正弦、余弦函数的性质(一)

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正弦函数、余弦函数的性质

2 T
二、奇偶性
y
o
x
正弦函数是奇函数, 余弦函数是偶函数.
三、最大值与最小值
y
o
x
正弦函数当且仅当x 2k 且仅当x 2k

2
, k Z时取得最大值1, 当

2 余弦函数当且仅当x 2k , k Z时取得最大值1,当且仅当x 2k , k Z时取得最小值 1.
解：（1）∵
3cos( x 2 ) 3cos x
∴自变量x只要并且至少要增加到x+2
y 3cos x, x R 的值才能重复出现.
，函数
所以，函数 y 3cos x, x R 的周期是 2
(2) sin(2 x 2 ) sin 2( x ) sin 2 x
§ 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 (一)
引入
y
o
ห้องสมุดไป่ตู้
x
周期函数: 对于函数f(x),若存在一个非零常数 ,使 T
得当x取定义域内的每一个值都有时, f ( x T ) f ( x)
称之, 非零常数T叫做这个函数的周期.
新课
若在周期函数的所有周期中存 f(x) 在一个最小的正数, 则这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
, k Z时取得最小值 1;
例2、求下列函数的最及取得最值时自值, 变量x的集合:
(1) y cos x 1, x R; ( 2) y 3 sin 2 x, x R;
小结
1. 周期函数的定义，周期，最小正周期
2. 三角函数的奇、偶性
3. 三角函数的单调性；
作业
一、周期性正弦函数是周期函数2k( k Z , k 0)都 ,

正弦函数、余弦函数的图象和性质及答案(一)

正弦函数、余弦函数的图象和性质（一）●作业导航掌握用“五点法”画正弦函数图象，掌握正弦函数的定义域、值域、最大值和最小值、周期、奇偶性、单调性．一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．函数f (x )＝sin(5x ＋27π)是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 2．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是( )A ．y ＝sin2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin2x ＋cos2xD ．y ＝x x22tan 1tan1+- 3．y ＝3sin|x |，x ∈R 的值域为( ) A ．(0，3) B ．［0，3］ C ．(-3，3) D ．［-3，3］4．设函数f (x )是周期为2T 的函数，若f (x )定义域为R ，且图象关于直线x ＝T 对称，那么f (x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数5．已知f (x )＝122-a a(a x -a -x )，且0<a <1，那么，此函数的反函数是( ) A ．奇函数且为减函数 B ．偶函数且为减函数 C ．奇函数且为增函数D ．偶函数且为增函数二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．用“五点法”画函数y ＝2-sin x ，x ∈［0，2π］的图象时，五个关键点分别是________．2．函数y ＝1sin 2-x 的定义域是________．3．已知奇函数f (x )，当x >0时，f (x )＝x ＋cos x ，则x <0时，f (x )的解析式为________． 4．已知奇函数y ＝f (x )对一切x ∈R 满足f (x ＋1)＝f (x -1)，当x ∈［-1，0］时，f (x )＝3x＋94，则f (5log31)＝________．5．设函数y ＝f (x )是最小正周期为2的偶函数，它在区间［0，1］上的图象为线段AB ，如图，则在区间［1，2］上，f (x )的解析式为________．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．求函数y ＝x xx sin 1cossin 22+⋅的最大值和最小值．2．把截面直径为40cm 的圆形木料锯成矩形木料，问如何选择矩形的尺寸，才能使得废弃的木料最少？3．若cos 2θ＋2msin θ-2m -2<0恒成立，试求实数m 的取值范围．4．求证：f (x )＝lg x x xx cos sin cos sin -+为奇函数．5．若(x ＋2y )3＋x 3＋2x ＋2y ＝0，求(x ＋y )10的值．参考答案一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．B 分析：sin(5x ＋27π)＝-cos5x ．2．D 分析：y ＝xx 22tan 1tan1+-＝cos2x ．3．D分析：y ＝3sin|x |＝⎩⎨⎧<-≥0sin 30sin 3x xx x ． -3≤3sin x ≤3，-3≤-3sin x ≤34．B 分析：∵ f (x )的图象关于x ＝T 对称 ∴ f (T -x )＝f (T ＋x ) ① 又f (x )的周期为2T∴ f (T ＋x )＝f (T ＋x -2T )＝f (x -T )②由①、②有f (T -x )＝f (x -T ) 令x -T ＝t ，则f (-t )＝f (t )对一切t ∈R 都成立∴ f (x )是偶函数．5．C 分析：∵ f (-x )＝122-a a(a -x -a x )＝-f (x )∴ f (x )为奇函数∵ g (x )＝a x 和ϕ(x )＝-(a 1)x 都是减函数，122-a a<0∴ f (x )＝122-a a［g (x )＋ϕ(x )］是增函数．二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．(0，2)，(2π，1)，(π，2)，(23π，3)，(2π，2)2．{x |6π＋2k π≤x ≤65π＋2k π，k ∈Z }分析：2sin x -1≥0 sin x ≥21由图象或单位圆可得6π＋2k π≤x ≤65π＋2k π，k ∈Z 3．x -cos x 分析：x <0，则-x >0 ∴ f (-x )＝-x ＋cos(-x )＝-x ＋cos x 又f (-x )＝-f (x )∴ -f (x )＝-x ＋cos x ∴ f (x )＝x -cos x (x <0)4．-1 分析：令t ＝x -1，即x ＝t ＋1 ∴ f (t )＝f (t ＋2)∴ f (x )是周期为2的函数∵ 5log31＝-log 35∵ 1<log 35<2 ∴ -1<log 35-2<0f (5log31)＝-f (log 35)1)9495()943(2log53-=+-=+-=- 5．x 分析：线段AB 的方程为 f (x )＝-x ＋2(0≤x ≤1)当1≤x ≤2时 0≤-x ＋2≤1 则有f (-x ＋2)＝-(-x ＋2)＋2＝x ．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．解：y ＝xx x xxx sin 1)sin1(sin 2sin 1cossin 222+-=+⋅21)21(s i n 2)1)(s i n s i n 1(s i n 2s i n 1)s i n 1)(sin 1(sin 22+--=-≠-=+-+=x x x x x x x x∵ -1<sin x ≤1∴ -4<y ≤21∴ 当sin x ＝21时，即x ＝2k π＋6π或x ＝2k π＋65π，k ∈Z 时，y 有最大值21． ∵ sin x ≠-1∴ y 无最小值．2．解：如图，BD ＝40 cm ，设∠DBC ＝θ，矩形面积为S ，则S ＝40cos θ·40sin θ＝1600sin θcos θ＝800sin2θ 当sin2θ＝1时，即2θ＝90°，θ＝45°时 S 有最大值800 cm 2 ∴ 当矩形为正方形且边长为202cm 时，废弃的木料最少． 3．解：设sin θ＝t ，t ∈［-1，1］，要使cos 2θ＋2m sin θ-2m -2<0恒成立．也就是t 2-2mt ＋2m ＋1>0，t ∈［-1，1］恒成立．设f (t )＝t 2-2mt ＋2m ＋1，对称轴方程为t ＝m ．(1)当t <-1时，只要f (-1)>0．即1＋2m ＋2m ＋1>0 m >-21这与m <-1矛盾，舍去 (2)当-1≤m ≤1时只要f (m )>0，即m 2-2m 2＋2m ＋1>0 m 2-2m -1<01-2<m <1＋2．∴ 1-2<m ≤1．(3)当m >1时，只要f (1)>0，即1-2m ＋2m ＋1>0．即2>0． ∴ m >1时，f (t )>0恒成立综上(1)、(2)、(3)有m >1-2．4．证明：x x xx cos sin cos sin -+>01t a n 1t a n -+xx >0 (tan x ＋1)(tan x -1)>0 tan x >1或tan x <-1k π＋4π<x <k π＋2π，k ∈Z 或k π＋2π<x <k π＋43π，k ∈Z函数的定义域为{x |k π＋4π<x <k π＋2π或k π＋2π<x <k π＋43π，k ∈Z }，关于原点对称．)(c o ss i n c o s s i n lg)cos sin cos sin lg(cos sin cos sin lgcos sin sin cos lg )cos()sin()cos()sin(lg)(1x f x x x x xx x x xx x x x x x x x x x x x f -=-+-=-+=+-=---=----+-=--又∴ f (x )为奇函数．5．解：∵ (x ＋2y )3＋x 3＋2x ＋2y ＝0∴ (x ＋2y )3＋(x ＋2y )＝-(x 3＋x )①构造函数f(t)＝t3＋t(t∈R)f(-t)＝(-t)3＋(-t)＝-(t3＋t)＝-f(t)∴f(t)是奇函数∵g(t)＝t3，h(t)＝t为R上的增函数∴f(t)＝g(t)＋h(t)＝t3＋t为R上的增函数．由①得f(x＋2y)＝-f(x)＝f(-x)∴x＋2y＝-x∴x＋y＝0∴(x＋y)10＝0。

正弦函数、余弦函数的性质(一)

B．偶函数
因为 f(x)＝sin
－12x＋2π
＝cos
1 2
x，
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
所以 f(－x)＝cos
－12x
＝cos
1 2
x＝f(x)，所以 f(x)是偶函数．
【加固训练】函数 f(x)＝ 2sin x－1 是( ) A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
【解析】(1)由已知π4 ＋φ＝kπ(k∈Z)，所以 φ＝kπ－π4 (k∈Z)，又因为 φ∈－π2，π2 ，所以 k＝0 时，φ＝－π4 符合条件．答案：－π4
(2)由已知π4 ＋φ＝kπ＋π2 (k∈Z)，所以 φ＝kπ＋π4 (k∈Z)，又因为 φ∈－π2，π2 ，所以 k＝0 时 φ＝π4 符合条件．答案：π4
1．函数 f(x)＝sin (－x)的奇偶性是( ) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数【解析】选 A.由于 x∈R，且 f(－x)＝sin x＝－sin (－x)＝－f(x)，所以 f(x)为奇函数．
2．函数 y＝2cos x＋5 的最小正周期是________．【解析】函数 y＝2cos x＋5 的最小正周期为 T＝2π. 答案：2π
由图象可知 T＝π. 答案：π
求三角函数周期的方法 (1)定义法：即利用周期函数的定义求解． (2)公式法：对形如 y＝A sin (ωx＋φ)或 y＝A cos (ωx＋φ)(A，ω，φ 是常数，A≠0，ω≠0) 的函数，T＝|2ωπ| . (3)图象法：即通过观察函数图象求其周期．
【结论通通用】周期函数的一些常用结论： (1)若 f(x＋a)＝－f(x)或 f(x＋a)＝－ 1 ，则 f(x)为周期函数，且 2a 是它的一个周

6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质(一)

6．1正弦函数和余弦函数的图像与性质（一）上海曙光中学陶慰树一．教学内容分析本章节内容是在学生学习了三角比及有关三角恒等变形公式后，从函数的角度和层面来研究相关三角问题。

对于函数的研究，学生已经具备了一定的知识基础和对简单的具体函数的研究经验，结合三角函数的特殊性，教材改变了研究函数由性质到图像的研究策略，而是先得出三角函数的图像，再由图像归纳性质这一途径。

为此通过函数图像作图的一般方法---描点法（五点发）及正余弦函数在单位圆中正弦线和余弦线所具备的特征构造正弦函数和余弦函数的图像，学生容易接受，而对于通过函数的图像的平移或对称得出余弦函数和相关其他三角函数的图像可能比较困难，需要在教学时加以指导和突破。

正弦函数和余弦函数的图像在三角函数的研究中是一个基础和前提，为后面得出正弦函数和余弦函数的性质、进一步加深对函数图像的研究将起着至关重要的作用。

二．教学目标设计1、能结合单位圆中的正弦线、余弦线理解正弦函数及余弦函数中函数值的变化规律；2、通过五点法能正确作出正弦函数的图像，并能归纳正弦函数图像的特征；3、通过函数图像的变换，能作出余弦函数及相关函数图像；4、在渗透数形结合的数学思想过程中，培养学生类比和转化的思维习惯。

三．教学重点难点正弦函数和余弦函数的图像的形成和应用。

四．教学用具准备多媒体设备五．教学流程设计六．教学过程设计一．复习引入1．复习：学生口述函数的定义。

2．引入：结合我们刚学过的三角比，就以正弦（或余弦）为例，对每一个给定的角x 和正弦值x sin （或x cos ）之间是否也存在一种函数关系？若存在，请对这种函数关系下一个定义，若不存在请说明理由。

3．讨论：对自变量x 的取值类型和范围进行讨论，并给出相应的正弦函数和余弦函数的记号。

复习引入正弦函数、余弦函数的概念正弦函数和余弦函数的图像转化转化单位圆中的正弦线和余弦线五点作图法巩固与深化、应用课堂总结以往我们在研究函数时，先探究函数所具备的性质，再作出函数的图像，今天我们先探究正弦函数和余弦函数的图像，再得出函数的性质。

5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第1课时)课件(人教版)

1
2
4
∴ T 2得T
1
2
2
1

∴函数 y 2 sin( x ), x R 的周期为4π
2
6
巩固练习
求下列三角函数的周期：

(1)y=sin(x+ 3 )；
x

(2) y=3sin( 2 + 5 )

解： (1) 令z= x+ 而 sin(2+z)=sinz
3

即：f (2+z)=f (z) , f [(x+2)+ 3 ]=f (x+ 3 )
5 . 4 . 1 正弦函数、余弦函数的性质
复习回顾

正弦函数y＝sinx，x∈[0, 2]的图象中，
五个关键点是哪几个?

3
(0,0), ( ,1), ( ,0), (
,1), ( 2 ,0)
2
2

余弦函数y＝cosx，x∈[0, 2]的图象中，
五个关键点是哪几个?

3
(0,1), ( ,0), ( ,1), (

3
，

2

sin(
) sin( )
3 3
3
2
3
是周期吗？
2

2
) sin( x) ，
才是周期，是特
3
6
3
例题
求下列函数的周期
(1) y 3cos x, x R
(2) y sin 2 x, x R
解:(1)∵cos(x+2π)=cosx,
∴3cos(x+2π)=3cosx

1.4.2 正弦、余弦函数的性质(一)

2) y = sin 2 x 1
2π T= = 4π 3) y = 2 sin( x − ), x ∈ R 1 2 6 2 函数y = A sin(ω x + ϕ )及y = A cos(ω x + ϕ ), x ∈ R 2π ( A, ω , ϕ为常数, A ≠ 0, ω > 0)的周期T = ω
π
2π T= =π 2
课堂小结：课堂小结：
1. 定义法公式法： 2. 公式法：
周期求法
一般地，一般地，函数 y=Asin(ωx+φ) 及 y=Acos(ωx+φ) （其中A ,ω,φ为常数，为常数，的周期是: 且 A≠0, ω≠0 ）的周期是:
T= 2π
ω
(ω ≠ 0)
1、求下列函数的周期或函数值、
利用正弦函数和余弦函数的图象，例2.利用正弦函数和余弦函数的图象，利用正弦函数和余弦函数的图象求满足下列条件的x的集合的集合：求满足下列条件的的集合：
2 (2) cos x ≤ 1 ，x ∈ (0, 5π ) (1) sin x ≥ 2 2 2
例3.求下列函数的定义域： 3.求下列函数的定义域：求下列函数的定义域
π
2
,1 )
最低点：最低点： ( 3π
2
,−1)
轴的交点：与x轴的交点： (0, 0) (π , 0) (2π , 0) 轴的交点
y
-
y = cos x
x ∈ [0, 2π ]
1-
-1
o
-1 -
π
6
π
3
π
2
2π 3
5π 6
π
的图象上，关键点：在函数 y = cos x, x ∈ [0, 2π ] 的图象上，关键点：最高点：最高点： (0,1) (2π ,1) 轴的交点：与x轴的交点： ( 轴的交点最低点：最低点：

正弦函数、余弦函数的性质(一)

(2) 令 z 2x，x R，则 y sin z，z R
Q sin(z 2 ) sin z sin(2x 2 ) sin 2x 即 sin 2( x ) sin 2x，x R
y sin 2x 的周期是；
(3) y 2sin( 1 x )，x R .
26
解：令 z 1 x ，x R，则 y 2sin z，z R
有界性的条件．
例4 求函数 y 2sin x 1 的值域.
sin x 3
解：由已知得 (2 y)sin x 3 y 1
y 2， sin x 3 y 1
2 y 1 sin x 1 | 3 y 1 | 1 | 3 y 1 | | 2 y |
2 y
即 (3 y 1)2 (2 y)2 (4 y 1)(2 y 3) 0
y
y sin x , x R
1
3
5 2
2
3 2
2
0
-1
2
3 2
2 5 3 x
2
y
y cos x , x R
1
3
5 2
2
3 2
2
0
-1
2
3 2
2 5 3 x
2
观察正弦曲线与余弦曲线，可以得出以下结论： 1. 正弦函数和余弦函数的定义域、值域
y=sinx和y=cosx的定义域都是 ____R______. y=sinx和y=cosx的值域都是 __[－__1_，__1_]__.
即x∈[2kπ,2(k+1)π)(k∈Z)上的图象是完全相同的. 即自变量每相差2π，图象就“周而复始”重复出现. （这一特性从正弦线、余弦线的变化规律中也可以看出）
y
y sin x , x R

高中数学：正弦函数、余弦函数的性质(1)—周期性、奇偶性含解析

第11课时　正弦函数、余弦函数的性质(1)——周期性、奇偶性课时目标1.掌握周期函数概念，会求三角函数周期．2．能判断三角函数的奇偶性．识记强化1．周期性：(1)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，则函数y ＝f (x )叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．对于一个周期函数f (x )，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．(2)y ＝sin x ，y ＝cos x 都是周期函数，2k π(k ∈Z ，k ≠0)都是它们的周期，最小正周期是2π.2．y ＝A sin(w x ＋φ)，x ∈R 及y ＝A cos(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A 、ω、φ为常数且A ≠0，ω>0)的周期为T ＝.2πω3．y ＝sin x ，x ∈R 是奇函数，y ＝cos x ，x ∈R 是偶函数；sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x .4．反映在图象上，正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y 轴对称．课时作业一、选择题1．下列说法中正确的是( )A ．当x ＝时，sin≠sin x ，所以不是f (x )＝sin x 的周期π2(x ＋π6)π6B ．当x ＝时，sin＝sin x ，所以是f (x )＝sin x 的一个周期5π12(x ＋π6)π6C ．因为sin(π－x )＝sin x ，所以π是y ＝sin x 的一个周期D ．因为cos ＝sin x ，所以是y ＝cos x 的一个周期(π2－x )π2答案：A解析：T 是f (x )的周期，对应f (x )的定义域内任意x 都有f (x ＋T )＝f (x )成立．2．函数y ＝－5cos(3x ＋1)的最小正周期为( )A. B ．3ππ3C. D.2π33π2答案：C解析：该函数的最小正周期T ＝＝.2πω2π33．函数y ＝cos的最小正周期是( )(π4－x 3)A ．πB ．6πC ．4πD ．8π答案：B解析：最小正周期公式T ＝＝＝6π.2π|ω|2π|－13|4．下列函数中，最小正周期为π的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝sinD ．y ＝cos2xx 2答案：D解析：A 项，y ＝sin x 的最小正周期为2π，故A 项不符合题意；B 项，y ＝cos x 的最小正周期为2π，故B 项不符合题意；C 项，y ＝sin 的最小正周期为T ＝＝4π，故C 项不x 22πω符合题意；D 项，y ＝cos2x 的最小正周期为T ＝＝π，故D 项符合题意．故选D.2πω5．函数f (x )＝x sin ( )(π2－x )A ．是奇函数B ．是非奇非偶函数C ．是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数答案：A解析：由题，得函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称．又f (x )＝x sin ＝x cos x ，∴f (－x )＝(－x )cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．(π2－x )6．已知函数f (x )＝的定义域为R ，则( )cos (sin x )A ．f (x )是奇函数B ．f (x )是偶函数C ．f (x )既是奇函数又是偶函数D ．f (x )既不是奇函数又不是偶函数答案：B解析：∵函数f (x )＝的定义域为R ，关于原点对称，且f (－x )cos (sin x )＝＝＝＝f (x )，∴f (x )＝为偶函数．cos[sin (－x )]cos (－sin x )cos (sin x )cos (sin x )二、填空题7．若f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－sin x ，则当x ＜0时，f (x )＝________.答案：－x 2－sin x解析：利用奇函数的定义求解．当x ＜0时，－x ＞0，因f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－sin(－x )]＝－x 2－sin x .8．函数f (x )是以2为周期的函数，且f (2)＝3，则f (6)＝________.答案：3解析：∵函数f (x )是以2为周期的函数，且f (2)＝3，∴f (6)＝f (2×2＋2)＝f (2)＝3.9．已知函数f (x )＝ax ＋b sin x ＋1，若f (20 15)＝7，则f (－2 015)＝________.答案：－5解析：由f (2 015)＝2 015a ＋b sin2 015＋1＝7，得2 015a ＋b sin2 015＝6，∴f (－2 015)＝－2 015a －b sin2 015＋1＝－(2 015a ＋b sin2 015)＋1＝－6＋1＝－5.三、解答题10．已知函数f (x )＝log |sin x |.12(1)求其定义域和值域；(2)判断奇偶性；(3)判断周期性，若是周期函数，求其周期．解：(1)|sin x |>0⇒sin x ≠0，∴x ≠k π(k ∈Z )．∴定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }∵0<|sin x |≤1，∴log |sin x |≥0，12∴函数的值域是{y |y ≥0}．(2)定义域关于原点对称∵f (－x )＝log |sin(－x )|12＝log |sin x |＝f (x )，12∴函数f (x )是偶函数．(3)∵|sin x |在定义域{x |x ≠k π，k ∈Z }内是周期函数，且最小正周期是π，∴函数f (x )＝log |sin x |是周期函数，最小正周期为π.1211．设f (x )＝log 3.1－2sin x1＋2sin x (1)求函数f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的奇偶性．解：(1)∵>0，1－2sin x1＋2sin x ∴－<sin x <，1212∴k π－<x <k π＋，k ∈Z ，π6π6∴该函数的定义域为.{xk π－π6<x <k π＋π6，k ∈Z }(2)由(1)知定义域关于原点对称，又f (－x )＝log 31＋2sin x 1－2sin x＝log 3－1(1－2sin x1＋2sin x )＝－log 31－2sin x1＋2sin x＝－f (x )，∴该函数为奇函数．能力提升12．函数f (x )满足f (x ＋2)＝－，则f (x )的最小正周期是________．1f (x )答案：4解析：f (x ＋4)＝－＝f (x )所以函数f (x )的最小正周期是4.1f (x ＋2)13．求函数f (x )＝|sin x |＋|cos x |的最小正周期．解：设f (x )的最小正周期为T ，则有f (x ＋T )＝f (x )，对x ∈R 恒成立．即|sin(x ＋T )|＋|cos(x ＋T )|＝|sin x |＋|cos x |.令x ＝0，得|sin T |＋|cos T |＝1.两边平方，得|sin T |·|cos T |＝0.∴角T 的终边在坐标轴上．∴T ＝(k ∈N ＋)．k π2又f＝|sin |＋|cos |(x ＋π2)(x ＋π2)(x ＋π2)＝|cos x |＋|－sin x |＝|cos x |＋|sin x |＝f (x )，∴f (x )＝|sin x |＋|cos x |的最小正周期为.π2。

高中数学必修一课件：正弦函数、余弦函数的性质(第1课时)

∴函数f(x)＝sin34x＋3π 2 为偶函数．
③f(x)＝
（1－cos2x）＋sin 1＋sin x
x
＝
sin2x＋sin 1＋sin x
x
＝sin
x，但函数应满足1＋sin
x≠
0，∴函数的定义域为{x|x∈R，且x≠2kπ＋32π，k∈Z}．
∵函数的定义域不关于原点对称，
∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．
思考题3 (1)判断下列函数的奇偶性．
①f(x)＝sin
x－tan x
x；
②f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)；
③f(x)＝1－cossi2nx
； x
④f(x)＝ 1－cos x＋ cos x－1.
【答案】 ①偶函数 ②奇函数 ③非奇非偶函数 ④既是奇函数又是偶函数
(2)函数f(x)＝7sin(23x＋152π)是( A )
(2)若本例(1)中的“偶函数”改为“奇函数”，“π”改为“
11π 12
”，其他
条件不变，结果如何？
【解析】 f5π 3 ＝f5π 3 －111π2 ×2＝f－π6 ＝－fπ6 ＝－sin π6 ＝－12.
(3)若本例(1)中的条件不变，求当x∈[－π，0]时函数的解析式．
【解析】因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，因为x∈0，π2 时，f(x)＝sin x，所以当x∈－π2 ，0时，－x∈0，π2 ，所以 f(－x)＝sin(－x)＝－sin x＝f(x)，即当x∈－π2 ，0时，f(x)＝－sin x，
π (2)已知函数f(x)＝ 2sin(x＋ 4 ＋φ)是奇函数，则φ的值可以是( B )
A．0
B．－π4

正弦函数、余弦函数的性质(经典)

倍角恒等式用于计算一个角的两倍角的三角函数值，例如
sin2x=2sinxcosx，cos2x=cos²x-sin²x。
半角恒等式用于计算一个角的一半角的三角函数值，例如
sin(x/2)=±√[(1-cosx)/2]，cos(x/2)=±√[(1+cosx)/2]。
三角函数的积分
三角函数的积分是数学中一类特殊的积分，主要涉及到三角函数的积分计算。通过三角函数的积分，可以求得三角函数值的面积、体积和其他物理量。
三角函数与复数
三角函数与复数之间有着密切的联系，复数可以用三角函数的形式表示，而三角函数也可以用复数进行计算和分析。
在复平面上，复数可以用极坐标形式表示为z=r(cosθ+i sinθ)，其中r是模长， θ是辐角。这个表示方法与三角函数的定义非常相似，因此可以将复数的运算转化为三角函数的运算。
奇偶性
总结词
正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶函数。
详细描述
正弦函数满足$f(-x) = -f(x)$，即对于任何实数x，都有$sin(-x) = -sin(x)$。相反，余弦函数满足$f(-x) = f(x)$，即对于任何实数x，都有$cos(-x) = cos(x)$。
最值和零点
总结词
正弦函数图像是一个周期函数，其基本周期为$2pi$。
在一个周期内，正弦函数图像呈现先上升后下降的趋势，且在$[0, pi]$区间内是单调递增的。
正弦函数的最大值为1，最小值为-1，且在$x=frac{pi}{2}+2kpi$（$k in Z$）处取得最大值，在$x=2kpi$（$k in Z$）处取得最小值。
三角函数在复数域中有许多重要的性质和应用，例如：傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换等。这些变换在信号处理、控制系统等领域有着广泛的应用。

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(L1)游双菊

x[-
2
2k
,
2
2k
]
x[2
2k ,
3
2
2k
]
增函数减函数
奇函数
x [ 2k,2 2k]增函数
x[2k , 2k ] 减函数
偶函数
2
对称轴： x
2
k
,k
Z
对称中心： (k , 0) k Z
2
对称轴： x k , k Z 对称中心：(2 k , 0) k Z
正弦函数的单调性及单调区间
y
sin
1 2
x
3
,
x
[2
,
2
]
k 1, k 0, k 1,
2
2
5
3
4k ,
3
4k
17
3
,
11
3
√
5
3
,
3
7
3
,
11
3
变式练习
▪ 求函数的单调增区间
y
sin

1 2
x
3
增
y sin z 减
2k z 3 2k 减
2
2
2k 1 x 3 2k
2
2 32
减区间是
[2k , 2k ](k Z )
2.求函数的单调增区间
y
sin
1 2
x
3
y sin z
2k z 2k
2
2
y=sinz的增区间
2k 1 x 2k
2
2 32
5 4k x 4k
3
3
5
3
4k ,
3
4k
,

正弦函数、余弦函数的性质(一)

【解析】选 A、B、D.A，因为函数的定义域为 R，关于原点对称，且 f(－x)＝sin
|－x|＋|sin (－x)|＝f(x)，故函数为偶函数，故 A 正确；B，当 x∈0，π2 时，函数等价于 y＝2sin x，显然函数在 x∈0，π2 上单调递增，故 B 正确；C，函数 f(x)＝
2sin x，0≤x≤π，
则
f－154π 的值等于______．【解析】f－145π ＝f32π×（－3）＋34π
＝f34π
＝sin
3π 4
＝
2 2
.
答案：
2 2
4．已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，若对于 x≥0，都有 f(x＋2)＝－f（1x），且当 x∈[0，2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则 f(－2 011)＋f(2 013)的值为________．【解析】当 x≥0 时，f(x＋2)＝－ 1 ，
A．y＝cos
x 2
为偶函数，周期为 4π，B．y＝sin 2x
为奇函数，周期为 π，
C．由 y＝|sin x|是偶函数，根据函数图象的对称性结合此函数的曲线图象，可知此函
数周期为 π，
D．y＝sin |x|是偶函数，根据函数图象的对称性结合此函数的曲线图象，可知函数不
是周期函数．
பைடு நூலகம்．函数
f(x)＝sin
【解析】选 D.因为函数 y＝cos
1 2x
；
所以 f(－x)＝cos
12（－x）
＝cos
1 2x
＝f(x)；故是偶函数；
当 x>0 时，
又因为：f(x＋2π)＝cos 12（x＋2π）＝
cos12x＋π
＝－cos

正弦、余弦函数性质1

正、余弦函数的周期性，会用定义法、公式法和图象法求一些函数的周期
‹#›
难点与学法
难点提示
单击此处编辑母版标题样式
数学必修4—第一章
正、余弦函数最小正周期性的理解，函 • 单击此处编辑母版文本样式数周期性的应用. – 第二级学法提示 • 第三级
1.请同学们课前将学案与教材结合进行自主学习（对教材中的文 – 第四级字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解 » 第五级答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备； 2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、 “举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、 “总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、 ‹#› 敢于讲解与表达.
3 2
3 2
cot
cot
cot
2. 上节课学习作正、余弦函数图象有哪些作图的方法 1.利用单位圆的三角函数线、； 2.五点作图 3. 正弦函数 y f ( x) sin x, x R 具有怎样的特征 1.有界性、2.周期性；

• 第三级

2
2 k (k Z )

2

2

cos
tan
cos cos cos cos
tan
sin cos cos cos cos cos sin sin sin sin
tan
cot
单击此处编辑母版标题样式
一、学习准备
填空： – 第二级 1. 完成下面表中的内容：

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)

请列举几个“周而复始”的函数图象
y
y=sinx 1
-2
-
o
-1
y=cosx y 1
-
o

-1
2 3
2
3
4 x x
情景引入图象初探图象再探概念形成概念剖析概念应用完美终结
请列举几个“周而复始”的函数图象
y
y=sinx 1
-2
-
o
-1
y=cosx y 1
-
o

-1
练习2：
知识迁移
若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示：
(1)求该函数的周期; (2)求t=10s时钟摆的高度．
h/mm
60 55
50 50 45 40 35 30 25 20 20 15
10 10
5
o
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
t/s
情景引入图象初探图象再探概念形成概念剖析概念应用完美终结
我们收获了什么？ 1.周期函数的定义
2.设T是f(x) 的周期，则_k_T_(k为非零整数)也是
f(x)的周期. 3.周期的求法：
①.定义法; ②.公式法: ③.图象法.
作业：
必做题：书上P36 练习2 P46 3, 10
选做题：设f ( x) cos x,则f (1) f (2) ... f (99)
正弦函数、余弦函数的性质（一） ----周期性
2
1 周而复始

3 2

2
0O 2

3 2

正弦余弦正切函数的图象与性质

讲解新课：正弦、余弦函数的图象（1）函数y=sinx 的图象：叫做正弦曲线第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n(这里n=12)等份.把x 轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x 值—弧度制下角与实数的对应）.第二步：在单位圆中画出对应于角6,0π，3π，2π,…，2π的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）.第三步：连线.用光滑曲线把正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象．根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 的图象.把角x ()x R ∈的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx 的图象.（2）余弦函数y=cosx 的图象：叫做余弦曲线根据诱导公式,可以把正弦函数y=sinx 的图象向左平移2π单位即得余弦函数y=cosx 的图象.（3）用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的五个点关键是哪几个？(0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1) 讲解范例：例1 作下列函数的简图(1)y=1+sinx ，x ∈[0，2π]，（2）y=-COSx探究如何利用y=sinx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到（1）y ＝1＋sinx ,ｘ∈〔0，２π〕的图象；（2）y=sin(x- π/3)的图象？y=cosxy=sinxπ2π3π4π5π6π-π-2π-3π-4π-5π-6π-6π-5π-4π-3π-2π-π6π5π4π3π2ππ-11y x-11o xy小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。

余弦函数、正切函数的图象与性质(1)

2
个性笔记
.
(2)余弦曲线.
除了上述的平移法得到余弦曲线,还可以用: ①描点法:按照列表,描点,连线顺序可作出余弦函数图象的方法.
π ,( π ,-1), 3π ,(2 π ,1) 这五点描出 ②五点法 : 观察余弦函数的图象可以看出 ,(0,1), ,0 ,0 2 2
π C、y=sin x 2
π 的图象向右平移 π 个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标缩短到原 3、把函数 y=sin 2x 4
8
来的 1 ,则所得图象的函数解析式是(
2
) C、y=sin 4x D、y=sin x
3π A、y=sin 4x 8
济南市长清中学高一
编号：B4-14 课型：新授课编制人：李震
数学导学案
审核人：李震年级主任：班级：姓名：
课题：1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质第一课时余弦函数的图象与性质【课程学习目标】 1.掌握“五点法”作余弦函数的图象.(重点) 2.理解余弦函数的性质.(重点、难点) 【独学内容】一、知识导学：问题 1、余弦函数的图象 (1)把正弦曲线向左平移 π 个单位就可以得到余弦函数的图象.余弦函数 y=cos x 的图象叫做
探究四、余弦函数的最值或值域 (1)求函数 y=cos x,x∈ π , 2π 的值域;
3 3
(2)求函数 y= 2 cosx 的最值;
2 cosx
(3)求函数 y=3cos x-4cos x+1,x∈ π , 2π 的值域.
2
3 3
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济南市长清中学
探究五、余弦函数图象的应用