已知函数的单调性求参数的取值范围

2
课后作业：课时作业
即aa
1 1
3

1

a

2
故实数a的取值范围为-1, 2
函数y f (x)为可导函数：
1.如果在（a,b)内，f (x)＞0 f(x)在此区间是增函数; 如果在（a,b)内，f (x) 0 f(x)在此区间是减函数。
2.若函数f (x)在（a,b)上单调递增， 则f (x) 0在区间(a,b)上恒成立 若函数f (x)在（a,b)上单调递减， 则f (x) 0在区间(a,b)上恒成立
例1：已知函数f (x)=x3-3x2 -9x在区间(a,a+1)上单调递减， 求实数a的取值范围。 例2：若函数f (x) x3 ax2 1在(0, 2)内单调递减， 求实数a的取值范围。
例题1与例题2有什么相同点？
已知函数单调性 求参数的取值范围
武胜中学校 李开勇
题1：已知函数f (x)=x3-3x2 -9x在区间(a,a+1)上单调递减， 求实数a的取值范围。 题2：若函数f (x) x3 ax2 1在(0, 2)内单调递减， 求实数a的取值范围。
所以，要使f(x)在(2a,a+1)上单调递增
则(2a,a+1) (0,e)
2a 0 即 a 1 e 0 a 1
2a a 1
故实数a的取值范围为 0,1
总结 :1：若函数f(x)（不含参数）在(a,b)（含参数） 上单调递增（递减），则可解出函数f(x)的单调（递减） 区间是(c,d),则(a,b)(c,d)(注意a b)
令g(x) 3x2 2ax,
由3x2 2ax 0在(0, 2)上恒成立
要使g(x) 0在(0, 2)恒成立
转化为a 3x 在（0, 2）上恒成立 2
由根的分布，可得
令g(x) 3x , 且g(x) 3x 在（0，2）上单增

g(0) g(2)

0 0

a

课堂练习： 1.已知函数f (x) x2(x a),若f (x)在(2,3)上单调，则实数a的取值范围为 _________。
2.设函数f (x) x2 ax ln x(a R),若函数f (x)在区间0,1上是减函数，
求实数a的取值范围。
答案：（1）a 3或a 9 （2）a 1
即

f f
'(a) 0 '(a 1)
0

1 2

a a

3 2

1

a

2
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故实数a的取值范围为-1, 2
变式：已知函数f (x) ln x 在区间（2a,a+1)上单调递增， x
求实数a的取值范围。
解：由已知得f
'( x)

1 ln x2
x
令f '( x) 0 f ( x)的单调递增区间为（0,e)
（二）、参数放在函数表达式上：
例2：若函数f (x) x3 ax2 1在(0, 2)内单调递减， 求实数a的取值范围。
（2）解：Q f (x) x3 ax2 1在（0, 2）内单调递减，
f '(x) 3x2 2ax 0在(0, 2)上恒成立。
解法一：根的分布
解法二：分离参数法，构造新函数
那有什么不同点呢？
典例分析 （一）、参数放在区间上：
例1.已知函数f (x)=x3-3x2-9x在区间(a,a+1)上单调递减，
求实数a的取值范围。
解：其实函数f (x) x3 3x2 9x的单调减区间可以直接求出，
Q f '(x) 3x2 6x 9 0 1 x 3 f (x)的单调递减区间为(-1,3) 要使函数f (x)在（a,a+1)内单调递减 （a,a+1)(-1,3)
a
三、课时总结：（本节课主要介绍了已知函数单调性来利用导数求参数范围.） 1、函数在某个区间单调递增（或递减），可转化为函数的导数在这个区间上 f (x) 0(或f (x) 0）恒成立的问题 2、解题方法： 1）、利用方程根的分布求参数取值范围 2）、利用集合性质求参数的取值范围 3）、分离参数法求参数范围 4）、构造新函数求参数范围 5）、分类讨论求参数范围 3、数学思想：分类讨论、数形结合、化归
3
2
2
g(2) 3 g(x)
a 3
故实数a的取值范围为3，+故实数a的取值范围为3，+
“若函数f (x)在（a,b）上单调递减， 则f (x) 0在区间(a,b)上恒成立” “若函数f (x)在（a,b）上单调递增， 则f (x) 0在区间(a,b)上恒成立”
故f '(x) （ 0 或f '(x) 0)是f (x)单调 递增(或递减）的 __充_分__不__必__要_条__件____
由这个结论，本题也可以这样解答：
Q f '(x) 3x2 6x 9且要使f (x)在区间（a, a 1)上单调递减。
f '(x) 3x2 6x 9 0在区间（a, a 1)内恒成立，
它们不是充要条件
变式：若函数f (x)=lnx-ax(a 0)的单调增区间为（0,1）, 则实数a的取值范围为 _________。
解：Q f '(x) 1 ax x 0
x 令f '(x) 0 0 x 1
a 而f (x)的单调增区间是（0,1)， 故而需要 1 1，得a 1