高一数学(人教A版)二次函数与一元二次方程、不等式(1)学习任务单

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人教A版高中数学第一册(必修1)学案5：2.3 第1课时二次函数与一元二次方程、不等式

2.3第1课时二次函数与一元二次方程、不等式学习目标1.从函数观点看一元二次方程．了解函数的零点与方程根的关系.2.从函数观点看一元二次不等式．经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．知识梳理知识点一一元二次不等式的概念①x2＞0；②－3x2－x≤5；③x3＋5x－6＞0；④ax2－5y＜0(a为常数)；⑤ax2＋bx＋c＞0.知识点二“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系有两个不相等的实根有两个相等的实数根“相同”或“不相同”)知识点三一元二次不等式的解法利用“三个二次”的关系我们可以解一元二次不等式．解一元二次不等式的一般步骤： (1)将不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0； (2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集．知识点四一元二次不等式的恒成立问题1．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是R 的等价条件是a >0且Δ<0. 2．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是R 的等价条件是a <0且Δ<0.3．分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：≥f (x )恒成立⇔≥f (x )max ；≤f (x )恒成立⇔≤f (x )min .思考二次不等式ax 2＋2x －1＜0的解集为R ，则a 的取值范围是________．题型探究题型一解不含参一元二次不等式例1 解下列不等式： (1)2x 2＋7x ＋3＞0； (2)－4x 2＋18x －814≥0；(3)－2x 2＋3x －2＜0； (4)－12x 2＋3x －5＞0.反思与感悟解一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；(4)根据函数图像与x轴的相关位置写出不等式的解集．跟踪训练1解下列不等式：(1)x2－5x－6＞0；(2)(2－x)(x＋3)＜0；(3)4(2x2－2x＋1)＞x(4－x)．题型二解含参数的一元二次不等式例2解关于x的不等式：ax2－(a－1)x－1＜0(a∈R)．反思与感悟含参数不等式的解题步骤(1)将二次项系数化为正数；(2)判断相应的方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此步)；(3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有两个相异实根，为了写出解集还要比较两个根的大小)．另外，当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是否为0，这决定不等式是否为二次不等式．跟踪训练2解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0.题型三“三个二次”关系的应用例3已知一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(α，β)，且0＜α＜β，求不等式cx2＋bx ＋a＜0的解集．反思与感悟求一般的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集，先求出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，再根据函数图像与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解集．当两个“有关联”的不等式同时出现时，应注意根与系数的关系的应用．跟踪训练3已知关于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1＞0的解集．题型四不等式恒成立问题例4对任意的x∈R，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋(5－2a)的值恒大于0，则a的取值范围为________．反思与感悟有关不等式恒成立求参数的取值范围的问题，通常处理方法有两种：(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参数的不等式；(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一元一次、一元二次函数)，并结合图像建立关于参数的不等式求解．跟踪训练4 对任意a ∈『－1,1』，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( ) A ．1＜x ＜3 B ．x ＜1或x ＞3 C ．1＜x ＜2D ．x ＜1或x ＞2易错点不注意一元二次不等式二次项系数的正负致误例5 若一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为{x |x ＜－3或x ＞5}，则ax 2－bx ＋c ＜0的解集为________________．错解由根与系数的关系得：⎩⎨⎧ －3＋5＝－b a，－3×5＝c a，⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2a ，c ＝－15a .代入得ax 2＋2ax －15a ＜0，① ∴x 2＋2x －15＜0，②∴(x －3)(x ＋5)＜0，∴－5＜x ＜3. 『『答案』』{x |－5＜x ＜3}错因分析 ①式化为②式，忽略了二次项系数a 的符号，并非同解变形．正解由根与系数的关系得：⎩⎨⎧－ba＝－3＋5，ca ＝－3×5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2a ，c ＝－15a . ∴ax 2＋2ax －15a ＜0，又由解集的形式知a ＜0， ∴上式化为x 2＋2x －15＞0， ∴(x －3)(x ＋5)＞0，∴x ＞3或x ＜－5. 误区警示1．注意隐含信息的提取有些信息是隐含在题设的条件中的，适当挖掘题设信息可较好地完成对解答题目不明信息的突破，如本例借助不等式及其解集的对应关系得出“a ＜0”这一关键信息，从而避免不必要的讨论．2．注意“三个二次”的关系二次函数的零点，就是相应一元二次方程的根，也是相应一元二次不等式解集的分界点．当堂检测1．下面所给关于x 的几个不等式：①3x ＋4＜0；②x 2＋mx －1＞0；③ax 2＋4x －7＞0；④x 2＜0.其中一定为一元二次不等式的有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．若不等式ax 2＋5x ＋c ＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13＜x ＜12，则a ，c 的值为( ) A ．a ＝6，c ＝1 B ．a ＝－6，c ＝－1 C ．a ＝1，c ＝6D ．a ＝－1，c ＝－63．已知x ＝1是不等式2x 2－6 x ＋8≥0的解，则的取值范围是______________． 4．不等式x 2＋3x －4＜0的解集为________．5．已知关于x 的不等式mx 2－(2m ＋1)x ＋m －1≥0的解集为空集，求实数m 的取值范围．课堂小结1.解一元二次不等式的常见方法(1)图像法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：①化不等式为标准形式：ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)；②求方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根，并画出对应函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图像的简图； ③由图像得出不等式的解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助因式分解或配方求解．当m <n 时，若(x －m )(x －n )>0，则可得x >n 或x <m ；若(x －m )(x －n )<0，则可得m <x <n .有口诀如下：大于取两边，小于取中间． 2．含参数的一元二次不等式在解含参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a >0，a <0，a ＝0.(2)关于不等式对应的方程的根的讨论：二根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)． (3)关于不等式对应的方程的根的大小的讨论：x 1>x 2，x 1＝x 2，x 1<x 2.3．对于部分恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ；(2)a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min .——★参*考*答*案★——思考『『答案』』①②『『解析』』①②是，符合定义；③不是，因为未知数的最高次数是3，不符合定义；④不是，当a＝0时，它是一元一次不等式，当a≠0时，它含有两个变量x，y；⑤不是，当a＝0时，不符合一元二次不等式的定义．思考『『答案』』相同思考『『答案』』(－∞，－1)『『解析』』⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜0，Δ＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，4＋4a ＜0⇒a ＜－1.例1 解 (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝－12.又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图像开口向上，所以原不等式的解集为{x |x ＞－12或x＜－3}．(2)原不等式可化为⎝⎛⎭⎫2x －922≤0，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝94. (3)原不等式可化为2x 2－3x ＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图像开口向上，所以原不等式的解集为R .(4)原不等式可化为x 2－6x ＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x 2－6x ＋10＝0无实根，又二次函数y ＝x 2－6x ＋10的图像开口向上，所以原不等式的解集为∅. 跟踪训练1解 (1)方程x 2－5x －6＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝6.结合二次函数y ＝x 2－5x －6的图像知，原不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞6}． (2)原不等式可化为(x －2)(x ＋3)＞0.方程(x －2)(x ＋3)＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－3.结合二次函数y ＝(x －2)(x ＋3)的图像知，原不等式的解集为{x |x ＜－3或x ＞2}． (3)由原不等式得8x 2－8x ＋4＞4x －x 2. ∴原不等式等价于9x 2－12x ＋4＞0. 解方程9x 2－12x ＋4＝0，得x 1＝x 2＝23.结合二次函数y ＝9x 2－12x ＋4的图像知，原不等式的解集为{x |x ≠23}．例2解原不等式可化为(ax ＋1)(x －1)＜0，当a ＝0时，x ＜1；当a ＞0时，⎝⎛⎭⎫x ＋1a (x －1)＜0， ∴－1a ＜x ＜1；当a ＝－1时，x ≠1；当－1＜a ＜0时，⎝⎛⎭⎫x ＋1a (x －1)＞0， ∴x ＞－1a 或x ＜1；当a ＜－1时，－1a ＜1，∴x ＞1或x ＜－1a.综上，当a ＝0时，原不等式的解集是{x |x ＜1}；当a ＞0时，原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1a ＜x ＜1；当a ＝－1时，原不等式的解集是{x |x ≠1}；当－1＜a ＜0时，原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1或x ＞－1a .当a ＜－1时，原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－1a 或x ＞1.跟踪训练2解原不等式可化为 (x －a )(x －a 2)＞0 讨论a 与a 2的大小(1)当a 2＞a 即a ＞1或a ＜0时，x ＞a 2或x ＜a . (2)当a 2＝a 即a ＝0或a ＝1时，x ≠a . (3)当a 2＜a 即0＜a ＜1时， x ＞a 或x ＜a 2.综上，当a ＜0或a ＞1时，解集为{x |x ＞a 2或x ＜a }，当a ＝0或1时，解集为{x |x ≠a }，当0＜a ＜1时，解集为{x |x ＞a 或x ＜a 2}．例3解方法一由题意可得a ＜0，且α，β为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴由根与系数的关系得⎩⎨⎧ba＝－(α＋β)＜0， ①ca ＝αβ＞0，②∵a ＜0,0＜α＜β，∴由②得c ＜0，则cx 2＋bx ＋a ＜0可化为x 2＋b c x ＋ac ＞0.①÷②，得b c ＝－(α＋β)αβ＝－⎝⎛⎭⎫1α＋1β＜0. 由②得a c ＝1αβ＝1α·1β＞0.∴1α，1β为方程x 2＋b c x ＋ac ＝0的两根．又∵0＜α＜β，∴0＜1β＜1α，∴不等式x 2＋b c x ＋a c ＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1β或x ＞1α，即不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1β或x ＞1α.方法二由题意知a ＜0，∴由cx 2＋bx ＋a ＜0，得c a x 2＋ba x ＋1＞0.将方法一中的①②代入，得αβx 2－(α＋β)x ＋1＞0，即(αx －1)(βx －1)＞0. 又∵0＜α＜β，∴0＜1β＜1α.∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1β或x ＞1α.跟踪训练3 解 ∵x 2＋ax ＋b ＜0的解集为{x |1＜x ＜2}， ∴1,2是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根．由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＝1＋2，b ＝1×2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝2，代入所求不等式，得2x 2－3x ＋1＞0. 解得x ＜12或x ＞1.∴bx 2＋ax ＋1＞0的解集为{x |x ＜12或x ＞1}．例4『『答案』』－2＜a ＜2『『解析』』由题意知，f (x )开口向上，故要使f (x )＞0恒成立，只需Δ＜0即可，即(a －4)2－4(5－2a )＜0，解得－2＜a ＜2. 跟踪训练4『『答案』』B 『『解析』』∵f (x )＞0， ∴x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0，即(x －2)a ＋(x 2＋4－4x )＞0，设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)．由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＞0，g (－1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋x 2－4x ＋4＝x 2－3x ＋2＞0，－x ＋2＋x 2＋4－4x ＝x 2－5x ＋6＞0， ∴x ＜1或x ＞3.当堂检测1．『『答案』』B『『解析』』②④一定是一元二次不等式． 2．『『答案』』B『『解析』』易知a ＜0，且⎩⎨⎧－5a ＝12＋13，c a ＝13×12，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，c ＝－1. 3．『『答案』』≤2或≥4『『解析』』x ＝1是不等式2x 2－6 x ＋8≥0的解，把x ＝1代入不等式得2－6＋8≥0，解得≥4或≤2. 4．『『答案』』(－4,1)『『解析』』易得方程x 2＋3x －4＝0的两根为－4,1，所以不等式x 2＋3x －4＜0的解集为(－4,1)．5．解 (1)当m ＝0时，原不等式化为－x －1≥0，∴x ≤－1，解集非空．(2)当m ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝[－(2m ＋1)]2－4m (m －1)＜0，∴m ＜－18，∴综上，m ＜－18.。

2.3 第1课时二次函数与一元二次方程、不等式学案(人教A版必修第一册)

【自主学习】1.一元二次不等式的概念一般地，我们把只含有未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是或，其中a，b，c均为常数，a≠0.2．二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．注意：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．3．“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系【小试牛刀】1.不等式x2－3x－10＜0的解集是___ _____.2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．()(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．()(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1<x2)，则一元二次不等式ax2＋bx ＋c<0的解集为{x|x1<x<x2}．()(4)不等式x2－2x＋3>0的解集为R.()【经典例题】题型一一元二次不等式的解法注意：解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零.(2)计算相应的判别式.(3)当Δ＞0时求出相应的一元二次方程的两根.(4)根据一元二次不等式解集的结构，写出其解集.注意：解含参数的一元二次不等式的步骤例1 解下列不等式：(1)－x2＋7x>6；(2)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)；(3)(2－x)(x＋3)<0．例2 解关于x的不等式x2－ax－2a2<0(a∈R)．注意：先求出方程x2－ax－2a2＝0的两根x1＝2a，x2＝－a，再通过比较2a与－a的大小写出不等式的解集．[跟踪训练] 1 解关于x的不等式(a∈R)：x2－(a＋a2)x＋a3＞0.题型二三个“二次”关系的应用例3 已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集．注意：由x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，可知1,2是方程x2＋ax＋b＝0的两根，可求出a，b的值，从而得解．[跟踪训练] 2已知一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(α，β)，且0＜α＜β，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集.【当堂达标】1．若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42.下面所给关于x 的几个不等式：①3x ＋4＜0；②x 2＋mx －1＞0；③ax 2＋4x －7＞0；④x 2＜0.其中一定为一元二次不等式的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.若不等式ax 2＋5x ＋c ＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪13＜x ＜12，则a ，c 的值为( )A.a ＝6，c ＝1B.a ＝－6，c ＝－1C.a ＝1，c ＝6D.a ＝－1，c ＝－64．已知集合M ＝{x |－4<x <2}，N ＝{x |x 2－x －6<0}，则M ∩N ＝( )A ．{x |－4<x <3}B ．{x |－4<x <－2}C ．{x |－2<x <2}D ．{x |2<x <3}5．若0<a <1，不等式(a －x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a <x <1a B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a <x <a C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >a 或x <1a D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <a 或x >1a 6．不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <13，则a －b 的值为( )A ．14B ．－14C ．10D ．－107．不等式x 2＋3x －4＜0的解集为__ ______.8.当a >－1时，关于x 的不等式x 2＋(a －1)x －a >0的解集是________．9．解不等式：0≤x 2－x －2≤4.10．解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.【参考答案】【自主学习】1. 一个 ax 2＋bx ＋c >0 ax 2＋bx ＋c <02. 实数x3. {x |x ＜x 1或x ＞x 2} {x |x 1＜x ＜x 2} ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－b 2a∅ R ∅【小试牛刀】1.{x |－2＜x ＜5} 解析由于x 2－3x －10＝0的两根为－2，5，故x 2－3x －10＜0的解集为{x |－2＜x ＜5}.2.(1)× (2)× (3)× (4)√ 【经典例题】例1 [解] (1)原不等式可化为x 2－7x ＋6<0. 解方程x 2－7x ＋6＝0得，x 1＝1，x 2＝6.结合二次函数y ＝x 2－7x ＋6的图象知，原不等式的解集为{x |1<x <6}． (2) (3)由原不等式得8x 2－8x ＋4>4x －x 2. ∴原不等式等价于9x 2－12x ＋4>0. 解方程9x 2－12x ＋4＝0，得x 1＝x 2＝23. 结合二次函数y ＝9x 2－12x ＋4的图象知，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠23. （3）原不等式可化为(x －2)(x ＋3)>0. 方程(x －2)(x ＋3)＝0两根为2和－3.结合二次函数y ＝(x －2)(x ＋3)的图象知，原不等式的解集为{x |x <－3或x >2}．例2 [解] 原不等式转化为(x －2a )(x ＋a )<0，对应的一元二次方程的根为x 1＝2a ，x 2＝－a .①当2a >－a ，即a >0时，不等式的解集为{x |－a <x <2a }； ②当2a ＝－a ，即a ＝0时，原不等式化为x 2<0，无解； ③当2a <－a ，即a <0时，不等式的解集为{x |2a <x <－a }．综上所述，当a >0时，原不等式的解集为{x |－a <x <2a }；当a ＝0时，原不等式的解集为∅；当a <0时，原不等式的解集为{x |2a <x <－a }．[跟踪训练] 1 解将不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3＞0变形为(x －a )(x －a 2)＞0. 当a ＜0时，有a ＜a 2，所以不等式的解集为{x |x ＜a 或x ＞a 2}；当a ＝0时，a ＝a 2＝0，所以不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}；当0＜a ＜1时，有a ＞a 2，所以不等式的解集为{x |x ＜a 2或x ＞a }；当a ＝1时，a ＝a 2＝1，所以不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠1}；当a ＞1时，有a ＜a 2，所以不等式的解集为{x |x ＜a 或x ＞a 2}. 例3 [解] ∵x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |1<x <2}， ∴1,2是x 2＋ax ＋b ＝0的两根．由韦达定理有⎩⎨⎧ －a ＝1＋2，b ＝1×2，得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝2，代入所求不等式bx 2＋ax ＋1>0，得2x 2－3x ＋1>0. 由2x 2－3x ＋1>0⇔(2x －1)(x －1)>0⇔x <12或x >1. ∴bx 2＋ax ＋1>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <12或x >1. [跟踪训练] 2 解由题意可得a ＜0，且α，β为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根， ∴由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ba ＝－（α＋β）＜0， ①c a ＝αβ＞0， ②∵a ＜0，0＜α＜β，∴由②得c ＜0，则cx 2＋bx ＋a ＜0可化为x 2＋b c x ＋ac ＞0. ①÷②，得b c ＝－（α＋β）αβ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1α＋1β＜0.由②得a c ＝1αβ＝1α·1β＞0.∴1α，1β为方程x 2＋b c x ＋ac ＝0的两根.又∵0＜α＜β，∴0＜1β＜1α，∴不等式x 2＋b c x ＋ac ＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1β或x ＞1α，即不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1β或x ＞1α.【当堂达标】1. C [解析] 由题可知－7和－1为ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根，∴－7×(－1)＝21a ，a＝3.2.B 解析 ②④一定是一元二次不等式.3. 解析易知a ＜0，且⎩⎪⎨⎪⎧－5a ＝12＋13，c a ＝13×12⇒⎩⎨⎧a ＝－6，c ＝－1.4. C [解析] 由题意得N ＝{x |x 2－x －6<0}＝{x |－2<x <3}，所以M ∩N ＝{x |－2<x <2}，选C.5. A [解析] 不等式(a －x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0化为(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0，因为0<a <1，故a <1a ，解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a <x <1a . 6.D [解析] 不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <13，可得－12，13是一元二次方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个实数根， ∴－12＋13＝－b a ，－12×13＝2a ，解得a ＝－12，b ＝－2， ∴a －b ＝－12－(－2)＝－10，7. (－4，1) 解析易得方程x 2＋3x －4＝0的两根为－4，1，所以不等式x 2＋3x －4＜0的解集为(－4，1).8. {x |x <－a 或x >1} [解析] 原不等式可化为(x ＋a )(x －1)>0，方程(x ＋a )(x －1)＝0的两根为－a,1，∵a >－1，∴－a <1，故不等式的解集为{x |x <－a 或x >1}．9.[解] 原不等式等价于{ x 2－x －2≥0，x 2－x －2≤4. 解x 2－x －2≥0，得x ≤－1或x ≥2；解x 2－x －2≤4，得－2≤x ≤3.所以原不等式的解集为{x |x ≤－1或x ≥2}∩{x |－2≤x ≤3}＝{x |－2≤x ≤－1或2≤x ≤3}．10.[解] ①当a ＝0时，原不等式即为－x ＋1<0，解得x >1. ②当a <0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x <1a 或x >1.③当a >0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.若a ＝1，即1a ＝1时，不等式无解；若a >1，即1a <1时，解得1a <x <1；若0<a <1，即1a >1时，解得1<x <1a . 综上，当a <0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a 或x >1；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x >1}；当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ；当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a <x <1.。

高一数学人教A版二次函数与一元二次方程、不等式(1)学习任务单

课程基本信息
课例编号
学科
数学
年级
高一
学期
第一学期
课题
二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时）
教科书
书名：高中数学人教A版必修一
出版社：人们教育出版社出版日期：2019年6月
学生信息
姓名
学校
班级
学号
学习目标
（1）理解二次函数与一元二次方程、不等式的关系，体会数学的整体性；
（2）能够借助二次函数，求解一元二次不等式.
课前学习任务
（1）复习一次函数、一元一次方程与一元一次不等式的相关知识；
（2）复习二次函数的图像及性质.
课上学习任务
【学习任务一】经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义；
【学习任务二】理解一元二次不等式与相应函数、方程的关系，认识到函数的重要性，体会数学的整体性；【学习任务三】源自纳，概括求解一元二次不等式的通法.

二次函数与一元二次方程不等式学案-高一上学期数学人教A版(1)

已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1<x<2}，求a，b的值．
练习3：已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式
x2－bx－a<0的解集是________
恒成立问题
【典例4】已知不等式ax2＋(a－1)x＋a－1＜0对于所有的实数x都成立，求a的取值范围．
练习4:不等式x2＋mx＋＞0恒成立的条件是()
二次函数与一元二次方程、不等式
一、学习目标：
1.结合一元二次函数图象及一元二次方程解一元二次不等式；（重点）
2.能解含有参数的一元二次不等式，利用一元二次函数图象解决不等式恒成立问题（重点）
二、知识导学：
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
3．不等式x2＋6x＋10<0的解集是()
A．ØB．RC．{x|x>5}D．{x|x<2}
4．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是()
A. B. C．ØD.
5.不等式－6x2－x＋2≤0的解集是________．
6.已知不等式ax2－bx＋4<0的解集为{x|1<x<2}，求a，b的值．
7.解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a>0个相等的实根x1，x2且x1＝x2
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
三、典例解析：
【典例1】不含参数的一元二次不等式的解法
解下列不等式：
(1)2x2－3x－2>0(2)x2－2x＋3>0.

二次函数与一元二次方程不等式学案——高一上学期数学人教A版

分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型＞0(<0)或 ≥0(≤0)，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母也可．
例2.解关于x的不等式（1）ax2－(a＋1)x＋1＜0(a∈R).（2）2x2＋ax＋2>0(a∈R).
例3.设函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围．
章节
2．3
课题
二次函数与一元二次方程、不等式
教
学
目
标
1.会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．
2.能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．
教学重点
二次函数与一元二次方程、不等式的联系，借助二次函数求解一元二次不等式。
教学难点
含参一元二次不等式的解法，不等式恒成立、能成立问题的解决思路。
【新知探究】
一、三个二次及其关系
1．一元二次不等式的概念
我们把只含有一个未知数，并且未知数的的不等式，称为一元二次不等式．
2．二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使方程的实数x叫做
二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点
8、已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是，求ax2－bx＋c＞0的解集．
9、解关于x的不等式：x2－(a＋a2)x＋a3>0.
10、已知f(x)＝x2＋2(a－2) >0恒成立，求实数a的取值范围。
3．三个二次的关系
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根

人教A版(2019)高中数学必修第一册2.3二次函数与一元二次方程、不等式教案

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式教学目标：1.知识目标：理解“三个二次”的关系，从而熟练掌握由图像找一元二次不等式解集的方法。

2.能力目标：体验由形到数，由特殊到一般的思维方式，养成科学的思维习惯，发展学生的数学抽象和直观想象的学科核心素养。

3.情感目标：在情境中，体验数学的趣味性和实用性，在合作中，体验学习的有效性，在竞争中，增强学好数学的自信心。

教学重点：一元二次不等式的图像解法。

教学难点：结合“三个二次”的关系，从图像上找一元二次不等式的解集。

教学方法：问题导学，小组合作交流教学过程：（一）创设情境，引入新课十一黄金周，长阳却是阴雨绵绵，给人们的交通出行带来很大不便。

尽管各部门想了很多办法，但不幸的事还是发生了。

长阳某地，甲，乙两辆汽车相向而行，在一个弯道上相遇，弯道限制车速在40km/h以内，由于突发情况，两车相撞了。

交警在现场测得甲车的刹车距离接近但未超过12m，乙车的刹车距离刚刚超过了10m，又知这两辆车的刹车距s与车速x（km/h）之间分别有以下函数关系：谁的车速超过了40km/h，谁就违章了。

试问：哪一辆车违章行驶？问题分析：由题意，列出不等式和定义：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式，称为一元二次不等式. 一元二次不等式的一般形式是或，其中，，均为常数，.问题：上述不等式怎么解？（二）探究一：回顾一次函数与一元一次方程、不等式求出下列方程和不等式的解。

说一说一次函数图像与下列方程和不等式的解之间有什么关系。

解3是不等式临界值，即函数与交点的横坐标很重要。

定义：是方程解，即函数图像于交点的横坐标。

那么我们称3是零点（三）探究二：借助二次函数的图像，研究二次不等式解集以小组为单位继续对图像上纵坐标y=0、y>0、y<0所对应的横坐标x 的取值范围进行讨论 y=方程不等式不等式上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式的解集（四）二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系 y 12345–1–2–3–4–53691215–3–6–9O判别式△=b 2- 4acy=ax2+bx+c的图象(a>0)ax2+bx+c=0(a>0)的根ax2+bx+c>0(y>0)的解集ax2+bx+c<0(y<0)的解集（五）例题讲解例:求下列不等式的解集(1) (2) （3）思想方法小结：1 .利用一元二次函数图象解一元二次不等式的步骤是:①化标准形式，②判定方程的解，③画图写解集2．三个二次问题体现的是数与形的结合数形方程的解或不等式的（六）情景再现超速的车逃不过我的法眼（七）练习比一比，哪组获胜解下列不等式（八）课堂小结1、一般步骤2、两个结合：数形结合、函数方程与不等式的结合。

新教材人教A版必修第一册 2.3二次函数与一元二次方程不等式1 学案

2．3 二次函数与一元二次方程、不等式(1)内容标准学科素养1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系．数学抽象直观想象逻辑推理、数学运算2.掌握图象法解一元二次不等式．3.会对含参数的一元二次不等式分类讨论.授课提示：对应学生用书第24页[教材提炼]知识点一一元二次不等式的概念预习教材，思考问题我们知道，方程x2＝1的一个解是x＝1，解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立．那么什么是不等式x2＞1的解？你能举出一个解吗？你能写出不等式x2＞1的解集吗？知识梳理(1)一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式(quadric inequality in one unknown)．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0.(2)一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．即一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．知识点二二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系预习教材，思考问题函数y＝x2－1的零点与方程x2－1＝0及不等式x2－1＞0解之间有什么关系？知识梳理(1)Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＜x1，或x＞x2}{x|x≠－b2a}R(2)不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的求解方法将原不等式化成ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的形式计算Δ＝b2－4ac的值Δ＞0方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，解得x1，x2(x1＜x2)Δ＝0方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，解得x1＝x2＝－b2a原不等式的解集为{x|x≠－b 2aΔ＜0方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根原不等式的解集为R[自主检测] 1．不等式x＞x2的解集是()A．{x|x＞1}B．{x|x＜0} C．{x|0＜x＜1} D．R答案：C2．不等式x2＋6x＋10＜0的解集是()A ．∅B ．RC ．{x |x ＞5}D ．{x |x ＜2}答案：A3．二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2,3，a ＜0，那么ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为( ) A ．{x |x ＞3或x ＜－2} B ．{x |x ＞2或x ＜－3} C ．{x |－2＜x ＜3} D ．{x |－3＜x ＜2}答案：C4．不等式－x 2＋x －2＜0的解集为________．答案：R授课提示：对应学生用书第25页探究一一元二次不等式的解法 [例1] 解下列不等式． (1)－x 2＋2x －23＞0；(2)－12x 2＋3x －5＞0；(3)4x 2－18x ＋814≤0.[解析] (1)两边都乘以－3，得3x 2－6x ＋2＜0，∵3＞0，Δ＝36－24＝12＞0，且方程3x 2－6x ＋2＝0的根是x 1＝1－33，x 2＝1＋33. ∴原不等式的解集是{x |1－33＜x ＜1＋33}． (2)不等式可化为x 2－6x ＋10＜0， Δ＝(－6)2－4×10＝－4＜0， ∴原不等式的解集为∅.(3)不等式可化为16x 2－72x ＋81≤0，即(4x －9)2≤0，∵4x －9＝0时，x ＝94.∴原不等式的解集为{x |x ＝94}.解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；(2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； (4)根据函数图象与x 轴的相关位置写出不等式的解集.1．求不等式2x 2－3x －2≥0的解集．解析：∵2x 2－3x －2＝0的两解为x 1＝－12，x 2＝2，且a ＝2＞0，∴不等式2x 2－3x －2≥0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－12，或x ≥2. 2．解不等式－x 2＋2x －3＞0. 解析：不等式可化为x 2－2x ＋3＜0. 因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8＜0，方程x 2－2x ＋3＝0无实数解，而y ＝x 2－2x ＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集是∅.探究二含参数的一元二次不等式[例2] 解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3＞0(a ∈R )． [解析] 原不等式可化为(x －a )(x －a 2)＞0.当a ＜0时，a ＜a 2，原不等式的解集为{x |x ＜a ，或x ＞a 2}；当a ＝0时，x 2＞0，原不等式的解集为{x |x ≠0}；当0＜a ＜1时，a 2＜a ，原不等式的解集为{x |x ＜a 2，或x ＞a }；当a ＝1时，a 2＝a ，原不等式的解集为{x |x ≠1}；当a ＞1时，a ＜a 2，原不等式的解集为{x |x ＜a ，或x ＞a 2}．综上所述：当a ＜0或a ＞1时，原不等式的解集为{x |x ＜a ，或x ＞a 2}；当0＜a ＜1时，原不等式的解集为{x |x ＜a 2，或x ＞a }；当a ＝0时，解集为{x |x ≠0}；当a ＝1时，解集为{x |x ≠1}．解含参数的不等式，可以按常规思路进行：先考虑开口方向，再考虑判别式的正负，最后考虑两根的大小关系，当遇到不确定因素时再讨论．将本例不等式变为：解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ∈R ，a ＞0)．解析：因为a ＞0，所以原不等式等价于⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0. ①当a ＝1时，1a＝1，⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0无解； ②当a ＞1时，1a ＜1，解⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0，得1a ＜x ＜1； ③当0＜a ＜1时，1a ＞1，解⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0，得1＜x ＜1a .综上，a ＞1时，不等式的解集为{x |1a ＜x ＜1}；a ＝1时，不等式的解集为∅；0＜a ＜1时，不等式的解集为{x |1＜x ＜1a }．探究三三个二次之间的关系[例3] [教材P 52例1、例2的拓展探究] (1)已知解集求函数若不等式y ＝ax 2－x －c ＞0的解集为(－2,1)，则函数的图象为( )[解析] 因为不等式的解集为(－2,1)，所以a ＜0，排除C ，D ；又与坐标轴交点的横坐标为－2,1，故选B.[答案] B(2)已知方程的根或函数零点求不等式若函数y ＝x 2－ax ＋1有负数零点，则a 的范围为________．[解析] 有零点， ∴Δ＝a 2－4≥0， ∴a ≥2或a ≤－2，∵f (0)＝1，要使x 2－ax ＋1＝0有负根，则对称轴x ＝a2＜0，即a ＜0.∴a ≤－2. [答案] a ≤－2 (3)已知解集求不等式已知x 2＋px ＋q ＜0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12＜x ＜13，解关于x 的不等式qx 2＋px ＋1＞0. [解析] 由已知得，x 1＝－12，x 2＝13是方程x 2＋px ＋q ＝0的根，∴－p ＝－12＋13，q ＝－12×13，∴p ＝16，q ＝－16.∵不等式qx 2＋px ＋1＞0， ∴－16x 2＋16x ＋1＞0，即x 2－x －6＜0，∴－2＜x ＜3，故不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集为{x |－2＜x ＜3}．应用三个“二次”之间的关系解题的思想一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，即给出了一元二次不等式的解集，则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．授课提示：对应学生用书第26页分久必合——分类讨论思想解含参数不等式►逻辑推理含有参数的一元二次不等式，因为含有参数，便大大增加了问题的复杂程度．分类讨论是解决这类问题的主要方法，确定分类讨论的标准时，要着重处理好以下三点：(1)讨论的“时刻”，即在什么时候才开始进行讨论．要求转化必到位，过早或过晚讨论都会使问题更加复杂化．(2)讨论的“点”，即以哪个量为标准进行讨论．若把握不好这一类，问题就不能顺利解决．(3)考虑要周到，即讨论对象的各种情况都要加以分析，给出结论． 1．讨论二次项系数型为主当二次项系数为字母时，首先要讨论二次项系数是否为0，若二次项系数为0，则该不等式变为一次不等式；若二次项系数不为0，解集则与二次项系数的正负相关．[典例] 解关于x 的不等式，ax 2＋(1－a )x －1＞0. [解析] 原不等式化为(x －1)(ax ＋1)＞0 (1)当a ＝0时，原不等式为x －1＞0，∴x ＞1， (2)当a ＞0时，原不等式为(x －1)(x ＋1a )＞0.两根为1与－1a 且1＞－1a ，∴得x ＞1或x ＜－1a；(3)当a ＜0时，原不等式化为(x －1)(x ＋1a )＜0两根为1与－1a，又∵当－1＜a ＜0时，－1a ＞1，∴得1＜x ＜－1a.当a ＝－1时，不等式为(x －1)2＜0，解集为∅，当a ＜－1时，－1a ＜1，∴得－1a＜x ＜1.综上，当a ＞0时，解集为{x |x ＞1，或x ＜－1a }；当a ＝0时，解集为{x |x ＞1}；当－1＜a ＜0时，解集为{x |1＜x ＜－1a }；当a ＝－1，解集为∅；当a ＜－1时，解集为{x |－1a ＜x ＜1}．规律总结解二次项含参数的一元二次不等式一定要对参数大于0，等于0和小于0展开讨论． 2．讨论判别式型为主当二次不等式中有字母，且不易观察出所对应方程是否有实根，此时应对方程有无实根进行讨论．[典例] 解关于x 的不等式：2x 2＋ax ＋2＞0. [解析] Δ＝a 2－16＝(a －4)(a ＋4)．(1)当a ＞4或a ＜－4时，Δ＞0，方程2x 2＋ax ＋2＝0的两根为x 1＝14(－a －a 2－16)，x 2＝14(－a ＋a 2－16)．原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜14(－a －a 2－16)或x ＞14(－a ＋a 2－16).(2)当a ＝±4时，Δ＝0，方程只有一根x ＝－a 4，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R 且x ≠－a 4. (3)当－4＜a ＜4时，Δ＜0，方程无根，∴原不等式的解集为R . 规律总结若一元二次方程判别式符号不确定，应分Δ＞0、Δ＝0、Δ＜0讨论． 3．讨论根的大小型为主当一元二次不等式中有字母，而导致根的大小不易区别时，应通过作差法，由根的大小确定字母范围．[典例] 解关于x 的不等式：x 2－2x ＋1－a 2≥0. [解析] 原不等式等价于(x －1－a )(x －1＋a )≥0.①当a ＞0时，1＋a ＞1－a ，所以原不等式的解集为{x |x ≥1＋a ，或x ≤1－a }． ②当a ＝0时，原不等式的解集为全体实数R .③当a ＜0时，1－a ＞1＋a ，原不等式的解集为{x |x ≥1－a ，或x ≤1＋a }．规律总结当不等式对应方程根的大小不确定时，必须讨论根的大小，以确定不等式的解集．在解关于含参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a ＞0，a ＜0，a ＝0.(2)关于不等式对应的方程是否有根的讨论：二根(Δ＞0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ＜0)． (3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x 1＞x 2，x 1＝x 2，x 1＜x 2.。

二次函数与一元二次方程不等式(第1课时)(教学设计)高一数学系列(人教A版2019)

学生在小学和初中阶段已经学习了一元一次不等式的解法，在知识上已经具备了一定的知识经验和基础，在能力上初步具备了一定的解决问题的能力，同时这部分知识之前学过的二次函数也有密切的联系，因此学生对一元二次不等式的解法有一定的兴趣和积极性，但是学生能力有限，真正掌握还有一定的难度。

教学时，可以利用具体的一元二次不等式，让学生观察二次函数的图象，获得对解一元二次不等式方法的认识，培养学生直观想象的核心素养。

通过定义辨析，引导学生熟练掌握一元二次不等式特征，提高学生数学抽象的核心素养.】(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点.当x ＜2 或x ＞10时，图像在x 轴上方，y ＞０，即x 2-12x+20>0；当2<x ＜10时，y <０，即x 2-12x+20<0；故一元二次不等式x 2－12x ＋20＜0的解集是{x|2＜x ＜10}.求解一元二次不等式x 2－12x ＋20＜0解集的方法，是否可以推广到一般的一元二次不等式？一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系:注意：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．(2)对于二次项系数是负数(即a <0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．一元二次不等式的解法】先求出对应一元二次方程的解，再结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集.21225600.2 3.56x x x x y x x -+=∆>===-+解：对于方程，因为，所以它有两个实数根解得，画出二次函数的图象，如下图，256{|}023.x x x x x -+><>结合图象得不等式的解集为，或2122961001.3961x x x x y x x -+=∆====-+解：对于方程，因为，所以它有两个相等的实数根，解得画出二次函数的图象，如下图，29610{|}1.3x x x x -+>≠结合图象得不等式的解集为22230.80230.x x x x -+<∆=-<∴-+=解：不等式可化为，方程无实数根223y x x =-+∅画出二次函数因此，原不等式的解集为。

高中数学_二次函数与一元二次方程不等式教学设计学情分析教材分析课后反思

人教A版必修一第二单元第三节《二次函数与一元二次方程、不等式》教学设计2.3二次函数与一元二次方程、不等式一、教学目标1.让学生理解“三个二次”的关系，从而熟悉掌握看图象找一元二次不等式的解集.2.通过图象找解集，培养学生“从形到数”的转化能力、“从具体到抽象”、“ 从特殊到一般”的归纳概括能力. 强化学生参与意识及主体作用、培养学生的数学兴趣.二、教学重点一元二次不等式的图象解法.三、教学难点弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系.四、教学过程（一）创设情境，引入新课师生一起归纳出“三个一次”的关系：“三个一次”的一般结论：若0=+b ax 的解为ab -，则函数b ax y +=的图象与x 轴交点的横坐标的值. ①0>+b ax 的解集正是函数b ax y +=的图象在x 轴的上方的点的横坐标的集合； ②0<+b ax 的解集正是函数b ax y +=的图象在x 轴的下方的点的横坐标的集合. 把使0ax b +=的实数x 叫做一次函数y ax b =+的零点.【设计意图】从学生熟悉的一元一次不等式的解法，总结一次方程根、一次函数的图象、一次不等式的解集三者之间的内在联系.为下面得出“三个二次”的关系做铺垫.一般地，对于二次函数c bx ax y ++=2，我们把使02=++c bx ax 的实数x 叫做二次函数的零点.一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为--元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是02<++c bx ax 或02>++c bx ax其中c b a ,,均为常数，0≠a .【设计意图】让学生归纳得出一元二次不等式的概念、引导学生发现一元二次不等式的结构特征.（二）依旧悟新，引出“三个二次”的关系【设计意图】 “三个二次”的关系式本节课的难点，但是通过此表格在教师和学生的共同努力下，在前面的知识的铺垫下，学生不难得出结论，从而揭示了一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的一般关系，同时也再一次强化了学生的数形结合思想，提高了学生归纳概括的能力，让学生体验到数学的乐趣，体会到成功的喜悦.（三）运用规律，深化提高我们一起来求解一元二次不等式020122<+-x x 或020122>+-x x .先让学生自己动手画出二次函数20122+-=x x y 的图象然后再用多媒体展示出标准图，如下：学生继续对图象上纵坐标000<>=y y y 、、所对应的横坐标x 的取值范围进行讨论说出结果：①方程020122=+-x x 的解是10221==x x 或，一元二次方程的解就是二次函数图象与x 轴的交点的横坐标；②不等式020122>+-x x 的解集是{}32>-<x x x 或，一元二次不等式大于零的解集就是x 轴上方二次函数图象对应的自变量x 的取值范围；③不等式020122>+-x x 的解集是{}32<<-x x ，一元二次不等式小于零的解集就是x 轴下方二次函数图象对应的自变量x 的取值范围.【设计意图】让学生以具体实例进一步熟悉解一元二次不等式的步骤，体会从一般到特殊的具体应用.（四）启发引导，形成结论例1 求不等式065-2>+x x 的解集.分析：因为方程065-2=+x x 的根是函数65-2+=x x y 的零点，所以先求出065-2=+x x 的根，再根据函数图象得到065-2>+x x 的解集.解：对于方程065-2=+x x ，因为0>∆，所以它有两个实数根.解得.3,221==x x画出二次函数65-2+=x x y 的图象，结合图象得不等式065-2>+x x 的解集为{}32><x x x 或. 例2 求不等式016-92>+x x 的解集.解：对于方程016-92=+x x ，因为0=∆，所以它有两个相等的实数根，解得.3121==x x 画出二次函数16-92+=x x y 的图象，结合图象得不等式016-92>+x x 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠31x x 例3 求不等式03-2-2>+x x 的解集.解：不等式可化为032-2<+x x .因为08<-=∆，所以方程032-2=+x x 无实数根.画出二次函数32-2+=x x y 的图象.结合图象得不等式032-2<+x x 的解集为φ.【设计意图】例题的选择让学生逐步形成技能，所以选题难度不大，主要是让学生熟悉求解步骤.例1的训练可以让学生巩固图解法解一元二次不等式，而例2、例3题可以向学生指出不等式所对应的方程有两个相等的实根或无实根的情况，并且向学生指出一元二次不等式无解和解集为R 的情况.以上几个问题基本上涵盖了一般一元二次不等式解的各种情况，为后面总结一元二次不等式解集的一般规律做准备，这样有助于难点的突破.（五）运用新知，强化练习1.求下列不等式的解集：（1）()()032>-+x x ；（2）10732≤-x x ；（3）044-2<-+x x ；（4）0412<+-x x ；（5）3-2-2≤+x x ；（6）0432>+-x x .2.当自变量x 在什么范围取值时，下列函数的值等于0?大于0?小于0?（1）2362y x x =-+；（2）225y x =-；（3）2610y x x =++；（4）231212y x x =-+-.【设计意图】通过课堂的及时训练，可以掌握学生对新知识的掌握程度，同时也让学生自己独立的运用新知识解决实际问题，发挥学生的能动性，使学生根据自己对知识、方法的理解通过解答、交流，互相取长补短，加深理解，享受到数学带来的乐趣.（六）反思小结，提高认识这节课我们学习了二次项系数 0>a 的一元二次不等式的解法，其关键是抓住其与相应二次函数的图象以及二次方程之间的关系，求一元二次不等式的解集.【设计意图】总结所学的知识，是为了完善学生的知识结构，强化对知识的理解，让学生在课后能独立的运用所学知识解决问题.五、作业布置课本：55P 1,3【设计意图】使所有学生巩固所学知识，加深理解,便于教师了解教学效果.六、课下思考不等式）（002<>++a c bx ax 或）（002<<++a c bx ax 的解集的情况. 【设计意图】体会本节课的一般性规律，使学生的思维可以继续发展、延伸.七、板书设计学情分析从知识储备来说，学生已经学习了一元二次方程和二次函数，对不等式的性质也有了初步了解，这为我们学习一元二次不等式打下了基础.从心理特征来说，高中阶段的学生逻辑思维较初中学生来说更加严密，抽象思维能力也有进一步提升.在情感态度上学生对新内容的学习有一定的兴趣和积极性，但在探究问题的能力以及合作交流等方面的发展不够均衡.所以本节教学主要培养高一学生数形结合思维的方法，积极主动思考问题的习惯以及培养学生合作探究的能力.我设计了创设情景、引入新课一一交流探究、发现规律一一启发引导、形成结论一一练习小结、深化巩固一一思维拓展、提高能力，五个环节环环相扣、层层深入的教学环节.在教学中注意关注整个过程和全体学生，充分调动学生积极参与教学过程的每个环节.数学是发展学生思维、培养学生良好意志品质和美好情感的重要学科，在教学中，我们不仅要使学生获得知识、提高解题能力，还要让学生在教师的启发引导下学会学习、乐于学习，感受数学学科的人文思想，使学生在学习中培养坚强的意志品质、形成良好的道德情感.观课记录课题：人教A版（2019版）必修一《2.3二次函数与一元二次方程、不等式》班级：高一16班授课老师：授课时间：2020年11月5日观课老师：冯立芬（教研组长）司芳菊（备课组长）郝宝铭、张月昌、姚增珍、史丽丽、杨健红、孟楠本节主要内容是利用二次函数与一元二次方程、不等式的联系，求一元二次不等式的解集.1.联系旧知，构建新知在这个环节中设置的问题以便唤起学生对旧知识的回忆，是为突破重点作准备的. 2.创设情境，提出问题引入了一元二次不等式的定义和表达式，学生通过观察发现一元二次不等式的表达式会发现它与一元二次方程和二次函数很相似，从而提出问题：这三者间有什么关系？激发了学生强烈的求知欲望，产生了强劲的学习动力，以便把学生带入下一环节.3.合作交流，探究新知这部分内容是本节课的重点、难点，处理采用了师生合作的方式，循序善诱，水到渠成，10分钟的自主探究小组讨论，充分体现了学生的主题地位，尤其是采用了小组抢答的形式，调动了学习积极性和课堂参与度，让学生自己来归纳当二次项系数大于0时一元二次不等式的解法，使学生在找到了一元二次不等式、二次函数和一元二次方程的关系的同时也找到了解一元二次不等式的方法.4.数学运用，深化认知通过上一个环节总结的规律，让学生在例题上大胆的去应用，白老师则在一旁适时点拨，规范做题步骤，从而让学生更容易地掌握知识.总之，白老师这堂课设计合理，尤其是难点突破到位.课堂中的每个环节，白老师充分放手让学生自主合作探究，老师只引导点拨，善于启发学生，使学生主动获取知识，在潜移默化中领悟知识，使学生完全成为课堂主人，达到知识学习与能力培养的统一，使学生学习得轻松、愉快.教师个人基本功扎实，语言干净利索，教态自然，注意了与学生的沟通，有较强的驾驭课堂的能力.教材分析《2.3一元二次函数与一元二次方程、不等式》这节课是人教A版（2019版）必修一的内容，是初中一元一次函数、一元二次方程的根、一元一次不等式的解法在知识上的延伸和发展，对已学习过的集合知识的巩固和运用具有重要的作用，也是初中与高中的衔接点，进一步熟悉不等式的性质的体现，通过学习，让学生了解一元二次不等式的本质，学会一元二次不等式的一般解法思路，理解一元二次不等式的解集与对应的一元二次函数图象、一元二次方程根的关系.一元二次不等式的解法是高中重要的基本功，也是解不等式的基础和核心，在高中数学中起着广泛的应用工具作用.这部分内容较好地反映了方程、不等式、函数知识的内在联系和相互转化，蕴含着归纳、转化、数形结合等丰富的数学思想方法，能较好地培养学生的观察能力、概括能力、探究能力及创新意识，也是近年来高考综合题的热点.可见，本节课的学习在高中数学中具有举足轻重的地位.2.3二次函数与一元二次方程、不等式一、学习目标 1.通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集. 2.能利用一元二次函数与一元二次方程来求解一元二次不等式、理解它们三者之间的内在联系.强化学生参与意识及主体作用，培养学生的数学兴趣.二、教学重点一元二次不等式的图象解法.三、教学难点弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系．四、复习回顾、预习新知一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的联系0a > 0a < 一元一次方程0+=ax b 的根 a bx -=一次函数=+y ax b 的图象不等式0+>ax b 的解集 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧->a b x x 不等式0+<ax b 的解集0+=ax b x =+y ax b 一般地，对于二次函数c bx ax y ++=2，我们把使02=++c bx ax 的实数x 叫做二次函数的零点.我们能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？一般地，我们把只含有未知数，并且未知数的最高次数是的不等式，称为-元二次不等式 .一元二次不等式的一般形式是 .二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系ac b 42-=∆)0(02>=++a c bx ax 的根）（02>++=a c bx ax y 的图象）（002>>++a c bx ax的解集）（002><++a c bx ax的解集实战演练利用二次函数与一元二次方程、不等式的关系求不等式020122>+-x x 或020122<+-x x 的解集.步骤一求出方程020122=+-x x 的实数根是 .于是，二次函数20122+-=x x y 的两个零点是 .步骤二画出函数20122+-=x x y 的图象，结合图象得当图象与x 轴相交时，y 0，即 20122+-x x 0，x 取；当图象在x 轴上方时，y 0，即 20122+-x x 0，x 取；当图象在x 轴下方时，y 0，即 20122+-x x 0，x 取 .步骤三写出不等式的解集不等式020122>+-x x 的解集是；不等式020122<+-x x 的解集是 .五、规范解题例1、求不等式065-2>+x x 的解集.例2、求不等式016-92>+x x 的解集.例3、求不等式03-2-2>+x x 的解集.思维提升：请总结一元二次不等式的求解过程.六、强化练习1.求下列不等式的解集：（1）()()032>-+x x ；（2）10732≤-x x ；（3）044-2<-+x x ；（4）0412<+-x x ；（5）3-2-2≤+x x ；（6）0432>+-x x ；2.当自变量x 在什么范围取值时，下列函数的值等于0?大于0?小于0?（1）2362=-+y x x （2）225=-y x（3）2610=++y x x （4）231212=-+-y x x七、反思小结这节课我们学习了二次项系数 0>a 的一元二次不等式的解法，其关键是抓住其与相应二次函数的图象以及二次方程之间的关系，求一元二次不等式的解集.八、布置作业55P 1,3九、课下思考不等式）（002<>++a c bx ax 或）（002<<++a c bx ax 的解集的情况. 课后反思通过教学实施，课后的感触和体会有如下几点：1.要充分的相信学生，有目的地和学生交流，对探究方向偏离过远的学生加以引导，新课程倡导案例教学，新颖、详实而富有时代感的案例进入课堂，改变了课堂的教学结构，学生借助于老师提供的问题，解读问题、生疑质疑、组织答案、踊跃发言.他们在学习过程中找到了乐趣，挖掘了潜能，发现了自我，充分体现学生的主体作用.2.新课程倡导转变学生的学习方式，倡导学生积极主动的学习.教师应该善于捕捉适合学生发挥的内容、引发讨论.适时点拨，最大限度在发挥学生的学习潜能.如引导在合作探究时让学生自主发现“三个二次”之间的关系.3.学生能独立解决的问题，教师一定不提示；只需提示的问题，教师一定不讲解.多采用开放性的问题，多元化的评价，充分展示学生的个性，使学生的各种能力得到不断提高，体现教师确实是学生学习的合作者、引导者和参与者.今后，如何更好地选择符合学生具体情况，满足教学目标的例题与练习、灵活把握课堂教学节奏仍是我今后工作中的一个重要研究课题.而要能真正进行素质教育，培养学生的创新意识，自己首先必须更新观念－一在教学中适度使用多媒体技术，让学生有参与教学实践的机会，让数学课堂成为学生活动的乐园，成为学生积极展示、老师积极引导的舞台，能够使学生在学习新知识的同时，激发起求知的欲望，在寻求解决问题的办法的过程中获得自信和成功的体验，于不知不觉中改善了他们的思维品质，提高了数学思维能力.从而实现课堂教学的高效、和谐发展.不足：教学过程中学生更积极参与在教学过程中，这样教学效果就会更好.课标分析本节以求解一元二次不等式为载体，引导学生通过类比从一元一次函数的观点看一元一次方程、不等式，学习从函数观点看一元二次方程、一元二次不等式，在建立二次函数与一元二次方程、不等式的联系中，获得用二次函数求解一元二次不等式的一般性方法. 这个内容再一次体现了函数对于方程、不等式的“整合”作用，体现了数学的整体性，也为学生今后研究其他函数与相关方程、不等式的问题提供了经验.根据教学大纲要求、高考考试大纲说明、新课程标准精神、高一学生已有的知识储备状况和学生心理认知特征，我确定了三个层面的教学目标.第一层面是面向全体学生的知识目标：熟练掌握一元二次不等式的解法，正确理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系.掌握图象法解一元二次不等式；培养数形结合的能力.第二层面是能力目标，培养学生运用数形结合与等价转化等数学思想方法解决问题的能力，提高运算和作图能力.培养抽象概括能力和逻辑思维能力.第三层面是是情感目标，在教师的启发引导下，学生自主探究，交流讨论，激发学生学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新的精神.。

人教A版高中数学第一册(必修1)学案1：2.3 二次函数与一元二次方程、不等式

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式课程标准学科素养1．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．2．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的实际意义. 能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.通过对二次函数与一元二次方程、不等式的学习，提升“逻辑推理”、“数学运算”“直观想象”的核心素养.课前自主学习知识点一元二次不等式(1)一元二次不等式：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0.『微思考』不等式x2－y2＞0是一元二次不等式吗？(2)二次函数的零点：一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．(3)二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)有两个相等的实数根没有实数根『微体验』1．不等式(1－x)(3＋x)＞0的解集是()A．{x|－3＜x＜1}B．{x|x＜－3或x＞1}C．{x|－1＜x＜3}D．{x|x＜－1或x＞3}2．不等式x2－2x－5＞2x的解集是________．3．不等式－3x2＋5x－4＞0的解集为________.4．二次不等式ax2＋2x－1＜0的解集为R，则a的取值范围是________．课堂互动探究探究一一元二次不等式的解法例1 求不等式4x2－4x＋1＞0的解集．变式探究将本例不等式变为：－x2＋2x－3＞0，求解此不等式的解集．『方法总结』解一元二次不等式的一般步骤：第一步，将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)．第二步，求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根．第三步，画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中．第四步，观察图象中位于x轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集．跟踪训练1求下列一元二次不等式的解集．(1)x2－5x＞6；(2)－x2＋7x＞6.探究二二次函数与一元二次方程、不等式间的关系例2 已知关于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，试求关于x的不等式bx2＋ax＋1＞0的解集．『方法总结』应用三个“二次”之间的关系解题的思想一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，即给出了一元二次不等式的解集，则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．跟踪训练2已知不等式ax2－bx＋2＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求a，b的值．探究三一元二次不等式的实际应用问题例3 某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．『方法总结』一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定『答案』时应注意变量具有的“实际含义”．跟踪训练3在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m. 又知甲、乙两种车型的刹车距离S m与车速x km/h之间分别有如下关系：S甲＝0.1x＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2. 问谁超速行驶应负主要责任．随堂本课小结1．解一元二次不等式的常见方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系求解．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．2．一元二次不等式解集的记忆方法(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)与ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集的记忆口诀：大于取两边，小于取中间．(2)当一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0与ax2＋bx＋c＜0的二次项系数a＜0时，可以转化为a ＞0.3．解一元二次不等式应用题解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．——★ 参*考*答*案 ★——课前自主学习知识点一元二次不等式『微思考』提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式． (3) {x |x ＜x 1，或x ＞x 2} ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－b 2a {x |x 1＜x ＜x 2} ∅ ∅『微体验』 1．A『『解析』』不等式变为(x －1)(x ＋3)＜0，解得－3＜x ＜1. 2．{x |x ＞5或x ＜－1}『『解析』』由x 2－2x －5＞2x ，得x 2－4x －5＞0，因为x 2－4x －5＝0的两根为－1，5，故x 2－4x －5＞0的解集为{x |x ＜－1或x ＞5}． 3．∅『『解析』』原不等式变形为3x 2－5x ＋4＜0. 因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23＜0，所以3x 2－5x ＋4＝0无解．由函数y ＝3x 2－5x ＋4的图象可知，3x 2－5x ＋4＜0的解集为∅. 4．a ＜－1『『解析』』由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜0，Δ＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，4＋4a ＜0⇒a ＜－1.课堂互动探究探究一一元二次不等式的解法例1 解因为Δ＝(－4)2－4×4×1＝0，所以方程4x 2－4x ＋1＝0的解是x 1＝x 2＝12，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠12. 变式探究解不等式可化为x 2－2x ＋3＜0.因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8＜0，方程x 2－2x ＋3＝0无实数解，而y ＝x 2－2x ＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集是∅. 跟踪训练1 解 (1)由x 2－5x ＞6，得x 2－5x －6＞0. ∵x 2－5x －6＝0的两根是x ＝－1或6，∴原不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞6}． (2)由－x 2＋7x ＞6，得x 2－7x ＋6＜0. ∵x 2－7x ＋6＝0的两个根是x ＝1或6， ∴不等式x 2－7x ＋6＜0的解集为{x |1＜x ＜6}．探究二二次函数与一元二次方程、不等式间的关系例2 解由根与系数的关系，可得⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＝1＋2，b ＝1×2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝2.∴不等式bx 2＋ax ＋1＞0，即2x 2－3x ＋1＞0. 由2x 2－3x ＋1＞0，解得x ＜12或x ＞1.∴bx 2＋ax ＋1＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜12或x ＞1. 跟踪训练2 解方法一：由题设条件知a ＞0，且1,2是方程ax 2－bx ＋2＝0的两实根．由根与系数的关系，知⎩⎨⎧1＋2＝b a，1×2＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.方法二：把x ＝1,2分别代入方程ax 2－bx ＋2＝0中，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋2＝0，4a －2b ＋2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.探究三一元二次不等式的实际应用问题例3 解设花卉带的宽度为x m(0＜x ＜300)，则中间草坪的长为(800－2x )m ，宽为(600－2x )m. 根据题意可得(800－2x )(600－2x )≥12×800×600，整理得x 2－700x ＋60 000≥0，即(x －600)(x －100)≥0，解得0＜x ≤100或x ≥600，x ≥600不符合题意，舍去．故所求花卉带宽度的范围为(0,100』．跟踪训练3 解由题意列出不等式S 甲＝0.1x 甲＋0.01x 2甲＞12，解得x 甲＜－40或x 甲＞30， S 乙＝0.05x 乙＋0.005x 2乙＞10.解得x 乙＜－50或x 乙＞40. 由于x ＞0，从而得x 甲＞30 km/h ，x 乙＞40 km/h. 经比较知乙车超过限速，应负主要责任．。

二次函数与一元二次方程、不等式的应用教案新人教A版必修第一册

二次函数与一元二次方程、不等式的应用教案新人教A版必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式2.3二次函数与一元二次方程、不等式2.3.2 二次函数与一元二次方程、不等式的应用【目标】1.理解三个二次的关系，会解与一元二次不等式有关的恒成立问题；2.能从实际问题中建立-元二次不等式的模型，并会应用其解决实际问题.【重点】利用--元二次不等式解诀恒成立问题及实际问题.【难点】从实际问题中建立一元二次不等式的模型.要点整合夯基础...知识点一简单的分式不等式的解法【填一填】若与是关于的多项式，则不等式（或，或，或）称为分式不等式.解分式不等式总的原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式（组）求解.（1）；（2）；（3）；（4）；【答一答】1.不等式的解集为.答案：解析：原不等式可以化为，即，故原不等式的解集为.2.不等式的解集是.答案：或解析：原不等式于，解得或，故不等式的解集是或.【答一答】3.不等式在上恒成立，你能写出成立的等价条件吗？提示：.知识点三一元二次不等式的实际应用【填一填】对于一元二次不等式的应用题，其解题关键在于如何把文字语言换成数学语言从而把实际问题转换成数学问题.同时注意问题答案的实际意义，还要增强解决问题的自信心，不要被问题的表面形式所迷惑.【答一答】4.解不等式应用题的解题步骤是什么？提示：（1）阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量、找准不等关系；（2）引入数学符号，用不等式表示不等关系（或表示成函数关系）；（3）解不等式（或求函数最值）；（4）回扣实际问题.典例讲练破题型...类型一简单的分式不等式的解法【例1】解下列不等式.（1）；（2）.【分析】等价转化为一元二次不等式或一元一次不等式组.【解】（1）∵，或，或，∴原不等式的解集为，或.（2）方法一：原不等式可化为，或，或.∴原不等式的解集为.方法二：原不等式可化为.∴原不等式的解集为.通法提炼（1）对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意分母不为零.（2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分（不要去分母），使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解.【变式训练1】（1）下列选项中，使不等式成立的的取值范围是（）A.B.C.D.答案：A（2）不等式：的解集为.答案：解析：（1）由可得，即，解得，所以.（2）因为，所以原不等式可化为，即，解得，所以原不等式的解集为.类型二不等式恒成立问题命题视角1：一元二次不等式在实数集上恒成立问题【例2】关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.【分析】【解】（1）若，即时，若，不等式变化为，解集为；若，不等式变为，解集为.∴时满足条件.（2）若，即时，原不等式解集为的条件是.解得，综上所述，当时，圆不等式解集为.通法提炼不等式对任意恒成立，或；不等式对任意恒成立，或.【变式训练2】若不等式对一切恒成立，则的取值范围是.答案：解析：当，即时，不等式为，恒成立，解集为，∴满足条件；当时，则原不等式解集为时，满足，解得.综上所述，的取值范围是.命题视角2：一元二次不等式在某特定范围.上恒成立问题【例3】己知，若，恒成立，求的取值范围.【分析】对于含参数的函数在某特定范围上函数值恒大于等于或小于等于常数问题，通常利用函数最值转化.【解】若，恒成立可转化为：，或或，解得的取值范围为.通法提炼或型不等式是恒成立问题中最基本的类型，由在上恒成立，则（，存在最大值）；在.上恒成立，则（，存在最小值）.【变式训练3】若，不等式恒成立，求实数的取值范围.解：，不等式恒成立.①当时，不等式为恒成立，此时；②当时，.∵，∴，∴（当且仅当，即时取等号），∴.综上，实数的取值范围为.类型三一元二次不等式的实际应用【例4】某农贸公司按每担元的价格收购某农产品，并每元纳税元（又称征税率为个百分点），计划可收购万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低个百分点，预测收购量可增加个百分点.（1）写出降税后税收（万元）与的函数关系式；（2）要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的，试确定的取值范围.【解】（1）降低税率后的税率为，农产品的收购量为万担，收购总金额为万元.依题意得.（2）原计划税收为（万元）.依题意得，化简得，解得.又因为，所以.故的取值范围是.通法提炼解不等式应用题的步骤【变式训练4】某商品每件的成本价为元，售价为元，每天售出件.若售价降低成（成），则售出商品的数量就增加成，要求售价不能低于成本价.（1）设该商品一天的销售额为元，试求与之间的函数关系式，并写出的取值范围；（2）若要求该商品一天的销售额至少为元，求的取值范围.解：（1）若售价降低成，则降低后的商品售价为元，售出商品的数量为件，由题意，得与之间的函数关系式为.因为售价不能低于成本低，所以，解得，所以，的取值范围为.（2）由题意，的，化简得，解得，因为，所以的取值范围是.课堂达标练经典1.若集合，则（）A.B.C.D.答案：B解析：∵，∴.2.已知不等式的解集为空集，则的取值范围是（）A.B.C.或D.或答案：A解析：依题意应有，解得，故选A.3.不等式的解集为.答案：或解析：且或.4.已知函数，若对于任意的都有，则实数的取值范围为.答案：解析：根据题意得，解得.5.已知当时，不等式恒成立，求的取值范围.答案：见解析解析：∵当时，恒成立，∴当时，恒成立.令，∵，且对称轴方程为，∴，∴，∴的取值范围为.课堂小结——本课须掌握的四大问题1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意分母不为零.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分（不要去分母），使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解.2.对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法，这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决.当然这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时，经常要用到下述简单结论：（1）恒成立；（2）恒成立台.3.解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为，用来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解.4.一元二次方程根的分布问题要注意数形结合，从开口方向，对称轴位置，判别式等方面考虑.WORD模版源自网络，仅供参考！如有侵权，可予删除！文档中文字均可以自行修改。

2019-2020学年新人教A版必修一 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式学案

2019-2020学年新人教A版必修一 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式学案基础知识整合1．一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数□01大于零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)．(2)计算相应的□02判别式．(3)当□03Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．(4)利用二次函数的图象与x轴的□04交点确定一元二次不等式的解集．2．三个二次之间的关系1．ax2＋bx ＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0且b2－4ac<0(x ∈R)． 2．ax2＋bx ＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：a<0且b2－4ac<0(x ∈R).1．(2019·成都模拟)不等式2x2－x －3>0的解集为( ) A ．{x ⎪⎪⎭⎬⎫－1<x<32 B ．{x ⎪⎪⎭⎬⎫x>32或x<－1 C ．{x ⎪⎪⎭⎬⎫－32<x<1 D ．{x ⎪⎪⎭⎬⎫x>1或x<－32 答案 B解析 2x2－x －3>0⇒(x ＋1)(2x －3)>0，解得x>32或x<－1.∴不等式2x2－x －3>0的解集为{x ⎪⎪⎭⎬⎫x>32或x<－1，故选B. 2．不等式x －43－2x <0的解集是( )A ．{x |}x<4B ．{x|3<x<4}C ．{x ⎪⎪⎭⎬⎫x<32或x>4 D ．{x ⎪⎪⎭⎬⎫32<x<4 答案 C解析不等式x －43－2x<0等价于⎝⎛⎭⎫x －32(x －4)>0，所以不等式的解集是{x ⎪⎪⎭⎬⎫x<32或x>4. 3．(2019·安徽淮北模拟)若(x －1)(x －2)<2，则函数y ＝(x ＋1)(x －3)的值域是( )A ．(0,3)B ．[－4，－3)C ．[－4,0)D ．(－3,4] 答案 C解析由(x －1)(x －2)<2解得0<x<3.因为函数y ＝(x ＋1)(x －3)图象的对称轴是x ＝1，故函数y ＝(x ＋1)·(x －3)在(0,1)上单调递减，在(1,3)上单调递增，在x ＝1处取得最小值为－4，在x ＝3处取值为0，所以函数值域为[－4,0)．故选C. 4．(2019·九江模拟)若关于x 的不等式x2－4x －2－a>0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－2，＋∞) C ．(－6，＋∞) D ．(－∞，－6) 答案 A解析不等式x2－4x －2－a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2－4x －2)max ，令g(x)＝x2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g(x)<g(4)＝－2，∴a<－2.故选A.5．若关于x 的不等式ax2＋2x ＋2>0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析当a ＝0时，原不等式可化为2x ＋2>0，其解集不为R ，故a ＝0不满足题意，舍去；当a≠0时，要使原不等式的解集为R ，只需⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ＝22－4×2a<0，解得a>12.综上，所求实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 6．(2019·海南模拟)已知f(x)是定义域为R 的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x.那么，不等式f(x ＋2)＜5的解集是________．答案 (－7,3)解析当x≥0时，f(x)＝x2－4x ＜5的解集为[0,5)，又f(x)为偶函数，所以f(x)＜5的解集为(－5,5)．所以f(x ＋2)＜5的解集为(－7,3)．核心考向突破考向一一元二次不等式的解法例1 解下列关于x 的不等式： (1)0<x2－x －2≤4； (2)ax2－(a ＋1)x ＋1<0. 解 (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x2－x －2>0，x2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x2－x －2>0，x2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－＋，－＋⇔⎩⎪⎨⎪⎧x>2或x<－1，－2≤x≤3. 借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或2<x≤3}． (2)原不等式化为(ax －1)(x －1)<0. ①当a ＝0时，其解为x>1； ②当0<a<1时，其解为1<x<1a ；③当a>1时，其解为1a <x<1；④当a ＝1时，无解；⑤当a<0时，不等式化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)>0，其解为x<1a或x>1.综上所述a ＝0时，不等式解集为{x|x>1}； 0<a<1时，不等式解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫1<x<1a ； a>1时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 1a <x<1；a<0时，不等式解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x<1a 或x>1；当a ＝1时，不等式解集为∅.触类旁通解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系.确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.即时训练 1.解不等式：(1)2x ＋1x －5≥－1；(2)x2－(a2＋a)x ＋a3>0.解 (1)将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧－－，x －5≠0，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x≤43或x>5. (2)原不等式化为(x －a)(x －a2)>0，①当a2－a>0，即a>1或a<0时，原不等式的解为x>a2或x<a. ②当a2－a<0，即0<a<1时，原不等式的解为x<a2或x>a ；③当a2－a ＝0，即a ＝0或a ＝1时，原不等式的解为x≠a.综上①②③得a>1或a<0时不等式解集为 {x|x>a2或x<a}；当0<a<1时，不等式解集为{x|x<a2或x>a}；当a ＝0或a ＝1时，不等式解集为{x|x≠a}．考向二三个二次的关系例2 (1)若不等式ax2＋bx ＋c>0的解集为(－4,1)，则不等式b(x2－1)＋a(x ＋3)＋c>0的解集为( ) A ．⎝⎛⎭⎫－43，1 B ．(－∞，1)∪⎝⎛⎭⎫43，＋∞ C ．(－1,4) D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案 A解析由不等式ax2＋bx ＋c>0的解集为(－4,1)，知a<0且－4,1是方程ax2＋bx ＋c ＝0的两根．∴－4＋1＝－b a ，且－4×1＝ca ，即b ＝3a ，c ＝－4a.则所求不等式转化为3a(x2－1)＋a(x ＋3)－4a>0，即3x2＋x －4<0，解得－43<x<1.故选A.(2)若关于x 的不等式ax>b 的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax2＋bx －45a>0的解集为________．答案 ⎝⎛⎭⎫－1，45 解析由ax>b 的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，15，可知a<0，且b a ＝15.将不等式ax2＋bx －45a>0两边同时除以a ，得x2＋ba x －45<0，所以x2＋15x －45<0，即5x2＋x －4<0，解得－1<x<45，故不等式ax2＋bx －45a>0的解集为⎝⎛⎭⎫－1，45. 触类旁通已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负.即时训练 2.(2019·重庆模拟)关于x 的不等式x2－2ax －8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a ＝( ) A.52B.72C.154D.152答案 A解析由条件知x1，x2为方程x2－2ax －8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a ，x1x2＝－8a2.故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，得a ＝52.故选A.3．若x2＋px ＋q<0的解集为{x ⎪⎪⎭⎬⎫－12<x<13，则不等式qx2＋px ＋1>0的解集为________．答案 {x|－2<x<3}解析 ∵x2＋px ＋q<0的解集为{x ⎪⎪⎭⎬⎫－12<x<13， ∴－12，13是方程x2＋px ＋q ＝0的两实数根，由根与系数的关系，得⎩⎨⎧ 13－12＝－p ，13×⎝⎛⎭⎫－12＝q ，∴⎩⎨⎧p ＝16，q ＝－16.∴不等式qx2＋px ＋1>0，可化为－16x2＋16x ＋1>0，即x2－x －6<0，∴－2<x<3.∴不等式qx2＋px ＋1>0的解集为{x|－2<x<3}．考向三一元二次不等式恒成立问题角度1 形如f(x)≥0(x ∈R) 例3 (1)(2019·吉林模拟)不等式x2－2x ＋m>0对一切实数x 恒成立的充要条件是( ) A ．m>2 B ．0<m<1 C ．m>0 D ．m>1 答案 D解析若不等式x2－2x ＋m>0对一切实数x 恒成立，则对于方程x2－2x ＋m ＝0，Δ＝4－4m<0，解得m>1，所以m>1是不等式x2－2x ＋m>0对一切实数x 恒成立的充要条件，结合选项知选D.(2)若关于x 的不等式(a －2)x2＋2(a －2)x －4<0对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－∞，－2) C ．(－2,2) D ．(－2,2] 答案 D解析不等式(a －2)x2＋2(a －2)x －4<0恒成立的条件为当a ＝2时，－4<0恒成立；当a≠2时，⎩⎪⎨⎪⎧a<2，－－－－，解得－2<a<2.故－2<a≤2.选D.角度2 形如f(x)≥0(x ∈[a ，b]) 例4 (1)(2019·铜州模拟)若关于x 的不等式x2＋2ax ＋1≥0在[0，＋∞)上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(0，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．[－1,1]D ．[0，＋∞) 答案 B解析解法一：当x ＝0时，不等式为1≥0恒成立；当x>0时，x2＋2ax ＋1≥0⇒2ax≥－(x2＋1)⇒2a≥－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ，又－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≤－2，当且仅当x ＝1时取等号，所以2a≥－2⇒a≥－1，所以实数a 的取值范围为[－1，＋∞)．解法二：设f(x)＝x2＋2ax ＋1，函数图象的对称轴为直线x ＝－a.当－a≤0，即a≥0时，f(0)＝1>0，所以当x ∈[0，＋∞)时，f(x)≥0恒成立；当－a>0，即a<0时，要使f(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，需f(－a)＝a2－2a2＋1＝－a2＋1≥0，得－1≤a<0.综上，实数a 的取值范围为[－1，＋∞)．(2)已知x ∈[－1,1]时，f(x)＝x2－ax ＋a2>0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．(2，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(0,4) 答案 A解析二次函数图象开口向上，对称轴为x ＝a2.x ∈[－1,1]时，f(x)＝x2－ax ＋a2>0恒成立，即f(x)min>0.①当a 2≤－1，即a≤－2时，f(x)min ＝f(－1)＝1＋a ＋a 2>0，解得a>－23，与a≤－2矛盾；②当a 2≥1，即a≥2时，f(x)min ＝f(1)＝1－a ＋a2>0，解得a<2，与a≥2矛盾；③当－1<a2<1，即－2<a<2时，f(x)min ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝a24－a22＋a 2>0，解得0<a<2. 综上可得，实数a 的取值范围是(0,2)．角度3 形如f(x)≥0(参数m ∈[a ，b]) 例5 (2019·江西八校联考)若对任意的m ∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)C ．(1,2)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞) 答案 B解析 f(x)＝x2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x2－4x ＋4.当x ＝2时，f(x)＝0，不符合题意；当x>2时，(x －2)·(－1)＋x2－4x ＋4>0，得x>3；当x<2时，(x －2)·1＋x2－4x ＋4>0，得x<1.综上，x<1或x>3.故选B.触类旁通对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.即时训练 4.若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x2－2x －3≤0，x2＋4x －＋的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4]B ．[－4，＋∞)C ．[－4,20]D ．[－40,20) 答案 B解析根据已知，可转化为当－1≤x≤3时，存在x0∈[－1,3]，使得x2＋4x －(1＋a)≤0.令f(x)＝x2＋4x －(1＋a)，易知函数在区间[－1,3]上为增函数，故只需函数的最小值f(－1)＝－4－a≤0即可，解得a≥－4.5．在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为( ) A ．－12B ．－32C ．12D ．32答案 D解析由定义知，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1等价于x2－x －(a2－a －2)≥1，∴x2－x ＋1≥a2－a 对任意实数x 恒成立， ∵x2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34， ∴a2－a≤34，解得－12≤a≤32，则实数a 的最大值为32.故选D.6．对于满足|a|≤2的所有实数a ，使不等式x2＋ax ＋1>2x ＋a 成立的x 的取值范围为________．答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析原不等式转化为(x －1)a ＋x2－2x ＋1>0，设f(a)＝(x －1)a ＋x2－2x ＋1，则f(a)在[－2,2]上恒大于0，故有⎩⎪⎨⎪⎧－，，即⎩⎪⎨⎪⎧x2－4x ＋3>0，x2－1>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x>3或x<1，x>1或x<－1.所以x<－1或x>3.(2019·江苏模拟)已知函数f(x)＝x2＋ax ＋b(a ，b ∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f(x)<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．答案 9解析由题意知f(x)＝x2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a24.∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b －a24＝0，即b ＝a24，∴f(x)＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22. 又∵f(x)<c ，∴⎝⎛⎭⎫x ＋a22<c ，即－a 2－c<x<－a2＋ c.∴⎩⎨⎧－a2－c ＝m ， ①－a2＋c ＝m ＋6. ②②－①得2c ＝6，∴c ＝9. 答题启示(1)本题的解法充分体现了转化与化归思想：函数的值域和不等式的解集转化为a ，b 满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题．(2)注意函数f(x)的值域为[0，＋∞)与f(x)≥0的区别．对点训练若不等式a·4x －2x ＋1>0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 a>14解析不等式可变形为a>2x －14x ＝⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫14x ，令⎝⎛⎭⎫12x ＝t ，则t>0.∴y ＝⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫14x ＝t －t2＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14，因此当t ＝12时，y 取最大值14，故实数a 的取值范围是a>14.。

高中数学人教版A版精品学案《二次函数与一元二次方程、不等式》

二次函数与一元二次方程、不等式【学习目标】（1）从函数观点看一元二次方程．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．（2）从函数观点看一元二次不等式．①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．②借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．【学习重难点】二次函数与一元二次方程和不等式的关系。

【学习过程】一、自主学习Δ>0Δ＝0Δ0时，解形如a2＋b＋c>0（≥0）或a2＋b＋c0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．（2）代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当≤0D．3－2＋1>0解析：选项A中，a2＝0时不符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合．答案：C2．不等式（＋1）≤0的解集为（）A．[－1，＋∞）B．[－1，0）C．（－∞，－1]D．[－1，0]解析：解不等式得－1≤≤0，故选D．答案：D3．函数＝错误!的定义域为（）A．[－7，1]B．（－7，1）C．（－∞，－7]∪[1，＋∞）D．（－∞，－7）∪（1，＋∞）解析：由7－6－2>0，得2＋6－76a5a6a6a200a200a200a20a20a0，则关于的不等式（m－）（n＋）>0的解集是（）A．{|m}B．{|－nn}D．{|－m0可化为（－m）（＋n）0，得m>－n，则不等式（－m）（＋n）0的解集为错误!0的解集为R，则实数m的取值范围是（）A．（2，＋∞）B．（－∞，2）C．（－∞，0）∪（2，＋∞）D．（0，2）解析：由题意知原不等式对应方程的Δ2m600，即2－50＋6000；（2）2－3＋5>0；（3）4（22－2＋1）>（4－）．解析：（1）2＋2－15>0⇔（＋5）（－3）>0⇔3，所以不等式的解集是{|3}．（2）因为Δ＝（－3）2－4×1×5＝－114－2．∴原不等式等价于92－12＋4>0．解方程92－12＋4＝0，得1＝2＝错误!．结合二次函数＝92－12＋4的图象知，原不等式的解集为错误!．9．若关于的一元二次不等式a2＋b＋c，求关于的不等式c2－b＋a>0的解集．解析：由题意知错误!0中得错误!a a2＋错误!a a＋a>0（a2a2a8a9a2a0，则－a2a2a2a2a0时，{|－a<<2a}；当a<0时，{|2a<<－a}；当a＝0时，∅．。

2019-2020学年新人教A版必修一二次函数与一元二次方程、不等式教案

【教学目标】1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式（a ＞0）的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。

【教学重点】从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。

【教学难点】理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。

【教学过程】1.课题导入从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：教材P84“刹车距”问题教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到“一元二次不等式”模型。

2.讲授新课1）一元二次不等式的定义：形如220,(0)0,(0)ax bx c a ax bx c a ++>>++<>或这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。

2）探究一元二次不等式250x x -< …… （1）的解集怎样求不等式（1）的解集呢？探究：（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系容易知道：二次方程的有两个实数根：120,5x x ==二次函数有两个零点：120,5x x ==于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。

（2）观察图象，获得解集画出二次函数25y x x =-的图象，如图，观察函数图象，可知：当 x<0，或x>5时，函数图象位于x 轴上方，此时，y>0,即250x x ->；当0<x<5时，函数图象位于x 轴下方，此时，y<0,即250x x -<；所以，不等式250x x -<的解集是{}|05x x <<，从而解决了本节开始时提出的问题。

2019-2020学年人教A版必修第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式学案

第二章一元二次函数、方程和不等式2.2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（共2课时）（第1课时）1. 理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；2. 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；重点：1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系.1. 含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是2.二次函数、二次方程、二次不等式的联系：Δ=b2-4acΔ＞0 Δ=0Δ＜0二次函数y=a x2+b x+c(a＞0)的图象[来源:学§科§网a x2+b x+c=0的根Z§X§X§K]a x2+b x+c＞0的解集a x2+b x+c＜0的解集（一）、情境导学问题1园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是２４m，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？问题2：二次函数y=x 2-5x 的函数图像如下，思考：当x 为何值时，y=0，函数图像与x 轴有什么关系？当x 为何值时，y ＜0，函数图像与x 轴有和关系？当x 为何值时，y ＞0，函数图像与x 轴有什么关系？思考：对于一般一元二次不等式的解集怎么求呢？我们知道，对于一元二次方程a x 2+b x+c =0(a ＞0)，设其判别式为Δ=b 2-4ac ，它的解按照Δ＞0,Δ=0，Δ＜0分为三种情况，相应地，抛物线y=a x 2+b x+c (a ＞0)与x 轴的相关位置也分为三种情况（如下图），因此，对相应的一元二次不等式a x 2+b x+c ＞0或a x 2+b x+c ＜0（a ＞0）的解集我们也分这三种情况进行讨论.根据二次函数及其对应的不等式与方程之间的联系，填写下列表格。

人教高中数学必修一A版《二次函数与一元二次方程、不等式》一元二次函数、方程和不等式研讨说课复习课件

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[解] (1)因为 Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程 2x2＋7x＋3＝0 有两
个不等实根 x1＝－3，x2＝－12.又二次函数 y＝2x2＋7x＋3 的图象开口向上，
所以原不等式的解集为xx>－12或x<－3
.
(2)原不等式可化为2x－922≤0，所以原不等式的解集为xx＝94
.
题型一元二次不等式的实际应用
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典例精讲
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典例精讲
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变式训练
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方法指导 SCQ NO.1 MIDDLE SCHOOL
一元二次不等式实际应用解题的方法： ➢ 选取合适的字母设题中的未知量； ➢ 由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）； ➢ 求解所列出的不等式（组）； ➢ 结合题目的实际意义下结论.
提示：结合二次函数图象可知，若一元二次不等式 ax2＋x－1>0 的解集为 R，则a1>＋04，a<0，解得 a∈∅，所以不存在 a 使不等式 ax2＋x－1>0 的解集为 R.
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C [3＋5x－2x2≤0⇒2x2－5x－
1．不等式 3＋5x－2x2≤0 的解集 3≥0⇒(x－3)(2x＋1)≥0⇒x≥3或x≤
解决简单问题(难点).
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自主预习探新知
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1．一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式．
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2．一元二次不等式的一般形式 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)． (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)． (3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)． (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．思考 1：不等式 x2－y2>0 是一元二次不等式吗？提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．

人教A版(2019)高中数学必修第一册2.3一元二次函数、方程和不等式学案

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式学习目标：1. 理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题核心素养：1.通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养2. 一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系得到二次不等式的解培养数学抽象素养学习过程：【知识导学】知识点一一元二次不等式的概念一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a，b，c均为常数，a≠0)的不等式都是一元二次不等式．知识点二．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集知识点三三个“二次”的关系判别式Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图像一元二次方程ax2＋bx ＋c＝0 (a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根一元二次不等式ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x⎪⎪⎪x≠－b2a{x|x∈R}一元二次不等式ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集{x|x1< x<x2} ∅∅【名师点拨】.解一元二次不等式①首先化不等式为标准形式：ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)；②再由图象得出不等式的解集口诀：大于取两边，小于取中间．【初试身手】（1）（2020·山西太原高一期末）不等式()10x x ->的解集是（） A ．()(),01,-∞⋃+∞ B ．()0,1 C ．(),0-∞D ．()1,+∞【答案】A 【解析】解二次不等式()10x x ->，得0x <或1x >，因此，不等式()10x x ->的解集()(),01,-∞⋃+∞. 故选：A.（2）（2020·福建高一期末）不等式2560x x --<的解集是（） A ．{|6x x >或1}x <- B ．{}|16x x -<< C ．{|1x x >或6}x <- D ．{}|61x x -<< 【答案】B 【解析】由2560x x --<可得(6)(1)0x x -+<，16x ∴-<<，故不等式的解集为{}|16x x -<<，故选：B（3）（2020·全国高一课时练习）解不等式2230x x -+-<________ 【答案】不等式的解集为R【解析】由题意，不等式2230x x -+-<可化为2230x x -+>，因为2(2)4380∆=--⨯=-<，所以方程2230x x -+=无实数解，又由函数223y x x =-+的图象开口向上，所以原不等式的解集是R . （4）不等式－3x 2＋5x －4>0的解集为________．【答案】∅【解析】原不等式变形为3x 2－5x ＋4<0.因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，所以3x 2－5x ＋4＝0无解．由函数y ＝3x 2－5x ＋4的图象可知，3x 2－5x ＋4<0的解集为∅.]（5）（2020·齐齐哈尔市朝鲜族学校高一期中）不等式250ax x c -+<的解集为11|32x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，则a ，c 的值为（） A ．6a =，1c = B ．6a =-，1c =- C ．1a =，6c = D ．1a =-，6c =-【答案】A【解析】不等式250ax x c -+<的解集为11|32x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，故不等式对应方程的系数满足：115321132ac a⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得6a =，1c =.故选：A.例题讲解：例1．解下列不等式： (1)2x 2＋7x ＋3>0； (2)－4x 2＋18x －814≥0；(3)－2x 2＋3x －2<0.【答案】（1）⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >－12或x <－3（2）⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝94 （3）R . 【解析】 (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝－12.又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >－12或x <－3. (2)原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －922≤0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝94.(3)原不等式可化为2x 2－3x ＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R . ［方法技巧］解一元二次不等式的一般步骤(1)化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正. (2)判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式. (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. (4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. (5)写解集.根据图象写出不等式的解集. ［变式训练］求下列不等式的解集：(1)x 2－3x ＋1≤0； (2)－9x 2＋6x －1<0；(3)x 2－4x ＋5>0； (4)2x 2＋x ＋1<0. (5)0<x 2－x －2≤4【答案】（1）{|x 3－52≤x ≤3＋52. }（2）⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠13，x ∈R （3）R （4）∅.（5）{x |－2≤x <－1或2<x ≤3}【解析】(1)因为Δ＝9－4＝5>0，所以方程x 2－3x ＋1＝0有两个不等实数根x 1＝3－52，x 2＝3＋52，所以原不等式的解集为{|x 3－52≤x ≤3＋52. }(2)原不等式可化为(3x －1)2>0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠13，x ∈R .(3)因为Δ＝(－4)2－4×5＝－4<0，所以原不等式的解集为R . (4)因为Δ＝12－4×2＝－7<0，所以原不等式的解集为∅. (5)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4，则⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x ＋1)>0，(x －3)(x ＋2)≤0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，∴原不等式的解集为{x |－2≤x <－1或2<x ≤3}．例2（1）（2020·怀仁市第一中学校云东校区高一期末（理））解关于x 的不等式:22(2)20().ax a x a a R -++>∈ (2)2x 2＋ax ＋2>0；【答案】（1）当0a =时，解集为 {}0x x <；当0a <<时，解集为2{|x x a>或}x a <；当a >{|x x a >或2}x a <；当 0a <<时，解集为2{|}x x a a <<；当 a <2{|}x a x a<<；当a ={|x x ≠；当a =∅；（2）当－4<a <4时不等式的解集为R .，当a ＝－4时，原不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠1}；当a >4或a <－4时，原不等式的解集为{|x x <14(－a －a 2－16)或x >14(－a ＋a 2－16)；当a ＝4时，原不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠－1} 【解析】（1）由22(2)20().ax a x a a R -++>∈则(2)()0ax x a --> 因为a R ∈，故对a 分情况讨论当0a =时，则20x ->，所以0x <，不等式的解集为{}0x x <当0a << 时，由(2)()0ax x a -->，不等式的解集2{|x x a>或}x a <当a >{|x x a >或2}x a <当 0a <<时，不等式的解集为2{|}x x a a<<当 a <2{|}x a x a<<当a ={|x x ≠当a =∅(2)Δ＝a 2－16，下面分情况讨论：①当Δ<0，即－4<a <4时，方程2x 2＋ax ＋2＝0无实根，所以原不等式的解集为R . ②当Δ≥0，即a ≥4或a ≤－4时，方程2x 2＋ax ＋2＝0的两个根为x 1＝14(－a －a 2－16)，x 2＝14(－a ＋a 2－16)．当a ＝－4时，原不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠1}；当a >4或a <－4时，原不等式的解集为{|x x <14(－a －a 2－16)或x >14(－a ＋a 2－16)；当a ＝4时，原不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠－1}［方法技巧］解含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系．(3)写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．注意：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并［变式训练］（2020·上海高一课时练习）解关于x 的不等式：()2230x a a x a-++>．【答案】见解析【解析】将不等式()2230x a ax a-++>变形为()()20x a x a -->.当a <0或1a >时，有a < a 2，所以不等式的解集为{|x x a <或2}x a >；当a =0或1a =时，a = a 2=0，所以不等式的解集为{|,x x R ∈且}x a ≠；当0< a <1时，有a > a 2，所以不等式的解集为2{|x x a <或}x a >；【例3】已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．【答案】⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞12 【解析】法一：由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知，a <0，且2和3是方程ax2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系可知b a ＝－5，c a ＝6.由a <0知c <0，b c ＝－56，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即x 2＋b c x ＋a c >0，即x 2－56x ＋16>0，解得x <13或x >12，所以不等式cx 2＋bx＋a <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞12. 法二：由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知，a <0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，所以ax 2＋bx ＋c ＝a (x －2)(x －3)＝ax 2－5ax ＋6a ⇒b ＝－5a ，c ＝6a ，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即6ax 2－5ax ＋a <0⇒6a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0，故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞12. ［方法技巧］已知以a ，b ，c 为参数的不等式(如ax 2＋bx ＋c ＞0)的解集，求解其他不等式的解集时， (1)根据解集来判断二次项系数的符号；(2)根据根与系数的关系把b ，c 用a 表示出来并代入所要解的不等式； (3)约去 a ，将不等式化为具体的一元二次不等式求解. ［变式训练］（2020·上海高三专题练习）已知一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为{}x x αβ<<,且0αβ<<,求不等式20cx bx a ++<的解集. 【答案】1{x x α>或1}x β<【解析】因为不等式20ax bx c ++>(0a ≠)的解为x αβ<<,其中0βα>>,所以有b a αβ+=-,caαβ=且0a <,0c <.设方程20cx bx a ++=的两根为m ,n ,且m n <.则11b m n c αβαβαβ++=-==+,111a mn c αβαβ===⋅所以可得1n α=,1m β=且11αβ>又因为0c <,∴不等式20cx bx a ++<的解集1{x x α>或1}x β<.课堂小结：1.一元二次方程、一元二次不等式及二次函数图像密切相关，解一元二次不等式的一般步骤如下：①化不等式为标准形式：ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)或ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)；②求方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的根，并画出对应函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的简图； ③由图象得出不等式的解集． 2．含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a ＞0，a ＜0，a ＝0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)． (3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x 1＞x 2，x 1＝x 2，x 1＜x 2. 3．由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x 轴的交点坐标.课堂达标检测：（1）（2020·上海高一开学考试）不等式11023x x ⎛⎫⎛⎫-->⎪⎪⎝⎭⎝⎭的解集为（）A ．11|32x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ B ．1|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭C ．1|3x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭D ．11|32x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或【答案】A 【解析】∵11023x x ⎛⎫⎛⎫-->⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴11023x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＜解得：1132x <<，即不等式11023x x ⎛⎫⎛⎫--> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的解集为11|32x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭故选：A（2）已知不等式210ax bx --≥的解集是11[,]23--,则不等式20x bx a --<的解集是（） A ．(2,3) B ．(,2)(3,)-∞⋃+∞ C ．11(,)32D ．11(,)(,)32-∞⋃+∞【答案】A【解析】∵不等式210ax bx --≥的解集是1123⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，， ∴1123x x =-=-，是方程210ax bx --=的两根，∴1152361111236b a a⎧⎛⎫=-+-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-=-⨯-=⎪⎪⎝⎭⎩，解得65a b =-⎧⎨=⎩．∴不等式20x bx a --<为2560x x -+<，解得23x <<，∴不等式的解集为()23，．故选A ．（3）（2020·全国高一课时练习）若0<t <1，则关于x 的不等式(t －x )1x t ⎛⎫- ⎪⎝⎭>0的解集是（） A ．1xx t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ B ．1x x t ⎧>⎨⎩或}x t < C ．1x x t⎧<⎨⎩或}x t > D ．1x t x t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】∵0<t <1，∴1t >1，∴1t>t .∴(t －x )1x t ⎛⎫- ⎪⎝⎭ >0⇔(x －t )1x t ⎛⎫- ⎪⎝⎭ <0⇔t <x <1t .故选：D（4）（2020·山东省滕州市第二中学高一月考）解关于x 的不等式22(1)40()ax a x a R -++>∈．【答案】分类讨论，答案见解析. 【解析】当0a =时，不等式240x -+>的解为2x <；当0a ≠时，不等式对应方程的根为2ax =或2， ①当0a <时，不等式22(1)40()ax a x a R -++>∈即()()220ax x --+<的解集为2,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； ②当01a <<时，不等式()()220ax x -->的解集为2(,2),a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭； ③当1a =时，不等式()220x +>的解集为(,2)(2,)-∞⋃+∞； ④当1a >时，不等式()()220ax x -->的解集为2,(2,)a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭. 综上所述，当0a =时，不等式解集为(),2-∞；当0a <时，不等式的解集为2,2a ⎛⎫⎪⎝⎭；当01a <<时，不等式的解集为2(,2),a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；当1a =时，不等式的解集为(,2)(2,)-∞⋃+∞；当1a >时，不等式的解集为2,(2,)a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.。

二次函数与一元二次方程任务单

一、预习沪科版九年级数学上册教材P30~ P31，找出疑惑之处.
二、温故知新
（1）一次函数y＝x＋3的图象与x轴的交点为（, ）
一元一次方程x＋3＝0的根为________
（2）一次函数y＝2x－3的图象与x轴的交点为（, ）一元一次方程2x－3 ＝0的根为________
思考：一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点与一元一次方程kx＋b＝0的根有什么关系？
三、探索活动
动手操作：画出y＝x2+3x+2的图象
1、函数y＝x2 + 3x+2的图象与x轴两个交点坐标为
一元二次方程x2 + 3x+2 ＝0的两根是
你发现了什么？
归纳:（1）若二次函数y＝ax2 + bx+c （a ≠ 0）与x轴的交点的横坐标为x1 , x2，就是当y＝0时一元二次方程ax2+ bx+c ＝0的根就是
（2）二次函数的交点问题可以转化为去解决.
例题精讲
1.求二次函数y＝x2－5x－6与x轴的交点坐标
结论：
若一元二次方程ax2+bx+c=0 （a ≠ 0）的两个根是x=x1,
x=x2，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是
思考：函数y＝－x2＋9x－6和y＝3x2＋5x＋2与x轴的交点
坐标是什么？
四、小结
自我反思：
你本节课的有什么收获？
五、巩固练习
画出二次函数y=x2-x-6的图象，回答问题:
(1)图象与x轴的交点的坐标为A ( ， ),B( ， )
(2)当x= 时，函数值y=0。

(3)求方程x2-x-6=0的解。

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二次函数与一元二次方程、不等式教案新人教A版必修第一册

二次函数与一元二次方程、不等式教案新人教A版必修第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式1．理解一元二次方程与二次函数的关系．(数学抽象)2．驾驭图象法解一元二次不等式．(直观想象)3．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．(数学抽象)4．会解可化为一元二次不等式(组)的简洁分式不等式．(数学运算)5．会用分类探讨思想解含参数的一元二次不等式．(逻辑推理) 6．会解一元二次不等式中的恒成立问题．(数学运算)在从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式的学习中，可以先以探讨详细的一元二次函数改变状况为情境，使学生发觉一元二次函数与一元二次方程的关系，引出一元二次不等式的概念；然后进一步探究一般的一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系，归纳总结出用一元二次函数解一元二次不等式的程序．2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式一、必备学问·探新知基础学问学问点1：一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________________.一元二次不等式的一般形式是：_________________________或_________________________.学问点2：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系思索2：如何用图解法解一元二次不等式？提示：图解法解一元二次不等式的一般步骤：(1)将原不等式化为标准形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c0)；(2)求Δ＝b2－4ac；(3)若Δ0的解集为{x|x11或x0；(2)x2－4x＋4>0；(3)－x2＋2x－30.依据三个二次之间的关系求解即可．解一元二次不等式的步骤(1)对不等式变形，使不等号一端二次项系数大于0，另一端为0，即化为ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c0)的形式．(2)计算相应的判别式．(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．(4)依据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集．❶不等式6x2＋x－2≤0的解集为______________________.题型二三个“二次”的关系例题2：已知不等式ax2－bx＋20.二次项系数为2，Δ＝a2－16不是一个完全平方式，故不能确定根的个数，因此需对判别式Δ的符号进行探讨，确定根的个数．②当a＝4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝－1，∴原不等式的解集为{x|x≠－1}．③当a＝－4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝1，∴原不等式的解集为{x|x≠1}．④当－4 在解答含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类探讨，为了做到“不重不漏”，一般从如下三个方面进行考虑：(1)关于不等式类型的探讨：二次项的系数a>0，a＝0，a0)，一根(Δ＝0)，无根(Δx2，x1＝x2，x10.WORD模版源自网络，仅供参考！如有侵权，可予删除！文档中文字均可以自行修改本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！。