原式＝x2+4xy+4y2﹣（3x2﹣xy+3xy﹣y2）＝x2+4xy+4y2﹣3x2+xy﹣3xy+y2＝﹣2x2+2xy+5y2．9．（2023春•渭滨区期中）请你参考黑板中老师的讲解，用乘法公式进行简便计算：利用乘法公式有时可以进行简便计算．例1：1012＝（100+1）2＝1002+2×100×1+1＝10201；例2：17×23＝（20﹣3）（20+3）＝202﹣32＝391．（1）9992；（2）20222﹣2021×2023．【答案】（1）998001；（2）1．【解答】解：（1）原式＝（1000﹣1）2＝10002﹣2×1000×1+1＝1000000﹣2000+1＝998001；（2）20222﹣（2022﹣1）×（2022+1）＝20222﹣20222﹣+1＝1．10．（2022秋•龙湖区期末）请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）（2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；（3）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝53，ab＝14．求：①a+b的值；②a2﹣b2的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）两个阴影图形的面积和可表示为：a2+b2，（a+b）2﹣2ab，（2）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，（3）①∵a2+b2＝53，ab＝14，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝53+2×14＝81，∴a+b＝±9，又∵a＞0，b＞0，∴a+b＝9．②∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝53﹣2×14＝25∴a﹣b＝±5又∵a＞b＞0，∴a﹣b＝5∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝9×5＝45．11．（2022秋•高安市期末）已知a+b＝7，ab＝﹣2．求：（1）a2+b2的值；（2）（a﹣b）2的值．【答案】（1）53．（2）57．【解答】解：（1）∵a+b＝7，ab＝﹣2，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝a2+b2+（﹣4）＝49．∴a2+b2＝53．（2）∵a+b＝7，ab＝﹣2，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝a2+b2﹣（﹣4）＝53+4＝57．12．（2022•荆门）已知x+＝3，求下列各式的值：（1）（x﹣）2；（2）x4+．【答案】（1）5；（2）47．【解答】解：（1）∵＝，∴＝＝＝﹣4x•＝32﹣4＝5；（2）∵＝，∴＝+2＝5+2＝7，∵＝，∴＝﹣2＝49﹣2＝47．13．（2022秋•阳城县期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是C；（请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．b2+ab＝b（a+b）C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．a2+ab＝a（a+b）（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x的值．②计算：．【答案】（1）C；（2）；（3）．【解答】解：（1）第一个图形中阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b），则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：C；（2）①∵x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y），∴12＝4（x﹣2y），得：x﹣2y＝3，联立，①+②，得2x＝7，解得：x＝；②＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）＝＝×＝．14．（2023春•威海期中）利用简便方法计算：（1）501×499+1；（2）0.125×104×8×104．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）原式＝（500+1）×（500﹣1）+1＝5002﹣1+1＝5002＝250000；（2）原式＝（0.125×8）×（104×104）＝108．15．（2022秋•南昌期末）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）求图2中的阴影部分的正方形的周长；（2）观察图2，请写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系；（3）运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn＝﹣3，m﹣n＝4，试求m+n的值．（4）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝26，求图中阴影部分面积．【答案】答：（1）4a﹣4b；（2）（a﹣b）2＝（a﹣b）2+4ab；（3）m+n＝±2；＝．（4）S阴影【解答】解：（1）阴影部分的正方形边长为a﹣b，故周长为4（a﹣b）＝4a﹣4b，故答案为：4a﹣4b；（2）大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积，故可表示为：4ab+（a ﹣b）2，大正方形边长为a+b，故面积也可以表达为：（a+b）2，因此（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；（3）由（2）可知：（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn，已知m﹣n＝4，mn＝﹣3，所以（m+n）2＝16+4×（﹣3）＝4，所以m+n＝±2；故m+n的值为±2；（4）设AC＝a，BC＝b，因为AB＝8，S1+S2＝26，所以a+b＝8，a2+b2＝26，因为（a+b）2＝a2+b2+2ab，所以64＝26+2ab，解得ab＝19，由题意：∠ACF＝90°，＝ab＝．所以S阴影16．（2022秋•丹棱县期末）阅读下列文字，我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac ＝38，求a2+b2+c2的值；（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片．若干个长为a和宽为b的长方形纸片，利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得计算它的面积能得到数学公式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据题意，大矩形的面积为：（a+b+c）（a+b+c）＝（a+b+c）2，各小矩形部分的面积之和＝a2+2ab+b2+2bc+2ac+c2，∴等式为（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝112﹣2×38＝45．（3）如图所示。
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【典例分析＆变式练习】
例1.已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值
变式1.a +a 1=5，求（1）a 2+21a ，（2）（a －a
1）2的值
变式2.已知0132=+-x x )0(≠x ，求：2
21x x +的值
变式3.已知012=-+x x ，求3223++x x 的值。
变式4.已知252
2=+y x ，7=+y x ，且y x ＞，则y x -的值等于
例2.计算：))(())((2113232121n n n n a a a a a a a a a a a a +++++-++++++--ΛΛΛΛ
变式1.计算：)12)(12)(12)(12)(12(16842+++++
变式2简便运算：2222222222100999897654321-+-++-+-+-Λ
例题4若一个三角形的边长分别为a 、b 、c ，且满足：0222222=--++bc ab c b a ，判断此三角形的形状，并说明理由。
变式1：若2222690m mn n n ++-+=，求m 和n 的值．
问题(1)若△ABC 的三边长a b c 、、都是正整数，且满足22661830a b a b c +--++-=，请问△ABC
是什么形状?
(2)若224212120x y xy y +-++=，求y x 的值．
(3)已知a b c 、、是△ABC 的三边长，满足2212852a b a b +=+-，求c 的范围．
(4)已知24,6130a b ab c c -=+-+=，则a b c ++= ．
变式2.说明不论x 、y 取什么有理数，多项式32222++-+y x y x 的值总是正数。
变式3.已知x 、y 满足y x y x +=++24
522，则代数式y x xy +的值为
例5因式分解
1. （1）22252b ab a ++ （2）1222++-a b a
（3）4)3)(2(2-+++x x x
变式1 已知多项式2x 3-x 2+m 有一个因式(2x+1),求m 的值.
例6.现有足够的2×2，3 ×3的正方形和2×3的矩形图片A 、B 、C （如图），先从中各选取若干个图片拼成不同的图形，请你在下面给出的方格纸（每个小正方形的边长均为1）中，按下列要求画出一种拼法的示意图（要求每两个图片之间既无缝隙，也不重叠，画图时必须保留作图痕迹）.
（1） 选取A 型、B 型两种图片各1块，C 型图片2块，拼成一个正方形；
（2） 选取A 型图片4块、B 型图片1块，C 型图片4块，拼成一个正方形；
（3） 选取A 型图片3块、B 型图片1块，再选取若干块C 型图片，拼成一个矩形.
变式1.已知3种形状的长方形和正方形纸片（如图1）：用它们拼成一个长为（3a+2b ）、宽为（a+b ）的长方形，各需多少块？并画出图形.
【真题重现】
多项式912x +加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式可以是____________（填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有的可能情况）。
【乘胜追击（课堂巩固）】
1.已知x 、y 为有理数，设xy M 2=，22y x N +=，则M 、N 的大小关系是
【总结＆反思】
【课后作业】
2. 计算：)2004
11)(200311()411)(311)(211(22222-----
Λ
3. 计算：158422
1)211)(211)(211)(211(+++++
4. 计算：)13()13)(13)(13(200442++++Λ
5. 若a 、b 为有理数，且0442222=+++-a b ab a ，则22ab b a += 。